Courant-Isakson-Ries-Schema(KIR), der manchmal auch mit dem Namen S.K. verbunden ist. Godunov, es stellt sich heraus, wenn , 
. Seine Näherungsordnung ist . Das KIR-Schema ist bedingt stabil, d. h. wenn die Courant-Bedingung erfüllt ist 
. Stellen wir die Differenzengleichungen für das Courant-Isakson-Ries-Schema an internen Punkten des Rechenbereichs dar:
Diese Schemata, auch Schema mit Differenzen gegen den Wind (in der englischen Literatur - gegen den Wind) genannt, können in der Form geschrieben werden
Ihr Vorteil ist eine genauere Darstellung des Abhängigkeitsbereichs der Lösung. Wenn wir die Notation einführen
dann können beide Schemata in den folgenden Formen geschrieben werden:
(Flussform der Differenzengleichung);
(hier ist der Begriff mit dem zweiten Unterschied deutlich hervorgehoben, was dem Schema Stabilität verleiht);
(Gleichung in endlichen Schritten).
Lassen Sie uns auch darüber nachdenken Methode der unsicheren Koeffizienten Um ein Differenzenschema zu konstruieren, ist die rechte Ecke der ersten Genauigkeitsordnung für die Transportgleichung erforderlich
Das Schema kann im Formular dargestellt werden
Das Courant-Isakson-Rees-Schema steht in engem Zusammenhang mit numerischen Charakteristikmethoden. Lassen Sie uns kurz die Idee solcher Methoden beschreiben.
Die letzten beiden erhaltenen Schemata (mit unterschiedlichen Vorzeichen der Übertragungsrate) können wie folgt interpretiert werden. Konstruieren wir eine Charakteristik, die durch den Knoten (t n + 1, x m) verläuft, dessen Wert bestimmt werden muss, und die Schicht t n am Punkt schneidet 
. Zur Bestimmtheit gehen wir davon aus, dass die Übertragungsrate c positiv ist.
Wenn wir zeitlich eine lineare Interpolation zwischen den Knoten x m - 1 und x m auf der untersten Ebene durchführen, erhalten wir
Als nächstes übertragen wir den Wert u n (x") entlang der Kennlinie unverändert in die obere Schicht t n + 1, d.h. wir setzen 
. Es ist selbstverständlich, den letzten Wert als Näherungslösung zu betrachten homogene Gleichungüberweisen. In diesem Fall
oder, um von der Courant-Zahl wieder zu den Gitterparametern überzugehen,
diese. Mit einer anderen Methode gelangten wir zu dem bereits bekannten Schema der „linken Ecke“, das für stabil ist. Wenn der Schnittpunkt der den Knoten verlassenden Charakteristik (t n + 1, x m, mit der n-ten Schicht in der Zeit links vom Knoten (t n, x m - 1) liegt. Um eine Lösung zu finden, ist es also ist keine Interpolation mehr, sondern eine Extrapolation, die sich als instabil erweist.
Die Instabilität des Schemas der „rechten Ecke“ für c > 0 ist ebenfalls offensichtlich. Um dies zu beweisen, kann man entweder das Spektralmerkmal oder die Courant-, Friedrichs- und Levy-Bedingung verwenden. Ähnliche Überlegungen können für den Fall c angestellt werden< 0 и схемы "правый уголок".
Instabil Vierpunktschaltung stellt sich heraus wann 
, seine Näherungsordnung. Die Gittergleichungen für das Differenzenschema haben die folgende Form:
Lax-Wendroff-Schema passiert wenn 
. Die Approximationsordnung des Lax-Wendroff-Schemas ist 
. Das Schema ist unter der Courant-Bedingung stabil .
