Der Ansatz zur Addition nichtnegativer ganzer Zahlen ermöglicht es, die bekannten Additionsgesetze zu untermauern: kommutativ und assoziativ.

Lassen Sie uns zunächst das Kommutativgesetz beweisen, d. h. wir werden beweisen, dass für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a und b die Gleichheit a + b = b + a gilt.

Sei a die Anzahl der Elemente in Menge A, b die Anzahl der Elemente in Menge B und A B=0. Dann ist a + b per Definition der Summe nichtnegativer ganzer Zahlen die Anzahl der Elemente der Vereinigung der Mengen A und B: a + b = n (A//B). Aber die Menge A B ist gemäß der kommutativen Eigenschaft der Mengenvereinigung gleich der Menge B A, und daher gilt n(AU B) = n(B U A). Nach Definition der Summe ist n(B und A) = b + a, also a + b = b + a für alle nicht negativen ganzen Zahlen a und b.

Wir beweisen nun das Kombinationsgesetz, d. h. wir beweisen, dass für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a, b, c die Gleichheit (a + b) + c = a + (b + c) gilt.

Sei a = n(A), b = n(B), c = n(C), wobei AUB=0, BUC=0. Dann können wir durch die Definition der Summe zweier Zahlen schreiben (a + b) + c = n(A/ /)B) + n(C) = n((AUBUC).

Da die Vereinigung von Mengen dem Kombinationsgesetz gehorcht, gilt n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Daher gilt per Definition der Summe zweier Zahlen n (A J (BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Daher gilt (a + b) + c – a + (b + c) für alle nicht negativen ganzen Zahlen a, b und c.

Was ist der Zweck des assoziativen Additionsgesetzes? Er erklärt, wie man die Summe von drei Termen ermittelt: Dazu reicht es aus, den ersten Term zum zweiten und den dritten Term zur resultierenden Zahl zu addieren, oder den ersten Term zur Summe des zweiten und dritten Termes zu addieren. Beachten Sie, dass das Assoziativgesetz keine Permutation der Begriffe impliziert.

Sowohl das kommutative als auch das assoziative Additionsgesetz können auf eine beliebige Anzahl von Termen verallgemeinert werden. In diesem Fall bedeutet das Kommutativgesetz, dass sich die Summe bei jeder Neuanordnung der Terme nicht ändert, und das Assoziativgesetz bedeutet, dass sich die Summe bei jeder Gruppierung der Terme nicht ändert (ohne ihre Reihenfolge zu ändern).

Aus den kommutativen und assoziativen Additionsgesetzen folgt, dass sich die Summe mehrerer Terme nicht ändert, wenn sie in irgendeiner Weise umgeordnet werden und eine ihrer Gruppen in Klammern gesetzt wird.

Berechnen wir mithilfe der Additionsgesetze den Wert des Ausdrucks 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Basierend auf dem Kommutativgesetz ordnen wir die Terme 36 und 191 neu. Dann ist 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Lassen Sie uns das Kombinationsgesetz verwenden, indem wir die Terme gruppieren und dann die Summen in Klammern ermitteln: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Wenden wir das Kombinationsgesetz noch einmal an und setzen die Summe der Zahlen 300 und 100 in Klammern: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Lassen Sie uns die Berechnungen durchführen: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Grundschüler lernen die kommutative Eigenschaft der Addition kennen, wenn sie die Zahlen der ersten Zehn studieren. Erstens wird es beim Erstellen einer Tabelle zum Addieren einstelliger Zahlen und dann zur Rationalisierung verschiedener Berechnungen verwendet.

