In diesem Artikel finden wir Antworten auf Fragen dazu, wie man eine Projektion eines Punktes auf eine Ebene erstellt und wie man die Koordinaten dieser Projektion bestimmt. Im theoretischen Teil stützen wir uns auf das Konzept der Projektion. Wir definieren die Begriffe und informieren mit Bildern. Lassen Sie uns das erworbene Wissen durch das Lösen von Beispielen festigen.

Projektion, Projektionsarten

Um die Betrachtung räumlicher Figuren zu erleichtern, werden Zeichnungen verwendet, die diese Figuren darstellen.

Definition 1

Projektion einer Figur auf eine Ebene– Zeichnung einer räumlichen Figur.

Offensichtlich gibt es eine Reihe von Regeln, die zum Erstellen einer Projektion verwendet werden.

Definition 2

Projektion– der Prozess der Konstruktion einer Zeichnung einer räumlichen Figur auf einer Ebene unter Verwendung von Konstruktionsregeln.

Projektionsebene- Dies ist die Ebene, in der das Bild aufgebaut ist.

Die Anwendung bestimmter Regeln bestimmt die Art der Projektion: zentral oder parallel.

Ein Sonderfall der Parallelprojektion ist die Senkrechtprojektion oder Orthogonalprojektion: In der Geometrie wird sie hauptsächlich verwendet. Aus diesem Grund wird das Adjektiv „senkrecht“ selbst in der Sprache oft weggelassen: In der Geometrie sagt man einfach „Projektion einer Figur“ und meint damit die Konstruktion einer Projektion nach der Methode der senkrechten Projektion. In besonderen Fällen kann selbstverständlich auch etwas anderes vereinbart werden.

Beachten wir die Tatsache, dass die Projektion einer Figur auf eine Ebene im Wesentlichen eine Projektion aller Punkte dieser Figur ist. Um eine räumliche Figur in einer Zeichnung studieren zu können, ist es daher notwendig, sich die grundlegende Fähigkeit anzueignen, einen Punkt auf eine Ebene zu projizieren. Worüber wir weiter unten sprechen werden.

Erinnern wir uns daran, dass in der Geometrie am häufigsten von der Projektion auf eine Ebene die Verwendung einer senkrechten Projektion gemeint ist.

Lassen Sie uns Konstruktionen erstellen, die uns die Möglichkeit geben, eine Definition der Projektion eines Punktes auf eine Ebene zu erhalten.

Nehmen wir an, ein dreidimensionaler Raum ist gegeben und darin gibt es eine Ebene α und einen Punkt M 1, der nicht zur Ebene α gehört. Zeichnen Sie eine Gerade durch den angegebenen Punkt M A senkrecht zu einer gegebenen Ebene α. Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Geraden a und der Ebene α als H 1; konstruktionsbedingt dient er als Basis einer Senkrechten, die vom Punkt M 1 zur Ebene α fällt.

Wenn ein Punkt M 2 gegeben ist, der zu einer gegebenen Ebene α gehört, dann dient M 2 als Projektion seiner selbst auf die Ebene α.

Definition 3

- Dies ist entweder der Punkt selbst (sofern er zu einer bestimmten Ebene gehört) oder die Basis einer Senkrechten, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene fällt.

Ermitteln der Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine Ebene, Beispiele

Im dreidimensionalen Raum sei Folgendes gegeben: ein rechteckiges Koordinatensystem O x y z, eine Ebene α, ein Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 auf eine gegebene Ebene zu finden.

Die Lösung ergibt sich offensichtlich aus der oben gegebenen Definition der Projektion eines Punktes auf eine Ebene.

Bezeichnen wir die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene α als H 1 . Laut Definition ist H 1 der Schnittpunkt einer gegebenen Ebene α und einer Geraden a, die durch den Punkt M 1 (senkrecht zur Ebene) gezogen wird. Diese. Die Koordinaten der Projektion des Punktes M1, die wir benötigen, sind die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden a und der Ebene α.

