Unang antas

Pagbabago ng ekspresyon. Detalyadong Teorya (2019)

Pagbabago ng ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa isang (lamang!) ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na isasaalang-alang, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang tipikal na pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang common denominator.

Balik tayo sa mga letra. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, ito ay naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, titiyakin namin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. May pagkakaiba tayo ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

ako. Ang mga ekspresyon kung saan maaaring gamitin ang mga numero, palatandaan ng mga operasyong aritmetika at mga bracket kasama ng mga titik ay tinatawag na mga algebraic na expression.

Mga halimbawa ng algebraic expression:

2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); isang 2 - 2ab;

Dahil ang isang titik sa isang algebraic expression ay maaaring mapalitan ng ilang iba't ibang mga numero, ang titik ay tinatawag na isang variable, at ang algebraic expression mismo ay tinatawag na isang expression na may isang variable.

II. Kung sa isang algebraic expression ang mga titik (mga variable) ay pinalitan ng kanilang mga halaga at ang mga tinukoy na aksyon ay ginanap, kung gayon ang resultang numero ay tinatawag na halaga ng algebraic expression.

Mga halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression:

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6.

Desisyon.

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5. Sa halip na mga variable, pinapalitan namin ang kanilang mga halaga. Nakukuha namin ang:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6. Pinapalitan namin ang mga tinukoy na halaga. Tandaan na ang modulus ng negatibong numero ay katumbas ng kabaligtaran na numero nito, at ang modulus ng positibong numero ay katumbas ng numerong ito mismo. Nakukuha namin ang:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Ang mga halaga ng isang titik (variable) kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag na mga wastong halaga ng titik (variable).

Mga halimbawa. Sa anong mga halaga ng variable ang expression ay hindi makatwiran?

Desisyon. Alam namin na imposibleng hatiin sa zero, samakatuwid, ang bawat isa sa mga expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan sa halaga ng titik (variable) na nagiging zero ang denominator ng fraction!

Sa halimbawa 1), ito ang halaga a = 0. Sa katunayan, kung sa halip na a ay papalitan natin ang 0, ang numero 6 ay kailangang hatiin ng 0, ngunit hindi ito magagawa. Sagot: expression 1) ay hindi makatwiran kapag a = 0.

Sa halimbawa 2) ang denominator x - 4 = 0 sa x = 4, samakatuwid, ang halagang ito x = 4 at hindi maaaring kunin. Sagot: expression 2) ay walang kahulugan para sa x = 4.

Sa halimbawa 3) ang denominator ay x + 2 = 0 para sa x = -2. Sagot: expression 3) ay walang kahulugan sa x = -2.

Sa halimbawa 4) ang denominator ay 5 -|x| = 0 para sa |x| = 5. At dahil |5| = 5 at |-5| \u003d 5, pagkatapos ay hindi ka maaaring kumuha ng x \u003d 5 at x \u003d -5. Sagot: expression 4) ay walang kahulugan para sa x = -5 at para sa x = 5.
IV. Ang dalawang expression ay tinatawag na magkaparehong pantay kung, para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na ito ay pantay.

Halimbawa: 5 (a - b) at 5a - 5b ay magkapareho, dahil ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a at b. Ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay isang pagkakakilanlan.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable na kasama dito. Ang mga halimbawa ng mga pagkakakilanlan na alam mo na ay, halimbawa, ang mga katangian ng karagdagan at pagpaparami, ang katangian ng pamamahagi.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon. Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Mga halimbawa.

a) i-convert ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang distributive property ng multiplication:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Desisyon. Alalahanin ang distributive property (batas) ng multiplikasyon:

(a+b) c=a c+b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa karagdagan: upang i-multiply ang kabuuan ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito at idagdag ang mga resulta).
(a-b) c=a c-b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa pagbabawas: upang i-multiply ang pagkakaiba ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bilang na ito na binawasan at ibawas nang hiwalay at ibawas ang pangalawa sa unang resulta).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) baguhin ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative na katangian (mga batas) ng karagdagan:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Desisyon. Inilalapat namin ang mga batas (mga katangian) ng karagdagan:

a+b=b+a(displacement: hindi nagbabago ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinative: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang termino, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

sa) baguhin ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng multiplication:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-isa); 9) 3a · (-3) · 2s.

