Sie können eine detaillierte Lösung Ihres Problems bestellen !!!

Zu verstehen, was ist fundamentales Entscheidungssystem Sie können das Video-Tutorial für dasselbe Beispiel ansehen, indem Sie auf klicken. Kommen wir nun zur Beschreibung aller notwendigen Arbeiten. Dies wird Ihnen helfen, die Essenz dieses Problems genauer zu verstehen.

Wie findet man das fundamentale Lösungssystem einer linearen Gleichung?

Nehmen wir zum Beispiel das folgende lineare Gleichungssystem:

Lassen Sie uns eine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem finden. Zunächst einmal wir Schreiben Sie die Koeffizientenmatrix des Systems auf.

Lassen Sie uns diese Matrix in eine Dreiecksmatrix umwandeln. Wir schreiben die erste Zeile ohne Änderungen neu. Und alle Elemente, die unter $a_(11)$ liegen, müssen zu Null gemacht werden. Um anstelle des Elements $a_(21)$ eine Null zu machen, müssen Sie die erste von der zweiten Zeile subtrahieren und die Differenz in die zweite Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(31)$ eine Null zu machen, müssen Sie die erste von der dritten Zeile subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(41)$ eine Null zu machen, müssen Sie die erste multipliziert mit 2 von der vierten Zeile subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile schreiben. Um das Element $a_(31)$ durch eine Null zu ersetzen, subtrahieren Sie die erste Zahl multipliziert mit 2 von der fünften Zeile und schreiben Sie die Differenz in die fünfte Zeile.

Wir schreiben die erste und zweite Zeile unverändert neu. Und alle Elemente, die unter $a_(22)$ liegen, müssen zu Null gemacht werden. Um anstelle des Elements $a_(32)$ eine Null zu machen, ist es notwendig, die Sekunde multipliziert mit 2 von der dritten Zeile zu subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile zu schreiben. Um anstelle des Elements $a_(42)$ eine Null zu machen, ist es notwendig, die Sekunde multipliziert mit 2 von der vierten Zeile zu subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile zu schreiben. Um anstelle des Elements $a_(52)$ eine Null zu machen, subtrahieren Sie die Sekunde multipliziert mit 3 von der fünften Zeile und schreiben Sie die Differenz in die fünfte Zeile.

Wir sehen das Die letzten drei Zeilen sind gleich, wenn Sie also die dritte von der vierten und fünften subtrahieren, werden sie zu Null.

Für diese Matrix Schreiben Sie ein neues Gleichungssystem auf.

Wir sehen, dass wir nur drei linear unabhängige Gleichungen und fünf Unbekannte haben, sodass das grundlegende Lösungssystem aus zwei Vektoren bestehen wird. Also wir Verschieben Sie die letzten beiden Unbekannten nach rechts.

Jetzt fangen wir an, die Unbekannten auf der linken Seite durch die auf der rechten Seite auszudrücken. Wir beginnen mit der letzten Gleichung, zuerst drücken wir $x_3$ aus, dann setzen wir das erhaltene Ergebnis in die zweite Gleichung ein und drücken $x_2$ aus, und dann in die erste Gleichung und hier drücken wir $x_1$ aus. Somit haben wir alle Unbekannten auf der linken Seite durch die Unbekannten auf der rechten Seite ausgedrückt.

Danach können Sie anstelle von $x_4$ und $x_5$ beliebige Zahlen ersetzen und $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden. Jede dieser fünf Zahlen wird die Wurzel unseres ursprünglichen Gleichungssystems sein. Um die Vektoren zu finden, die in enthalten sind FSR wir müssen $x_4$ durch 1 und $x_5$ durch 0 ersetzen, $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden und dann umgekehrt $x_4=0$ und $x_5=1$.

Wir werden weiter an der Technik feilen elementare Transformationen auf der homogenes System linearer Gleichungen.
Laut den ersten Absätzen mag das Material langweilig und gewöhnlich erscheinen, aber dieser Eindruck täuscht. Neben der Weiterentwicklung von Techniken wird es viele neue Informationen geben, also versuchen Sie bitte nicht, die Beispiele in diesem Artikel zu vernachlässigen.

Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Die Antwort liegt nahe. Ein lineares Gleichungssystem ist homogen, wenn der freie Term alle Systemgleichung ist Null. Zum Beispiel:

Das ist ganz klar homogenes System ist immer konsistent, das heißt, es hat immer eine Lösung. Und vor allem die sog trivial Lösung . Trivial bedeutet für diejenigen, die die Bedeutung des Adjektivs überhaupt nicht verstehen, bespontovoe. Natürlich nicht akademisch, aber verständlich =) ... Warum um den heißen Brei herumreden, lassen Sie uns herausfinden, ob dieses System noch andere Lösungen hat:

Beispiel 1

Lösung: Um ein homogenes System zu lösen, muss man schreiben Systemmatrix und mit Hilfe elementarer Transformationen in eine gestufte Form bringen. Beachten Sie, dass es nicht nötig ist, hier den senkrechten Balken und die Nullspalte der freien Mitglieder aufzuschreiben – denn egal, was Sie mit Nullen machen, sie bleiben Null:

(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -3.

(2) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.

Die dritte Reihe durch 3 zu teilen macht wenig Sinn.

Durch elementare Transformationen erhält man ein äquivalentes homogenes System , und wenn man den umgekehrten Zug der Gaußschen Methode anwendet, ist es leicht zu verifizieren, dass die Lösung eindeutig ist.

Antworten:

Lassen Sie uns ein naheliegendes Kriterium formulieren: ein homogenes System linearer Gleichungen hat nur triviale Lösung, wenn Rang der Systemmatrix(in diesem Fall 3) ist gleich der Anzahl der Variablen (in diesem Fall 3 Stk.).

Wir wärmen uns auf und stimmen unser Radio auf eine Welle elementarer Transformationen ab:

Beispiel 2

Lösen Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

Um den Algorithmus endgültig zu reparieren, analysieren wir die letzte Aufgabe:

Beispiel 7

Lösen Sie ein homogenes System, schreiben Sie die Antwort in Vektorform.

Lösung: Wir schreiben die Matrix des Systems und bringen sie durch elementare Transformationen in eine Stufenform:

(1) Das Vorzeichen der ersten Zeile wurde geändert. Ich mache noch einmal auf die immer wieder getroffene Technik aufmerksam, mit der Sie die folgende Aktion erheblich vereinfachen können.

(1) Die erste Zeile wurde zur 2. und 3. Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile multipliziert mit 2 wurde zur 4. Zeile addiert.

(3) Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon wurden entfernt.

Als Ergebnis erhält man eine Standardstufenmatrix und die Lösung setzt sich entlang der Rändelspur fort:

– grundlegende Variablen;
sind freie Variablen.

Wir drücken die Basisvariablen durch freie Variablen aus. Aus der 2. Gleichung:

- Ersetze in der 1. Gleichung:

Die allgemeine Lösung lautet also:

Da es im betrachteten Beispiel drei freie Variablen gibt, enthält das Fundamentalsystem drei Vektoren.

Lassen Sie uns ein Tripel von Werten ersetzen in die allgemeine Lösung ein und erhalte einen Vektor, dessen Koordinaten jede Gleichung des homogenen Systems erfüllen. Und ich wiederhole noch einmal, dass es sehr wünschenswert ist, jeden empfangenen Vektor zu überprüfen - es wird nicht so viel Zeit in Anspruch nehmen, aber hundertprozentig Fehler vermeiden.

Für ein Tripel von Werten Finde den Vektor

Und schließlich für das Triple wir erhalten den dritten Vektor:

Antworten: , wo

Diejenigen, die Bruchwerte vermeiden möchten, können Tripletts in Betracht ziehen und erhalten Sie die Antwort in der äquivalenten Form:

Apropos Brüche. Schauen wir uns die in der Aufgabe erhaltene Matrix an und stellen Sie die Frage - ist es möglich, die weitere Lösung zu vereinfachen? Immerhin haben wir hier zuerst die Grundvariable in Brüchen ausgedrückt, dann die Grundvariable in Brüchen, und ich muss sagen, dieser Prozess war nicht der einfachste und nicht der angenehmste.

