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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Kräfte und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen– Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis; sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Indikator.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Dieses Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung formalisiert wird:

2 x = 2 3
x = 3

Um eine solche Gleichung zu lösen, haben wir entfernt identische Gründe(also Zweier) und aufgeschrieben, was noch übrig war, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Fassen wir nun unsere Entscheidung zusammen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Gleichung rechts und links Basen hat. Sollten die Gründe nicht die gleichen sein, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Schauen wir uns nun ein paar Beispiele an:

Beginnen wir mit etwas Einfachem.

Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Man erhält die einfachste Gleichung.
x=4 – 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind: 3 und 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Verschieben wir zunächst die Neun auf die rechte Seite, erhalten wir:

Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2. Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Wir erhalten 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nun ist klar, dass auf der linken und rechten Seite die Basen gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 erhalten wir die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen zwei und vier. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Wir transformieren die vier mit der Formel (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Zur Gleichung hinzufügen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber die anderen Zahlen 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholt haben. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die gesamte Gleichung durch 6:

Stellen wir uns 4=2 2 vor:

2 2x = 2 2 Basen sind gleich, wir verwerfen sie und setzen die Grade gleich.
2x = 2 ist die einfachste Gleichung. Teilen Sie es durch 2 und wir erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich drei. In diesem Beispiel können Sie sehen, dass die ersten drei einen doppelten Grad haben (2x) als der zweite (nur x). In diesem Fall können Sie es lösen Ersatzmethode. Wir ersetzen die Zahl durch den kleinsten Grad:

Dann ist 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Wir ersetzen alle x Potenzen in der Gleichung durch t:

t 2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Zurück zur Variablen X.

Nimm t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 = 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Bereich HELP DECIDE Ihre Fragen stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

Tritt der Gruppe bei

Im Allgemeinen kann eine Gleichung mit einem Grad größer als 4 nicht in Radikalen gelöst werden. Aber manchmal können wir immer noch die Wurzeln eines Polynoms auf der linken Seite in einer Gleichung höchsten Grades finden, wenn wir es als Produkt von Polynomen mit einem Grad von nicht mehr als 4 darstellen. Die Lösung solcher Gleichungen basiert auf der Faktorisierung eines Polynoms. Wir empfehlen Ihnen daher, dieses Thema durchzulesen, bevor Sie diesen Artikel lesen.

Am häufigsten handelt es sich um Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. In diesen Fällen können wir versuchen, rationale Wurzeln zu finden und dann das Polynom zu faktorisieren, um es dann in eine Gleichung niedrigeren Grades umzuwandeln, die leicht zu lösen ist. In diesem Material werden wir uns genau solche Beispiele ansehen.

Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten

Alle Gleichungen der Form a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 können wir eine Gleichung gleichen Grades erstellen, indem wir beide Seiten mit a n n - 1 multiplizieren und eine variable Änderung der Form y = a n x vornehmen:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Die resultierenden Koeffizienten sind ebenfalls ganzzahlig. Daher müssen wir die reduzierte Gleichung n-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten der Form x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 lösen.

Wir berechnen die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung. Wenn die Gleichung ganzzahlige Wurzeln hat, müssen Sie diese unter den Teilern des freien Termes a 0 suchen. Schreiben wir sie auf, setzen sie nacheinander in die ursprüngliche Gleichheit ein und überprüfen das Ergebnis. Sobald wir die Identität erhalten und eine der Wurzeln der Gleichung gefunden haben, können wir sie in der Form x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 schreiben. Hier ist x 1 die Wurzel der Gleichung und P n - 1 (x) ist der Quotient aus x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dividiert durch x - x 1 .

Wir ersetzen die restlichen ausgeschriebenen Teiler in P n - 1 (x) = 0, beginnend mit x 1, da die Wurzeln wiederholt werden können. Nach Erhalt der Identität gilt die Wurzel x 2 als gefunden und die Gleichung kann in der Form (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 geschrieben werden. Hier gilt P n - 2 (x) ist der Quotient aus der Division von P n - 1 (x) durch x - x 2.

