Sei R eine binäre Relation auf einer Menge X. Die Relation R heißt reflektierend , wenn (x, x) О R für alle x О X; symmetrisch – wenn (x, y) О R impliziert (y, x) О R; Die transitive Zahl 23 entspricht der Variante 24, wenn (x, y) Î R und (y, z) Î R (x, z) Î R implizieren.
Beispiel 1
Wir werden sagen, dass x í X gemeinsam hat
mit Element y í X wenn die Menge
x ‡ y ist nicht leer. Die Beziehung zum Gemeinsamen wird reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv sein.
Äquivalenzbeziehung auf X heißt eine reflexive, transitive und symmetrische Beziehung. Es ist leicht zu erkennen, dass R ½ X ´ X genau dann eine Äquivalenzrelation ist, wenn die Einschlüsse stattfinden:
Id X Í R (Reflexivität),
R -1 Í R (Symmetrie),
R ° R Í R (Transitivität).
Tatsächlich entsprechen diese drei Bedingungen den folgenden:
Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.
Spaltung Menge X ist die Menge A paarweise disjunkter Teilmengen a í X, so dass UA = .
Jeder Äquivalenzrelation ~ auf X entspricht eine Partition A, deren Elemente Teilmengen sind, die jeweils aus denen in der Relation ~ bestehen. Diese Teilmengen werden aufgerufen Äquivalenzklassen . Diese Partition A heißt Faktormenge der Menge X bezüglich ~ und wird mit X/~ bezeichnet.
Definieren wir die Beziehung ~ auf der Menge w der natürlichen Zahlen, indem wir x ~ y setzen, wenn die Reste nach der Division von x und y durch 3 gleich sind. Dann besteht w/~ aus drei Äquivalenzklassen, die den Resten 0, 1 und 2 entsprechen.
Auftragsbeziehung
Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt antisymmetrisch , wenn aus x R y und y R x folgt: x = y. Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt Ordnungsbeziehung , wenn es reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Es ist leicht zu erkennen, dass dies den folgenden Bedingungen entspricht:
1) Id X Í R (Reflexivität),
2) R Ç R -1 (Antisymmetrie),
3) R ° R Í R (Transitivität).
Ein geordnetes Paar (X, R), bestehend aus einer Menge X und einer Ordnungsrelation R auf X, heißt Teilweise bestelltes Set .
Beispiel 1
Sei X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).
Da R die Bedingungen 1–3 erfüllt, ist (X, R) eine teilweise geordnete Menge. Für die Elemente x = 2, y = 3 ist weder x R y noch y R x wahr. Solche Elemente heißen unvergleichlich . Normalerweise wird die Bestellrelation mit £ bezeichnet. Im obigen Beispiel ist 0 £ 1 und 2 £ 2, aber es stimmt nicht, dass 2 £ 3 ist.
Beispiel 2
Lassen< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.
Elemente x, y О X einer teilweise geordneten Menge (X, £) werden aufgerufen vergleichbar , wenn x £ y oder y £ x.
Die teilweise geordnete Menge (X, £) heißt linear geordnet oder Kette wenn zwei seiner Elemente vergleichbar sind. Die Menge in Beispiel 2 wird linear geordnet sein, die Menge in Beispiel 1 jedoch nicht.
Eine Teilmenge A Í X einer teilweise geordneten Menge (X, £) heißt von oben begrenzt , wenn es ein Element x í X gibt, so dass a £ x für alle a í A. Ein Element x í X heißt größte in X wenn y £ x für alle y О X. Ein Element x О X heißt maximal, wenn es keine von x verschiedenen Elemente y О X gibt, für die x £ y. In Beispiel 1 sind die Elemente 2 und 3 das Maximum, aber nicht das größte. Der untere Einschränkung Teilmengen, kleinste und minimale Elemente. In Beispiel 1 wäre Element 0 sowohl das Kleinste als auch das Minimum. In Beispiel 2 hat 0 auch diese Eigenschaften, aber (w, t) hat weder das größte noch das maximale Element.
Sei (X, £) eine teilweise geordnete Menge, A Í X eine Teilmenge. Eine Beziehung auf A, die aus Paaren (a, b) von Elementen a, b Î A besteht, für die a £ b ist, ist eine Ordnungsbeziehung auf A. Diese Beziehung wird mit demselben Symbol bezeichnet: £. Somit ist (A, £) eine teilweise geordnete Menge. Wenn es linear geordnet ist, dann sagen wir, dass A ist Kette in (X, £).
Maximumprinzip
Einige mathematische Aussagen können ohne das Auswahlaxiom nicht bewiesen werden. Diese Aussagen sollen sein hängen vom Auswahlaxiom ab oder gültig in der ZFC-Theorie In der Praxis verwendet man zum Beweis normalerweise anstelle des Auswahlaxioms entweder das Zermelos-Axiom oder das Kuratovsky-Zorn-Lemma oder eine andere Aussage, die dem Auswahlaxiom entspricht.
Lemma von Kuratowski-Zorn. Wenn jede Kette in einem teilweise geordneten Satz vorliegt(X, £) also von oben begrenzt X Es gibt mindestens ein maximales Element.
Dieses Lemma entspricht dem Auswahlaxiom und kann daher als Axiom aufgefasst werden.
Satz.Für jedes teilweise bestellte Set(X, £) Es gibt eine Beziehung, die die Beziehung enthält£ und transformieren X in eine linear geordnete Menge.