Desisyon. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng multiplikasyon:

a b=b a(displacement: hindi binabago ng permutation of factors ang produkto).
(a b) c=a (b c)(combinative: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2y · (-1) = 7y.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Kung ang isang algebraic expression ay ibinigay bilang isang reducible fraction, pagkatapos ay gamit ang fraction reduction rule, maaari itong gawing simple, i.e. palitan ang magkaparehong katumbas nito ng isang mas simpleng expression.

Mga halimbawa. Pasimplehin sa pamamagitan ng paggamit ng fraction reduction.

Desisyon. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong numero (expression) maliban sa zero. Fraction 10) ay mababawasan ng 3b; fraction 11) bawasan ng a at fraction 12) bawasan ng 7n. Nakukuha namin ang:

Ginagamit ang mga algebraic expression upang bumalangkas ng mga formula.

Ang formula ay isang algebraic na expression na isinulat bilang isang pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng dalawa o higit pang mga variable. Halimbawa: ang path formula na alam mo s=v t(s ay ang distansya na nilakbay, v ang bilis, t ang oras). Tandaan kung ano ang iba pang mga formula na alam mo.

Pahina 1 ng 1 1

Kadalasan sa mga gawain ay kinakailangang magbigay ng pinasimpleng sagot. Bagama't pareho ang pinasimple at hindi pinasimple na mga sagot ay tama, maaaring ibaba ng iyong tagapagturo ang iyong marka kung hindi mo pasimplehin ang iyong sagot. Bukod dito, ang isang pinasimple na pagpapahayag ng matematika ay mas madaling gamitin. Samakatuwid, napakahalagang matutunan kung paano gawing simple ang mga expression.

Mga hakbang

Tamang pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo sa matematika

1. Tandaan ang tamang pagkakasunud-sunod ng paggawa ng mga operasyon sa matematika. Kapag pinasimple ang isang mathematical expression, mayroong isang tiyak na pagkakasunud-sunod na dapat sundin, dahil ang ilang mga mathematical na operasyon ay mauuna kaysa sa iba at dapat gawin muna (sa katunayan, ang hindi pagsunod sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magdadala sa iyo sa maling resulta). Alalahanin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo ng matematika: expression sa mga bracket, exponentation, multiplication, division, addition, subtraction.

   • Tandaan na ang pag-alam sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang karamihan sa mga pinakasimpleng expression, ngunit upang gawing simple ang isang polynomial (isang expression na may variable) kailangan mong malaman ang mga espesyal na trick (tingnan ang susunod na seksyon).

2. Magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panaklong. Sa matematika, ang mga panaklong ay nagpapahiwatig na ang nakapaloob na expression ay dapat na masuri muna. Samakatuwid, kapag pinasimple ang anumang mathematical expression, magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression na nakapaloob sa mga bracket (hindi mahalaga kung anong mga operasyon ang kailangan mong gawin sa loob ng mga bracket). Ngunit tandaan na kapag nagtatrabaho sa isang expression na nakapaloob sa mga bracket, dapat mong sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, iyon ay, ang mga termino sa mga bracket ay unang pinarami, hinati, idinagdag, binabawasan, at iba pa.

   • Halimbawa, pasimplehin natin ang expression 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Dito tayo magsisimula sa mga expression sa mga bracket: 5 + 2 = 7 at 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Ang expression sa pangalawang pares ng mga bracket ay pinasimple sa 5 dahil ang 4/2 ay dapat na hatiin muna (ayon sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon). Kung hindi mo susundin ang utos na ito, makakakuha ka ng maling sagot: 3 + 4 = 7 at 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Kung may isa pang pares ng panaklong sa loob ng mga panaklong, simulan ang pagpapasimple sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panloob na mga panaklong, at pagkatapos ay magpatuloy sa paglutas ng expression sa mga panlabas na panaklong.

