Versuchen Sie zunächst, den Umfang der Funktion zu ermitteln:

Hast du es geschafft? Vergleichen wir die Antworten:

Alles ist richtig? Gut gemacht!

Versuchen wir nun, den Bereich der Funktion zu ermitteln:

Gefunden? Vergleichen:

Hat es zugestimmt? Gut gemacht!

Lassen Sie uns noch einmal mit den Diagrammen arbeiten, nur ist es jetzt etwas schwieriger – sowohl den Definitionsbereich der Funktion als auch den Bereich der Funktion zu finden.

So finden Sie sowohl den Bereich als auch den Bereich einer Funktion (für Fortgeschrittene)

Folgendes ist passiert:

Ich glaube, Sie haben es mit der Grafik herausgefunden. Versuchen wir nun, den Funktionsbereich gemäß den Formeln zu finden (wenn Sie nicht wissen, wie das geht, lesen Sie den Abschnitt über):

Hast du es geschafft? Überprüfung Antworten:

1. , da der Wurzelausdruck größer oder gleich Null sein muss.
2. , da eine Division durch Null nicht möglich ist und der Wurzelausdruck nicht negativ sein kann.
3. , da bzw. für alle.
4. weil man nicht durch Null dividieren kann.

Allerdings haben wir noch einen weiteren Moment, der nicht geklärt wurde ...

Lassen Sie mich die Definition wiederholen und mich darauf konzentrieren:

Bemerkte? Das Wort „nur“ ist ein sehr, sehr wichtiges Element unserer Definition. Ich werde versuchen, es dir an den Fingern zu erklären.

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion, die durch eine gerade Linie gegeben ist. . Wenn wir diesen Wert in unsere „Regel“ einsetzen, erhalten wir diesen. Ein Wert entspricht einem Wert. Wir können sogar eine Tabelle mit verschiedenen Werten erstellen und eine bestimmte Funktion grafisch darstellen, um dies zu überprüfen.

"Sehen! - Sie sagen: "" trifft sich zweimal! Vielleicht ist die Parabel also keine Funktion? Nein es ist!

Die Tatsache, dass „“ zweimal vorkommt, ist noch lange kein Grund, der Parabel Mehrdeutigkeit vorzuwerfen!

Tatsache ist, dass wir bei der Berechnung ein Spiel bekommen haben. Und wenn wir mit rechnen, haben wir ein Spiel bekommen. Das ist also richtig, die Parabel ist eine Funktion. Schauen Sie sich die Tabelle an:

Habe es? Wenn nicht, finden Sie hier ein Beispiel aus der Praxis, fernab der Mathematik!

Nehmen wir an, wir haben eine Gruppe von Bewerbern, die sich bei der Einreichung von Unterlagen kennengelernt haben und von denen jeder in einem Gespräch erzählt hat, wo er lebt:

Stimmen Sie zu, es ist durchaus realistisch, dass mehrere Männer in derselben Stadt leben, aber es ist unmöglich, dass eine Person gleichzeitig in mehreren Städten lebt. Dies ist sozusagen eine logische Darstellung unserer „Parabel“ – Mehrere verschiedene x entsprechen demselben y.

Lassen Sie uns nun ein Beispiel erstellen, bei dem die Abhängigkeit keine Funktion ist. Nehmen wir an, dieselben Leute haben erzählt, für welche Fachrichtungen sie sich beworben haben:

Hier haben wir eine ganz andere Situation: Eine Person kann sich problemlos für eine oder mehrere Richtungen bewerben. Also ein Element Sätze werden in Korrespondenz gebracht mehrere Elemente Sätze. Bzw, Es ist keine Funktion.

Lassen Sie uns Ihr Wissen in der Praxis testen.

Bestimmen Sie anhand der Bilder, was eine Funktion ist und was nicht:

Habe es? Und hier ist Antworten:

• Die Funktion ist - B,E.
• Keine Funktion – A, B, D, D.

Sie fragen warum? Ja, hier ist der Grund:

In allen Zahlen außer IN) Und E) es gibt mehrere für einen!

Ich bin sicher, dass Sie jetzt leicht eine Funktion von einer Nichtfunktion unterscheiden, sagen können, was ein Argument und was eine abhängige Variable ist, und auch den Umfang des Arguments und den Umfang der Funktion bestimmen können. Fahren wir mit dem nächsten Abschnitt fort: Wie definiere ich eine Funktion?

Möglichkeiten zum Festlegen einer Funktion

Was denken Sie, was die Worte bedeuten? „Funktion festlegen“? Richtig, es bedeutet, allen zu erklären, um welche Funktion es sich in diesem Fall handelt. Erklären Sie außerdem so, dass jeder Sie richtig versteht und die von den Personen gemäß Ihrer Erklärung gezeichneten Funktionsgraphen dieselben sind.

Wie kann ich das machen? Wie stelle ich eine Funktion ein? Der einfachste Weg, der in diesem Artikel bereits mehrfach verwendet wurde - mithilfe einer Formel. Wir schreiben eine Formel und berechnen den Wert, indem wir einen Wert darin einsetzen. Und wie Sie sich erinnern, ist eine Formel ein Gesetz, eine Regel, nach der uns und einem anderen Menschen klar wird, wie aus einem X ein Y wird.

Normalerweise tun sie genau das – in Aufgaben sehen wir vorgefertigte Funktionen, die durch Formeln definiert sind. Es gibt jedoch andere Möglichkeiten, eine Funktion festzulegen, die jeder vergisst, und daher stellt sich die Frage „Wie kann man eine Funktion sonst festlegen?“ verwirrt. Schauen wir uns alles der Reihe nach an und beginnen mit der Analysemethode.

Analytische Art, eine Funktion zu definieren

Die analytische Methode ist die Aufgabe einer Funktion anhand einer Formel. Dies ist der universellste, umfassendste und eindeutigste Weg. Wenn Sie eine Formel haben, wissen Sie absolut alles über die Funktion – Sie können eine Wertetabelle darauf erstellen, Sie können ein Diagramm erstellen, bestimmen, wo die Funktion zunimmt und wo sie abnimmt, und sie im Allgemeinen erkunden vollständig.

Betrachten wir eine Funktion. Was macht es aus?

"Was bedeutet das?" - du fragst. Ich erkläre es jetzt.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass in der Notation der Ausdruck in Klammern als Argument bezeichnet wird. Und dieses Argument kann ein beliebiger Ausdruck sein, nicht unbedingt einfach. Unabhängig vom Argument (Ausdruck in Klammern) schreiben wir es stattdessen in den Ausdruck.

In unserem Beispiel sieht es so aus:

Betrachten Sie eine weitere Aufgabe im Zusammenhang mit der analytischen Methode zur Angabe einer Funktion, die Sie in der Prüfung haben werden.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks, at.

Ich bin mir sicher, dass Sie zuerst Angst hatten, als Sie einen solchen Ausdruck sahen, aber es ist absolut nichts Beängstigendes daran!

Alles ist wie im vorherigen Beispiel: Was auch immer das Argument ist (Ausdruck in Klammern), wir schreiben es stattdessen in den Ausdruck. Zum Beispiel für eine Funktion.

Was soll in unserem Beispiel getan werden? Stattdessen müssen Sie schreiben und statt -:

kürzen Sie den resultierenden Ausdruck:

Das ist alles!

Selbstständige Arbeit

Versuchen Sie nun selbst die Bedeutung der folgenden Ausdrücke herauszufinden:

1. , Wenn
2. , Wenn

Hast du es geschafft? Vergleichen wir unsere Antworten: Wir sind daran gewöhnt, dass die Funktion die Form hat

Auch in unseren Beispielen definieren wir die Funktion auf diese Weise, aber analytisch ist es beispielsweise möglich, die Funktion implizit zu definieren.

Versuchen Sie, diese Funktion selbst zu erstellen.

Hast du es geschafft?

So habe ich es gebaut.

