Wärmeausbreitung durch Wärmeleitfähigkeit in flachen und zylindrischen Wänden im stationären Modus (Randbedingungen erster Art)

Homogene einschichtige Flachwand. Betrachten wir die Ausbreitung von Wärme durch Wärmeleitfähigkeit in einer homogenen einschichtigen flachen Wand der Dicke 8 mit ihrer unbegrenzten Breite und Länge.

Achse X Richten Sie es senkrecht zur Wand (Abb. 7.4). Entlang beider Wandflächen sowie in Achsrichtung ja, und in Richtung der Achse G Durch die gleichmäßige Zu- und Abfuhr von Wärme werden die Temperaturen gleichmäßig verteilt.

Da die Wand in Richtung dieser Achsen unendlich große Abmessungen hat, ergeben sich entsprechende Temperaturgradienten F/yu = (k/(k= = 0, und somit gibt es keinen Einfluss auf den Prozess der Wärmeleitfähigkeit der Endflächen der Wand. Unter diesen das Problem vereinfachenden Bedingungen ist das stationäre Temperaturfeld nur eine Funktion der Koordinate X, diese. Es wird ein eindimensionales Problem betrachtet. In diesem Fall nimmt die Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit die Form an (at d^dh = 0)

Als Randbedingungen erster Art gelten:

Reis. 7.4.

Finden wir die Temperaturnullpunktgleichung und bestimmen wir den Wärmestrom Ф, der durch einen Wandabschnitt mit einer Fläche fließt A(in Abb. 1L die Wand ist nicht markiert, da sie sich in einer Ebene senkrecht zur Zeichenebene befindet). Die erste Integration ergibt

diese. Der Temperaturgradient ist über die gesamte Wandstärke konstant.

Nach der zweiten Integration erhalten wir die benötigte Temperaturfeldgleichung

Wo A Und B - Ständige Integrationen.

Somit folgt die Temperaturänderung entlang der Wanddicke einem linearen Gesetz und isotherme Flächen sind Ebenen parallel zu den Wandflächen.

Um beliebige Integrationskonstanten zu bestimmen, verwenden wir die Randbedingungen:

Als? > ? ST2, dann die Projektion des Gradienten auf die Achse X negativ als

Dies war für die gewählte Achsenrichtung zu erwarten, die mit der Richtung des Oberflächenwärmestromdichtevektors übereinstimmt.

Wenn wir den Wert der Konstanten in (7.24) einsetzen, erhalten wir den endgültigen Ausdruck für den Temperaturnullpunkt

Linie a-b in Abb. 7.4, sog Temperaturkurve, zeigt die Temperaturänderung in Abhängigkeit von der Wandstärke.

Wenn man den Temperaturgradienten kennt, kann man mithilfe der Fourier-Gleichung (7.10) die Wärmemenge 8() ermitteln, die während der Zeit t durch das Element mit der Oberfläche ??4 senkrecht zur Achse fließt T.

und für eine Fläche von A

Die Formel (7.28) für den Wärmestrom und die Oberflächenwärmestromdichte erhält die Form

Betrachten wir die Ausbreitung von Wärme durch Wärmeleitfähigkeit in einer mehrschichtigen flachen Wand, die aus mehreren (z. B. drei) eng aneinander angrenzenden Schichten besteht (siehe Abb. 7.5).

Reis. 7.5.

Offensichtlich ist es bei einem stationären Temperaturfeld der Wärmefluss, der durch Oberflächen derselben Fläche verläuft A, wird für alle Schichten gleich sein. Daher kann Gleichung (7.29) für jede der Schichten verwendet werden.

Für die erste Schicht

für die zweite und dritte Schicht

Wo X 2, A 3 - Wärmeleitfähigkeit der Schichten; 8 1? 8 2, 8 3 - Schichtdicke.

