Was ist ein Derivat?
Definition und Bedeutung der Ableitung einer Funktion

Viele werden von der unerwarteten Position dieses Artikels im Kurs meines Autors über die Ableitung einer Funktion einer Variablen und ihre Anwendungen überrascht sein. Denn wie schon aus der Schule: Ein Standardlehrbuch gibt zunächst eine Definition einer Ableitung, ihre geometrische, mechanische Bedeutung. Als nächstes finden die Schüler Ableitungen von Funktionen per Definition, und erst dann wird die Differenzierungstechnik perfektioniert Ableitungstabellen.

Aus meiner Sicht ist jedoch folgender Ansatz pragmatischer: Zunächst einmal empfiehlt es sich, GUT ZU VERSTEHEN Funktionsgrenze, und vor allem Infinitesimale. Die Sache ist die Die Definition des Derivats basiert auf dem Konzept eines Limits, was im Schulunterricht kaum berücksichtigt wird. Aus diesem Grund dringt ein erheblicher Teil der jungen Konsumenten von Granitwissen nur unzureichend in das Wesen des Derivats ein. Wenn Sie sich also nicht gut mit der Differentialrechnung auskennen oder das kluge Gehirn sich im Laufe der Jahre erfolgreich von diesem Ballast befreit hat, beginnen Sie bitte damit Funktionsgrenzen. Beherrschen/erinnern Sie sich gleichzeitig an ihre Entscheidung.

Derselbe praktische Sinn legt nahe, dass es zuerst profitabel ist lernen, Derivate zu finden, einschließlich Ableitungen komplexer Funktionen. Theorie ist eine Theorie, aber man will immer differenzieren, wie man so schön sagt. In diesem Zusammenhang ist es besser, die aufgeführten Grundlektionen auszuarbeiten und ggf. zu werden Differenzierungsmeister ohne sich überhaupt der Essenz ihres Handelns bewusst zu sein.

Ich empfehle, mit den Materialien auf dieser Seite zu beginnen, nachdem Sie den Artikel gelesen haben. Die einfachsten Probleme mit einer Ableitung, wobei insbesondere das Problem der Tangente an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Aber es kann sich verzögern. Tatsache ist, dass viele Anwendungen der Ableitung kein Verständnis erfordern, und es ist nicht verwunderlich, dass die theoretische Lektion erst recht spät erschien – als ich sie erklären musste Finden von Anstiegs-/Abfallintervallen und Extremwerten Funktionen. Außerdem beschäftigte er sich schon ziemlich lange mit dem Thema. Funktionen und Graphen“, bis ich mich entschied, es früher einzubauen.

Deshalb, liebe Teekannen, beeilen Sie sich nicht, die Essenz des Derivats aufzunehmen, wie hungrige Tiere, denn die Sättigung wird geschmacklos und unvollständig sein.

Das Konzept der Zunahme, Abnahme, des Maximums und des Minimums einer Funktion

Viele Tutorials führen anhand einiger praktischer Probleme zum Konzept eines Derivats, und ich habe auch ein interessantes Beispiel gefunden. Stellen Sie sich vor, wir müssten in eine Stadt reisen, die auf unterschiedliche Weise erreichbar ist. Wir verwerfen sofort die gekrümmten, gewundenen Pfade und betrachten nur gerade Linien. Allerdings ist auch die direkte Anfahrt anders: Über eine flache Autobahn gelangt man in die Stadt. Oder auf einer hügeligen Autobahn – rauf und runter, rauf und runter. Auf einer anderen Straße geht es nur bergauf, auf einer anderen geht es ständig bergab. Abenteuerlustige wählen eine Route durch die Schlucht mit steilem Felsen und steilem Aufstieg.

Aber was auch immer Ihre Vorlieben sind, es ist wünschenswert, die Gegend zu kennen oder zumindest eine topografische Karte davon zu haben. Was ist, wenn es solche Informationen nicht gibt? Schließlich kann man sich zum Beispiel für einen flachen Weg entscheiden, stolpert aber dadurch über eine Skipiste mit lustigen Finnen. Nicht die Tatsache, dass der Navigator und sogar ein Satellitenbild zuverlässige Daten liefern. Daher wäre es schön, die Erleichterung des Weges mithilfe der Mathematik zu formalisieren.

Betrachten Sie eine Straße (Seitenansicht):

Für alle Fälle möchte ich Sie an eine grundlegende Tatsache erinnern: Die Reise findet statt von links nach rechts. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die Funktion kontinuierlich im betrachteten Gebiet.

Was sind die Merkmale dieses Diagramms?

In Intervallen Funktion erhöht sich, das heißt, jeder seiner nächsten Werte mehr Der vorherige. Grob gesagt geht der Zeitplan runter rauf(Wir steigen den Hügel hinauf). Und auf dem Intervall die Funktion abnehmend- jeder nächste Wert weniger der vorherige, und unser Zeitplan läuft von oben nach unten(den Hang hinuntergehen).

Achten wir auch auf besondere Punkte. An dem Punkt, den wir erreichen maximal, also existiert ein solcher Abschnitt des Pfades, auf dem der Wert am größten (höchsten) sein wird. Am selben Punkt, Minimum, Und existiert so seine Umgebung, in der der Wert am kleinsten (niedrigsten) ist.