Auf welche Gleichung sind wir am Ende gekommen?

Rechts! Linear, was bedeutet, dass der Graph eine gerade Linie ist. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, um zu bestimmen, welche Punkte zu unserer Linie gehören:

Genau darüber haben wir gesprochen ... Eins entspricht mehreren.

Versuchen wir zu zeichnen, was passiert ist:

Ist das, was wir haben, eine Funktion?

Stimmt, nein! Warum? Versuchen Sie, diese Frage mit einem Bild zu beantworten. Was hast du bekommen?

„Weil einem Wert mehrere Werte entsprechen!“

Welche Schlussfolgerung können wir daraus ziehen?

Das ist richtig, eine Funktion kann nicht immer explizit ausgedrückt werden, und was als Funktion „getarnt“ wird, ist nicht immer eine Funktion!

Tabellarische Methode zur Definition einer Funktion

Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei dieser Methode um eine einfache Platte. Ja Ja. Wie das, das wir bereits gemacht haben. Zum Beispiel:

Hier ist Ihnen sofort ein Muster aufgefallen – Y ist dreimal größer als X. Und nun die Aufgabe „Sehr gut denken“: Glauben Sie, dass eine in Form einer Tabelle angegebene Funktion äquivalent zu einer Funktion ist?

Reden wir nicht lange, sondern zeichnen wir!

So. Wir zeichnen eine Funktion, die auf beide Arten gegeben ist:

Sehen Sie den Unterschied? Es geht nicht um die markierten Punkte! Schau genauer hin:

Hast du es jetzt gesehen? Wenn wir die Funktion tabellarisch festlegen, spiegeln wir im Diagramm nur die Punkte wider, die wir in der Tabelle haben, und die Linie verläuft (wie in unserem Fall) nur durch sie. Wenn wir eine Funktion auf analytische Weise definieren, können wir beliebige Punkte annehmen und unsere Funktion ist nicht auf sie beschränkt. Hier ist eine solche Funktion. Erinnern!

Grafische Möglichkeit, eine Funktion zu erstellen

Die grafische Art, eine Funktion zu konstruieren, ist nicht weniger praktisch. Wir zeichnen unsere Funktion und eine andere interessierte Person kann herausfinden, was y bei einem bestimmten x ist, und so weiter. Grafische und analytische Methoden gehören zu den gebräuchlichsten.

Hier müssen Sie sich jedoch daran erinnern, worüber wir gleich zu Beginn gesprochen haben – nicht jedes im Koordinatensystem gezeichnete „Kringel“ ist eine Funktion! Fiel ein? Für alle Fälle kopiere ich hier die Definition dessen, was eine Funktion ist:

In der Regel nennt man genau die drei von uns analysierten Möglichkeiten zur Spezifikation einer Funktion – analytisch (mit einer Formel), tabellarisch und grafisch, wobei man völlig vergisst, dass eine Funktion verbal beschrieben werden kann. Wie ist es? Ja, ganz einfach!

Verbale Beschreibung der Funktion

Wie beschreibt man die Funktion verbal? Nehmen wir unser aktuelles Beispiel – . Diese Funktion kann als „jeder reelle Wert von x entspricht seinem dreifachen Wert“ beschrieben werden. Das ist alles. Nichts Kompliziertes. Natürlich werden Sie einwenden: „Es gibt so komplexe Funktionen, dass es einfach unmöglich ist, sie verbal einzustellen!“ Ja, es gibt einige, aber es gibt Funktionen, die sich leichter verbal beschreiben lassen als mit einer Formel festzulegen. Zum Beispiel: „Jeder natürliche Wert von x entspricht der Differenz zwischen den Ziffern, aus denen er besteht, während die größte im Zahleneintrag enthaltene Ziffer als Minuend verwendet wird.“ Überlegen Sie nun, wie unsere verbale Beschreibung der Funktion in der Praxis umgesetzt wird:

Die größte Ziffer einer gegebenen Zahl bzw. wird gekürzt, dann:

Haupttypen von Funktionen

Kommen wir nun zum Interessantesten – wir betrachten die wesentlichen Arten von Funktionen, mit denen Sie im Laufe der Schul- und Institutsmathematik gearbeitet haben/arbeiten und noch arbeiten werden, d.h. wir werden sie sozusagen kennenlernen und Geben Sie ihnen eine kurze Beschreibung. Weitere Informationen zu den einzelnen Funktionen finden Sie im entsprechenden Abschnitt.

Lineare Funktion

Eine Funktion der Form wo sind reelle Zahlen.

Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade, daher beschränkt sich die Konstruktion einer linearen Funktion auf die Ermittlung der Koordinaten zweier Punkte.

Die Lage der Geraden auf der Koordinatenebene hängt von der Steigung ab.

Funktionsumfang (auch Argumentbereich genannt) – .

Der Wertebereich beträgt .

quadratische Funktion

Funktion des Formulars, wo

Der Funktionsgraph ist eine Parabel, wenn die Äste der Parabel nach unten gerichtet sind, wenn - nach oben.

Viele Eigenschaften einer quadratischen Funktion hängen vom Wert der Diskriminante ab. Die Diskriminante wird nach der Formel berechnet

Die Position der Parabel auf der Koordinatenebene relativ zum Wert und Koeffizienten ist in der Abbildung dargestellt:

Domain

Der Wertebereich hängt vom Extremum der gegebenen Funktion (dem Scheitelpunkt der Parabel) und dem Koeffizienten (der Richtung der Äste der Parabel) ab.

Umgekehrte Proportionalität

Die durch die Formel gegebene Funktion, wo

Die Zahl wird als umgekehrter Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Je nach Wert liegen die Äste der Hyperbel in unterschiedlichen Quadraten:

Domäne - .

Der Wertebereich beträgt .

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

1. Eine Funktion ist eine Regel, nach der jedem Element einer Menge ein eindeutiges Element der Menge zugeordnet wird.

• - Dies ist eine Formel, die eine Funktion angibt, dh die Abhängigkeit einer Variablen von einer anderen;
• - Variable oder Argument;
• - abhängiger Wert - ändert sich, wenn sich das Argument ändert, also nach einer bestimmten Formel, die die Abhängigkeit eines Werts von einem anderen widerspiegelt.

2. Gültige Argumentwerte oder der Umfang einer Funktion ist das, was mit dem Möglichen zusammenhängt, unter dem die Funktion sinnvoll ist.

3. Bereich der Funktionswerte- das sind die Werte, die es braucht, mit gültigen Werten.

4. Es gibt 4 Möglichkeiten, die Funktion einzustellen:

• analytisch (anhand von Formeln);
• tabellarisch;
• Grafik
• verbale Beschreibung.

5. Haupttypen von Funktionen:

• : , wobei reelle Zahlen sind;
• : , Wo;
• : , Wo.

