System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten ein System der Form genannt

Wo aij Und b ich (ich=1,…,M; B=1,…,N) sind einige bekannte Zahlen, und x 1 ,…,x n- Unbekannt. In der Notation der Koeffizienten aij erster Index ich bezeichnet die Nummer der Gleichung und die zweite J ist die Zahl der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.

Die Koeffizienten für die Unbekannten werden in Form einer Matrix geschrieben , die wir nennen werden Systemmatrix.

Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen b 1 ,…,b m genannt kostenlose Mitglieder.

Aggregat N Zahlen c 1 ,…,c n genannt Entscheidung dieses Systems, wenn jede Gleichung des Systems zu einer Gleichheit wird, nachdem Zahlen darin eingesetzt wurden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.

Unsere Aufgabe wird es sein, Lösungen für das System zu finden. In diesem Fall können drei Situationen auftreten:

Ein System linearer Gleichungen, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ansonsten, d.h. Wenn das System keine Lösungen hat, wird es aufgerufen unvereinbar.

Überlegen Sie, wie Sie Lösungen für das System finden können.

MATRIXVERFAHREN ZUR LÖSUNG VON SYSTEMEN LINEARER GLEICHUNGEN

Matrizen ermöglichen es, ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:

Betrachten Sie die Matrix des Systems und Matrixspalten unbekannter und freier Mitglieder

Lassen Sie uns das Produkt finden

diese. Als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Unter Verwendung der Definition der Matrixgleichheit kann dieses System dann geschrieben werden als

oder kürzer A∙X=B.

Hier Matrizen A Und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Sie muss gefunden werden, denn. seine Elemente sind die Lösung dieses Systems. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.

Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | A| ≠ 0. Dann wird die Matrixgleichung wie folgt gelöst. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit der Matrix A-1, die Umkehrung der Matrix A: . Weil das A -1 A = E Und E∙X=X, dann erhalten wir die Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .

Beachten Sie, dass die Matrixmethode nur solche Systeme lösen kann, da die inverse Matrix nur für quadratische Matrizen gefunden werden kann Die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Unbekannten. Die Matrixschreibweise des Systems ist jedoch auch dann möglich, wenn die Anzahl der Gleichungen nicht gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also die Matrix A ist nicht quadratisch und daher ist es unmöglich, eine Lösung des Systems in der Form zu finden X = A -1 B.

Beispiele. Gleichungssysteme lösen.

CRAMERS REGEL

Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten:

Determinante dritter Ordnung, die der Matrix des Systems entspricht, d. h. bestehend aus Koeffizienten bei Unbekannten,

genannt Systemdeterminante.

Wir setzen drei weitere Determinanten wie folgt zusammen: Wir ersetzen nacheinander 1, 2 und 3 Spalten in der Determinante D durch eine Spalte freier Mitglieder

Dann können wir das folgende Ergebnis beweisen.

Satz (Cramer-Regel). Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System genau eine Lösung und

Nachweisen. Betrachten Sie also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren Sie die 1. Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung - auf A21 und 3. - am A 31:

Fügen wir diese Gleichungen hinzu:

Betrachten Sie jede der Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung. Nach dem Satz über die Entwicklung der Determinante nach den Elementen der 1. Spalte

Ebenso lässt sich zeigen, dass und .

Schließlich ist das leicht zu erkennen

Somit erhalten wir die Gleichheit: .

Somit, .

Die Gleichheiten und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Behauptung des Theorems folgt.

Wir stellen also fest, dass, wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, das System eine eindeutige Lösung hat und umgekehrt. Wenn die Determinante des Systems gleich Null ist, dann hat das System entweder eine unendliche Menge von Lösungen oder keine Lösungen, d.h. unvereinbar.

Beispiele. Lösen Sie ein Gleichungssystem

GAUSS-METHODE

Mit den bisher betrachteten Methoden können nur solche Systeme gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Determinante des Systems von Null verschieden sein muss. Die Gaußsche Methode ist universeller und eignet sich für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen. Es besteht in der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems.

Betrachten Sie noch einmal ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

.