Dieses Schema kann entweder durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder durch genauere Berücksichtigung des führenden Termes des Approximationsfehlers erhalten werden. Betrachten wir den Prozess der Ableitung des Lax-Wendroff-Schemas genauer. Wenn wir eine Studie des vorherigen Vier-Punkte-Approximationsschemas durchführen (und die Studie ist recht elementar und läuft darauf hinaus, die Projektionsfunktion auf das Gitter der exakten Lösung des Differentialproblems in einer Taylor-Reihe zu erweitern), erhalten wir für die Hauptsache Laufzeit des Fehlers
Bei der Ableitung des Ausdrucks für den Hauptterm des Approximationsfehlers wurde eine Konsequenz der ursprünglichen Differentialtransportgleichung verwendet
Dies erhält man, indem man die ursprüngliche Gleichung (3.3) zuerst nach der Zeit t, dann nach der x-Koordinate differenziert und die resultierenden Beziehungen voneinander subtrahiert.
Als nächstes ersetzen zweite Ableitung Im zweiten Term auf der rechten Seite mit einer Genauigkeit von O(h 2) erhalten wir ein neues Differenzenschema, das dem Original nahe kommt Differentialgleichung mit Präzision . Die Gittergleichungen für das Lax-Wendroff-Schema an den internen Knoten der Rechengitter lauten
Implizites Sechs-Punkte-Schema tritt bei q = 0 auf; wenn seine Näherungsordnung , bei .
Teil zwei des Buches ist der Konstruktion und Untersuchung von Differenzenschemata für gewöhnliche Differentialgleichungen gewidmet. Gleichzeitig führen wir in die Theorie der Differenzenschemata die Grundbegriffe Konvergenz, Approximation und Stabilität ein, die allgemeiner Natur sind. Die Vertrautheit mit diesen Konzepten, die im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen erworben wurde, wird es in Zukunft ermöglichen, sich bei der Untersuchung von Differenzenschemata für partielle Differentialgleichungen auf die zahlreichen Merkmale und Schwierigkeiten zu konzentrieren, die für diese sehr vielfältige Klasse von Problemen charakteristisch sind.
KAPITEL 4. ELEMENTARE BEISPIELE FÜR DIFFERENZSCHEMA
In diesem Kapitel betrachten wir einführende Beispiele von Differenzschemata, die nur für eine vorläufige Bekanntschaft mit den Grundkonzepten der Theorie gedacht sind.
§ 8. Das Konzept der Ordnung der Genauigkeit und Annäherung
1. Genauigkeitsreihenfolge des Differenzschemas.
Dieser Abschnitt ist der Frage der Konvergenz von Lösungen von Differenzengleichungen gewidmet, wenn das Netz zu Lösungen von Differentialgleichungen verfeinert wird, die sie approximieren. Wir beschränken uns hier auf die Untersuchung zweier Differenzschemata zur numerischen Lösung des Problems
Beginnen wir mit dem einfachsten Differenzenschema, das auf der Verwendung der Differenzengleichung basiert
Teilen wir das Segment in Schritte der Länge h auf. Es ist zweckmäßig zu wählen, dass N eine ganze Zahl ist. Wir nummerieren die Teilungspunkte von links nach rechts, also . Der aus dem Differenzschema an einem Punkt erhaltene Wert wird mit „Setzen Sie den Anfangswert“ bezeichnet. Sagen wir es. Die Differenzgleichung (2) impliziert die Beziehung
Daraus ergibt sich die Lösung der Gleichung (2) unter der Anfangsbedingung:
Die genaue Lösung des Problems (1) hat die Form . Es nimmt den Wert an
Lassen Sie uns nun eine Schätzung des Fehlerwerts der Näherungslösung (3) finden. Dieser Fehler an der Stelle wird sein
Uns interessiert, wie sie abnimmt, wenn die Anzahl der Teilungspunkte zunimmt, oder, was dasselbe ist, wenn die Schrittweite des Differenzgitters abnimmt. Um dies herauszufinden, stellen wir es in der Form dar
Somit wird Gleichheit (3) die Form annehmen
d. h. der Fehler (5) geht gegen Null und die Größe des Fehlers liegt in der Größenordnung der ersten Potenz der Stufe.
Auf dieser Grundlage sagen sie, dass das Differenzenschema die Genauigkeit erster Ordnung hat (nicht zu verwechseln mit der Ordnung der in § 1 definierten Differenzengleichung).