Das assoziative Additionsgesetz wird im Grundkurs der Mathematik nicht explizit studiert, sondern ständig angewendet. Es ist also die Grundlage für die schrittweise Addition einer Zahl: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 =4+ 1 =5. Darüber hinaus wird in Fällen, in denen es erforderlich ist, eine Zahl zu einer Summe, einen Betrag zu einer Zahl oder einen Betrag zu einer Summe zu addieren, das Assoziativgesetz in Kombination mit dem Kommutativgesetz verwendet. Beispielsweise wird die Addition der Summe 2 + 1 zur Zahl 4 auf folgende Weise vorgeschlagen:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Lassen Sie uns diese Methoden analysieren. Im Fall 1 werden die Berechnungen gemäß der angegebenen Reihenfolge der Operationen durchgeführt. Im Fall 2 wird die assoziative Eigenschaft der Addition angewendet. Im letzteren Fall basieren die Berechnungen auf den kommutativen und assoziativen Additionsgesetzen, auf Zwischentransformationen wird verzichtet. Sie sind. Zunächst wurden auf Basis des Verschiebungsgesetzes die Terme 1 und 2 vertauscht: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Dann verwendeten sie das Kombinationsgesetz: 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2. Und schließlich führten sie Berechnungen gemäß der Reihenfolge der Aktionen (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7 durch.

Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl

Begründen wir die bekannten Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl.

Die Regel zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe. Um eine Zahl von der Summe zu subtrahieren, reicht es aus, diese Zahl von einem der Terme der Summe zu subtrahieren und dem erhaltenen Ergebnis einen weiteren Term hinzuzufügen.

Wir schreiben diese Regel mit den Symbolen: Wenn a, b, c nicht negative ganze Zahlen sind, dann:

a) für a > c gilt (a + b) – c = (a – c) + b;

b) für b>c gilt (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) Für a>c und b>c kann jede dieser Formeln verwendet werden.

Sei a > c, dann existiert die Differenz a - c. Bezeichnen wir es mit p: a - c = p. Daher ist a = p + c. Ersetzen Sie die Summe p + -c anstelle von a in den Ausdruck (a + b) - c und transformieren Sie ihn: (a + 6) - c \u003d (p + c + b) - c \u003d p + b + - c - c = p+b

Aber der Buchstabe p bezeichnet die Differenz a - c, was bedeutet, dass wir (a + b) - - c = (a - c) + b haben, was bewiesen werden musste.

Ähnliche Überlegungen werden auch für andere Fälle angestellt. Wir veranschaulichen nun diese Regel (Fall „a“) ​​anhand von Eulerkreisen. Nehmen Sie drei endliche Mengen A, B und C mit n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c und AUB=0, CUA. Dann ist (a + b) - c die Anzahl der Elemente der Menge (AUB)C, und die Zahl (a - c) + b ist die Anzahl der Elemente der Menge (AC)UB. Auf Eulerkreisen wird die Menge (AUB)C durch den in der Abbildung dargestellten schattierten Bereich dargestellt.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Menge (AC)UВ durch genau die gleiche Fläche dargestellt wird. Daher ist (AUB)C = (AC)UB für Daten

setzt A, B und C. Daher ist n((AUB)C) = n((AC)UB) und (a + b) - c - (a - c) + b.

Fall „b“ lässt sich auf ähnliche Weise veranschaulichen.

Die Regel zum Subtrahieren von einer Summe. Um die Summe der Zahlen von einer Zahl zu subtrahieren, genügt es, von dieser Zahl nacheinander jeden Term nacheinander zu subtrahieren, d. h. wenn a, b, c nicht negative ganze Zahlen sind, dann gilt für a > b + c a - ( b + c) = (a – b) – c.

Die Begründung dieser Regel und ihre mengentheoretische Veranschaulichung erfolgen in gleicher Weise wie bei der Regel zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe.

Die oben genannten Regeln werden in der Grundschule anhand konkreter Beispiele betrachtet, visuelle Bilder dienen zur Begründung. Mit diesen Regeln können Sie Berechnungen rational durchführen. Beispielsweise liegt der Methode zum Subtrahieren einer Zahl in Teilen die Regel zum Subtrahieren einer Summe von einer Zahl zugrunde:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Die Bedeutung der oben genannten Regeln wird deutlich, wenn man arithmetische Probleme auf verschiedene Arten löst. Zum Beispiel die Aufgabe „Am Morgen fuhren 20 kleine und 8 große Fischerboote zur See.“ 6 Boote kehrten zurück. Wie viele Boote mit Fischern müssen noch zurückkehren? kann auf drei Arten gelöst werden:

/ Weg. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// Weg. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III Weg. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Gesetze der Multiplikation

Lassen Sie uns die Gesetze der Multiplikation anhand der Definition eines Produkts anhand des kartesischen Produkts von Mengen beweisen.