Eines der möglichen Schemata zur Untersuchung einer Funktion und zum Aufbau ihres Graphen ist in die folgenden Phasen der Lösung des Problems unterteilt: 1. Funktionsbereich (O.O.F.). 2. Haltepunkte einer Funktion, ihre Natur. Vertikale Asymptoten. 3. Gerade, ungerade, periodische Funktion. 4. Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. 5. Verhalten der Funktion im Unendlichen. Horizontale und schräge Asymptoten. 6. Intervalle der Monotonie einer Funktion, Maximal- und Minimalpunkte. 7. Richtungen der Konvexität der Kurve. Wendepunkte. 8. Graph der Funktion. Beispiel 1. Zeichnen Sie die Funktion y \u003d 1. (vereiora oder Locke von Maria Anieei). - die gesamte numerische Achse. 2. Es gibt keine Haltepunkte; Es gibt keine vertikalen Asymptoten. 3. Die Funktion ist gerade: so dass ihr Graph symmetrisch zur Oy-Achse \ nichtperiodisch ist. Aus der Parität der Funktion folgt, dass es ausreicht, ihren Graphen auf der Halbgeraden x ^ 0 darzustellen und ihn dann an der y-Achse zu spiegeln. 4. Bei x = 0 gilt Yx, so dass der Graph der Funktion in der oberen Halbebene y > 0 liegt. Schema zur Konstruktion des Graphen der Funktion Untersuchung von Funktionen für ein Extremum mittels Ableitungen höherer Ordnung Berechnung von Die Wurzeln von Gleichungen mithilfe der Akkord- und Tangentenmethode stellen sicher, dass der Graph eine horizontale Asymptote y = O hat, es gibt keine schrägen Asymptoten. Die Funktion nimmt also zu und ab. Der Punkt x = 0 ist kritisch. Wenn x durch den Punkt x \u003d 0 geht, ändert die Ableitung y "(x) das Vorzeichen von Minus nach Plus. Daher ist der Punkt x \u003d 0 der maximale Punkt, y (Q) \u003d I. Dieses Ergebnis ist durchaus offensichtlich: / (x) \u003d T ^ IV *. Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x \u003d. Wir studieren den Punkt x \u003d 4- (weiter unten die Symmetrieüberlegungen). Bei haben wir. Die Kurve ist konvex nach unten; bei erhalten wir (die Kurve ist nach oben konvex). Daher ist der Punkt x \u003d \u003d - der Wendepunktgraph der Funktion. Wir fassen die Ergebnisse der Studie in einer Tabelle zusammen: Wendepunkt max Wendepunkt - die gesamte reale Achse, mit Ausnahme des Punktes 2. Der Punkt der Diskontinuität der Funktion. Wir haben also die Gerade x = 0 – die vertikale Asymptote. 3. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade [Funktion in allgemeiner Position), nicht- periodisch. Angenommen, wir erhalten, dass der Graph der Funktion die Achse Ox im Punkt (-1,0) schneidet, gibt es keine schrägen und horizontalen Asymptoten, daher der kritische Punkt. Die zweite Ableitung der Funktion liegt an einem Punkt, also ist x = der Minimalpunkt. Die zweite Ableitung geht an einem Punkt in uul über und ändert beim Durchgang durch diesen Punkt ihr Vorzeichen. Daher ist der Punkt der Wendepunkt der Kurve. Denn) wir haben e. die Konvexität der Kurve ist nach unten gerichtet; denn -ich haben wir. die Konvexität der Kurve ist nach oben gerichtet. Die Ergebnisse der Studie fassen wir in einer Tabelle zusammen: Existiert nicht Existiert nicht Wendepunkt Existiert nicht. Die vertikale Asymptote der Torusableitung verschwindet bei x = e,/2. und wenn x durch diesen Punkt geht, ändert y das Vorzeichen. Daher ist die Abszisse der Wendepunkt der Kurve. Wir fassen die Ergebnisse der Studie in einer Tabelle zusammen: Wendepunkt. Der Graph der Funktion ist in Abb. 37 dargestellt . Beispiel 4. Stellen Sie die Funktion der gesamten numerischen Achse grafisch dar, mit Ausnahme des Punkts. Punktpunkt-Diskontinuität der 2. Art von Funktion. Da Km eine direkte vertikale Asymptote des Funktionsgraphen ist. Die Funktion befindet sich in allgemeiner Position und ist nicht periodisch .Wenn wir y = 0 setzen, haben wir, woher, so dass der Graph der Funktion die x-Achse im Punkt schneidet. Daher hat der Graph der Funktion eine schräge Asymptote. Aus der Bedingung erhalten wir – einen kritischen Punkt. Die zweite Ableitung von die Funktion y" \u003d D\u003e 0 überall im Definitionsbereich, insbesondere am Punkt - dem Minimalpunkt der Funktion. 7. Da überall im Definitionsbereich der Funktion die Konvexität ihres Graphen nach unten gerichtet ist. Wir fassen die Ergebnisse der Studie in einer Tabelle zusammen: Existiert nicht Existiert nicht Existiert nicht. x \u003d 0 - vertikale Asymptote Der Graph der Funktion ist in Abb. dargestellt. Beispiel 5. Stellen Sie die Funktion der gesamten Zahlenachse grafisch dar. 2. Kontinuierlich überall. Es gibt keine vertikalen Asymptoten. 3. Allgemeine Position, nicht periodisch. 4. Die Funktion verschwindet bei 5. Der Graph der Funktion hat also eine schiefe Asymptote. Die Ableitung verschwindet an einem Punkt und existiert dort nicht. Wenn x durch den Punkt geht, ändert die Ableitung das Vorzeichen nicht, sodass es am Punkt x = 0 kein Extremum gibt. Wenn der Punkt x durch den Punkt verläuft, ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ zu „Die Funktion hat also ein Maximum.“ Wenn x durch den Punkt x \u003d 3 (x\u003e I) geht, ändert die Ableitung y "(x) das Vorzeichen, d. h. am Punkt x \u003d 3 hat die Funktion ein Minimum. 7. Finden Sie die zweite Ableitung von höhere Ordnung Berechnung der Wurzeln von Gleichungen nach den Methoden der Sehnen und Tangenten Die zweite Ableitung y „(x) existiert am Punkt x = 0 nicht und wenn x durch den Punkt x = 0 geht, ändert y“ das Vorzeichen von + zu so dass der Punkt (0,0) der Kurve ein Punkt ist, an dem es keinen Wendepunkt mit einer vertikalen Tangente gibt. Es gibt keinen Wendepunkt am Punkt x = 3. Überall in der Halbebene x > 0 ist die Konvexität der Kurve gerichtet nach oben. In Abb. 39. §7. Untersuchung von Funktionen zu einem Extremum mithilfe von Ableitungen höherer Ordnung Die Taylor-Formel kann verwendet werden, um die Maximal- und Minimalpunkte von Funktionen zu ermitteln. Satz Es. Die Funktion f(x) in einer Umgebung des Punktes xq habe eine am Punkt xo stetige Ableitung n-ter Ordnung. Sei 0. Wenn dann die Zahl n ungerade ist, dann hat die Funktion f(x) am Punkt x0 kein Extremum; wenn n gerade ist, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x0 ein Maximum, wenn f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, die im Intervall liegt, behält die Differenz - /(x0) ihr Vorzeichen. Nach der Taylor-Formel als Bedingung erhalten wir dann aus (1) 1-Bedingung / (n * (r) ist an einem Punkt stetig und Ф Daher existiert aufgrund der Stabilität einer stetigen Funktion eine solche, dass in der Intervall () ändert sich nicht und fällt mit dem Vorzeichen / (n) zusammen ( Betrachten wir die möglichen Fälle: 1) n ist eine gerade Zahl und / Dann I also aufgrund von (2) . Laut Definition bedeutet dies, dass der Punkt o der Punkt des Minimums der Funktion f(r) ist. 2) n ist gerade und. Dann haben wir i zusammen mit this und Daher ist der Punkt i in diesem Fall der Punkt des Maximums der Funktion f(r). 3) n ist eine ungerade Zahl, /- Dann fällt für x > x0 das Vorzeichen > mit dem Vorzeichen von /(n)(ro) zusammen und für r ist es umgekehrt. Daher wird für beliebig kleine 0 das Vorzeichen der Differenz f(r) - f(r0) nicht für alle x e (r0 - 6, r0 + t) gleich sein. Folglich hat die Funktion f(r) in diesem Fall kein Stremum am Punkt th. Beispiel. Betrachten wir die Funktionen A. Es ist leicht zu erkennen, dass der Punkt x = 0 ein kritischer Punkt beider Funktionen ist. Für die Funktion y = x4 ist die erste der von Null verschiedenen Ableitungen am Punkt x = 0 die Ableitung 4. Ordnung: Somit ist hier n = 4 ein gerades u. Daher hat die Funktion y = x4 am Punkt x = 0 ein Minimum. Für die Funktion y = x) ist die erste der Ableitungen ungleich Null am Punkt x = 0 die Ableitung dritter Ordnung. In diesem Fall ist also n = 3 ungerade und am Punkt x = 0 hat die Funktion y = x3 kein Extremum. Kommentar. Mit der Taylor-Formel können wir den folgenden Satz beweisen, der die hinreichenden Bedingungen für den Wendepunkt ausdrückt. „Satz 12. Die Funktion /(r) in einer Umgebung des Punktes r0 habe eine Ableitung n-ter Ordnung, stetig am Punkt xq. Mo(x0, f(xo)) ist der Wendepunkt des Graphen der Funktion y = f(x). Das einfachste Beispiel liefert die Funktion §8. Berechnung der Wurzeln von Gleichungen mit den Methoden der Sehnen und Tangenten Das Problem besteht darin, die tatsächliche Wurzel der Gleichung zu finden. Angenommen, die folgenden Bedingungen gelten erfüllt sind: 1) die Funktion f(x) ist auf der Strecke [a, 6] stetig; 2) die Zahlen /(a) und f(b) haben entgegengesetzte Vorzeichen: 3) auf der Strecke [a, 6] Es gibt Ableitungen f "(x) und f "(x), die auf diesem Segment ein konstantes Vorzeichen bewahren. Aus den Bedingungen 1) und 2) folgt aufgrund des Satzes von Bolzano-Cauchy (S. 220), dass die Funktion f(x) verschwindet mindestens in einem Punkt £ € ( a, b), d. h. Gleichung (1) hat mindestens eine reelle Wurzel £ im Intervall (a, b). Da nach Bedingung 3) die Ableitung /"(x) auf [a, b\] Vorzeichen, dann ist f(x) auf [a, b] monoton und daher hat Gleichung (1) nur eine reelle Wurzel im Intervall (a, b). I ) mit beliebiger Genauigkeit. Vier Fälle sind möglich (Abb. 40): 1) Abb. 40 Der Bestimmtheit halber nehmen wir den Fall an, dass f \ x) > 0, f "(x) > 0 auf der Strecke [a, 6) (Abb. 41). Verbinden wir die Punkte A (a, / (a) ) und B (b, f(b)) durch einen Akkord A B. Dies ist ein Segment einer geraden Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, deren Gleichung y \u003d 0 ist. Aus Abb. 41 ist es einfach um zu sehen, dass der Punkt a \ immer auf der Seite liegt, von der aus die Zeichen f (x) und f "(x) entgegengesetzt sind. Zeichnen wir nun eine Tangente an die Kurve y \u003d f (x) in Punkt B (b, f(b)), d. h. an dem Ende des Bogens ^AB, an dem f(x) und /"(x) das gleiche Vorzeichen haben. Dies ist eine wesentliche Bedingung: Ohne sie ist der Schnittpunkt tangential zu Die x-Achse liefert möglicherweise überhaupt keine Annäherung an die gewünschte Wurzel. Der Punkt b\, an dem die Tangente die x-Achse schneidet, liegt zwischen t und b auf derselben Seite wie 6 und ist eine bessere Annäherung an als b. Dieser Tangens ist durch die Gleichung gegeben. Unter der Annahme y = 0 in (3) finden wir b\: Schema zur Konstruktion eines Graphen einer Funktion. Untersuchung von Funktionen für ein Extremum unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung. Berechnung der Wurzeln von Gleichungen nach die Methoden der Akkorde und Tangenten Für den absoluten Fehler der Näherungswerte von aj und 6, der Wurzel £, können wir den Wert |6i – ai| annehmen. Wenn dieser Fehler größer als der zulässige ist, finden wir unter Annahme des Segments als Original die folgenden Näherungen der Wurzel wo. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, erhalten wir zwei Folgen von Näherungswerten. Die Folgen (an) und (bn) sind monoton und beschränkt und haben daher Grenzen. Es kann gezeigt werden, dass 1 die einzige Wurzel der Gleichung/Beispiel ist, wenn die oben formulierten Bedingungen erfüllt sind. Finden Sie die Wurzel (Gleichungen r2 - 1 = 0 auf dem Segment. Somit sind alle Bedingungen erfüllt, die die Existenz einer einzelnen Wurzel sicherstellen (Gleichungen x2 - 1 = 0 auf dem Segment . und die Methode sollte funktionieren. 8 in unserem Fall a = 0, b = 2. Wenn n = I aus (4) und (5), finden wir. Wenn n = 2, erhalten wir eine Näherung an den genauen Wert der Wurzel (mit absolutem Fehler) unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung : Antworten