Lösen wir nun Problem (1) mit der Differenzengleichung
Das ist nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheinen mag. Tatsache ist, dass das betrachtete Schema eine Differenzengleichung zweiter Ordnung ist, d. h. es erfordert die Angabe von zwei Anfangsbedingungen, während die integrierbare Gleichung (1) eine Gleichung erster Ordnung ist und wir für sie nur angeben. Es ist natürlich zu sagen.
Es ist nicht klar, wie man sie einstellt. Um dies zu verstehen, verwenden wir die explizite Form der Lösung von Gleichung (7) (siehe § 3 Formeln):
Die Erweiterung (9) gemäß der Taylor-Formel der Wurzeln der charakteristischen Gleichung ermöglicht es uns, Näherungsdarstellungen für anzugeben. Lassen Sie uns die Ableitung einer solchen Darstellung im Detail durchführen –
Seit damals
Eine ganz ähnliche Berechnung werden wir für nicht durchführen, sondern gleich das Ergebnis aufschreiben:
Wenn wir Näherungsausdrücke in Formel (8) einsetzen, erhalten wir
Alle weiteren Schlussfolgerungen werden wir durch das Studium dieser Formel erhalten.
Beachten Sie, dass, wenn der Koeffizient zum endlichen Grenzwert b tendiert, der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (12) zur gewünschten Lösung des Problems (1) tendiert.
Abschnitt Nr. 10. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Differenzenschemata für Gleichungen vom elliptischen Typ |
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Verschiedene Randwertprobleme und Approximation von Randbedingungen |
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Konstruktion eines Differenzenschemas im Fall des Dirichlet-Problems für die Poisson-Gleichung |
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Matrix-Sweep-Methode |
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Iterative Methode zur Lösung eines Differenzenschemas für das Dirichlet-Problem |
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Parabolische Gleichung. Explizite und implizite Finite-Differenzen-Methoden |
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Sweeping-Methoden für parabolische Gleichungen |
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Subject Index |
Differenzschemata. Grundlegendes Konzept
Sei D ein bestimmter Änderungsbereich der unabhängigen Variablen x, y, begrenzt durch eine Kontur. Sie sagen, dass eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion U(x, y) im Bereich D gegeben ist, wenn für jeden Punkt im Bereich D die folgende Beziehung gilt:
∂2U |
∂2U |
∂2U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
wobei a(x, y), b(x, y), . . . - Koeffizienten, f(x, y) - freier Term der Gleichung. Diese Funktionen sind bekannt und werden üblicherweise als im geschlossenen Bereich D = D + definiert betrachtet.
Der Lösungsgraph stellt eine Fläche im Oxyz-Raum dar.
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Bezeichnen wir δ(x, y) = b2 − ac. Die Gleichung L(U) = f heißt elliptisch, parabolisch oder |
hyperbolisch in D, wenn die Bedingungen δ(x, y) entsprechend erfüllt sind< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 für |
alle (x, y) D. |
Je nach Art der Differentialgleichung werden die Anfangsgrenzwerte unterschiedlich festgelegt |
(10.1): |
Poisson-Gleichung (Gleichung vom elliptischen Typ) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Zurück Erstes Vorheriges Nächstes Letztes Gehe zum Index |
Wärmegleichung (parabolische Gleichung)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Wellengleichung (Gleichung vom hyperbolischen Typ)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Konvergenz, Approximation und Stabilität von Differenzschemata
Sei U eine Lösung der Differentialgleichung
gegeben in D. Betrachten Sie eine bestimmte Menge Dh = (Mh), die aus isolierten Punkten Mh besteht, die zum geschlossenen Bereich D = D + gehören. Die Anzahl der Punkte in Dh wird durch den Wert h charakterisiert; je kleiner h, desto größer die Anzahl der Punkte in Dh. Die Menge Dh heißt Gitter und die Punkte Mh Dh heißen Gitterknoten. Eine an Knoten definierte Funktion wird als Gitterfunktion bezeichnet. U bezeichne den Raum der in D stetigen Funktionen V (x, y). Uh bezeichne den Raum, der durch die Menge der auf Dh definierten Gitterfunktionen Vh (x, y) gebildet wird. Bei der Gittermethode wird der Raum U durch den Raum Uh ersetzt.