1. Kommutativgesetz: Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a und b gilt die Gleichheit a*b = b*a.

Sei a = n(A), b = n(B). Dann gilt per Definition des Produkts a*b = n(A*B). Aber die Mengen A*B und B*A sind äquivalent: Jedes Paar (a, b) aus der Menge AXB kann einem einzelnen Paar (b, a) aus der Menge BxA zugeordnet werden und umgekehrt. Daher ist n(AXB) = n(BxA) und daher a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Assoziativgesetz: Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a, b, c gilt die Gleichheit (a * b) * c = a * (b * c).

Sei a = n(A), b = n(B), c = n(C). Dann ist nach der Definition des Produkts (a-b)-c = n((AXB)XQ a a-(b-c) = n (AX(BXQ). Die Mengen (AxB)XC und A X (BX Q) sind unterschiedlich: die erste besteht aus Paaren der Form ((a, b), c) und das zweite aus Paaren der Form (a, (b, c)), wobei aJA, bJB, cJC. Aber die Mengen (AXB)XC und AX(BXC) sind äquivalent, da es eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von einer Menge zur anderen gibt, also n((AXB)*C) = n(A*(B*C)) und daher (a*b )*c = a*(b*c).

3. Das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a, b, c gilt die Gleichheit (a + b) x c = ac + be.

Sei a - n (A), b = n (B), c = n (C) und AUB \u003d 0. Dann gilt nach der Definition des Produkts (a + b) x c \u003d n ((AUB ) * C. Daher erhalten wir basierend auf Gleichungen (*) n ((A UB) * C) = n ((A * C)U(B * C)) und dann durch Definition der Summe und des Produkts n ( (A * C)U (B * C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. Das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen a, b und c und a^b gilt die Gleichheit (a - b)c = ac - bc.

Dieses Gesetz leitet sich aus der Gleichung (AB) * C = (A * C) (B * C) ab und wird auf ähnliche Weise wie das vorherige bewiesen.

Die kommutativen und assoziativen Gesetze der Multiplikation können auf eine beliebige Anzahl von Faktoren erweitert werden. Wie bei der Addition werden diese Gesetze oft in Verbindung verwendet, das heißt, das Produkt mehrerer Faktoren ändert sich nicht, wenn sie in irgendeiner Weise neu angeordnet werden und wenn eine ihrer Gruppen in Klammern gesetzt wird.

Verteilungsgesetze stellen einen Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition und Subtraktion her. Auf der Grundlage dieser Gesetze werden Klammern in Ausdrücken wie (a + b) c und (a - b) c erweitert, und der Faktor wird aus Klammern entfernt, wenn der Ausdruck die Form ac - be oder hat

Im Grundkurs Mathematik wird die kommutative Eigenschaft der Multiplikation untersucht, sie wird wie folgt formuliert: „Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren“ – und wird häufig bei der Erstellung der Multiplikationstabelle einstelliger Zahlen verwendet. Das Assoziativgesetz wird in der Grundschule nicht explizit berücksichtigt, sondern zusammen mit dem Kommutativgesetz bei der Multiplikation einer Zahl mit einem Produkt verwendet. Dies geschieht wie folgt: Die Schüler werden aufgefordert, verschiedene Möglichkeiten zur Ermittlung des Werts des Ausdrucks 3 * (5 * 2) in Betracht zu ziehen und die Ergebnisse zu vergleichen.

Fälle sind gegeben:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Die erste davon basiert auf der Regel der Reihenfolge der Operationen, die zweite auf dem assoziativen Gesetz der Multiplikation und die dritte auf den kommutativen und assoziativen Gesetzen der Multiplikation.

Das Verteilungsgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition wird in der Schule anhand konkreter Beispiele behandelt und nennt sich Regeln für die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe und einer Summe mit einer Zahl. Die Berücksichtigung dieser beiden Regeln wird durch methodische Überlegungen bestimmt.