Die Aufgabe besteht darin, eine vollständige Untersuchung der Funktion durchzuführen und ihren Graphen zu erstellen.

Jeder Schüler hat ähnliche Aufgaben gelöst.

Was folgt, setzt gute Kenntnisse voraus. Wir empfehlen Ihnen, diesen Abschnitt zu lesen, wenn Sie Fragen haben.

Der Funktionsforschungsalgorithmus besteht aus den folgenden Schritten.

Den Umfang einer Funktion ermitteln.

Dies ist ein sehr wichtiger Schritt beim Studium der Funktion, da alle weiteren Aktionen im Definitionsbereich ausgeführt werden.

In unserem Beispiel müssen wir die Nullstellen des Nenners finden und sie aus dem Bereich der reellen Zahlen ausschließen.



(In anderen Beispielen kann es Wurzeln, Logarithmen usw. geben. Denken Sie daran, dass in diesen Fällen die Domäne wie folgt durchsucht wird:
zum Beispiel für eine Wurzel geraden Grades – wird der Definitionsbereich aus der Ungleichung gefunden;
für den Logarithmus - der Definitionsbereich wird aus der Ungleichung gefunden).

Untersuchung des Verhaltens einer Funktion am Rand des Definitionsbereichs, Auffinden vertikaler Asymptoten.

An den Grenzen des Definitionsbereichs gilt die Funktion vertikale Asymptoten, wenn an diesen Randpunkten unendlich viele sind.

In unserem Beispiel sind die Randpunkte des Definitionsbereichs.

Wir untersuchen das Verhalten der Funktion bei Annäherung an diese Punkte von links und rechts, für die wir einseitige Grenzen finden:


Da die einseitigen Grenzen unendlich sind, sind die Linien die vertikalen Asymptoten des Graphen.

Untersuchung einer Funktion auf gerade oder ungerade Parität.

Die Funktion ist selbst, Wenn . Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen um die y-Achse an.

Die Funktion ist seltsam, Wenn . Die Ungeradheit der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf den Ursprung an.

Wenn keine der Gleichungen erfüllt ist, haben wir eine Funktion allgemeiner Form.

In unserem Beispiel ist Gleichheit wahr, daher ist unsere Funktion gerade. Wir werden dies beim Zeichnen des Diagramms berücksichtigen – es wird symmetrisch zur y-Achse sein.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen, Extrempunkte.

Die Anstiegs- und Abfallintervalle sind Lösungen der Ungleichungen bzw.

Die Punkte, an denen die Ableitung verschwindet, werden aufgerufen stationär.

Kritische Punkte der Funktion Nennen Sie die inneren Punkte des Definitionsbereichs, an denen die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert.

KOMMENTAR(ob kritische Punkte in die Intervalle der Zunahme und Abnahme einbezogen werden sollen).

Wir werden kritische Punkte in aufsteigende und absteigende Intervalle einbeziehen, wenn sie zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

Auf diese Weise, um die Anstiegs- und Abfallintervalle einer Funktion zu bestimmen

• Zuerst finden wir die Ableitung;
• zweitens finden wir kritische Punkte;
• Drittens unterteilen wir den Definitionsbereich anhand kritischer Punkte in Intervalle.
• Viertens bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung für jedes der Intervalle. Das Pluszeichen entspricht dem Erhöhungsintervall, das Minuszeichen dem Verringerungsintervall.

Gehen!