Sind die Temperaturen an den Außengrenzen der betrachteten dreischichtigen Wand bekannt? St1 und? ST4. Werden Temperaturen entlang der Trennebenen zwischen den Schichten festgelegt? ST2 Und? STs, die als unbekannt gelten. Wir lösen die Gleichungen (7.31)-(7.33) bezüglich Temperaturunterschieden:

und dann Term für Term addieren und dadurch die unbekannten Zwischentemperaturen eliminieren:

Wenn wir (7.36) für eine y-Schichtwand verallgemeinern, erhalten wir

Zwischentemperaturen bestimmen? ST2, ? STZ auf den Ebenen von Schichtabschnitten verwenden wir Formeln (7.34):

Wenn wir die Ableitung schließlich auf die Wand der i-Schicht verallgemeinern, erhalten wir eine Formel für die Temperatur an der Grenze der i-ten und (r + 1)-ten Schicht:

Manchmal wird das Konzept der äquivalenten Wärmeleitfähigkeit R eq verwendet. Für die Oberflächenwärmestromdichte, die durch eine flache mehrschichtige Wand geht,

wobei die Gesamtdicke aller Schichten der mehrschichtigen Wand ist. Wenn wir die Ausdrücke (7.37) und (7.40) vergleichen, kommen wir zu dem Schluss

In Abb. Abbildung 7.5 zeigt ein Diagramm der Temperaturänderungen entlang der Dicke einer mehrschichtigen Wand in Form einer gestrichelten Linie. Innerhalb der Schicht folgt, wie oben nachgewiesen wurde, die Temperaturänderung einem linearen Gesetz. Tangente des Neigungswinkels cp, der Temperaturgeraden an die Horizontale

diese. gleich dem Absolutwert des Temperaturgradienten ^1"ac1 Also entsprechend der Steigung der Geraden ab, v. Chr und mit

Somit,

diese. Temperaturgradienten für einzelne Schichten einer mehrschichtigen flachen Wand sind umgekehrt proportional zu den Wärmeleitfähigkeiten dieser Schichten.

Dies bedeutet, dass zur Erzielung großer Temperaturgradienten (was beispielsweise bei der Isolierung von Dampfleitungen etc. erforderlich ist) Materialien mit niedrigen Wärmeleitfähigkeitswerten erforderlich sind.

Homogene einschichtige zylindrische Wand. Finden wir für den stationären Modus der Wärmeleitfähigkeit das Temperaturfeld und die Oberflächenwärmeflussdichte für eine homogene einschichtige zylindrische Wand (Abb. 7.6). Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Differentialgleichung der Wärmeleitung in Zylinderkoordinaten.

Achse 2 wird entlang der Rohrachse ausgerichtet. Nehmen wir an, dass die Länge des Rohres im Vergleich zum Durchmesser unendlich groß ist. In diesem Fall können wir den Einfluss der Rohrenden auf die Temperaturverteilung entlang der Achse 2 vernachlässigen. Nehmen wir an, dass aufgrund der gleichmäßigen Zu- und Abfuhr von Wärme die Temperatur an der Innenoberfläche überall gleich ist? ST1 und auf der Außenfläche - ? ST2 (Randbedingungen erster Art). Mit diesen Vereinfachungen (k/ = 0, und aufgrund der Symmetrie des Temperaturfeldes relativ zu jedem Durchmesser?/?/?Ар = 0. Isotherme Oberflächen sind in diesem Fall die Oberflächen der Zylinder, koaxial zur Rohrachse. Somit , das Problem reduziert sich auf die Bestimmung des eindimensionalen Temperaturfeldes? = / (d), wo G- aktueller Radius der zylindrischen Wand.

Reis. 7.6.

Differentialwärmegleichung (7.19) unter der Bedingung dt/d t = 0 wird die Form annehmen

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen

Welches ist der Temperaturgradient (grad?).

Ersetzen einer Variablen Und in (7.43) erhalten wir eine Differentialgleichung erster Ordnung mit separierbaren Variablen

oder

Integrieren, verstehen wir

Bei einer zylindrischen Wand ist der Temperaturgradient ein variabler Wert, der mit abnehmendem Radius zunimmt G. Folglich ist der Temperaturgradient an der Innenfläche größer als an der Außenfläche.

Den Wert ersetzen Und aus (7.44) bis (7.45) erhalten wir Und

Wo ein b- Ständige Integrationen.

Folglich ist die Temperaturverteilungskurve über die Wandstärke eine logarithmische Kurve (Kurve a-b in Abb. 7.6).