In der Lektion werden strengere Terminologien und Definitionen behandelt. über die Extrema der Funktion, aber lassen Sie uns zunächst ein weiteres wichtiges Merkmal untersuchen: die Intervalle Die Funktion nimmt zu, aber sie nimmt zu mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und das erste, was Ihnen ins Auge fällt, ist, dass das Diagramm in dem Intervall nach oben steigt viel cooler als auf dem Intervall. Ist es möglich, die Steilheit der Straße mit mathematischen Werkzeugen zu messen?

Funktionsänderungsrate

Die Idee ist folgende: Nehmen Sie etwas Wert (lesen Sie „Delta x“), die wir nennen werden Argumentinkrement, und fangen wir an, es an verschiedenen Punkten unseres Weges „anzuprobieren“:

1) Schauen wir uns den Punkt ganz links an: Unter Umgehung der Distanz erklimmen wir den Hang bis zu einer Höhe (grüne Linie). Der Wert wird aufgerufen Funktionsinkrement, und in diesem Fall ist dieses Inkrement positiv (die Differenz der Werte entlang der Achse ist größer als Null). Machen wir das Verhältnis, das das Maß für die Steilheit unserer Straße sein wird. Offensichtlich handelt es sich um eine ganz bestimmte Zahl, und da beide Inkremente positiv sind, gilt .

Aufmerksamkeit! Bezeichnung sind EINS Symbol, das heißt, Sie können das „Delta“ nicht vom „x“ „abreißen“ und diese Buchstaben separat betrachten. Der Kommentar gilt natürlich auch für das Inkrementsymbol der Funktion.

Lassen Sie uns die Natur des resultierenden Bruchs genauer untersuchen. Angenommen, wir befinden uns zunächst in einer Höhe von 20 Metern (im linken schwarzen Punkt). Nach Überwindung der Meterstrecke (linke rote Linie) befinden wir uns auf einer Höhe von 60 Metern. Dann beträgt das Inkrement der Funktion Meter (grüne Linie) und: . Auf diese Weise, auf jedem Meter diesen Straßenabschnitt Höhe nimmt zu im mittleren um 4 Meter…Hast du deine Kletterausrüstung vergessen? =) Mit anderen Worten: Das konstruierte Verhältnis charakterisiert die DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE (in diesem Fall das Wachstum) der Funktion.

Notiz : Die Zahlenwerte des betreffenden Beispiels entsprechen den Proportionen der Zeichnung nur annähernd.

2) Gehen wir nun vom schwarzen Punkt ganz rechts den gleichen Abstand zurück. Hier ist der Anstieg sanfter, sodass der Anstieg (karmesinrote Linie) relativ klein ist und das Verhältnis im Vergleich zum vorherigen Fall recht bescheiden ausfällt. Relativ gesehen, Meter und Funktionswachstumsrate Ist . Das heißt, hier kommt es auf jeden Meter Straße an im mittleren einen halben Meter hoch.

3) Ein kleines Abenteuer am Berghang. Schauen wir uns den oberen schwarzen Punkt auf der y-Achse an. Nehmen wir an, dass dies eine Marke von 50 Metern ist. Wieder überwinden wir die Distanz, wodurch wir uns tiefer befinden – auf dem Niveau von 30 Metern. Da die Bewegung gemacht wurde von oben nach unten(in der „entgegengesetzten“ Richtung der Achse), dann das Finale Das Inkrement der Funktion (Höhe) ist negativ: Meter (braune Linie in der Zeichnung). Und in diesem Fall sprechen wir darüber Zerfallsrate Merkmale: , das heißt, mit jedem Meter des Weges dieses Abschnitts nimmt die Höhe ab im mittleren um 2 Meter. Achten Sie beim fünften Punkt auf die Kleidung.

Stellen wir uns nun die Frage: Welcher Wert für „Maßstandard“ ist am besten zu verwenden? Es ist klar, dass 10 Meter sehr rau sind. Ein gutes Dutzend Beulen passen problemlos darauf. Warum gibt es Unebenheiten, vielleicht liegt darunter eine tiefe Schlucht und nach ein paar Metern die andere Seite mit einem weiteren steilen Anstieg. Bei einem Zehn-Meter-Weg erhalten wir also durch das Verhältnis keine verständliche Charakteristik solcher Wegabschnitte.

Aus der obigen Diskussion ergibt sich folgende Schlussfolgerung: desto kleiner der Wert, desto genauer werden wir das Relief der Straße beschreiben. Darüber hinaus sind folgende Tatsachen wahr:

– Für jeden Hebepunkte Sie können einen Wert (wenn auch einen sehr kleinen) wählen, der in die Grenzen des einen oder anderen Anstiegs passt. Und das bedeutet, dass das entsprechende Höheninkrement garantiert positiv ist und die Ungleichung das Wachstum der Funktion an jedem Punkt dieser Intervalle korrekt anzeigt.

