Definition in.7. Ein Punkt x ∈ R auf der reellen Geraden heißt Grenzpunkt einer Folge (xn), wenn man für jede Umgebung U(x) und jede natürliche Zahl N ein zu dieser Umgebung gehörendes Element xn mit einer Zahl größer als finden kann λ, d. h. x 6 R - Grenzpunkt, wenn. Mit anderen Worten: Ein Punkt x ist ein Grenzpunkt für (xn), wenn Elemente dieser Folge mit beliebig großen Zahlen in eine ihrer Umgebungen fallen, obwohl möglicherweise nicht alle Elemente mit Zahlen n > N. Daher die folgende Behauptung ist ganz offensichtlich. Aussage b.b. Wenn lim(xn) = 6 6 R, dann ist b der einzige Grenzpunkt der Folge (xn). Tatsächlich fallen aufgrund der Definition 6.3 des Grenzwerts einer Folge alle ihre Elemente, beginnend mit einer bestimmten Zahl, in jede beliebig kleine Umgebung des Punktes 6, und daher können Elemente mit beliebig großen Zahlen nicht in die Umgebung eines anderen Punktes fallen. Folglich ist die Bedingung der Definition 6.7 nur für den eindeutigen Punkt 6 erfüllt. Allerdings ist nicht jeder Grenzpunkt (manchmal auch feiner kondensierter Punkt genannt) einer Folge ihr Grenzwert. Somit hat die Folge (b.b) keinen Grenzwert (siehe Beispiel 6.5), aber zwei Grenzpunkte x = 1 und x = - 1. Die Folge ((-1)n) hat zwei unendliche Punkte + oo und - mit an erweiterter Zahlenstrahl, dessen Vereinigung durch ein Symbol oo bezeichnet wird. Deshalb können wir annehmen, dass die unendlichen Grenzpunkte zusammenfallen und der unendliche Punkt oo nach (6.29) der Grenzwert dieser Folge ist. Grenzpunkte der Folgezahlengeraden Beweis des Weierstrass-Kriteriums und des Cauchy-Kriteriums. Gegeben sei eine Folge (sn) und die Zahlen k bilden eine aufsteigende Folge positiver ganzer Zahlen. Dann wird die Folge (ynb, wobei yn = xkn) Teilfolge der ursprünglichen Folge genannt. Wenn (in) die Zahl 6 als Grenzwert hat, dann hat natürlich jede seiner Teilfolgen denselben Grenzwert, da ausgehend von einer Zahl alle Elemente sowohl der Originalfolge als auch aller ihrer Teilfolgen fallen in eine beliebige gewählte Umgebung des Punktes 6. Gleichzeitig ist jeder Grenzpunkt der Teilfolge auch der Grenzpunkt für die Folge. Sei b ein Grenzpunkt von Folge (xn), dann gemäß Definition 6. 7 Grenzpunkt, für jedes n gibt es ein Element, das zur Umgebung U (6, 1/n) des Punktes b mit dem Radius 1/n gehört. Die aus den Punkten ijtj, ...1 ... zusammengesetzte Teilfolge mit zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N hat als Grenzwert den Punkt 6. Tatsächlich kann man für beliebiges e > 0 wählen N so das. Dann fallen alle Elemente der Teilfolge, beginnend mit der Zahl km, in die ^-Umgebung U(6, ε) des Punktes 6, was der Bedingung der Definition 6.3 des Grenzwertes der Folge entspricht. Der umgekehrte Satz ist ebenfalls wahr. Grenzpunkte der Folgezahlengeraden Beweis des Weierstrass-Kriteriums und des Cauchy-Kriteriums. Satz 8.10. Wenn eine Folge eine Teilfolge mit Grenzwert 6 hat, dann ist b der Grenzpunkt dieser Folge. Aus Definition 6.3 des Grenzwertes einer Folge folgt, dass ab einer bestimmten Zahl alle Elemente der Teilfolge mit Grenzwert b in eine Umgebung U(b, ​​​​​​e) mit beliebigem Radius e fallen. Da die Elemente der Teilfolge sind gleichzeitig Elemente der Folge beliebig große Zahlen, und dies bedeutet aufgrund der Definition 6.7, dass b ein Grenzpunkt der Folge (n) ist. Bemerkung 0.2. Die Sätze 6.9 und 6.10 gelten auch für den Fall, dass der Grenzpunkt unendlich ist, wenn wir beim Beweis der toten Nachbarschaft U(6, 1 /n) eine Nachbarschaft (oder Nachbarschaften) betrachten. Die Bedingung, unter der eine konvergente Teilfolge unterschieden werden kann Eine Folge wird durch den folgenden Satz aufgestellt. Satz 6.11 (Bolzano - Weierstrass.) Jede beschränkte Folge enthält eine Teilfolge, die gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Alle Elemente der Folge (an) seien zwischen den Zahlen a und 6, d. h. xn € [ a, b] Vn € N. Teilen Sie das Segment [a , b] in zwei Hälften. Dann enthält mindestens eine seiner Hälften unendlich viele Elemente der Folge, da sonst das gesamte Segment [a, b] a enthalten würde endliche Anzahl von ihnen, was unmöglich ist. Sei ] das der Hälften des Segments [a , 6], das eine unendliche Menge von Elementen der Folge (xp) enthält (oder wenn beide Hälften solche sind, dann jedes von ihnen). ). Indem wir diesen Prozess fortsetzen, konstruieren wir ein System verschachtelter Segmente, wobei bn – an = (6 – a)/2n. Nach dem Prinzip der verschachtelten Segmente gibt es zu allen diesen Segmenten einen Punkt x, der dazugehört. Dieser Punkt wird der Grenzpunkt für die Folge (xn) sein. Tatsächlich gibt es für jede e-Nachbarschaft Wx, e) = (x x + e) ​​​​des Punktes x ein Segment C U(x, e) (it Es genügt, n aus der Ungleichung ( auszuwählen, die unendlich viele Elemente der Folge (sn) enthält. Laut Definition ist 6,7 x der Grenzpunkt dieser Folge. Dann gibt es aufgrund von Satz 6.9 eine Teilfolge, die gegen den Punkt x konvergiert. Die im Beweis dieses Theorems verwendete Argumentationsmethode (manchmal auch Bolzano-Weierstrass-Lemma genannt) und mit der sukzessiven Halbierung der betrachteten Segmente verbunden ist, ist als Bolzano-Methode bekannt. Dieser Satz vereinfacht den Beweis vieler komplexer Theoreme erheblich. Es ermöglicht uns, eine Reihe wichtiger Theoreme auf andere (manchmal einfachere) Weise zu beweisen. Anhang 6.2. Beweis des Weierstrass-Tests und des Cauchy-Kriteriums Zunächst beweisen wir Aussage 6.1 (den Weierstrass-Test für die Konvergenz einer beschränkten monotonen Folge). Nehmen wir an, dass die Folge (n) nicht abnehmend ist. Dann ist die Menge ihrer Werte nach oben beschränkt und hat nach Satz 2.1 das größte Supremum, das wir mit sup(xn) bezeichnen R. Aufgrund der Eigenschaften des größten Supremums (siehe 2.7) Gemäß Definition 6.1 gilt für eine nicht abnehmende Folge oder Dann > Ny und unter Berücksichtigung von (6.34) erhalten wir 31im(sn) und lim(xn) = 66R. Wenn die Folge (xn) nicht wachsend ist, ist der Beweis ähnlich. Wir wenden uns nun dem Beweis der Hinlänglichkeit des Kochia-Kriteriums für die Konvergenz einer Folge zu (siehe Behauptung 6.3), da die Notwendigkeit der Bedingung des Kriteriums aus Satz 6.7 folgt. Die Folge (sn) sei grundlegend. Gemäß Definition 6.4 kann man bei einem beliebigen € > 0 eine Zahl N(s) finden, so dass m^N und n^N folgen. Dann erhalten wir unter der Annahme von m - N für Vn > N € £ Da die betrachtete Folge eine endliche Anzahl von Elementen mit einer Anzahl von nicht mehr als N hat, folgt aus (6.35), dass die Grundfolge beschränkt ist (zum Vergleich siehe die Beweis von Satz 6.2 über die Beschränktheit der konvergenten Folge). Für eine Menge von Werten einer beschränkten Folge gibt es Infimum- und Supremum-Grenzen (siehe Satz 2.1). Für die Wertemenge der Elemente für n > N bezeichnen wir diese Flächen mit an = inf xn bzw. bjy = sup xn. Wenn N zunimmt, nimmt die genaue Untergrenze nicht ab und die genaue Obergrenze steigt nicht, d. h. . Bekomme ich das System Eloasenna? Segmente Nach dem Prinzip der verschachtelten Segmente gibt es einen gemeinsamen Punkt, der zu allen Segmenten gehört. Bezeichnen wir es mit b. Wenn also aus dem Vergleich (6. 36) und (6.37) als Ergebnis erhalten wir, was der Definition 6.3 des Sequenzlimits entspricht, d.h. 31im(x„) und lim(sn) = 6 6 R. Bolzano begann, grundlegende Folgen zu studieren. Aber er verfügte nicht über eine strenge Theorie der reellen Zahlen und konnte daher die Konvergenz der Fundamentalfolge nicht beweisen. Dies wurde von Cauchy getan, der das Prinzip der verschachtelten Segmente als selbstverständlich annahm, das Kantor später konkretisierte. Der Cauchy-Name wurde nicht nur dem Kriterium für die Konvergenz einer Folge gegeben, sondern auch die Grundfolge wird oft als Cauchy-Folge bezeichnet, und der Cantor-Name ist das Prinzip der verschachtelten Segmente. Fragen und Aufgaben 8.1. Beweisen Sie: 6.2. Nennen Sie Beispiele für nichtkonvergente Folgen mit Elementen, die zu den Mengen Q und R\Q gehören. 0,3. Unter welchen Bedingungen bilden die Terme einer arithmetischen und geometrischen Folge eine abnehmende und steigende Folge? 6.4. Beweisen Sie die Beziehungen, die sich aus der Tabelle ergeben. 6.1. 6.5. Konstruieren Sie Beispiele für Folgen, die zu den unendlichen Punkten +oo, -oo, oo tendieren, und ein Beispiel für eine Folge, die zum Punkt 6 ∈ R konvergiert. c.e. Kann eine unbeschränkte Folge kein b.b. sein? Wenn ja, dann geben Sie ein Beispiel. um 7. Konstruieren Sie ein Beispiel für eine divergente Folge bestehend aus positiven Elementen, die weder einen endlichen noch einen unendlichen Grenzwert hat. 6.8. Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (n), die durch die rekursive Formel sn+i = sin(xn/2) unter der Bedingung „1 = 1“ gegeben ist. 6.9. Beweisen Sie, dass lim(xn)=09 gilt, wenn sn+i/xn-»g€ .