Sei U(x, y) eine exakte Lösung der Gleichung ((10.2)) und U(x, y) gehöre zu U. Stellen wir uns das Problem, die Werte von Uh (x, y) zu finden. Diese Werte bilden zusammen eine Tabelle, in der die Anzahl der Werte angegeben ist
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gleich der Anzahl der Punkte in Dh. Es kommt selten vor, dass ein präzise gestelltes Problem gelöst werden kann. In der Regel ist es möglich, einige Gitterwerte U(h) zu berechnen, von denen ausgegangen werden kann
U(h) ≈ Uh (x, y).
Die Größen U(h) heißen ungefähre Gitterwerte der Lösung U(x, y). Um sie zu berechnen, erstellen wir ein System numerischer Gleichungen, die wir in das Formular schreiben
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
es gibt einen Differenzoperator, |
entsprechend dem Betreiber |
|||||||||||||
wird von F auf die gleiche Weise wie U gebildet |
wurde nach U gebildet. Formel (10.3) nennen wir die Differenz |
|||||||||||||
planen. Es seien die Normen k · kU h und k · kF h in die linearen Räume Uh bzw. Fh eingeführt, die Gitteranaloge der Normen k · kU und k · kF in den ursprünglichen Räumen sind. Wir werden sagen, dass das Differenzenschema (10.3) konvergent ist, wenn die Bedingung erfüllt ist, wenn h → 0
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Wenn die Bedingung erfüllt ist
kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,
wobei c eine von h unabhängige Konstante und s > 0 ist, dann sagen wir, dass es eine Konvergenz mit einer Geschwindigkeit in der Größenordnung von s relativ zu h gibt.
Sie sagen, dass das Differenzenschema (10.3) das Problem (10.2) auf der Lösung U(x, y) approximiert, wenn
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) und |
δf(h) F h → 0 als h → 0. |
|
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Die Größe δf(h) wird Approximationsfehler oder Residuum des Differenzenschemas genannt. Wenn
δf (h) F h 6 Mh σ , wobei M eine von h unabhängige Konstante und σ > 0 ist, dann sagen wir, dass ein Differenzenschema ( 10.3 ) auf der Lösung U(x, y) mit einem Fehler in der Größenordnung von σ relativ zu h.
Das Differenzenschema (3) heißt stabil, wenn es h0 > 0 gibt, so dass für alle h gilt< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Das Differenzenschema (10.3) hat eine eindeutige Lösung; |
||||
U (h) U h |
f(h) F h , wobei M eine von h und f(h) unabhängige Konstante ist. |
|||
Mit anderen Worten: Ein Differenzenschema ist stabil, wenn seine Lösung kontinuierlich von den Eingabedaten abhängt. Stabilität charakterisiert die Empfindlichkeit des Schemas gegenüber verschiedenen Arten von Fehlern; sie ist eine interne Eigenschaft des Differenzproblems und diese Eigenschaft steht im Gegensatz zu Konvergenz und Approximation nicht in direktem Zusammenhang mit dem ursprünglichen Differentialproblem. Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Konzepten Konvergenz, Approximation und Stabilität. Es besteht darin, dass Konvergenz aus Annäherung und Stabilität folgt.
Satz 1 Lassen Sie das Differenzschema L h (U h (x, y)) = f (h) kommt dem Problem nahe L(U) = f auf der Lösung U(x, y) mit Ordnung s relativ zu h und nachhaltig. Dann wird dieses Schema konvergieren und die Reihenfolge seiner Konvergenz wird mit der Reihenfolge der Annäherung übereinstimmen, d.h. es wäre eine faire Einschätzung
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
wobei k eine von h unabhängige Konstante ist.
Nachweisen . Per Definition der Näherung haben wir
Beispiel 1. Differenzenschema für die Poisson-Gleichung vom elliptischen Typ.
Betrachten wir die Konstruktion eines Differenzenschemas für das erste Randwertproblem der Gleichung A u = f(x,y) in einem Bereich, der ein Rechteck mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen ist. Dieses Rechteck soll einem einheitlichen Raster mit Stufen zugeordnet werden h x Und h y .
