Wir haben Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division von ganzen Zahlen definiert. Diese Aktionen (Operationen) haben eine Reihe von charakteristischen Ergebnissen, die als Eigenschaften bezeichnet werden. In diesem Artikel betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen, aus denen alle anderen Eigenschaften dieser Operationen folgen, sowie die Eigenschaften der Subtraktion und Division von ganzen Zahlen.

Seitennavigation.

Ganzzahlige Addition hat mehrere andere sehr wichtige Eigenschaften.

Eine davon bezieht sich auf die Existenz von Null. Diese Eigenschaft der ganzzahligen Addition besagt das Das Hinzufügen von Null zu einer ganzen Zahl ändert diese Zahl nicht. Schreiben wir diese Additionseigenschaft mit den Buchstaben: a+0=a und 0+a=a (diese Gleichheit gilt aufgrund der kommutativen Additionseigenschaft), a ist eine beliebige ganze Zahl. Sie können hören, dass die ganze Zahl Null zusätzlich das neutrale Element genannt wird. Lassen Sie uns ein paar Beispiele geben. Die Summe einer ganzen Zahl –78 und Null ist –78 ; Wenn wir eine positive Ganzzahl 999 zu Null addieren, erhalten wir als Ergebnis die Zahl 999.

Wir werden nun eine weitere Eigenschaft der ganzzahligen Addition formulieren, die mit der Existenz einer Gegenzahl zu jeder ganzen Zahl zusammenhängt. Die Summe einer ganzen Zahl mit ihrer Gegenzahl ist Null. Hier ist die wörtliche Form dieser Eigenschaft: a+(−a)=0 , wobei a und −a entgegengesetzte ganze Zahlen sind. Beispielsweise ist die Summe 901 + (–901) Null; ähnlich ist die Summe der entgegengesetzten ganzen Zahlen –97 und 97 null.

Grundlegende Eigenschaften der Multiplikation ganzer Zahlen

Die Multiplikation ganzer Zahlen hat alle Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen. Wir listen die wichtigsten dieser Eigenschaften auf.

So wie Null eine neutrale ganze Zahl in Bezug auf die Addition ist, ist Eins eine neutrale ganze Zahl in Bezug auf die Multiplikation von ganzen Zahlen. Also, Das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit Eins ändert nichts an der zu multiplizierenden Zahl. Also 1·a=a , wobei a eine beliebige ganze Zahl ist. Die letzte Gleichheit kann als 1=a umgeschrieben werden, dies erlaubt uns, die kommutative Eigenschaft der Multiplikation zu machen. Lassen Sie uns zwei Beispiele geben. Das Produkt der ganzen Zahl 556 mal 1 ist 556; das Produkt aus eins und einer negativen ganzen Zahl –78 ist –78 .

Die nächste Eigenschaft der ganzzahligen Multiplikation bezieht sich auf die Multiplikation mit Null. Das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen ganzen Zahl a mit Null ist Null, also eine 0=0 . Auch die Gleichheit 0·a=0 gilt aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation ganzer Zahlen. In einem besonderen Fall, wenn a = 0, ist das Produkt von Null und Null gleich Null.

Für die Multiplikation ganzer Zahlen gilt auch die der vorherigen entgegengesetzte Eigenschaft. Das behauptet es Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. In wörtlicher Form kann diese Eigenschaft wie folgt geschrieben werden: a·b=0 , wenn entweder a=0 oder b=0 , oder sowohl a als auch b gleichzeitig gleich Null sind.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen in Bezug auf die Addition

Zusammengenommen erlaubt uns die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen, die distributive Eigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Addition zu betrachten, die die beiden angegebenen Aktionen verbindet. Die gemeinsame Verwendung von Addition und Multiplikation eröffnet zusätzliche Möglichkeiten, die uns entgehen würden, wenn wir Addition getrennt von Multiplikation betrachten würden.

Das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition besagt also, dass das Produkt einer ganzen Zahl a und der Summe zweier ganzer Zahlen a und b gleich der Summe der Produkte von a b und a c ist, d.h. a (b+c)=a b+a c. Dieselbe Eigenschaft kann in einer anderen Form geschrieben werden: (a+b) c=a c+b c .

Die distributive Eigenschaft der Multiplikation von ganzen Zahlen in Bezug auf die Addition ermöglicht zusammen mit der assoziativen Eigenschaft der Addition, die Multiplikation einer ganzen Zahl mit der Summe von drei oder mehr ganzen Zahlen und dann die Multiplikation der Summe von ganzen Zahlen mit zu bestimmen Summe.

Beachten Sie auch, dass alle anderen Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen aus den angegebenen Eigenschaften erhalten werden können, das heißt, sie sind Konsequenzen der obigen Eigenschaften.