- Ebenfalls, für jeden Gibt es einen Steigungspunkt, gibt es einen Wert, der vollständig auf diese Steigung passt. Daher ist die entsprechende Höhenzunahme eindeutig negativ und die Ungleichung zeigt korrekt die Abnahme der Funktion an jedem Punkt des gegebenen Intervalls.

– Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die Änderungsrate der Funktion Null ist: . Erstens ist ein Höheninkrement von Null () ein Zeichen für einen geraden Pfad. Und zweitens gibt es noch andere merkwürdige Situationen, Beispiele dafür sehen Sie in der Abbildung. Stellen Sie sich vor, das Schicksal hätte uns auf die Spitze eines Hügels mit hochfliegenden Adlern oder auf den Grund einer Schlucht mit quakenden Fröschen geführt. Wenn Sie einen kleinen Schritt in eine beliebige Richtung machen, ist die Höhenänderung vernachlässigbar und wir können sagen, dass die Änderungsrate der Funktion tatsächlich Null ist. Das gleiche Muster ist punktuell zu beobachten.

Damit haben wir eine erstaunliche Gelegenheit genutzt, die Änderungsrate einer Funktion perfekt und genau zu charakterisieren. Schließlich erlaubt uns die mathematische Analyse, das Inkrement des Arguments auf Null zu lenken, also zu machen unendlich klein.

Daraus ergibt sich eine weitere logische Frage: Ist es möglich, die Straße und ihren Zeitplan zu finden? eine weitere Funktion, welche würde es uns sagenüber alle Ebenen, Anstiege, Abfahrten, Gipfel, Tiefebenen sowie die Steigungs-/Abnahmegeschwindigkeit an jedem Punkt des Weges?

Was ist ein Derivat? Definition eines Derivats.
Die geometrische Bedeutung der Ableitung und des Differentials

Bitte lesen Sie sorgfältig und nicht zu schnell – der Stoff ist einfach und für jeden zugänglich! Es ist in Ordnung, wenn an manchen Stellen etwas nicht ganz klar erscheint. Sie können später jederzeit zum Artikel zurückkehren. Ich möchte noch mehr sagen: Es ist nützlich, die Theorie mehrmals zu studieren, um alle Punkte qualitativ zu verstehen (der Rat ist besonders relevant für „technische“ Studenten, für die höhere Mathematik eine wichtige Rolle im Bildungsprozess spielt).

Natürlich werden wir es in der Definition der Ableitung an einem bestimmten Punkt ersetzen durch:

Wozu sind wir gekommen? Und wir kamen zu dem Schluss, dass es sich um eine gesetzeskonforme Funktion handelt ausgerichtet ist andere Funktion, Was heisst Ableitungsfunktion(oder einfach Derivat).

Die Ableitung charakterisiert Änderungsrate Funktionen. Auf welche Weise? Der Gedanke zieht sich vom Anfang des Artikels an wie ein roter Faden. Denken Sie über einen Punkt nach Domänen Funktionen. Die Funktion sei an einem bestimmten Punkt differenzierbar. Dann:

1) Wenn , dann nimmt die Funktion im Punkt zu. Und offensichtlich gibt es das Intervall(auch wenn sehr klein) enthält den Punkt, an dem die Funktion wächst, und ihr Graph verläuft „von unten nach oben“.

2) Wenn , dann nimmt die Funktion am Punkt ab. Und es gibt ein Intervall, das einen Punkt enthält, an dem die Funktion abnimmt (der Graph verläuft „von oben nach unten“).

3) Wenn, dann unendlich nah In der Nähe des Punktes hält die Funktion ihre Geschwindigkeit konstant. Dies geschieht, wie erwähnt, für eine Funktionskonstante und an kritischen Punkten der Funktion, insbesondere an den minimalen und maximalen Punkten.

Etwas Semantik. Was bedeutet das Verb „differenzieren“ im weiteren Sinne? Differenzieren bedeutet, ein Merkmal hervorzuheben. Indem wir die Funktion differenzieren, „wählen“ wir die Geschwindigkeit ihrer Änderung in Form einer Ableitung der Funktion aus. Und was ist übrigens mit dem Wort „Derivat“ gemeint? Funktion passiert aus der Funktion.

Die Begriffe interpretieren die mechanische Bedeutung der Ableitung sehr erfolgreich :
Betrachten wir das Gesetz der Änderung der Körperkoordinaten, das von der Zeit und der Funktion der Bewegungsgeschwindigkeit des gegebenen Körpers abhängt. Die Funktion charakterisiert die Änderungsrate der Körperkoordinate, daher ist sie die erste Ableitung der Funktion nach der Zeit: . Wenn es das Konzept der „Körperbewegung“ in der Natur nicht gäbe, gäbe es sie auch nicht Derivat Konzept der „Geschwindigkeit“.

Die Beschleunigung eines Körpers ist die Geschwindigkeitsänderungsrate, daher: . Wenn die ursprünglichen Konzepte „Körperbewegung“ und „Körperbewegungsgeschwindigkeit“ in der Natur nicht existieren würden, dann gäbe es sie auch nicht Derivat das Konzept der Beschleunigung eines Körpers.

