Für einen materiellen Punkt lässt sich das Grundgesetz der Dynamik darstellen als

Multipliziert man beide Seiten dieser Beziehung auf der linken Seite vektoriell mit dem Radiusvektor (Abb. 3.9), erhält man

(3.32)

Auf der rechten Seite dieser Formel steht das Kraftmoment relativ zum Punkt O. Die linke Seite transformieren wir, indem wir die Formel für die Ableitung eines Vektorprodukts anwenden

Aber als Vektorprodukt paralleler Vektoren. Danach bekommen wir

(3.33)

Die erste zeitliche Ableitung des Impulsmoments eines Punktes relativ zu einem beliebigen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment relativ zu demselben Mittelpunkt.

Ein Beispiel für die Berechnung des Drehimpulses eines Systems. Berechnen Sie das kinetische Moment relativ zum Punkt O eines Systems bestehend aus einer zylindrischen Welle mit der Masse M = 20 kg und dem Radius R = 0,5 m und einer absteigenden Last mit der Masse m = 60 kg (Abbildung 3.12). Die Welle dreht sich um die Oz-Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = 10 s -1.

Abbildung 3.12

; ;

Für gegebene Eingabedaten der Drehimpuls des Systems

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines Systems. Wir wenden die resultierenden äußeren und inneren Kräfte auf jeden Punkt des Systems an. Für jeden Punkt des Systems kann man den Satz über die Drehimpulsänderung anwenden, beispielsweise in der Form (3.33)

Wenn wir über alle Punkte des Systems summieren und berücksichtigen, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhalten wir:

Durch die Bestimmung des kinetischen Moments des Systems und der Eigenschaften äußerer und innerer Kräfte

Daher kann die resultierende Beziehung dargestellt werden als:

Die erste zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Systems relativ zu einem beliebigen Punkt ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte, die relativ zu demselben Punkt auf das System wirken.

3.3.5. Kraftarbeit

1) Die Elementararbeit einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt der Kraft und dem Differentialradius des Vektors des Kraftangriffspunktes (Abb. 3.13)

Abbildung 3.13

Ausdruck (3.36) kann auch in den folgenden äquivalenten Formen geschrieben werden

Dabei ist die Projektion der Kraft auf die Geschwindigkeitsrichtung des Kraftangriffspunkts.

2) Kraftarbeit bei endgültiger Verschiebung

Durch Integration der elementaren Kraftarbeit erhalten wir die folgenden Ausdrücke für die Kraftarbeit bei der endgültigen Verschiebung von Punkt A nach Punkt B

3) Arbeit mit konstanter Kraft

Wenn die Kraft konstant ist, folgt aus (3.38).

Die Arbeit einer konstanten Kraft hängt nicht von der Form der Flugbahn ab, sondern nur vom Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunkts.

4) Arbeit der Gewichtskraft

Für die Gewichtskraft (Abb. 3.14) und aus (3.39) ergibt sich

Abbildung 3.14

Wenn die Bewegung von Punkt B nach Punkt A erfolgt, dann

Allgemein

Das „+“-Zeichen entspricht der Abwärtsbewegung des Kraftangriffspunktes, das „-“-Zeichen – nach oben.

4) Arbeit der elastischen Kraft

Lassen Sie die Achse der Feder entlang der x-Achse gerichtet sein (Abb. 3.15) und das Ende der Feder bewegt sich von Punkt 1 nach Punkt 2, dann erhalten wir aus (3.38).

Wenn die Federsteifigkeit ist Mit, also dann

A (3.41)

Wenn sich das Ende der Feder von Punkt 0 zu Punkt 1 bewegt, ersetzen wir in diesem Ausdruck , , dann nimmt die Arbeit der elastischen Kraft die Form an

(3.42)

Wo ist die Dehnung der Feder?

Abbildung 3.15

5) Die auf einen rotierenden Körper ausgeübte Kraftarbeit. Die Arbeit des Augenblicks.

In Abb. Abbildung 3.16 zeigt einen rotierenden Körper, auf den eine beliebige Kraft ausgeübt wird. Bei der Drehung bewegt sich der Angriffspunkt dieser Kraft kreisförmig.

Die erste zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Punktes relativ zu einem beliebigen Zentrum ist gleich dem Kraftmoment relativ zu demselben Zentrum:

Wenn wir (171) auf rechtwinklige kartesische Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir Sätze über die Änderung des Drehimpulses eines Punktes relativ zu diesen Koordinatenachsen:

,
,
. (171")

Satz über die Drehimpulsänderung eines Systems

Die erste zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Systems relativ zu einem beliebigen Punkt ist gleich der Vektorsumme der Momente äußerer Kräfte, die relativ zu demselben Punkt auf das System wirken.

, (172)

Wo
– das Hauptmoment aller äußeren Kräfte des Systems.