3. Itaas sa isang kapangyarihan. Pagkatapos malutas ang mga expression sa mga bracket, magpatuloy sa pagtaas sa isang kapangyarihan (tandaan na ang isang kapangyarihan ay may isang exponent at isang base). Itaas ang katumbas na expression (o numero) sa isang kapangyarihan at palitan ang resulta sa expression na ibinigay sa iyo.

   • Sa aming halimbawa, ang tanging expression (numero) sa degree ay 3 2: 3 2 = 9. Sa expression na ibinigay sa iyo, palitan ang 9 sa halip na 3 2 at makakakuha ka ng: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Paramihin. Tandaan na ang pagpaparami ng pagpaparami ay maaaring tukuyin ng mga sumusunod na simbolo: "x", "∙" o "*". Ngunit kung walang mga simbolo sa pagitan ng isang numero at isang variable (halimbawa, 2x) o sa pagitan ng isang numero at isang numero sa mga bracket (halimbawa, 4(7)), ito ay isa ring multiplication operation.

   • Sa aming halimbawa, mayroong dalawang pagpaparami: 2x (dalawang beses x) at 4(7) (apat na beses na pito). Hindi namin alam ang halaga ng x, kaya iiwan namin ang expression na 2x kung ano ito. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Ngayon ay maaari mong muling isulat ang expression na ibinigay sa iyo tulad nito: 2x + 28 + 9 - 5.

5. hatiin. Tandaan na ang operasyon ng paghahati ay maaaring tukuyin ng mga sumusunod na character: "/", "÷" o "-" (ang huling character na makikita mo sa mga fraction). Halimbawa, ang 3/4 ay tatlo na hinati sa apat.

   • Sa aming halimbawa, wala nang dibisyon dahil hinati mo na ang 4 sa 2 (4/2) kapag nilulutas ang nakakulong na expression. Samakatuwid, maaari kang magpatuloy sa susunod na hakbang. Tandaan na karamihan sa mga expression ay wala ang lahat ng mga operasyon sa matematika nang sabay-sabay (ilan lang sa kanila).

6. Tupi. Kapag nagdaragdag ng mga termino ng isang expression, maaari kang magsimula sa pinakalabas (kaliwa) na termino, o maaari mo munang idagdag ang mga terminong iyon na madaling madagdagan. Halimbawa, sa expression na 49 + 29 + 51 +71, mas madaling magdagdag ng 49 + 51 = 100, pagkatapos ay 29 + 71 = 100, at sa wakas ay 100 + 100 = 200. Mas mahirap magdagdag ng ganito. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Sa aming 2x + 28 + 9 + 5 halimbawa, mayroong dalawang pagpapatakbo ng karagdagan. Magsimula tayo sa pinakasukdulan (kaliwa) na termino: 2x + 28; hindi mo maaaring magdagdag ng 2x at 28 dahil hindi mo alam ang halaga ng x. Samakatuwid, magdagdag ng 28 + 9 = 37. Ngayon ang expression ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: 2x + 37 - 5.

7. Ibawas. Ito ang huling operasyon sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon sa matematika. Sa yugtong ito, maaari ka ring magdagdag ng mga negatibong numero, o magagawa mo ito sa yugto ng pagdaragdag ng mga miyembro - hindi ito makakaapekto sa panghuling resulta sa anumang paraan.

   • Sa aming halimbawa 2x + 37 - 5, mayroon lamang isang operasyon ng pagbabawas: 37 - 5 = 32.

8. Sa yugtong ito, nang magawa ang lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika, dapat kang makakuha ng isang pinasimple na expression. Ngunit kung ang expression na ibinigay sa iyo ay naglalaman ng isa o higit pang mga variable, pagkatapos ay tandaan na ang miyembro na may variable ay mananatiling tulad nito. Ang paglutas (sa halip na gawing simple) ang isang expression na may isang variable ay nagsasangkot ng paghahanap ng halaga ng variable na iyon. Minsan ang mga expression na may variable ay maaaring gawing simple gamit ang mga espesyal na pamamaraan (tingnan ang susunod na seksyon).