Eigenschaften der ganzzahligen Subtraktion

Aus der erhaltenen Gleichheit sowie aus den Eigenschaften der Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen folgen die folgenden Eigenschaften der Subtraktion von ganzen Zahlen (a, b und c sind beliebige ganze Zahlen):

• Ganzzahlige Subtraktion hat im Allgemeinen NICHT die Kommutativ-Eigenschaft: a−b≠b−a .
• Die Differenz gleicher ganzer Zahlen ist gleich Null: a−a=0 .
• Die Eigenschaft, die Summe zweier ganzer Zahlen von einer gegebenen ganzen Zahl zu subtrahieren: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Die Eigenschaft, eine ganze Zahl von der Summe zweier ganzer Zahlen zu subtrahieren: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: a (b−c)=a b−a c und (a−b) c=a c−b c.
• Und alle anderen Eigenschaften der ganzzahligen Subtraktion.

Eigenschaften der ganzzahligen Division

Als wir uns über die Bedeutung der Division ganzer Zahlen stritten, fanden wir heraus, dass die Division ganzer Zahlen die Umkehrung der Multiplikation ist. Wir haben die folgende Definition gegeben: Division ganzer Zahlen ist das Finden eines unbekannten Faktors durch ein bekanntes Produkt und einen bekannten Faktor. Das heißt, wir nennen die ganze Zahl c den Quotienten der ganzen Zahl a dividiert durch die ganze Zahl b, wenn das Produkt c·b gleich a ist.

Diese Definition sowie alle oben betrachteten Eigenschaften von Operationen mit ganzen Zahlen ermöglichen es uns, die Gültigkeit der folgenden Eigenschaften der Division von ganzen Zahlen festzustellen:

• Keine ganze Zahl kann durch Null geteilt werden.
• Die Eigenschaft, Null durch eine beliebige ganze Zahl ungleich Null zu teilen a : 0:a=0 .
• Eigenschaft der Division gleicher Ganzzahlen: a:a=1 , wobei a eine beliebige ganze Zahl ungleich Null ist.
• Die Eigenschaft, eine beliebige ganze Zahl a durch eins zu teilen: a:1=a .
• Im Allgemeinen hat die Division von ganzen Zahlen NICHT das Kommutativgesetz: a:b≠b:a .
• Die Eigenschaften der Division der Summe und Differenz zweier ganzer Zahlen durch eine ganze Zahl sind: (a+b):c=a:c+b:c und (a−b):c=a:c−b:c , wobei a , b und c ganze Zahlen sind, so dass sowohl a als auch b durch c teilbar sind und c nicht Null ist.
• Die Eigenschaft, das Produkt zweier ganzer Zahlen a und b durch eine ganze Zahl c ungleich Null zu dividieren: (a b):c=(a:c) b wenn a durch c teilbar ist; (a b):c=a (b:c) wenn b durch c teilbar ist; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) wenn sowohl a als auch b durch c teilbar sind.
• Die Eigenschaft, eine ganze Zahl a durch das Produkt zweier ganzer Zahlen b und c zu teilen (Zahlen a , b und c so, dass eine Teilung von a durch b c möglich ist): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
• Jede andere Eigenschaft der ganzzahligen Division.

Das Addieren einer Zahl zu einer anderen ist ziemlich einfach. Betrachten Sie ein Beispiel, 4+3=7. Dieser Ausdruck bedeutet, dass drei Einheiten zu vier Einheiten hinzugefügt wurden und als Ergebnis sieben Einheiten erhalten wurden.
Die Zahlen 3 und 4, die wir addiert haben, werden aufgerufen Bedingungen. Und das Ergebnis der Addition der Zahl 7 wird aufgerufen Summe.

Summe ist die Addition von Zahlen. Pluszeichen „+“.
In wörtlicher Form würde dieses Beispiel so aussehen:

ein+b=c

Zusatzkomponenten:
a- Begriff, b- Bedingungen, c- Summe.
Wenn wir 4 Einheiten zu 3 Einheiten addieren, erhalten wir als Ergebnis der Addition das gleiche Ergebnis, es ist gleich 7.

Aus diesem Beispiel schließen wir, dass die Antwort unverändert bleibt, egal wie wir die Begriffe austauschen:

Diese Eigenschaft von Termen nennt man Kommutatives Additionsgesetz.

Kommutativgesetz der Addition.

Die Summe ändert sich nicht, wenn die Stellen der Begriffe geändert werden.

In wörtlicher Notation sieht das Kommutativgesetz so aus:

ein+b=b+a

Wenn wir zum Beispiel drei Terme betrachten, nehmen wir die Zahlen 1, 2 und 4. Und wir führen die Addition in dieser Reihenfolge durch, zuerst addieren wir 1 + 2, und dann addieren wir zu der resultierenden Summe von 4, wir erhalten den Ausdruck:

(1+2)+4=7

Wir können das Gegenteil tun, zuerst 2 + 4 addieren und dann zum resultierenden Betrag 1 addieren.Unser Beispiel sieht so aus:

1+(2+4)=7

Die Antwort bleibt gleich. Für beide Additionsarten desselben Beispiels ist die Antwort dieselbe. Wir fassen zusammen:

(1+2)+4=1+(2+4)

Diese Additionseigenschaft wird aufgerufen Assoziatives Additionsgesetz.