Wir sortieren weiterhin die Divisoren. Finden wir alle ganzen Wurzeln und bezeichnen ihre Zahl als m. Danach kann die ursprüngliche Gleichung als x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 dargestellt werden. Hier ist P n - m (x) ein Polynom vom Grad n - m. Für die Berechnung ist es zweckmäßig, das Horner-Schema zu verwenden.

Wenn unsere ursprüngliche Gleichung ganzzahlige Koeffizienten hat, können wir letztendlich keine gebrochenen Wurzeln erhalten.

Am Ende haben wir die Gleichung P n - m (x) = 0 erhalten, deren Wurzeln auf jede bequeme Weise gefunden werden können. Sie können irrational oder komplex sein.

Lassen Sie uns anhand eines konkreten Beispiels zeigen, wie dieses Lösungsschema verwendet wird.

Beispiel 1

Zustand: Finden Sie die Lösung der Gleichung x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Lösung

Beginnen wir damit, ganze Wurzeln zu finden.

Wir haben einen freien Term gleich minus drei. Es hat Teiler gleich 1, - 1, 3 und - 3. Setzen wir sie in die ursprüngliche Gleichung ein und sehen wir, welche davon die resultierenden Identitäten ergeben.

Wenn x gleich eins ist, erhalten wir 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, was bedeutet, dass eins die Wurzel dieser Gleichung sein wird.

Teilen wir nun das Polynom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 durch (x - 1) in einer Spalte:

Also x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Wir haben eine Identität, was bedeutet, dass wir eine andere Wurzel der Gleichung gefunden haben, gleich - 1.

Teilen Sie das Polynom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 durch (x + 1) in einer Spalte:

Wir verstehen das

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Wir setzen den nächsten Teiler in die Gleichheit x 2 + x + 3 = 0 ein, beginnend bei - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Die resultierenden Gleichungen sind falsch, was bedeutet, dass die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln mehr hat.

Die verbleibenden Wurzeln sind die Wurzeln des Ausdrucks x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Daraus folgt, dass dieses quadratische Trinom keine reellen Wurzeln hat, sondern komplex konjugierte: x = - 1 2 ± i 11 2.

Lassen Sie uns klarstellen, dass anstelle der Aufteilung in eine Spalte das Horner-Schema verwendet werden kann. Das geht so: Nachdem wir die erste Wurzel der Gleichung ermittelt haben, füllen wir die Tabelle aus.

In der Koeffiziententabelle können wir sofort die Koeffizienten des Quotienten der Polynomdivision sehen, das heißt x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Nachdem wir die nächste Wurzel gefunden haben, die -1 ist, erhalten wir Folgendes:

Antwort: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Beispiel 2

Zustand: Lösen Sie die Gleichung x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Lösung

Der freie Term hat die Teiler 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Schauen wir sie uns der Reihe nach an:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Das bedeutet, dass x = 2 die Wurzel der Gleichung sein wird. Teilen Sie x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 durch x - 2 mit dem Horner-Schema:

Als Ergebnis erhalten wir x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Dies bedeutet, dass 2 wieder die Wurzel sein wird. Teilen Sie x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 durch x - 2:

Als Ergebnis erhalten wir (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Die Überprüfung der verbleibenden Teiler macht keinen Sinn, da die Gleichheit x 2 + 3 x + 3 = 0 schneller und bequemer mit der Diskriminante zu lösen ist.

Lösen wir die quadratische Gleichung:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Wir erhalten ein komplex konjugiertes Wurzelpaar: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Antwort: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Beispiel 3

Zustand: Finden Sie die echten Wurzeln für die Gleichung x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Lösung

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Wir multiplizieren 2 3 auf beiden Seiten der Gleichung:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Ersetzen Sie Variablen y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Als Ergebnis haben wir eine Standardgleichung 4. Grades erhalten, die nach dem Standardschema gelöst werden kann. Schauen wir uns die Teiler an, dividieren und stellen schließlich fest, dass es zwei reelle Wurzeln y = - 2, y = 3 und zwei komplexe Wurzeln hat. Wir werden hier nicht die gesamte Lösung vorstellen. Aufgrund der Substitution sind die tatsächlichen Wurzeln dieser Gleichung x = y 2 = - 2 2 = - 1 und x = y 2 = 3 2.