   • Sa aming halimbawa, ang huling sagot ay 2x + 32. Hindi ka maaaring magdagdag ng dalawang termino hangga't hindi mo nalalaman ang halaga ng x. Kapag nalaman mo na ang halaga ng variable, madali mong mapapasimple ang binomial na ito.

   Pinapasimple ang Mga Kumplikadong Ekspresyon

   1. Pagdaragdag ng mga katulad na termino. Tandaan na maaari ka lamang magbawas at magdagdag ng mga katulad na termino, iyon ay, mga termino na may parehong variable at parehong exponent. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 7x at 5x, ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 7x at 5x 2 (dahil iba ang mga exponent dito).

      • Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga miyembrong may maraming variable. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 2xy 2 at -3xy 2 , ngunit hindi mo maaaring magdagdag ng 2xy 2 at -3x 2 y o 2xy 2 at -3y 2 .
      • Isaalang-alang ang isang halimbawa: x 2 + 3x + 6 - 8x. Narito ang mga katulad na termino ay 3x at 8x, kaya maaari silang idagdag nang magkasama. Ang pinasimpleng expression ay ganito ang hitsura: x 2 - 5x + 6.

   2. Pasimplehin ang numero. Sa naturang fraction, ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero (walang variable). Ang isang numerical fraction ay pinasimple sa maraming paraan. Una, hatiin lamang ang denominator sa numerator. Pangalawa, i-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang parehong mga kadahilanan (dahil kapag hinati mo ang isang numero sa sarili nito, makakakuha ka ng 1). Sa madaling salita, kung ang numerator at denominator ay may parehong salik, maaari mo itong itapon at makakuha ng isang pinasimpleng bahagi.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fraction 36/60. Gamit ang isang calculator, hatiin ang 36 sa 60 at makakuha ng 0.6. Ngunit maaari mong pasimplehin ang fraction na ito sa ibang paraan sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Mula noong 6/6 \u003d 1, pagkatapos ay ang pinasimple na bahagi: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Ngunit ang bahaging ito ay maaari ding gawing simple: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Kung ang fraction ay naglalaman ng isang variable, maaari mong bawasan ang parehong mga kadahilanan sa variable. I-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang parehong mga kadahilanan kahit na naglalaman ang mga ito ng variable (tandaan na dito ang parehong mga kadahilanan ay maaaring naglalaman ng variable o hindi).

      • Isaalang-alang ang isang halimbawa: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ang expression na ito ay maaaring muling isulat (factored) bilang: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Dahil ang terminong 3x ay nasa numerator at denominator, maaari itong bawasan upang mabigyan ka ng pinasimpleng expression: (x + 1)/(5 - x). Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Pakitandaan na hindi mo maaaring kanselahin ang anumang mga termino - ang parehong mga kadahilanan na naroroon sa parehong numerator at denominator ay kinansela. Halimbawa, sa expression (x(x + 2))/x, ang variable (multiplier) "x" ay nasa numerator at denominator, kaya maaaring bawasan ang "x" at makakuha ng pinasimpleng expression: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Gayunpaman, sa expression (x + 2)/x, ang variable na "x" ay hindi maaaring bawasan (dahil sa numerator "x" ay hindi isang kadahilanan).

   4. Buksan ang panaklong. Upang gawin ito, i-multiply ang termino sa labas ng bracket sa bawat termino sa mga bracket. Minsan nakakatulong ito upang gawing simple ang isang kumplikadong expression. Nalalapat ito sa parehong mga miyembro na prime number at mga miyembro na naglalaman ng variable.