Um die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine Ebene zu ermitteln, ist es daher erforderlich:

Erhalten Sie die Gleichung der Ebene α (falls nicht angegeben). Hier hilft Ihnen ein Artikel über die Arten von Ebenengleichungen weiter;

Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden a, die durch den Punkt M 1 verläuft und senkrecht zur Ebene α verläuft (studieren Sie das Thema über die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene verläuft);

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden a und der Ebene α (Artikel - Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene und der Geraden). Die erhaltenen Daten sind die Koordinaten, die wir für die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene α benötigen.

Schauen wir uns die Theorie anhand praktischer Beispiele an.

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Koordinaten der Projektion von Punkt M 1 (- 2, 4, 4) auf die Ebene 2 x – 3 y + z – 2 = 0.

Lösung

Wie wir sehen, ist uns die Gleichung der Ebene gegeben, d.h. Es besteht keine Notwendigkeit, es zu kompilieren.

Schreiben wir die kanonischen Gleichungen einer Geraden a auf, die durch den Punkt M 1 und senkrecht zur gegebenen Ebene verläuft. Zu diesem Zweck bestimmen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a. Da die Linie a senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht, ist der Richtungsvektor der Linie a der Normalenvektor der Ebene 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Auf diese Weise, a → = (2, - 3, 1) – Richtungsvektor der Geraden a.

Stellen wir nun die kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum auf, die durch den Punkt M 1 (- 2, 4, 4) verläuft und einen Richtungsvektor hat a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Um die benötigten Koordinaten zu finden, besteht der nächste Schritt darin, die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 und der Ebene zu bestimmen 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Zu diesem Zweck gehen wir von den kanonischen Gleichungen zu den Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen über:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Erstellen wir ein Gleichungssystem:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Und lösen wir es mit der Cramer-Methode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Somit sind die erforderlichen Koordinaten eines gegebenen Punktes M 1 auf einer gegebenen Ebene α: (0, 1, 5).

Antwort: (0 , 1 , 5) .

Beispiel 2

In einem rechteckigen Koordinatensystem O x y z des dreidimensionalen Raums sind Punkte A (0, 0, 2) gegeben; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) und M 1 (-1, -2, 5). Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion M 1 auf die Ebene A B C zu finden

Lösung

Zunächst schreiben wir die Gleichung einer Ebene auf, die durch drei gegebene Punkte verläuft:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Schreiben wir die parametrischen Gleichungen der Geraden a auf, die durch den Punkt M 1 senkrecht zur Ebene A B C verläuft. Die Ebene x – 2 y + 2 z – 4 = 0 hat einen Normalenvektor mit den Koordinaten (1, - 2, 2), d.h. Vektor a → = (1, - 2, 2) – Richtungsvektor der Geraden a.

Nachdem wir nun die Koordinaten des Punktes der Geraden M 1 und die Koordinaten des Richtungsvektors dieser Geraden haben, schreiben wir die parametrischen Gleichungen der Geraden im Raum:

Dann bestimmen wir die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene x – 2 y + 2 z – 4 = 0 und der Geraden

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Dazu setzen wir in die Gleichung der Ebene ein:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Unter Verwendung der parametrischen Gleichungen x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ ermitteln wir nun die Werte der Variablen x, y und z für λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Somit hat die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene A B C die Koordinaten (- 2, 0, 3).

Antwort: (- 2 , 0 , 3) .

Lassen Sie uns gesondert auf die Frage eingehen, die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf Koordinatenebenen und Ebenen zu finden, die parallel zu Koordinatenebenen liegen.