Wir lassen die erste Gleichung unverändert und schließen aus der zweiten und dritten Gleichung die enthaltenden Terme aus x 1. Dazu dividieren wir die zweite Gleichung durch A 21 und multipliziere mit - A 11 und dann mit der 1. Gleichung addieren. Ebenso teilen wir die dritte Gleichung auf A 31 und multipliziere mit - A 11 und fügen Sie es dann zum ersten hinzu. Als Ergebnis wird das ursprüngliche System die Form annehmen:

Aus der letzten Gleichung eliminieren wir nun den enthaltenden Term x2. Teilen Sie dazu die dritte Gleichung durch, multiplizieren Sie mit und addieren Sie sie zur zweiten. Dann haben wir ein Gleichungssystem:

Daher ist es aus der letzten Gleichung leicht zu finden x 3, dann aus der 2. Gleichung x2 und schließlich ab dem 1. - x 1.

Bei Verwendung der Gaußschen Methode können die Gleichungen bei Bedarf vertauscht werden.

Anstatt ein neues Gleichungssystem zu schreiben, beschränken sie sich oft darauf, die erweiterte Matrix des Systems aufzuschreiben:

und bringen Sie es dann mithilfe elementarer Transformationen in eine dreieckige oder diagonale Form.

ZU elementare Transformationen Matrizen umfassen die folgenden Transformationen:

1. Permutation von Zeilen oder Spalten;
2. Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
3. Hinzufügen weiterer Zeilen zu einer Zeile.

Beispiele: Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Somit hat das System unendlich viele Lösungen.

Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Reduzieren gleicher Terme die Form annimmt

Axt + B = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt Lineargleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.

Zum Beispiel alle Gleichungen:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.

Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt, wird aufgerufen Entscheidung oder die Wurzel der Gleichung .

Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 \u003d 13 die Zahl 2 anstelle des unbekannten x ersetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit 3 ​​2 + 7 \u003d 13. Daher ist der Wert x \u003d 2 die Lösung oder die Wurzel der Gleichung.

Und der Wert x \u003d 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 \u003d 13 nicht in eine echte Gleichheit, da 3 2 + 7 ≠ 13. Daher ist der Wert x \u003d 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung.

Die Lösung beliebiger linearer Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form reduziert

Axt + B = 0.

Wir übertragen den freien Term von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und ändern dabei das Vorzeichen vor b in das Gegenteil. Wir erhalten

Wenn a ≠ 0, dann ist x = – b/a .

Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 =11.

Wir übertragen 2 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite, während wir das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil ändern, erhalten wir
3x \u003d 11 - 2.

Dann führen wir die Subtraktion durch
3x = 9.

Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren, d. h.
x = 9:3.

Der Wert x = 3 ist also die Lösung bzw. die Wurzel der Gleichung.

Antwort: x = 3.

Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x \u003d 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, da wir bei der Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 0 erhalten, aber b auch 0 ist. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.

Beispiel 2 Lösen Sie die Gleichung 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Erweitern wir die Klammern:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = 0.

Antwort: x ist eine beliebige Zahl.

Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, da wir bei der Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 0 erhalten, aber b ≠ 0.

Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.

Lassen Sie uns die Begriffe, die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite und die freien Begriffe auf der rechten Seite gruppieren:
x - x \u003d 5 - 8.

Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = - 3.

Antwort: keine Lösungen.

An Abbildung 1 Das Schema zur Lösung der linearen Gleichung wird gezeigt

Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten Sie die Lösung von Beispiel 4.

Beispiel 4 Lassen Sie uns die Gleichung lösen

1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.

2) Nach Reduktion erhalten wir
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Um Elemente mit unbekannten und freien Elementen zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Wir gruppieren in einem Teil die Begriffe, die Unbekannte enthalten, und im anderen Teil - freie Begriffe:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Hier sind ähnliche Mitglieder:
- 22x = - 154.

6) Teilen durch - 22 , Wir erhalten
x = 7.

Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.

Im Allgemeinen, z Gleichungen können wie folgt gelöst werden:

a) Bringen Sie die Gleichung in eine ganzzahlige Form;

b) offene Klammern;

c) gruppieren Sie die Terme, die das Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;

d) ähnliche Mitglieder mitbringen;

e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die durch Zusammenbringen gleicher Terme erhalten wurde.