      • Halimbawa, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 at 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Pakitandaan na sa mga fractional na expression, ang mga panaklong ay hindi kailangang buksan kung ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng parehong salik. Halimbawa, sa expression (3(x 2 + 8)) / 3x, hindi mo kailangang palawakin ang mga bracket, dahil dito maaari mong bawasan ang factor 3 at makakuha ng pinasimple na expression (x 2 + 8) / x. Ang expression na ito ay mas madaling gamitin; kung pinalawak mo ang mga bracket, makukuha mo ang sumusunod na kumplikadong expression: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. I-factor ang polynomials. Gamit ang pamamaraang ito, maaari mong gawing simple ang ilang mga expression at polynomial. Ang Factoring ay ang kabaligtaran ng pagpapalawak ng panaklong, iyon ay, ang isang expression ay isinulat bilang isang produkto ng dalawang expression, na ang bawat isa ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka ng factoring na paikliin ang parehong expression. Sa mga espesyal na kaso (karaniwan ay may mga quadratic equation), ang factoring ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation.

      • Isaalang-alang ang expression na x 2 - 5x + 6. Nabulok ito sa mga salik: (x - 3) (x - 2). Kaya, kung, halimbawa, ang isang expression ay ibinigay (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maaari mo itong muling isulat bilang (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), bawasan ang expression (x - 2) at kumuha ng pinasimple na expression (x - 3) / 2.
      • Ang factoring polynomials ay ginagamit upang lutasin (hanapin ang mga ugat) equation (ang isang equation ay isang polynomial equated sa 0). Halimbawa, isaalang-alang ang equation x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Ang pag-factor nito sa mga salik, makakakuha ka ng (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Dahil ang anumang expression na pinarami ng 0 ay 0, maaari nating isulat ito ganito : x - 3 = 0 at x - 2 = 0. Kaya, x = 3 at x = 2, ibig sabihin, natagpuan mo ang dalawang ugat ng equation na ibinigay sa iyo.

Ang pagpapasimple ng mga algebraic expression ay isa sa mga susi sa pag-aaral ng algebra at isang lubhang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa lahat ng mathematician. Binibigyang-daan ka ng pagpapasimple na bawasan ang isang kumplikado o mahabang expression sa isang simpleng expression na madaling gamitin. Ang mga pangunahing kasanayan sa pagpapasimple ay mabuti kahit para sa mga hindi masigasig sa matematika. Sa pamamagitan ng pagsunod sa ilang simpleng panuntunan, marami sa mga pinakakaraniwang uri ng algebraic na expression ay maaaring gawing simple nang walang anumang espesyal na kaalaman sa matematika.

Mga hakbang

Mahahalagang kahulugan

1. Mga katulad na miyembro. Ito ay mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro (mga miyembrong walang variable). Sa madaling salita, ang mga kagaya ng termino ay kinabibilangan ng isang variable sa parehong lawak, may kasamang ilang magkakaparehong variable, o hindi nagsasama ng variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga termino sa expression ay hindi mahalaga.

   • Halimbawa, ang 3x 2 at 4x 2 ay katulad ng mga termino dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng pangalawang order (sa pangalawang kapangyarihan). Gayunpaman, ang x at x 2 ay hindi magkatulad na mga miyembro, dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng magkakaibang mga order (una at pangalawa). Katulad nito, ang -3yx at 5xz ay hindi magkatulad na miyembro dahil naglalaman ang mga ito ng magkaibang mga variable.

2. Factorization. Ito ay paghahanap ng mga naturang numero, ang produkto na humahantong sa orihinal na numero. Anumang orihinal na numero ay maaaring magkaroon ng ilang mga kadahilanan. Halimbawa, ang numero 12 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na serye ng mga kadahilanan: 1 × 12, 2 × 6 at 3 × 4, kaya masasabi nating ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 at 12 ay mga kadahilanan ng numero 12. Ang mga kadahilanan ay pareho sa mga divisors , iyon ay, ang mga numero kung saan ang orihinal na numero ay nahahati.

   • Halimbawa, kung gusto mong i-factor ang numerong 20, isulat ito nang ganito: 4×5.
   • Tandaan na kapag ang factoring, ang variable ay isinasaalang-alang. Halimbawa, 20x = 4(5x).
   • Ang mga pangunahing numero ay hindi maaaring i-factor dahil sila ay nahahati lamang sa kanilang mga sarili at 1.