Nachweisen. Die Menge aller Ordnungsrelationen, die die Relation £ enthalten, wird durch die Einschlussrelation U geordnet. Da die Vereinigung einer Kette von Ordnungsrelationen eine Ordnungsrelation ist, gibt es nach dem Kuratowski-Zorn-Lemma eine maximale Relation R, so dass x £ y x R y impliziert. Beweisen wir, dass R eine Beziehung ist, die X linear ordnet. Nehmen wir das Gegenteil an: Es gebe a, b í
R¢ = R È ((x, y): x R a und b R y).
Man erhält es durch Addition des Paares (a, b) zu R und der Paare (x, y), die unter der Bedingung, dass R¢ eine Ordnungsrelation ist, zu R¢ hinzugefügt werden müssen. Es ist leicht zu erkennen, dass R¢ reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Wir erhalten R Ì R¢, was der Maximalität von R widerspricht, daher ist R die gewünschte lineare Ordnungsrelation.
Eine linear geordnete Menge X heißt wohlgeordnet, wenn eine ihrer nichtleeren Teilmengen A í
Zermelos Axiom. Für jede Menge gibt es eine Ordnungsrelation, die sie zu einer wohlgeordneten Menge macht.
Beispielsweise ist die Menge w der natürlichen Zahlen wohlgeordnet. Das Prinzip der Induktivität lässt sich wie folgt zusammenfassen:
Transfinite Induktion. Wenn(X, £) ist eine wohlgeordnete Menge und F(x) ist eine Eigenschaft ihrer Elemente, wahr für das kleinste Element x 0 n X und so aus der Wahrheit von F(y) für alle y < z следует истинность F(z), то F(x) gilt für alle x О X .
Hier y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.
Der Begriff der Macht
Seien f: X à Y und g: Y à Z Mengenabbildungen. Da f und g Beziehungen sind, ist ihre Zusammensetzung durch g ° f(x) = g(f(x)) definiert. Wenn h:Z à T eine Mengenabbildung ist, dann ist h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Die Beziehungen Id X und Id Y sind Funktionen, daher sind die Zusammensetzungen Id Y ° f = f ° Id x = f definiert. Für X = Y definieren wir f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.
Die Abbildung f:X àY heißt Injektion , wenn f(x 1) ¹ f(x 2) für alle Elemente x 1 ¹ x 2 der Menge X wahr ist. Die Abbildung f heißt Vermutung , wenn für jedes y íY ein x í X existiert, so dass f(x) = y. Wenn f sowohl eine Surjektion als auch eine Injektion ist, dann heißt f Bijektion . Es ist leicht zu erkennen, dass f genau dann eine Bijektion ist, wenn die Umkehrbeziehung f -1 í Y ´ X eine Funktion ist.
Wir werden sagen, dass die Gleichheit |X| = |Y|, wenn es eine Bijektion zwischen X und Y gibt. Setzen Sie |X| £ |Y| wenn es eine Injektion f: X à Y gibt.
Satz von Cantor-Schroeder-Bernstein. Wenn|X| £ |Y| Und|Y| £ |X| , Das|X| = |Y|.
Nachweisen. Nach Annahme gibt es Injektionen f: X à Y und g: Y à X. Sei A = g¢¢Y = Img das Bild von Y bezüglich g. Dann
(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,
(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,
(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …
Betrachten Sie eine Abbildung j: X à A definiert als j(x) = gf(x) mit
x í (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È … und andernfalls j(x) = x. Es ist leicht zu erkennen, dass j eine Bijektion ist. Die gewünschte Bijektion zwischen X und Y beträgt g -1 ° j.
Antinomie von Cantor
Setzen wir |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.
Satz von Cantor. Für jede Menge X gilt |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.
(das heißt, es hat die folgenden Eigenschaften: Jedes Element der Menge ist sich selbst äquivalent; wenn X gleichwertig j, Das j gleichwertig X; Wenn X gleichwertig j, A j gleichwertig z, Das X gleichwertig z ).
Dann heißt die Menge aller Äquivalenzklassen Faktorsatz und wird bezeichnet. Die Aufteilung einer Menge in Klassen äquivalenter Elemente wird als it bezeichnet Faktorisierung.
Anzeige von X in die Menge der Äquivalenzklassen heißt Faktorkartierung.
Beispiele
Es ist sinnvoll, die Mengenfaktorisierung zu verwenden, um normierte Räume aus halbnormierten Räumen, Räume mit einem inneren Produkt aus Räumen mit einem fast inneren Produkt usw. zu erhalten. Dazu wird die Norm einer Klasse bzw. gleich der Norm von eingeführt ein beliebiges Element davon und das Skalarprodukt von Klassen als Skalarprodukt beliebiger Elemente von Klassen. Die Äquivalenzrelation wird wiederum wie folgt eingeführt (z. B. um einen normierten Quotientenraum zu bilden): Es wird eine Teilmenge des ursprünglichen halbnormierten Raums eingeführt, die aus Elementen mit einer Halbnorm von Null besteht (übrigens ist sie linear). , das heißt, es ist ein Unterraum) und es wird davon ausgegangen, dass zwei Elemente äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu demselben Unterraum gehört.
Wenn ein bestimmter Unterraum eines linearen Raums eingeführt wird, um einen linearen Raum zu faktorisieren, und angenommen wird, dass, wenn die Differenz zweier Elemente des ursprünglichen Raums zu diesem Unterraum gehört, diese Elemente äquivalent sind, dann die Faktorenmenge ein linearer Raum ist und heißt Faktorraum.
