Ist Teilung. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Division gewöhnlicher Brüche. Zuerst geben wir eine Regel zum Teilen gewöhnlicher Brüche und sehen uns Beispiele zum Teilen von Brüchen an. Als nächstes konzentrieren wir uns darauf, einen gewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl und eine Zahl durch einen Bruch zu dividieren. Überlegen Sie schließlich, wie die Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine gemischte Zahl durchgeführt wird.

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Division eines gemeinsamen Bruchs durch einen gemeinsamen Bruch

Es ist bekannt, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist (siehe den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation). Das heißt, bei der Division wird ein unbekannter Faktor gefunden, wenn das Produkt und ein weiterer Faktor bekannt sind. Derselbe Sinn für die Teilung bleibt erhalten, wenn gewöhnliche Brüche dividiert werden.

Betrachten Sie Beispiele für die Division gewöhnlicher Brüche.

Beachten Sie, dass wir die Kürzung von Brüchen und die Auswahl des ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch nicht vergessen sollten.

Division eines gemeinsamen Bruchs durch eine natürliche Zahl

Wir geben es sofort Regel für die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl: Um den Bruch a / b durch eine natürliche Zahl n zu dividieren, müssen Sie den Zähler gleich lassen und den Nenner mit n multiplizieren, dh .

Diese Teilungsregel folgt direkt aus der Teilungsregel für gewöhnliche Brüche. Tatsächlich führt die Darstellung einer natürlichen Zahl als Bruch zu den folgenden Gleichungen .

Betrachten Sie ein Beispiel für die Division eines Bruchs durch eine Zahl.

Beispiel.

Teilen Sie den Bruch 16/45 durch die natürliche Zahl 12.

Lösung.

Nach der Regel, einen Bruch durch eine Zahl zu teilen, haben wir . Machen wir die Reduktion: . Diese Teilung ist abgeschlossen.

Antworten:

.

Division einer natürlichen Zahl durch einen gemeinsamen Bruch

Die Regel zum Dividieren von Brüchen ist ähnlich Regel zum Teilen einer natürlichen Zahl durch einen gemeinsamen Bruch: Um eine natürliche Zahl n durch einen gewöhnlichen Bruch a / b zu teilen, müssen Sie die Zahl n mit dem Kehrwert des Bruchs a / b multiplizieren.

Gemäß der stimmhaften Regel und der Regel, eine natürliche Zahl mit einem gewöhnlichen Bruch zu multiplizieren, können Sie sie in der Form umschreiben.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 25 durch den Bruch 15/28.

Lösung.

Gehen wir von der Division zur Multiplikation über, wir haben . Nach Reduktion und Auswahl des ganzzahligen Teils erhalten wir .

Antworten:

.

Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine gemischte Zahl

Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine gemischte Zahl leicht auf die Division gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu reicht es aus

Ein Bruch ist ein oder mehrere Teile eines Ganzen, das normalerweise als Einheit genommen wird (1). Wie bei den natürlichen Zahlen können Sie alle Grundrechenarten mit Brüchen durchführen (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation), dazu müssen Sie die Besonderheiten der Arbeit mit Brüchen kennen und deren Typen unterscheiden. Es gibt verschiedene Arten von Brüchen: dezimal und gewöhnlich oder einfach. Jede Art von Brüchen hat ihre eigenen Besonderheiten, aber sobald Sie einmal gründlich herausgefunden haben, wie man damit umgeht, werden Sie in der Lage sein, alle Beispiele mit Brüchen zu lösen, da Sie die Grundprinzipien für arithmetische Berechnungen mit Brüchen kennen. Schauen wir uns Beispiele an, wie man einen Bruch durch eine ganze Zahl dividiert, indem man verschiedene Arten von Brüchen verwendet.

Wie dividiert man einen Bruch durch eine natürliche Zahl?
Gewöhnliche oder einfache Brüche werden als Brüche bezeichnet, die als solches Zahlenverhältnis geschrieben werden, bei dem der Dividende (Zähler) oben im Bruch und der Divisor (Nenner) des Bruchs unten angegeben ist. Wie dividiert man einen solchen Bruch durch eine ganze Zahl? Schauen wir uns ein Beispiel an! Nehmen wir an, wir müssen 8/12 durch 2 teilen.

Dazu müssen wir eine Reihe von Aktionen ausführen:
Stehen wir also vor der Aufgabe, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, sieht das Lösungsschema etwa so aus:

Ebenso kannst du jeden gewöhnlichen (einfachen) Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

Wie dividiert man eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl?
Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, der durch Teilen einer Einheit in zehn, tausend usw. Teile erhalten wird. Rechenoperationen mit Dezimalbrüchen sind recht einfach.

Betrachten Sie ein Beispiel dafür, wie ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird. Nehmen wir an, wir müssen den Dezimalbruch 0,925 durch die natürliche Zahl 5 dividieren.