Grenzwertproblem
kann in Operatorform geschrieben werden:
Beachten Sie, dass dieser Eintrag auch Randbedingungen enthält.
Indem wir Differentialoperatoren durch Differenzoperatoren ersetzen, erhalten wir die Gleichungen
die die ursprüngliche Differentialgleichung zweiter Ordnung approximieren 0(h 2 + h 2) Genauigkeit und Betrieb an allen internen Punkten der Region.
Differenzanaloge von Randbedingungen haben die Form
Die Differenzennäherung der Differentialgleichung bildet zusammen mit den Differenzanalogen der Randbedingungen ein Differenzenschema für die Poisson-Gleichung.
Analog zum Randwertproblem lässt sich das Differenzenschema in Operatorform schreiben:
wobei in L/ sowohl die Differenzengleichung als auch die Differenzenrandbedingung enthalten sind:
Die Differenzengleichung setzt die Werte der Gitterfunktion an fünf bildenden Punkten in Beziehung Differenzmuster für diese Gleichung. Für diesen Fall wird dieses Muster aufgerufen kreuzen. Man kann sich andere Muster für diese Gleichung vorstellen.
Eine näherungsweise Lösung des Differentialrandwertproblems erhalten wir, wenn wir die Werte der Gitterfunktion an allen internen Knoten des Gebiets bestimmen. Dazu ist es notwendig, gemeinsam ein System algebraischer linearer Gleichungen zu lösen, dessen Dimension gleich der Anzahl der internen Knoten der Region ist. In diesem Fall sprechen wir von einem impliziten Differenzschema. Jeder Wert, der uns interessiert Uij kann nur aus der Lösung des gesamten Differenzenproblems bestimmt werden.
Bezüglich des Gleichungssystems stellen wir zwei Umstände fest.
- 1. Das System hat eine sehr hohe Abmessung (M - 1) x (N- 1) und traditionelle Methoden der exakten Lösung (z. B. die Gauß-Methode) erfordern zur Lösung eine Reihe algebraischer Operationen, die proportional zur dritten Potenz der Dimension des Systems sind.
- 2. Die Systemmatrix hat viele Nullelemente (lose Matrix). Dieser Umstand ermöglicht es, wirtschaftliche Methoden für Näherungslösungen zu entwickeln.
Die betrachtete Formulierung des Differenzenproblems ist typisch für elliptische Gleichungen. In der Gasdynamik ist dies die Gleichungsform für die Strömungsfunktion bzw. für das Geschwindigkeitspotential. In anderen Abschnitten werden wir uns mit effizienten Methoden zur Lösung solcher Differenzschemata befassen.
Reis. 2.8.
PRI M 2. Differenzenschema für die einfachste parabolische Gleichung (instationäre Wärmeleitfähigkeit in einem Stab mit Einheitslänge).
Betrachten Sie das folgende Problem:
Beachten wir, dass wir im Fall einer Parabelgleichung einen offenen Bereich haben. Beim Aufbau eines Differenzenschemas ergeben sich mehrere Möglichkeiten für den Zusammenhang zwischen den Differenzenableitungen in Raum und Zeit.
Integrieren wir die Gleichung innerhalb eines Zeitschritts:
Je nachdem, mit welcher Quadraturformel wir das Integral auf der rechten Seite berechnen, erhalten wir unterschiedliche Differenzenschemata (Abb. 2.9).
Indem man die Differenzzeitableitung mit der räumlichen Ableitung in Beziehung setzt, die auf definiert ist P-te Zeitschicht erhalten wir
explizites „Differenzschema“
Dies entspricht einer näherungsweisen Berechnung des Integrals auf der rechten Seite von (2.12), jedoch unter Verwendung der Methode der linken Rechtecke.
Reis. 2.9. Raster und Vorlagen für die Wärmegleichung: A - Fläche und Raster; B- explizite Schemavorlage; V- implizite Schemavorlage; G- Vorlage einer Familie von Sechs-Punkt-Stromkreisen; D- Diagrammvorlage
„Überspringen“
Die obige Formel enthält auch eine Methode zur Lösung von Gittergleichungen:
Rasterfunktionswert auf der nächsten Zeitebene
wird durch die bekannten Werte von gf im vorherigen bestimmt. Sequentielles, schichtweises Fortbewegen vom Ausgangszustand aus ihre, 0) = y(x), Die Lösung kann im gesamten Rechenbereich gefunden werden. Das Differenzmuster für dieses Schema ist in Abb. dargestellt. 2,9, B.
