Die Haupteigenschaften des Logarithmus, der Graph des Logarithmus, der Definitionsbereich, die Wertemenge, die Grundformeln, die Zunahme und Abnahme werden angegeben. Es wird in Betracht gezogen, die Ableitung des Logarithmus zu finden. Sowie Integral-, Potenzreihenentwicklung und Darstellung mittels komplexer Zahlen.

Inhalt

Domäne, Wertemenge, aufsteigend, absteigend

Der Logarithmus ist eine monotone Funktion und hat daher keine Extrema. Die Haupteigenschaften des Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Wertebereich	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Nullen, y= 0	x= 1	x= 1
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	Nein	Nein
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Private Werte

Der Logarithmus zur Basis 10 wird aufgerufen dezimaler Logarithmus und ist wie folgt gekennzeichnet:

Basislogarithmus e genannt natürlicher Logarithmus:

Grundlegende Logarithmusformeln

Eigenschaften des Logarithmus, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Logarithmus ist die mathematische Operation zur Logarithmusbildung. Beim Logarithmus werden die Produkte der Faktoren in Summen der Terme umgewandelt.
Potenzierung ist eine zum Logarithmus umgekehrte mathematische Operation. Bei der Potenzierung wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in Produkte von Faktoren umgewandelt.

Beweis der Grundformeln für Logarithmen

Formeln im Zusammenhang mit Logarithmen ergeben sich aus Formeln für Exponentialfunktionen und aus der Definition einer Umkehrfunktion.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion
.
Dann
.
Wenden Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion an
:
.

Lassen Sie uns die Basisänderungsformel beweisen.
;
.
Wenn wir c = b setzen, haben wir:

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des Basislogarithmus a ist die Exponentialfunktion mit dem Exponenten a.

Wenn, dann

Wenn, dann

Ableitung des Logarithmus

Ableitung des Logarithmus modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Um die Ableitung eines Logarithmus zu finden, muss dieser auf die Basis reduziert werden e.
;
.

Integral

Das Integral des Logarithmus wird durch partielle Integration berechnet: .
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
.
Lassen Sie uns eine komplexe Zahl ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir dann:
.
Oder

Allerdings ist das Argument φ nicht klar definiert. Wenn wir sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es für verschiedene die gleiche Nummer sein N.

Daher ist der Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studierende höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Siehe auch:

Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Definition und Eigenschaften

Die komplexe Null hat keinen Logarithmus, da der komplexe Exponent keinen Nullwert annimmt. ungleich Null $z$ kann in Exponentialform dargestellt werden:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Wo $k$- beliebige Ganzzahl

Dann $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ wird nach der Formel gefunden:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Hier $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$ ist der reelle Logarithmus. Daraus folgt:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Beispiele für komplexe Logarithmuswerte

Wir geben den Hauptwert des Logarithmus an ( $\backslash ln$) und sein allgemeiner Ausdruck ( $\backslash mathrm(Ln)$) für einige Argumente:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Bei der Konvertierung komplexer Logarithmen sollten Sie vorsichtig sein und berücksichtigen, dass diese mehrwertig sind und daher die Gleichheit dieser Ausdrücke nicht aus der Gleichheit der Logarithmen irgendwelcher Ausdrücke folgt. Beispiel fehlerhaft Argumentation:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$ ist ein offensichtlicher Fehler.

Beachten Sie, dass der Hauptwert des Logarithmus links und der Wert des zugrunde liegenden Zweigs rechts steht ( $k=-1$). Der Grund für den Fehler ist ein fahrlässiger Umgang mit der Immobilie $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, was im komplexen Fall im Allgemeinen die gesamte unendliche Wertemenge des Logarithmus impliziert und nicht nur den Hauptwert.

Komplexe logarithmische Funktion und Riemannsche Fläche

Aufgrund ihrer einfachen Verbindung ist die Riemannsche Fläche des Logarithmus eine universelle Abdeckung für die komplexe Ebene ohne Punkt $0$.

Analytische Fortsetzung

Der Logarithmus einer komplexen Zahl kann auch als analytische Fortsetzung des reellen Logarithmus auf die gesamte komplexe Ebene definiert werden. Lass die Kurve $\backslash Gamma$ beginnt bei Eins, geht nicht durch Null und schneidet nicht den negativen Teil der reellen Achse. Dann der Hauptwert des Logarithmus am Endpunkt $w$ krumm $\backslash Gamma$ kann durch die Formel bestimmt werden:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Wenn $\backslash Gamma$- eine einfache Kurve (ohne Selbstschnittpunkte), dann können für die darauf liegenden Zahlen bedenkenlos logarithmische Identitäten angewendet werden, zum Beispiel:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Der Hauptzweig der logarithmischen Funktion ist auf der gesamten komplexen Ebene stetig und differenzierbar, mit Ausnahme des negativen Teils der Realachse, auf den der Imaginärteil springt $2\backslash pi$. Aber diese Tatsache ist eine Folge der künstlichen Begrenzung des Imaginärteils des Hauptwertes durch das Intervall $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Betrachtet man alle Zweige der Funktion, so findet Kontinuität an allen Punkten statt, außer am Nullpunkt, wo die Funktion nicht definiert ist. Wenn eine Kurve zulässig ist $\backslash Gamma$ Wenn Sie den negativen Teil der reellen Achse kreuzen, überträgt der erste Schnittpunkt das Ergebnis vom Zweig des Hauptwerts auf den benachbarten Zweig, und jeder nachfolgende Schnittpunkt verursacht eine ähnliche Verschiebung entlang der Zweige der logarithmischen Funktion (siehe Abbildung).

Aus der analytischen Fortsetzungsformel folgt auf jedem Zweig des Logarithmus:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash über\; z)$

Für jeden Kreis $S$ den Punkt umschließen $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Das Integral wird in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) gebildet. Diese Identität liegt der Residuentheorie zugrunde.

Man kann die analytische Fortsetzung des komplexen Logarithmus auch anhand der für den realen Fall bekannten Reihe definieren:

{{{2}}}

(Reihe 1)

{{{2}}}

(Reihe 2)

Aus der Form dieser Reihen folgt jedoch, dass bei Eins die Summe der Reihe gleich Null ist, das heißt, die Reihe bezieht sich nur auf den Hauptzweig der mehrwertigen Funktion des komplexen Logarithmus. Der Konvergenzradius beider Reihen beträgt 1.

Zusammenhang mit inversen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- umgekehrter hyperbolischer Sinus $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- umgekehrter hyperbolischer Kosinus $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- umgekehrter hyperbolischer Tangens $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- inverser hyperbolischer Kotangens

Historischer Abriss

Die ersten Versuche, Logarithmen auf komplexe Zahlen auszudehnen, wurden an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Leibniz und Johann Bernoulli unternommen, es gelang ihnen jedoch nicht, eine ganzheitliche Theorie zu entwickeln – vor allem deshalb, weil das eigentliche Konzept des Logarithmus noch nicht klar war definiert. Die Diskussion zu diesem Thema fand zunächst zwischen Leibniz und Bernoulli und Mitte des 18. Jahrhunderts zwischen d'Alembert und Euler statt. Bernoulli und d'Alembert hielten eine Definition für notwendig $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, während Leibniz argumentierte, dass der Logarithmus einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl sei. Die vollständige Theorie der Logarithmen negativer und komplexer Zahlen wurde 1747–1751 von Euler veröffentlicht und unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der modernen. Obwohl die Kontroverse andauerte (d'Alembert verteidigte seinen Standpunkt und argumentierte ihn ausführlich in einem Artikel in seiner Enzyklopädie und in anderen Werken), wurde Eulers Ansatz Ende des 18. Jahrhunderts allgemein akzeptiert.

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Literatur

Theorie der Logarithmen

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 S.
• Sweschnikow A. G., Tichonow A. N. Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen. - M.: Nauka, 1967. - 304 S.
• Fikhtengolts G. M. Kurs zur Differential- und Integralrechnung. - Hrsg. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 S.

Geschichte der Logarithmen

• Mathematik des 18. Jahrhunderts // / Herausgegeben von A.P. Yushkevich, in drei Bänden. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (Hrsg.). Mathematik des 19. Jahrhunderts. Geometrie. Theorie analytischer Funktionen. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Anmerkungen

1. Logarithmische Funktion. // . - M.: Sowjetische Enzyklopädie, 1982. - T. 3.
2. , Band II, S. 520-522..
3. , Mit. 623..
4. , Mit. 92-94..
5. , Mit. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. – M.: Nauka, 1982. – S. 112. – (Quantum Library, Ausgabe 21).
7. , Band II, S. 522-526..
8. , Mit. 624..
9. , Mit. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Geschichte der Mathematik. In zwei Bänden. - M.: Hrsg. Moskauer Staatsuniversität, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Mit. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 S.