Das kommutative und assoziative Additionsgesetz gilt für alle nicht negativen Zahlen.

Assoziatives Additionsgesetz.

Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, kannst du die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.

(ein+b)+c=a+(b+c)

Das Assoziativgesetz funktioniert für beliebig viele Begriffe. Wir verwenden dieses Gesetz, wenn wir Zahlen in einer bequemen Reihenfolge hinzufügen müssen. Lassen Sie uns zum Beispiel drei Zahlen 12, 6, 8 und 4 addieren. Es wäre bequemer, zuerst 12 und 8 zu addieren und dann die Summe von zwei Zahlen 6 und 4 zu der resultierenden Summe hinzuzufügen.
(12+8)+(6+4)=30

Additionseigenschaft mit Null.

Wenn Sie eine Zahl zu Null addieren, ist das Ergebnis dieselbe Zahl.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

In einem wörtlichen Ausdruck würde die Addition mit Null so aussehen:

a+0=a
0+ a=a

Fragen zur Addition natürlicher Zahlen:
Additionstabelle, kompilieren und sehen, wie die Eigenschaft des Kommutativgesetzes funktioniert?
Eine Additionstabelle von 1 bis 10 könnte so aussehen:

Die zweite Version der Additionstabelle.

Wenn wir uns die Additionstabellen ansehen, können wir sehen, wie das Kommutativgesetz funktioniert.

Was ist die Summe im Ausdruck a + b \u003d c?
Antwort: Die Summe ist die Summe der Terme. a+b und c.

Was wird im Ausdruck a + b \u003d c sein?
Antwort: a und b. Die Terme sind die Zahlen, die wir addieren.

Was passiert mit einer Zahl, wenn man 0 dazu addiert?
Antwort: nichts, die Nummer ändert sich nicht. Wenn sie zu Null addiert wird, bleibt die Zahl gleich, weil Null das Fehlen von Einsen ist.

Wie viele Terme müssen in dem Beispiel enthalten sein, damit das assoziative Additionsgesetz angewendet werden kann?
Antwort: ab drei Termen und mehr.

Schreiben Sie das Kommutativgesetz wörtlich auf?
Antwort: a+b=b+a

Beispiele für Aufgaben.
Beispiel 1:
Schreiben Sie die Antwort für die vorgestellten Ausdrücke auf: a) 15+7 b) 7+15
Antwort: a) 22 b) 22

Beispiel #2:
Wende das Kombinationsgesetz auf die Terme an: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Antwort: 20.

Beispiel #3:
Lösen Sie den Ausdruck:
a) 5921+0 b) 0+5921
Lösung:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

So, Im Allgemeinen hat die Subtraktion natürlicher Zahlen NICHT das Kommutativgesetz. Lassen Sie uns diese Aussage in Briefen schreiben. Wenn a und b ungleiche natürliche Zahlen sind, dann a−b≠b−a. Zum Beispiel 45−21≠21−45 .

Die Eigenschaft, die Summe zweier Zahlen von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren.

Die nächste Eigenschaft bezieht sich auf die Subtraktion der Summe zweier Zahlen von einer natürlichen Zahl. Schauen wir uns ein Beispiel an, das uns diese Eigenschaft näher bringt.

Stellen Sie sich vor, wir haben 7 Münzen in unseren Händen. Wir entscheiden uns zuerst, 2 Münzen zu behalten, aber weil wir denken, dass dies nicht ausreichen wird, entscheiden wir uns, eine weitere Münze zu sparen. Basierend auf der Bedeutung des Addierens natürlicher Zahlen kann argumentiert werden, dass wir uns in diesem Fall entschieden haben, die Anzahl der Münzen zu speichern, die durch die Summe 2 + 1 bestimmt wird. Also nehmen wir zwei Münzen, fügen ihnen eine weitere hinzu und legen sie in ein Sparschwein. In diesem Fall wird die Anzahl der Münzen, die wir noch in der Hand haben, durch die Differenz 7−(2+1) bestimmt.

Stellen wir uns nun vor, wir haben 7 Münzen, und wir legen 2 Münzen in das Sparschwein und danach eine weitere Münze. Mathematisch wird dieser Vorgang durch folgenden Zahlenausdruck beschrieben: (7−2)−1 .

Wenn wir die Münzen zählen, die in den Händen bleiben, haben wir im ersten und zweiten Fall 4 Münzen. Das heißt, 7−(2+1)=4 und (7−2)−1=4 , also 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Das betrachtete Beispiel erlaubt es uns, die Eigenschaft zu formulieren, die Summe zweier Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren. Von einer gegebenen natürlichen Zahl eine gegebene Summe zweier natürlicher Zahlen zu subtrahieren ist dasselbe wie das erste Glied dieser Summe von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren und dann das zweite Glied von der resultierenden Differenz zu subtrahieren.