Die zweite Lösung:

Die Idee ist, es zu versuchen Wählen Sie andere grundlegende Variablen. Schauen wir uns die Matrix an und bemerken zwei Einsen in der dritten Spalte. Warum also nicht oben Null bekommen? Machen wir noch eine elementare Transformation:

Ein homogenes System ist immer konsistent und hat eine triviale Lösung
. Damit eine nichttriviale Lösung existiert, ist es notwendig, dass der Rang der Matrix war kleiner als die Anzahl der Unbekannten:

.

Grundlegendes Entscheidungssystem homogenes System
nennen wir das Lösungssystem in Form von Spaltenvektoren
, die der kanonischen Basis entsprechen, also Basis, in der beliebige Konstanten
werden abwechselnd auf eins gesetzt, während der Rest auf null gesetzt wird.

Dann hat die allgemeine Lösung des homogenen Systems die Form:

wo
sind beliebige Konstanten. Mit anderen Worten, die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination des fundamentalen Lösungssystems.

Die Basislösungen können also aus der allgemeinen Lösung gewonnen werden, wenn den freien Unbekannten abwechselnd der Wert Eins gegeben wird, wobei alle anderen gleich Null angenommen werden.

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

Wir akzeptieren , dann erhalten wir die Lösung in der Form:

Konstruieren wir nun ein grundlegendes System von Lösungen:

.

Die allgemeine Lösung kann geschrieben werden als:

Lösungen eines Systems homogener linearer Gleichungen haben die folgenden Eigenschaften:

Mit anderen Worten, jede lineare Kombination von Lösungen zu einem homogenen System ist wieder eine Lösung.

Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode

Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist für Mathematiker seit mehreren Jahrhunderten von Interesse. Die ersten Ergebnisse wurden im 18. Jahrhundert erzielt. 1750 veröffentlichte G. Kramer (1704–1752) seine Arbeiten über die Determinanten quadratischer Matrizen und schlug einen Algorithmus zum Auffinden der inversen Matrix vor. 1809 skizzierte Gauß ein neues Lösungsverfahren, das als Eliminationsverfahren bekannt ist.

Das Gauß-Verfahren oder das Verfahren der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten besteht darin, dass das Gleichungssystem mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System einer Stufen- (oder Dreiecks-) Form reduziert wird. Mit solchen Systemen können Sie alle Unbekannten in einer bestimmten Reihenfolge konsistent finden.

Angenommen, in System (1)
(was immer möglich ist).

(1)

Multipliziert man die erste Gleichung wiederum mit der sog passende Zahlen

und indem wir das Ergebnis der Multiplikation mit den entsprechenden Gleichungen des Systems addieren, erhalten wir ein äquivalentes System, in dem alle Gleichungen außer der ersten keine Unbekannte haben X 1

(2)

Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung des Systems (2) mit geeigneten Zahlen, vorausgesetzt, dass

,

und indem wir es zu den unteren hinzufügen, eliminieren wir die Variable aller Gleichungen, beginnend mit der dritten.

Fortsetzung dieses Prozesses, danach
Schritte, die wir bekommen:

(3)

Wenn mindestens eine der Nummern
nicht gleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit inkonsistent und System (1) ist inkonsistent. Umgekehrt für jedes gemeinsame Nummernsystem
gleich Null sind. Nummer ist nichts anderes als der Rang der Systemmatrix (1).

Der Übergang von System (1) nach (3) wird aufgerufen in einer geraden Linie Gaußsche Methode und Finden von Unbekannten aus (3) - rückwärts .

Kommentar : Es ist bequemer, Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst durchzuführen, sondern mit der erweiterten Matrix des Systems (1).

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

.

Fügen wir zu den Zeilen 2,3,4 die erste hinzu, multipliziert mit (-2), (-3), (-2):

.

Lassen Sie uns die Zeilen 2 und 3 vertauschen und dann in der resultierenden Matrix Zeile 2 zu Zeile 4 addieren, multipliziert mit :

.

Addiere zu Zeile 4 Zeile 3 multipliziert mit
:

.

Es ist klar, dass
, also ist das System konsistent. Aus dem resultierenden Gleichungssystem

wir finden die Lösung durch umgekehrte Substitution:

,
,
,
.

Beispiel 2 Systemlösung finden:

.