Gegeben seien die Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und die Koordinatenebenen O x y, O x z und O y z. Die Koordinaten der Projektion dieses Punktes auf diese Ebenen lauten jeweils: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) und (0, y 1, z 1). Betrachten wir auch Ebenen parallel zu den angegebenen Koordinatenebenen:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Und die Projektionen eines gegebenen Punktes M 1 auf diese Ebenen sind Punkte mit den Koordinaten x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 und - D A, y 1, z 1.

Lassen Sie uns demonstrieren, wie dieses Ergebnis erzielt wurde.

Definieren wir als Beispiel die Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf die Ebene A x + D = 0. Die übrigen Fälle sind ähnlich.

Die gegebene Ebene ist parallel zur Koordinatenebene O y z und i → = (1, 0, 0) ist ihr Normalenvektor. Derselbe Vektor dient als Richtungsvektor der Linie senkrecht zur Oyz-Ebene. Dann haben die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 und senkrecht zu einer gegebenen Ebene gezogen wird, die Form:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Finden wir die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linie und der gegebenen Ebene. Setzen wir zunächst die Gleichungen in die Gleichung A x + D = 0 ein: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 und erhalten: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Dann berechnen wir die benötigten Koordinaten anhand der parametrischen Gleichungen der Geraden mit λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Das heißt, die Projektion des Punktes M 1 (x 1, y 1, z 1) auf die Ebene ist ein Punkt mit den Koordinaten - D A, y 1, z 1.

Beispiel 2

Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (- 6, 0, 1 2) auf die Koordinatenebene O x y und auf die Ebene 2 y - 3 = 0 zu bestimmen.

Lösung

Die Koordinatenebene O x y entspricht der unvollständigen allgemeinen Gleichung der Ebene z = 0. Die Projektion des Punktes M 1 auf die Ebene z = 0 hat Koordinaten (- 6, 0, 0).

Die Ebenengleichung 2 y - 3 = 0 kann als y = 3 2 2 geschrieben werden. Schreiben Sie nun einfach die Koordinaten der Projektion des Punktes M 1 (- 6, 0, 1 2) auf die Ebene y = 3 2 2 auf:

6 , 3 2 2 , 1 2

Antwort:(- 6 , 0 , 0) und - 6 , 3 2 2 , 1 2

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Finden Sie den spitzen Winkel zwischen den Diagonalen eines aus Vektoren konstruierten Parallelogramms

5) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors c, der entlang der Winkelhalbierenden zwischen den Vektoren a und b gerichtet ist, wenn Vektor c = 3 Wurzeln von 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Finden wir den Einheitsvektor e_a kodirektional mit a:

ähnlich e_b = b/|b|,

dann wird der gewünschte Vektor genauso gerichtet sein wie die Vektorsumme e_a+e_b, weil (e_a+e_b) ist die Diagonale einer Raute, also Halbierende seines Winkels.

Bezeichnen wir (e_a+e_b)=d,

Suchen wir einen Einheitsvektor, der entlang der Winkelhalbierenden gerichtet ist: e_c = d/|d|

Wenn |c| = 3*sqrt(42), dann c = |c|*e_c. Das ist alles.

Finden Sie die lineare Beziehung zwischen diesen vier nichtkoplanaren Vektoren: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Versuchen Sie, aus den ersten drei Gleichungen „a,b,c“ durch „p,q,r“ auszudrücken (fügen Sie zunächst die zweite und dritte Gleichung hinzu). Ersetzen Sie dann „b“ und „c“ in der letzten Gleichung durch die Ausdrücke, die Sie in Form von „p,q,r“ gefunden haben.

13) Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(2, -1, 4) und B(3, 2, -1) senkrecht zur Ebene x + y + 2z – 3 = 0 verläuft. Die erforderliche Gleichung der Ebene hat die Form: Ax + By + Cz + D = 0, der Normalenvektor zu dieser Ebene (A, B, C). Der Vektor (1, 3, -5) gehört zur Ebene. Die uns gegebene Ebene senkrecht zur gewünschten Ebene hat einen Normalenvektor (1, 1, 2). Weil Die Punkte A und B gehören zu beiden Ebenen und die Ebenen stehen senkrecht zueinander, dann ist der Normalenvektor (11, -7, -2). Weil Punkt A gehört zur gewünschten Ebene, dann müssen seine Koordinaten die Gleichung dieser Ebene erfüllen, d.h. 11×2 + 7×1 – 2×4 + D = 0; D = -21. Insgesamt erhalten wir die Gleichung der Ebene: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Die Gleichung einer Ebene, die durch eine Linie parallel zu einem Vektor verläuft.

Lassen Sie die gewünschte Ebene durch die Linie (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 parallel zur Linie (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 verlaufen = (z -z2)/c2 .

Dann ist der Normalenvektor der Ebene das Vektorprodukt der Richtungsvektoren dieser Geraden:

Die Koordinaten des Vektorprodukts seien (A;B;C). Die gewünschte Ebene geht durch den Punkt (x1;y1;z1). Der Normalenvektor und der Punkt, durch den die Ebene verläuft, bestimmen eindeutig die Gleichung der gewünschten Ebene:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A(5, -1) senkrecht zur Geraden 3x - 7y + 14 = 0 verläuft.

18) Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt M senkrecht zur gegebenen Ebene M(4,3,1) x+3y+5z-42=0 verläuft

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) – Ihr Punkt M(4,3,1)

(n, m, p) – der Richtungsvektor der Linie, auch bekannt als Normalenvektor für eine gegebene Oberfläche (1, 3, 5) (Koeffizienten für die Variablen x, y, z in der Ebenengleichung)

Finden Sie die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Punkt M(1,-3,2), Ebene 2x+5y-3z-19=0

Das Studium der Eigenschaften von Figuren im Raum und auf einer Ebene ist ohne Kenntnis der Abstände zwischen einem Punkt und geometrischen Objekten wie einer Geraden und einer Ebene nicht möglich. In diesem Artikel zeigen wir, wie man diese Abstände ermittelt, indem man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene und auf eine gerade Linie betrachtet.

Gleichung einer Geraden für zweidimensionale und dreidimensionale Räume

Die Berechnung der Abstände eines Punktes zu einer Geraden und einer Ebene erfolgt anhand seiner Projektion auf diese Objekte. Um diese Projektionen finden zu können, sollte man wissen, in welcher Form die Gleichungen für Linien und Ebenen angegeben sind. Beginnen wir mit den ersten.

Eine gerade Linie ist eine Ansammlung von Punkten, von denen jeder aus dem vorherigen erhalten werden kann, indem man ihn auf zueinander parallele Vektoren überträgt. Zum Beispiel gibt es einen Punkt M und N. Der sie verbindende Vektor MN¯ führt von M nach N. Es gibt auch einen dritten Punkt P. Wenn der Vektor MP¯ oder NP¯ parallel zu MN¯ ist, dann liegen alle drei Punkte auf die gleiche Linie und bilden Sie sie.

Abhängig von der Raumdimension kann die Gleichung, die die Linie definiert, ihre Form ändern. Somit beschreibt die bekannte lineare Abhängigkeit der Koordinate y von x im Raum eine Ebene, die parallel zur dritten Achse z ist. In diesem Zusammenhang betrachten wir in diesem Artikel nur die Vektorgleichung für die Gerade. Es hat das gleiche Aussehen für einen ebenen und dreidimensionalen Raum.

Im Raum kann eine gerade Linie durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Hier entsprechen die Koordinatenwerte mit Nullindizes einem bestimmten Punkt, der zur Geraden gehört, u¯(a; b; c) sind die Koordinaten des Richtungsvektors, der auf dieser Geraden liegt, α ist eine beliebige reelle Zahl, by Ändern, wodurch Sie alle Punkte der Linie erhalten können. Diese Gleichung wird Vektorgleichung genannt.