Erinnern Sie sich, dass wir der Subtraktion natürlicher Zahlen nur für den Fall Bedeutung gegeben haben, wenn der Minuend größer oder gleich dem Subtrahend ist. Daher können wir eine bestimmte Summe nur dann von einer bestimmten natürlichen Zahl subtrahieren, wenn diese Summe nicht größer ist als die zu reduzierende natürliche Zahl. Beachten Sie, dass unter dieser Bedingung jeder der Terme die natürliche Zahl nicht überschreitet, von der die Summe subtrahiert wird.

Unter Verwendung von Buchstaben wird die Eigenschaft, die Summe zweier Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren, als Gleichheit geschrieben a−(b+c)=(a−b)−c, wobei a , b und c natürliche Zahlen sind und die Bedingungen a>b+c oder a=b+c erfüllt sind.

Die betrachtete Eigenschaft sowie die assoziative Eigenschaft der Addition natürlicher Zahlen ermöglichen es Ihnen, die Summe von drei oder mehr Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren.

Die Eigenschaft, eine natürliche Zahl von der Summe zweier Zahlen zu subtrahieren.

Wir gehen zur nächsten Eigenschaft über, die sich auf die Subtraktion einer gegebenen natürlichen Zahl von einer gegebenen Summe zweier natürlicher Zahlen bezieht. Betrachten Sie Beispiele, die uns helfen, diese Eigenschaft der Subtraktion einer natürlichen Zahl von der Summe zweier Zahlen zu „sehen“.

Angenommen, wir haben 3 Bonbons in der ersten Tasche und 5 Bonbons in der zweiten, und wir müssen 2 Bonbons geben. Wir können dies auf unterschiedliche Weise tun. Nehmen wir sie der Reihe nach.

Zuerst können wir alle Bonbons in eine Tasche stecken, dann 2 Bonbons daraus entnehmen und verschenken. Lassen Sie uns diese Aktionen mathematisch beschreiben. Nachdem wir die Bonbons in eine Tasche gesteckt haben, wird ihre Anzahl durch die Summe von 3 + 5 bestimmt. Jetzt verschenken wir von der Gesamtzahl der Bonbons 2 Bonbons, während die verbleibende Anzahl der Bonbons, die wir haben, durch die folgende Differenz bestimmt wird (3+5)−2 .

Zweitens können wir 2 Bonbons verschenken, indem wir sie aus der ersten Tasche nehmen. In diesem Fall bestimmt die Differenz 3−2 die verbleibende Anzahl an Bonbons in der ersten Tasche, und die Gesamtzahl an Bonbons, die wir noch haben, wird durch die Summe (3−2)+5 bestimmt.

Drittens können wir 2 Bonbons aus der zweiten Tasche verschenken. Dann entspricht die Differenz 5−2 der Anzahl der verbleibenden Bonbons in der zweiten Tasche, und die gesamte verbleibende Anzahl an Bonbons wird durch die Summe 3+(5−2) bestimmt.

Es ist klar, dass wir in allen Fällen die gleiche Anzahl von Süßigkeiten haben werden. Daher sind die Gleichungen (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) wahr.

Wenn wir nicht 2, sondern 4 Bonbons geben müssten, könnten wir dies auf zwei Arten tun. Verschenken Sie zuerst 4 Bonbons, die Sie zuvor alle in eine Tasche gesteckt haben. In diesem Fall wird die verbleibende Anzahl von Süßigkeiten durch einen Ausdruck wie (3+5)−4 bestimmt. Zweitens konnten wir 4 Bonbons aus der zweiten Tasche verschenken. In diesem Fall ergibt die Gesamtzahl der Bonbons die folgende Summe 3+(5−4) . Es ist klar, dass wir im ersten und zweiten Fall die gleiche Anzahl an Süßigkeiten haben werden, daher ist die Gleichheit (3+5)−4=3+(5−4) wahr.

Nachdem wir die bei der Lösung der vorherigen Beispiele erhaltenen Ergebnisse analysiert haben, können wir die Eigenschaft formulieren, eine gegebene natürliche Zahl von einer gegebenen Summe zweier Zahlen zu subtrahieren. Das Subtrahieren einer gegebenen natürlichen Zahl von einer gegebenen Summe zweier Zahlen ist dasselbe wie das Subtrahieren einer gegebenen Zahl von einem der Terme und das anschließende Addieren der resultierenden Differenz und eines weiteren Terms. Es ist zu beachten, dass die subtrahierte Zahl NICHT größer sein sollte als der Term, von dem diese Zahl subtrahiert wird.