Wenn wir (172) auf rechtwinklige kartesische Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir Sätze über die Änderung des Drehimpulses des Systems relativ zu diesen Koordinatenachsen, d.h.

,
,
. (172")

Gesetze zur Erhaltung kinetischer Momente

1. Wenn das Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zum Punkt ist ist gleich Null, d.h.
, dann nach (79) der Drehimpuls des Systems
relativ zum gleichen Punkt ist in Größe und Richtung konstant, d.h.

. (173)

Dieser Spezialfall des Satzes über die Drehimpulsänderung eines Systems heißt Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses. Bei Projektionen auf rechtwinklige kartesische Koordinatenachsen nach diesem Gesetz

,
,
,

Wo ,,– konstante Werte.

2. Wenn die Summe der Momente aller äußeren Kräfte des Systems relativ zur Achse
ist gleich Null, d.h.
, dann folgt aus (172") das

. (174)

Somit, das kinetische Moment des Systems relativ zu einer beliebigen Koordinatenachse ist konstant, wenn die Summe der Momente äußerer Kräfte relativ zu dieser Achse Null ist, was insbesondere beobachtet wird, wenn äußere Kräfte parallel zur Achse sind oder diese schneiden. Im besonderen Fall handelt es sich um einen Körper oder ein Körpersystem, das sich alle um eine feste Achse drehen kann, und zwar gleichzeitig

,

, oder
, (175)

Wo Und – Trägheitsmoment eines Körpersystems und deren Winkelgeschwindigkeit relativ zur Rotationsachse zu einem beliebigen Zeitpunkt ;Und – das Trägheitsmoment der Körper und ihre Winkelgeschwindigkeit zum als Ausgangszeitpunkt gewählten Zeitpunkt.

Differentialgleichung für die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse

Aus dem Satz über die Drehimpulsänderung (172") folgt die Differentialgleichung für die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse
:

, (176)

Wo – Körperdrehwinkel.

Die Differentialgleichung für die Rotationsbewegung eines starren Körpers im allgemeinen Fall ermöglicht es, zwei Hauptprobleme zu lösen: aus einer gegebenen Drehung des Körpers das Drehmoment äußerer Kräfte zu bestimmen und aus einem gegebenen Rotationsmoment und Anfangsbedingungen zu finden die Drehung des Körpers. Bei der Lösung des zweiten Problems, um den Drehwinkel zu ermitteln, ist es notwendig, die Differentialgleichung der Drehbewegung zu integrieren. Die Methoden zu seiner Integration sind den betrachteten Methoden zur Integration der Differentialgleichung der geradlinigen Bewegung eines Punktes völlig ähnlich.

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines relativ zum Massenschwerpunkt bewegten Systems

Lassen Sie das mechanische System sich relativ zum Hauptkoordinatensystem bewegen
. Nehmen wir ein bewegtes Koordinatensystem
mit Ursprung im Massenschwerpunkt des Systems , translatorisch relativ zum Hauptkoordinatensystem bewegend. Sie können die Gültigkeit der Formel beweisen:

Wo – absolute Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts,
.

Größe
ist das kinetische Moment des Systems relativ zum Massenschwerpunkt für eine Relativbewegung relativ zu einem Koordinatensystem, das sich translatorisch zusammen mit dem Massenschwerpunkt bewegt, d. h. dem System
.

Formel (176) zeigt das Drehimpuls der absoluten Bewegung eines Systems relativ zu einem festen Punkt ist gleich der Vektorsumme des Drehimpulses des Massenschwerpunkts relativ zum gleichen Punkt, wenn die gesamte Masse des Systems im Massenschwerpunkt konzentriert wäre, und dem Drehimpuls des Systems relativ zum Massenschwerpunkt für die relative Bewegung des Systems relativ zum bewegten Koordinatensystem, das sich translatorisch mit dem Massenschwerpunkt bewegt.

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines Systems relativ zum Massenschwerpunkt bei Relativbewegung System in Bezug auf ein translatorisch mit dem Massenschwerpunkt bewegtes Koordinatensystem; es wird auf die gleiche Weise formuliert, als ob der Schwerpunkt ein fester Punkt wäre:

oder
, (178)

Wo
ist das Hauptmoment aller äußeren Kräfte relativ zum Massenschwerpunkt.

Allgemeine Sätze zur Dynamik eines Körpersystems. Sätze über die Bewegung des Massenschwerpunkts, über die Impulsänderung, über die Änderung des Hauptdrehimpulses, über die Änderung der kinetischen Energie. D'Alemberts Prinzipien und mögliche Bewegungen. Allgemeine Gleichung der Dynamik. Lagrange-Gleichungen.