Regeln zum Teilen einer Summe durch eine Zahl und einer Zahl durch ein Produkt

Machen wir uns mit einigen Eigenschaften der Division natürlicher Zahlen vertraut. Die Wahl dieser Regeln richtet sich nach den Inhalten des Mathematik-Grundstudiums.

Die Regel zum Teilen einer Summe durch eine Zahl. Sind die Zahlen a und b durch die Zahl c teilbar, so ist auch ihre Summe a + b durch c teilbar; Der Quotient, der sich aus der Division der Summe a + b durch die Zahl c ergibt, ist gleich der Summe der Quotienten, die sich aus der Division von a durch c und b durch c ergeben, d. h.

(a + b): c = a: c + b: c.

Nachweisen. Da a durch c teilbar ist, gibt es eine natürliche Zahl m = a:c mit a = c-m. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl n - b:c mit b = c-n. Dann ist a + b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Daraus folgt, dass a + b durch c teilbar ist und der Quotient, der sich aus der Division von a + b durch die Zahl c ergibt, gleich m + n ist, also a: c + b: c.

Die bewiesene Regel kann aus den mengentheoretischen Positionen interpretiert werden.

Sei a = n(A), b = n(B) und AGW=0. Wenn jede der Mengen A und B in gleiche Teilmengen unterteilt werden kann, dann lässt die Vereinigung dieser Mengen dieselbe Teilung zu.

Wenn außerdem jede Teilmenge der Partition von Menge A a:c-Elemente enthält und jede Teilmenge von Menge B b:c-Elemente enthält, dann enthält jede Teilmenge der Menge A[)B a:c + b:c-Elemente. Das bedeutet, dass (a + b): c = a: c + b: c.

Die Regel zum Teilen einer Zahl durch ein Produkt. Wenn eine natürliche Zahl a durch natürliche Zahlen b und c teilbar ist, dann genügt es, um a durch das Produkt der Zahlen b und c zu dividieren, die Zahl a durch b (c) zu dividieren und den resultierenden Quotienten durch c zu dividieren (b): a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Beweis. Setzen wir (a:b):c = x. Dann ist nach Definition des Quotienten a:b = c-x, daher gilt in ähnlicher Weise a - b-(cx). Basierend auf dem assoziativen Multiplikationsgesetz a = (bc)-x. Die resultierende Gleichheit bedeutet, dass a:(bc) = x. Somit ist a:(bc) = (a:b):c.

Regel zum Multiplizieren einer Zahl mit einem Quotienten zweier Zahlen. Um eine Zahl mit dem Quotienten zweier Zahlen zu multiplizieren, genügt es, diese Zahl mit dem Dividenden zu multiplizieren und das resultierende Produkt durch den Divisor zu dividieren, d.h.

a-(b:c) = (a-b):c.

Die Anwendung der formulierten Regeln ermöglicht eine Vereinfachung der Berechnungen.

Um beispielsweise den Wert des Ausdrucks (720+ 600): 24 zu ermitteln, reicht es aus, die Terme 720 und 600 durch 24 zu dividieren und die resultierenden Quotienten zu addieren:

(720+ 600)

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Diese Regeln werden im Grundkurs Mathematik an konkreten Beispielen betrachtet. Bei der ersten Bekanntschaft mit der Regel zur Division der Summe 6 + 4 durch die Zahl 2 handelt es sich um Anschauungsmaterial. Im Folgenden wird diese Regel zur Rationalisierung von Berechnungen verwendet. Die Regel, eine Zahl durch ein Produkt zu dividieren, wird häufig verwendet, wenn Zahlen dividiert werden, die auf Nullen enden.

Thema Nummer 1.

Reelle Zahlen. Numerische Ausdrücke. Konvertieren numerischer Ausdrücke

I. Theoretisches Material

Grundlegendes Konzept

· Ganze Zahlen

Dezimalzahlenschreibweise

Gegensätzliche Zahlen

· Ganze Zahlen

・Gewöhnlicher Bruch

Rationale Zahlen

Unendliche Dezimalzahl

Periode einer Zahl, periodischer Bruch

irrationale Zahlen

· Reale Nummern

· Rechenoperationen

Numerischer Ausdruck

Wert des Ausdrucks

Eine Dezimalzahl in einen gemeinsamen Bruch umwandeln

Einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Umwandeln eines periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Gesetze arithmetischer Operationen

Zeichen der Teilbarkeit

Die Zahlen, die beim Zählen von Objekten oder zur Angabe der Seriennummer eines Objekts unter homogenen Objekten verwendet werden, werden aufgerufen natürlich. Jede natürliche Zahl kann mit zehn geschrieben werden Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Diese Notation heißt Dezimal.