Beispiele
siehe auch
Wikimedia-Stiftung. 2010 .
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Das logische Prinzip, das Definitionen durch Abstraktion zugrunde liegt (siehe Definition durch Abstraktion): Jede Beziehung vom Typ Gleichheit, die auf einer anfänglichen Menge von Elementen definiert ist, spaltet (teilt, klassifiziert) das Original ... ...
Eine Denkform, die die wesentlichen Eigenschaften, Zusammenhänge und Beziehungen von Gegenständen und Phänomenen in ihrer Widersprüchlichkeit und Entwicklung widerspiegelt; ein Gedanke oder ein Gedankensystem, das verallgemeinert, Objekte einer bestimmten Klasse nach einem bestimmten Allgemeinen und in der Gesamtheit herausgreift ... ... Große sowjetische Enzyklopädie
Kohomologie der Galois-Gruppe. Wenn M eine abelsche Gruppe und eine Galois-Gruppe einer auf M wirkenden Erweiterung ist, dann ist die Galois-Kohomologie die durch den Komplex definierte Kohomologiegruppe, die aus allen Abbildungen besteht, und d ist ein Coboundary-Operator (siehe Gruppenkohomologie). Mathematische Enzyklopädie
Die Rai-Konstruktion tauchte erstmals in der Mengenlehre auf und fand dann breite Anwendung in der Algebra, Topologie und anderen Bereichen der Mathematik. Ein wichtiger Sonderfall eines I.P. ist ein I.P. einer gerichteten Familie mathematischer Strukturen desselben Typs. Lassen … Mathematische Enzyklopädie
Punkte bezüglich einer Gruppe G, die auf eine Menge X (links) einwirkt, eine Menge ist eine Untergruppe von G und heißt. Stabilisator oder eine stationäre Untergruppe eines Punktes in Bezug auf G. Die Abbildung induziert eine Bijektion zwischen G/Gx und der Umlaufbahn G(x). UM.… … Mathematische Enzyklopädie
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In diesem Artikel geht es um das algebraische System. Für den Zweig der mathematischen Logik, der Sätze und Operationen auf ihnen untersucht, siehe Algebra der Logik. Die Boolesche Algebra ist eine nichtleere Menge A mit zwei binären Operationen (analog einer Konjunktion), ... ... Wikipedia
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Quest-Quelle: Aufgabe 10_20. USE 2018 Sozialkunde. Lösung
Aufgabe 20. Lesen Sie den folgenden Text, in dem einige Wörter (Phrasen) fehlen. Wählen Sie aus der vorgeschlagenen Liste Wörter (Phrasen) aus, die Sie anstelle der Lücken einfügen möchten.
„Die Lebensqualität hängt von vielen Faktoren ab, die vom Wohnort einer Person über die allgemeine sozioökonomische und (A) Situation bis hin zur politischen Lage im Land reichen. Die Lebensqualität kann bis zu einem gewissen Grad durch die demografische Situation, die Lebens- und Arbeitsbedingungen, die Menge und Qualität von _____ (B) usw. beeinflusst werden. Je nach Grad der Bedürfnisbefriedigung in der Wirtschaft ist dies üblich unterscheiden verschiedene Lebensniveaus der Bevölkerung: Reichtum - Nutzung (B) zur Gewährleistung der ganzheitlichen Entwicklung einer Person; ein normales Maß an _____ (G) nach wissenschaftlich fundierten Standards, das einer Person die Wiederherstellung ihrer körperlichen und geistigen Stärke ermöglicht; Armut – der Konsum von Gütern auf dem Niveau der Aufrechterhaltung der Arbeitsfähigkeit als untere Grenze der Reproduktion _____ (D); Armut ist der Konsum einer Reihe von Gütern und Dienstleistungen, die nach biologischen Kriterien minimal akzeptabel sind und nur die Erhaltung der menschlichen Lebensfähigkeit ermöglichen.
Die Bevölkerung, die sich an die Marktbedingungen anpasst, nutzt verschiedene zusätzliche Einkommensquellen, darunter Einkünfte aus persönlichen Nebengrundstücken, Gewinn aus _____ (E)“.
Wörter (Phrasen) in der Liste werden im Nominativ angegeben. Jedes Wort (Phrase) kann nur einmal verwendet werden.
Wählen Sie nacheinander ein Wort (eine Phrase) nach dem anderen und füllen Sie jede Lücke im Geiste aus. Bitte beachten Sie, dass die Liste mehr Wörter (Phrasen) enthält, als Sie zum Ausfüllen der Lücken benötigen.
Liste der Begriffe:
1) Kapital
2) ökologisch
3) rationaler Konsum
4) Konsumgüter
5) Produktionsmittel
7) Arbeitskräfte
8) unternehmerische Tätigkeit
9) soziale Mobilität
Lösung.
Fügen wir die Begriffe in den Text ein.