Schätzen des Integrals anhand des Werts des Integranden auf der Ebene P+ 1 verwenden wir eine Differenzvorlage wie Abb. 2.9, b, und das Differenzanalogon der Differentialgleichung nimmt die Form an
Um die Werte der Gitterfunktion in der nächsten Zeitschicht zu finden, ist es bei Verwendung dieses Differenzenschemas notwendig, so viele Gleichungen der Form (2.14) gemeinsam zu lösen, wie sich interne Knoten darauf befinden P - 1.-1. temporäre Schicht. Unter Berücksichtigung der Randbedingungen = / n+1, Mg Г +1 = m n+1 ermöglicht uns das System, eine Lösung auf der nächsten Zeitschicht mit bekannten Werten der Gitterfunktion auf der vorherigen zu konstruieren. Indem man von den Anfangswerten in Schichten übergeht, für die jeweils ein Gleichungssystem gelöst werden muss, ist es möglich, eine Näherungslösung im gesamten Bereich zu konstruieren.
Das betrachtete Differenzschema ist ein Beispiel implizites Differenzschema, Man nennt es ein Look-Ahead-Schema oder ein rein implizites Schema.
Das Sechs-Punkte-Differenzmuster erzeugt eine Familie von Differenzschemata, von denen die beiden vorherigen Sonderfälle sind:
Bei a = 0 haben wir ein explizites Schema, mit a = I- implizit mit Vorschuss, mit A> 0 – implizit. Bei A - 0,5 erhalten wir die in der Computerpraxis weithin bekannte symmetrische Gleichung Diagramm von Crank Nicholson.
Die oben genannten Schemata erschöpfen natürlich nicht die gesamte Vielfalt der Differenzenschemata, die auf der Differenzennäherung von Differentialoperatoren basieren. Hier ist ein Beispiel für ein explizites Differenzschema, das auf der Zeitableitungszentrierung basiert und eine Gitterfunktion auf drei Zeitebenen verwendet:
Das Differenzmuster erfasst drei Zeitschichten. Das Schema hat eine zweite Näherungsordnung sowohl in der Zeit als auch in der räumlichen Variablen und ist explizit. Dieses Schema weist eine Reihe erheblicher Nachteile auf, von denen die meisten durch einen Austausch beseitigt werden können Und” in der Näherung der räumlichen Ableitung durch den Mittelwert über zwei Zeitschichten:
Das so erhaltene explizite Dreischichtschema
angerufen Dufortpe-Frankel-Schema und das Fehlen eines Gitterfunktionswerts im zentralen Knoten erklärt den Namen „Leapfrog“, der manchmal für Schemata dieser Art verwendet wird.
Anhand von Beispielen wurde gezeigt, dass es für dasselbe Randwertproblem möglich ist, mehrere unterschiedliche Differenzenschemata zu schreiben, d. h. Dem Forscher steht eine recht große Auswahl zur Verfügung. Welche Bedingungen muss das Differenzenschema erfüllen, damit die Differenzenlösung der Lösung des ursprünglichen Differentialproblems entspricht? Dieses Problem wird im nächsten Abschnitt behandelt.
Unter Verwendung einer Vorlage für jeden internen Knoten des Lösungsbereichs wird die Wärmeleitungsgleichung angenähert
Von hier aus finden wir:
Unter Verwendung der Anfangs- und Randbedingungen werden die Werte der Gitterfunktion an allen Knoten auf der Nullzeitebene gefunden.
Dann verwenden Sie die Beziehungen
Die Werte dieser Funktionen finden sich in allen internen Knoten auf der ersten Zeitebene, danach finden wir den Wert an den Grenzknoten
Als Ergebnis ermitteln wir den Wert der Merkmale in allen Knoten auf der ersten Zeitebene. Anschließend finden wir mithilfe dieser Beziehungen alle anderen Werte usw.