(\large\bf Funktionsableitung)

Betrachten Sie die Funktion y=f(x), gegeben auf dem Intervall (a,b). Lassen X- beliebiges Festkommaintervall (a,b), A Δx- eine beliebige Zahl, so dass der Wert x+Δx gehört ebenfalls zum Intervall (a,b). Diese Nummer Δx heißt Argumentinkrement.

Definition. Funktionsinkrement y=f(x) am Punkt X, entsprechend der Erhöhung des Arguments Δx, lass uns die Nummer anrufen

Δy = f(x+Δx) - f(x).

wir glauben das Δx ≠ 0. Betrachten Sie an einem bestimmten festen Punkt X das Verhältnis des Inkrements der Funktion an diesem Punkt zum entsprechenden Inkrement des Arguments Δx

Diese Beziehung wird Differenzbeziehung genannt. Da der Wert X wir betrachten es als fest, die Differenzrelation ist eine Funktion des Arguments Δx. Diese Funktion ist für alle Argumentwerte definiert Δx, zu einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes gehörend ∆x=0, bis auf den Punkt ∆x=0. Daher haben wir das Recht, die Frage nach der Existenz einer Grenze der angegebenen Funktion für zu prüfen ∆x → 0.

Definition. Ableitungsfunktion y=f(x) an einem bestimmten festen Punkt X heißt Grenzwert ∆x → 0 Differentialbeziehung, das heißt

Vorausgesetzt, dass diese Grenze besteht.

Bezeichnung. y (x) oder f′(x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung: Ableitung der Funktion f(x) an dieser Stelle X gleich dem Tangens des Winkels zwischen den Achsen Ochse und eine Tangente an den Graphen dieser Funktion am entsprechenden Punkt:

f′(x 0) = \tgα.

Die mechanische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung des Punktes:

Linientangentengleichung y=f(x) am Punkt M0 (x0,y0) nimmt die Form an

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Die Normale der Kurve an einem bestimmten Punkt ist die Senkrechte zur Tangente am selben Punkt. Wenn f′(x 0)≠ 0, dann die Gleichung der Normalen zur Geraden y=f(x) am Punkt M0 (x0,y0) ist so geschrieben:

Das Konzept der Differenzierbarkeit einer Funktion

Lassen Sie die Funktion y=f(x) in einem bestimmten Intervall definiert (a,b), X- ein fester Wert des Arguments aus diesem Intervall, Δx– jede Erhöhung des Arguments, sodass der Wert des Arguments x+Δx ∈ (a, b).

Definition. Funktion y=f(x) heißt an einem gegebenen Punkt differenzierbar X wenn Inkrement Δy diese Funktion an der Stelle X, entsprechend der Erhöhung des Arguments Δx, kann dargestellt werden als

Δy = A Δx +αΔx,

Wo A ist eine Zahl unabhängig von Δx, A α - Argumentfunktion Δx, was unendlich klein ist ∆x → 0.

Da das Produkt zweier infinitesimaler Funktionen αΔx ist eine unendlich kleine höhere Ordnung als Δx(Eigenschaft 3 von Infinitesimalfunktionen) können wir schreiben:

∆y = A ∆x +o(∆x).

Satz. Damit die Funktion gewährleistet ist y=f(x) war zu einem bestimmten Zeitpunkt differenzierbar X, ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine endliche Ableitung hat. Dabei A=f′(x), also

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird üblicherweise Differenzierung genannt.

Satz. Wenn die Funktion y=f(x) X, dann ist es an diesem Punkt stetig.

Kommentar. Aus der Stetigkeit der Funktion y=f(x) an dieser Stelle X Im Allgemeinen folgt daraus nicht, dass die Funktion differenzierbar ist f(x) an dieser Stelle. Zum Beispiel die Funktion y=|x|- kontinuierlich an einem Punkt x=0, hat aber keine Ableitung.

Das Konzept eines Funktionsdifferentials

Definition. Funktionsdifferential y=f(x) heißt das Produkt der Ableitung dieser Funktion und dem Inkrement der unabhängigen Variablen X:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Für die Funktion y=x wir bekommen dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, also dx=Δx- Das Differential einer unabhängigen Variablen ist gleich dem Inkrement dieser Variablen.

So können wir schreiben

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Differential dy und erhöhen Δy Funktionen y=f(x) an dieser Stelle X, beide entsprechen demselben Inkrement des Arguments Δx sind im Allgemeinen nicht gleich.

Die geometrische Bedeutung des Differentials: Das Differential einer Funktion ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion, wenn das Argument inkrementiert wird Δx.

Differenzierungsregeln

Satz. Wenn jede der Funktionen u(x) Und v(x) an einem bestimmten Punkt differenzierbar X, dann die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient dieser Funktionen (Quotient vorausgesetzt). v(x)≠ 0) sind an dieser Stelle ebenfalls differenzierbar und es gelten folgende Formeln:

Betrachten Sie eine komplexe Funktion y=f(φ(x))≡ F(x), Wo y=f(u), u=φ(x). In diesem Fall u genannt Zwischenargument, X - unabhängige Variable.

Satz. Wenn y=f(u) Und u=φ(x) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente, dann die Ableitung der komplexen Funktion y=f(φ(x)) existiert und ist gleich dem Produkt dieser Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments in Bezug auf die unabhängige Variable, d. h.