Die obige Gleichung wird oft in erweiterter Form geschrieben:

Auf ähnliche Weise können Sie die Gleichung für eine Linie schreiben, die in einer Ebene, also im zweidimensionalen Raum, liegt:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Ebenengleichung

Um den Abstand eines Punktes zu Projektionsebenen ermitteln zu können, müssen Sie wissen, wie eine Ebene definiert ist. Genau wie eine gerade Linie kann sie auf verschiedene Arten dargestellt werden. Hier betrachten wir nur eine: die allgemeine Gleichung.

Angenommen, der Punkt M(x 0 ; y 0 ; z 0) gehört zur Ebene und der Vektor n¯(A; B; C) steht senkrecht dazu, dann gilt für alle Punkte (x; y; z) der Ebene gilt die Gleichheit:

A*x + B*y + C*z + D = 0, wobei D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Es ist zu beachten, dass in dieser allgemeinen Ebenengleichung die Koeffizienten A, B und C die Koordinaten des Vektors senkrecht zur Ebene sind.

Berechnung von Entfernungen anhand von Koordinaten

Bevor wir mit der Betrachtung von Projektionen auf die Ebene eines Punktes und auf eine gerade Linie fortfahren, lohnt es sich, sich daran zu erinnern, wie der Abstand zwischen zwei bekannten Punkten berechnet wird.

Es gebe zwei räumliche Punkte:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) und A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Dann wird der Abstand zwischen ihnen nach der Formel berechnet:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

Mit diesem Ausdruck wird auch die Länge des Vektors A 1 A 2 ¯ bestimmt.

Für den Fall auf der Ebene, wenn zwei Punkte nur durch ein Koordinatenpaar definiert sind, können wir eine ähnliche Gleichheit schreiben, ohne dass ein Term mit z darin vorhanden ist:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Betrachten wir nun verschiedene Fälle der Projektion eines Punktes auf eine Ebene auf eine Gerade und auf eine Ebene im Raum.

Punkt, Linie und Abstand zwischen ihnen

Angenommen, es gibt einen Punkt und eine Linie:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Der Abstand zwischen diesen geometrischen Objekten entspricht der Länge des Vektors, dessen Anfang am Punkt P 2 liegt und dessen Ende an einem Punkt P auf der angegebenen Linie liegt, zu dem der Vektor P 2 P ¯ senkrecht dazu steht Linie. Punkt P wird als Projektion des Punktes P 2 auf die betrachtete Linie bezeichnet.

Unten ist eine Abbildung, die den Punkt P 2, seinen Abstand d zur Linie sowie den Richtungsvektor v 1 ¯ zeigt. Außerdem wird ein beliebiger Punkt P 1 auf der Linie ausgewählt und ein Vektor von diesem nach P 2 gezeichnet. Der Punkt P fällt hier mit der Stelle zusammen, an der die Senkrechte die Gerade schneidet.

Es ist zu erkennen, dass die orangefarbenen und roten Pfeile ein Parallelogramm bilden, dessen Seiten die Vektoren P 1 P 2 ¯ und v 1 ¯ sind und dessen Höhe d ist. Aus der Geometrie ist bekannt, dass man zur Bestimmung der Höhe eines Parallelogramms seine Fläche durch die Länge der Basis teilen muss, auf die die Senkrechte abgesenkt wird. Da die Fläche eines Parallelogramms als Vektorprodukt seiner Seiten berechnet wird, erhalten wir eine Formel zur Berechnung von d:

d = ||/|v 1 ¯|

Alle Vektoren und Koordinaten der Punkte in diesem Ausdruck sind bekannt, sodass Sie ihn verwenden können, ohne Transformationen durchzuführen.

Dieses Problem hätte anders gelöst werden können. Schreiben Sie dazu zwei Gleichungen:

• das Skalarprodukt von P 2 P ¯ durch v 1 ¯ muss gleich Null sein, da diese Vektoren senkrecht zueinander stehen;
• Die Koordinaten des Punktes P müssen der Geradengleichung genügen.