Teilen Sie das Segment [ A 0 ,B 0 ] in zwei gleiche Segmente halbieren. Mindestens eines der resultierenden Segmente enthält unendlich viele Terme in der Sequenz. Bezeichnen wir es als [ A 1 ,B 1 ] .

Im nächsten Schritt wiederholen wir den Vorgang mit dem Segment [ A 1 ,B 1 ] : Wir teilen es in zwei gleiche Segmente und wählen daraus dasjenige aus, das unendlich viele Glieder der Folge enthält. Bezeichnen wir es als [ A 2 ,B 2 ] .

Wenn wir den Prozess fortsetzen, erhalten wir eine Folge verschachtelter Segmente

wobei jedes nachfolgende die Hälfte des vorherigen ist und unendlich viele Mitglieder der Folge enthält ( X k } .

Die Längen der Segmente tendieren gegen Null:

Aufgrund des Cauchy-Cantor-Prinzips verschachtelter Segmente gibt es einen einzigen Punkt ξ, der zu allen Segmenten gehört:

Durch Konstruktion auf jedem Segment [A M ,B M ] Es gibt unendlich viele Terme in der Folge. Wählen wir nacheinander aus

unter Beachtung der Bedingung steigender Zahlen:

Dann konvergiert die Teilfolge zum Punkt ξ. Dies folgt aus der Tatsache, dass der Abstand von bis ξ die Länge des Segments, das sie enthält, nicht überschreitet [A M ,B M ] , Wo

Erweiterung auf den Fall eines Raums beliebiger Dimension

Der Satz von Bolzano-Weierstrass lässt sich leicht auf den Fall eines Raums beliebiger Dimension verallgemeinern.