Dieses Schema ist jedoch nicht für jede Gleichung erforderlich. Beim Lösen vieler einfacherer Gleichungen muss man nicht mit der ersten, sondern mit der zweiten beginnen ( Beispiel. 2), dritte ( Beispiel. 13) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.

Beispiel 5 Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.

Wir finden das Unbekannte x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Betrachten Sie die Lösung einiger linearer Gleichungen, die im Staatsexamen auftreten.

Beispiel 6 Lösen Sie Gleichung 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Antwort: - 0,125

Beispiel 7 Lösen Sie die Gleichung - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Antwort: 2.3

Beispiel 8 Löse die Gleichung

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Beispiel 9 Finden Sie f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er

Lösung

Da wir f(6) finden müssen und f (x + 2) kennen,
dann ist x + 2 = 6.

Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir erhalten x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Antwort: 27.

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Bei vollständiger oder teilweiser Kopie des Materials ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Für das System bilden wir die Hauptdeterminante

und berechne es.

Dann machen wir zusätzliche Determinanten

und berechne sie.

Nach der Cramer-Regel wird die Lösung des Systems durch die Formeln gefunden

;
;
,Wenn

1)

Berechnen wir:

Mit Cramers Formeln finden wir:

Antwort: (1; 2; 3)

2)

Berechnen wir:

Da die Hauptdeterminante
, und mindestens ein weiteres ist ungleich Null (in unserem Fall
), dann hat das System keine Lösung.

3)

Berechnen wir:

Da alle Determinanten gleich Null sind, verfügt das System über eine unendliche Menge von Lösungen, die wie folgt gefunden werden können

Lösen Sie Ihre eigenen Systeme:

A)
B)

Antwort: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praxislektion Nummer 3 zum Thema:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren und seine Anwendung

1. Falls angegeben
Und
, dann wird das Skalarprodukt durch die Formel ermittelt:

∙

2. Wenn ja, dann wird das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren durch die Formel ermittelt

1. Es werden zwei Vektoren angegeben
Und

Wir finden ihr Skalarprodukt wie folgt:

.

2. Es sind zwei Vektoren gegeben:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Das Skalarprodukt wird wie folgt gefunden:

3.
,

3.1 Ermitteln der Arbeit einer konstanten Kraft auf einem geraden Wegabschnitt

1) Unter Einwirkung einer Kraft von 15 N hat sich der Körper geradlinig um 2 Meter bewegt. Der Winkel zwischen der Kraft und der Bewegungsrichtung =60 0 . Berechnen Sie die Arbeit, die die Kraft verrichtet, um den Körper zu bewegen.

Gegeben:

Lösung:

2) Gegeben:

Lösung:

3) Ein Körper bewegt sich unter der Wirkung einer Kraft von 60 N vom Punkt M(1; 2; 3) zum Punkt N(5; 4; 6). Winkel zwischen Kraftrichtung und Verschiebungsvektor =45 0 . Berechnen Sie die von dieser Kraft geleistete Arbeit.

Lösung: Finden Sie den Verschiebungsvektor

Finden Sie den Verschiebungsvektormodul:

Nach der Formel
Eine Arbeit finden:

3.2 Bestimmung der Orthogonalität zweier Vektoren

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn
, also

als

1)

– nicht orthogonal

2)

-senkrecht

3) Bestimmen Sie, für welche  die Vektoren gelten
Und
zueinander orthogonal.

Als
, Das
, Bedeutet

Entscheide dich selbst:

A)

. Finden Sie ihr Skalarprodukt.

b) Berechnen Sie, wie viel Arbeit die Kraft leistet
, wenn sich der Anwendungspunkt geradlinig vom Punkt M (5; -6; 1) zum Punkt N (1; -2; 3) bewegt hat

c) Bestimmen Sie, ob die Vektoren orthogonal sind
Und

Antworten: a) 1 b) 16 c) ja

3.3 Ermitteln des Winkels zwischen Vektoren

1)

. Finden .