Ein Auszug, der den komplexen Logarithmus charakterisiert

Es war offensichtlich, dass dieser starke, seltsame Mann unter dem unwiderstehlichen Einfluss stand, den dieses schwarze, anmutige, liebevolle Mädchen auf ihn ausübte.
Rostow bemerkte etwas Neues zwischen Dolochow und Sonya; aber er definierte selbst nicht, um welche Art von neuer Beziehung es sich handelte. „Sie sind dort alle in jemanden verliebt“, dachte er über Sonya und Natasha. Aber er war nicht mehr so ​​geschickt wie zuvor im Umgang mit Sonya und Dolokhov und begann, seltener zu Hause zu sein.
Seit Herbst 1806 wurde wieder mit noch größerer Inbrunst als letztes Jahr über den Krieg mit Napoleon gesprochen. Es wurde nicht nur eine Reihe von Rekruten ernannt, sondern auch neun weitere Krieger aus tausend. Überall verfluchte man Bonaparte mit einem Anathema, und in Moskau war nur die Rede vom bevorstehenden Krieg. Für die Familie Rostow bestand das ganze Interesse dieser Kriegsvorbereitungen nur darin, dass Nikolushka einem Aufenthalt in Moskau nie zustimmen würde und nur das Ende von Denisows Urlaub abwartete, um nach den Ferien mit ihm zum Regiment zu gehen. Der bevorstehende Abgang hinderte ihn nicht nur nicht daran, Spaß zu haben, sondern ermutigte ihn auch dazu. Die meiste Zeit verbrachte er außer Haus, bei Abendessen, Partys und Bällen.

XI
Am dritten Weihnachtstag speiste Nikolai zu Hause, was ihm in letzter Zeit selten passierte. Es war ein offizielles Abschiedsessen, da er und Denisov nach dem Dreikönigstag zum Regiment aufbrachen. Ungefähr zwanzig Personen speisten, darunter Dolokhov und Denisov.
Niemals war im Haus der Rostows der Hauch der Liebe, die Atmosphäre der Liebe so stark spürbar wie an diesen Feiertagen. „Glücksmomente einfangen, sich zur Liebe zwingen, sich selbst verlieben!“ Nur dieses eine ist auf der Welt real – der Rest ist alles Unsinn. Und das ist das Einzige, womit wir hier beschäftigt sind“, sagte diese Atmosphäre. Nikolay kam wie immer kurz vor dem Abendessen nach Hause, nachdem er zwei Pferdepaare gefoltert hatte und selbst dann keine Zeit hatte, alle Orte zu besuchen, an denen er sein musste und wohin er gerufen wurde. Sobald er eintrat, bemerkte und spürte er die Spannung der liebevollen Atmosphäre im Haus, aber darüber hinaus bemerkte er eine seltsame Verwirrung, die zwischen einigen Mitgliedern der Gesellschaft herrschte. Besonders aufgeregt waren Sonja, Dolochow, die alte Gräfin und die kleine Natascha. Nikolay erkannte, dass vor dem Abendessen zwischen Sonja und Dolochow etwas passieren musste, und mit seiner charakteristischen Zärtlichkeit des Herzens verhielt er sich während des Abendessens sehr sanft und vorsichtig im Umgang mit beiden. Am selben Abend des dritten Ferientages sollte bei Yogel (Tanzlehrer) einer jener Bälle stattfinden, die er in den Ferien für alle seine Schüler veranstaltete.
- Nikolenka, gehst du zu Yogel? Bitte geh, - sagte Natascha zu ihm, - er hat dich besonders darum gebeten, und Wassili Dmitritsch (es war Denisow) geht.
„Wo ich nicht auf Befehl von Herrn Afini gehe!“ sagte Denisov, der sich im Haus der Rostows scherzhaft zu Füßen des Ritters Natascha stellte, „Pas de Chale [Tanz mit Schal] ist bereit zu tanzen.“ .
- Wenn ich kann! „Ich habe den Arkharovs versprochen, sie haben einen Abend“, sagte Nikolai.
- Und Sie? ... - er wandte sich an Dolokhov. Und als ich das fragte, wurde mir klar, dass ich das nicht hätte fragen sollen.
„Ja, vielleicht ...“, antwortete Dolochow kalt und wütend, warf einen Blick auf Sonya und blickte stirnrunzelnd, genau mit dem gleichen Blick, mit dem er Pierre beim Abendessen im Club angeschaut hatte, erneut zu Nikolai.
„Da ist etwas“, dachte Nikolai, und diese Annahme wurde noch mehr durch die Tatsache bestätigt, dass Dolochow unmittelbar nach dem Abendessen ging. Er rief Natasha an und fragte, was es sei?
„Ich habe nach dir gesucht“, sagte Natasha und rannte auf ihn zu. „Ich sagte, du wolltest immer noch nicht glauben“, sagte sie triumphierend, „er hat Sonya einen Heiratsantrag gemacht.“
Egal wie wenig Nikolai Sonya in dieser Zeit tat, als er das hörte, schien etwas in ihm loszugehen. Dolokhov war ein guter und in mancher Hinsicht brillanter Partner für die mitgiftlose Waise Sonya. Aus Sicht der alten Gräfin und der Gesellschaft war es unmöglich, ihn abzulehnen. Und deshalb war das erste Gefühl von Nikolai, als er das hörte, Verbitterung gegenüber Sonya. Er bereitete sich darauf vor zu sagen: „Und es ist natürlich in Ordnung, man muss die Versprechen der Kindheit vergessen und das Angebot annehmen“; aber er kam noch nicht dazu, es zu sagen...
- Kannst Du Dir vorstellen! sie weigerte sich, absolut abgelehnt! Natascha meldete sich zu Wort. „Sie sagte, sie liebe einen anderen“, fügte sie nach einer Pause hinzu.
„Ja, meine Sonya könnte nicht anders!“ dachte Nicholas.
- Egal wie viel Mutter sie fragte, sie weigerte sich, und ich weiß, dass sie sich nicht ändern würde, wenn sie etwas sagte ...
- Und meine Mutter hat sie gefragt! Sagte Nikolay vorwurfsvoll.
„Ja“, sagte Natascha. „Weißt du, Nikolenka, sei nicht böse; Aber ich weiß, dass du sie nicht heiraten wirst. Ich weiß, Gott weiß warum, ich weiß ganz sicher, dass du nicht heiraten wirst.
„Na ja, das weißt du überhaupt nicht“, sagte Nikolai; Aber ich muss mit ihr reden. Was für ein Charme, diese Sonya! fügte er lächelnd hinzu.
- Es ist so ein Charme! Ich werde es dir schicken. - Und Natasha rannte weg, indem sie ihren Bruder küsste.
Eine Minute später kam Sonya herein, verängstigt, verwirrt und schuldig. Nicholas ging auf sie zu und küsste ihre Hand. Es war das erste Mal, dass sie bei diesem Besuch von Angesicht zu Angesicht über ihre Liebe sprachen.
„Sophie“, sagte er zunächst schüchtern, dann immer kühner, „wenn du nicht nur eine glänzende, gewinnbringende Party ablehnen willst; aber er ist ein feiner, edler Mann... er ist mein Freund...
Sonya unterbrach ihn.
„Ich habe bereits abgelehnt“, sagte sie hastig.
- Wenn du dich für mich weigerst, dann habe ich Angst, dass das auf mich zutrifft ...
Sonya unterbrach ihn erneut. Sie sah ihn mit flehenden, ängstlichen Augen an.
„Nicolas, erzähl mir das nicht“, sagte sie.
- Nein, das muss ich. Vielleicht ist es Genugtuung [Arroganz] meinerseits, aber es ist besser zu sagen. Wenn Sie sich für mich weigern, muss ich Ihnen die ganze Wahrheit sagen. Ich liebe dich, glaube ich, mehr als alle anderen ...
„Das reicht mir“, sagte Sonya und errötete.
- Nein, aber ich habe mich tausendmal verliebt und werde mich weiterhin verlieben, obwohl ich für niemanden ein solches Gefühl der Freundschaft, des Vertrauens und der Liebe verspüre wie für Sie. Dann bin ich jung. Maman will das nicht. Na ja, ich verspreche einfach nichts. Und ich bitte Sie, über Dolochows Vorschlag nachzudenken“, sagte er und sprach mühsam den Namen seines Freundes aus.
- Sag mir das nicht. Ich möchte nichts. Ich liebe dich wie einen Bruder, und ich werde dich immer lieben, und ich brauche nichts anderes.
- Du bist ein Engel, ich kann dich nicht ertragen, aber ich habe nur Angst, dich zu täuschen. Nicholas küsste ihr noch einmal die Hand.