Definieren wir Konstanten A Und B, in die Temperaturfeldgleichung einbezogen, basierend auf den Randbedingungen erster Art. Bezeichnen wir den Innenradius der Oberfläche g x, extern - g 2. Wir bezeichnen die entsprechenden Durchmesser (1 L Und (1 2 . Dann haben wir ein Gleichungssystem

Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir

Die Temperaturnullpunktgleichung wird die Form annehmen Der Temperaturgradient wird durch Formel (7.45) bestimmt:

Als? ST1 > ? ST2 und r, r 2, dann ist die Projektion grad? auf dem Radiusvektor hat einen negativen Wert.

Letzteres zeigt, dass in diesem Fall der Wärmefluss vom Zentrum zur Peripherie gerichtet ist.

Zur Bestimmung des Wärmestroms, der durch einen Abschnitt einer zylindrischen Oberfläche mit einer Länge fließt B, Verwenden wir die Gleichung

Aus (7.46) folgt, dass der Wärmefluss durch eine zylindrische Oberfläche vom Verhältnis der Außen- und Innenradien r 2 / abhängt g x(oder Durchmesser s1 2 / (1 {), und nicht auf die Wandstärke.

Die Oberflächenwärmestromdichte für eine zylindrische Oberfläche kann ermittelt werden, indem man den Wärmestrom Ф mit der Fläche der Innenfläche in Beziehung setzt Ein Vizepräsident oder auf die äußere Oberfläche Ein NP. In Berechnungen wird manchmal die lineare Wärmestromdichte verwendet:

Aus (7.47)-(7.49) folgt

Mehrschichtige zylindrische Wand. Betrachten wir die Wärmeverteilung durch Wärmeleitfähigkeit in einer dreischichtigen zylindrischen Wand (Rohr) der Länge A (Abb. 7.7) mit einem Innendurchmesser c1 x und Außendurchmesser (1 L. Zwischendurchmesser einzelner Schichten - s1 2 und X 2, X 3.

Reis. 7.7.

Gilt die Temperatur als bekannt? ST) intern und Temperatur? ST4-Außenfläche. Sollen Wärmestrom F und Temperatur ermittelt werden? ST2 Und? STz an Schichtgrenzen. Stellen wir für jede Schicht eine Gleichung der Form (7.46) auf:

Wenn wir (7.51)-(7.53) nach Temperaturunterschieden auflösen und dann Term für Term addieren, erhalten wir

Aus (7.54) haben wir einen berechneten Ausdruck zur Bestimmung des Wärmeflusses für eine dreischichtige Wand:

Verallgemeinern wir Formel (7.55) auf die U-Schicht-Rohrwand:
Wo ich- Seriennummer der Schicht.

Aus (7.51)-(7.53) finden wir einen Ausdruck zur Bestimmung der Temperatur an den Grenzen von Zwischenschichten:

Temperatur? Kunst. +) an der Grenze? (G+ 1)te Schicht kann mit einer ähnlichen Formel bestimmt werden

In der Literatur finden sich Lösungen der Differentialwärmegleichung für eine Hohlkugel unter Randbedingungen erster Art sowie Lösungen für alle betrachteten Körper unter Randbedingungen dritter Art. Wir berücksichtigen diese Probleme nicht. Auch die Fragen der stationären Wärmeleitfähigkeit in Stäben (Rippen) mit konstantem und variablem Querschnitt sowie die Fragen der instationären Wärmeleitfähigkeit blieben außerhalb des Rahmens unseres Kurses.

Die Untersuchung eines physikalischen Prozesses ist mit der Herstellung von Beziehungen zwischen Größen verbunden, die diesen Prozess charakterisieren. Bei komplexen Prozessen, zu denen auch die Wärmeübertragung durch Wärmeleitfähigkeit gehört, ist es bei der Herstellung eines Zusammenhangs zwischen Größen zweckmäßig, die Methoden der mathematischen Physik zu verwenden, die den Prozessverlauf nicht im gesamten untersuchten Raum, sondern berücksichtigt in einem elementaren Materievolumen während einer verschwindend kleinen Zeitspanne. Der Zusammenhang zwischen den an der Wärmeübertragung beteiligten Größen durch Wärmeleitfähigkeit wird in diesem Fall durch die sogenannte hergestellt Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit. Im Rahmen eines gewählten Elementarvolumens und einer unendlich kleinen Zeitspanne wird es möglich, die Änderung einiger den Prozess charakterisierender Größen zu vernachlässigen.