Zum Beispiel: 24; 3711; 40125.

Gewöhnlich wird die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet N.

Es werden zwei Zahlen genannt, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden Gegenteil Zahlen.

Zum Beispiel, Nummern 7 und - 7.

Die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze und die Zahl Null bilden die Menge ganz Z.

Zum Beispiel: – 37; 0; 2541.

Nummer des Formulars, wo M- ganze Zahl, N- Eine natürliche Zahl wird als gewöhnliche Zahl bezeichnet Schuss. Beachten Sie, dass jede natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1 dargestellt werden kann.

Zum Beispiel: , .

Die Vereinigung von Mengen ganzer und gebrochener Zahlen (positiv und negativ) bildet die Menge rational Zahlen. Es wird allgemein darauf verwiesen Q.

Zum Beispiel: ; – 17,55; .

Der Dezimalbruch sei gegeben. Sein Wert ändert sich nicht, wenn rechts beliebig viele Nullen zugewiesen werden.

Zum Beispiel: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Eine solche Dezimalzahl wird als unendliche Dezimalzahl bezeichnet.

Jeder gemeinsame Bruch kann als unendliche Dezimalzahl dargestellt werden.

Eine sich fortlaufend wiederholende Gruppe von Ziffern nach einem Dezimalpunkt in einer Zahleneingabe wird aufgerufen Zeitraum, und ein unendlicher Dezimalbruch, der einen solchen Punkt in seiner Notation hat, heißt Zeitschrift. Der Kürze halber ist es üblich, den Punkt einmal zu schreiben und ihn in Klammern zu setzen.

Zum Beispiel: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Unendliche dezimale Brüche werden als wiederkehrende Brüche bezeichnet irrational Zahlen.

Die Vereinigung der Mengen rationaler und irrationaler Zahlen ist die Menge gültig Zahlen. Es wird allgemein darauf verwiesen R.

Zum Beispiel: ; 0,(23); 41,3574…

Nummer ist irrational.

Für alle Zahlen sind die Aktionen von drei Schritten definiert:

Schritt-I-Aktionen: Addition und Subtraktion;

Aktionen in Schritt II: Multiplikation und Division;

Aktionen in Schritt III: Potenzierung und Wurzelextraktion.

Ein Ausdruck, der aus Zahlen, Rechenzeichen und Klammern besteht, heißt numerisch.

Zum Beispiel: ; .

Die als Ergebnis der Durchführung von Aktionen erhaltene Zahl wird aufgerufen Ausdruckswert.

Numerischer Ausdruck Es ist nicht sinnvoll wenn Division durch Null enthält.

Wenn der Wert des Ausdrucks gefunden ist, werden die Aktionen der Stufe III, der Stufe II und am Ende der Aktion der Stufe I nacheinander ausgeführt. In diesem Fall muss die Platzierung von Klammern im numerischen Ausdruck berücksichtigt werden.

Die Transformation eines numerischen Ausdrucks besteht in der sequentiellen Ausführung arithmetischer Operationen an den darin enthaltenen Zahlen unter Verwendung der entsprechenden Regeln (der Regel zum Addieren gewöhnlicher Brüche mit unterschiedlichen Nennern, Multiplikation von Dezimalbrüchen usw.). Aufgaben zum Konvertieren numerischer Ausdrücke in Tutorials finden sich in den folgenden Formulierungen: „Ermitteln Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks“, „Vereinfachen Sie einen numerischen Ausdruck“, „Berechnen“ usw.