Iogel hatte die lustigsten Bälle in Moskau. Dies wurde von Müttern gesagt, die ihre Heranwachsenden [Mädchen] dabei beobachteten, wie sie ihre neu erlernten Schritte machten; Dies wurde von den Heranwachsenden und Heranwachsenden selbst gesagt, die bis zum Umfallen tanzten; diese erwachsenen Mädchen und jungen Leute, die zu diesen Bällen mit der Idee kamen, zu ihnen hinabzusteigen und darin den größten Spaß zu finden. Im selben Jahr fanden auf diesen Bällen zwei Hochzeiten statt. Zwei hübsche Prinzessinnen Gorchakovs fanden Verehrer und heirateten, und umso mehr ließen sie diese Bälle in den Ruhm. Das Besondere an diesen Bällen war, dass es keinen Gastgeber und keine Gastgeberin gab: Es gab, wie Flusen fliegend, sich nach den Regeln der Kunst verbeugten, den gutmütigen Yogel, der von allen seinen Gästen Karten für den Unterricht entgegennahm; war, dass diese Bälle immer noch nur von denen besucht wurden, die tanzen und Spaß haben wollten, wie es 13- und 14-jährige Mädchen wollen, die zum ersten Mal lange Kleider anziehen. Mit wenigen Ausnahmen waren oder schienen alle hübsch: Sie lächelten alle so enthusiastisch und ihre Augen leuchteten so sehr. Manchmal tanzten die besten Schüler sogar Pas de Chale, die beste von ihnen war Natasha, die sich durch ihre Anmut auszeichnete; aber bei diesem letzten Ball tanzten nur Ecossaises, Anglaises und die Mazurka, die gerade in Mode kam. Die Halle wurde von Yogel zu Bezuchows Haus gebracht, und der Ball war, wie alle sagten, ein großer Erfolg. Es gab viele hübsche Mädchen, und die jungen Damen aus Rostow gehörten zu den Besten. Beide waren besonders glücklich und fröhlich. An diesem Abend kreiste Sonja, stolz auf Dolochows Vorschlag, ihre Ablehnung und Erklärung mit Nikolai, immer noch zu Hause, erlaubte dem Mädchen nicht, ihre Zöpfe zu kämmen, und strahlte nun mit ungestümer Freude durch.
Natasha, nicht weniger stolz darauf, dass sie zum ersten Mal auf einem richtigen Ball ein langes Kleid trug, war noch glücklicher. Beide trugen weiße Musselinkleider mit rosa Bändern.
Natasha verliebte sich vom ersten Moment an, als sie den Ball betrat. Sie liebte niemanden im Besonderen, aber sie liebte jeden. In dem Bild, das sie in dem Moment ansah, in dem sie hinschaute, war sie in ihn verliebt.
- Oh, wie gut! sagte sie immer wieder und rannte auf Sonya zu.
Nikolai und Denisov gingen durch die Hallen und sahen die Tänzer liebevoll und herablassend an.
„Wie süß sie ist, sie wird sein“, sagte Denisov.
- WHO?
„Herr Athena Natasha“, antwortete Denisov.
– Und wie sie tanzt, was für eine G „ation!“ Nach einer Pause sagte er noch einmal.
- Über wen redest du?
„Über deine Schwester“, rief Denisov wütend.
Rostow kicherte.
– Mon cher comte; vous etes l „un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez“, sagte der kleine Yogel und näherte sich Nikolai. „Voyez combien de jolies demoiselles. [Lieber Graf, du bist einer meiner besten Schüler. Du musst tanzen. Schau wie.“ viel hübsche Mädchen!] - Mit der gleichen Bitte wandte er sich an Denisov, ebenfalls seinen ehemaligen Schüler.
- Non, mon cher, je fe "ai tapisse", also [Nein, meine Liebe, ich werde an der Wand sitzen], sagte Denisov. „Erinnerst du dich nicht, wie sehr ich deine Lektionen genutzt habe?“
- Oh nein! – tröstete ihn hastig, sagte Yogel. - Du warst nur unaufmerksam, aber du hattest die Fähigkeit, ja, du hattest die Fähigkeit.
Die neu eingeführte Mazurka begann zu spielen; Nikolai konnte Yogel nicht ablehnen und lud Sonya ein. Denisow setzte sich neben die alten Damen, stützte sich auf seinen Säbel, stampfte im Takt, erzählte fröhlich etwas und brachte die alten Damen zum Lachen, während er den tanzenden Jüngling ansah. Yogel im ersten Paar tanzte mit Natasha, seinem Stolz und besten Schüler. Sanft, sanft seine Füße in seinen Schuhen bewegend, flog Yogel als erster mit Natasha, die schüchtern, aber fleißig ihre Schritte machte, durch die Halle. Denisov ließ sie nicht aus den Augen und tippte mit seinem Säbel auf die Zeit, mit einer Miene, die deutlich zum Ausdruck brachte, dass er selbst nicht nur tanzte, weil er es nicht wollte, und nicht, weil er es nicht konnte. In der Mitte der Figur rief er den vorbeigehenden Rostow zu sich.
„Das ist es überhaupt nicht“, sagte er. - Ist das eine polnische Mazu „ka? Und sie tanzt gut.“ Da Nikolai wusste, dass Denisov in Polen sogar für sein Können im Tanzen der polnischen Mazurka berühmt war, rannte er auf Natascha zu:
- Gehen Sie voran, wählen Sie Denisov. Hier tanzt sie! Wunder! - er sagte.
Als Natascha wieder an der Reihe war, stand sie auf und rannte, schnell und schüchtern, ihre Schuhe mit Schleifen befingernd, allein durch den Flur bis zu der Ecke, in der Denisov saß. Sie sah, dass alle sie ansahen und warteten. Nikolai sah, dass Denisow und Natascha lächelnd stritten und dass Denisow sich weigerte, aber glücklich lächelte. Er rannte.
„Bitte, Wassili Dmitritsch“, sagte Natascha, „lass uns bitte gehen.“
„Ja, danke, Frau Athena“, sagte Denisov.
„Nun, das reicht, Wasja“, sagte Nikolai.
„Es ist, als würde Vaska überredet“, sagte Denisov scherzhaft.
„Ich werde den ganzen Abend für dich singen“, sagte Natasha.
- Die Zauberin wird alles mit mir machen! - sagte Denisov und öffnete seinen Säbel. Er trat hinter den Stühlen hervor, nahm die Hand seiner Frau fest, hob den Kopf und stellte den Fuß zur Seite, in Erwartung von Taktgefühl. Nur zu Pferd und in einer Mazurka war Denisows kleine Statur nicht zu erkennen, und er schien derselbe feine Kerl zu sein, den er selbst empfand. Nachdem er eine Weile gewartet hatte, schaute er seine Dame siegreich und scherzhaft von der Seite an, tippte unerwartet mit einem Fuß und prallte wie ein Ball elastisch vom Boden ab und flog im Kreis, wobei er seine Dame mit sich zog. Er flog lautlos auf einem Bein durch die halbe Halle, schien die vor ihm stehenden Stühle nicht zu sehen und stürzte direkt auf sie zu; aber plötzlich ließ er seine Sporen schnappen und spreizte seine Beine, blieb auf den Fersen stehen, blieb eine Sekunde lang so stehen, mit einem Gebrüll der Sporen, seine Füße klopften an einer Stelle, drehte sich schnell um und schnappte seinen linken Fuß mit dem rechten, flog wieder im Kreis. Natasha ahnte, was er vorhatte, und da sie selbst nicht wusste, wie, folgte sie ihm und ergab sich ihm. Jetzt umkreiste er sie, bald mit seiner rechten, dann mit seiner linken Hand, dann fiel er auf die Knie, umkreiste sie um sich herum und sprang wieder auf und stürmte mit solcher Geschwindigkeit vorwärts, als wollte er, ohne Luft zu holen, davonlaufen in allen Räumen; dann hörte er plötzlich wieder auf und machte ein weiteres neues und unerwartetes Knie. Als er die Dame vor ihrem Sitz zügig umkreiste, mit den Sporen klickte und sich vor ihr verneigte, setzte sich Natasha nicht einmal zu ihm. Sie richtete ihren Blick verwirrt auf ihn und lächelte, als würde sie ihn nicht erkennen. - Was ist es? Sie sagte.
Trotz der Tatsache, dass Yogel diese Mazurka nicht als echt erkannte, waren alle von Denisovs Können begeistert, sie begannen sich unaufhörlich für ihn zu entscheiden, und die alten Leute begannen lächelnd über Polen und die guten alten Zeiten zu sprechen. Denisov, der von der Mazurka errötet war und sich mit einem Taschentuch abwischte, setzte sich neben Natascha und ließ ihr nicht den ganzen Ball.