Bei der Ableitung der Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit werden folgende Annahmen getroffen: physikalische Größen λ, mit p Und ρ dauerhaft; es gibt keine internen Wärmequellen; der Körper ist homogen und isotrop; Dabei kommt der Energieerhaltungssatz zur Anwendung, der für diesen Fall wie folgt formuliert ist: die Differenz zwischen der Wärmemenge, die aufgrund der Wärmeleitfähigkeit in einen Elementarquader während der Zeit eindringt dτ und gleichzeitiges Belassen wird für die Veränderung der inneren Energie des betrachteten Elementarvolumens aufgewendet. Als Ergebnis kommen wir zu der Gleichung:

Die Menge wird aufgerufen Laplace-Operator und wird normalerweise mit 2 abgekürzt T(auf dem Schild steht „nabla“); Größe λ /cρ angerufen Wärmeleitfähigkeitskoeffizient und mit dem Buchstaben bezeichnet A. Mit der angegebenen Notation nimmt die Differentialwärmegleichung die Form an

Gleichung (1-10) wird aufgerufen Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit, oder die Fourier-Gleichung für ein dreidimensionales instationäres Temperaturfeld ohne interne Wärmequellen. Sie ist die Hauptgleichung bei der Untersuchung der Erwärmung und Abkühlung von Körpern im Prozess der Wärmeübertragung durch Wärmeleitfähigkeit und stellt einen Zusammenhang zwischen zeitlichen und räumlichen Temperaturänderungen an jedem Punkt des Feldes her.

Wärmeleitfähigkeitskoeffizient A= λ/cρ ist ein physikalischer Parameter eines Stoffes und hat die Maßeinheit m 2 / s. Bei instationären thermischen Prozessen beträgt der Wert A charakterisiert die Geschwindigkeit der Temperaturänderung. Wenn der Wärmeleitfähigkeitskoeffizient die Fähigkeit von Körpern charakterisiert, Wärme zu leiten, dann der Wärmeleitfähigkeitskoeffizient A ist ein Maß für die thermischen Trägheitseigenschaften von Körpern. Aus Gleichung (1-10) folgt, dass sich die Temperatur über die Zeit ändert ∂t / ∂τ denn jeder Punkt des Körpers ist proportional zum Wert A Unter den gleichen Bedingungen steigt daher die Temperatur des Körpers mit einer höheren Wärmeleitfähigkeit schneller an. Gase haben kleine und Metalle große thermische Diffusionskoeffizienten.

Die Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit mit Wärmequellen im Körper hat die Form

Wo Siehe auch- die pro Volumeneinheit eines Stoffes pro Zeiteinheit freigesetzte Wärmemenge, Mit- Massenwärmekapazität des Körpers, ρ - Körperdichte .

Die Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit in Zylinderkoordinaten mit einer internen Wärmequelle hat die Form

Wo R- Radiusvektor in einem Zylinderkoordinatensystem; φ - Ecke.

z
X
VORTRAG 4
Probleme der Wärmeleitfähigkeit in verschiedenen Koordinatensystemen.
Kartesisches Koordinatensystem
T
T
T
Q
ich
J
k
T T x, y , z , t
j
X
X
j
T
T T T
C
qV
t x x y y z z
C
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
In der Praxis treten häufig Bedingungen auf, die dazu führen, dass die Gleichung geschrieben werden muss
Wärmeleitfähigkeit in einer anderen Form, die sich besser zur Darstellung der Lösung und ihrer physikalischen Eigenschaften eignet
Interpretationen.
Abhängigkeit vom Gleichungstyp
abhängig vom verwendeten System
Koordinaten können ausgeschlossen werden,
unter Verwendung der Operatornotation
1 T
Q
FERNSEHER
bei
2
X
2
2
j
2
2
z 2
ein c
T
C
div gradT qV
T
oder
C
T
T qV
T
(4)
Die Begriffe, die Wärmefreisetzung und Energieakkumulation ausdrücken, sind in Bezug auf unveränderlich
Koordinatensysteme (d. h. unverändert); sondern die Begriffe, die die resultierende Leitfähigkeit ausdrücken
Der Wärmefluss hängt von der Geometrie und damit vom Koordinatensystem ab.