Wir finden die Ableitung im Definitionsbereich (bei Schwierigkeiten siehe Abschnitt).


Wir finden hierfür kritische Punkte:

Wir tragen diese Punkte auf der numerischen Achse ein und bestimmen das Vorzeichen der Ableitung innerhalb jedes resultierenden Intervalls. Alternativ können Sie einen beliebigen Punkt im Intervall nehmen und den Wert der Ableitung an diesem Punkt berechnen. Wenn der Wert positiv ist, setzen Sie ein Pluszeichen über dieses Intervall und fahren Sie mit dem nächsten fort. Wenn der Wert negativ ist, setzen Sie ein Minuszeichen usw. Z.B, Deshalb setzen wir ein Plus über das erste Intervall auf der linken Seite.


Wir fassen zusammen:

Schematisch markieren die Plus-/Minuszeichen die Intervalle, in denen die Ableitung positiv/negativ ist. Die aufsteigenden/absteigenden Pfeile zeigen die aufsteigende/absteigende Richtung an.

Extrempunkte der Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

In unserem Beispiel ist der Extrempunkt x=0. Der Wert der Funktion an dieser Stelle ist . Da die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x=0 das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist (0; 0) ein lokaler Maximalpunkt. (Wenn die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus ändern würde, hätten wir einen lokalen Minimalpunkt).

Ermitteln von Konvexitäts- und Konkavitätsintervallen einer Funktion und Wendepunkten.

Die Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle der Funktion werden durch Lösen der Ungleichungen bzw. ermittelt.

Manchmal wird eine Konkavität als nach unten gerichtete Konvexität und eine Konvexität als nach oben gerichtete Konvexität bezeichnet.

Auch hier gelten ähnliche Bemerkungen wie im Absatz über die Anstiegs- und Abfallintervalle.

Auf diese Weise, um die Konkavitäts- und Konvexitätsbereiche einer Funktion zu bestimmen:

• Zuerst finden wir die zweite Ableitung;
• zweitens finden wir die Nullstellen des Zählers und Nenners der zweiten Ableitung;
• drittens teilen wir den Definitionsbereich anhand der erhaltenen Punkte in Intervalle auf;
• Viertens bestimmen wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung für jedes der Intervalle. Das Pluszeichen entspricht dem Konkavitätsintervall, das Minuszeichen dem Konvexintervall.

Gehen!

Wir finden die zweite Ableitung im Definitionsbereich.


In unserem Beispiel gibt es keine Zähler-Nullen, sondern Nenner-Nullen.

Wir legen diese Punkte auf die reelle Achse und bestimmen das Vorzeichen der zweiten Ableitung innerhalb jedes resultierenden Intervalls.



Wir fassen zusammen:

Der Punkt heißt Wendepunkt, wenn an einem bestimmten Punkt eine Tangente an den Graphen der Funktion liegt und die zweite Ableitung der Funktion beim Durchgang das Vorzeichen ändert.

Mit anderen Worten, Wendepunkte können Punkte sein, durch die die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, wobei die Punkte selbst entweder Null sind oder nicht existieren, aber diese Punkte sind im Definitionsbereich der Funktion enthalten.

In unserem Beispiel gibt es keine Wendepunkte, da die zweite Ableitung beim Durchgang durch die Punkte das Vorzeichen ändert und diese nicht im Definitionsbereich der Funktion enthalten sind.

Finden horizontaler und schräger Asymptoten.

Horizontale oder schräge Asymptoten sollten nur gesucht werden, wenn die Funktion im Unendlichen definiert ist.

Schräge Asymptoten werden in Form von Geraden gesucht, wobei und .

Wenn k=0 und b nicht gleich unendlich ist, dann wird die schräge Asymptote horizontal.

Wer sind diese Asymptoten überhaupt?

Dies sind die Linien, denen sich der Funktionsgraph im Unendlichen annähert. Daher sind sie beim Zeichnen einer Funktion sehr hilfreich.

Wenn es keine horizontalen oder schrägen Asymptoten gibt, die Funktion aber bei plus Unendlich und/oder minus Unendlich definiert ist, sollte der Grenzwert der Funktion bei plus Unendlich und/oder minus Unendlich berechnet werden, um eine Vorstellung vom Verhalten von zu bekommen der Graph der Funktion.

Für unser Beispiel

ist die horizontale Asymptote.

Damit ist das Studium der Funktion abgeschlossen, wir fahren mit der Darstellung fort.

Wir berechnen die Funktionswerte an Zwischenpunkten.

Für eine genauere Darstellung empfehlen wir, mehrere Funktionswerte an Zwischenpunkten (also an beliebigen Punkten aus dem Funktionsdefinitionsbereich) zu finden.

Für unser Beispiel ermitteln wir die Werte der Funktion an den Punkten x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Aufgrund der Parität der Funktion stimmen diese Werte mit den Werten an den Punkten x=2 , x=1 , x=3/4 , x=1/4 überein.


Erstellen eines Diagramms.

Zuerst erstellen wir Asymptoten, zeichnen die Punkte lokaler Maxima und Minima der Funktion, Wendepunkte und Zwischenpunkte ein. Zur Vereinfachung der Darstellung können Sie auch eine schematische Bezeichnung der Intervalle von Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität verwenden, nicht umsonst haben wir die Funktion studiert =).


Es bleibt übrig, die Linien des Diagramms durch die markierten Punkte zu zeichnen, sich den Asymptoten zu nähern und den Pfeilen zu folgen.


Mit diesem Meisterwerk der bildenden Kunst ist die Aufgabe der vollständigen Untersuchung der Funktion und Handlung abgeschlossen.

Graphen einiger Elementarfunktionen können mithilfe von Graphen grundlegender Elementarfunktionen erstellt werden.

Wie untersucht man eine Funktion und zeichnet ihren Graphen?

Es scheint, dass ich anfange, das gefühlvolle Gesicht des Führers des Weltproletariats, des Autors gesammelter Werke in 55 Bänden, zu verstehen ... Die lange Reise begann mit elementaren Informationen über Funktionen und Graphen, und nun endet die Arbeit an einem mühsamen Thema mit einem natürlichen Ergebnis – einem Artikel über die vollständige Funktionsstudie. Die lang erwartete Aufgabe lautet wie folgt:

Untersuchen Sie die Funktion mit Methoden der Differentialrechnung und erstellen Sie basierend auf den Ergebnissen der Studie ihren Graphen

Oder kurz gesagt: Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie sie auf.

Warum erkunden? In einfachen Fällen wird es für uns nicht schwierig sein, mit elementaren Funktionen umzugehen und einen mit Hilfe erhaltenen Graphen zu zeichnen elementare geometrische Transformationen usw. Allerdings sind die Eigenschaften und grafischen Darstellungen komplexerer Funktionen alles andere als offensichtlich, weshalb eine umfassende Studie erforderlich ist.

Die Hauptschritte der Lösung sind im Referenzmaterial zusammengefasst Funktionsstudienplan, das ist Ihr Abschnittsführer. Dummies brauchen eine Schritt-für-Schritt-Erklärung des Themas, manche Leser wissen nicht, wo sie anfangen sollen und wie sie das Studium organisieren sollen und fortgeschrittene Studierende interessieren sich vielleicht nur für wenige Punkte. Aber wer auch immer Sie sind, lieber Besucher, die vorgeschlagene Zusammenfassung mit Hinweisen auf verschiedene Lektionen wird Sie in kürzester Zeit orientieren und in die Richtung leiten, die Sie interessiert. Die Roboter vergossen eine Träne =) Das Handbuch wurde in Form einer PDF-Datei erstellt und nahm seinen rechtmäßigen Platz auf der Seite ein Mathematische Formeln und Tabellen.

Ich habe das Studium der Funktion in 5-6 Punkte unterteilt:

6) Zusätzliche Punkte und Grafik basierend auf den Ergebnissen der Studie.