Inhalt

Die von der Kraft geleistete Arbeit, ist gleich dem Skalarprodukt der Kraftvektoren und der infinitesimalen Verschiebung des Angriffspunktes:
,
das heißt, das Produkt der Absolutwerte der Vektoren F und ds durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Die vom Moment der Kraft verrichtete Arbeit, ist gleich dem Skalarprodukt der Drehmomentvektoren und dem infinitesimalen Drehwinkel:
.

d'Alemberts Prinzip

Der Kern des d'Alembert-Prinzips besteht darin, Probleme der Dynamik auf Probleme der Statik zu reduzieren. Dazu wird angenommen (oder ist im Voraus bekannt), dass die Körper des Systems bestimmte (Winkel-)Beschleunigungen aufweisen. Als nächstes werden Trägheitskräfte und (oder) Trägheitskraftmomente eingeführt, deren Größe den Kräften und Kraftmomenten entspricht und deren Richtung entgegengesetzt ist, die nach den Gesetzen der Mechanik bestimmte Beschleunigungen oder Winkelbeschleunigungen erzeugen würden

Schauen wir uns ein Beispiel an. Der Körper unterliegt einer translatorischen Bewegung und wird von äußeren Kräften beeinflusst. Wir gehen weiterhin davon aus, dass diese Kräfte eine Beschleunigung des Massenschwerpunkts des Systems bewirken. Nach dem Satz über die Schwerpunktsbewegung hätte der Schwerpunkt eines Körpers die gleiche Beschleunigung, wenn eine Kraft auf den Körper einwirken würde. Als nächstes führen wir die Trägheitskraft ein:
.
Danach das Dynamikproblem:
.
;
.

Für Rotationsbewegungen gehen Sie genauso vor. Lassen Sie den Körper um die z-Achse rotieren und von äußeren Kraftmomenten M e zk beaufschlagt werden.
.
Wir gehen davon aus, dass diese Momente eine Winkelbeschleunigung ε z erzeugen.
;
.

Als nächstes führen wir das Trägheitsmoment der Kräfte M И = - J z ε z ein.

Danach das Dynamikproblem:

Wird zu einem Statikproblem:.
Das Prinzip möglicher Bewegungen

Zur Lösung statischer Probleme wird das Prinzip der möglichen Verschiebungen genutzt. Bei manchen Problemen liefert es eine kürzere Lösung als das Aufstellen von Gleichgewichtsgleichungen. Dies gilt insbesondere für Systeme mit Verbindungen (z. B. durch Fäden und Blöcke verbundene Körpersysteme), die aus vielen Körpern bestehen Das Prinzip möglicher Bewegungen

Für das Gleichgewicht eines mechanischen Systems mit idealen Zusammenhängen ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Elementararbeiten aller auf es wirkenden Kräfte bei jeder möglichen Bewegung des Systems gleich Null ist. Möglicher Systemwechsel

- Dies ist eine kleine Bewegung, bei der die dem System auferlegten Verbindungen nicht unterbrochen werden.

Das D'Alembert-Lagrange-Prinzip ist eine Kombination des D'Alembert-Prinzips mit dem Prinzip der möglichen Bewegungen. Das heißt, wenn wir ein dynamisches Problem lösen, führen wir Trägheitskräfte ein und reduzieren das Problem auf ein statisches Problem, das wir nach dem Prinzip der möglichen Verschiebungen lösen.

D'Alembert-Lagrange-Prinzip.
Wenn sich ein mechanisches System mit idealen Verbindungen bewegt, ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der Elementararbeiten aller wirkenden Kräfte und aller Trägheitskräfte bei jeder möglichen Bewegung des Systems Null:
.
Diese Gleichung heißt allgemeine Gleichung der Dynamik.

Lagrange-Gleichungen

Verallgemeinerte q-Koordinaten 1 , q 2 , ..., q n ist eine Menge von n Größen, die die Position des Systems eindeutig bestimmen.

Die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten n stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein.

Verallgemeinerte Geschwindigkeiten sind Ableitungen verallgemeinerter Koordinaten nach der Zeit t.

Generalisierte Kräfte Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Betrachten wir eine mögliche Bewegung des Systems, bei der die Koordinate q k eine Bewegung δq k erhält.
Die restlichen Koordinaten bleiben unverändert. Sei δA k die von äußeren Kräften während einer solchen Bewegung geleistete Arbeit. Dann
.

δA k = Q k δq k , oder
Wenn sich bei einer möglichen Bewegung des Systems alle Koordinaten ändern, dann hat die von äußeren Kräften bei einer solchen Bewegung geleistete Arbeit die Form: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Dann sind die verallgemeinerten Kräfte partielle Ableitungen der Arbeit an Verschiebungen: Für potentielle Kräfte
.

mit Potential Π, Lagrange-Gleichungen

sind die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems in verallgemeinerten Koordinaten:
.

Hier ist T die kinetische Energie. Es ist eine Funktion verallgemeinerter Koordinaten, Geschwindigkeiten und möglicherweise der Zeit. Daher ist seine partielle Ableitung auch eine Funktion verallgemeinerter Koordinaten, Geschwindigkeiten und Zeit. Als nächstes müssen Sie berücksichtigen, dass Koordinaten und Geschwindigkeiten Funktionen der Zeit sind. Um die Gesamtableitung nach der Zeit zu ermitteln, müssen Sie daher die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion anwenden:
Verweise:

S. M. Targ, Kurzkurs in theoretischer Mechanik, „Higher School“, 2010.

Satz über die Impulsänderung eines Systems

Der Begriff des Kraftimpulses ermöglicht es uns, einen Satz über die Impulsänderung eines Systems für beliebige Systeme zu formulieren:

Satz über die Änderung des Drehimpulses (Drehimpuls) eines materiellen Punktes

Betrachten Sie einen wesentlichen Punkt M Masse M , sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Schreiben wir den Vektor des Drehimpulses (kinetischer Impuls) auf und konstruieren ihn. M 0 Materialpunkt relativ zur Mitte Ö :

Abbildung 3.1

Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls (kinetisches Moment). k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = V , dann das Vektorprodukt V ⊗ m⋅V (kollineare Vektoren V Und m⋅V ) ist gleich Null. Gleichzeitig d(m⋅V) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Deshalb verstehen wir das

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Wo R ⊗F = M 0 (F) – Vektormoment der Kraft F relativ zu einem festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( R,M ⊗V ) und der Vektor M 0 (F) ⊥ Ebene ( R ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes aus relativ zur Mitte: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment, das auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

Wenn wir die Gleichung (3.4) auf die Achsen der kartesischen Koordinaten projizieren, erhalten wir

dk x /dt = Mx(F); dk y /dt = M y(F); dk z /dt = M z(F) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes relativ zur Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

Betrachten wir die Konsequenzen, die sich aus den Sätzen (3.4) und (3.5) ergeben.

Folgerung 1. Betrachten Sie den Fall, wenn die Kraft F Während der gesamten Bewegung verläuft der Punkt durch das stationäre Zentrum Ö (Fall zentraler Kraft), d.h. Wann M 0 (F) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4). k 0 = const ,

diese. Bei einer Zentralkraft bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand her k 0 = const Daraus folgt, dass die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes eine flache Kurve ist, deren Ebene durch den Mittelpunkt dieser Kraft verläuft.

Folgerung 2. Lassen Mz(F) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) hervorgeht, k z = const ,

diese. Wenn das auf einen Punkt relativ zu einer festen Achse wirkende Kraftmoment immer Null ist, bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Betrachten Sie einen wesentlichen Punkt M Masse M, sich unter dem Einfluss von Kraft bewegen F(Abbildung 3.1). Schreiben wir den Vektor des Drehimpulses (kinetischer Impuls) auf und konstruieren ihn. M0 materieller Punkt relativ zum Mittelpunkt Ö:

Abbildung 3.1

Differenzieren wir den Ausdruck für den Drehimpuls (kinetisches Moment). k 0) zum Zeitpunkt:

Als dr/dt=V, dann das Vektorprodukt V × m∙V(kollineare Vektoren V Und m∙V) ist gleich Null. Gleichzeitig d(m∙V)/dt=F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Deshalb verstehen wir das

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

Wo r×F = M 0 (F)– Vektormoment der Kraft F relativ zu einem festen Mittelpunkt Ö. Vektor k 0⊥ Ebene ( r, m×V) und der Vektor M0(F)⊥ Ebene ( r, F), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (Drehimpuls) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Mittelpunkt ist gleich dem Kraftmoment, das auf den Punkt relativ zu demselben Mittelpunkt wirkt.

Wenn wir die Gleichung (3.4) auf die Achsen der kartesischen Koordinaten projizieren, erhalten wir

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetischer Impuls) eines materiellen Punktes relativ zur Achse aus: Die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zu einer festen Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft relativ zu derselben Achse.

Betrachten wir die Konsequenzen, die sich aus den Sätzen (3.4) und (3.5) ergeben.

Folgerung 1

Betrachten Sie den Fall, wenn die Kraft F Während der gesamten Bewegung verläuft der Punkt durch das stationäre Zentrum Ö(Fall zentraler Kraft), d.h. Wann M 0 (F) = 0. Aus Satz (3.4) folgt dann Folgendes k 0 = konst, diese. Bei einer Zentralkraft bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant(Abbildung 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand her k 0 = konst Daraus folgt, dass die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes eine flache Kurve ist, deren Ebene durch den Mittelpunkt dieser Kraft verläuft.

Folgerung 2

Lassen M z (F) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu.

In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) ersichtlich ist, k z = konst, diese. Wenn das auf einen Punkt relativ zu einer festen Achse wirkende Kraftmoment immer Null ist, bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.