Zylindrisches Koordinatensystem
z
C
DR
R
dz
r, z
z
X
T
div q q
T
q T
xrcos
j
r, z
(5)
Deine Sünde
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r r
z
D
j
DR
D
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
bei t r r r
z
X
1 T 1 T
R
qV
bei t r r r
T
1 T
T
; Q
; qz
R
R
z
A
(9)
T Ts
C
(8)

R,
Sphärisches Koordinatensystem
z
DR
R,
R
D
X
1 T
div q q
bei
q T
j
1 2
1
1
2
2 r
2
Sünde
2
r Sünde 2
r r r r Sünde
T
1 T
1 T
; Q
; Q
R
R
r Sünde
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2TqV
2 r
2
Sünde 2
2
eine Sünde
r Sünde
(11)
D
qr
1 T 1 2 T qV
2 r
bei t r r r
x r sincos
Deine Sünde ist Sünde
z
(12)
z r cos
j
X

Wärmegleichungen für Körper kanonischer Form
Besonders praktisch ist das Schreiben von Gleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen.
wenn Sie die Temperaturverteilung in Körpern der Kanonik ermitteln müssen
Form - in einem Zylinder oder einer Kugel. In diesen Fällen lauten die Gleichungen im Wesentlichen
werden bei der Angabe besonderer Bedingungen im Temperaturfeld vereinfacht
hängt nur von einer Koordinate ab.
Parallelepiped
Platte
Zylinder
Kugel
C
T T T T
qV
t x x y y z z
1T 2TqV
2
bei t x
qe
1 T 1 T qV
R
bei t r r r
1 T 1 2 T qV
R
2
bei t r r r
T Ts
z
j
X

1 T 1 n T qV
R
N
bei t r r r
Die letzten drei
Gleichungen zusammen:
n 0
Nr. 2
n 1 Zylinder
Flugzeug
T T0
T* T0
T
T*
(13)
Kugel
R
R*
1 1 n
qV
N
Fo
Auf dem Schreibtisch
Fourier-Zahl
bei*
Fo 2
R*
qV 1:
bei*
bei
1: 2
2
R*
R*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
Q
T* T0 V r*2
1 n
1
N
Fo

Stationäre Probleme der Wärmeleitung in verschiedenen Koordinatensystemen
Zylindrische Wand: stationärer Prozess der Wärmeleitung in
zylindrische Wand (Rohr) mit Innenradius r1;
d 1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
R
a t r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
DR
du 1
du 0
Dr. R
T C1 ln r C2
Q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
DR
R
d 2T
1 dT
0
2 r Dr
DR
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Der spezifische Wärmestrom ist nicht vorhanden
ist in der Dicke konstant und nimmt mit ab
zur Außenfläche hin
Unter stationären Bedingungen ist der gesamte Wärmestrom durch die
Abschnitt eines zylindrischen Rohrs mit der Länge l und gleich
Q q F q 2 rl
Spezifischer Wärmestrom
nimmt mit dem Radius ab
!!!
(19)
Oberfläche
nimmt mit dem Radius zu
Die Temperatur über die Rohrdicke variiert selbst bei konstanter Temperatur nichtlinear
Wärmeleitfähigkeitskoeffizient
Aus den Randbedingungen können Integrationskonstanten ermittelt werden.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ln r1 C2 ,
Lineares System
Gleichungen
T2 C1 ln r2 C2 ,
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
ln r2 r1
Q
Q
Wärmestrom pro Längeneinheit
qp
(20)
dT
C
1
DR
R
dT
T
l 2 r
2 l
DR
ln r2 r1
W
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(Wandtemperaturen sind unbekannt)
T C1 ln r C2
Wir können das Gleiche tun:
r r1:
Machen wir es anders:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
R
R
Konvektiver Wärmestrom pro Längeneinheit
Rohre müssen dem linearen Wärmestrom entsprechen
aufgrund der Wärmeleitfähigkeit:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
ln r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(MK)
1
1 R
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Wärmeübergangskoeffizient für
zylindrische Wand
Rc
1
1
1 R
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
flache Wand
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Aus dem Gleichungssystem (23) können wir finden
und Wandtemperaturen und ersetzen in (20)
Volle Thermik
Rohrwiderstand
(24)
(25)
(26)
Abmessungen
unterscheidet sich von
Maß K für
flache Wand!
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
ln r2 r1
Kann
Auf dem Schreibtisch

In dimensionslosen Variablen
r1
d 2
D
r2
2
1 T
0
D
(27)
D
Bi
D
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Übung
zum Haus:
1:
T Te 2
R
; r* r2
Te1 Te 2
r2
D
Bi 1
D
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 In C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Gehen Sie vorsichtig zu dimensionslosen Variablen über
B) Finden Sie die Integrationskonstanten aus System (30)
C) Erstellen Sie für verschiedene Parameterwerte

10.