Definition und Eigenschaften

Die komplexe Null hat keinen Logarithmus, da der komplexe Exponent keinen Nullwert annimmt. ungleich Null texvc kann in Exponentialform dargestellt werden:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Wo Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): k- beliebige Ganzzahl

Dann Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \mathrm(Ln)\,z wird nach der Formel gefunden:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Tuning-Hilfe.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Hier Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln\,r= \ln\,|z| ist der reelle Logarithmus. Daraus folgt:

Aus der Formel ist ersichtlich, dass genau einer der Werte einen Imaginärteil im Intervall hat Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc . Dieser Wert wird aufgerufen Hauptbedeutung komplexer natürlicher Logarithmus. Die entsprechende (bereits einwertige) Funktion wird aufgerufen Hauptzweig Logarithmus und wird bezeichnet Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): \ln\,z. Manchmal durch Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln\, z bezeichnen auch den Wert des Logarithmus, der nicht auf dem Hauptzweig liegt. Wenn Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): z eine reelle Zahl ist, dann stimmt der Hauptwert ihres Logarithmus mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Aus der obigen Formel folgt auch, dass der Realteil des Logarithmus wie folgt durch die Komponenten des Arguments bestimmt wird:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Die Abbildung zeigt, dass der Realteil als Funktion der Komponenten zentralsymmetrisch ist und nur vom Abstand zum Ursprung abhängt. Man erhält ihn, indem man den Graphen des reellen Logarithmus um die vertikale Achse dreht. Wenn sie sich Null nähert, tendiert die Funktion dazu Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): -\infty.

Der Logarithmus einer negativen Zahl wird durch die Formel ermittelt:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\dots)

Beispiele für komplexe Logarithmuswerte

Wir geben den Hauptwert des Logarithmus an ( Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): \ln) und sein allgemeiner Ausdruck ( Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \mathrm(Ln)) für einige Argumente:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Bei der Konvertierung komplexer Logarithmen sollten Sie vorsichtig sein und berücksichtigen, dass diese mehrwertig sind und daher die Gleichheit dieser Ausdrücke nicht aus der Gleichheit der Logarithmen irgendwelcher Ausdrücke folgt. Beispiel fehlerhaft Argumentation:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi ist ein offensichtlicher Fehler.

Beachten Sie, dass der Hauptwert des Logarithmus links und der Wert des zugrunde liegenden Zweigs rechts steht ( Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): k=-1). Der Grund für den Fehler ist ein fahrlässiger Umgang mit der Immobilie Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, was im komplexen Fall im Allgemeinen die gesamte unendliche Wertemenge des Logarithmus impliziert und nicht nur den Hauptwert.

Komplexe logarithmische Funktion und Riemannsche Fläche

Aufgrund ihrer einfachen Verbindung ist die Riemannsche Fläche des Logarithmus eine universelle Abdeckung für die komplexe Ebene ohne Punkt Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc .

Analytische Fortsetzung

Der Logarithmus einer komplexen Zahl kann auch als analytische Fortsetzung des reellen Logarithmus auf die gesamte komplexe Ebene definiert werden. Lass die Kurve Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc beginnt bei Eins, geht nicht durch Null und schneidet nicht den negativen Teil der reellen Achse. Dann der Hauptwert des Logarithmus am Endpunkt Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): w krumm Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): \Gamma kann durch die Formel bestimmt werden:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Wenn Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): \Gamma- eine einfache Kurve (ohne Selbstschnittpunkte), dann können für die darauf liegenden Zahlen bedenkenlos logarithmische Identitäten angewendet werden, zum Beispiel:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Der Hauptzweig der logarithmischen Funktion ist auf der gesamten komplexen Ebene stetig und differenzierbar, mit Ausnahme des negativen Teils der Realachse, auf den der Imaginärteil springt Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): 2\pi. Aber diese Tatsache ist eine Folge der künstlichen Begrenzung des Imaginärteils des Hauptwertes durch das Intervall Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): (-\pi, \pi]. Betrachtet man alle Zweige der Funktion, so findet Kontinuität an allen Punkten statt, außer am Nullpunkt, wo die Funktion nicht definiert ist. Wenn eine Kurve zulässig ist Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in math/README.): \Gamma Wenn Sie den negativen Teil der reellen Achse kreuzen, überträgt der erste Schnittpunkt das Ergebnis vom Zweig des Hauptwerts auf den benachbarten Zweig, und jeder nachfolgende Schnittpunkt verursacht eine ähnliche Verschiebung entlang der Zweige der logarithmischen Funktion (siehe Abbildung).

Aus der analytischen Fortsetzungsformel folgt auf jedem Zweig des Logarithmus:

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Für jeden Kreis Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): S den Punkt umschließen Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Hilfe zur Einrichtung finden Sie in Mathe/README.): 0 :

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Das Integral wird in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) gebildet. Diese Identität liegt der Residuentheorie zugrunde.

Man kann die analytische Fortsetzung des komplexen Logarithmus auch anhand der für den realen Fall bekannten Reihe definieren:

Aus der Form dieser Reihen folgt jedoch, dass bei Eins die Summe der Reihe gleich Null ist, das heißt, die Reihe bezieht sich nur auf den Hauptzweig der mehrwertigen Funktion des komplexen Logarithmus. Der Konvergenzradius beider Reihen beträgt 1.

Zusammenhang mit inversen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- umgekehrter hyperbolischer Sinus Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- umgekehrter hyperbolischer Kosinus Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- umgekehrter hyperbolischer Tangens Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- inverser hyperbolischer Kotangens

Historischer Abriss

Die ersten Versuche, Logarithmen auf komplexe Zahlen auszudehnen, wurden an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Leibniz und Johann Bernoulli unternommen, es gelang ihnen jedoch nicht, eine ganzheitliche Theorie zu entwickeln – vor allem deshalb, weil das eigentliche Konzept des Logarithmus noch nicht klar war definiert. Die Diskussion zu diesem Thema fand zunächst zwischen Leibniz und Bernoulli und Mitte des 18. Jahrhunderts zwischen d'Alembert und Euler statt. Bernoulli und d'Alembert hielten eine Definition für notwendig Der Ausdruck (ausführbare Datei) kann nicht analysiert werden texvc Nicht gefunden; Siehe Mathe/README für Setup-Hilfe.): \log(-x) = \log(x), während Leibniz argumentierte, dass der Logarithmus einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl sei. Die vollständige Theorie der Logarithmen negativer und komplexer Zahlen wurde 1747–1751 von Euler veröffentlicht und unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der modernen. Obwohl die Kontroverse andauerte (d'Alembert verteidigte seinen Standpunkt und argumentierte ihn ausführlich in einem Artikel in seiner Enzyklopädie und in anderen Werken), wurde Eulers Ansatz Ende des 18. Jahrhunderts allgemein akzeptiert.

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Literatur

Theorie der Logarithmen

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 S.
• Sweschnikow A. G., Tichonow A. N. Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen. - M.: Nauka, 1967. - 304 S.
• Fikhtengolts G. M. Kurs zur Differential- und Integralrechnung. - Hrsg. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 S.

Geschichte der Logarithmen

• Mathematik des 18. Jahrhunderts // / Herausgegeben von A.P. Yushkevich, in drei Bänden. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (Hrsg.). Mathematik des 19. Jahrhunderts. Geometrie. Theorie analytischer Funktionen. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Anmerkungen

1. Logarithmische Funktion. // . - M.: Sowjetische Enzyklopädie, 1982. - T. 3.
2. , Band II, S. 520-522..
3. , Mit. 623..
4. , Mit. 92-94..
5. , Mit. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. – M.: Nauka, 1982. – S. 112. – (Quantum Library, Ausgabe 21).
7. , Band II, S. 522-526..
8. , Mit. 624..
9. , Mit. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Geschichte der Mathematik. In zwei Bänden. - M.: Hrsg. Moskauer Staatsuniversität, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , Mit. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. - 416 S.