Schreiben wir die Eigenschaft, eine natürliche Zahl von einer Summe zu subtrahieren, mit Buchstaben. Seien a , b und c natürliche Zahlen. Dann, vorausgesetzt, dass a größer oder gleich c ist, dann die Gleichheit (a+b)−c=(a−c)+b, und unter der Bedingung, dass b größer oder gleich c ist, die Gleichheit (a+b)−c=a+(b−c). Wenn sowohl a als auch b größer oder gleich c sind, dann sind die beiden letzten Gleichheiten wahr und können wie folgt geschrieben werden: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Analog kann man die Eigenschaft formulieren, eine natürliche Zahl von der Summe von drei oder mehr Zahlen zu subtrahieren. In diesem Fall kann diese natürliche Zahl von jedem Term subtrahiert werden (natürlich, wenn sie größer oder gleich der zu subtrahierenden Zahl ist), und die verbleibenden Terme können zu der resultierenden Differenz addiert werden.

Um die stimmhafte Eigenschaft zu visualisieren, können wir uns vorstellen, dass wir viele Taschen haben und sie Süßigkeiten enthalten. Angenommen, wir müssen 1 Süßigkeit geben. Es ist klar, dass wir 1 Süßigkeit aus jeder Tasche geben können. Dabei spielt es keine Rolle, aus welcher Tasche wir es geben, da dies keinen Einfluss auf die Anzahl der Süßigkeiten hat, die wir noch haben.

Nehmen wir ein Beispiel. Seien a , b , c und d natürliche Zahlen. Wenn a>d oder a=d , dann ist die Differenz (a+b+c)−d gleich der Summe von (a−d)+b+c . Wenn b>d oder b=d , dann ist (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Wenn c>d oder c=d , dann ist die Gleichheit (a+b+c)−d=a+b+(c−d) wahr.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Eigenschaft, eine natürliche Zahl von der Summe von drei oder mehr Zahlen zu subtrahieren, keine neue Eigenschaft ist, da sie aus den Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen und der Eigenschaft, eine Zahl von der Summe zweier Zahlen zu subtrahieren, folgt.

Referenzliste.

• Mathe. Alle Lehrbücher für die Klassen 1, 2, 3, 4 von Bildungseinrichtungen.
• Mathe. Alle Lehrbücher für 5 Klassen von Bildungseinrichtungen.

Ganze Zahlen

Die zum Zählen verwendeten Zahlen werden aufgerufen natürliche Zahlen Nummer Null gilt nicht für natürliche Zahlen.

eindeutig Zahlen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Zweistellig: 24.56 usw. Dreistellig: 348.569 usw. polysemantisch: 23.562.456789 usw.

Das Aufteilen einer Nummer in Gruppen von 3 Ziffern, beginnend von rechts, wird aufgerufen Klassen: Die ersten drei Ziffern sind die Anteilsklasse, die nächsten drei Ziffern sind die Tausenderklasse, dann Millionen usw.

Segment nenne die von Punkt A nach Punkt B gezogene Linie. Call AB oder BA A B Die Länge der Strecke AB wird aufgerufen Distanz zwischen den Punkten A und B.

Längeneinheiten:

1) 10 cm = 1 dm

2) 100 cm = 1 m

3) 1 cm = 10 mm

4) 1 km = 1000 m

Ebene ist eine Fläche, die keine Kanten hat und sich unendlich in alle Richtungen erstreckt. Gerade hat keinen Anfang und kein Ende. Zwei Geraden, die einen gemeinsamen Punkt haben schneiden. Strahl- Dies ist ein Teil einer geraden Linie, die einen Anfang und kein Ende hat (OA und OB). Die Strahlen, in die ein Punkt eine Gerade teilt, heißen Strahlen zusätzlich gegenseitig.

Koordinatenstrahl:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – Punktkoordinaten. Von zwei natürlichen Zahlen ist die beim Zählen früher aufgerufene kleiner und die beim Zählen später aufgerufene größer. Eins ist die kleinste natürliche Zahl. Das Ergebnis des Vergleichs zweier Zahlen wird als Ungleichung geschrieben: 5< 8, 5670 >368. Die Zahl 8 kleiner als 28 und größer als 5 kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden: 5< 8 < 28

Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen

Zusatz

Zahlen, die sich addieren, werden Terme genannt. Das Ergebnis der Addition heißt Summe.

Zusatzeigenschaften:

1. Verschiebungseigenschaft: Die Summe der Zahlen ändert sich nicht, wenn die Terme neu angeordnet werden: a + b = b + a(a und b sind beliebige natürliche Zahlen und 0) 2. Assoziatives Eigentum: Um die Summe zweier Zahlen zu einer Zahl zu addieren, können Sie zuerst den ersten Term und dann den zweiten Term zur resultierenden Summe addieren: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c(a, b und c sind beliebige natürliche Zahlen und 0).

3. Addition mit Null: Das Hinzufügen von Null ändert die Zahl nicht:

a + 0 = 0 + a = ein(a ist eine beliebige natürliche Zahl).

Die Summe der Seitenlängen eines Polygons heißt den Umfang dieses Polygons.

Subtraktion

Die Aktion, durch die die Summe und einer der Terme einen anderen Term finden, wird aufgerufen Subtraktion.