3. Tandaan at sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon upang maiwasan ang mga pagkakamali.

   • Mga panaklong
   • Degree
   • Pagpaparami
   • Dibisyon
   • Dagdag
   • Pagbabawas

   Pag-cast Tulad ng mga Miyembro

   1. Isulat ang ekspresyon. Ang pinakasimpleng algebraic expression (na hindi naglalaman ng mga fraction, ugat, at iba pa) ay maaaring malutas (pinasimple) sa ilang hakbang lamang.

      • Halimbawa, pasimplehin ang expression 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tukuyin ang mga katulad na miyembro (mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro).

      • Maghanap ng mga katulad na termino sa expression na ito. Ang mga terminong 2x at 4x ay naglalaman ng variable ng parehong pagkakasunud-sunod (una). Gayundin, ang 1 at -3 ay mga libreng miyembro (hindi naglalaman ng variable). Kaya, sa expression na ito, ang mga termino 2x at 4x ay magkatulad, at ang mga miyembro 1 at -3 ay katulad din.

   3. Magbigay ng mga katulad na miyembro. Nangangahulugan ito ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga ito at pagpapasimple ng expression.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Isulat muli ang expression na isinasaalang-alang ang mga ibinigay na miyembro. Makakakuha ka ng isang simpleng expression na may mas kaunting termino. Ang bagong expression ay katumbas ng orihinal.

      • Sa aming halimbawa: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ibig sabihin, ang orihinal na expression ay pinasimple at mas madaling gamitin.

   5. Obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon kapag nag-cast ng mga katulad na termino. Sa aming halimbawa, madaling magdala ng mga katulad na termino. Gayunpaman, sa kaso ng mga kumplikadong expression kung saan ang mga miyembro ay nakapaloob sa mga bracket at mga fraction at mga ugat ay naroroon, ito ay hindi napakadaling dalhin ang mga naturang termino. Sa mga kasong ito, sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dito ay isang pagkakamali na agad na tukuyin ang 3x at 2x bilang mga terminong katulad at sipiin ang mga ito, dahil kailangan mo munang palawakin ang mga panaklong. Samakatuwid, gawin ang mga operasyon sa kanilang pagkakasunud-sunod.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ngayon, kapag ang expression ay naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, maaari kang mag-cast ng mga katulad na termino.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Paglalagay ng panaklong sa multiplier

   1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ng lahat ng coefficient ng expression. Ang GCD ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang lahat ng coefficient ng expression ay nahahati.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang equation na 9x 2 + 27x - 3. Sa kasong ito, gcd=3, dahil ang anumang coefficient ng expression na ito ay nahahati sa 3.

   2. Hatiin ang bawat termino ng expression sa gcd. Ang mga resultang termino ay maglalaman ng mas maliliit na coefficient kaysa sa orihinal na expression.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang bawat termino ng expression sa pamamagitan ng 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ito pala ang expression 3x2 + 9x-1. Hindi ito katumbas ng orihinal na ekspresyon.

   3. Isulat ang orihinal na expression bilang katumbas ng produkto ng gcd na beses ang resultang expression. Iyon ay, ilakip ang nagresultang expression sa mga bracket, at ilagay ang GCD sa mga bracket.

      • Sa aming halimbawa: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pagpapasimple ng mga fractional na expression sa pamamagitan ng pag-alis ng multiplier sa mga bracket. Bakit alisin na lang ang multiplier sa mga bracket, gaya ng ginawa kanina? Pagkatapos, upang matutunan kung paano gawing simple ang mga kumplikadong expression, tulad ng mga fractional na expression. Sa kasong ito, ang paglalagay ng factor sa labas ng mga bracket ay maaaring makatulong na maalis ang fraction (mula sa denominator).