„Die Lebensqualität hängt von vielen Faktoren ab, die vom Wohnort einer Person über die allgemeine sozioökonomische und ökologische Situation (2) (A) bis hin zum Stand der politischen Angelegenheiten im Land reichen.“ Die Lebensqualität kann in gewissem Maße durch die demografische Situation, die Lebens- und Arbeitsbedingungen, die Menge und Qualität der Konsumgüter (4) (B) usw. beeinflusst werden. Abhängig vom Grad der Bedürfnisbefriedigung in der Wirtschaft ist dies der Fall Es ist üblich, verschiedene Lebensniveaus der Bevölkerung zu unterscheiden: Wohlstand – die Nutzung von Leistungen (6) (B), die die umfassende Entwicklung einer Person gewährleisten; normales Maß an rationalem Konsum (3) (D) nach wissenschaftlich fundierten Standards, der einem Menschen die Wiederherstellung seiner körperlichen und geistigen Stärke ermöglicht; Armut – der Konsum von Gütern auf dem Niveau der Aufrechterhaltung der Arbeitsfähigkeit als Untergrenze der Reproduktion der Erwerbsbevölkerung (7) (E); Armut ist der Konsum einer Reihe von Gütern und Dienstleistungen, die nach biologischen Kriterien minimal akzeptabel sind und nur die Erhaltung der menschlichen Lebensfähigkeit ermöglichen.
Wenn das Verhältnis R hat folgende Eigenschaften: reflexiv symmetrisch transitiv, d.h. ist eine Äquivalenzrelation (~ oder ≡ oder E) auf der Menge M , dann heißt die Menge der Äquivalenzklassen die Faktormenge der Menge M bezüglich der Gleichwertigkeit R und bezeichnet HERR
Hier ist eine Teilmenge der Elemente der Menge M Äquivalent X genannt Äquivalenzklasse.
Aus der Definition einer Faktormenge folgt, dass es sich um eine Teilmenge des Booleschen Faktors handelt: .
Die Funktion wird aufgerufen Identifikation und ist wie folgt definiert:
Satz. Faktoralgebra F n /~ ist isomorph zur Algebra boolescher Funktionen B N
Nachweisen.
Erforderlicher Isomorphismus ξ : F N / ~ → B n wird nach folgender Regel bestimmt: der Äquivalenzklasse ~(φ) zugeordnete Funktion f φ , eine Wahrheitstabelle einer beliebigen Formel aus der Menge haben ~(φ) . Da unterschiedliche Äquivalenzklassen unterschiedlichen Wahrheitstabellen entsprechen, ist die Abbildung ξ injektiv und seitdem für jede boolesche Funktion F aus Auf S Es gibt eine Formel, die die Funktion darstellt F, dann die Zuordnung ξ surjektiv. Speichervorgänge, 0, 1, wenn angezeigt ξ direkt überprüft. CHTD.
Nach dem Satz über die funktionale Vollständigkeit ist jede Funktion keine Konstante 0 , entspricht etwas SDNF ψ , zur Klasse gehörend ~(φ) = ξ -1 (f) Formeln, die eine Funktion darstellen F . Es gibt ein Problem, in der Klasse zu sein ~(φ) disjunktive Normalform, die die einfachste Struktur hat.
Feierabend -
Dieses Thema gehört zu:
Vorlesungsreihe zur Disziplin Diskrete Mathematik
Moskauer Staatliche Universität für Bauingenieurwesen. Institut für Managementökonomie und Informationssysteme im Bauwesen. ieuis.
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Alle Themen in diesem Abschnitt:
Fachgebiet Diskrete Mathematik
Das Fach der diskreten (endlichen, endlichen) Mathematik ist ein Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften diskreter Strukturen untersucht, während die klassische (kontinuierliche) Mathematik die Eigenschaften von Objekten untersucht.
Isomorphismus
Die Wissenschaft, die algebraische Operationen untersucht, wird Algebra genannt. Dieses Konzept wird im Laufe des Studiums konkretisiert und vertieft. Die Algebra interessiert sich nur für die Frage WIE
Übungen
1. Beweisen Sie, dass eine isomorphe Abbildung immer isoton ist und das Gegenteil nicht der Fall ist. 2. Schreiben Sie Ihre Gruppe in der Sprache der Mengen auf. 3. Schreiben Sie in der Sprache von Sets die Objekte auf, die
Die Menge und die Elemente der Menge
Derzeit unterscheiden sich die bestehenden Mengenlehren in der Paradigmatik (Ansichtssystem) der konzeptionellen Grundlagen und logischen Mittel. Als Beispiel können wir zwei Gegensätze nennen
Endliche und unendliche Mengen
Woraus das Set besteht, d.h. Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, werden ihre Elemente genannt. Die Elemente einer Menge sind verschieden und voneinander verschieden. Wie aus den Beispielen ersichtlich ist
Leistung einstellen
Die Potenz einer endlichen Menge ist gleich der Anzahl ihrer Elemente. Zum Beispiel die Kardinalität des Universums B(A) der Menge A mit der Kardinalität n
A1A2A3| + … + |À1A2A3| + … + |À1A2An| + … + |An-2An-1An| + (-1)n-1 |À1A2A3…An|
Eine endliche Menge A hat die Kardinalität k, wenn sie äquivalent zum Segment 1..k; ist:
Teilmenge, eigene Teilmenge
Nach der Einführung des Mengenbegriffs stellt sich das Problem, aus vorhandenen Mengen neue Mengen zu konstruieren, also Operationen auf Mengen zu bestimmen. Satz von M",
Die symbolische Sprache bedeutungsvoller Mengentheorien
Im Verlauf des Studiums werden wir zwischen der Objektsprache der Mengenlehre und der Metasprache unterscheiden, mit deren Hilfe die Objektsprache untersucht wird. Mit der Sprache der Mengenlehre meinen wir die Relation
Nachweisen
Die Menge B ist also unendlich
Elemente hinzufügen und entfernen
