GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN VON FLACHPROFILEN.

Wie die Erfahrung zeigt, hängt der Widerstand eines Stabes gegenüber verschiedenen Verformungen nicht nur von den Querschnittsabmessungen, sondern auch von der Form ab.

Die Querschnittsabmessungen und -form werden durch verschiedene geometrische Eigenschaften charakterisiert: Querschnittsfläche, statische Momente, Trägheitsmomente, Widerstandsmomente usw.

1. Statisches Flächenmoment(Trägheitsmoment ersten Grades).

Statisches Trägheitsmoment Die Fläche relativ zu einer beliebigen Achse ist die Summe der Produkte der Elementarflächen und des Abstands zu dieser Achse, verteilt über die gesamte Fläche (Abb. 1).

Abb.1

Eigenschaften des statischen Flächenmoments:

1. Das statische Flächenmoment wird in Längeneinheiten der dritten Potenz (z. B. cm 3) gemessen.

2. Das statische Moment kann kleiner als Null, größer als Null und daher gleich Null sein. Die Achsen, um die das statische Moment Null ist, verlaufen durch den Schwerpunkt des Abschnitts und werden Mittelachsen genannt.

Wenn x c Und y c sind also die Koordinaten des Schwerpunkts

3. Das statische Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich der Summe der statischen Momente der Komponenten einfacher Abschnitte relativ zu derselben Achse.

Der Begriff des statischen Trägheitsmoments wird in der Kraftwissenschaft zur Bestimmung der Lage des Schwerpunkts von Abschnitten verwendet, wobei zu beachten ist, dass bei symmetrischen Abschnitten der Schwerpunkt am Schnittpunkt der Symmetrieachsen liegt.

2. Trägheitsmoment flacher Abschnitte (Figuren) (Trägheitsmomente zweiten Grades).

A) axial(äquatoriales) Trägheitsmoment.

Axiales Trägheitsmoment Die Fläche einer Figur relativ zu einer beliebigen Achse ist die Summe der Produkte der Elementarflächen mit dem Quadrat des Abstands zu dieser Verteilungsachse über die gesamte Fläche (Abb. 1)

Eigenschaften des axialen Trägheitsmoments.

1. Das axiale Trägheitsmoment der Fläche wird in Längeneinheiten der vierten Potenz (z. B. cm 4) gemessen.

2. Das axiale Trägheitsmoment ist immer größer als Null.

3. Das axiale Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich der Summe der axialen Momente der Komponenten einfacher Abschnitte relativ zu derselben Achse:

4. Die Größe des axialen Trägheitsmoments charakterisiert die Fähigkeit eines Stabes (Balkens) mit einem bestimmten Querschnitt, einer Biegung standzuhalten.

B) Polares Trägheitsmoment.

Polares Trägheitsmoment Die Fläche einer Figur relativ zu einem beliebigen Pol ist die Summe der Produkte der Elementarflächen mit dem Quadrat des Abstands zum Pol, verteilt über die gesamte Fläche (Abb. 1).

Eigenschaften des polaren Trägheitsmoments:

1. Das polare Trägheitsmoment einer Fläche wird in Längeneinheiten der vierten Potenz (z. B. cm 4) gemessen.

2. Das polare Trägheitsmoment ist immer größer als Null.

3. Das polare Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts relativ zu einem beliebigen Pol (Zentrum) ist gleich der Summe der polaren Momente der Komponenten einfacher Abschnitte relativ zu diesem Pol.

4. Das polare Trägheitsmoment eines Abschnitts ist gleich der Summe der axialen Trägheitsmomente dieses Abschnitts relativ zu zwei zueinander senkrechten Achsen, die durch den Pol verlaufen.

5. Die Größe des polaren Trägheitsmoments charakterisiert die Fähigkeit eines Stabes (Balkens) einer bestimmten Querschnittsform, einer Torsion standzuhalten.

c) Zentrifugales Trägheitsmoment.

Das ZENTRIFUGALE TRÄGHEITSMOMENT der Fläche einer Figur relativ zu einem beliebigen Koordinatensystem ist die Summe der Produkte von Elementarflächen und Koordinaten, ausgedehnt auf die gesamte Fläche (Abb. 1)

Eigenschaften des Fliehkraftträgheitsmoments:

1. Das Zentrifugalträgheitsmoment einer Fläche wird in Längeneinheiten der vierten Potenz (z. B. cm 4) gemessen.

2. Das Zentrifugalträgheitsmoment kann größer als Null, kleiner als Null und gleich Null sein. Die Achsen, um die das Zentrifugalträgheitsmoment Null ist, werden Hauptträgheitsachsen genannt. Zwei zueinander senkrechte Achsen, von denen mindestens eine eine Symmetrieachse ist, werden die Hauptachsen sein. Die Hauptachsen, die durch den Schwerpunkt der Fläche verlaufen, werden Hauptmittelachsen genannt, und die axialen Trägheitsmomente der Fläche werden Hauptzentralträgheitsmomente genannt.