Es ist offensichtlich, dass das System inkonsistent ist, weil
, a
.

Vorteile der Gauß-Methode :

Weniger zeitaufwändig als die Methode von Cramer.

Stellt eindeutig die Kompatibilität des Systems fest und ermöglicht Ihnen, eine Lösung zu finden.

Gibt die Möglichkeit, den Rang beliebiger Matrizen zu bestimmen.

Die lineare Gleichung wird aufgerufen homogen wenn sein Schnittpunkt Null ist, und ansonsten inhomogen. Ein aus homogenen Gleichungen bestehendes System heißt homogen und hat die allgemeine Form:

Offensichtlich ist jedes homogene System konsistent und hat eine Nulllösung (trivial). Daher muss man in Bezug auf homogene lineare Gleichungssysteme oft nach einer Antwort auf die Frage nach der Existenz von Lösungen ungleich Null suchen. Die Antwort auf diese Frage kann als folgender Satz formuliert werden.

Satz . Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat genau dann eine Lösung ungleich Null, wenn sein Rang kleiner als die Anzahl der Unbekannten ist .

Nachweisen: Angenommen, ein System mit gleichem Rang hat eine Lösung ungleich Null. Offensichtlich nicht überschreiten. In dem Fall hat das System eine eindeutige Lösung. Da das System homogener linearer Gleichungen immer eine Nulllösung hat, wird genau die Nulllösung diese eindeutige Lösung sein. Daher sind Lösungen ungleich Null nur für möglich.

Folge 1 : Ein homogenes Gleichungssystem, in dem die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, hat immer eine Lösung ungleich Null.

Nachweisen: Wenn das Gleichungssystem hat, dann überschreitet der Rang des Systems nicht die Anzahl der Gleichungen, d.h. . Damit ist die Bedingung erfüllt und daher hat das System eine von Null verschiedene Lösung.

Folge 2 : Ein homogenes Gleichungssystem mit Unbekannten hat genau dann eine Lösung ungleich Null, wenn seine Determinante Null ist.

Nachweisen: Nehmen Sie ein System linearer homogener Gleichungen an, dessen Matrix mit Determinante eine von Null verschiedene Lösung hat. Dann ist nach dem bewiesenen Satz , was bedeutet, dass die Matrix entartet ist, d.h. .

Satz von Kronecker-Capelli: Die SLE ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix dieses Systems ist. Ein System ur-th heißt kompatibel, wenn es mindestens eine Lösung hat.

Homogenes System linearer algebraischer Gleichungen.

Ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen heißt ein System von linearen homogenen Gleichungen, wenn alle freien Terme gleich 0 sind. Ein System von linearen homogenen Gleichungen ist immer kompatibel, weil es hat immer mindestens eine Nulllösung. Ein System linearer homogener Gleichungen hat genau dann eine Lösung ungleich Null, wenn der Rang seiner Koeffizientenmatrix bei Variablen kleiner ist als die Anzahl der Variablen, d.h. für Rang A (n. Beliebige Linearkombination

Lösungen des Liniensystems. homogen ur-ii ist auch eine Lösung für dieses System.

Ein System linear unabhängiger Lösungen e1, e2,…,ek heißt fundamental, wenn jede Lösung des Systems eine Linearkombination von Lösungen ist. Satz: Wenn der Rang r der Koeffizientenmatrix bei den Variablen des Systems linearer homogener Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen n, dann besteht jedes fundamentale Lösungssystem des Systems aus n-r Lösungen. Daher die allgemeine Lösung des Liniensystems. Single ur-th hat die Form: c1e1+c2e2+…+ckek, wobei e1, e2,…, ek irgendein fundamentales System von Lösungen ist, c1, c2,…,ck beliebige Zahlen sind und k=n-r. Die allgemeine Lösung eines Systems von m linearen Gleichungen mit n Variablen ist gleich der Summe

die allgemeine Lösung des ihm entsprechenden Systems ist homogen. lineare Gleichungen und eine beliebige spezielle Lösung dieses Systems.