Kommentar. Für eine komplexe Funktion, die eine Überlagerung von drei Funktionen ist y=F(f(φ(x))), die Differenzierungsregel hat die Form

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

wo funktioniert v=φ(x), u=f(v) Und y=F(u) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente.

Satz. Lassen Sie die Funktion y=f(x) nimmt in einer bestimmten Umgebung des Punktes zu (oder ab) und ist kontinuierlich x0. Diese Funktion sei außerdem an der angegebenen Stelle differenzierbar x0 und seine Ableitung an dieser Stelle f′(x 0) ≠ 0. Dann in irgendeiner Umgebung des entsprechenden Punktes y0=f(x0) das Gegenteil für y=f(x) Funktion x=f -1 (y), und die angegebene Umkehrfunktion ist am entsprechenden Punkt differenzierbar y0=f(x0) und für seine Ableitung an dieser Stelle j Die Formel ist gültig

Ableitungstabelle

Invarianz der Form des ersten Differentials

Betrachten Sie das Differential einer komplexen Funktion. Wenn y=f(x), x=φ(t) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente, dann die Ableitung der Funktion y=f(φ(t)) wird durch die Formel ausgedrückt

y′ t = y′ x x′ t.

A-Priorat dy=y't dt, dann bekommen wir

dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Wir haben es also bewiesen

Eigenschaft der Invarianz der Form des ersten Differentials einer Funktion: wie im Fall, wenn das Argument X ist eine unabhängige Variable, und in dem Fall, wenn das Argument X ist selbst eine differenzierbare Funktion der neuen Variablen, des Differentials dy Funktionen y=f(x) ist gleich der Ableitung dieser Funktion, multipliziert mit dem Differential des Arguments dx.

Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen

Wir haben gezeigt, dass das Differential dy Funktionen y=f(x) ist im Allgemeinen nicht gleich dem Inkrement Δy diese Funktion. Dennoch bis hin zu einer unendlich kleinen Funktion höherer Kleinheitsordnung als Δx, die ungefähre Gleichheit

∆y ≈ dy.

Das Verhältnis wird als relativer Fehler der Gleichheit dieser Gleichheit bezeichnet. Als ∆y-dy=o(∆x), dann wird der relative Fehler dieser Gleichheit beliebig klein als |Δх|.

Angesichts dessen Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, wir bekommen f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx oder

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Diese ungefähre Gleichheit erlaubt mit einem Fehler o(Δx) Funktion ersetzen f(x) in einer kleinen Nachbarschaft eines Punktes X(also für kleine Werte Δx) eine lineare Funktion des Arguments Δx steht auf der rechten Seite.

Derivate höherer Ordnung

Definition. Die zweite Ableitung (oder Ableitung zweiter Ordnung) der Funktion y=f(x) heißt die Ableitung seiner ersten Ableitung.

Notation für die zweite Ableitung einer Funktion y=f(x):

Mechanische Bedeutung der zweiten Ableitung. Wenn die Funktion y=f(x) beschreibt das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes in einer geraden Linie, dann die zweite Ableitung f″(x) ist gleich der Beschleunigung des sich bewegenden Punktes zu diesem Zeitpunkt X.

Die dritte und vierte Ableitung sind ähnlich definiert.

Definition. N-te Ableitung (oder Ableitung N Ordnung) Funktionen y=f(x) nennt man die Ableitung davon n-1-te Ableitung:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Bezeichnungen: y″′, und IV, y V usw.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung

BESTIMMUNG DER TANGENTE AN DIE KURVE Tangente zur Kurve y=ƒ(x) am Punkt M heißt die Grenzposition der durch den Punkt gezogenen Sekante M und sein Nachbarpunkt M 1 Kurve, sofern der Punkt M 1 nähert sich auf unbestimmte Zeit entlang der Kurve einem Punkt M. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DES Derivats Funktionsableitung y=ƒ(x) am Punkt X 0 ist numerisch gleich dem Tangens des Neigungswinkels zur Achse Oh Tangente an die Kurve gezogen y=ƒ(x) am Punkt M (x 0; ƒ (x 0)).

VON DOTIC BIS GEBOGEN ENTWICKELT Dotichnaya zum Krummen y=ƒ(x) auf den Punkt M die Grenzposition des Sichno genannt, die durch den Punkt gezogen wird M und einen Punkt damit beurteilen M 1 schief, wohlgemerkt, was für ein Punkt M 1 Die Kurve nähert sich dem Punkt M. GEOMETRISCHER ZMIST GUT Andere Funktionen y=ƒ(x) auf den Punkt x 0 Erhöhen Sie numerisch die Tangente des Kuta Nahil an die Achse Oh dotichny, bis zur Kurve ausgeführt y=ƒ(x) auf den Punkt M (x 0; ƒ (x 0)).

Die praktische Bedeutung der Ableitung

Betrachten wir, was der Wert, den wir als Ableitung einer Funktion finden, praktisch bedeutet.

Vor allem, Derivat- Dies ist das Grundkonzept der Differentialrechnung, das die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt charakterisiert.