Die Zahl, von der subtrahiert werden soll, wird aufgerufen reduziert, wird die subtrahierte Zahl aufgerufen abzugsfähig, wird das Ergebnis der Subtraktion aufgerufen Unterschied. Die Differenz zwischen zwei Zahlen zeigt, wie viel Erste Nummer mehr Sekunde oder wie viel zweite Nummer weniger Erste.

Subtraktionseigenschaften:

1. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um die Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie zuerst den ersten Term von dieser Zahl subtrahieren und dann den zweiten Term von der resultierenden Differenz subtrahieren:

a - (b + c) = (a - b) -Mit= ein – b –Mit(b + c > a oder b + c = a).

2. Die Eigenschaft, eine Zahl von einer Summe zu subtrahieren: Um eine Zahl von der Summe zu subtrahieren, können Sie sie von einem Term subtrahieren und einen weiteren Term zur resultierenden Differenz hinzufügen

(a + b) - c \u003d a + (b - c), wenn mit< b или с = b

(a + b) - c \u003d (a - c) + b, wenn mit< a или с = a.

3. Nullsubtraktionseigenschaft: Wenn Sie Null von einer Zahl subtrahieren, ändert sich nichts:

ein - 0 = ein(a ist eine beliebige natürliche Zahl)

4. Die Eigenschaft der Subtraktion von einer Zahl derselben Zahl: Wenn Sie diese Zahl von einer Zahl subtrahieren, erhalten Sie Null:

a - a = 0(a ist eine beliebige natürliche Zahl).

Numerische und alphabetische Ausdrücke

Aktionsdatensätze werden als numerische Ausdrücke bezeichnet. Die Zahl, die als Ergebnis der Ausführung all dieser Aktionen erhalten wird, wird als Wert des Ausdrucks bezeichnet.

Multiplikation und Division natürlicher Zahlen

Multiplikation natürlicher Zahlen und ihre Eigenschaften

Eine Zahl m mit einer natürlichen Zahl n zu multiplizieren bedeutet, die Summe von n Termen zu finden, von denen jeder gleich m ist.

Der Ausdruck m · n und der Wert dieses Ausdrucks heißen das Produkt der Zahlen m und n. Die Zahlen m und n heißen Faktoren.

Multiplikationseigenschaften:

1. Kommutativgesetz der Multiplikation: Das Produkt zweier Zahlen ändert sich nicht, wenn die Faktoren umgestellt werden:

ein b = b ein

2. Assoziative Eigenschaft der Multiplikation: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zuerst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren:

a (b c) = (a b) c.

3. Eigenschaft der Multiplikation mit Eins: Die Summe von n Gliedern, von denen jedes gleich 1 ist, ist gleich n:

1 n = n

4. Eigenschaft der Multiplikation mit Null: Die Summe von n Gliedern, von denen jedes gleich Null ist, ist gleich Null:

0 n = 0

Das Multiplikationszeichen kann weggelassen werden: 8 x = 8x,

oder a b = ab,

oder a (b + c) = a(b + c)

Aufteilung

Die Aktion, bei der das Produkt und einer der Faktoren einen anderen Faktor finden, wird Division genannt.

Die Zahl, die geteilt wird, wird gerufen teilbar; die Zahl, durch die es geteilt wird, wird aufgerufen Teiler, wird das Ergebnis der Division aufgerufen Privatgelände.

Der Quotient gibt an, wie oft der Dividende größer als der Divisor ist.

Du kannst nicht durch Null dividieren!

Teilungseigenschaften:

1. Wenn Sie eine beliebige Zahl durch 1 teilen, erhalten Sie dieselbe Zahl:

ein: 1 = ein.

2. Wenn man eine Zahl durch dieselbe Zahl teilt, erhält man eine Einheit:

a: a = 1.

3. Wenn Sie Null durch eine Zahl teilen, erhalten Sie Null:

0: a = 0.

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch einen anderen Faktor dividieren. 5 x = 45 x = 45: 5 x = 9

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45

Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

Division mit Rest

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Wenn der Rest Null ist, dann sagen wir, dass der Dividende ohne Rest oder sonst vollständig durch den Divisor teilbar ist. Um den Dividenden a beim Teilen mit einem Rest zu finden, ist es notwendig, den unvollständigen Quotienten c mit dem Divisor b zu multiplizieren und den Rest d zum resultierenden Produkt zu addieren.

a = c b + d

Ausdrucksvereinfachung

Multiplikationseigenschaften:

1. Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren:

(a + b)c = ac + bc.

2. Distributivgesetz der Multiplikation gegenüber der Subtraktion: Um die Differenz mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie Minuend und Subtrahend mit dieser Zahl multiplizieren und das zweite vom ersten Produkt subtrahieren:

(a - b) c \u003d ac - bc.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

Reihenfolge der Aktionen

Addition und Subtraktion von Zahlen werden die Aktionen des ersten Schritts genannt, und Multiplikation und Division von Zahlen sind die Aktionen des zweiten Schritts.