Diese Gleichungen reichen aus, um die Koordinaten P und dann die Länge d mithilfe der im vorherigen Absatz angegebenen Formel zu ermitteln.

Die Aufgabe, den Abstand zwischen einer Linie und einem Punkt zu ermitteln

Wir zeigen, wie man diese theoretischen Informationen zur Lösung eines bestimmten Problems nutzen kann. Angenommen, der folgende Punkt und die folgende Linie sind bekannt:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Es ist notwendig, die Projektionspunkte auf eine Gerade in der Ebene sowie den Abstand von M zur Geraden zu ermitteln.

Bezeichnen wir die zu findende Projektion durch den Punkt M 1 (x 1 ; y 1). Lassen Sie uns dieses Problem auf zwei Arten lösen, die im vorherigen Absatz beschrieben wurden.

Methode 1. Der Richtungsvektor v 1 ¯ hat die Koordinaten (0; 2). Um ein Parallelogramm zu konstruieren, wählen wir einen Punkt aus, der zur Linie gehört. Zum Beispiel ein Punkt mit den Koordinaten (3; 1). Dann hat der Vektor der zweiten Seite des Parallelogramms die Koordinaten:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Jetzt müssen Sie das Produkt der Vektoren berechnen, die die Seiten des Parallelogramms definieren:

Wir setzen diesen Wert in die Formel ein und erhalten den Abstand d von M zur Geraden:

Methode 2. Finden wir nun auf andere Weise nicht nur den Abstand, sondern auch die Koordinaten der Projektion M auf die Gerade, wie es die Problemstellung erfordert. Wie oben erwähnt, ist es zur Lösung des Problems notwendig, ein Gleichungssystem zu erstellen. Es wird so aussehen:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Lassen Sie uns dieses System lösen:

Die Projektion des ursprünglichen Koordinatenpunkts hat M 1 (3; -3). Dann ist der erforderliche Abstand:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Wie Sie sehen, lieferten beide Lösungsmethoden das gleiche Ergebnis, was auf die Richtigkeit der durchgeführten mathematischen Operationen hinweist.

Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Betrachten wir nun die Projektion eines im Raum gegebenen Punktes auf eine bestimmte Ebene. Es ist leicht zu erraten, dass es sich bei dieser Projektion auch um einen Punkt handelt, der zusammen mit dem Original einen Vektor senkrecht zur Ebene bildet.

Nehmen wir an, dass die Projektion des Punktes M auf die Ebene folgende Koordinaten hat:

Die Ebene selbst wird durch die Gleichung beschrieben:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Basierend auf diesen Daten können wir eine Gleichung für eine Linie erstellen, die die Ebene im rechten Winkel schneidet und durch M und M 1 verläuft:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Hier sind die Variablen mit Nullindizes die Koordinaten des Punktes M. Die Position des Punktes M 1 auf der Ebene kann auf der Grundlage der Tatsache berechnet werden, dass seine Koordinaten beide geschriebenen Gleichungen erfüllen müssen. Wenn diese Gleichungen zur Lösung des Problems nicht ausreichen, können Sie die Parallelitätsbedingung zwischen MM 1 ¯ und dem Führungsvektor für eine gegebene Ebene verwenden.

Offensichtlich fällt die Projektion eines zur Ebene gehörenden Punktes mit sich selbst zusammen und der entsprechende Abstand ist Null.

Problem mit einem Punkt und einer Ebene

Gegeben sei ein Punkt M(1; -1; 3) und eine Ebene, die durch die folgende allgemeine Gleichung beschrieben wird:

Es ist notwendig, die Koordinaten der Projektion auf die Ebene des Punktes zu berechnen und den Abstand zwischen diesen geometrischen Objekten zu berechnen.