Prinzipien
konsistent
Und
parallel
Verbindungen von Wärmewiderständen in einem Stromkreis,
gilt für eine flache Wand in einer rechteckigen Wand
Koordinatensystem, kann auch auf das Problem angewendet werden
Wärmeleitfähigkeit in einem Hohlzylinder.
Elektrische Analogie
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
ln r2 r1
2 l
Flüssigkeit fließt in einem Rohr, R 1 1
0
F 2 r1l
mit Isoliermaterial abgedeckt
Material
dT
T
l 2 r
2 l,
DR
ln r2 r1
T
Q
,
ln r2 r1 2 l
In Form von
Ohm'sches Gesetz
Wärmewiderstand
Hohlzylinder
Konvektive Thermik
Flüssigkeitswiderstand
Wir haben eine Reihenschaltung des konvektiven Widerstands der Flüssigkeit mit zwei
leitfähige Wärmewiderstände. Wenn die Flüssigkeitstemperatur und die Temperatur eingestellt sind
äußere Oberfläche:
T0 Ts
T
Q
A)
R
voll
R
R
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Widerstand
Isolierung
Wenn die Temperaturen der Innen- und Außenflächen angegeben sind
B)
T
Q
R voll
T1 Ts
R
R
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Beispiel
1 185
In einem Aluminiumrohr mit Wärmeleitfähigkeit
W/(m K), Wasserdampf strömt
◦
bei einer Temperatur von 110 °C. Der Innendurchmesser des Rohres beträgt 10 cm, der Außendurchmesser 12
Te
cm. Das Rohr befindet sich in einem Raum mit einer Temperatur
30◦C; Koeffizient
e
konvektive Wärmeübertragung vom Rohr
in die Luft
gleich 15 W/(m2K). 1) Erforderlich
Ermitteln Sie den Wärmefluss pro Längeneinheit des Rohrs, wenn das Rohr nicht wärmeisoliert ist.
2) Um den Wärmeverlust des Rohrs zu reduzieren, wurde es mit einer Wärmedämmschicht abgedeckt
(2 0,2 ​​W/(m K)) 5 cm dick Ermitteln Sie den Wärmestrom pro Längeneinheit
wärmeisoliertes Rohr. Nehmen Sie die konvektive Thermik an
Der Dampfwiderstand ist vernachlässigbar.
Lösung. Für ein Rohr ohne Wärmedämmung sind dies die wichtigsten
leitender Wärmewiderstand des Rohres selbst und konvektiver Wärmewiderstand
Raumluftwiderstand. Da konvektive Thermik
Der Dampfwiderstand kann vernachlässigt werden, die Temperatur der Innenoberfläche kann vernachlässigt werden
Rohr ist gleich der Dampftemperatur. Der Wärmestrom pro Rohrlängeneinheit ergibt sich aus
Verhältnisse T T
110 30
80
Q
0
e
ln r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Bei einem Rohr mit Wärmedämmung müssen Sie den Wärmewiderstand hinzufügen
Wärmedämmung, und die Beziehung für den Wärmefluss wird die Form annehmen
Q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
ln r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m.

12.

Mehrschichtige zylindrische Wand
qc
Tn T1 1
N
D
1
ln i 1
2 ich
di
, d i 2r1
qc
ich 1
Das Konzept bleibt gültig
äquivalenter Koeffizient
Wärmeleitfähigkeit
Gl
ln dn 1 d1
N
ich 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
ich di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
N
Tn 1
r2 d2 2
Temperatur Ti 1
Ti 1 Ti
2 Äq T1 Tn 1
ln dn 1 d1
an der Grenze zwischen der i-ten und der i+1-Schicht
qc 1 d 2 1 d3
1 T
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
ich
di
(35)
Hitzeübertragungskoeffizient:
Kc
1
1
1d1
N
ich 1
1 von 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
Der radiale Wärmestrom in einem Rohr ist umgekehrt proportional zum Logarithmus
Außenradius (radialer Leitungswiderstand erhöht sich);
r2
Die Wärmeabgabe von der Außenfläche ist hierzu direkt proportional
Radius (vergrößert die Kühlfläche)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Daher gibt es einen bestimmten Radius
wo der Wärmeverlust am größten ist!
Bei einem festen (kleinen) Innenradius erhöhen wir
Rohrwandstärke (d. h. den Außenradius r2 erhöhen), dann die Aktion
der Logarithmus in der Formel für den Wärmewiderstand wird größer sein
stärker als mit einem größeren Innenradius