Was die letzte Aktion angeht, denke ich, dass jeder alles versteht – es wäre sehr enttäuschend, wenn sie innerhalb von Sekunden durchgestrichen wird und die Aufgabe zur Überarbeitung zurückgeschickt wird. Eine RICHTIGE UND GENAUE ZEICHNUNG ist das Hauptergebnis der Lösung! Es ist sehr wahrscheinlich, dass dadurch analytische Versäumnisse „vertuscht“ werden, während ein falscher und/oder schlampiger Zeitplan selbst bei einer perfekt durchgeführten Studie zu Problemen führen wird.

Es ist zu beachten, dass in anderen Quellen die Anzahl der Forschungsgegenstände, die Reihenfolge ihrer Umsetzung und der Gestaltungsstil erheblich von dem von mir vorgeschlagenen Schema abweichen können, in den meisten Fällen reicht dies jedoch völlig aus. Die einfachste Version des Problems besteht aus nur 2-3 Stufen und ist etwa so formuliert: „Untersuchen Sie die Funktion mithilfe der Ableitung und zeichnen Sie sie auf“ oder „Untersuchen Sie die Funktion mithilfe der 1. und 2. Ableitung und zeichnen Sie sie auf“.

Wenn in Ihrem Trainingshandbuch ein anderer Algorithmus ausführlich analysiert wird oder Ihr Lehrer Sie strikt dazu auffordert, sich an seine Vorlesungen zu halten, müssen Sie natürlich einige Anpassungen an der Lösung vornehmen. Nicht schwieriger, als eine Gabel durch einen Kettensägenlöffel zu ersetzen.

Überprüfen wir die Funktion auf gerade/ungerade:

Anschließend folgt eine Vorlage zur Abmeldung:
, also ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Es gibt auch keine schrägen Asymptoten.

Notiz : Ich erinnere Sie daran, dass je höher Reihenfolge des Wachstums als , also ist die endgültige Grenze genau „ Plus Unendlichkeit."

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

Mit anderen Worten: Wenn wir nach rechts gehen, dann geht der Graph unendlich weit nach oben, wenn wir nach links gehen, unendlich weit nach unten. Ja, es gibt auch zwei Limits unter einem einzigen Eintrag. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Zeichen zu entziffern, besuchen Sie bitte die Lektion darüber Infinitesimalfunktionen.

Also die Funktion nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt. Wenn man bedenkt, dass wir keine Haltepunkte haben, wird es klar und Funktionsumfang: ist auch eine beliebige reelle Zahl.

NÜTZLICHE TECHNIK

Jeder Aufgabenschritt bringt neue Informationen über den Graphen der Funktion Daher ist es im Lösungsverlauf sinnvoll, eine Art LAYOUT zu verwenden. Zeichnen wir auf dem Entwurf ein kartesisches Koordinatensystem. Was ist sicher bekannt? Erstens hat der Graph keine Asymptoten, daher besteht keine Notwendigkeit, gerade Linien zu zeichnen. Zweitens wissen wir, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält. Gemäß der Analyse ziehen wir die erste Näherung:

Beachten Sie das tatsächlich Kontinuität Funktion ein und die Tatsache, dass der Graph die Achse mindestens einmal kreuzen muss. Oder gibt es vielleicht mehrere Schnittpunkte?

3) Nullstellen der Funktion und Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Suchen Sie zunächst den Schnittpunkt des Diagramms mit der y-Achse. Das ist einfach. Der Wert der Funktion muss berechnet werden, wenn:

Halb über dem Meeresspiegel.

Um die Schnittpunkte mit der Achse (Nullstellen der Funktion) zu finden, müssen Sie die Gleichung lösen, und hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung:

Am Ende lauert ein freies Mitglied, was die Aufgabe deutlich erschwert.

Eine solche Gleichung hat mindestens eine reelle Wurzel, und meistens ist diese Wurzel irrational. Im schlimmsten Märchen warten drei kleine Schweinchen auf uns. Die Gleichung ist mit der sogenannten lösbar Cardanos Formeln, aber der Papierschaden ist mit fast der gesamten Studie vergleichbar. In dieser Hinsicht ist es klüger, mündlich oder im Entwurf zu versuchen, mindestens einen zu erlernen ganz Wurzel. Lassen Sie uns prüfen, ob diese Zahlen sind:
- ungeeignet;
- Es gibt!

Hier hat man Glück. Im Falle eines Scheiterns kann man auch testen und, und wenn diese Zahlen nicht passen, dann befürchte ich, dass die Chancen für eine gewinnbringende Lösung der Gleichung sehr gering sind. Dann ist es besser, den Recherchepunkt ganz zu überspringen – vielleicht wird im letzten Schritt etwas klarer, wenn weitere Punkte durchbrechen. Und wenn die Wurzel (Wurzeln) eindeutig „schlecht“ sind, ist es besser, bescheiden über die Intervalle der Zeichenkonstanz zu schweigen und die Zeichnung genauer zu vervollständigen.

Allerdings haben wir eine schöne Wurzel, also dividieren wir das Polynom ohne Rest:

Der Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Polynom wird im ersten Beispiel der Lektion ausführlich besprochen. Komplexe Grenzen.

Als Ergebnis die linke Seite der ursprünglichen Gleichung erweitert sich zu einem Produkt:

Und jetzt ein wenig über einen gesunden Lebensstil. Natürlich verstehe ich das quadratische Gleichungen müssen jeden Tag gelöst werden, aber heute machen wir eine Ausnahme: die Gleichung hat zwei echte Wurzeln.

Auf dem Zahlenstrahl tragen wir die gefundenen Werte ein Und Intervallmethode Definieren Sie die Vorzeichen der Funktion:


og Also auf den Intervallen Diagramm gefunden
unterhalb der x-Achse und in Abständen - oberhalb dieser Achse.

Die daraus resultierenden Erkenntnisse ermöglichen es uns, unser Layout zu verfeinern, und die zweite Näherung des Diagramms sieht folgendermaßen aus:

Bitte beachten Sie, dass die Funktion mindestens ein Maximum im Intervall und mindestens ein Minimum im Intervall haben muss. Aber wir wissen nicht, wie oft, wo und wann sich der Zeitplan „umdrehen“ wird. Eine Funktion kann übrigens unendlich viele haben Extreme.

4) Zunehmende, abnehmende und Extrema der Funktion.

Finden wir die kritischen Punkte:

Diese Gleichung hat zwei echte Wurzeln. Setzen wir sie auf den Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung:


Daher erhöht sich die Funktion um und verringert sich um .
An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .
An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Minimum: .

Die etablierten Fakten zwingen unsere Vorlage in einen ziemlich starren Rahmen:

Es erübrigt sich zu erwähnen, dass die Differentialrechnung eine mächtige Sache ist. Befassen wir uns abschließend mit der Form des Diagramms:

5) Konvexität, Konkavität und Wendepunkte.

Finden Sie die kritischen Punkte der zweiten Ableitung:

Definieren wir Zeichen:


Der Funktionsgraph ist auf konvex und auf konkav. Berechnen wir die Ordinate des Wendepunkts: .

Fast alles hat sich geklärt.

6) Es müssen noch zusätzliche Punkte gefunden werden, die dabei helfen, ein Diagramm genauer zu erstellen und einen Selbsttest durchzuführen. In diesem Fall sind es nur wenige, aber wir werden Folgendes nicht vernachlässigen:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Der Wendepunkt ist grün markiert, weitere Punkte sind mit Kreuzen markiert. Der Graph einer kubischen Funktion ist symmetrisch um seinen Wendepunkt, der immer genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt.

Im Laufe der Aufgabe habe ich drei hypothetische Zwischenzeichnungen vorgelegt. In der Praxis reicht es aus, ein Koordinatensystem zu zeichnen, die gefundenen Punkte zu markieren und nach jedem Punkt der Studie im Kopf herauszufinden, wie der Graph der Funktion aussehen könnte. Für Studierende mit einem guten Vorbereitungsniveau wird es nicht schwierig sein, eine solche Analyse ausschließlich im Kopf durchzuführen, ohne einen Entwurf einzubinden.