Wenn Sie die Werte einiger numerischer Ausdrücke ermitteln möchten, müssen Sie Operationen mit Brüchen verschiedener Art durchführen: gewöhnlich, dezimal, periodisch. In diesem Fall kann es erforderlich sein, einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln oder die umgekehrte Aktion auszuführen – den periodischen Bruch durch einen gewöhnlichen zu ersetzen.

Drehen dezimal zu gewöhnlich, reicht es aus, die Zahl nach dem Dezimalpunkt in den Zähler des Bruchs und eine mit Nullen in den Nenner zu schreiben, und es sollten so viele Nullen stehen, wie Ziffern rechts vom Dezimalpunkt vorhanden sind.

Zum Beispiel: ; .

Drehen gemeinsamer Bruch in Dezimalzahl, ist es notwendig, seinen Zähler durch den Nenner gemäß der Regel der Division eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl zu dividieren.

Zum Beispiel: ;

;

.

Drehen periodischer Bruch zum gewöhnlichen Bruch, notwendig:

1) Subtrahieren Sie von der Zahl vor dem zweiten Punkt die Zahl vor dem ersten Punkt;

2) Notieren Sie diese Differenz als Zähler;

3) Schreiben Sie im Nenner die Zahl 9 so oft, wie es Ziffern im Punkt gibt;

4) Fügen Sie im Nenner so viele Nullen hinzu, wie Ziffern zwischen dem Dezimalpunkt und dem ersten Punkt vorhanden sind.

Zum Beispiel: ; .

Gesetze arithmetischer Operationen auf reellen Zahlen

1. verschiebbar(kommutatives) Additionsgesetz: Der Wert der Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht:

2. verschiebbar(kommutatives) Gesetz der Multiplikation: Der Wert des Produkts ändert sich durch die Umordnung der Faktoren nicht:

3. Assoziativ(assoziatives) Additionsgesetz: Der Wert der Summe ändert sich nicht, wenn eine beliebige Gruppe von Termen durch ihre Summe ersetzt wird:

4. Assoziativ(assoziatives) Multiplikationsgesetz: Der Wert des Produkts ändert sich nicht, wenn eine Gruppe von Faktoren durch ihr Produkt ersetzt wird:

.

5. Verteilung(Verteilungs-)Gesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, reicht es aus, jeden Term mit dieser Zahl zu multiplizieren und die resultierenden Produkte zu addieren:

Die Eigenschaften 6 – 10 werden als Absorptionsgesetze 0 und 1 bezeichnet.

Zeichen der Teilbarkeit

Eigenschaften, die es in manchen Fällen ermöglichen, ohne Division zu bestimmen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, werden aufgerufen Zeichen der Teilbarkeit.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn die Schreibweise der Zahl auf endet selbst Nummer. Das heißt, 0, 2, 4, 6, 8.

Zum Beispiel: 12834; –2538; 39,42.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Zum Beispiel: 2742; –17940.

Teilbarkeit durch 4 Vorzeichen. Eine Zahl mit mindestens drei Ziffern ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die zweistellige Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der gegebenen Zahl besteht, durch 4 teilbar ist.

Zum Beispiel: 15436; –372516.

Zeichen der Teilbarkeit durch 5. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0 oder 5 ist.

Zum Beispiel: 754570; –4125.

Zeichen der Teilbarkeit durch 9. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

Zum Beispiel: 846; –76455.

Zweck: Überprüfung der Ausbildung von Fähigkeiten zur Durchführung von Berechnungen anhand von Formeln; Kinder mit den kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetzen arithmetischer Operationen vertraut zu machen.

• die wörtliche Schreibweise der Additions- und Multiplikationsgesetze einführen; lehren, wie man die Gesetze arithmetischer Operationen anwendet, um Berechnungen und wörtliche Ausdrücke zu vereinfachen;
• logisches Denken, geistige Fähigkeiten, willensstarke Gewohnheiten, mathematische Sprache, Gedächtnis, Aufmerksamkeit, Interesse an Mathematik, Praktikabilität entwickeln;
• Respekt voreinander, Kameradschaft und Vertrauen pflegen.

Unterrichtsart: kombiniert.