Ein Auszug, der den komplexen Logarithmus charakterisiert

Vor dem wilden Entsetzen, das uns erfasste, rasten wir wie Kugeln durch ein weites Tal, ohne auch nur daran zu denken, dass wir schnell in eine andere „Etage“ gelangen könnten ... Wir hatten einfach keine Zeit darüber nachzudenken – wir hatten zu viel Angst.
Die Kreatur flog direkt über uns und schnappte laut mit ihrem klaffenden, zahnigen Schnabel, und wir rannten so weit wir konnten, sprühten abscheuliche, schleimige Sprays an die Seiten und beteten im Geiste, dass sich dieser schreckliche „Wundervogel“ plötzlich für etwas anderes interessieren würde ... Es Wir hatten das Gefühl, dass es viel schneller ist und wir hatten einfach keine Chance, uns davon zu lösen. Da es sich um ein Übel handelte, wuchs kein einziger Baum in der Nähe, es gab keine Büsche, nicht einmal Steine, hinter denen man sich verstecken konnte, nur ein unheilvoller schwarzer Felsen war in der Ferne zu sehen.
- Dort! - schrie Stella und zeigte mit dem Finger auf denselben Felsen.
Doch plötzlich und unerwartet erschien irgendwo vor uns ein Wesen, dessen Anblick uns buchstäblich das Blut in den Adern gefrieren ließ... Es entstand sozusagen „direkt aus dem Nichts“ und war wirklich furchteinflößend. .. Der riesige schwarze Kadaver war vollständig mit langen, steifen Haaren bedeckt, so dass er wie ein Bär mit dickem Bauch aussah, nur dass dieser „Bär“ so groß war wie ein dreistöckiges Haus ... Der holprige Kopf des Monsters war „verheiratet“ mit zwei riesigen, gebogenen Hörnern und einem Paar unglaublich langer Reißzähne, scharf wie Messer, zierte sein schreckliches Maul, bei dessen bloßem Anblick die Beine vor Schreck nachgaben ... Und dann, was uns unaussprechlich überraschte, sprang das Monster mit Leichtigkeit auf hoch und .... hob den fliegenden „Dreck“ mit einem seiner riesigen Reißzähne auf ... Wir erstarrten sprachlos.
- Lass uns rennen!!! Stella schrie. - Lass uns rennen, während er „beschäftigt“ ist! ..
Und wir waren schon bereit, wieder zu eilen, ohne zurückzublicken, als plötzlich eine dünne Stimme hinter unserem Rücken ertönte:
- Mädchen, warte! Kein Grund wegzulaufen! .. Dean hat dich gerettet, er ist kein Feind!
Wir drehten uns abrupt um – ein kleines, sehr schönes, schwarzäugiges Mädchen stand dahinter … und streichelte ruhig das Monster, das sich ihr näherte! … Unsere Augen traten vor Überraschung hervor … Es war unglaublich! Auf jeden Fall war es ein Tag voller Überraschungen! Das Mädchen, das uns ansah, lächelte freundlich und hatte überhaupt keine Angst vor dem pelzigen Monster, das in der Nähe stand.
Bitte haben Sie keine Angst vor ihm. Er ist sehr nett. Wir sahen, dass Ovara dich verfolgte und beschlossen, zu helfen. Dean ist ein guter Kerl, er hat es rechtzeitig geschafft. Wirklich, mein Gott?
„Gut“ schnurrte, was wie ein leichtes Erdbeben klang, und beugte den Kopf und leckte das Gesicht des Mädchens.
„Und wer ist Owara und warum hat sie uns angegriffen?“ Ich fragte.
Sie greift jeden an, sie ist ein Raubtier. Und sehr gefährlich“, antwortete das Mädchen ruhig. „Darf ich fragen, was Sie hier machen?“ Ihr seid nicht von hier, Mädels, oder?
- Nein, nicht von hier. Wir gingen einfach spazieren. Aber die gleiche Frage für Sie: Was machen Sie hier?
Ich gehe zu meiner Mutter ... - das kleine Mädchen wurde traurig. „Wir sind zusammen gestorben, aber aus irgendeinem Grund ist sie hier gelandet. Und jetzt lebe ich hier, aber ich sage ihr das nicht, weil sie damit nie einverstanden sein wird. Sie denkt, ich komme einfach...
„Ist es nicht besser, einfach zu kommen?“ Es ist so schrecklich hier! .. - Stella zuckte mit den Schultern.
„Ich kann sie hier nicht alleine lassen, ich beobachte sie, damit ihr nichts passiert. Und hier ist Dean bei mir... Er hilft mir.
Ich konnte es einfach nicht glauben ... Dieses kleine, mutige Mädchen verließ freiwillig ihre schöne und freundliche „Etage“, um in dieser kalten, schrecklichen und fremden Welt zu leben und ihre Mutter zu beschützen, die an etwas sehr „schuldig“ war! Ich denke, nicht viele wären so mutig und selbstlos gewesen (sogar Erwachsene!) Menschen, die sich zu einer solchen Leistung entschlossen hätten ... Und ich dachte sofort – vielleicht verstand sie einfach nicht, wozu sie sich selbst verurteilen würde ?!
- Und wie lange bist du schon hier, Mädchen, wenn es kein Geheimnis ist?
„Kürzlich…“, antwortete das schwarzäugige kleine Mädchen traurig und zupfte mit den Fingern an der schwarzen Locke ihres lockigen Haares. - Ich bin in eine so schöne Welt geraten, als ich starb! .. Er war so nett und klug! .. Und dann sah ich, dass meine Mutter nicht bei mir war und beeilte mich, nach ihr zu suchen. Zuerst war es so gruselig! Aus irgendeinem Grund war sie nirgends zu finden ... Und dann fiel ich in diese schreckliche Welt ... Und dann fand ich sie. Ich hatte hier solche Angst ... So einsam ... Mama sagte mir, ich solle gehen, schimpfte sogar mit mir. Aber ich kann sie nicht verlassen ... Jetzt habe ich einen Freund, meinen guten Dekan, und ich kann hier irgendwie existieren.
Ihr „guter Freund“ knurrte erneut, was bei Stella und mir eine gewaltige „untere astrale“ Gänsehaut hervorrief ... Nachdem ich mich gesammelt hatte, versuchte ich, mich ein wenig zu beruhigen und begann, dieses pelzige Wunder genau zu betrachten ... Und er, sofort Als ich das Gefühl hatte, dass er es bemerkte, entblößte er fürchterlich seinen mit Reißzähnen versehenen Mund ... Ich sprang zurück.
- Oh, bitte haben Sie keine Angst! „Er ist es, der dich anlächelt“, „beruhigte“ das Mädchen.
Ja... Mit so einem Lächeln wirst du lernen, schnell zu laufen... - dachte ich mir.
„Aber wie kam es, dass du dich mit ihm angefreundet hast?“ Fragte Stella.
- Als ich zum ersten Mal hierher kam, hatte ich große Angst, besonders als heute Monster wie du angegriffen wurden. Und dann, eines Tages, als ich fast gestorben wäre, rettete Dean mich vor einer ganzen Horde unheimlicher fliegender „Vögel“. Ich hatte auch zuerst Angst vor ihm, aber dann wurde mir klar, was für ein goldenes Herz er hatte ... Er ist der beste Freund! So etwas hatte ich noch nie, nicht einmal als ich auf der Erde lebte.
Wie hast du dich so schnell daran gewöhnt? Sein Aussehen ist nicht ganz, sagen wir mal, vertraut ...
- Und hier habe ich eine ganz einfache Wahrheit verstanden, die ich aus irgendeinem Grund auf der Erde nicht bemerkt habe: Das Aussehen spielt keine Rolle, ob eine Person oder ein Lebewesen ein gutes Herz hat ... Meine Mutter war sehr schön, aber manchmal auch sehr wütend . Und dann verschwand all ihre Schönheit irgendwo ... Und Dean ist zwar gruselig, aber immer sehr freundlich und beschützt mich immer, ich spüre seine Güte und habe vor nichts Angst. An das Aussehen kann man sich gewöhnen...
„Wissen Sie, dass Sie noch sehr lange hier bleiben werden, viel länger als Menschen auf der Erde leben?“ Willst du wirklich hier bleiben?
„Meine Mutter ist hier, also muss ich ihr helfen. Und wenn sie „geht“, um wieder auf der Erde zu leben, werde ich auch gehen ... Wo es mehr Gutes gibt. In dieser schrecklichen Welt sind die Menschen sehr seltsam – als ob sie überhaupt nicht leben würden. Warum so? Weißt du etwas darüber?