Gegeben sei eine Folge von Punkten im Raum:

(Der untere Index ist die Nummer des Sequenzmitglieds, der obere ist die Koordinatennummer). Wenn die Folge von Punkten im Raum begrenzt ist, dann gilt für jede der numerischen Koordinatenfolgen:

auch begrenzt ( - Koordinatennummer).

Aufgrund der eindimensionalen Version des Bolzano-Weirstraß-Theorems aus der Folge ( X k) können wir eine Teilfolge von Punkten auswählen, deren erste Koordinaten eine konvergente Folge bilden. Aus der resultierenden Teilfolge wählen wir erneut eine Teilfolge aus, die in der zweiten Koordinate konvergiert. In diesem Fall bleibt die Konvergenz in der ersten Koordinate erhalten, da jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert. Usw.

Nach N Schritte erhalten wir eine Reihenfolge

Dies ist eine Teilfolge von und konvergiert in jeder der Koordinaten. Daraus folgt, dass diese Teilfolge konvergiert.

Geschichte

Satz von Bolzano-Weierstraß (für den Fall N= 1 ) wurde erstmals 1817 vom tschechischen Mathematiker Bolzano bewiesen. In Bolzanos Werk erschien es als Lemma im Beweis des Satzes über Zwischenwerte einer stetigen Funktion, der heute als Satz von Bolzano-Cauchy bekannt ist. Diese und andere Ergebnisse, die Bolzano lange vor Cauchy und Weierstrass bewiesen hatte, blieben jedoch unbeachtet.

Nur ein halbes Jahrhundert später entdeckte und bewies Weierstraß, unabhängig von Bozen, diesen Satz wieder. Ursprünglich Weierstrass-Theorem genannt, bevor die Arbeit von Bolzano bekannt wurde und Anerkennung fand.

Heute trägt dieser Satz die Namen Bozen und Weierstraß. Dieser Satz wird oft aufgerufen Bolzano-Weierstrass-Lemma, und manchmal Grenzpunkt-Lemma.

Der Satz von Bolzano-Weierstrass und der Begriff der Kompaktheit

Der Satz von Bolzano-Weierstrass legt die folgende interessante Eigenschaft einer beschränkten Menge fest: eine beliebige Folge von Punkten M enthält eine konvergente Teilfolge.

Beim Beweisen verschiedener Aussagen in der Analyse wird oft auf den folgenden Trick zurückgegriffen: Es wird eine Folge von Punkten bestimmt, die eine gewünschte Eigenschaft hat, und dann wird daraus eine Teilfolge ausgewählt, die diese ebenfalls besitzt, aber bereits konvergiert. Auf diese Weise wird beispielsweise der Weierstrass-Satz bewiesen, dass eine auf einem Intervall stetige Funktion beschränkt ist und ihren größten und kleinsten Wert annimmt.

Die Wirksamkeit einer solchen Technik im Allgemeinen sowie der Wunsch, den Weierstrass-Satz auf beliebige metrische Räume auszudehnen, veranlassten 1906 den französischen Mathematiker Maurice Fréchet, das Konzept einzuführen Kompaktheit. Die durch den Satz von Bolzano-Weierstrass festgelegte Eigenschaft beschränkter Mengen in ist, bildlich gesprochen, dass die Punkte der Menge ziemlich „nah“ oder „kompakt“ liegen: Nachdem wir unendlich viele Schritte entlang dieser Menge gemacht haben, sind wir Wir werden uns sicherlich so nah an ihn heranbewegen, wie wir wollen - einem Punkt im Weltraum.

Fréchet führt die folgende Definition ein: eine Menge M angerufen kompakt, oder kompakt, wenn eine Folge ihrer Punkte eine Teilfolge enthält, die zu einem Punkt dieser Menge konvergiert. Es wird davon ausgegangen, dass am Set M Die Metrik ist definiert, das heißt, sie ist es