Regeln für die Reihenfolge der Aktionen:

1. Wenn der Ausdruck keine Klammern enthält und er Aktionen nur einer Stufe enthält, werden sie in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt.

2. Wenn der Ausdruck die Aktionen des ersten und zweiten Schritts enthält und keine Klammern darin sind, werden zuerst die Aktionen des zweiten Schritts ausgeführt, dann die Aktionen des ersten Schritts.

3. Wenn der Ausdruck Klammern enthält, dann führen Sie zuerst die Aktionen in Klammern aus (unter Berücksichtigung der Regeln 1 und 2)

Jeder Ausdruck gibt das Programm seiner Berechnung an. Es besteht aus Befehlen.

Grad von. Quadrat- und Kubikzahlen

Ein Produkt, bei dem alle Faktoren gleich sind, schreibt man kürzer: a · a · a · a · a · a = a6 Gelesen: a hoch sechs. Die Zahl a wird Basis des Grades genannt, die Zahl 6 ist der Exponent und der Ausdruck a6 heißt Grad.

Das Produkt von n und n heißt Quadrat von n und wird mit n2 (en quadriert) bezeichnet:

n2 = n n

Das Produkt n n n heißt Kubikzahl der Zahl n und wird mit n3 (en cubed) bezeichnet: n3 = n n n

Die erste Potenz einer Zahl ist gleich der Zahl selbst. Wenn der numerische Ausdruck Zahlenpotenzen enthält, werden ihre Werte berechnet, bevor andere Aktionen ausgeführt werden.

Flächen und Volumen

Das Schreiben einer Regel mit Buchstaben wird als Formel bezeichnet. Pfadformel:

s = vt, wobei s der Weg ist, v die Geschwindigkeit ist, t die Zeit ist.

v=s:t

t=s:v

Quadrat. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu finden, multiplizieren Sie seine Länge mit seiner Breite. S=ab, wobei S die Fläche ist, a die Länge ist, b die Breite ist

Zwei Figuren werden als gleich bezeichnet, wenn eine von ihnen der zweiten so überlagert werden kann, dass diese Figuren zusammenfallen. Die Flächen gleicher Figuren sind gleich. Die Umfänge kongruenter Figuren sind gleich.

Die Fläche der gesamten Figur ist gleich der Summe der Flächen ihrer Teile. Die Fläche jedes Dreiecks ist die Hälfte der Fläche des gesamten Rechtecks.

Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten.

Die Fläche eines Quadrats ist gleich dem Quadrat seiner Seite:

Flächeneinheiten

Quadratmillimeter - mm2

Quadratzentimeter - cm2

Quadratdezimeter - dm2

Quadratmeter -m2

Quadratkilometer - km2

Feldflächen werden in Hektar (ha) gemessen. Ein Hektar ist die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 100 m.

Die Flächen kleiner Grundstücke werden in Aren (a) gemessen.

Ar (Weben) - die Fläche eines Quadrats mit einer Seite von 10 m.

1 ha = 10.000 m2

1 dm2 = 100 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2

Wenn Länge und Breite des Rechtecks ​​in unterschiedlichen Einheiten gemessen werden, müssen sie in denselben Einheiten ausgedrückt werden, um die Fläche zu berechnen.

Quader

Die Oberfläche eines Quaders besteht aus 6 Rechtecken, die jeweils als Fläche bezeichnet werden.

Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind gleich.

Die Seiten der Gesichter werden genannt quaderförmige Kanten, und die Scheitelpunkte der Flächen die Ecken des Parallelepipeds.

Ein Quader hat 12 Kanten und 8 Ecken.

Ein Quader hat die drei Dimensionen Länge, Breite und Höhe

Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped mit den gleichen Abmessungen. Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 gleichen Quadraten.

Volumen eines Quaders: Um das Volumen eines Quaders zu ermitteln, multipliziere seine Länge mit seiner Breite mit seiner Höhe.

V=abc, V – Volumen, a Länge, b – Breite, c – Höhe

Würfelvolumen:

Volumeneinheiten:

Kubikmillimeter - mm3

Kubikzentimeter - cm3

Kubikdezimeter - dm3

Kubikmeter - mm3

Kubikkilometer - km3

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1.000.000.000 m3

Kreis und Kreis

Eine geschlossene Linie, die von einem bestimmten Punkt den gleichen Abstand hat, heißt Kreis.

Der Teil der Ebene, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Kreis.

Dieser Punkt wird sowohl Kreismittelpunkt als auch Kreismittelpunkt genannt.

Eine Strecke, die den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet, wird aufgerufen Kreisradius.

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft, heißt Kreisdurchmesser.

Der Durchmesser ist gleich zwei Radien.

Eine Reihe von Ergebnissen, die dieser Aktion innewohnen, kann festgestellt werden. Diese Ergebnisse werden aufgerufen Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen. In diesem Artikel werden wir die Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen im Detail analysieren, sie mit Buchstaben schreiben und erläuternde Beispiele geben.