Wir finden

Setze es in die Formel ein:

.

1). Die Eckpunkte des Dreiecks A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) sind angegeben. Finden Sie den Winkel am Scheitelpunkt A.

Ersetzen Sie in der Formel:

Entscheide dich selbst:

Die Eckpunkte des Dreiecks A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) sind angegeben. Bestimmen Sie den Innenwinkel am Scheitelpunkt A.

Antwort: 90 o

Praxislektion Nummer 4 zum Thema:

VEKTORPRODUKT AUS ZWEI VEKTOREN UND SEINE ANWENDUNG.

Die Formel zum Ermitteln des Kreuzprodukts zweier Vektoren:

	hat die Form

1) Finden Sie das Vektorproduktmodul:

Wir stellen die Determinante zusammen und berechnen sie (gemäß der Sarrus-Regel oder dem Satz über die Entwicklung der Determinante durch die Elemente der ersten Zeile).

1. Methode: nach der Sarrus-Regel

2. Weg: Erweitern Sie die Determinante um die Elemente der ersten Zeile.

2) Finden Sie den Modul des Kreuzprodukts:

4.1. BERECHNUNG DER FLÄCHE EINES PARALLELOGRAMMS, DAS AUF ZWEI VEKTOREN AUFGEBAUT IST.

1) Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms

2). Finden Sie das Kreuzprodukt und seinen Modul

4.2. BERECHNUNG DER FLÄCHE EINES DREIECKS

Beispiel: Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks.

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten zweier Vektoren ermitteln, die aus demselben Scheitelpunkt stammen.

Finden wir ihr Vektorprodukt

4.3. BESTIMMUNG DER KOLLINEARITÄT ZWEIER VEKTOREN

Wenn der Vektor
Und
sind dann kollinear

, d.h. die Koordinaten der Vektoren müssen proportional sein.

a) Vektordaten::
,
.

Sie sind kollinear, weil
Und

Nach der Reduzierung jedes Bruchteils erhält man das Verhältnis

b) Vektordaten:

.

Sie sind nicht kollinear, weil
oder

Entscheide dich selbst:

a) Für welche Werte von m und n des Vektors
kollinear?

Antworten:
;

b) Finden Sie das Kreuzprodukt und seinen Modul
,
.

Antworten:
,
.

Praxislektion Nummer 5 zum Thema:

GERADE IM FLUGZEUG

Aufgabennummer 1. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A (-2; 3) parallel zur Geraden verläuft

1. Finden Sie die Steigung der Geraden
.

ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung und Anfangskoordinate (
). Deshalb
.

2. Da die Geraden MN und AC parallel sind, sind ihre Steigungen gleich, d.h.
.

3. Um die Gleichung der Geraden AC zu finden, verwenden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit einer gegebenen Steigung verläuft:

. In dieser Formel statt Und wir ersetzen die Koordinaten des Punktes A (-2; 3) statt lass uns ersetzen - 3. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir:

Antworten:

Aufgabe Nummer 2. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die parallel zur Geraden durch den Punkt K (1; -2) verläuft.

1. Finden Sie die Steigung der Geraden.

Dies ist die allgemeine Gleichung einer Geraden, die im Allgemeinen durch die Formel gegeben ist. Wenn wir die Gleichungen vergleichen, stellen wir fest, dass A \u003d 2, B \u003d -3. Die Steigung der durch die Gleichung gegebenen Geraden wird durch die Formel ermittelt
. Wenn wir A = 2 und B = –3 in diese Formel einsetzen, erhalten wir die Steigung der Geraden MN. So,
.

2. Da die Geraden MN und KS parallel sind, sind ihre Steigungen gleich:
.

3. Um die Gleichung der Geraden KS zu finden, verwenden wir die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit gegebener Steigung verläuft
. In dieser Formel statt Und wir ersetzen die Koordinaten des Punktes K(–2; 3), statt

Aufgabennummer 3. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K (–1; –3) senkrecht zur Geraden verläuft.

1. ist die allgemeine Gleichung einer Geraden, die im Allgemeinen durch die Formel gegeben ist.

und wir finden, dass A = 3, B = 4.