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (9x 2 + 27x - 3)/3. Gumamit ng mga panaklong upang gawing simple ang expression na ito.
        • I-factor out ang factor 3 (gaya ng ginawa mo dati): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Tandaan na ang numerator at denominator ay mayroon na ngayong numero 3. Maaari itong bawasan, at makukuha mo ang expression: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Dahil ang anumang fraction na may numero 1 sa denominator ay katumbas lamang ng numerator, ang orihinal na fractional na expression ay pinasimple sa: 3x2 + 9x-1.

   Karagdagang Mga Teknik sa Pagpapasimple

4. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa: √(90). Ang bilang na 90 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na salik: 9 at 10, at mula sa 9, kunin ang square root (3) at kunin ang 3 mula sa ilalim ng ugat.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pinasimple ang mga expression na may kapangyarihan. Sa ilang expression, may mga operasyon ng multiplikasyon o paghahati ng mga termino na may degree. Sa kaso ng pagpaparami ng mga termino na may isang base, ang kanilang mga degree ay idinagdag; sa kaso ng paghahati ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga degree ay ibabawas.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Sa kaso ng multiplikasyon, idagdag ang mga exponent, at sa kaso ng paghahati, ibawas ang mga ito.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Ang sumusunod ay isang paliwanag ng panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga termino na may isang degree.
     • Ang pagpaparami ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng mga termino sa kanilang sarili. Halimbawa, dahil x 3 = x × x × x at x 5 = x × x × x × x × x x, pagkatapos x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
     • Katulad nito, ang paghahati ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng paghahati ng mga termino sa kanilang sarili. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dahil ang magkatulad na termino na nasa numerator at denominator ay maaaring bawasan, ang produkto ng dalawang "x", o x 2, ay nananatili sa numerator.

• Palaging magkaroon ng kamalayan sa mga palatandaan (plus o minus) sa harap ng mga termino ng isang expression, dahil maraming tao ang nahihirapang pumili ng tamang sign.
• Humingi ng tulong kung kinakailangan!
• Ang pagpapasimple ng mga algebraic na expression ay hindi madali, ngunit kung makuha mo ang iyong mga kamay dito, maaari mong gamitin ang kasanayang ito sa habambuhay.

Ang isang algebraic expression sa talaan kung saan, kasama ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon, ay gumagamit din ng paghahati sa literal na mga expression, ay tinatawag na isang fractional algebraic expression. Ito ay, halimbawa, ang mga expression

Tinatawag namin ang isang algebraic fraction na isang algebraic expression na may anyo ng isang quotient ng paghahati ng dalawang integer algebraic expression (halimbawa, monomials o polynomials). Ito ay, halimbawa, ang mga expression

ang pangatlo ng mga expression).

Ang mga pagbabagong-anyo ng pagkakakilanlan ng mga fractional algebraic na expression ay para sa karamihang nilayon upang katawanin ang mga ito bilang isang algebraic fraction. Upang makahanap ng isang karaniwang denominator, ang factorization ng mga denominator ng mga fraction - mga termino ay ginagamit upang mahanap ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, ang mahigpit na pagkakakilanlan ng mga expression ay maaaring lumabag: ito ay kinakailangan upang ibukod ang mga halaga ng mga dami kung saan ang kadahilanan kung saan ang pagbawas ay ginawang naglalaho.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng magkaparehong pagbabago ng mga fractional algebraic expression.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression

Ang lahat ng mga termino ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator (ito ay maginhawa upang baguhin ang sign sa denominator ng huling termino at ang sign sa harap nito):

Ang aming expression ay katumbas ng isa para sa lahat ng mga halaga maliban sa mga halagang ito, hindi ito tinukoy at ang pagbawas ng fraction ay ilegal).

Halimbawa 2. Kinakatawan ang expression bilang isang algebraic fraction

Desisyon. Ang expression ay maaaring kunin bilang isang karaniwang denominator. Sunud-sunod naming mahanap:

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang mga halaga ng mga algebraic na expression para sa tinukoy na mga halaga ng mga parameter:

2. I-factorize.