Wenn A eine Menge und x ein Element ist, dann ist das Element
Limitierte Sets. Grenzen setzen
Es sei eine numerische Funktion f(x) auf einer Menge X gegeben. Die Obergrenze (Grenze) der Funktion f (x) wird als solche Zahl bezeichnet
Präzise obere (untere) Grenze
Die Menge aller oberen Grenzen von E wird mit Es bezeichnet, die Menge aller unteren Grenzen mit Ei. Falls
Die genaue obere (untere) Grenze des Satzes
Wenn ein Element z zum Schnittpunkt der Menge E und der Menge aller seiner oberen Grenzen Es (bzw. unteren z) gehört
Grundlegende Eigenschaften der oberen und unteren Ränder
Sei X eine teilweise geordnete Menge. 1. Wenn, dann
Eine Menge aus attributiver Sicht
Der aggregierte Standpunkt ist im Gegensatz zum attributiven Standpunkt logisch in dem Sinne unhaltbar, dass er zu Paradoxien wie Russell und Cantor führt (siehe unten). Innerhalb des Attributs t
Struktur
Eine teilweise geordnete Menge X heißt Struktur, wenn sie eine beliebige zweielementige Menge enthält
Abdeck- und Spaltsets
Eine Partition einer Menge A ist eine Familie Ai
binäre Beziehungen
Eine Folge der Länge n, deren Mitglieder a1, .... an sind, wird mit (a1, .... a) bezeichnet
Eigenschaften binärer Beziehungen
Die binäre Relation R auf der Ho-Menge hat die folgenden Eigenschaften: (a) reflexiv, wenn xRx
Ternäre Beziehungen
Kartesisches Produkt XY
N-äre Beziehungen
Analog zum kartesischen Produkt zweier Mengen X,Y kann man das kartesische Produkt X konstruieren
Zeigt an
Zuordnungen sind einige Verbindungen zwischen Elementen von Mengen. Das einfachste Beispiel für Beziehungen sind die Zugehörigkeitsbeziehungen x
Korrespondenz
Die Teilmenge S des kartesischen Produkts heißt n-fache Korrespondenz der Elemente der Mengen Mi. Formal
Funktion
Im Mittelpunkt aller Abschnitte der diskreten Mathematik steht das Konzept einer Funktion. Sei x-
Darstellung einer Funktion in Bezug auf Beziehungen
Eine Funktion ist eine binäre Beziehung f, wenn aus und
Injektion, Surjektion, Bijektion
Bei der Verwendung des Begriffs „Mapping“ wird zwischen einer Abbildung X auf Y und einer Abbildung X auf Y unterschieden
Umkehrfunktion
Für willkürlich definieren wir
Teilweise bestellte Sets
Eine Menge S heißt teilweise geordnet (POS), wenn ihr eine reflexive, transitive und antisymmetrische binäre Teilordnungsrelation gegeben ist
Darstellungsminimierungen festlegen
Anhand dieser Gesetze betrachten wir das Problem, die Darstellung der Menge M mit Hilfe der Operationen zu minimieren
Permutationen
Gegeben sei eine Menge A. Sei A eine endliche Menge bestehend aus n Elementen A = (a1, a2, …, a
Permutationen mit Wiederholungen
Die Menge A soll identische (sich wiederholende) Elemente enthalten. Permutation mit Wiederholungen der Komposition (n1, n2, … ,nk
Unterkünfte
Tupel der Länge k (1≤k≤n), bestehend aus verschiedenen Elementen der n-Elemente-Menge A (Tupel unterscheiden sich in einem).
Platzierungen mit Wiederholungen
Die Menge A soll identische (sich wiederholende) Elemente enthalten. Platzierungen mit Wiederholungen von n Elementen durch k Namen
Geordnete Platzierung
Wir platzieren n Objekte in m Boxen, sodass jede Box eine Reihenfolge und nicht wie zuvor eine Menge der darin platzierten Objekte enthält. Zwei
Kombinationen
Aus einer m-elementigen Menge A konstruieren wir eine geordnete Menge der Länge n, deren Elemente Anordnungen mit gleichen Themen sind
Kombinationen mit Wiederholungen
Die resultierenden Formeln sind nur gültig, wenn die Menge A keine identischen Elemente enthält. Es gebe Elemente von n Typen und daraus ein Tupel von
Methodengenerierungsfunktionen
Diese Methode wird verwendet, um kombinatorische Zahlen aufzuzählen und kombinatorische Identitäten festzustellen. Ausgangspunkt ist der Sequenz(ai)-Kombinator
Algebraisches System
Ein algebraisches System A ist eine Sammlung ‹M,O,R›, deren erste Komponente M eine nichtleere Menge ist, deren zweite Komponente O die Menge ist
Abschluss und Unteralgebren
Eine Teilmenge heißt geschlossen unter der Operation φ if
Algebren mit einer binären Operation
Auf der Menge M sei eine binäre Operation gegeben. Betrachten Sie die von ihm erzeugten Algebren, aber betrachten Sie zunächst einige Eigenschaften binärer Operationen. Binär über
Gruppoid
Algebra anzeigen<М, f2>Gruppoid genannt. Wenn f2 eine Operation wie die Multiplikation ist (
Ganze Zahlen Modulo m
Gegeben sei ein Ring aus ganzen Zahlen
Kongruenzen
Kongruenz zur Algebra A =
Elemente der Graphentheorie
Graphen sind mathematische Objekte. Die Graphentheorie wird in Bereichen wie Physik, Chemie, Kommunikationstheorie, Computerdesign, Elektrotechnik, Maschinenbau, Architektur und Forschung angewendet
Graph, Scheitelpunkt, Kante
Mit einem ungerichteten Graphen (oder kurz einem Graphen) meinen wir ein solches beliebiges Paar G =
Korrespondenz
Eine andere, häufiger verwendete Beschreibung eines gerichteten Graphen G besteht darin, eine Menge von Eckpunkten X und eine Korrespondenz Γ anzugeben, die
Ungerichteter Graph
Wenn die Kanten keine Orientierung haben, heißt der Graph ungerichtet (ungerichtetes Duplikat oder ungerichtet).