Zusammenfassend konzentrieren wir uns auf zwei Hauptpunkte, die wichtig sind, wenn die Operation zum Teilen von Dezimalbrüchen durch eine ganze Zahl durchgeführt wird:

• Um einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, wird die Division in eine Spalte verwendet.
  
• ein Komma wird in den privaten eingefügt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Dividenden abgeschlossen ist.
  

Indem Sie diese einfachen Regeln anwenden, können Sie jede Dezimalzahl oder jeden Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

) und der Nenner durch den Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).

Bruchmultiplikationsformel:

Zum Beispiel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern fortfahren, müssen Sie die Möglichkeit einer Bruchkürzung prüfen. Wenn Sie es schaffen, den Bruch zu reduzieren, können Sie leichter weiterrechnen.

Division eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch.

Division von Brüchen mit einer natürlichen Zahl.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir eine ganze Zahl in einen Bruch mit einer Einheit im Nenner um. Zum Beispiel:

Multiplikation gemischter Brüche.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

• wandle gemischte Brüche in unechte um;
• multipliziere die Zähler und Nenner von Brüchen;
• wir reduzieren den Bruch;
• Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten um.

Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in die Form von unechten Brüchen bringen und dann gemäß der Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es ist bequemer, die zweite Methode zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit einer Zahl zu verwenden.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, ist es notwendig, den Nenner des Bruchs durch diese Zahl zu dividieren und den Zähler unverändert zu lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstufige Brüche.

In der High School werden oft dreistöckige (oder mehr) Fraktionen gefunden. Beispiel:

Um einen solchen Bruch auf seine übliche Form zu bringen, wird eine Division durch 2 Punkte verwendet:

Beachten Sie! Beim Teilen von Brüchen ist die Reihenfolge der Teilung sehr wichtig. Achtung, hier kommt man leicht durcheinander.

Beachten Sie, zum Beispiel:

Wenn Sie eins durch einen beliebigen Bruch dividieren, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als sich in den Berechnungen im Kopf zu verirren.

2. Gehen Sie bei Aufgaben mit verschiedenen Arten von Brüchen zur Art der gewöhnlichen Brüche.

3. Wir kürzen alle Brüche, bis eine Kürzung nicht mehr möglich ist.

4. Wir bringen mehrstufige Bruchausdrücke in gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch 2 Punkte verwenden.

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies wird der Zähler des Ergebnisses sein) und die Nenner (dies wird der Nenner sein) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:

Zum Beispiel:

Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist es in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:

In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil ist es leicht, einen Fehler zu machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:

dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch ein sehr einfacher und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es sich für Sie als nützlich erweisen! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Beachten Sie die praktischen Ratschläge, dann gibt es weniger (Fehler)!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gewöhnlichen Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen in der Prüfung als vollwertige Aufgabe mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf zu vermasseln.

2. In Beispielen mit verschiedenen Arten von Brüchen - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Antworten werden nach allen Aufgaben gegeben. Verwenden Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und die richtigen Schlüsse ziehen...

Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens die Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten geprüft. Und nur nach schau dir die Antworten an.

Berechnung:

Haben Sie sich entschieden?

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie eigens in einem Durcheinander aufgeschrieben, weg von der Versuchung sozusagen ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber das lösbar Probleme.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

1. Um den 1. Bruch durch den zweiten zu dividieren, musst du den Dividenden mit einer zum Divisor inversen Zahl multiplizieren.

Für echte und unechte Brüche gilt folgende Teilungsregel:

Um einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des Dividenden mit dem Nenner des Divisors und multiplizieren Sie den Nenner des Dividenden mit dem Zähler des Divisors. Wir nehmen das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner.

Division eines Bruchs durch einen Bruch.

Um einen gewöhnlichen Bruch mit 1 Vertiefung durch eine Sekunde ungleich Null zu dividieren, müssen Sie:

• multiplizieren Sie den Zähler des 1. Bruchs mit dem Nenner des 2. Bruchs und schreiben Sie das Produkt in den Zähler des resultierenden Bruchs;
• Multipliziere den Nenner des 1. Bruchs mit dem Zähler des 2. Bruchs und schreibe das Produkt in den Nenner des resultierenden Bruchs.

Mit anderen Worten, die Division von Brüchen geht in die Multiplikation über.

Um einen 1-Well-Bruch durch eine Sekunde zu dividieren, müssen Sie den Dividenden (1-Well-Bruch) mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Division eines Bruchs durch eine Zahl.

Schematisch sieht die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl so aus:

Um einen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, verwenden Sie die folgende Methode:

Wir drücken eine natürliche Zahl als unechten Bruch mit einem Zähler gleich der Zahl selbst und einem Nenner gleich 1 aus.