Für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 2

Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Hier geht alles schneller und macht mehr Spaß, ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

Das Studium gebrochener rationaler Funktionen enthüllt viele Geheimnisse:

Beispiel 3

Untersuchen Sie mit den Methoden der Differentialrechnung die Funktion und konstruieren Sie auf der Grundlage der Ergebnisse der Studie ihren Graphen.

Lösung: Die erste Stufe der Studie unterscheidet sich in nichts Bemerkenswertem, mit Ausnahme einer Lücke im Definitionsbereich:

1) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl bis auf den Punkt definiert und stetig, Domain: .

, also ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Offensichtlich ist die Funktion nicht periodisch.

Der Funktionsgraph besteht aus zwei kontinuierlichen Zweigen, die sich in der linken und rechten Halbebene befinden – dies ist vielleicht die wichtigste Schlussfolgerung des 1. Absatzes.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

a) Mit Hilfe einseitiger Grenzwerte untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des verdächtigen Punktes, wo die vertikale Asymptote eindeutig sein muss:

Tatsächlich bleiben die Funktionen bestehen endlose Lücke am Punkt
und die Gerade (Achse) ist vertikale Asymptote Grafik.

b) Prüfen Sie, ob schräge Asymptoten existieren:

Ja, die Linie ist schräge Asymptote Grafiken, wenn .

Es macht keinen Sinn, die Grenzen zu analysieren, da bereits klar ist, dass die Funktion in einer Umarmung mit ihrer schiefen Asymptote liegt nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt.

Der zweite Punkt der Studie brachte viele wichtige Informationen über die Funktion. Machen wir eine grobe Skizze:

Schlussfolgerung Nr. 1 betrifft Intervalle der Vorzeichenkonstanz. Bei „minus unendlich“ liegt der Graph der Funktion eindeutig unterhalb der x-Achse, bei „plus unendlich“ liegt er oberhalb dieser Achse. Darüber hinaus sagten uns einseitige Grenzwerte, dass sowohl links als auch rechts vom Punkt die Funktion ebenfalls größer als Null ist. Bitte beachten Sie, dass der Graph in der linken Halbebene die x-Achse mindestens einmal kreuzen muss. In der rechten Halbebene dürfen keine Nullstellen der Funktion vorhanden sein.

Schlussfolgerung Nr. 2 ist, dass die Funktion auf und links vom Punkt zunimmt (von unten nach oben geht). Rechts von diesem Punkt nimmt die Funktion ab (geht „von oben nach unten“). Der rechte Zweig des Graphen muss auf jeden Fall mindestens ein Minimum haben. Auf der linken Seite sind Extreme nicht garantiert.

Schlussfolgerung Nr. 3 liefert zuverlässige Informationen über die Konkavität des Graphen in der Nähe des Punktes. Zur Konvexität/Konkavität im Unendlichen können wir noch nichts sagen, da die Gerade sowohl von oben als auch von unten gegen ihre Asymptote gedrückt werden kann. Im Allgemeinen gibt es jetzt eine analytische Möglichkeit, dies herauszufinden, aber die Form des Diagramms „für nichts“ wird zu einem späteren Zeitpunkt klarer.

Warum so viele Wörter? Um nachfolgende Forschungspunkte zu kontrollieren und Fehler zu vermeiden! Weitere Berechnungen sollten den gezogenen Schlussfolgerungen nicht widersprechen.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

Der Graph der Funktion schneidet die Achse nicht.

Mit der Intervallmethode ermitteln wir die Vorzeichen:

, Wenn ;
, Wenn .

Die Ergebnisse des Absatzes stimmen voll und ganz mit Schlussfolgerung Nr. 1 überein. Schauen Sie sich nach jedem Schritt den Entwurf an, beziehen Sie sich gedanklich auf die Studie und zeichnen Sie den Funktionsgraphen fertig.

In diesem Beispiel wird der Zähler Term für Term durch den Nenner dividiert, was der Differenzierung sehr zuträglich ist:

Tatsächlich wurde dies bereits beim Finden von Asymptoten getan.

- kritischer Punkt.

Definieren wir Zeichen:

erhöht sich um und sinkt auf

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Minimum: .

Auch zu Schlussfolgerung Nr. 2 gab es keine Unstimmigkeiten und höchstwahrscheinlich sind wir auf dem richtigen Weg.

Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion über den gesamten Definitionsbereich konkav ist.

Hervorragend – und Sie müssen nichts zeichnen.

Es gibt keine Wendepunkte.

Die Konkavität steht im Einklang mit Schlussfolgerung Nr. 3 und weist außerdem darauf hin, dass sich der Graph der Funktion im Unendlichen (sowohl dort als auch dort) befindet höher seine schräge Asymptote.

6) Wir werden die Aufgabe gewissenhaft mit Zusatzpunkten versehen. Hier müssen wir hart arbeiten, denn aus der Studie kennen wir nur zwei Punkte.

Und ein Bild, das wahrscheinlich viele schon lange präsentiert haben:

Im Verlauf der Aufgabenstellung muss darauf geachtet werden, dass es keine Widersprüche zwischen den Studienabschnitten gibt, doch manchmal ist die Situation dringlich oder sogar verzweifelt in einer Sackgasse. Hier „konvergiert“ die Analytik – und das war’s. In diesem Fall empfehle ich eine Notfalltechnik: Wir finden so viele zum Diagramm gehörende Punkte wie möglich (wie viel Geduld reicht aus) und markieren sie auf der Koordinatenebene. Die grafische Analyse der gefundenen Werte zeigt Ihnen in den meisten Fällen, wo die Wahrheit und wo die Lüge ist. Darüber hinaus kann das Diagramm mit einem Programm, beispielsweise im selben Excel, vorab erstellt werden (es ist klar, dass hierfür Kenntnisse erforderlich sind).

Beispiel 4

Untersuchen Sie die Funktion mithilfe der Methoden der Differentialrechnung und zeichnen Sie ihren Graphen.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Darin wird die Selbstkontrolle durch die Gleichmäßigkeit der Funktion verbessert – der Graph ist symmetrisch zur Achse, und wenn etwas in Ihrer Studie dieser Tatsache widerspricht, suchen Sie nach einem Fehler.

Eine gerade oder ungerade Funktion kann nur für untersucht werden, und dann kann die Symmetrie des Graphen verwendet werden. Diese Lösung ist optimal, sieht aber meiner Meinung nach sehr ungewöhnlich aus. Persönlich betrachte ich die gesamte numerische Achse, finde aber nur auf der rechten Seite zusätzliche Punkte:

Beispiel 5

Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und zeichnen Sie ihren Graphen.

Lösung: hetzte hart:

1) Die Funktion ist auf der gesamten reellen Geraden definiert und stetig: .

Dies bedeutet, dass diese Funktion ungerade ist und ihr Graph symmetrisch zum Ursprung ist.

Offensichtlich ist die Funktion nicht periodisch.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten

Normalerweise für eine Funktion, die einen Exponenten enthält getrennt Das Studium von „Plus“ und „Minus Unendlich“ wird unser Leben jedoch allein durch die Symmetrie des Graphen erleichtert – entweder gibt es links und rechts eine Asymptote oder nicht. Daher können beide unendlichen Grenzen unter einem einzigen Eintrag angeordnet werden. Im Zuge der Lösung verwenden wir Die Herrschaft von L'Hopital:

Die gerade Linie (Achse) ist die horizontale Asymptote des Diagramms bei .

Beachten Sie, wie geschickt ich den vollständigen Algorithmus zum Finden der schrägen Asymptote vermieden habe: Der Grenzwert ist völlig zulässig und verdeutlicht das Verhalten der Funktion im Unendlichen, und die horizontale Asymptote wurde „als ob zur gleichen Zeit“ gefunden.