7. Lineare Räume. Unterräume. Grundlage, Maß. Lineare Schale. Linearer Raum genannt n-dimensional, wenn es ein System von linear unabhängigen Vektoren enthält und jedes System von mehr Vektoren linear abhängig ist. Die Nummer wird angerufen Dimension (Anzahl der Messungen) linearer Raum und wird mit bezeichnet. Mit anderen Worten, die Dimension eines Raums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum. Existiert eine solche Zahl, so heißt der Raum endlichdimensional. Wenn es für jede natürliche Zahl n im Raum ein System gibt, das aus linear unabhängigen Vektoren besteht, dann heißt ein solcher Raum unendlichdimensional (schreibe: ). Im Folgenden werden, sofern nicht anders angegeben, endlichdimensionale Räume betrachtet.

Die Basis eines n-dimensionalen linearen Raums ist eine geordnete Menge linear unabhängiger Vektoren ( Basisvektoren).

Satz 8.1 über die Entwicklung eines Vektors nach einer Basis. Wenn es sich um eine Basis eines n-dimensionalen linearen Raums handelt, kann jeder Vektor als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
und darüber hinaus auf einzigartige Weise, d.h. Koeffizienten sind eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten, jeder Raumvektor kann in einer Basis und noch dazu eindeutig erweitert werden.

Tatsächlich ist die Dimension des Raums . Das Vektorsystem ist linear unabhängig (das ist die Basis). Nachdem wir einen beliebigen Vektor mit der Basis verbunden haben, erhalten wir ein linear abhängiges System (da dieses System aus Vektoren in einem n-dimensionalen Raum besteht). Durch die Eigenschaft von 7 linear abhängigen und linear unabhängigen Vektoren erhalten wir die Schlussfolgerung des Satzes.

Schon in der Schule beschäftigte sich jeder von uns mit Gleichungen und natürlich mit Gleichungssystemen. Aber nicht viele Menschen wissen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, sie zu lösen. Heute werden wir alle Methoden zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen, die aus mehr als zwei Gleichungen bestehen, im Detail analysieren.

Geschichte

Heute weiß man, dass die Kunst, Gleichungen und ihre Systeme zu lösen, ihren Ursprung im alten Babylon und Ägypten hat. Gleichheiten in ihrer üblichen Form tauchten jedoch nach dem Aufkommen des Gleichheitszeichens "=" auf, das 1556 vom englischen Mathematiker Record eingeführt wurde. Übrigens wurde dieses Zeichen aus einem bestimmten Grund gewählt: Es bedeutet zwei parallele gleiche Segmente. Tatsächlich gibt es kein besseres Beispiel für Gleichberechtigung.

Begründer der modernen Buchstabenbezeichnungen von Unbekannten und Gradzeichen ist ein französischer Mathematiker, dessen Bezeichnungen sich jedoch deutlich von den heutigen unterschieden. Beispielsweise bezeichnete er das Quadrat einer unbekannten Zahl mit dem Buchstaben Q (lat. „quadratus“) und den Würfel mit dem Buchstaben C (lat. „cubus“). Diese Notationen erscheinen heute umständlich, aber damals war es die verständlichste Art, Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu schreiben.

Ein Nachteil der damaligen Lösungsmethoden war jedoch, dass Mathematiker nur positive Wurzeln betrachteten. Vielleicht liegt das daran, dass negative Werte keinen praktischen Nutzen hatten. Auf die eine oder andere Weise waren es die italienischen Mathematiker Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli, die im 16. Jahrhundert als erste negative Wurzeln betrachteten. Und die moderne Sichtweise, die Hauptlösungsmethode (durch die Diskriminante), wurde erst im 17. Jahrhundert dank der Arbeit von Descartes und Newton geschaffen.

Mitte des 18. Jahrhunderts fand der Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer einen neuen Weg, um das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu erleichtern. Diese Methode wurde später nach ihm benannt und wir verwenden sie bis heute. Aber wir werden etwas später über Cramers Methode sprechen, aber jetzt werden wir lineare Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung getrennt vom System diskutieren.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind die einfachsten Gleichungen mit Variablen. Sie werden als algebraisch klassifiziert. schreiben Sie in allgemeiner Form wie folgt: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... und n * x n \u003d b. Ihre Darstellung in dieser Form werden wir bei der weiteren Zusammenstellung von Systemen und Matrizen benötigen.