• Überprüfung bereits erworbener Kenntnisse;
• Vorbereitung der Schüler auf das Erlernen neuer Materialien
• Präsentation von neuem Material;
• Wahrnehmung und Bewusstsein der Studierenden für neues Material;
• primäre Konsolidierung des untersuchten Materials;
• Zusammenfassung der Lektion und Festlegung der Hausaufgaben.

Ausrüstung: Computer, Projektor, Präsentation.

Planen:

1. Organisatorischer Moment.
2. Überprüfung des zuvor untersuchten Materials.
3. Neues Material lernen.
4. Primärer Test der Wissensbeherrschung (Arbeit mit dem Lehrbuch).
5. Kontrolle und Selbstprüfung des Wissens (selbstständiges Arbeiten).
6. Zusammenfassung der Lektion.
7. Reflexion.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment

Lehrer: Guten Tag, Kinder! Wir beginnen unsere Lektion mit einem Gedicht – Abschiedsworten. Achten Sie auf den Bildschirm. (1 Folie). Anhang 2 .

Mathematik, Freunde,
Absolut jeder braucht es.
Arbeite hart im Unterricht
Und der Erfolg wartet auf Sie!

2. Wiederholung des Materials

Lassen Sie uns noch einmal Revue passieren lassen, was wir gelernt haben. Ich lade den Schüler auf den Bildschirm ein. Aufgabe: Verbinden Sie mit einem Zeiger die geschriebene Formel mit ihrem Namen und beantworten Sie die Frage, was mit dieser Formel sonst noch gefunden werden kann. (2 Folie).

Hefte öffnen, Nummer unterschreiben, Klassenarbeit. Achten Sie auf den Bildschirm. (3. Folie).

An der nächsten Folie arbeiten wir mündlich. (5 Folie).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Aufgabe: Finden Sie die Bedeutung von Ausdrücken. (Ein Schüler arbeitet am Bildschirm.)

- Welche interessanten Dinge sind Ihnen beim Lösen der Beispiele aufgefallen? Auf welche Beispiele sollte besonderes Augenmerk gelegt werden? (Antworten der Kinder.)

Problemsituation

Welche Eigenschaften der Addition und Multiplikation kennen Sie aus der Grundschule? Können Sie sie mit wörtlichen Ausdrücken aufschreiben? (Antworten von Kindern).

3. Neues Material lernen

- Und so lautet das Thema der heutigen Lektion „Gesetze arithmetischer Operationen“. (6 Folie).
- Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihr Notizbuch.
Was sollen wir im Unterricht Neues lernen? (Gemeinsam mit den Kindern werden die Ziele des Unterrichts formuliert).
- Schau auf den Bildschirm. (7 Folie).

Sie sehen die Additionsgesetze in wörtlicher Form und anhand von Beispielen. (Analyse von Beispielen).

- Nächste Folie (8 Folie).

Die Gesetze der Multiplikation verstehen.

- Machen wir uns nun mit einem sehr wichtigen Verteilungsgesetz vertraut (9 Folie).

- Zusammenfassen. (10 Folie).

Warum müssen Sie die Gesetze der Arithmetik kennen? Werden sie für weitere Studien nützlich sein, für das Studium welcher Fächer? (Antworten der Kinder.)

- Notieren Sie die Regeln in Ihrem Notizbuch.

4. Fixieren des Materials

- Öffnen Sie das Lehrbuch und finden Sie die Nummer 212 (a, b, e) mündlich.

Nr. 212 (c, d, g, h) schriftlich an der Tafel und in Notizbüchern. (Untersuchung).

– Wir arbeiten mündlich an Nr. 214.

– Wir erledigen Aufgabe Nummer 215. Nach welchem ​​Gesetz wird diese Nummer gelöst? (Antworten von Kindern).

5. Selbstständiges Arbeiten

- Notieren Sie die Antwort auf der Karte und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit Ihrem Schreibtischkollegen. Und jetzt Aufmerksamkeit auf den Bildschirm. (11 Folie).(Nachweis der selbstständigen Arbeit).

6. Zusammenfassung der Lektion

- Aufmerksamkeit auf den Bildschirm. (12 Folie). Beende den Satz.

Unterrichtsnoten.

7. Hausaufgaben

§13, Nr. 227, 229.

8. Reflexion