Im betrachteten Differenzenschema wird der Wert der gewünschten Funktion auf der nächsten Zeitebene direkt und explizit anhand der Formel ermittelt
Daher wird das betrachtete Differenzschema, das dieses Muster verwendet, aufgerufen explizites Differenzschema . Seine Genauigkeit liegt in der Größenordnung.
Dieses Differenzschema ist einfach anzuwenden, weist jedoch einen erheblichen Nachteil auf. Es stellt sich heraus, dass das explizite Differenzschema hat eine stabile Lösung nur für den Fall, dass wenn die Bedingung erfüllt ist :
Explizites Differenzschema ist bedingt stabil . Ist die Bedingung nicht erfüllt, führen kleine Rechenfehler, beispielsweise beim Runden von Computerdaten, zu einer starken Änderung der Lösung. Die Lösung wird unbrauchbar. Diese Bedingung führt zu sehr strengen Einschränkungen des Zeitschritts, die aufgrund einer erheblichen Erhöhung der Rechenzeit zur Lösung dieses Problems möglicherweise nicht akzeptabel sind.
Betrachten Sie ein Differenzschema mit einem anderen Muster
Methode 36
Implizites Differenzenschema für die Wärmegleichung.
Setzen wir in die Wärmeleitungsgleichung ein:
Diese Relation wird für jeden internen Knoten auf Zeitebene geschrieben und durch zwei Relationen ergänzt, die die Werte an den Randknoten bestimmen. Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Werte der Funktion auf der Zeitebene.
Das Schema zur Lösung des Problems ist wie folgt:
Unter Verwendung der Anfangs- und Randbedingungen wird der Wert der Funktion auf der Nullzeitebene ermittelt. Anschließend wird unter Verwendung dieser Beziehungen und Randbedingungen ein System linearer algebraischer Gleichungen erstellt, um den Wert der Funktion auf der ersten Zeitebene zu ermitteln. Anschließend wird das System erneut unter Verwendung dieser Beziehungen erstellt und die Werte ermittelt auf der zweiten Zeitebene usw.
Unterschied zum expliziten Schema- Werte auf der nächsten Zeitebene werden nicht direkt anhand einer vorgefertigten Formel berechnet, sondern durch Lösen eines Gleichungssystems ermittelt, d. h. Die Werte der Unbekannten werden implizit durch Lösen des SLAE ermittelt. Daher wird das Differenzschema als implizit bezeichnet. Im Gegensatz zu explizit ist implizit absolut stabil.
Thema Nr. 9
Optimierungsprobleme.
Diese Probleme gehören zu den wichtigsten Problemen der angewandten Mathematik. Optimierung bedeutet Auswahl der besten Option aus allen möglichen Lösungen für ein bestimmtes Problem. Dazu ist es notwendig, das zu lösende Problem mathematisch zu formulieren und den Konzepten von besser oder schlechter eine quantitative Bedeutung zu geben. Typischerweise ist es während des Lösungsprozesses notwendig, die optimierten Parameterwerte zu finden. Diese Parameter werden aufgerufen Design. Und die Anzahl der Designparameter bestimmt Dimension des Problems.
Eine quantitative Bewertung der Lösung erfolgt anhand einer bestimmten Funktion in Abhängigkeit von den Entwurfsparametern. Diese Funktion wird aufgerufen Ziel . Es ist so aufgebaut, dass der optimalste Wert dem Maximum (Minimum) entspricht.
- Zielfunktion.
Die einfachsten Fälle liegen vor, wenn die Zielfunktion von einem Parameter abhängt und durch eine explizite Formel angegeben wird. Es kann mehrere Zielfunktionen geben.
Beispielsweise ist es bei der Konstruktion eines Flugzeugs notwendig, gleichzeitig maximale Zuverlässigkeit, minimales Gewicht und minimale Kosten usw. sicherzustellen. Geben Sie in solchen Fällen ein Prioritätssystem . Jeder Zielfunktion wird ein bestimmter Zielmultiplikator zugeordnet, wodurch eine verallgemeinerte Zielfunktion (Kompromissfunktion) entsteht.