Systeme linearer algebraischer Gleichungen

Die Definition dieses Begriffs lautet wie folgt: Es handelt sich um eine Reihe von Gleichungen, die gemeinsame Unbekannte und eine gemeinsame Lösung haben. In der Schule wurde in der Regel alles durch Systeme mit zwei oder sogar drei Gleichungen gelöst. Aber es gibt Systeme mit vier oder mehr Komponenten. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, wie man sie aufschreibt, damit sie später bequem gelöst werden können. Erstens sehen lineare algebraische Gleichungssysteme besser aus, wenn alle Variablen als x mit dem entsprechenden Index geschrieben werden: 1,2,3 und so weiter. Zweitens sollten alle Gleichungen auf die kanonische Form gebracht werden: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Nach all diesen Aktionen können wir darüber sprechen, wie man eine Lösung für lineare Gleichungssysteme findet. Matrizen sind dafür sehr nützlich.

Matrizen

Eine Matrix ist eine Tabelle, die aus Zeilen und Spalten besteht und an deren Schnittpunkt sich ihre Elemente befinden. Dies können entweder bestimmte Werte oder Variablen sein. Meistens werden zur Kennzeichnung von Elementen tiefgestellte Zeichen darunter gesetzt (z. B. eine 11 oder eine 23). Der erste Index bedeutet die Zeilennummer und der zweite die Spaltennummer. Auf Matrizen sowie auf jedem anderen mathematischen Element können Sie verschiedene Operationen ausführen. So können Sie:

2) Multipliziere eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor.

3) Transponieren: Matrixzeilen in Spalten und Spalten in Zeilen umwandeln.

4) Multipliziere Matrizen, wenn die Zeilenzahl der einen gleich der Spaltenzahl der anderen ist.

Wir werden alle diese Techniken ausführlicher besprechen, da sie für uns in Zukunft nützlich sein werden. Das Subtrahieren und Addieren von Matrizen ist sehr einfach. Da wir Matrizen gleicher Größe nehmen, entspricht jedes Element einer Tabelle jedem Element einer anderen. Daher addieren (subtrahieren) wir diese beiden Elemente (es ist wichtig, dass sie sich in ihren Matrizen an denselben Stellen befinden). Wenn Sie eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor multiplizieren, müssen Sie einfach jedes Element der Matrix mit dieser Zahl (oder diesem Vektor) multiplizieren. Die Umsetzung ist ein sehr interessanter Prozess. Es ist manchmal sehr interessant, es im wirklichen Leben zu sehen, zum Beispiel wenn die Ausrichtung eines Tablets oder Telefons geändert wird. Die Symbole auf dem Desktop sind eine Matrix, und wenn Sie die Position ändern, wird sie transponiert und breiter, nimmt jedoch an Höhe ab.

Lassen Sie uns einen solchen Prozess analysieren, obwohl er für uns nicht nützlich sein wird, ist es dennoch nützlich, ihn zu kennen. Sie können zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten in einer Tabelle gleich der Anzahl der Zeilen in der anderen ist. Nehmen wir nun die Elemente einer Reihe einer Matrix und die Elemente der entsprechenden Spalte einer anderen. Wir multiplizieren sie miteinander und addieren sie dann (d.h. zum Beispiel das Produkt der Elemente a 11 und a 12 mit b 12 und b 22 ist gleich: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Somit wird ein Element der Tabelle erhalten, und es wird durch ein ähnliches Verfahren weiter gefüllt.

Jetzt können wir anfangen zu überlegen, wie das lineare Gleichungssystem gelöst wird.

Gauss-Methode

Dieses Thema beginnt in der Schule. Wir kennen das Konzept des "Systems aus zwei linearen Gleichungen" gut und wissen, wie man es löst. Was aber, wenn die Anzahl der Gleichungen mehr als zwei beträgt? Das wird uns helfen

Natürlich ist diese Methode praktisch, wenn Sie aus dem System eine Matrix erstellen. Aber man kann es nicht transformieren und in seiner reinen Form lösen.