Die Steigung der durch die Gleichung gegebenen Geraden ergibt sich aus der Formel:
. Wenn wir A = 3 und B = 4 in diese Formel einsetzen, erhalten wir die Steigung der Geraden MN:
.

2. Da die Geraden MN und KD senkrecht zueinander stehen, sind ihre Steigungen umgekehrt proportional und haben ein entgegengesetztes Vorzeichen:

.

3. Um die Gleichung der Geraden KD zu finden, verwenden wir die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit einer gegebenen Steigung verläuft

. In dieser Formel statt Und wir ersetzen die Koordinaten des Punktes K(–1; –3), statt lasst uns ersetzen. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir:

Entscheide dich selbst:

1. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K (–4; 1) parallel zur Geraden verläuft
.

Antworten:
.

2. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K (5; -2) parallel zur Geraden verläuft
.

3. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K (–2; –6) senkrecht zur Geraden verläuft
.

4. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K (7; -2) senkrecht zur Geraden verläuft
.

Antworten:
.

5. Finden Sie die Gleichung der Senkrechten, die vom Punkt K (–6; 7) zur Geraden fällt
.

2.3.1. Definition.

Gegeben seien lineare Gleichungen:

A 1 X + B 1 j + C 1 z = D 1 , (2.3.1)

A 2 X + B 2 j + C 2 z = D 2 , (2.3.2)

A 3 X + B 3 j + C 3 z = D 3 . (2.3.3)

Wenn es erforderlich ist, eine allgemeine Lösung der Gleichungen (2.3.1) ¾ (2.3.3) zu finden, dann sagen sie, dass sie sich bilden System . Das System bestehend aus den Gleichungen (2.3.1) ¾ (2.3.3) wird wie folgt bezeichnet:

Die allgemeine Lösung der Gleichungen, aus denen das System besteht, wird aufgerufen Systemlösung . Lösen Sie das System (2.3.4) ¾ Dies bedeutet, entweder die Menge aller ihrer Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt.

Wie in den vorherigen Fällen finden wir im Folgenden Bedingungen, unter denen das System (2.3.4) eine eindeutige Lösung, mehr als eine Lösung und keine Lösung hat.

2.3.2. Definition. Gegeben sei das System (2.3.4) linearer Gleichungen. Matrizen

heißen jeweils ( Basic )Matrix Und erweiterte Matrix Systeme.

2.3.3. Definitionen äquivalenter Systeme der Form (2.3.4) sowie Elementartransformationen 1. und 2. Art werden auf die gleiche Weise eingeführt wie für Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei und drei Unbekannten.

Elementare Transformation Der 3. Systemtyp (2.3.4) ist die Vertauschung zweier Gleichungen dieses Systems. Ähnlich wie in den vorherigen Fällen von Systemen aus 2 Gleichungen unter elementaren Transformationen des Systems entsteht ein System,gleichbedeutend damit.

2.3.4. Übung. Gleichungssysteme lösen:

Lösung. A)

(1) Die erste und zweite Gleichung des Systems vertauscht (Transformation vom 3. Typ).

(2) Die erste Gleichung multipliziert mit 4 wird von der zweiten subtrahiert, und die erste Gleichung multipliziert mit 6 wird von der dritten subtrahiert (Typ-2-Transformation); Daher wurde das Unbekannte aus der zweiten und dritten Gleichung ausgeschlossen X .

(3) Die zweite Gleichung multipliziert mit 14 wird von der dritten subtrahiert; Unbekannt wurde vom dritten ausgeschlossen j .

(4) Aus der letzten Gleichung finden wir z = 1, indem wir which in das zweite einsetzen, finden wir j = 0. Zum Schluss noch das Ersetzen j = 0 und z = 1 in der ersten Gleichung finden wir X = -2.с

(1) Die erste und zweite Gleichung des Systems vertauscht.

(2) Die erste Gleichung mal 4 wird von der zweiten subtrahiert, und die erste Gleichung mal 6 wird von der dritten subtrahiert.