14.

Kritischer Durchmesser der Wärmedämmung
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Extremzustand:
gibt
r2 * 1
2
Kritischer Radius
Ein Sonderfall mit einem Innenwiderstand von Null, 1 1 0
j
Q
2 Te1 Te 2
1
R
, x 2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Der äußere Widerstand ist ebenfalls Null
r1 r2
Die Wandstärke beträgt 0
1: x 2r2
Für einen gegebenen Innenradius der kritische Wert
Der Außenradius nimmt zu, wenn er zunimmt
Wärmeleitfähigkeit des Rohres oder wenn der Koeffizient abnimmt
Wärmeübertragung an der Außenfläche
(37)
Bi 1

15.

Isolierung
Die Existenz eines kritischen Außenradius führt dazu, dass wann
einige reale Bedingungen, im Gegensatz zu herkömmlichen Vorstellungen,
Der Wärmeverlust eines isolierten Rohrs kann tatsächlich reduziert werden
durch Reduzierung der Dämmstärke
d1
d2
Gesamtwärmewiderstand für ein zweischichtiges Rohr mit dem Querschnitt
in der Abbildung dargestellt, bestimmt durch die Formel
d3
Rc
1 2
Rohr
Zustand
Extremum:
d2 d3 *
d3 d2
(39)
- Dämmstärke
Der Wärmewiderstand der Wärmeleitfähigkeit (I) der Isolierung nimmt mit zunehmender Temperatur zu
Dicke der Isolierbeschichtung; Wärmewiderstand der Wärmeübertragung der Isolierung
(II) – nimmt ab (mit zunehmender Wärmeübertragungsfläche)
dRc
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3 *
1
1
1 W2
1 W3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(ICH)
d 3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
hängt nicht davon ab
d2
(40)
(d. h. hängt nicht vom Durchmesser der Rohrleitung selbst ab)
Am kritischen Punkt vollständige Thermik
Widerstand ist minimal!
Eine zunehmende Isolationsdicke verringert die Wärmeübertragung
Die Anwendung der gewählten Beschichtung führt zunächst zu einer Erhöhung
Wärmeübertragung, und erst wenn der kritische Durchmesser erreicht ist, erfolgt der Wärmefluss
verringern; dann erreicht es den Wert, der ohne Isolierung und nur dann vorhanden war
wird zum gewünschten Effekt führen

16.

Problem für eine Hohlkugel
(Kugelwand)
d 2T
DR
2
2 dT
0
r Dr
(41)
Wir betrachten ein räumlich eindimensionales Stationäres
Problem der Wärmeleitung in einer Kugelwand mit gegeben
Radien der Innen- und Außenflächen. Eindimensionalität
Problem bedeutet, dass die Temperaturverteilung in der Wand
hängt nur vom Radius ab
Ersatz verwenden
Variablen
r1
dT
u
DR
du
2u
Gemeinsame Entscheidung
DR
R
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; du 21 ; T r 1 C2 ;
2
R
Dr. R
R
r2
Randbedingungen erster Art
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Wärmestromdichte
Gesamter Wärmestrom
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
Q
2 C1
DR
1 r1 1 r2
R
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
DR
1 r1 1 r2
(46)

17.