Seitennavigation.

Assoziativgesetz der Addition natürlicher Zahlen.

Nun geben wir ein Beispiel, das die assoziative Eigenschaft der Addition natürlicher Zahlen veranschaulicht.

Stellen Sie sich eine Situation vor: 1 Apfel fiel vom ersten Apfelbaum und 2 Äpfel und 4 weitere Äpfel fielen vom zweiten Apfelbaum. Stellen Sie sich nun die folgende Situation vor: 1 Apfel und 2 weitere Äpfel sind vom ersten Apfelbaum gefallen, und 4 Äpfel sind vom zweiten Apfelbaum gefallen. Es ist klar, dass sowohl im ersten als auch im zweiten Fall die gleiche Anzahl Äpfel auf dem Boden liegen wird (was durch Nachrechnung verifiziert werden kann). Das heißt, das Ergebnis der Addition der Zahl 1 zur Summe der Zahlen 2 und 4 ist gleich dem Ergebnis der Addition der Summe der Zahlen 1 und 2 zur Zahl 4.

Das betrachtete Beispiel erlaubt uns, das Assoziativgesetz der Addition natürlicher Zahlen zu formulieren: Um eine gegebene Summe zweier Zahlen zu einer gegebenen Zahl zu addieren, kann man den ersten Term dieser Summe zu dieser Zahl addieren und den zweiten Term von addieren diese Summe zum erzielten Ergebnis. Diese Eigenschaft kann mit Buchstaben wie diesen geschrieben werden: a+(b+c)=(a+b)+c, wobei a , b und c beliebige natürliche Zahlen sind.

Bitte beachten Sie, dass in der Gleichheit a+(b+c)=(a+b)+c Klammern „(“ und „)“ stehen. Klammern werden in Ausdrücken verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen ausgeführt werden – Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt (mehr dazu im Abschnitt). Mit anderen Worten, Klammern schließen Ausdrücke ein, deren Werte zuerst ausgewertet werden.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die assoziative Eigenschaft der Addition es uns ermöglicht, die Addition von drei, vier und mehr natürlichen Zahlen eindeutig zu bestimmen.

Die Eigenschaft, Null und eine natürliche Zahl zu addieren, die Eigenschaft, Null zu Null zu addieren.

Wir wissen, dass Null keine natürliche Zahl ist. Warum haben wir uns also entschieden, in diesem Artikel die Additionseigenschaft von Null und einer natürlichen Zahl zu betrachten? Dafür gibt es drei Gründe. Erstens: Diese Eigenschaft wird verwendet, wenn natürliche Zahlen in einer Spalte hinzugefügt werden. Zweitens: Diese Eigenschaft wird beim Subtrahieren natürlicher Zahlen verwendet. Drittens: Wenn wir davon ausgehen, dass Null die Abwesenheit von etwas bedeutet, dann stimmt die Bedeutung der Addition von Null und einer natürlichen Zahl mit der Bedeutung der Addition von zwei natürlichen Zahlen überein.

Lassen Sie uns die Argumentation ausführen, die uns helfen wird, die Additionseigenschaft von Null und einer natürlichen Zahl zu formulieren. Stellen Sie sich vor, dass keine Artikel in der Kiste sind (mit anderen Worten, es sind 0 Artikel in der Kiste), und a Artikel werden darin platziert, wobei a eine beliebige natürliche Zahl ist. Das heißt, 0 und ein Element hinzugefügt. Es ist klar, dass sich nach dieser Aktion ein Gegenstand in der Kiste befindet. Daher ist die Gleichheit 0+a=a wahr.

Wenn eine Box ein Element enthält und 0 Elemente hinzugefügt werden (d. h. es werden keine Elemente hinzugefügt), befindet sich nach dieser Aktion ein Element in der Box. Also a+0=a .

Nun können wir die Eigenschaft der Addition von Null und einer natürlichen Zahl angeben: Die Summe zweier Zahlen, von denen eine Null ist, ist gleich der zweiten Zahl. Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft als folgende Gleichheit schreiben: 0+a=a oder a+0=a, wobei a eine beliebige natürliche Zahl ist.

Unabhängig davon achten wir darauf, dass beim Addieren einer natürlichen Zahl und Null das Kommutativgesetz der Addition wahr bleibt, dh a+0=0+a .

Schließlich formulieren wir die Null-Null-Additionseigenschaft (sie ist ziemlich offensichtlich und bedarf keiner zusätzlichen Kommentare): die Summe zweier Zahlen, die jeweils Null sind, ist Null. Also, 0+0=0 .

Jetzt ist es an der Zeit, herauszufinden, wie die Addition natürlicher Zahlen durchgeführt wird.

Referenzliste.

• Mathe. Alle Lehrbücher für die Klassen 1, 2, 3, 4 von Bildungseinrichtungen.
• Mathe. Alle Lehrbücher für 5 Klassen von Bildungseinrichtungen.