Konstruieren wir zunächst die Gleichung einer Geraden, die durch M verläuft und senkrecht zur angegebenen Ebene steht. Es sieht aus wie:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Bezeichnen wir den Punkt, an dem diese Linie die Ebene schneidet, als M 1 . Die Gleichungen für die Ebene und die Linie müssen erfüllt sein, wenn die Koordinaten M 1 in sie eingesetzt werden. Wenn wir die Geradengleichung explizit schreiben, erhalten wir die folgenden vier Gleichungen:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

Aus der letzten Gleichung erhalten wir den Parameter α, dann setzen wir ihn in den vorletzten und zweiten Ausdruck ein und erhalten:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Setzen wir den Ausdruck für y 1 und x 1 in die Gleichung für die Ebene ein, erhalten wir:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Woher bekommen wir es:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Wir haben festgestellt, dass die Projektion des Punktes M auf eine gegebene Ebene den Koordinaten (4/7; 2/7; 15/7) entspricht.

Berechnen wir nun den Abstand |MM 1 ¯|. Die Koordinaten des entsprechenden Vektors sind:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Der erforderliche Abstand beträgt:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Dreipunktprojektion

Bei der Erstellung von Zeichnungen ist es häufig erforderlich, Schnittprojektionen auf drei zueinander senkrechte Ebenen zu erhalten. Daher ist es nützlich zu überlegen, wie groß die Projektionen eines bestimmten Punktes M mit den Koordinaten (x 0 ; y 0 ; z 0) auf drei Koordinatenebenen sein werden.

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die xy-Ebene durch die Gleichung z = 0 beschrieben wird, die xz-Ebene dem Ausdruck y = 0 entspricht und die verbleibende yz-Ebene durch x = 0 bezeichnet wird. Es ist nicht schwer zu erraten, dass die Projektionen eines Punktes auf 3 Ebenen sind gleich:

für x = 0: (0; y 0; z 0);

für y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

für z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Wo ist es wichtig, die Projektion eines Punktes und seinen Abstand zu Ebenen zu kennen?

Die Bestimmung der Position der Projektion von Punkten auf eine bestimmte Ebene ist wichtig, wenn Größen wie Oberfläche und Volumen für geneigte Prismen und Pyramiden ermittelt werden sollen. Beispielsweise ist der Abstand von der Spitze der Pyramide zur Grundebene die Höhe. Letzteres geht in die Formel für das Volumen dieser Figur ein.

Die betrachteten Formeln und Methoden zur Bestimmung von Projektionen und Abständen von einem Punkt zu einer Geraden und Ebene sind recht einfach. Wichtig ist nur, sich die entsprechenden Formen der Gleichungen einer Ebene und einer Geraden zu merken sowie ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen zu haben, um sie erfolgreich anwenden zu können.

Bei der Lösung geometrischer Probleme im Raum stellt sich häufig das Problem, den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt zu bestimmen. In manchen Fällen ist dies für eine umfassende Lösung notwendig. Dieser Wert kann berechnet werden, indem die Projektion auf die Ebene des Punktes ermittelt wird. Schauen wir uns dieses Problem im Artikel genauer an.

Gleichung zur Beschreibung einer Ebene

Bevor Sie sich mit der Frage befassen, wie Sie die Projektion eines Punktes auf eine Ebene finden, sollten Sie sich mit den Gleichungstypen vertraut machen, die diesen im dreidimensionalen Raum definieren. Weitere Details weiter unten.

Eine allgemeine Gleichung, die alle Punkte definiert, die zu einer bestimmten Ebene gehören, lautet wie folgt:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Die ersten drei Koeffizienten sind die Koordinaten des Vektors, der als Orientierung für die Ebene bezeichnet wird. Es stimmt mit der Normalen dafür überein, ist also senkrecht. Dieser Vektor wird mit n¯(A; B; C) bezeichnet. Der freie Koeffizient D wird eindeutig aus der Kenntnis der Koordinaten eines beliebigen Punktes bestimmt, der zur Ebene gehört.

Das Konzept der Punktprojektion und ihre Berechnung

Angenommen, es seien ein Punkt P(x 1 ; y 1 ; z 1) und eine Ebene gegeben. Es wird durch die Gleichung in allgemeiner Form definiert. Wenn wir eine senkrechte Linie von P zu einer gegebenen Ebene zeichnen, dann ist es offensichtlich, dass sie diese an einem bestimmten Punkt Q (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) schneidet. Q heißt die Projektion von P auf die betrachtete Ebene. Die Länge des Segments PQ wird als Abstand vom Punkt P zur Ebene bezeichnet. Somit steht PQ selbst senkrecht zur Ebene.

Wie findet man die Koordinaten der Projektion eines Punktes auf eine Ebene? Das ist nicht schwer. Zuerst müssen Sie eine Gleichung für eine gerade Linie erstellen, die senkrecht zur Ebene verläuft. Dazu gehört der Punkt P. Da der Normalenvektor n¯(A; B; C) dieser Geraden parallel sein muss, wird die Gleichung dafür in der entsprechenden Form wie folgt geschrieben:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Dabei ist λ eine reelle Zahl, die üblicherweise als Parameter der Gleichung bezeichnet wird. Durch Ändern können Sie jeden Punkt auf der Linie erhalten.

Nachdem die Vektorgleichung für eine Gerade senkrecht zur Ebene geschrieben wurde, ist es notwendig, den gemeinsamen Schnittpunkt für die betrachteten geometrischen Objekte zu finden. Seine Koordinaten sind die Projektion P. Da sie beide Gleichungen (für die Linie und für die Ebene) erfüllen müssen, reduziert sich das Problem auf die Lösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems.

Der Begriff der Projektion wird häufig beim Studium von Zeichnungen verwendet. Sie zeigen seitliche und horizontale Projektionen des Teils auf den zy-, zx- und xy-Ebenen.

Berechnen des Abstands von einer Ebene zu einem Punkt

Wie oben erwähnt, können Sie durch Kenntnis der Koordinaten der Projektion eines Punktes auf die Ebene den Abstand zwischen ihnen bestimmen. Unter Verwendung der im vorherigen Absatz eingeführten Notation finden wir, dass der erforderliche Abstand gleich der Länge des Segments PQ ist. Um es zu berechnen, reicht es aus, die Koordinaten des Vektors PQ¯ zu finden und dann seinen Modul mit der bekannten Formel zu berechnen. Der endgültige Ausdruck für den d-Abstand zwischen dem P-Punkt und der Ebene hat die Form:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Der resultierende Wert von d wird in Einheiten dargestellt, in denen das aktuelle kartesische xyz-Koordinatensystem angegeben ist.

Beispielaufgabe

Nehmen wir an, es gibt einen Punkt N(0; -2; 3) und eine Ebene, die durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

Sie müssen die Projektionspunkte auf die Ebene finden und den Abstand zwischen ihnen berechnen.

Erstellen wir zunächst eine Gleichung für eine Gerade, die die Ebene in einem Winkel von 90° schneidet. Wir haben:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Wenn wir diese Gleichung explizit schreiben, gelangen wir zu folgendem Gleichungssystem:

Wenn wir die Koordinatenwerte der ersten drei Gleichungen in die vierte einsetzen, erhalten wir den Wert λ, der die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Linie und der Ebene bestimmt:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Setzen wir den gefundenen Parameter ein und ermitteln wir die Koordinaten der Projektion des Startpunkts auf die Ebene:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Um den Abstand zwischen den in der Problemstellung angegebenen geometrischen Objekten zu berechnen, wenden wir die Formel für d an:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

In dieser Aufgabe haben wir gezeigt, wie man die Projektion eines Punktes auf eine beliebige Ebene findet und wie man den Abstand zwischen ihnen berechnet.