Aus der Stetigkeit und der Existenz einer horizontalen Asymptote folgt, dass die Funktion von oben begrenzt Und von unten begrenzt.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Konstanzintervalle.

Auch hier kürzen wir die Lösung:
Der Graph verläuft durch den Ursprung.

Es gibt keine weiteren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Darüber hinaus sind die Konstanzintervalle offensichtlich und die Achse kann nicht gezeichnet werden: , was bedeutet, dass das Vorzeichen der Funktion nur vom „x“ abhängt:
, Wenn ;
, Wenn .

4) Zunehmende, abnehmende Extrema der Funktion.


sind kritische Punkte.

Die Punkte sind symmetrisch um Null, wie es sein sollte.

Definieren wir die Vorzeichen der Ableitung:


Die Funktion nimmt mit dem Intervall zu und mit den Intervallen ab

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .

Aufgrund der Immobilie (Seltsamkeit der Funktion) Das Minimum kann weggelassen werden:

Da die Funktion im Intervall abnimmt, liegt der Graph offensichtlich bei „minus unendlich“. unter mit seiner Asymptote. Auf dem Intervall nimmt die Funktion ebenfalls ab, aber hier ist das Gegenteil der Fall: Nach dem Durchlaufen des Maximalpunkts nähert sich die Linie der Achse von oben.

Aus dem oben Gesagten folgt auch, dass der Graph der Funktion bei „minus unendlich“ konvex und bei „plus unendlich“ konkav ist.

Nach diesem Punkt der Studie wurde auch der Wertebereich der Funktion gezeichnet:

Wenn Sie bei irgendeinem Punkt ein Missverständnis haben, empfehle ich Ihnen noch einmal dringend, Koordinatenachsen in Ihr Notizbuch zu zeichnen und mit einem Bleistift in der Hand jede Schlussfolgerung der Aufgabe noch einmal zu analysieren.

5) Konvexität, Konkavität, Biegungen des Graphen.

sind kritische Punkte.

Die Symmetrie der Punkte bleibt erhalten, und wir irren uns höchstwahrscheinlich nicht.

Definieren wir Zeichen:


Der Graph der Funktion ist konvex und konkav auf .

Konvexität/Konkavität in extremen Abständen wurde bestätigt.

An allen kritischen Punkten gibt es Knicke im Diagramm. Lassen Sie uns die Ordinaten der Wendepunkte ermitteln und dabei die Anzahl der Berechnungen erneut reduzieren, indem wir die Ungeradheit der Funktion verwenden:

Eine der wichtigsten Aufgaben der Differentialrechnung ist die Entwicklung allgemeiner Beispiele für die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen.

Wenn die Funktion y \u003d f (x) im Intervall stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a, b) positiv oder gleich 0 ist, dann erhöht sich y \u003d f (x) um (f "(x) 0). Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung auf dem Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, dann nimmt y=f(x) um (f"( x)0)

Die Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, werden Intervalle der Monotonie der Funktion genannt. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Punkten ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder bricht, werden kritische Punkte genannt.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion auf dem Segment stetig und im Intervall (x 0 -δ,x 0) differenzierbar ist. x 0 , x 0 +δ) und seine Ableitung behält in jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 -δ, x 0) und (x 0, x 0 + δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extrempunkt, und wenn sie übereinstimmen, dann ist x 0 kein Extrempunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 wird f "(x)> 0 ausgeführt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert von Minus nach Plus (rechts von x 0 wird von f"(x) ausgeführt<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum).

Wenn die Funktion y=f(x) beim aktuellen x=x 0 ein Extremum hat, dann existiert entweder f'(x 0)=0 oder f'(x 0) nicht.
An den Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion verläuft die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Umgebung jedes Punktes und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte, setzen Sie diesen Wert der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Ziehen Sie anhand ausreichender Extrembedingungen geeignete Schlussfolgerungen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; Daher gibt es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y "=3(x-2)(x-4) ändert sich je nach Intervall, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von Minus nach Plus.
4) Am Punkt x=2 hat die Funktion ein Maximum y max =20 und am Punkt x=4 - ein Minimum y min =16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Seien f "(x 0) und f "" (x 0) am Punkt x 0 vorhanden. Wenn dann f "" (x 0) > 0 ist, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf dem Segment kann die Funktion y \u003d f (x) entweder an den im Intervall (a; b) liegenden kritischen Punkten der Funktion oder an den Enden den kleinsten (mindestens) oder größten (höchstens) Wert erreichen des Segments.

Der Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment:

1) Finden Sie f "(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f „(x) = 0 oder f“ (x) – nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y \u003d f (x) an den in Absatz 2 erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten davon aus: Sie sind jeweils die größten ( für den größten) und den kleinsten (für den kleinsten) Funktionswert auf dem Segment.

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert einer stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment.

1) Wir haben y "=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Suchen wir die Punkte, an denen y"=0; wir bekommen:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nur der Punkt x=5 gehört zum Segment. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste ist die Zahl 50. Also bei max = 225, bei max = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist mit einer Ausbuchtung nach oben gedreht, der zweite mit einer Ausbuchtung nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke konvex nach oben (unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als die Tangente liegt gezeichnet an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (à;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf dem Intervall abwärtskonvex; gilt die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (à;b), dann ist die Funktion aufwärts konvex.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Finden von Wendepunkten:

1) Finden Sie Punkte, an denen f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem im ersten Schritt gefundenen Punkt.
3) Ziehen Sie basierend auf Satz 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finden Sie Extrempunkte und Wendepunkte des Funktionsgraphen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0 für x 1 =0, x 2 =1. Wenn die Ableitung durch den Punkt x=0 geht, ändert sie ihr Vorzeichen von Minus nach Plus, und wenn sie durch den Punkt x=1 geht, ändert sie ihr Vorzeichen nicht. Das bedeutet, dass x=0 der Minimalpunkt ist (y min =12) und es am Punkt x=1 kein Extremum gibt. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) gilt f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) gilt f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von der Konvexität nach unten zur Konvexität nach oben) und x=1 ist ebenfalls ein Wendepunkt (Übergang von der Konvexität nach oben zur Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y= ; wenn, dann x=1, y=13.

Ein Algorithmus zum Ermitteln der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) als x → a , dann ist x=a die vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞, dann ist y=A die horizontale Asymptote.
III. Um die schräge Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b die horizontale Asymptote; Wenn ja, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich k ist, fahren Sie mit dem dritten Schritt fort.
3) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich b ist, fahren Sie mit dem vierten Schritt fort.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schrägen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie eine Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die schräge Asymptotengleichung hat die Form

Das Schema der Untersuchung der Funktion und der Konstruktion ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
III. Finden Sie Asymptoten.
IV. Finden Sie Punkte mit möglichen Extremwerten.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfszeichnung das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Bereiche der Zunahme und Abnahme der Funktion, ermitteln Sie die Richtung der Konvexität des Diagramms, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm und berücksichtigen Sie dabei die in den Absätzen 1–6 durchgeführte Studie.

Beispiel 22: Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen gemäß dem obigen Schema

Lösung.
I. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0; -1).
III. Lassen Sie uns die Frage nach der Existenz von Asymptoten klären. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunkts x=1. Da y → ∞ für x → -∞, y → +∞ für x → 1+, ist die Gerade x=1 eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Weiter aus der Existenz von Grenzen

Wenn wir die Gleichung x 2 -2x-1=0 lösen, erhalten wir zwei Punkte eines möglichen Extremums:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - Plus, im zweiten - Minus, im dritten - Plus. Die Vorzeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +, -, +.
Wir erhalten, dass die Funktion bei (-∞;1-√2) zunimmt, bei (1-√2;1+√2) abnimmt und bei (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2, außerdem f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2, außerdem f(1+√2)=2+2√2. Bei (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und bei (1;+∞) - nach unten.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen