Für diese Gleichung gilt:
; (5.22)
. (5.23)
Die letzte Determinante ergibt die Bedingung a 3 > 0. Die Bedingung Δ 2 > 0 für a 0 > 0, a 1 > 0 und a 3 > 0 kann nur für a 2 > 0 erfüllt werden.
Folglich reicht für eine Gleichung dritter Ordnung die Positivität aller Koeffizienten der charakteristischen Gleichung nicht mehr aus. Es ist außerdem erforderlich, eine bestimmte Beziehung zwischen den Koeffizienten a 1 a 2 > a 0 a 3 zu erfüllen.
4. Gleichung vierter Ordnung
Ähnlich wie oben können wir feststellen, dass für eine Gleichung vierter Ordnung zusätzlich zur Positivität aller Koeffizienten die folgende Bedingung erfüllt sein muss:
Ein wesentlicher Nachteil algebraischer Kriterien, einschließlich der Hurwitz-Kriterien, besteht auch darin, dass man für Gleichungen höherer Ordnung bestenfalls eine Antwort darauf erhalten kann, ob das automatische Steuerungssystem stabil oder instabil ist. Darüber hinaus beantwortet das Kriterium im Falle eines instabilen Systems nicht, wie die Parameter des Systems geändert werden sollten, um es stabil zu machen. Dieser Umstand führte zur Suche nach anderen Kriterien, die in der Ingenieurpraxis praktischer wären.
5.3. Mikhailov-Stabilitätskriterium
Betrachten wir separat die linke Seite der charakteristischen Gleichung (5.7), die ein charakteristisches Polynom ist
Setzen wir in dieses Polynom den rein imaginären Wert p = j ein, wobei die Kreisfrequenz der Schwingungen darstellt, die der rein imaginären Wurzel der charakteristischen Lösung entspricht. In diesem Fall erhalten wir den charakteristischen Komplex
wobei der Realteil gerade Frequenzpotenzen enthält
und imaginär – seltsame Frequenzkräfte
E
Reis. 5.4. Mikhailovs Hodograph
In der Praxis wird die Mikhailov-Kurve Punkt für Punkt konstruiert, verschiedene Werte der Frequenz angegeben und U() und V() mithilfe der Formeln (5.28), (5.29) berechnet. Die Berechnungsergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst. 5.1.
Tabelle 5.1
Konstruktion der Mikhailov-Kurve
Anhand dieser Tabelle wird die Kurve selbst konstruiert (Abb. 5.4).
Lassen Sie uns bestimmen, wie groß der Rotationswinkel des Vektors D(j) sein sollte, wenn sich die Frequenz von Null auf Unendlich ändert. Dazu schreiben wir das charakteristische Polynom als Produkt von Faktoren
wobei 1 – n die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind.
Der charakteristische Vektor lässt sich dann wie folgt darstellen:
Jede Klammer stellt eine komplexe Zahl dar. Daher ist D(j) ein Produkt von n komplexen Zahlen. Bei der Multiplikation werden die Argumente komplexer Zahlen addiert. Daher ist der resultierende Drehwinkel des Vektors D(j) gleich der Summe der Drehwinkel der einzelnen Faktoren (5.31), wenn sich die Frequenz von Null auf Unendlich ändert
Definieren wir jeden Term in (5.31) separat. Um das Problem zu verallgemeinern, betrachten Sie verschiedene Arten von Wurzeln.
1. Es sei eine Wurzel, zum Beispiel 1 real und negativ , also 1 = – 1 . Der durch diese Wurzel bestimmte Faktor im Ausdruck (5.31) hat die Form ( 1 + j). Konstruieren wir ein Hodogramm dieses Vektors auf der komplexen Ebene, während sich die Frequenz von Null auf Unendlich ändert (Abb. 5.5, A). Wenn= 0, ist der Realteil U= 1 und der Imaginärteil ist V= 0. Dies entspricht Punkt A, der auf der Realachse liegt. Bei0 ändert sich der Vektor so, dass sein Realteil immer noch gleich ist und der Imaginärteil V = (Punkt B im Diagramm). Wenn die Frequenz auf Unendlich ansteigt, geht der Vektor gegen Unendlich, und das Ende des Vektors bleibt immer auf der vertikalen Geraden, die durch Punkt A verläuft, und der Vektor dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.
Reis. 5.5. Echte Wurzeln
Der resultierende Drehwinkel des Vektors 1 = +( / 2).
2. Sei nun die Wurzel 1 echt und positiv , also 1 = + 1. Dann hat der durch diese Wurzel bestimmte Faktor in (5.31) die Form (– 1 + j). Ähnliche Konstruktionen (Abb. 5.5, B) zeigen, dass der resultierende Drehwinkel 1 = –( / 2) beträgt. Das Minuszeichen zeigt an, dass sich der Vektor im Uhrzeigersinn dreht.
3. Es seien zwei konjugierte Wurzeln, zum Beispiel 2 und 3 komplex mit negativem Realteil , also 2;3 = –±j. Ebenso haben die durch diese Wurzeln bestimmten Faktoren im Ausdruck (5.31) die Form (–j + j)( + j + j).
Wenn = 0, werden die Anfangspositionen zweier Vektoren durch die Punkte A 1 und A 2 bestimmt (Abb. 5.6, A). Der erste Vektor wird relativ zur realen Achse im Uhrzeigersinn um einen Winkel gedreht, der arctg( / ) entspricht, und der zweite Vektor wird um denselben Winkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Mit einem allmählichen Anstieg von von Null auf Unendlich gehen die Enden beider Vektoren bis ins Unendliche und beide Vektoren verschmelzen schließlich mit der imaginären Achse.
Der resultierende Drehwinkel des ersten Vektors beträgt 2 = ( / 2) + . Der resultierende Drehwinkel des zweiten Vektors 3 = ( / 2) –. Der dem Produkt (–j + j)( + j + j) entsprechende Vektor dreht sich um den Winkel 2 + 3 = 2 / 2 =.
Reis. 5.6. Komplexe Wurzeln
4. Lass sie gleich sein komplexe Wurzeln haben einen positiven Realteil , also 2;3 = +±j.
Durchführung der Konstruktion analog zum zuvor betrachteten Fall (Abb. 5.6, B) erhalten wir den resultierenden Drehwinkel 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Wenn also die charakteristische Gleichung f Wurzeln mit einem positiven Realteil hat, dann entsprechen diese Wurzeln unabhängig von ihrer Art (real oder komplex) der Summe der Drehwinkel gleich –f ( / 2). Alle anderen (n – f) Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die negative Realteile haben, entsprechen der Summe der Drehwinkel gleich +(n – f)( / 2). Infolgedessen hat der Gesamtdrehwinkel des Vektors D(j), wenn sich die Frequenz gemäß Formel (5.32) von Null auf Unendlich ändert, die Form
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f .
(5.33)
Dieser Ausdruck bestimmt den gewünschten Zusammenhang zwischen der Form der Mikhailov-Kurve und den Vorzeichen der Realteile der Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Im Jahr 1936 A.V. Mikhailov formulierte das folgende Stabilitätskriterium für lineare Systeme beliebiger Ordnung. Für die Stabilität eines Systems n-ter Ordnung ist es notwendig und ausreichend, dass der Vektor D(j ), die die Mikhailov-Kurve beschreibt, wenn sie sich ändert = hatte einen Drehwinkel von Null bis Unendlich ( / 2).
N Diese Formulierung folgt direkt aus (5.33). Damit das System stabil ist, ist es notwendig, dass alle Wurzeln in der linken Halbebene liegen.
Daraus wird der erforderliche resultierende Vektorrotationswinkel ermittelt. Das Mikhailov-Stabilitätskriterium ist wie folgt formuliert:
Für die Stabilität eines linearen ACS ist es notwendig und ausreichend, dass der Mikhailov-Hodograph, wenn sich die Frequenz von Null auf Unendlich ändert, ausgehend von der positiven Halbebene und ohne den Koordinatenursprung zu kreuzen, nacheinander so viele Quadranten des Komplexes schneidet Ebene als Ordnung des Polynoms der charakteristischen Gleichung des Systems.
UM
Für ein stabiles System verläuft die Mikhailov-Kurve nacheinander durch n Quadranten der komplexen Ebene.
Das Vorhandensein von Stabilitätsgrenzen aller drei Typen kann anhand der Mikhailov-Kurve wie folgt bestimmt werden.
Bei Vorhandensein einer Stabilitätsgrenze erster Typ (Nullwurzel) Es gibt keinen freien Term des charakteristischen Polynoms n = 0 und die Mikhailov-Kurve verlässt den Ursprung (Abb. 5.9, Kurve 1)
|
Reis. 5.8. Instabiles ATS |
Reis. 5.9. Stabilitätsgrenzen |
An der Stabilitätsgrenze zweiter Typ (Oszillationsstabilitätsgrenze) Die linke Seite der charakteristischen Gleichung, also das charakteristische Polynom, verschwindet, wenn p = j 0 eingesetzt wird
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
Dies impliziert zwei Gleichheiten: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Dies bedeutet, dass der Punkt = 0 auf der Mikhailov-Kurve im Koordinatenursprung liegt (Abb. 5.9, Kurve 2). In diesem Fall ist der Wert 0 die Frequenz der ungedämpften Schwingungen des Systems.
Für die Stabilitätsgrenze dritter Typ (unendliche Wurzel) Das Ende der Mikhailov-Kurve wird (Abb. 5.9, Kurve 3) von einem Quadranten zum anderen durch die Unendlichkeit geworfen. In diesem Fall durchläuft der Koeffizient a 0 des charakteristischen Polynoms (5.7) den Nullwert und ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus.
Die wichtigsten Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen (DEs) höherer Ordnung, die gelöst werden können, werden aufgelistet. Methoden zu ihrer Lösung werden kurz skizziert. Es werden Links zu Seiten mit detaillierten Beschreibungen der Lösungsmethoden und Beispielen bereitgestellt.
InhaltSiehe auch: Differentialgleichungen erster Ordnung
Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
Differentialgleichungen höherer Ordnung, die eine Reduktion der Ordnung ermöglichen
Durch direkte Integration gelöste Gleichungen
Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung:
.
Wir integrieren n-mal.
;
;
usw. Sie können auch die Formel verwenden:
.
Siehe Differentialgleichungen, die direkt gelöst werden können Integration > > >
Gleichungen, die die abhängige Variable y nicht explizit enthalten
Die Substitution verringert die Ordnung der Gleichung um eins. Hier ist eine Funktion von .
Siehe Differentialgleichungen höherer Ordnung, die nicht explizit eine Funktion enthalten > > >
Gleichungen, die die unabhängige Variable x nicht explizit enthalten
.
Wir gehen davon aus, dass dies eine Funktion von ist.
.
Dann
Ähnliches gilt für andere Derivate. Dadurch wird die Ordnung der Gleichung um eins reduziert.
Siehe Differentialgleichungen höherer Ordnung, die keine explizite Variable enthalten > > >
Homogene Gleichungen bezüglich y, y′, y′′, ...
,
Um diese Gleichung zu lösen, führen wir die Substitution durch
.
wo ist eine Funktion von .
Dann
Auf ähnliche Weise transformieren wir Derivate usw. Dadurch wird die Ordnung der Gleichung um eins reduziert.
Siehe Differentialgleichungen höherer Ordnung, die in Bezug auf eine Funktion und ihre Ableitungen homogen sind > > > Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung:
(1)
,
Lassen Sie uns überlegen
(2)
,
lineare homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung
wo sind Funktionen der unabhängigen Variablen. Es gebe n linear unabhängige Lösungen dieser Gleichung. Dann hat die allgemeine Lösung der Gleichung (1) die Form:
Siehe Differentialgleichungen höherer Ordnung, die in Bezug auf eine Funktion und ihre Ableitungen homogen sind > > > wo sind beliebige Konstanten. Die Funktionen selbst bilden ein grundlegendes Lösungssystem.:
.
Grundlegendes Lösungssystem
,
einer linearen homogenen Gleichung n-ter Ordnung sind n linear unabhängige Lösungen dieser Gleichung.
lineare inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung
Es soll eine bestimmte (beliebige) Lösung dieser Gleichung geben. Dann hat die allgemeine Lösung die Form:
wo ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (1).
(3)
.
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und auf diese reduzierbar
(2)
.
Lineare homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten Dies sind Gleichungen der Form::
(4)
.
Hier sind reelle Zahlen. Um eine allgemeine Lösung dieser Gleichung zu finden, müssen wir n linear unabhängige Lösungen finden, die ein grundlegendes Lösungssystem bilden. Dann wird die allgemeine Lösung durch Formel (2) bestimmt: Wir suchen nach einer Lösung im Formular . Wir bekommen
.
charakteristische Gleichung Wenn diese Gleichung hat
,
verschiedene Wurzeln
, dann hat das grundlegende Lösungssystem die Form: Wenn verfügbar
komplexe Wurzel dann gibt es auch eine komplex konjugierte Wurzel.
.
Lineare inhomogene Gleichungen mit einem speziellen inhomogenen Teil
Betrachten Sie eine Gleichung der Form
,
Wo sind Polynome vom Grad s? 1
und s 2
;
- dauerhaft. Zunächst suchen wir nach einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung (3). Wenn die charakteristische Gleichung (4) enthält kein Root
,
, dann suchen wir nach einer bestimmten Lösung in der Form:
;
;
Wo 1
und s 2
.
s – das Größte von s Wenn die charakteristische Gleichung (4) hat eine Wurzel
.
Multiplizität, dann suchen wir nach einer bestimmten Lösung in der Form:
.
Danach erhalten wir die allgemeine Lösung:
Lineare inhomogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
1)
Hier gibt es drei mögliche Lösungen..
Bernoulli-Methode
.
Zuerst finden wir eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung ungleich Null
,
Dann nehmen wir die Auswechslung vor - 1
wo ist eine Funktion der Variablen x.
2)
Wir erhalten eine Differentialgleichung für u, die nur Ableitungen von u nach x enthält..
Durch die Substitution erhalten wir die Gleichung n
,
- die Bestellung.
3)
Lineare Substitutionsmethode.
Machen wir einen Ersatz
(2)
.
wo ist eine der Wurzeln der charakteristischen Gleichung (4). Als Ergebnis erhalten wir eine lineare inhomogene Gleichung mit konstanten Ordnungskoeffizienten.
,
Indem wir diese Substitution konsequent anwenden, reduzieren wir die ursprüngliche Gleichung auf eine Gleichung erster Ordnung.
Methode zur Variation von Lagrange-Konstanten
Bei dieser Methode lösen wir zunächst die homogene Gleichung (3). Seine Lösung sieht so aus:
.
Wir gehen weiterhin davon aus, dass die Konstanten Funktionen der Variablen x sind.
.
Dann hat die Lösung der ursprünglichen Gleichung die Form:
Wo sind unbekannte Funktionen? Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung und Auferlegen einiger Einschränkungen erhalten wir Gleichungen, aus denen wir die Art der Funktionen ermitteln können.
Eulers Gleichung
Es reduziert sich durch Substitution auf eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten:
Als Ergebnis erhalten wir die gleichen Regeln wie für eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten, in der anstelle einer Variablen ersetzt werden muss. Verweise:
V.V. Stepanov, Kurs über Differentialgleichungen, „LKI“, 2015. N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, „Lan“, 2003.
Neben gewöhnlichen Gleichungen werden auch partielle Differentialgleichungen untersucht. Dabei handelt es sich um Gleichungen, die unabhängige Variablen, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf dieselben Variablen in Beziehung setzen. Aber wir werden nur darüber nachdenken gewöhnliche Differentialgleichungen und deshalb werden wir der Kürze halber das Wort „gewöhnlich“ weglassen.
Beispiele für Differentialgleichungen:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Gleichung (1) ist vierter Ordnung, Gleichung (2) ist dritter Ordnung, Gleichungen (3) und (4) sind zweiter Ordnung, Gleichung (5) ist erster Ordnung.
Differentialgleichung hatte einen Drehwinkel von Null bis Unendlich Ordnung muss nicht unbedingt eine explizite Funktion enthalten, alle ihre Ableitungen von der ersten bis zur hatte einen Drehwinkel von Null bis Unendlich-te Ordnung und unabhängige Variable. Es darf nicht explizit Ableitungen bestimmter Ordnungen, eine Funktion oder eine unabhängige Variable enthalten.
Beispielsweise gibt es in Gleichung (1) eindeutig keine Ableitungen dritter und zweiter Ordnung sowie eine Funktion; in Gleichung (2) - die Ableitung zweiter Ordnung und die Funktion; in Gleichung (4) – die unabhängige Variable; in Gleichung (5) - Funktionen. Nur Gleichung (3) enthält explizit alle Ableitungen, die Funktion und die unabhängige Variable.
Lösen einer Differentialgleichung Jede Funktion wird aufgerufen y = f(x), wenn es in die Gleichung eingesetzt wird, wird es zu einer Identität.
Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird als it bezeichnet Integration.
Beispiel 1. Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung.
Lösung. Schreiben wir diese Gleichung in der Form . Die Lösung besteht darin, die Funktion aus ihrer Ableitung zu finden. Die Urfunktion ist, wie man sie aus der Integralrechnung kennt, eine Stammfunktion für, d.h.
Das ist es Lösung dieser Differentialgleichung . Sich darin verändern C, werden wir unterschiedliche Lösungen erhalten. Wir haben herausgefunden, dass es unendlich viele Lösungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung gibt.
Allgemeine Lösung der Differentialgleichung hatte einen Drehwinkel von Null bis Unendlich Die Ordnung ist ihre Lösung, explizit ausgedrückt in Bezug auf die unbekannte Funktion und enthaltend hatte einen Drehwinkel von Null bis Unendlich unabhängige beliebige Konstanten, d.h.
Die Lösung der Differentialgleichung in Beispiel 1 ist allgemein.
Teillösung der Differentialgleichung eine Lösung, bei der beliebigen Konstanten bestimmte Zahlenwerte gegeben werden, heißt.
Beispiel 2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und eine spezielle Lösung für 
.
Lösung. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung so oft integrieren, wie es der Ordnung der Differentialgleichung entspricht.
,
.
Als Ergebnis erhielten wir eine allgemeine Lösung -
einer gegebenen Differentialgleichung dritter Ordnung.
Lassen Sie uns nun eine bestimmte Lösung unter den angegebenen Bedingungen finden. Ersetzen Sie dazu ihre Werte anstelle willkürlicher Koeffizienten und erhalten Sie
.
Wenn zusätzlich zur Differentialgleichung die Anfangsbedingung in der Form angegeben ist, dann heißt ein solches Problem Cauchy-Problem . Setzen Sie die Werte und in die allgemeine Lösung der Gleichung ein und ermitteln Sie den Wert einer beliebigen Konstante C und dann eine bestimmte Lösung der Gleichung für den gefundenen Wert C. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems.
Beispiel 3. Lösen Sie das Cauchy-Problem für die Differentialgleichung aus Beispiel 1 unter der Voraussetzung:
Lösung. Ersetzen wir die Werte aus der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung j = 3, X= 1. Wir erhalten
Wir schreiben die Lösung des Cauchy-Problems für diese Differentialgleichung erster Ordnung auf:
Das Lösen von Differentialgleichungen, selbst der einfachsten, erfordert gute Integrations- und Ableitungsfähigkeiten, auch bei komplexen Funktionen. Dies ist im folgenden Beispiel zu sehen.
Beispiel 4. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Lösung. Die Gleichung ist so geschrieben, dass man beide Seiten sofort integrieren kann.
.
Wir wenden die Methode der Integration durch Variablenänderung (Substitution) an. Dann lass es sein.
Muss mitgenommen werden dx und jetzt - Achtung - wir tun dies nach den Regeln der Differentiation einer komplexen Funktion, denn X und es gibt eine komplexe Funktion („Apfel“ ist das Ziehen einer Quadratwurzel oder, was dasselbe ist, das Potenzieren von „der Hälfte“, und „Hackfleisch“ ist der eigentliche Ausdruck unter der Wurzel):
Wir finden das Integral:
Zurück zur Variablen X, wir bekommen:
.
Dies ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ersten Grades.
Zur Lösung von Differentialgleichungen sind nicht nur Kenntnisse aus den vorangegangenen Abschnitten der höheren Mathematik erforderlich, sondern auch Kenntnisse aus der Grund-, also Schulmathematik. Wie bereits erwähnt, darf es in einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung keine unabhängige Variable, also eine Variable, geben X. Kenntnisse über Proportionen aus der Schule, die (jedoch je nach wem) aus der Schule nicht vergessen wurden, helfen, dieses Problem zu lösen. Dies ist das nächste Beispiel.
Für ein tieferes Verständnis dessen, was in diesem Artikel passiert, können Sie lesen.Betrachten Sie ein homogenes System von Differentialgleichungen dritter Ordnung
Dabei sind x(t), y(t), z(t) die erforderlichen Funktionen im Intervall (a, b) und ij (i, j =1, 2, 3) sind reelle Zahlen.
Schreiben wir das ursprüngliche System in Matrixform
,
Wo 
Wir werden im Formular nach einer Lösung für das ursprüngliche System suchen
,
Wo 
, C 1 , C 2 , C 3 sind beliebige Konstanten.
Um das grundlegende Lösungssystem zu finden, müssen Sie die sogenannte charakteristische Gleichung lösen 
Diese Gleichung ist eine algebraische Gleichung dritter Ordnung und hat daher drei Wurzeln. Folgende Fälle sind möglich:
1. Die Wurzeln (Eigenwerte) sind real und eindeutig.
2. Unter den Wurzeln (Eigenwerten) gibt es komplex konjugierte, sei es
- echte Wurzel
=
3. Die Wurzeln (Eigenwerte) sind real. Eine der Wurzeln ist ein Vielfaches.
Um herauszufinden, wie wir in jedem dieser Fälle vorgehen sollen, benötigen wir:
Satz 1.
Seien die paarweise unterschiedlichen Eigenwerte der Matrix A und ihre entsprechenden Eigenvektoren. Dann
bilden ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche System.
Kommentar
.
Sei der reale Eigenwert der Matrix A (die reale Wurzel der charakteristischen Gleichung) und sei der entsprechende Eigenvektor.
= - komplexe Eigenwerte der Matrix A, - entsprechender - Eigenvektor. Dann
(Re ist der Realteil, Im ist der Imaginärteil)
bilden ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche System. (also und = zusammen betrachtet)
Satz 3.
Die Wurzel der charakteristischen Gleichung der Multiplizität sei 2. Dann hat das ursprüngliche System 2 linear unabhängige Lösungen der Form 
,
wobei , Vektorkonstanten sind. Wenn die Multiplizität 3 ist, dann gibt es 3 linear unabhängige Lösungen der Form
.
Vektoren werden durch Einsetzen der Lösungen (*) und (**) in das ursprüngliche System gefunden.
Um die Methode zum Finden von Lösungen der Form (*) und (**) besser zu verstehen, sehen Sie sich die typischen Beispiele unten an.
Schauen wir uns nun jeden der oben genannten Fälle genauer an.
1. Algorithmus zur Lösung homogener Systeme von Differentialgleichungen dritter Ordnung bei unterschiedlichen reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Angesichts des Systems
1) Wir stellen eine charakteristische Gleichung auf
- reelle und unterschiedliche Eigenwerte der 9Wurzeln dieser Gleichung).
2) Wir bauen wo 
3) Wir bauen wo
- Eigenvektor der Matrix A, entsprechend , d.h. - jede Systemlösung 
4) Wir bauen wo
- Eigenvektor der Matrix A, entsprechend , d.h. - jede Systemlösung 
5)
stellen ein grundlegendes Lösungssystem dar. Als nächstes schreiben wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems in das Formular
,
hier sind C 1, C 2, C 3 beliebige Konstanten,
,
oder in Koordinatenform 
Schauen wir uns ein paar Beispiele an:
Beispiel 1.
2) Finden 
3) Finden 
4) Vektorfunktionen 
oder in Koordinatenschreibweise 
Beispiel 2.
1) Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie: 
2) Finden 
3) Finden 
4) Finden 
5) Vektorfunktionen 
bilden ein grundlegendes System. Die allgemeine Lösung hat die Form 
oder in Koordinatenschreibweise 
2. Algorithmus zur Lösung homogener Systeme von Differentialgleichungen dritter Ordnung bei komplex konjugierten Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
- echte Wurzel,
2) Wir bauen wo
 |
3) Wir bauen
| - Eigenvektor der Matrix A, entsprechend , d.h. erfüllt das System |  |
Hier ist Re der eigentliche Teil
Ich bin ein imaginärer Teil
4) stellen ein grundlegendes Lösungssystem dar. Als nächstes schreiben wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems auf:
, Wo
C 1, C 2, C 3 sind beliebige Konstanten.
Beispiel 1.
1) Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf und lösen Sie sie 
2)Wir bauen
3) Wir bauen
, Wo
Reduzieren wir die erste Gleichung um 2. Addieren Sie dann die erste Gleichung multipliziert mit 2i zur zweiten Gleichung und subtrahieren Sie die erste Gleichung multipliziert mit 2 von der dritten Gleichung. 
Weiter 
Somit, 
4) - grundlegendes Lösungssystem. Schreiben wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems auf: 
Beispiel 2.
1) Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie 
2)Wir bauen
(d. h. und zusammen betrachtet), wo
Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit (1-i) und reduzieren Sie sie um 2. 
Somit, 
3)
Allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems
oder 
2. Algorithmus zur Lösung homogener Systeme von Differentialgleichungen dritter Ordnung bei mehreren Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie
Es gibt zwei mögliche Fälle: 
Betrachten Sie Fall a) 1), wo
| - Eigenvektor der Matrix A, entsprechend, d. h. erfüllt das System | |
2) Nehmen wir Bezug auf Satz 3, aus dem folgt, dass es zwei linear unabhängige Lösungen der Form gibt 
,
wobei , konstante Vektoren sind. Nehmen wir sie für .
3) - grundlegendes Lösungssystem. Als nächstes schreiben wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems auf:
Betrachten Sie Fall b):
1) Nehmen wir Bezug auf Satz 3, aus dem folgt, dass es drei linear unabhängige Lösungen der Form gibt
,
wobei , , konstante Vektoren sind. Nehmen wir sie für .
2) - grundlegendes Lösungssystem. Als nächstes schreiben wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems auf.
Um besser zu verstehen, wie man Lösungen der Form (*) findet, betrachten Sie einige typische Beispiele.
Beispiel 1.
Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie: 
Wir haben Fall a)
1) Wir bauen 
, Wo
Von der zweiten Gleichung subtrahieren wir die erste:
? Die dritte Zeile ähnelt der zweiten, wir streichen sie durch. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung: 
2) = 1 (Vielfaches von 2)
Nach T.3 muss diese Wurzel zwei linear unabhängigen Lösungen der Form entsprechen.
Versuchen wir, alle linear unabhängigen Lösungen zu finden, für die, d.h. Lösungen der Form
.
Ein solcher Vektor ist genau dann eine Lösung, wenn der Eigenvektor =1 entspricht, d. h.
, oder 
, die zweite und dritte Zeile ähneln der ersten, wirf sie weg. 
Das System wurde auf eine Gleichung reduziert. Folglich gibt es beispielsweise zwei freie Unbekannte und . Geben wir ihnen zunächst die Werte 1, 0; dann die Werte 0, 1. Wir erhalten folgende Lösungen: 
.
Somit, 
.
3) - grundlegendes Lösungssystem. Es bleibt die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems aufzuschreiben: 
. 
oder 