Normalerweise wird die optimale Lösung durch eine Reihe von Bedingungen begrenzt, die mit der physikalischen Funktion des Problems zusammenhängen. Diese Bedingungen können in Form von Gleichheiten oder Ungleichheiten vorliegen
Theorie und Methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen bei Vorliegen von Restriktionen sind Gegenstand der Forschung in einem der Zweige der angewandten Mathematik – mathematische Programmierung.
Wenn die Zielfunktion in Bezug auf die Entwurfsparameter linear ist und die den Parametern auferlegten Einschränkungen ebenfalls linear sind, dann ist dies der Fall Problem der linearen Programmierung . Betrachten wir Methoden zur Lösung eines eindimensionalen Optimierungsproblems.
Es ist erforderlich, die Werte zu finden, bei denen die Zielfunktion einen Maximalwert hat. Wenn die Zielfunktion analytisch angegeben wird und ein Ausdruck für ihre Ableitungen gefunden werden kann, wird die optimale Lösung entweder an den Enden des Segments oder an den Punkten erreicht, an denen die Ableitung verschwindet. Das sind die kritischen Punkte und . Es ist notwendig, die Werte der Zielfunktion an allen kritischen Punkten zu finden und den maximalen auszuwählen.
Im Allgemeinen werden verschiedene Suchmethoden verwendet, um eine Lösung zu finden. Dadurch verengt sich das Segment, das die optimale Lösung enthält.
Schauen wir uns einige der Suchmethoden an. Nehmen wir an, dass die Zielfunktion auf dem Intervall ein Maximum hat. In diesem Fall wird durch Division durch Knotenpunkte, deren Anzahl ist, die Zielfunktion an diesen Knotenpunkten berechnet. Nehmen wir an, dass der Maximalwert der Zielfunktion am Knoten liegt, dann können wir davon ausgehen, dass die optimale Lösung im Intervall liegt. Dadurch wurde das Segment mit der optimalen Lösung eingegrenzt. Das resultierende neue Segment wird erneut in Teile unterteilt usw. Mit jeder Partitionierung wird das Segment, das die optimale Lösung enthält, um einen Faktor reduziert.
Nehmen wir an, dass Verengungsschritte durchgeführt wurden. Dann wird das ursprüngliche Segment um einen Faktor reduziert.
Das heißt, wir machen es, während es läuft (*)
In diesem Fall wird die Zielfunktion berechnet.
Es ist erforderlich, einen Wert zu finden, bei dem der Ausdruck (*) im kleinsten Fall erhalten wird
Anzahl der Berechnungen.
Methode 37
Halbteilungsmethode.
Betrachten wir die Suchmethode für . Man spricht von der Halbierungsmethode, da bei jedem Schritt das Segment, das die optimale Lösung enthält, halbiert wird.
Durch die gezielte Auswahl der Punkte, an denen die Zielfunktion bei einem bestimmten Einengungsschritt berechnet wird, lässt sich die Effizienz der Suche steigern.
Methode 38
Methode des Goldenen Schnitts.
Ein effektiver Weg ist die Methode des Goldenen Schnitts. Der Goldene Schnitt eines Segments ist der Punkt, für den die Bedingung erfüllt ist
Es gibt zwei solcher Punkte: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Das Segment wird durch Punkte geteilt und dann wird ein Punkt gefunden, an dem die Zielfunktion maximal ist. Als Ergebnis wird ein modifiziertes Segment der Länge 0,618( - ) gefunden.
Ein Wert des Goldenen Schnitts für das verengte Segment ist bereits bekannt, daher ist es bei jedem weiteren Schritt erforderlich, die Zielfunktion nur an einem Punkt (dem zweiten Punkt des Goldenen Schnitts) zu berechnen.
Methode 39
Methode des Koordinaten-für-Koordinaten-Aufstiegs (Abstiegs).
Kommen wir nun zur Betrachtung des Optimierungsproblems für den Fall, dass die Zielfunktion von mehreren Parameterwerten abhängt. Die einfachste Suchmethode ist die Methode des Koordinaten-für-Koordinaten-Aufstiegs (Abstiegs).