Was ist „Änderungsrate“? Stellen Sie sich eine Funktion vor f(x) = 5. Unabhängig vom Wert des Arguments (x) ändert sich sein Wert in keiner Weise. Das heißt, die Änderungsrate ist Null.

Betrachten Sie nun die Funktion f(x) = x. Die Ableitung von x ist gleich eins. Tatsächlich lässt sich leicht erkennen, dass sich mit jeder Änderung des Arguments (x) um eins auch der Wert der Funktion um eins erhöht.

Schauen wir uns nun aus der Sicht der erhaltenen Informationen die Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen an. Auf dieser Grundlage wird sofort klar, welche physikalische Bedeutung es hat, die Ableitung einer Funktion zu finden. Ein solches Verständnis sollte die Lösung praktischer Probleme erleichtern.

Wenn dementsprechend die Ableitung die Änderungsrate der Funktion angibt, dann zeigt die doppelte Ableitung die Beschleunigung.

2080.1947

Datum: 20.11.2014

Was ist ein Derivat?

Ableitungstabelle.

Die Ableitung ist eines der Hauptkonzepte der höheren Mathematik. In dieser Lektion stellen wir dieses Konzept vor. Lernen wir es kennen, ohne strenge mathematische Formulierungen und Beweise.

Mit dieser Einführung können Sie:

Verstehen Sie die Essenz einfacher Aufgaben mit einer Ableitung;

Lösen Sie diese sehr einfachen Aufgaben erfolgreich;

Bereiten Sie sich auf ernsthaftere abgeleitete Lektionen vor.

Zunächst eine angenehme Überraschung.

Die strenge Definition der Ableitung basiert auf der Grenzwerttheorie und ist ziemlich kompliziert. Es ist ärgerlich. Aber die praktische Anwendung des Derivats erfordert in der Regel kein so umfangreiches und tiefes Wissen!

Um die meisten Aufgaben in Schule und Universität erfolgreich zu erledigen, reicht es aus, etwas zu wissen nur ein paar Begriffe- die Aufgabe verstehen und nur ein paar Regeln- um es zu lösen. Und alle. Es gefällt.

Sollen wir uns kennenlernen?)

Begriffe und Bezeichnungen.

In der Elementarmathematik gibt es viele mathematische Operationen. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung, Logarithmus usw. Wenn zu diesen Operationen eine weitere Operation hinzugefügt wird, wird die elementare Mathematik höher. Diese neue Operation wird aufgerufen Differenzierung. Die Definition und Bedeutung dieser Operation werden in separaten Lektionen besprochen.

Hier ist es wichtig zu verstehen, dass die Differenzierung nur eine mathematische Operation an einer Funktion ist. Wir nehmen jede Funktion und transformieren sie nach bestimmten Regeln. Das Ergebnis ist eine neue Funktion. Diese neue Funktion heißt: Derivat.

Differenzierung- Aktion auf eine Funktion.

Derivat ist das Ergebnis dieser Aktion.

So wie zum Beispiel Summe ist das Ergebnis der Addition. Oder Privatgelände ist das Ergebnis der Division.

Wenn man die Begriffe kennt, kann man zumindest die Aufgaben verstehen. Der Wortlaut lautet wie folgt: finde die Ableitung einer Funktion; nimm die Ableitung; die Funktion differenzieren; Ableitung berechnen usw. Das ist alles Dasselbe. Natürlich gibt es komplexere Aufgaben, bei denen das Finden der Ableitung (Differenzierung) nur einer der Schritte zur Lösung der Aufgabe ist.

Die Ableitung wird durch einen Strich oben rechts über der Funktion gekennzeichnet. So: y" oder f"(x) oder S"(t) usw.

lesen y-Strich, ef-Strich von x, es-Strich von te, na ja, du verstehst...)

Eine Primzahl kann auch die Ableitung einer bestimmten Funktion bezeichnen, zum Beispiel: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" usw. Oft wird die Ableitung durch Differentiale dargestellt, aber wir werden eine solche Notation in dieser Lektion nicht betrachten.

Angenommen, wir haben gelernt, die Aufgaben zu verstehen. Es bleibt nichts übrig – zu lernen, wie man sie löst.) Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern: Die Ableitung zu finden ist Transformation einer Funktion nach bestimmten Regeln. Es gibt überraschend wenige dieser Regeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Dinge wissen. Drei Säulen, auf denen jede Differenzierung ruht. Hier sind die drei Wale:

1. Tabelle der Ableitungen (Differenzierungsformeln).

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Beginnen wir der Reihe nach. In dieser Lektion betrachten wir die Ableitungstabelle.

Ableitungstabelle.

Die Welt hat unendlich viele Funktionen. Darunter befinden sich Funktionen, die für die praktische Anwendung am wichtigsten sind. Diese Funktionen liegen in allen Naturgesetzen vor. Aus diesen Funktionen können Sie alle anderen wie aus Bausteinen konstruieren. Diese Klasse von Funktionen wird aufgerufen elementare Funktionen. Es sind diese Funktionen, die in der Schule studiert werden – linear, quadratisch, Hyperbel usw.

Differenzierung von Funktionen „von Grund auf“, d.h. basierend auf der Definition der Ableitung und der Grenzwerttheorie - eine ziemlich zeitaufwändige Sache. Und Mathematiker sind auch Menschen, ja, ja! Also haben sie ihr Leben (und unser Leben) vereinfacht. Sie berechneten vor uns Ableitungen elementarer Funktionen. Das Ergebnis ist eine Ableitungstabelle, in der alles fertig ist.)

Hier ist sie, diese Platte für die gängigsten Funktionen. Links – Elementarfunktion, rechts – ihre Ableitung.

	Funktion j	Ableitung der Funktion y y"
1	C (konstant)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n ist eine beliebige Zahl)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	Sünde x	(sinx)" = cosx
	weil x	(cos x)“ = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Protokoll A X
	ln x ( a = e)

Ich empfehle, auf die dritte Funktionsgruppe in dieser Ableitungstabelle zu achten. Die Ableitung einer Potenzfunktion ist eine der gebräuchlichsten Formeln, wenn nicht sogar die gebräuchlichste! Ist der Hinweis klar?) Ja, es ist wünschenswert, die Ableitungstabelle auswendig zu kennen. Das ist übrigens nicht so schwierig, wie es scheint. Versuchen Sie, weitere Beispiele zu lösen, die Tabelle selbst bleibt im Gedächtnis!)

Wie Sie wissen, ist es nicht die schwierigste Aufgabe, den Tabellenwert der Ableitung zu ermitteln. Daher gibt es bei solchen Aufgaben sehr oft zusätzliche Chips. Entweder in der Formulierung der Aufgabe, oder in der Originalfunktion, die scheinbar nicht in der Tabelle steht ...

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion y = x 3

In der Tabelle gibt es keine solche Funktion. Es gibt jedoch eine allgemeine Ableitung der Potenzfunktion (dritte Gruppe). In unserem Fall ist n=3. Also ersetzen wir das Tripel anstelle von n und schreiben das Ergebnis sorgfältig auf:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Das ist alles dazu.

Antworten: y" = 3x 2

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = sinx am Punkt x = 0.

Diese Aufgabe bedeutet, dass Sie zuerst die Ableitung des Sinus ermitteln und dann den Wert ersetzen müssen x = 0 zu derselben Ableitung. Es ist in dieser Reihenfolge! Andernfalls kommt es vor, dass sie sofort Null in die Originalfunktion einsetzen ... Wir werden gebeten, nicht den Wert der Originalfunktion, sondern den Wert zu finden seine Ableitung. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Ableitung bereits eine neue Funktion ist.

Auf der Tafel finden wir den Sinus und die entsprechende Ableitung:

y" = (sinx)" = cosx

Ersetzen Sie Null in der Ableitung:

y"(0) = cos 0 = 1

Das wird die Antwort sein.

3. Differenzieren Sie die Funktion:

Was inspiriert?) Es gibt nicht einmal eine solche Funktion in der Ableitungstabelle.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Differenzierung einer Funktion einfach darin besteht, die Ableitung dieser Funktion zu finden. Wenn Sie die elementare Trigonometrie vergessen, ist es ziemlich mühsam, die Ableitung unserer Funktion zu finden. Die Tabelle hilft nicht...

Aber wenn wir sehen, dass unsere Funktion ist Kosinus eines Doppelwinkels, dann wird sofort alles besser!

Ja Ja! Denken Sie daran, dass die Transformation die ursprüngliche Funktion ist vor der Differenzierung durchaus akzeptabel! Und es macht das Leben viel einfacher. Nach der Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels:

Diese. Unsere knifflige Funktion ist nichts anderes als y = Steuermann. Und das ist eine Tabellenfunktion. Wir erhalten sofort:

Antworten: y" = - sin x.

Beispiel für fortgeschrittene Absolventen und Studierende:

4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Eine solche Funktion gibt es in der Ableitungstabelle natürlich nicht. Aber wenn Sie sich an elementare Mathematik erinnern, an Aktionen mit Potenzen ... Dann ist es durchaus möglich, diese Funktion zu vereinfachen. So:

Und x hoch ein Zehntel ist bereits eine Tabellenfunktion! Die dritte Gruppe, n=1/10. Direkt nach der Formel und schreiben:

Das ist alles. Das wird die Antwort sein.

Ich hoffe, dass mit dem ersten Wal der Differenzierung – der Tabelle der Derivate – alles klar ist. Es bleibt noch, sich um die beiden verbleibenden Wale zu kümmern. In der nächsten Lektion lernen wir die Regeln der Differenzierung.

Die Funktion sei an einem Punkt und in einer Umgebung davon definiert. Geben wir dem Argument ein Inkrement, sodass der Punkt in den Bereich der Funktion fällt. Die Funktion wird dann inkrementiert.

DEFINITION. Ableitung einer Funktion an einem Punkt heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an dieser Stelle zum Inkrement des Arguments, bei (sofern diese Grenze existiert und endlich ist), d.h.

Benennen: ,,,.

Ableitung einer Funktion an einem Punkt rechts (links) genannt

(sofern diese Grenze existiert und endlich ist).

Bezeichnen: , - Ableitung am Punkt rechts,

, ist die Ableitung am Punkt links.

Offensichtlich ist der folgende Satz wahr.

SATZ. Eine Funktion hat genau dann eine Ableitung an einem Punkt, wenn die rechte und die linke Ableitung der Funktion existieren und an diesem Punkt gleich sind. Und

Der folgende Satz stellt einen Zusammenhang zwischen der Existenz einer Ableitung einer Funktion an einem Punkt und der Stetigkeit der Funktion an diesem Punkt her.

THEOREM (eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Ableitung einer Funktion an einem Punkt). Wenn eine Funktion an einem Punkt eine Ableitung hat, dann ist die Funktion an diesem Punkt stetig.

NACHWEISEN

Lass es existieren. Dann

,

wo ist ein Infinitesimal?

Kommentar

Ableitungsfunktion und bezeichnen

Funktionsdifferenzierung .

GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG

1) Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Wenn die Funktion und ihr Argument physikalische Größen sind, ist die Ableitung die Änderungsrate der Variablen in Bezug auf die Variable an dem Punkt. Wenn es sich beispielsweise um die zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Strecke handelt, dann ist ihre Ableitung die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn die Strommenge ist, die zu einem Zeitpunkt durch den Querschnitt des Leiters fließt, dann ist die Änderungsrate der Strommenge zu einem Zeitpunkt, d. h. aktuelle Stärke auf einmal.

2) Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Sei eine Kurve, sei ein Punkt auf der Kurve.

Jede Gerade, die mindestens zwei Punkte schneidet, heißt Sekante .

Tangente an eine Kurve an einem Punkt wird als Grenzposition der Sekante bezeichnet, wenn der Punkt dazu neigt, sich entlang der Kurve zu bewegen.

Aus der Definition geht hervor, dass eine Tangente an eine Kurve eindeutig ist, wenn sie an einem Punkt existiert.

Betrachten Sie eine Kurve (d. h. einen Graphen einer Funktion). Lassen Sie es an einem Punkt eine nicht vertikale Tangente haben. Seine Gleichung: (die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft und eine Steigung hat).

Per Definition der Steigung

wo ist der Neigungswinkel der Geraden zur Achse.

Sei der Neigungswinkel der Sekante zur Achse, wo. Da ist also Tangente

Somit,

So haben wir es verstanden ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt(geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt). Daher kann die Gleichung der Tangente an die Kurve an einem Punkt wie folgt geschrieben werden:

Kommentar . Eine gerade Linie, die durch einen Punkt senkrecht zur Tangente verläuft, die an der Kurve an diesem Punkt gezogen wird, wird aufgerufen die Normale zur Kurve am Punkt . Da die Steigungen der senkrechten Linien durch die Beziehung zusammenhängen, sieht die Gleichung der Normalen zur Kurve am Punkt wie folgt aus

, Wenn .

Wenn , dann hat die Tangente an die Kurve am Punkt die Form

und normal.

Tangenten- und Normalgleichungen

Tangentengleichung

Die Funktion sei durch die Gleichung gegeben j=F(X), müssen Sie eine Gleichung schreiben Tangente am Punkt X 0. Aus der Definition der Ableitung:

j/(X)=limΔ X→0Δ jΔ X

Δ j=F(X+Δ X)−F(X).

Die gleichung Tangente zum Graphen der Funktion: j=kx+B (k,B=const). Aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung: F/(X 0)=tgα= k Weil X 0 und F(X 0)∈ eine Gerade, dann die Gleichung Tangente wird geschrieben als: j−F(X 0)=F/(X 0)(X−X 0) , oder

j=F/(X 0)· X+F(X 0)−F/(X 0)· X 0.

Normale Gleichung

Normal ist senkrecht zu Tangente(siehe Bild). Basierend auf:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 F/(X 0)

Weil die Steigung der Normalen der Winkel β1 ist, dann gilt:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 F/(X).

Punkt ( X 0,F(X 0))∈ normal, die Gleichung hat die Form:

j−F(X 0)=−1F/(X 0)(X−X 0).

NACHWEISEN

Lass es existieren. Dann

,

wo ist ein Infinitesimal?

Dies bedeutet aber, dass es an einem Punkt kontinuierlich ist (siehe die geometrische Definition der Kontinuität). ∎

Kommentar . Die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt ist keine hinreichende Bedingung für die Existenz einer Ableitung dieser Funktion an einem Punkt. Beispielsweise ist eine Funktion stetig, hat aber an einem Punkt keine Ableitung. Wirklich,

und existiert daher nicht.

Offensichtlich ist die Korrespondenz eine Funktion, die auf einer Menge definiert ist. Sie rufen Sie an Ableitungsfunktion und bezeichnen

Die Operation, die Ableitung einer Funktion für eine Funktion zu finden, wird aufgerufen Funktionsdifferenzierung .

Ableitung von Summe und Differenz

Gegeben seien Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

(f + g)' = f' + g'

(f − g)' = f ' − g '

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel (f + g + h) ’ = f ’ + g ’ + h ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher kann die Differenz f − g als Summe f + (−1) g umgeschrieben werden, und dann bleibt nur eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.