Wie wird also das System der linearen Gaußschen Gleichungen mit dieser Methode gelöst? Übrigens, obwohl diese Methode nach ihm benannt ist, wurde sie in der Antike entdeckt. Gauß schlägt folgendes vor: Operationen mit Gleichungen durchzuführen, um schließlich die gesamte Menge auf eine Stufenform zu reduzieren. Das heißt, es ist notwendig, dass von oben nach unten (bei richtiger Platzierung) von der ersten bis zur letzten Gleichung eine Unbekannte abnimmt. Mit anderen Worten, wir müssen sicherstellen, dass wir beispielsweise drei Gleichungen erhalten: in der ersten - drei Unbekannte, in der zweiten - zwei, in der dritten - eine. Dann finden wir aus der letzten Gleichung die erste Unbekannte, setzen ihren Wert in die zweite oder erste Gleichung ein und finden dann die verbleibenden zwei Variablen.

Cramer-Methode

Um diese Methode zu beherrschen, ist es wichtig, die Fähigkeiten der Addition und Subtraktion von Matrizen zu beherrschen, und Sie müssen auch in der Lage sein, Determinanten zu finden. Wenn Sie dies alles schlecht machen oder überhaupt nicht wissen, wie, müssen Sie es lernen und üben.

Was ist die Essenz dieser Methode und wie kann man sie so gestalten, dass man ein System linearer Cramer-Gleichungen erhält? Alles ist sehr einfach. Wir müssen eine Matrix aus numerischen (fast immer) Koeffizienten eines linearen algebraischen Gleichungssystems konstruieren. Dazu nehmen wir einfach die Zahlen vor den Unbekannten und tragen sie in der Reihenfolge, in der sie im System geschrieben sind, in die Tabelle ein. Wenn der Zahl ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, schreiben wir einen negativen Koeffizienten auf. Wir haben also die erste Matrix der Koeffizienten der Unbekannten zusammengestellt, ohne die Zahlen nach den Gleichheitszeichen (natürlich sollte die Gleichung auf die kanonische Form reduziert werden, wenn rechts nur die Zahl steht und alle Unbekannten mit Koeffizienten sind auf der linken Seite). Dann müssen Sie mehrere weitere Matrizen erstellen - eine für jede Variable. Dazu ersetzen wir wiederum in der ersten Matrix jede Spalte mit Koeffizienten durch eine Zahlenspalte nach dem Gleichheitszeichen. So erhalten wir mehrere Matrizen und finden dann ihre Determinanten.

Nachdem wir die Determinanten gefunden haben, ist die Sache klein. Wir haben eine Anfangsmatrix und es gibt mehrere resultierende Matrizen, die verschiedenen Variablen entsprechen. Um die Lösungen des Systems zu erhalten, dividieren wir die Determinante der resultierenden Tabelle durch die Determinante der Anfangstabelle. Die resultierende Zahl ist der Wert einer der Variablen. Ebenso finden wir alle Unbekannten.

Andere Methoden

Es gibt mehrere weitere Methoden, um eine Lösung für lineare Gleichungssysteme zu erhalten. Beispielsweise das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren, das zur Lösungsfindung eines quadratischen Gleichungssystems dient und auch mit der Verwendung von Matrizen verbunden ist. Es gibt auch ein Jacobi-Verfahren zum Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Es ist am einfachsten an einen Computer anzupassen und wird in der Computertechnik verwendet.

Schwierige Fälle

Komplexität entsteht normalerweise, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen. Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass entweder das System inkonsistent ist (d. h. es hat keine Wurzeln) oder die Anzahl seiner Lösungen gegen unendlich geht. Wenn wir den zweiten Fall haben, müssen wir die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems aufschreiben. Es enthält mindestens eine Variable.

Fazit

Hier kommen wir zum Ende. Fassen wir zusammen: Wir haben analysiert, was ein System und eine Matrix sind, und gelernt, wie man eine allgemeine Lösung für ein System linearer Gleichungen findet. Darüber hinaus wurden weitere Optionen geprüft. Wir haben herausgefunden, wie ein lineares Gleichungssystem gelöst wird: die Gauß-Methode, und wir haben über schwierige Fälle und andere Lösungsansätze gesprochen.

Tatsächlich ist dieses Thema viel umfangreicher, und wenn Sie es besser verstehen wollen, dann raten wir Ihnen, spezialisiertere Literatur zu lesen.