Antwort: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

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Lassen Sie uns überlegen Gleichungen lösen, bei denen eine Variable einen höheren Grad als die zweite hat.

Der Grad der Gleichung P(x) = 0 ist der Grad des Polynoms P(x), d.h. die größte Potenz seiner Terme mit einem Koeffizienten ungleich Null.

So hat beispielsweise die Gleichung (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 den fünften Grad, weil Nach den Operationen des Öffnens der Klammern und des Einfügens ähnlicher Klammern erhalten wir die äquivalente Gleichung x 5 – 2x 3 + 3 = 0 fünften Grades.

Erinnern wir uns an die Regeln, die zum Lösen von Gleichungen mit höherem Grad als zwei erforderlich sind.

Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms und seiner Teiler:

1. Ein Polynom n-ten Grades hat eine Anzahl von Wurzeln, die n nicht überschreitet, und Wurzeln der Multiplizität m kommen genau m-mal vor.

2. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Wurzel.

3. Wenn α die Wurzel von P(x) ist, dann ist P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), wobei Q n – 1 (x) ein Polynom vom Grad (n – 1) ist. .

4.

5. Das reduzierte Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten kann keine gebrochenen rationalen Wurzeln haben.

6. Für ein Polynom dritten Grades

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Eines von zwei Dingen ist möglich: Entweder wird es in das Produkt von drei Binomialen zerlegt

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ) oder zerfällt in das Produkt eines Binomials und eines quadratischen Trinoms Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Jedes Polynom vierten Grades kann zum Produkt zweier quadratischer Trinome entwickelt werden.

8. Ein Polynom f(x) ist durch ein Polynom g(x) ohne Rest teilbar, wenn es ein Polynom q(x) mit f(x) = g(x) · q(x) gibt. Um Polynome zu dividieren, wird die Regel der „Eckendivision“ verwendet.

9. Damit das Polynom P(x) durch ein Binomial (x – c) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl c die Wurzel von P(x) ist (Korollar des Satzes von Bezout).

10. Satz von Vieta: Wenn x 1, x 2, ..., x n reelle Wurzeln des Polynoms sind

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, dann gelten die folgenden Gleichungen:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Beispiele lösen

Beispiel 1.

Finden Sie den Rest der Division P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 durch (x – 1/3).

Lösung.

Als Konsequenz aus Bezouts Theorem: „Der Rest eines Polynoms dividiert durch ein Binomial (x – c) ist gleich dem Wert des Polynoms von c.“ Finden wir P(1/3) = 0. Daher ist der Rest 0 und die Zahl 1/3 ist die Wurzel des Polynoms.

Antwort: R = 0.

Beispiel 2.

Teilen Sie mit einer „Ecke“ 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 durch (x + 2). Finden Sie den Rest und den unvollständigen Quotienten.

Lösung:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Antwort: R = 3; Quotient: 2x 2 – x.

Grundlegende Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades

1. Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist bereits am Beispiel biquadratischer Gleichungen bekannt. Es besteht darin, dass zur Lösung der Gleichung f(x) = 0 eine neue Variable (Substitution) t = x n oder t = g(x) eingeführt und f(x) durch t ausgedrückt wird, wodurch eine neue Gleichung r entsteht (T). Dann löst man die Gleichung r(t) und findet die Wurzeln:

(t 1, t 2, …, t n). Danach wird ein Satz von n Gleichungen q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n erhalten, aus denen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gefunden werden.