- Und wer hat dir gesagt, dass deine Mutter weggehen würde, um wieder zu leben? Fragte Stella.
Dean, natürlich. Er weiß viel, er lebt schon sehr lange hier. Er sagte auch, dass unsere Familien anders sein werden, wenn wir (meine Mutter und ich) wieder leben. Und dann werde ich diese Mutter nicht mehr haben ... Deshalb möchte ich jetzt bei ihr sein.
„Und wie reden Sie mit ihm, mit Ihrem Dekan?“ Fragte Stella. „Und warum willst du uns nicht deinen Namen verraten?“
Aber es stimmt – wir kannten ihren Namen immer noch nicht! Und wo sie herkam, wussten sie auch nicht ...
– Mein Name war Maria... Aber spielt das hier wirklich eine Rolle?
- Sicherlich! Stella lachte. - Und wie kommuniziert man mit Ihnen? Wenn du gehst, bekommst du einen neuen Namen, aber während du hier bist, musst du mit dem alten leben. Hast du hier noch mit irgendjemandem gesprochen, Maria-Mädchen? - Aus Gewohnheit springe ich von Thema zu Thema, fragte Stella.
„Ja, das habe ich…“, sagte das kleine Mädchen unsicher. „Aber sie sind hier so seltsam. Und so elend... Warum sind sie so elend?
„Aber trägt das, was Sie hier sehen, zum Glück bei?“ Ich war überrascht von ihrer Frage. – Schon die hiesige „Realität“ selbst macht alle Hoffnungen schon im Vorfeld zunichte!.. Wie kann man hier glücklich sein?
- Weiß nicht. Wenn ich bei meiner Mutter bin, kommt es mir so vor, als könnte ich hier auch glücklich sein ... Stimmt, hier ist es sehr gruselig und ihr gefällt es hier wirklich nicht ... Als ich das sagte, stimmte ich zu, bei ihr zu bleiben sie, sie schrie mich an und sagte, ich sei ihr „hirnloses Unglück“ ... Aber ich bin nicht beleidigt ... ich weiß, dass sie nur Angst hat. Genau wie ich...
- Vielleicht wollte sie Sie nur vor Ihrer „extremen“ Entscheidung bewahren und wollte nur, dass Sie in Ihre „Etage“ zurückkehren? - Vorsichtig, um nicht zu beleidigen, fragte Stella.
– Nein, natürlich nicht... Aber vielen Dank für Ihre netten Worte. Mama hat mich selbst auf der Erde oft nicht besonders gut beschimpft ... Aber ich weiß, dass dies nicht aus Bosheit geschieht. Sie war einfach unglücklich, weil ich geboren wurde, und sagte mir oft, dass ich ihr Leben ruiniert hätte. Aber es war nicht meine Schuld, oder? Ich habe immer versucht, sie glücklich zu machen, aber aus irgendeinem Grund ist es mir nicht wirklich gelungen ... Aber ich hatte nie einen Vater. Maria war sehr traurig und ihre Stimme zitterte, als ob sie gleich weinen würde.
Stella und ich sahen uns an und ich war mir fast sicher, dass ähnliche Gedanken sie heimgesucht hatten ... Ich mochte diese verwöhnte, selbstsüchtige „Mutter“ schon jetzt wirklich nicht, die sich, anstatt sich um ihr Kind selbst zu sorgen, nicht um seine Heldenhaftigkeit kümmerte Opfer überhaupt. Ich verstand es und verletzte mich darüber hinaus noch schmerzhafter.
- Aber Dean sagt, dass es mir gut geht und dass ich ihn sehr glücklich mache! - murmelte das kleine Mädchen fröhlicher. Und er möchte mit mir befreundet sein. Und die anderen, die ich hier getroffen habe, sind sehr kalt und gleichgültig und manchmal sogar wütend ... Besonders diejenigen, die Monster an sich haben ...
- Monster - was? .. - wir haben es nicht verstanden.
„Nun, sie haben gruselige Monster auf dem Rücken und sagen ihnen, was sie tun sollen. Und wenn sie nicht zuhören, verspotten die Monster sie fürchterlich ... Ich habe versucht, mit ihnen zu reden, aber diese Monster lassen es nicht zu.
Wir haben von dieser „Erklärung“ absolut nichts verstanden, aber die Tatsache, dass einige astrale Wesen Menschen quälen, konnte von uns nicht „erforscht“ werden, deshalb fragten wir sie sofort, wie wir dieses erstaunliche Phänomen sehen könnten.
- Oh, überall! Besonders am Black Mountain. Da ist er, hinter den Bäumen. Möchten Sie, dass wir Sie auch begleiten?
– Natürlich freuen wir uns! - Stella antwortete sofort begeistert.
Um ehrlich zu sein, habe ich bei der Aussicht, mit jemand anderem auszugehen, auch nicht wirklich gelächelt, „gruselig und unverständlich“, vor allem nicht alleine. Aber das Interesse überwand die Angst, und wir wären natürlich gegangen, obwohl wir ein wenig Angst hatten ... Aber als ein Verteidiger wie Dean bei uns war, machte es sofort mehr Spaß ...
Und nun, in einem kurzen Moment, entfaltete sich vor unseren weit geöffneten Augen vor Staunen eine wahre Hölle ... Welt ... Natürlich war er nicht verrückt, sondern einfach ein Seher, der aus irgendeinem Grund nur die Welt sehen konnte unterer Astralebene. Aber wir müssen ihm Anerkennung zollen – er hat ihn hervorragend dargestellt ... Ich habe seine Bilder in einem Buch gesehen, das in der Bibliothek meines Vaters war, und ich konnte mich noch an das schreckliche Gefühl erinnern, das die meisten seiner Bilder mit sich brachten ...
- Was für ein Horror! .. - flüsterte die schockierte Stella.
Man könnte wohl sagen, dass wir hier, auf den „Böden“ schon einiges gesehen haben ... Aber selbst wir konnten uns so etwas in unserem schrecklichsten Albtraum nicht vorstellen! .. Hinter dem „schwarzen Felsen“ tat sich etwas völlig Undenkbares auf ... Es sah aus wie ein riesiger, flacher „Kessel“, der in den Fels gehauen war, an dessen Boden purpurne „Lava“ brodelte... Überall „platzte“ heiße Luft mit seltsam aufblitzenden rötlichen Blasen, aus denen brennender Dampf entwich und fiel in großen Tropfen auf den Boden oder auf die Menschen, die in diesem Moment unter ihm fielen ... Herzzerreißende Schreie waren zu hören, aber sie verstummten sofort, als die ekelhaftesten Kreaturen auf dem Rücken derselben Menschen saßen, die Mit zufriedenem Blick „verwalteten“ sie ihre Opfer und schenkten ihren Leiden nicht die geringste Beachtung... Unter den nackten Füßen der Menschen röteten sich glühende Steine, die heiße, purpurrote Erde brodelte und „schmolz“. . Und genau in der Mitte der „Grube“ floss ein leuchtend roter, breiter, feuriger Fluss, in den dieselben widerlichen Monster von Zeit zu Zeit unerwartet das eine oder andere gequälte Wesen warfen, das beim Fallen nur einen kurzen Ausbruch verursachte Orangefarbene Funken, und dann, aber nachdem sie sich für einen Moment in eine flauschige weiße Wolke verwandelt hatte, verschwand sie ... für immer ... Es war eine echte Hölle, und Stella und ich wollten so schnell wie möglich von dort „verschwinden“. .
- Was machen wir? .. - flüsterte Stella in leisem Entsetzen. - Willst du da runter? Können wir irgendetwas tun, um ihnen zu helfen? Schauen Sie, wie viele es sind!..
Wir standen auf einer schwarzbraunen, hitzegetrockneten Klippe und beobachteten das „Durcheinander“ aus Schmerz, Hoffnungslosigkeit und Gewalt, das sich unten ausbreitete, überflutet von Entsetzen, und wir fühlten uns so kindisch machtlos, dass selbst meine kriegerische Stella diesmal kategorisch ihre zerzausten Falten zusammenfaltete. Wings“ und war beim ersten Anruf bereit, in ihr eigenes, so liebes und zuverlässiges, oberes „Stockwerk“ zu eilen ...