Vorfall, gemischte Grafik
Wenn die Kante e die Form (u, v) oder hat<и, v>, dann sagen wir, dass die Kante e mit ver inzident ist
Reverse-Matching
Da ist eine Menge solcher Eckpunkte
Graphisomorphismus
Zwei Graphen G1 =
Wegorientierte Route
Ein Pfad (oder eine gerichtete Route) eines gerichteten Graphen ist eine Folge von Bögen, in denen
Benachbarte Bögen, benachbarte Scheitelpunkte, Scheitelpunktgrad
Bögen a = (хi, хj), хi ≠ хj, mit gemeinsamen Endeckpunkten, n
Konnektivität
Zwei Knoten in einem Diagramm werden als verbunden bezeichnet, wenn es einen einfachen Pfad gibt, der sie verbindet. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn alle seine Knoten verbunden sind. Satz.
Diagramm mit gewichteten Bögen
Ein Graph G = (N, A) heißt gewichtet, wenn auf der Menge der Bögen A eine Funktion l: A → R definiert ist, die auf
Starke Konnektivitätsmatrix
Starke Konnektivitätsmatrix: diagonal setzen 1; Füllen Sie die Zeile X1 aus – wenn der Scheitelpunkt von X1 und X1 aus erreichbar ist. d
Bäume
Bäume sind nicht nur deshalb wichtig, weil sie in verschiedenen Wissensgebieten Anwendung finden, sondern auch wegen ihrer Sonderstellung in der Graphentheorie selbst. Letzteres ist auf die extreme Einfachheit der Baumstruktur zurückzuführen.
Jeder nicht triviale Baum hat mindestens zwei hängende Eckpunkte
Beweis Betrachten Sie einen Baum G(V, E). Ein Baum ist also ein zusammenhängender Graph
Satz
Das Zentrum eines freien Baums besteht aus einem Knoten oder zwei benachbarten Knoten: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1
Gerichtete, geordnete und binäre Bäume
Orientierte (geordnete) Bäume sind eine Abstraktion hierarchischer Beziehungen, die sowohl im praktischen Leben als auch in der Mathematik und Programmierung sehr verbreitet sind. Baum (orient
Nachweisen
1. Jeder Bogen betritt einen Knoten. Aus Punkt 2 der Definition 9.2.1 ergibt sich: v
Geordnete Bäume
Die Mengen T1,..., Tk in der äquivalenten Definition eines Ordnungsbaums sind Teilbäume. Wenn die relative Reihenfolge der Teilbäume T1,...,
Binärbäume
Ein binärer (oder binärer) Baum ist eine endliche Menge von Knoten, die entweder leer ist oder aus einer Wurzel und zwei sich nicht überschneidenden Binärbäumen – dem linken und dem rechten – besteht. Binärbaum, nicht Java
Darstellung freier Bäume
Zur Darstellung von Bäumen können Sie dieselben Techniken wie zur Darstellung allgemeiner Diagramme verwenden – Adjazenz- und Inzidenzmatrizen, Adjazenzlisten und andere. Aber unter Verwendung der besonderen Eigenschaften von d
Ende für
Begründung Der Prüfer-Code ist tatsächlich eine Darstellung eines freien Baums. Um dies zu überprüfen, zeigen wir, dass wenn T" ein Baum ist
Darstellung binärer Bäume
Jeder freie Baum kann ausgerichtet werden, indem einer der Knoten als Wurzel bestimmt wird. Jede Bestellung kann beliebig angeordnet werden. Für Nachkommen eines Knotens (Brüder) eines geordneten Ordnungsbaums der Relative
Grundlegende Logikfunktionen
Bezeichnen Sie mit E2 = (0, 1) die Menge bestehend aus zwei Zahlen. Die Zahlen 0 und 1 sind in der diskreten Matte grundlegend
boolesche Funktion
Eine boolesche Funktion mit n Argumenten x1, x2, …, xn ist eine Funktion f aus der n-ten Potenz der Menge
Boolesche Algebra mit zwei Elementen
Betrachten Sie die Menge Bo = (0,1) und definieren Sie gemäß den Tabellen Operationen darauf
Boolesche Funktionstabellen
Eine boolesche Funktion von n Variablen kann als Tabelle mit zwei Spalten und 2n Zeilen angegeben werden. Die erste Spalte listet alle Sets von B auf
F5 - in y wiederholen
f6 – Summe Modulo 2 f7
Reihenfolge der Operationen
Wenn in einem komplexen Ausdruck keine Klammern vorhanden sind, müssen die Operationen in der folgenden Reihenfolge ausgeführt werden: Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Negation. Anordnungskonventionen Shannons erster Satz
Um das Problem zu lösen, SDNF und SKNF äquivalent zur ursprünglichen Formel φ zu finden, betrachten wir zunächst die Erweiterungen der Booleschen Funktion f(x1, x2
Shannons zweiter Satz
Aufgrund des Dualitätsprinzips für Boolesche Algebren ist Satz 6.4.3 (Shannons zweiter Satz) gültig. Jede boolesche Funktion f(x1, x2,...