Beispiel 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Lösung:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substitution (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Umgekehrte Substitution:

x 2 + x + 1 = 2 oder x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 oder x 2 + x = 0;

Antwort: Aus der ersten Gleichung: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, aus der zweiten: 0 und -1.

2. Faktorisierung durch Gruppierung und abgekürzte Multiplikationsformeln

Die Grundlage dieser Methode ist ebenfalls nicht neu und besteht darin, Begriffe so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor enthält. Um dies zu erreichen, ist es manchmal notwendig, künstliche Techniken anzuwenden.

Beispiel 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Lösung.

Stellen wir uns vor - 3x 2 = -2x 2 – x 2 und gruppieren:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 oder x 2 + x – 3 = 0.

Antwort: In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, in der zweiten: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorisierung nach der Methode unbestimmter Koeffizienten

Der Kern der Methode besteht darin, dass das ursprüngliche Polynom mit unbekannten Koeffizienten faktorisiert wird. Mithilfe der Eigenschaft, dass Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten bei gleichen Potenzen gleich sind, werden die unbekannten Entwicklungskoeffizienten ermittelt.

Beispiel 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Lösung.

Ein Polynom vom Grad 3 lässt sich zum Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren entwickeln.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Nachdem ich das System gelöst habe:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, d. h.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Die Wurzeln der Gleichung (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sind leicht zu finden.

Antwort 1; -2.

4. Methode zur Auswahl einer Wurzel unter Verwendung des höchsten und freien Koeffizienten

Die Methode basiert auf der Anwendung der Theoreme:

1) Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Termes.

2) Damit der irreduzible Bruch p/q (p – ganzzahlig, q – natürlich) die Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, muss die Zahl p ein ganzzahliger Teiler des freien Termes a 0 sein und q – ein natürlicher Teiler des führenden Koeffizienten.

Beispiel 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Lösung:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Daher ist p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Nachdem wir beispielsweise eine Wurzel gefunden haben – 2, werden wir andere Wurzeln mithilfe der Eckdivision, der Methode der unbestimmten Koeffizienten oder dem Horner-Schema finden.

Antwort: -2; 1/2; 1/3.

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Klasse: 9

Grundlegende Ziele:

1. Verstärken Sie das Konzept einer vollständigen rationalen Gleichung 4. Grades.
2. Formulieren Sie die grundlegenden Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades (Nr > 3).
3. Vermitteln Sie grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen höherer Ordnung.
4. Lernen Sie, den Gleichungstyp zu verwenden, um die effektivste Lösungsmethode zu ermitteln.

Formen, Methoden und pädagogische Techniken, die der Lehrer im Unterricht verwendet:

• Vorlesungs-Seminar-Lehrsystem (Vorlesungen – Erläuterung neuer Materialien, Seminare – Problemlösung).
• Informations- und Kommunikationstechnologien (Frontalbefragung, mündliche Arbeit mit der Klasse).
• Differenziertes Lernen, Gruppen- und Einzelformen.
• Einsatz einer Forschungsmethode in der Lehre, die darauf abzielt, den mathematischen Apparat und die Denkfähigkeit jedes einzelnen Studierenden zu entwickeln.
• Gedrucktes Material – eine individuelle kurze Zusammenfassung der Lektion (grundlegende Konzepte, Formeln, Aussagen, Vorlesungsmaterial, komprimiert in Form von Diagrammen oder Tabellen).

Unterrichtsplan:

1. Zeit organisieren.
   Der Zweck der Bühne: Einbeziehung der Schüler in Bildungsaktivitäten, Festlegung des Unterrichtsinhalts.
2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.
   Der Zweck der Phase besteht darin, das Wissen der Studierenden über zuvor untersuchte verwandte Themen zu aktualisieren
3. Ein neues Thema studieren (Vorlesung). Ziel der Stufe: Formulierung der grundlegenden Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades (Nr > 3)
4. Zusammenfassend.
   Der Zweck der Bühne: die Kernpunkte des im Unterricht behandelten Stoffes noch einmal hervorzuheben.
5. Hausaufgaben.
   Der Zweck der Bühne: Hausaufgaben für Schüler zu formulieren.

Zusammenfassung der Lektion

1. Organisatorischer Moment.

Formulierung des Unterrichtsthemas: „Gleichungen höherer Potenzen. Methoden zu ihrer Lösung.“

2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.

Theoretische Umfrage – Gespräch. Wiederholung einiger zuvor untersuchter Informationen aus der Theorie. Die Studierenden formulieren grundlegende Definitionen und formulieren die notwendigen Theoreme. Geben Sie Beispiele, um den Stand der bereits erworbenen Kenntnisse zu demonstrieren.

• Das Konzept einer Gleichung mit einer Variablen.
• Das Konzept der Wurzel einer Gleichung, der Lösung einer Gleichung.
• Das Konzept einer linearen Gleichung mit einer Variablen, das Konzept einer quadratischen Gleichung mit einer Variablen.
• Das Konzept der Äquivalenz von Gleichungen, Gleichungsfolgen (das Konzept der Fremdwurzeln), Übergang nicht durch Folge (der Fall des Wurzelverlusts).
• Das Konzept eines ganzen rationalen Ausdrucks mit einer Variablen.
• Das Konzept einer ganzen rationalen Gleichung N Abschluss. Standardform einer ganzen rationalen Gleichung. Reduzierte ganze rationale Gleichung.
• Übergang zu einem Satz von Gleichungen niedrigeren Grades durch Faktorisieren der ursprünglichen Gleichung.
• Das Konzept eines Polynoms N Abschluss von X. Satz von Bezout. Folgerungen aus dem Satz von Bezout. Wurzelsätze ( Z-Wurzeln und Q-Wurzeln) einer gesamten rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten (reduziert bzw. nicht reduziert).
• Horners Plan.

3. Ein neues Thema studieren.

Wir werden die gesamte rationale Gleichung betrachten N-te Potenz der Standardform mit einer unbekannten Variablen x:Pn(x)= 0, wo P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– Polynom N Abschluss von X, A n ≠ 0. Wenn A n = 1, dann heißt eine solche Gleichung eine reduzierte ganzzahlige rationale Gleichung N Abschluss. Betrachten wir solche Gleichungen für verschiedene Werte N und listen Sie die wichtigsten Methoden zu ihrer Lösung auf.

N= 1 – lineare Gleichung.

N= 2 – quadratische Gleichung. Diskriminanzformel. Formel zur Berechnung von Wurzeln. Satz von Vieta. Ein vollständiges Quadrat auswählen.

N= 3 – kubische Gleichung.

Gruppierungsmethode.

Beispiel: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Reziproke kubische Gleichung der Form Axt 3 + bx 2 + bx + A= 0. Wir lösen, indem wir Terme mit denselben Koeffizienten kombinieren.

Beispiel: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Auswahl der Z-Wurzeln basierend auf dem Satz. Horners Plan. Bei der Anwendung dieser Methode muss betont werden, dass die Suche in diesem Fall endlich ist und wir die Wurzeln mithilfe eines bestimmten Algorithmus gemäß dem Satz auswählen Z-Wurzeln der gegebenen ganzen rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Beispiel: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Die Gleichung ist gegeben. Schreiben wir die Teiler des freien Termes auf ( + 1; + 3; + 5; + 15). Wenden wir Horners Schema an:

	X 3	X 2	X 1	X 0	Abschluss
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – Wurzel
	X 2	X 1	X 0

Wir bekommen ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln basierend auf dem Satz. Horners Plan. Bei der Anwendung dieser Methode ist zu betonen, dass die Suche in diesem Fall endlich ist und wir die Wurzeln mit einem bestimmten Algorithmus gemäß dem Satz über auswählen Q-Wurzeln einer nichtreduzierten ganzzahligen rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Beispiel: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Die Gleichung ist nicht reduziert. Schreiben wir die Teiler des freien Termes auf ( + 1; + 3). Schreiben wir die Teiler des Koeffizienten mit der höchsten Potenz der Unbekannten auf. ( + 1; + 3; + 9) Folglich werden wir nach Wurzeln zwischen den Werten suchen ( + 1; + ; + ; + 3). Wenden wir Horners Schema an:

	X 3	X 2	X 1	X 0	Abschluss
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – keine Wurzel
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – keine Wurzel
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	Wurzel
	X 2	X 1	X 0

Wir bekommen ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Zur einfacheren Berechnung bei der Auswahl von Q -Wurzeln Es kann praktisch sein, eine Variable zu ändern, zur gegebenen Gleichung zu gehen und Z auszuwählen -Wurzeln.

• Wenn der Dummy-Term 1 ist

.

• Wenn Sie einen Ersatz des Formulars verwenden können y = kx

.

Cardano-Formel. Es gibt eine universelle Methode zur Lösung kubischer Gleichungen – die Cardano-Formel. Diese Formel ist mit den Namen der italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557) und Scipione del Ferro (1465–1526) verbunden. Diese Formel geht über den Rahmen unseres Kurses hinaus.

N= 4 – Gleichung vierten Grades.

Gruppierungsmethode.

Beispiel: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Methode zum Ersetzen von Variablen.

• Biquadratische Gleichung der Form Axt 4 + bx 2 + s = 0 .

Beispiel: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Ersatz j = X 2. Von hier j 1 = 4, j 2 = -9. Deshalb X 1,2 = + 2 .

• Reziproke Gleichung vierten Grades der Form Axt 4 + bx 3+c X 2 + bx + A = 0.

Wir lösen, indem wir Terme mit denselben Koeffizienten kombinieren, indem wir die Form ersetzen

• Axt 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

• Verallgemeinerte wiederkehrende Gleichung vierten Grades der Form Axt 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Allgemeiner Ersatz. Einige Standardersatzteile.

Beispiel 3 . Gesamtansicht Ersatz(ergibt sich aus der Art der konkreten Gleichung).

N = 3.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln N = 3.

Allgemeine Formel. Es gibt eine universelle Methode zum Lösen von Gleichungen vierten Grades. Diese Formel ist mit dem Namen Ludovico Ferrari (1522–1565) verbunden. Diese Formel geht über den Rahmen unseres Kurses hinaus.

N > 5 – Gleichungen fünften und höheren Grades.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl der Z-Wurzeln basierend auf dem Satz. Horners Plan. Der Algorithmus ähnelt dem oben besprochenen N = 3.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln basierend auf dem Satz. Horners Plan. Der Algorithmus ähnelt dem oben besprochenen N = 3.

Symmetrische Gleichungen. Jede reziproke Gleichung ungeraden Grades hat eine Wurzel X= -1 und nach der Faktorisierung in Faktoren stellen wir fest, dass ein Faktor die Form ( X+ 1) und der zweite Faktor ist eine reziproke Gleichung geraden Grades (ihr Grad ist um eins kleiner als der Grad der ursprünglichen Gleichung). Jede reziproke Gleichung geraden Grades zusammen mit einer Wurzel der Form x = φ enthält auch die Wurzel der Art. Mit diesen Aussagen lösen wir das Problem, indem wir den Grad der untersuchten Gleichung senken.

Methode zum Ersetzen von Variablen. Verwendung von Homogenität.

Es gibt keine allgemeine Formel zur Lösung ganzer Gleichungen fünften Grades (dies wurde vom italienischen Mathematiker Paolo Ruffini (1765–1822) und dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) gezeigt) und höheren Grads (dies wurde gezeigt von). Französischer Mathematiker Evariste Galois (1811–1832) )).