(3) Die zweite und dritte Gleichung stimmten überein. Wir schließen eine davon aus dem System aus (oder, mit anderen Worten, wenn wir die zweite Gleichung von der dritten Gleichung subtrahieren, dann geht die dritte Gleichung in die Identität 0 = 0 über; sie wird aus dem System ausgeschlossen. Wir nehmen an z = A .

(4) Ersatz z = A in die zweite und erste Gleichung ein.

(5) Ersetzen j = 12 - 12A in die erste Gleichung finden wir X .

c) Teilt man die erste Gleichung durch 4 und die dritte ¾ durch 6, so erhält man ein äquivalentes System

was der Gleichung entspricht X - 2j - z = -3. Lösungen dieser Gleichung sind bekannt (siehe Beispiel 2.2.3 b))

Die letzte Gleichheit im resultierenden System ist widersprüchlich. Daher verfügt das System über keine Lösungen.

Die Transformationen (1) und (2) ¾ sind genau die gleichen wie die entsprechenden Transformationen des Systems b))

(3) Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der letzten Gleichung.

Antwort: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + B ; A ; B )|A , B Î R};

d) Das System hat keine Lösungen.

2.3.5. Aus den vorherigen Beispielen geht hervor, dass System mit drei Unbekannten, sowie ein System mit zwei Unbekannten, Möglicherweise gibt es nur eine Lösung, eine unendliche Anzahl von Lösungen und keine einzige Lösung. Nachfolgend analysieren wir alle möglichen Fälle. Aber zuerst führen wir etwas Notation ein.

Bezeichnen Sie mit D die Determinante der Matrix des Systems:

Bezeichnen Sie mit D 1 die Determinante, die Sie aus D erhalten, indem Sie die erste Spalte durch die Spalte der freien Terme ersetzen:

Sagen wir es ähnlich

D 2 = und D 3 = .

2.3.6. Satz. Wenn D¹0, dann das System(2.3.4)hat die einzige Lösung

, , . (2.3.5)

Formeln (2.3.5) werden aufgerufen Formeln = = 0 für alle ich ¹ J und mindestens eine der Determinanten , , ungleich Null, dann hat das Lösungssystem keine.

4) Wenn = = = = = = 0 für alle ich ¹ J , dann hat das System unendlich viele Lösungen, abhängig von zwei Parametern.

Aufgabe 1

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem auf zwei Arten: mit den Cramer-Formeln und der Gauß-Methode

1) Lösen Sie das inhomogene System linearer algebraischer Gleichungen Ax = B nach der Cramer-Methode

Die Determinante des Systems D ist ungleich Null. Finden Sie Hilfsdeterminanten D 1 , D 2 , D 3 , wenn sie ungleich Null sind, dann gibt es keine Lösungen, wenn sie gleich sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen

Ein System aus 3 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten, deren Determinante von Null verschieden ist, ist immer konsistent und hat eine eindeutige Lösung, die durch die Formeln berechnet wird:

Antwort: Habe eine Lösung erhalten:

2) Lösen Sie das inhomogene System linearer algebraischer Gleichungen Ax = B nach der Gauß-Methode

Stellen Sie die erweiterte Matrix des Systems zusammen

Nehmen wir die erste Zeile als Orientierung und das Element a 11 = 1 als Orientierung. Mit Hilfe der Hilfslinie erhalten wir Nullen in der ersten Spalte.

entspricht der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

Antwort: Habe eine Lösung erhalten:

Aufgabe 2

Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC

Finden:

1) die Länge der Seite AB;

4) die Gleichung des Medians AE;

Konstruieren Sie das gegebene Dreieck und alle Linien im Koordinatensystem.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Abstand zwischen den Punkten A( x 1; 1) und B( x 2; um 2) wird durch die Formel bestimmt

womit wir die Länge der Seite AB ermitteln;

2) Gleichungen der Seiten AB und BC und ihrer Steigungen;

Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte der Ebene A( x 1; 1) und B( x 2; um 2) hat die Form

Wenn wir in (2) die Koordinaten der Punkte A und B einsetzen, erhalten wir die Gleichung der Seite AB:

Wir ermitteln die Steigung k AB der Geraden AB, indem wir die resultierende Gleichung in die Form der Gleichung einer Geraden mit Steigung umwandeln y=kx - B.