Funktionale Vollständigkeit
Satz (zur funktionalen Vollständigkeit). Für jede boolesche Funktion f gibt es eine Formel φ, die die Funktion f darstellt
Algorithmus zum Finden von Sdnf
Um SDNF zu finden, muss diese Formel zunächst auf DNF reduziert werden, und dann müssen ihre Konjunktionen mithilfe der folgenden Aktionen in Einheitenkonstituenten umgewandelt werden: a) wenn die Konjunktion welche enthält
Quine-Methode
Betrachten Sie Quines Methode zum Finden eines MDNF, der eine gegebene boolesche Funktion darstellt. Wir definieren die folgenden Tri-Operationen: - die Operation der vollständigen Verklebung -
Kanonische Darstellung boolescher Funktionen
Die kanonischen Formen logischer (Formel-)Funktionen sind Ausdrücke, die eine Standardform einer booleschen Formel haben, die eine logische Funktion eindeutig darstellt. In Algebra
Boolesche Funktionssysteme
Seien die booleschen Funktionen f(g1, g2, …, gm) und g1(x1, x2, …, xn), g2(x1
Basis Zhegalkin
Beispiel Betrachten Sie das System. Es ist vollständig, da jede Funktion der Standardbasis durch ausgedrückt wird
Satz von Post
Der Satz von Post legt notwendige und hinreichende Bedingungen für die Vollständigkeit eines Systems boolescher Funktionen fest. (Post E.L. Die zweiwertigen interaktiven Systeme der mathematischen Logik. – Annals of Math. Stu
Nachweisen
Notwendigkeit. Im Gegenteil. Lass und
Algebra Zhegalkin Aussagelogik Prädikatdefinition Anwendung von Prädikaten in der Algebra Boolesche Prädikatsalgebra F↔G=(F→G)(G→F), F→G=nicht FG Prädikatenrechnung Folgen und Äquivalenz Akzeptierte Bezeichnungen Metabezeichnungen Die folgenden Sätze können bewiesen werden. Satz 1.4. Eine Funktion f hat genau dann eine Umkehrfunktion f -1, wenn f bijektiv ist. Satz 1.5. Die Zusammensetzung bijektiver Funktionen ist eine bijektive Funktion. Reis. 1.12 zeigen verschiedene Beziehungen, alle bis auf die erste sind Funktionen. Haltung, aber Injektion, aber Vermutung, aber keine Funktion keine Vermutung keine Injektion Sei f : A→ B eine Funktion und die Mengen A und B seien endliche Mengen, seien A = n , B = m . Das Dirichlet-Prinzip besagt, dass bei n > m mindestens ein Wert von f mehr als einmal vorkommt. Mit anderen Worten, es gibt ein Elementpaar a i ≠ a j , a i , a j A für das f(a i )= f(a j ). Das Dirichlet-Prinzip ist leicht zu beweisen, daher überlassen wir es dem Leser als triviale Übung. Betrachten Sie ein Beispiel. Die Gruppe darf aus mehr als 12 Schülern bestehen. Dann liegt es auf der Hand, dass mindestens zwei von ihnen im selben Monat Geburtstag haben. Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Die Gleichheitsrelation auf der Zahlenmenge hat die angegebenen Eigenschaften, es handelt sich also um eine Äquivalenzrelation. Die Dreiecksähnlichkeitsrelation ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation. Die Relation der nichtstrikten Ungleichung (≤ ) auf der Menge der reellen Zahlen ist keine Äquivalenzrelation, da sie nicht symmetrisch ist: Aus 3 ≤ 5 folgt nicht, dass 5 ≤ 3. Eine Äquivalenzklasse (Nebenklasse), die von einem Element a für eine gegebene Äquivalenzrelation R erzeugt wird, ist die Teilmenge derjenigen x A, die in Beziehung R zu a stehen. Die angegebene Äquivalenzklasse wird mit [a] R bezeichnet, daher gilt: [a] R = (x A: a, x R). Betrachten Sie ein Beispiel. Auf der Menge der Dreiecke wird eine Ähnlichkeitsrelation eingeführt. Es ist klar, dass alle gleichseitigen Dreiecke in eine Nebenklasse fallen, da jedes von ihnen beispielsweise einem Dreieck ähnelt, dessen Seiten alle eine Einheitslänge haben. Satz 1.6. Sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A und [a] R eine Nebenklasse, d. h. [a] R = (x A: a, x R), dann: 1) für jedes a A : [a] R ≠ , insbesondere a [a] R ; 2)
verschiedene Nebenklassen schneiden sich nicht; 3)
die Vereinigung aller Nebenmengen fällt mit der gesamten Menge A zusammen; 4)
Die Menge der verschiedenen Nebenklassen bildet eine Partition der Menge A. Nachweisen. 1) Aufgrund der Reflexivität von R erhalten wir, dass für jedes a, a A a, a R gilt, also a [ a] R und [ a] R ≠ ; 2) Nehmen wir an, dass [a] R ∩ [b] R ≠ ist, d. h. es gibt ein Element c aus A und c [a] R ∩ [b] R . Dann erhalten wir aus (cRa)&(cRb) aufgrund der Symmetrie von R (aR c)&(cRb) und aus der Transitivität von R erhalten wir aRb. Für jedes х [а] R gilt: (хRa)&(аRb) , dann erhalten wir aufgrund der Transitivität von R хRb, d. h. x[b]R, also [a]R[b]R. In ähnlicher Weise gilt für jedes y, y [b] R: (ÎRb)&(aRb) , und aufgrund der Symmetrie von R erhalten wir (ÎRb)&(bR à), dann aufgrund der Transitivität von R , wir bekommen das yR а , d.h. y[a]r und also [b] R [a] R . Aus [a] R [b] R und [b] R [a] R erhalten wir [a] R = [b] R, d. h. wenn sich Nebenmengen schneiden, dann fallen sie zusammen; 3) für jedes a, a A, wie bewiesen, haben wir a [ a] R , dann ist es offensichtlich, dass die Vereinigung aller Nebenmengen mit der Menge A übereinstimmt. Behauptung 4) von Satz 1.6 folgt aus 1)–3). Der Satz ist bewiesen. Wir können den folgenden Satz beweisen. Satz 1.7. Unterschiedliche Äquivalenzrelationen auf einer Menge A erzeugen unterschiedliche Partitionen von A. Satz 1.8. Jede Partition der Menge A erzeugt eine Äquivalenzbeziehung auf der Menge A, und verschiedene Partitionen erzeugen unterschiedliche Äquivalenzbeziehungen. Nachweisen. Gegeben sei eine Partition В= (B i ) der Menge A. Definieren wir die Beziehung R : a,b R genau dann, wenn es ein B i gibt, so dass sowohl a als auch b zu diesem B i gehören. Es ist offensichtlich, dass die eingeführte Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist; daher ist R eine Äquivalenzrelation. Es lässt sich zeigen, dass bei unterschiedlichen Partitionen auch die von ihnen erzeugten Äquivalenzrelationen unterschiedlich sind. Die Menge aller Nebenklassen einer Menge A bezüglich einer gegebenen Äquivalenzrelation R heißt Quotientenmenge und wird mit A/R bezeichnet. Die Elemente der Faktormenge sind Nebenmengen. Die Nebenklassenklasse [ a ] R besteht, wie Sie wissen, aus Elementen A, die in Beziehung zueinander stehen R . Betrachten Sie ein Beispiel einer Äquivalenzbeziehung für die Menge der ganzen Zahlen Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …). Zwei ganze Zahlen a und b heißen vergleichbares (kongruentes) Modulo m, wenn m ein Teiler der Zahl a-b ist, d. h. wenn gilt: a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Schreiben Sie in diesem Fall a≡ b(mod m) . Satz 1.9. Für alle Zahlen a , b , c und m>0 gilt: 1) a ≡ a(mod m) ; 2) wenn a ≡ b(mod m), dann b ≡ a(mod m); 3) Wenn a ≡ b(mod m) und b ≡ c(mod m), dann ist a ≡ c(mod m). Nachweisen. Die Aussagen 1) und 2) liegen auf der Hand. Beweisen wir 3). Sei a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , dann a=c+(k 1 +k 2 )m , d.h. a ≡ c(mod m) . Der Satz ist bewiesen. Somit ist die Vergleichbarkeitsrelation modulo m eine Äquivalenzrelation und unterteilt die Menge der ganzen Zahlen in nicht überlappende Zahlenklassen. Konstruieren wir eine unendlich abwickelnde Spirale, die in Abb. 1.13 ist mit einer durchgezogenen Linie dargestellt, und eine sich unendlich drehende Spirale ist mit einer gestrichelten Linie dargestellt. Gegeben sei eine nichtnegative ganze Zahl m. Wir platzieren alle ganzen Zahlen (Elemente aus der Menge Z) an den Schnittpunkten dieser Spiralen mit m Strahlen, wie in Abb. 1.13. Für die Vergleichbarkeitsrelation modulo m (insbesondere für m = 8) sind die auf dem Strahl liegenden Zahlen die Äquivalenzklasse. Offensichtlich fällt jede Zahl in eine und nur eine Klasse. Für m= 8 ergibt sich: [
0]
={…, -8, 0, 8, 16, …}; [
1]
={…, -7, 1, 9, 17, …}; [
2]
={…, -6, 2, 10, 18, …}; [
7]
={…, -9, -1, 7, 15, …}. Der Mengenfaktor einer Menge Z bezüglich des Vergleichsmodulo m wird als Z/m oder als Z m bezeichnet. Für den betrachteten Fall ist m =8 wir erhalten, dass Z/8 = Z8 = ( , , , …, ). Satz 1.10. Für alle ganzen Zahlen a, b, a * , b * , k und m : 1) wenn a ≡ b(mod m), dann ka ≡ kb(mod m); 2) wenn a ≡ b(mod m) und a* ≡ b* (mod m), dann: a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m). Wir präsentieren den Beweis für Fall 2b). Sei a ≡ b(mod m) und a * ≡ b * (mod m) , dann a=b+sm und a * =b * +tm für einige ganze Zahlen s und t . Multiplizieren, wir erhalten: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Somit, aa* ≡ bb* (mod m). Somit können Modulo-Vergleiche Term für Term addiert und multipliziert werden, d. h. funktionieren genauso wie bei Gleichheiten. Zum Beispiel,
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Symbole Inhalt Beispiel ODER
§ 7. Äquivalenzbeziehung. Faktorsatz