• Erinnern wir uns noch einmal daran, dass es in der Praxis möglich ist, es zu verwenden Kombinationen die oben aufgeführten Methoden. Es ist praktisch, zu einem Satz von Gleichungen niedrigeren Grades überzugehen Faktorisieren der ursprünglichen Gleichung.
• Außerhalb des Rahmens unserer heutigen Diskussion liegen diejenigen, die in der Praxis weit verbreitet sind. Grafische Methoden Gleichungen lösen und Näherungslösungsmethoden Gleichungen höheren Grades.
• Es gibt Situationen, in denen die Gleichung keine R-Wurzeln hat.
Dann besteht die Lösung darin, zu zeigen, dass die Gleichung keine Wurzeln hat. Um dies zu beweisen, analysieren wir das Verhalten der betrachteten Funktionen auf Monotonieintervallen. Beispiel: Gleichung X 8 – X 3 + 1 = 0 hat keine Wurzeln.
• Nutzung der Eigenschaft der Monotonie von Funktionen
. Es gibt Situationen, in denen Sie die Aufgabe durch die Verwendung verschiedener Eigenschaften von Funktionen vereinfachen können.
Beispiel 1: Gleichung X 5 + 3X– 4 = 0 hat eine Wurzel X= 1. Aufgrund der Monotonieeigenschaft der analysierten Funktionen gibt es keine anderen Wurzeln.
Beispiel 2: Gleichung X 4 + (X– 1) 4 = 97 hat Wurzeln X 1 = -2 und X 2 = 3. Nachdem wir das Verhalten der entsprechenden Funktionen auf Intervallen der Monotonie analysiert haben, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine anderen Wurzeln gibt.

4. Zusammenfassung.

Zusammenfassung: Jetzt beherrschen wir die grundlegenden Methoden zur Lösung verschiedener Gleichungen höheren Grades (für n). > 3). Unsere Aufgabe ist es zu lernen, wie man die oben aufgeführten Algorithmen effektiv nutzt. Abhängig von der Art der Gleichung müssen wir lernen, zu bestimmen, welche Lösungsmethode in einem bestimmten Fall die effektivste ist, und die gewählte Methode richtig anzuwenden.

5. Hausaufgaben.

: Absatz 7, S. 164–174, Nr. 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Mögliche Themen für Berichte oder Abstracts zu diesem Thema:

• Cardano-Formel
• Grafische Methode zum Lösen von Gleichungen. Beispiele für Lösungen.
• Methoden zur Näherungslösung von Gleichungen.

Analyse des studentischen Lernens und des Interesses am Thema:

Die Erfahrung zeigt, dass das Interesse der Studierenden vor allem durch die Möglichkeit zur Auswahl geweckt wird Z-Wurzeln und Q-Wurzeln von Gleichungen mithilfe eines ziemlich einfachen Algorithmus, der das Horner-Schema verwendet. Darüber hinaus interessieren sich Studierende für verschiedene Standardarten der Substitution von Variablen, die die Art des Problems deutlich vereinfachen können. Von besonderem Interesse sind in der Regel grafische Lösungsverfahren. In diesem Fall können Sie Probleme zusätzlich mit einer grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen analysieren; Besprechen Sie die allgemeine Form des Graphen für ein Polynom vom Grad 3, 4, 5; Analysieren Sie, wie die Anzahl der Wurzeln von Gleichungen von 3, 4, 5 Grad mit dem Aussehen des entsprechenden Diagramms zusammenhängt. Nachfolgend finden Sie eine Liste von Büchern, in denen Sie zusätzliche Informationen zu diesem Thema finden.

Referenzliste:

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3. Vygodsky M.Ya.„Handbuch der Mathematik“ – M., AST, 2010 – 1055 S.
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7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Thematische Tests zur Systematisierung von Wissen in der Mathematik“ Teil 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 S.
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9. Ivanov A.P.„Tests und Tests in Mathematik. Lernprogramm". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 S.
10. Leibson K.L.„Sammlung praktischer Aufgaben in der Mathematik. Teil 2–9 Klassen“ – M., MTSNM, 2009 – 184 S.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Zusätzliche Kapitel zum Schulbuch der 9. Klasse. Ein Lehrbuch für Schüler in Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium.“ – M., Bildung, 2006 – 224 S.
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