, also von wo

Ebenso erhalten wir die Gleichung der Geraden BC und ermitteln deren Steigung.

Wenn wir in (2) die Koordinaten der Punkte B und C einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Seite BC:

Die Steigung k BC der Geraden BC wird ermittelt, indem die resultierende Gleichung in die Form der Gleichung einer Geraden mit Steigung umgewandelt wird y=kx - B.

, also

3) Innenwinkel am Scheitelpunkt B im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von 0,01

Um den Innenwinkel unseres Dreiecks zu ermitteln, verwenden wir die Formel:

Beachten Sie, dass das Verfahren zur Berechnung der Differenz der Steigungskoeffizienten im Zähler dieses Bruchs von der relativen Position der Linien AB und BC abhängt.

Wenn wir die zuvor berechneten Werte von k ВС und k АВ in (3) einsetzen, finden wir:

Wenn wir nun die Tabellen eines technischen Mikrorechners verwenden, erhalten wir » 1,11 rad.

4) die Gleichung des Medians AE;

Um die Gleichung für den Median AE aufzustellen, ermitteln wir zunächst die Koordinaten des Punktes E, der in der Mitte des Segments BC liegt

Wenn wir die Koordinaten der Punkte A und E in Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir die Mediangleichung:

5) Gleichung und Länge der Höhe CD;

Um die Gleichung für die Höhe CD zu erstellen, verwenden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M( x 0; bei 0) mit einer gegebenen Steigung k, wie es aussieht

und die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien AB und CD, die durch die Beziehung k AB k CD = -1 ausgedrückt wird, woraus k CD = -1/k AB = - 3/4

Ersetzen Sie in (4) anstelle von k den Wert von k С D = -3/4 und anstelle von X 0 , j 0 Mit den entsprechenden Koordinaten des Punktes C erhalten wir die Gleichung für die Höhe CD

Um die Länge der Höhe CD zu berechnen, verwenden wir die Formel zum Ermitteln des Abstands d von einem bestimmten Punkt M( x 0; bei 0) zu einer gegebenen Geraden mit der Gleichung Ax + By + С = 0 , die wie folgt aussieht:

Einsetzen in (5) statt x 0; bei 0 Koordinaten des Punktes C und anstelle von A, B, C erhalten wir die Koeffizienten der Gleichung der Geraden AB

6) die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt E parallel zur Seite AB und den Punkt M ihres Schnittpunkts mit der Höhe CD verläuft;

Da die gewünschte Gerade EF parallel zur Geraden AB verläuft, gilt k EF = k AB = 4/3. Einsetzen in Gleichung (4) statt x 0; bei 0 Koordinaten des Punktes E, und statt k den Wert von k EF erhalten wir die Gleichung der Geraden EF".

Um die Koordinaten des Punktes M zu finden, lösen wir gemeinsam die Gleichungen der Geraden EF und CD.

Somit ist M(5,48; 0,64).

7) Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt E, der durch den Scheitelpunkt B verläuft

Da der Kreis einen Mittelpunkt im Punkt E(4,5; 2) hat und durch den Scheitelpunkt B(4; 3) verläuft, ergibt sich sein Radius

Die kanonische Gleichung eines Kreises mit dem Radius R mit Mittelpunkt im Punkt М 0 ( x 0; bei 0) hat die Form

Dreieck ABC, Höhe CD, Median AE, Gerade EF, Punkt M und ein Kreis im x0y-Koordinatensystem in Abb. 1.

Aufgabe 3

Stellen Sie eine Geradengleichung auf, für die für jeden Punkt der Abstand zum Punkt A (2; 5) gleich dem Abstand zur Geraden y = 1 ist. Konstruieren Sie die resultierende Kurve im Koordinatensystem

Lösung

Sei M ( X, ja) - aktueller Punkt der gewünschten Kurve. Lassen Sie uns die Senkrechte MB vom Punkt M zur Geraden y = 1 fallen lassen (Abb. 2). Dann ist B(x; 1). Da also MA = MB ist