Beweis der Formel .

=

= =

da Sinus und Cosinus nicht von der Addition eines Winkels abhängen, der ein Vielfaches von ist

Und diese Gleichheit ist bereits offensichtlich, da es sich um die trigonometrische Form einer komplexen Zahl handelt.

Somit existiert der Logarithmus für alle Punkte in der Ebene außer Null. Für eine reelle positive Zahl ist das Argument 0, also ist diese unendliche Menge von Punkten , das heißt, einer der Werte, nämlich at , wird auf der reellen Achse liegen. Wenn wir den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen, erhalten wir , das heißt, die Menge der Punkte wird nach oben verschoben und keiner von ihnen fällt auf die reelle Achse.

Aus der Formel ist ersichtlich, dass nur dann, wenn das Argument der ursprünglichen Zahl Null ist, einer der Werte des Logarithmus auf die reelle Achse fällt. Und diese entspricht der rechten Halbachse, und deshalb wurden im Schulmathematikunterricht nur die Logarithmen positiver Zahlen berücksichtigt. Es gibt auch die Logarithmen negativer und imaginärer Zahlen, die jedoch keinen einzigen Wert auf der reellen Achse haben.

Die folgende Zeichnung zeigt, wo in der Ebene alle Werte des Logarithmus einer positiven Zahl liegen. Einer davon liegt auf der realen Achse, der Rest liegt oberhalb und unterhalb von , usw. Bei einer negativen oder komplexen Zahl ist das Argument ungleich Null, daher wird diese Punktfolge vertikal verschoben, was dazu führt, dass es keine Punkte auf der reellen Achse gibt.

Beispiel. Berechnung .

Lösung. Definieren wir den Modul der Zahl (gleich 2) und das Argument 180 0 , also . Dann = .

Anhang 1. Beweisfragen (für Tickets).

Vorlesung Nr. 1

1. Beweisen Sie die Formel für die partielle Integration.

Vorlesung Nr. 2

1. Beweisen Sie, dass die Änderung mit r = LCM (r 1 ,...,r k) das Integral auf das Integral eines rationalen Bruchs reduziert.

2. Beweisen Sie, dass die Substitution das Integral der Form reduziert zum Integral eines rationalen Bruchs.

3. Leiten Sie die Transformationsformeln für Sinus und Cosinus her

Für die universelle trigonometrische Änderung.

4. Beweisen Sie, dass die Ersetzung das Integral auf einen rationalen Bruch reduziert, wenn die Funktion bezüglich des Kosinus ungerade ist.

5. Beweisen Sie das für den Fall, wenn

Ersetzen: Reduziert das Integral auf einen rationalen Bruch.

6. Beweisen Sie das für ein Integral der Form

7. Beweisen Sie die Formel

8. Beweisen Sie das für ein Integral der Form Die Ersetzung hat ihr eigenes Integral zu einem rationalen Bruch.

9. Beweisen Sie das für ein Integral der Form Durch die Ersetzung wird das Integral auf einen rationalen Bruch reduziert.

Vorlesung Nr. 3

1. Beweisen Sie, dass die Funktion ist die Stammfunktion der Funktion.

2. Beweisen Sie die Newton-Leibniz-Formel: .

3. Beweisen Sie die Formel für die Länge einer explizit gegebenen Kurve:

.

4. Beweisen Sie die Formel für die Länge einer Kurve in Polarkoordinaten

Vorlesung Nr. 4

Beweisen Sie den Satz: konvergiert, konvergiert.

Vorlesung Nr. 5

1. Leiten (beweisen) Sie die Formel für die Fläche einer explizit gegebenen Oberfläche her .

2. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Polarkoordinaten.

3. Ableitung der Jacobi-Determinante von Polarkoordinaten.

4. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Zylinderkoordinaten.

5. Ableitung der Jacobi-Determinante von Zylinderkoordinaten.

6. Herleitung von Formeln für den Übergang zu Kugelkoordinaten:

.

Vorlesung Nr. 6

1. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die homogene Gleichung auf eine Gleichung mit separierbaren Variablen reduziert.

2. Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung einer linearen homogenen Gleichung.

3. Leiten Sie eine allgemeine Ansicht der Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung durch die Lagrange-Methode ab.

4. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Bernoulli-Gleichung auf eine lineare Gleichung reduziert.

Vortrag Nummer 7.

1. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Ordnung der Gleichung um k verringert.

2. Beweisen Sie, dass die Ersetzung die Ordnung der Gleichung um eins verringert .

3. Beweisen Sie den Satz: Die Funktion ist eine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung und hat eine charakteristische Wurzel.

4. Beweisen Sie den Satz, dass eine lineare Kombination von Lösungen eines linearen homogenen Diff. Die Gleichung ist auch ihre Lösung.

5. Beweisen Sie den Satz über die Auferlegung von Lösungen: Wenn - die Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung mit der rechten Seite und - die Lösung derselben Differentialgleichung, jedoch mit der rechten Seite, dann ist die Summe die Lösung der Gleichung mit der rechten Seite.

Vorlesungsnummer 8.

1. Beweisen Sie den Satz, dass das Funktionensystem linear abhängig ist.

2. Beweisen Sie den Satz, dass es n linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n gibt.

3. Beweisen Sie, dass, wenn 0 eine Wurzel der Multiplizität ist, das dieser Wurzel entsprechende Lösungssystem die Form hat.

Vortrag Nummer 9.

1. Beweisen Sie mithilfe der Exponentialform, dass bei der Multiplikation komplexer Zahlen die Module multipliziert und die Argumente addiert werden.

2. Beweisen Sie die Formel von De Moivre für Grad n

3. Beweisen Sie die Formel für die Wurzel der Ordnung n einer komplexen Zahl

4. Beweisen Sie das Und

sind Verallgemeinerungen von Sinus und Cosinus, d.h. Für reelle Zahlen ergeben diese Formeln einen Sinus (Cosinus).

5. Beweisen Sie die Formel für den Logarithmus einer komplexen Zahl:

Anlage 2

Kleine und mündliche Fragen zur Kenntnis der Theorie (für Kolloquien).

Vorlesung Nr. 1

1. Was ist die Stammfunktion und das unbestimmte Integral, wie unterscheiden sie sich?

2. Erklären Sie, warum es auch eine Stammfunktion ist.

3. Schreiben Sie eine Formel für die partielle Integration.

4. Welcher Ersatz ist im Formintegral erforderlich und wie werden die Wurzeln eliminiert?

5. Schreiben Sie die Art der Entwicklung des Integranden eines rationalen Bruchs in die einfachsten für den Fall auf, dass alle Wurzeln unterschiedlich und reell sind.

6. Beschreiben Sie die Art der Entwicklung des Integranden rationaler Brüche in einfache Brüche für den Fall, dass alle Wurzeln reell sind und es eine mehrfache Wurzel der Multiplizität k gibt.

Vortrag Nummer 2.

1. Schreiben Sie, was die Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfachste Brüche für den Fall ist, dass der Nenner einen Faktor von 2 Grad mit einer negativen Diskriminante hat.

2. Welche Ersetzung reduziert das Integral auf einen rationalen Bruch?

3. Was ist eine universelle trigonometrische Substitution?

4. Welche Ersetzungen werden vorgenommen, wenn die Funktion unter dem Integralzeichen bezüglich des Sinus (Cosinus) ungerade ist?

5. Welche Ersetzungen werden vorgenommen, wenn der Integrand die Ausdrücke , , oder enthält.

Vortrag Nummer 3.

1. Definition eines bestimmten Integrals.

2. Listen Sie einige der Haupteigenschaften des bestimmten Integrals auf.

3. Schreiben Sie die Newton-Leibniz-Formel.

4. Schreiben Sie die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers.

5. Schreiben Sie die Formel für die Länge einer expliziten Kurve.

6. Schreiben Sie die Formel für die Länge einer parametrischen Kurve.

Vortrag Nummer 4.

1. Definition eines uneigentlichen Integrals (mit Hilfe eines Grenzwerts).

2. Was ist der Unterschied zwischen unechten Integralen 1. und 2. Art?

3. Nennen Sie einfache Beispiele für konvergente Integrale 1. und 2. Art.

4. Für welche Integrale (T1) konvergieren.

5. Wie Konvergenz mit dem endlichen Grenzwert der Stammfunktion (T2) zusammenhängt

6. Was ist das notwendige Zeichen der Konvergenz, ihre Formulierung.

7. Vergleichszeichen in der endgültigen Form

8. Vergleichstest in der Grenzform.

9. Definition eines Mehrfachintegrals.

Vortrag Nummer 5.

1. Ändern der Integrationsreihenfolge, zeigen Sie am einfachsten Beispiel.

2. Schreiben Sie die Formel für die Oberfläche.

3. Was sind Polarkoordinaten? Schreiben Sie Übergangsformeln.

4. Was ist der Jacobi-Wert des Polarkoordinatensystems?

5. Was sind Zylinder- und Kugelkoordinaten, was ist ihr Unterschied?

6. Was ist der Jacobi-Wert der zylindrischen (sphärischen) Koordinaten?

Vortrag Nummer 6.

1. Was ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung (allgemeine Ansicht)?

2. Was ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, aufgelöst nach der Ableitung? Nennen Sie ein Beispiel.

3. Was ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen?

4. Was ist eine allgemeine, besondere Lösung, Cauchy-Bedingungen?

5. Was ist eine homogene Gleichung und wie wird sie allgemein gelöst?

6. Was ist eine lineare Gleichung, was ist der Algorithmus zu ihrer Lösung, was ist die Lagrange-Methode.

7. Was ist die Bernoulli-Gleichung und der Algorithmus zu ihrer Lösung?

Vortrag Nummer 7.

1. Welcher Ersatz ist für eine Gleichung der Form erforderlich?

2. Welcher Ersatz ist für eine Gleichung der Form notwendig? .

3. Zeigen Sie anhand von Beispielen, wie es ausgedrückt werden kann als .

4. Was ist eine lineare Differentialgleichung der Ordnung n?

5. Was ist ein charakteristisches Polynom, eine charakteristische Gleichung?

6. Formulieren Sie einen Satz, nach dem r die Funktion eine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung ist.

7. Formulieren Sie einen Satz, dass eine lineare Kombination von Lösungen einer linearen homogenen Gleichung auch deren Lösung ist.

8. Formulieren Sie den Lösungsauferlegungssatz und seine Folgerungen.

9. Was sind linear abhängige und linear unabhängige Funktionssysteme? Nennen Sie einige Beispiele.

10. Was ist die Wronsky-Determinante eines Systems von n Funktionen? Geben Sie ein Beispiel für die Wronsky-Determinante für LZS- und LNS-Systeme.

Vorlesungsnummer 8.

1. Welche Eigenschaft hat die Wronsky-Determinante, wenn das System eine linear abhängige Funktion ist?

2. Wie viele linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n existieren?

3. Definition des FSR (fundamentales Lösungssystem) einer linearen homogenen Gleichung der Ordnung n.

4. Wie viele Funktionen sind im SRF enthalten?

5. Schreiben Sie die Form des Gleichungssystems auf, das mit der Lagrange-Methode für n=2 ermittelt werden soll.

6. Notieren Sie die Art der jeweiligen Lösung für den Fall, dass

7. Was ist ein lineares Differentialgleichungssystem? Schreiben Sie ein Beispiel.

8. Was ist ein autonomes System von Differentialgleichungen?

9. Physikalische Bedeutung des Differentialgleichungssystems.

10. Schreiben Sie auf, aus welchen Funktionen das FSR eines Gleichungssystems besteht, wenn die Eigenwerte und Eigenvektoren der Hauptmatrix dieses Systems bekannt sind.

Vortrag Nummer 9.

1. Was ist eine imaginäre Einheit?

2. Was ist eine konjugierte Zahl und was passiert, wenn sie mit dem Original multipliziert wird?

3. Was ist die trigonometrische Exponentialform einer komplexen Zahl?

4. Schreiben Sie Eulers Formel.

5. Was ist der Modul, das Argument einer komplexen Zahl?

6. Was passiert mit Modulen und Argumenten bei der Multiplikation (Division)?

7. Schreiben Sie die Formel von De Moivre für den Grad n.

8. Schreiben Sie die Formel für die Wurzel der Ordnung n.

9. Schreiben Sie die verallgemeinerten Sinus- und Kosinusformeln für das komplexe Argument.

10. Schreiben Sie die Formel für den Logarithmus einer komplexen Zahl.

Anhang 3. Aufgaben aus den Vorlesungen.

Vorlesung Nr. 1

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Vorlesung Nr. 2

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel. .

Beispiel. . Beispiel.. , wo, Zahl .

Beispiel. Teilen Sie in Exponentialform.

Beispiel. Finden Sie nach der Formel von De Moivre.

Beispiel. Finden Sie alle Stammwerte.

Die Exponentialfunktion einer reellen Variablen (mit positiver Basis) wird in mehreren Schritten ermittelt. Erstens für natürliche Werte – als Produkt gleicher Faktoren. Die Definition wird dann durch die Regeln auf negative Ganzzahlen und Nicht-Null-Werte erweitert. Darüber hinaus werden Bruchindikatoren betrachtet, bei denen der Wert der Exponentialfunktion anhand der Wurzeln bestimmt wird: . Für irrationale Werte ist die Definition bereits mit dem Grundkonzept der mathematischen Analysis verbunden – aus Gründen der Kontinuität mit dem Grenzübergang. Alle diese Überlegungen gelten in keiner Weise für Versuche, die Exponentialfunktion auf die komplexen Werte des Indikators auszudehnen, und was beispielsweise völlig unverständlich ist.

Zum ersten Mal führte Euler einen Grad mit einem komplexen Exponenten mit natürlicher Basis auf der Grundlage einer Analyse einer Reihe von Konstruktionen der Integralrechnung ein. Manchmal ergeben sehr ähnliche algebraische Ausdrücke bei der Integration völlig unterschiedliche Antworten:

Gleichzeitig wird hier das zweite Integral formal aus dem ersten erhalten, indem es durch ersetzt wird

Daraus können wir schließen, dass bei einer korrekten Definition einer Exponentialfunktion mit einem komplexen Exponenten inverse trigonometrische Funktionen mit Logarithmen verknüpft sind und somit die Exponentialfunktion mit trigonometrischen Funktionen verknüpft ist.

Euler hatte den Mut und die Vorstellungskraft, eine vernünftige Definition für die Exponentialfunktion mit Basis zu geben, nämlich

Dies ist eine Definition, und daher ist diese Formel nicht bewiesen, man kann nur nach Argumenten für die Angemessenheit und Zweckmäßigkeit einer solchen Definition suchen. Die mathematische Analyse liefert viele Argumente dieser Art. Wir beschränken uns auf nur einen.

Es ist bekannt, dass im realen Fall die Grenzrelation gilt: . Auf der rechten Seite steht ein Polynom, das auch für komplexe Werte für Sinn macht. Der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen wird auf natürliche Weise definiert. Eine Folge heißt konvergent, wenn die Folgen der Real- und Imaginärteile konvergieren, und das wird auch angenommen

Lass uns finden . Dazu wenden wir uns der trigonometrischen Form zu und wählen für das Argument Werte aus dem Intervall. Mit dieser Wahl ist klar, dass für . Weiter,

Um zum Grenzwert zu gelangen, muss man die Existenz von Grenzwerten für und überprüfen und diese Grenzwerte finden. Es ist klar, dass und

Also im Ausdruck

der Realteil tendiert dazu, der Imaginärteil dazu

Dieses einfache Argument liefert eines der Argumente für Eulers Definition der Exponentialfunktion.

Stellen wir nun fest, dass sich bei der Multiplikation der Werte der Exponentialfunktion die Exponenten addieren. Wirklich:

2. Euler-Formeln.

Wir geben die Definition der Exponentialfunktion ein. Wir bekommen:

Wenn wir b durch -b ersetzen, erhalten wir

Indem wir diese Gleichungen Term für Term addieren und subtrahieren, finden wir die Formeln

nennt man die Euler-Formeln. Sie stellen einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten her.

3. Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl.

Eine in trigonometrischer Form angegebene komplexe Zahl kann in der Form geschrieben werden. Diese Schreibweise einer komplexen Zahl wird als exponentiell bezeichnet. Es behält alle guten Eigenschaften der trigonometrischen Form bei, ist aber noch prägnanter. Darüber hinaus ist es natürlich anzunehmen, dass der Realteil des Logarithmus einer komplexen Zahl der Logarithmus ihres Moduls und der Imaginärteil ihr Argument ist. Dies erklärt in gewisser Weise die „logarithmische“ Eigenschaft des Arguments – das Argument des Produkts ist gleich der Summe der Argumente der Faktoren.