3. Das Zentrifugalträgheitsmoment eines komplexen Abschnitts in einem beliebigen Koordinatensystem ist gleich der Summe der Zentrifugalträgheitsmomente der konstituierenden Figuren im selben Koordinatensystem.

Trägheitsmomente relativ zu parallelen Achsen.

Abb.2

Gegeben: Achsen x, y– zentral;

diese. Das axiale Trägheitsmoment in einem Abschnitt um eine zur Mittelachse parallele Achse ist gleich dem Axialmoment um seine Mittelachse plus dem Produkt aus der Fläche und dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen. Daraus folgt, dass das axiale Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Mittelachse in einem System paralleler Achsen einen minimalen Wert hat.

Nachdem wir ähnliche Berechnungen für das Zentrifugalträgheitsmoment durchgeführt haben, erhalten wir:

J x1y1 =J xy +Aab

diese. Das Zentrifugalträgheitsmoment des Abschnitts relativ zu den Achsen parallel zum Zentralkoordinatensystem ist gleich dem Zentrifugalmoment im Zentralkoordinatensystem plus dem Produkt aus Fläche und Abstand zwischen den Achsen.

TRÄGHEITSMOMENTE IN EINEM DREHKOORDINATENSYSTEM

diese. Die Summe der axialen Trägheitsmomente des Abschnitts ist ein konstanter Wert, hängt nicht vom Drehwinkel der Koordinatenachsen ab und ist gleich dem polaren Trägheitsmoment relativ zum Ursprung. Das Zentrifugalträgheitsmoment kann seinen Wert ändern und auf „0“ gehen.

Die Achsen, um die das Zentrifugalmoment Null ist, sind die Hauptträgheitsachsen, und wenn sie durch den Schwerpunkt verlaufen, werden sie Hauptträgheitsachsen genannt und mit „ u“ und „“.

Die Trägheitsmomente um die Hauptmittelachsen werden als Hauptzentralträgheitsmomente bezeichnet und bezeichnet , und die wichtigsten zentralen Trägheitsmomente haben Extremwerte, d.h. einer ist „min“ und der andere ist „max“.

Lassen Sie den Winkel „a 0“ die Position der Hauptachsen charakterisieren, dann:

Anhand dieser Abhängigkeit bestimmen wir die Lage der Hauptachsen. Die Größe der Hauptträgheitsmomente nach einigen Transformationen wird durch die folgende Beziehung bestimmt:

BEISPIELE FÜR DIE BESTIMMUNG VON AXIALEN TRÄGHEITSMOMENTEN, POLAREN TRÄGHEITSMOMENTEN UND WIDERSTANDSMOMENTEN EINFACHER FIGUREN.

1. Rechteckiger Abschnitt

Achsen X und y – hier und in anderen Beispielen – die zentralen Hauptträgheitsachsen.

Bestimmen wir die axialen Widerstandsmomente:

2. Runder massiver Abschnitt. Trägheitsmomente.

Wenn wir Koordinatenachsen durch Punkt O zeichnen, dann sind die Zentrifugalträgheitsmomente (oder Trägheitsprodukte) in Bezug auf diese Achsen die durch die Gleichungen definierten Größen:

Wo sind die Massen der Punkte? - ihre Koordinaten; es ist offensichtlich, dass usw.

Für feste Körper nehmen die Formeln (10) analog zu (5) die Form an

Im Gegensatz zu axialen Trägheitsmomenten können zentrifugale Trägheitsmomente sowohl positive als auch negative Größen sein und insbesondere bei einer bestimmten Art der Achsenwahl zu Null werden.

Hauptträgheitsachsen. Betrachten wir einen homogenen Körper mit einer Symmetrieachse. Zeichnen wir die Koordinatenachsen Oxyz so, dass die Achse entlang der Symmetrieachse gerichtet ist (Abb. 279). Aus Symmetriegründen entspricht dann jeder Punkt eines Körpers mit der Masse mk und den Koordinaten einem Punkt mit einem anderen Index, aber derselben Masse und Koordinaten gleich . Als Ergebnis erhalten wir, dass in diesen Summen alle Terme paarweise identisch in der Größe und entgegengesetzt im Vorzeichen sind; Von hier aus finden wir unter Berücksichtigung der Gleichungen (10):

Somit ist die Symmetrie der Massenverteilung relativ zur z-Achse durch das Verschwinden zweier Zentrifugalträgheitsmomente gekennzeichnet. Die Oz-Achse, für die die Zentrifugalträgheitsmomente, die in ihren Indizes den Namen dieser Achse enthalten, gleich Null sind, wird als Hauptträgheitsachse des Körpers für Punkt O bezeichnet.

Daraus folgt, dass, wenn ein Körper eine Symmetrieachse hat, diese Achse die Hauptträgheitsachse des Körpers für jeden seiner Punkte ist.

Die Hauptträgheitsachse ist nicht unbedingt die Symmetrieachse. Betrachten wir einen homogenen Körper, der eine Symmetrieebene hat (in Abb. 279 ist die Symmetrieebene des Körpers die Ebene). Zeichnen wir in dieser Ebene einige Achsen und eine dazu senkrechte Achse. Dann entspricht aus Symmetriegründen jeder Punkt mit Masse und Koordinaten einem Punkt mit derselben Masse und Koordinaten gleich . Als Ergebnis finden wir, wie im vorherigen Fall, dass oder woraus folgt, dass die Achse die Hauptträgheitsachse für Punkt O ist. Wenn also ein Körper eine Symmetrieebene hat, dann ist jede Achse senkrecht zu dieser Ebene die Hauptträgheitsachse des Körpers für Punkt O, in dem die Achse die Ebene schneidet.

Gleichungen (11) drücken die Bedingungen aus, dass die Achse die Hauptträgheitsachse des Körpers für Punkt O (Ursprung) ist.

In ähnlicher Weise ist die Oy-Achse die Hauptträgheitsachse für Punkt O. Wenn also alle Zentrifugalträgheitsmomente gleich Null sind, d.h.

dann ist jede der Koordinatenachsen die Hauptträgheitsachse des Körpers für Punkt O (Ursprung).

Zum Beispiel in Abb. 279 Alle drei Achsen sind die Hauptträgheitsachsen für Punkt O (die Achse ist die Symmetrieachse und die Ox- und Oy-Achsen stehen senkrecht auf den Symmetrieebenen).

Die Trägheitsmomente eines Körpers relativ zu den Hauptträgheitsachsen werden als Hauptträgheitsmomente des Körpers bezeichnet.

Die für den Massenschwerpunkt des Körpers konstruierten Hauptträgheitsachsen werden als zentrale Hauptträgheitsachsen des Körpers bezeichnet. Aus dem oben Gezeigten folgt, dass, wenn ein Körper eine Symmetrieachse hat, diese Achse eine der zentralen Hauptträgheitsachsen des Körpers ist, da der Massenschwerpunkt auf dieser Achse liegt. Wenn der Körper eine Symmetrieebene hat, dann ist die Achse senkrecht zu dieser Ebene und durch den Massenschwerpunkt des Körpers auch eine der zentralen Hauptträgheitsachsen des Körpers.

In den angegebenen Beispielen wurden symmetrische Körper betrachtet, was ausreicht, um die Probleme zu lösen, auf die wir stoßen werden. Es kann jedoch bewiesen werden, dass es durch jeden Punkt eines beliebigen Körpers möglich ist, mindestens drei zueinander senkrechte Achsen zu zeichnen, für die die Gleichungen (11) erfüllt sind, d. h. welche die Hauptträgheitsachsen des Körpers für diesen Punkt sind .

Das Konzept der Hauptträgheitsachsen spielt eine wichtige Rolle in der Dynamik eines starren Körpers. Sind die Koordinatenachsen Oxyz entlang dieser gerichtet, gehen alle Zentrifugalträgheitsmomente auf Null und die entsprechenden Gleichungen bzw. Formeln werden deutlich vereinfacht (siehe § 105, 132). Mit diesem Konzept ist auch die Lösung von Problemen zur dynamischen Gleichung rotierender Körper (siehe § 136), zum Aufprallzentrum (siehe § 157) usw. verbunden.

Schauen wir uns noch ein paar geometrische Merkmale flacher Figuren an. Eines dieser Merkmale heißt axial oder Äquatorial Trägheitsmoment. Diese Eigenschaft ist relativ zu den Achsen und
(Abb.4.1) hat die Form:

;
. (4.4)

Die Haupteigenschaft des axialen Trägheitsmoments besteht darin, dass es nicht kleiner als Null oder gleich Null sein kann. Dieses Trägheitsmoment ist immer größer als Null:
;
. Die Maßeinheit für das axiale Trägheitsmoment ist (Länge 4).

Verbinden Sie den Koordinatenursprung mit einem geraden Liniensegment mit unendlich kleiner Fläche
und bezeichnen Sie dieses Segment mit dem Buchstaben (Abb.4.4). Das Trägheitsmoment einer Figur relativ zum Pol – dem Ursprung – wird als polares Trägheitsmoment bezeichnet:

. (4.5)

Dieses Trägheitsmoment ist wie das axiale immer größer als Null (
) und hat die Dimension – (Länge 4).

Schreiben wir es auf Invarianzbedingung die Summe der äquatorialen Trägheitsmomente um zwei zueinander senkrechte Achsen. Aus Abb. 4.4 wird deutlich, dass
.

Wenn wir diesen Ausdruck in Formel (4.5) einsetzen, erhalten wir:

Die Invarianzbedingung wird wie folgt formuliert: Die Summe der axialen Trägheitsmomente relativ zu zwei zueinander senkrechten Achsen ist ein konstanter Wert und gleich dem polaren Trägheitsmoment relativ zum Schnittpunkt dieser Achsen.

Man nennt das Trägheitsmoment einer flachen Figur relativ zu zwei gleichzeitig senkrechten Achsen zweiachsig oder Zentrifugal Trägheitsmoment. Das Zentrifugalträgheitsmoment hat folgende Form:

. (4.7)

Das Zentrifugalträgheitsmoment hat die Dimension – (Länge 4). Er kann positiv, negativ oder null sein. Es werden Achsen genannt, bei denen das Zentrifugalträgheitsmoment Null ist Hauptträgheitsachsen. Beweisen wir, dass die Symmetrieachse einer ebenen Figur die Hauptachse ist.

Betrachten Sie die flache Figur in Abb. 4.5.

Wählen Sie links und rechts von der Symmetrieachse aus zwei Elemente mit verschwindend kleiner Fläche
. Der Schwerpunkt der gesamten Figur liegt im Punkt C. Platzieren wir den Koordinatenursprung im Punkt C und bezeichnen die vertikalen Koordinaten der ausgewählten Elemente mit dem Buchstaben „ “, horizontal – für das linke Element „
“, für das richtige Element „ " Berechnen wir die Summe der Zentrifugalträgheitsmomente für ausgewählte Elemente mit einer verschwindend kleinen Fläche relativ zu den Achsen Und :

Wenn wir Ausdruck (4.8) von links und rechts integrieren, erhalten wir:

, (4.9)

denn wenn die Achse eine Symmetrieachse ist, dann gibt es zu jedem Punkt, der links von dieser Achse liegt, immer einen dazu symmetrischen Punkt.

Bei der Analyse der erhaltenen Lösung kommen wir zu dem Schluss, dass die Symmetrieachse ist die Hauptträgheitsachse. Zentralachse ist auch die Hauptachse, obwohl sie keine Symmetrieachse ist, da das Fliehkraftträgheitsmoment gleichzeitig für zwei Achsen berechnet wurde Und und es stellte sich heraus, dass es Null war.

DEFINITION

Axiales (oder äquatoriales) Trägheitsmoment Abschnitt relativ zur Achse wird eine Größe genannt, die definiert ist als:

Ausdruck (1) bedeutet, dass zur Berechnung des axialen Trägheitsmoments die Summe der Produkte von infinitesimalen Flächen () multipliziert mit den Quadraten der Abstände von ihnen zur Rotationsachse über die gesamte Fläche S genommen wird:

Die Summe der axialen Trägheitsmomente des Abschnitts relativ zu zueinander senkrechten Achsen (z. B. relativ zur X- und Y-Achse im kartesischen Koordinatensystem) ergibt das polare Trägheitsmoment () relativ zum Schnittpunkt dieser Achsen:

DEFINITION

Polarer Moment Trägheit wird als Trägheitsmomentabschnitt in Bezug auf einen bestimmten Punkt bezeichnet.

Axiale Trägheitsmomente sind immer größer als Null, da in ihren Definitionen (1) unter dem Integralzeichen der immer positive Wert der Fläche der Elementarfläche () und das Quadrat des Abstands von dieser Fläche zu steht die Achse.

Wenn es sich um einen Abschnitt mit komplexer Form handelt, verwenden wir in Berechnungen häufig die Tatsache, dass das axiale Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts relativ zur Achse gleich der Summe der axialen Trägheitsmomente der Teile dieses Abschnitts ist relativ zur gleichen Achse. Es ist jedoch zu beachten, dass es unmöglich ist, die relativ zu verschiedenen Achsen und Punkten auftretenden Trägheitsmomente zusammenzufassen.

Das axiale Trägheitsmoment relativ zur Achse, die durch den Schwerpunkt des Abschnitts verläuft, hat den kleinsten Wert aller Momente relativ zu den dazu parallelen Achsen. Das Trägheitsmoment um jede Achse (), sofern sie parallel zur Achse durch den Schwerpunkt verläuft, ist gleich:

wo ist das Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Achse, die durch den Schwerpunkt des Abschnitts verläuft; - Querschnittsfläche; - Abstand zwischen den Achsen.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

Übung	Wie groß ist das axiale Trägheitsmoment eines gleichschenkligen dreieckigen Querschnitts relativ zur Z-Achse, die durch den Schwerpunkt () des Dreiecks parallel zu seiner Basis verläuft? Die Höhe des Dreiecks beträgt .
Lösung	Wählen wir eine rechteckige Elementarfläche auf einem dreieckigen Abschnitt (siehe Abb. 1). Es befindet sich in einem Abstand von der Rotationsachse, die Länge einer Seite beträgt , die andere Seite beträgt . Aus Abb. 1 folgt Folgendes: Die Fläche des ausgewählten Rechtecks ​​ist unter Berücksichtigung von (1.1) gleich: Um das axiale Trägheitsmoment zu ermitteln, verwenden wir seine Definition in der Form:
Antwort

BEISPIEL 2

Übung	Finden Sie die axialen Trägheitsmomente relativ zu den senkrechten Achsen X und Y (Abb. 2) eines Abschnitts in Form eines Kreises, dessen Durchmesser gleich d ist.
Lösung	Um das Problem zu lösen, ist es bequemer, zunächst das Polarmoment relativ zur Mitte des Abschnitts zu ermitteln (). Teilen wir den gesamten Abschnitt in unendlich dünne Ringe der Dicke auf, deren Radius wir mit bezeichnen. Dann finden wir den Elementarbereich als:

Produkt der Trägheit, eine der Größen, die die Massenverteilung in einem Körper (mechanischen System) charakterisieren. C. m. und. werden als Summen von Massenprodukten berechnet m zu Punkte des Körpers (Systems) zu zwei der Koordinaten x k, y k, z k diese Punkte:

Werte von C. m. und. hängen von den Richtungen der Koordinatenachsen ab. In diesem Fall gibt es für jeden Punkt des Körpers mindestens drei solcher zueinander senkrechten Achsen, die sogenannten Hauptträgheitsachsen, für die die Schwungmasse und. sind gleich Null.

Das Konzept von C. m. und. spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Rotationsbewegung von Körpern. Aus den Werten von C. m. und. hängen von der Größe der Druckkräfte auf die Lager ab, in denen die Achse des rotierenden Körpers befestigt ist. Diese Drücke sind am kleinsten (gleich statisch), wenn die Rotationsachse die Hauptträgheitsachse ist, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers verläuft.

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  Physische Enzyklopädie

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• - siehe Efferent...

  Große psychologische Enzyklopädie

• - geometrische Eigenschaft des Querschnitts eines offenen dünnwandigen Stabes, gleich der Summe der Produkte der Elementarquerschnittsflächen mit den Quadraten der Sektorflächen - Sektorträgheitsmoment -...

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• - geometrische Eigenschaft des Stabquerschnitts, gleich der Summe der Produkte der Elementarabschnitte des Abschnitts mit den Quadraten ihrer Abstände zur betrachteten Achse - Trägheitsmoment - Moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...

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• - der Zeitpunkt, zu dem die an den Käufer versandten Produkte als verkauft gelten...

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  Enzyklopädisches Wörterbuch von Brockhaus und Euphron

• - eine Größe, die die Massenverteilung in einem Körper charakterisiert und zusammen mit der Masse ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei nicht translatorischer Bewegung ist. In der Mechanik unterscheidet man zwischen Mechanismen und axial und zentrifugal...
• - Hauptachsen, drei zueinander senkrechte Achsen, die durch einen Punkt des Körpers gezogen werden und die Eigenschaft haben, dass, wenn sie als Koordinatenachsen genommen werden, die Zentrifugalträgheitsmomente des Körpers relativ zu ...

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• - Trägheitsprodukt, eine der Größen, die die Massenverteilung in einem Körper charakterisieren...

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  Wortformen

„Zentrifugales Trägheitsmoment“ in Büchern

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