Randbedingungen dritter Art
T r
Gemeinsame Entscheidung
ändert sich nicht
C1
C2
R
T
r r1: -
1 T Te1
R
T
r r2: -
2 Te2 T
R
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2 r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr. R
C2
(48)
Der Gesamtwärmestrom Q ist es nicht
hängt vom aktuellen Radius ab
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Im Grenzfall mit idealem Wärmeaustausch zwischen Medien mit gegebenen Temperaturen und
sphärische Wand (d. h. für unendliche Wärmeübergangskoeffizienten), Lösung des Problems mit
Randbedingungen der dritten Art beschäftigen sich mit der Lösung eines Problems mit Randbedingungen
Bedingungen erster Art.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r 2
=
Wärmefluss,
4 r1 2 1 Te1 T
kommt zu
innere Mauer
=
Wärmefluss,
4 r 2 2 2 T Te 2
Verlassen
Außenwand

18.

Temperaturverteilung in einer Kugelwand
für Randbedingungen dritter Art
Zu Hause:
Alle wiedergeben
Lösung
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r 2
Wandtemperaturen:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2 Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
R
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
R
2 2
r12 1Te 2
T2
Leitfähigkeit der Kugelwand:
S
1 1
r1 r 2
r1r 2
r 2 r1

19.

Lösungen für die einfachsten Probleme in dimensionsloser Form
Sammeln wir Lösungen für stationäre Probleme für Körper kanonischer Form mit
Randbedingungen erster Art zusammen
T p T1 T1 T 2
R
r2
Zu Hause: Spielen!
Tc
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r 2
T1 ln r 2 r T 2 ln r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T 2
R
r2
0,8
S. 1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
C
P
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
In einer flachen Wand, hochwertige Verteilung
Die Temperatur (linear) hängt nicht davon ab
Dicke. Aber in zylindrisch und kugelförmig -
variiert nichtlinear mit dem Radius;
Charakter
Verteilung (Krümmung der Kurve) hängt davon ab
Verhältnis von Außen- und Innenradien.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Flache Temperaturverteilung
(1), zylindrisch (2) und kugelförmig (3)
Wand Durchgehende Linien
;
10
gepunktete Linien - . 5

20.

Bei Randbedingungen dritter Art Lösungen für einfachste Probleme
hängen von den Parametern ab, die die Wärmeübertragung charakterisieren.
Bei gleichen Wärmeübergangskoeffizienten.
T Te 2
Te1 Te 2
R
r2
1 2
0,8
für Teller
1
S. 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
für Zylinder:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 ln 2 ln
ln
1 1
2
1 Mrd. ln
1 Mrd. ln
C
für Kugel:
S
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Temperaturverteilung
entlang der Ebenenkoordinate (1),
zylindrisch (2) und kugelförmig
(3) Wände in Bedingungen
konvektive Wärmeübertragung.
Durchgezogene Linien – Bi 2;
gepunktet - Bi 1 0

21.

Beispiele: Dewar-Flasche
Mit einem Oxidfilm überzogene Metallpartikel
Hausaufgaben:
1.Formulieren Sie das Problem der Temperaturverteilung in einer zweischichtigen Form
Kugelschale während ihrer konvektiven Abkühlung unter Verwendung des Materials
Vorträge. Der thermische Kontakt zwischen den Schichten gilt als ideal. Führen
Problem zu einer dimensionslosen Form. Konstruieren Sie eine exakte analytische Lösung
diese Aufgabe.
2.*Berechnen Sie die Temperaturen der Innen- und Außenflächen der Kugel
Schalen in Problem 1, sowie die Temperatur am Kontakt; vollständig definieren
Wärmefluss, der die Oberfläche der Kugel verlässt, unter der Annahme, dass die Temperatur
Umgebung innerhalb der Hülle – 175 °C, Umgebungstemperatur – 25 °C;
Die Wärmeübertragungskoeffizienten sind gleich und betragen – 28,8 kcal/(m2·Stunde·Grad);
Innen- und Außenradien der Schale – 3 cm und 5 cm Dicke
Innenschale – 25 mm. Die Innenschale besteht aus
Material mit einer Wärmeleitfähigkeit von 1,45 kcal/(m Stunde Grad); außerhalb von
Material mit einem Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten von 0,137 kcal/(m Stunde Grad). Wie
Der Wärmefluss ändert sich, wenn die Dicke des Außenmaterials zunimmt
Granaten von 25 mm bis 300 mm?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. erste Art: r r1:
qV konst
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. dritte Art:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
R
r r2:
-
T
2 Te2 T
R
Erster Lösungsweg:
Das Problem wird durch elementare Integration gelöst:
qV x 2
T x
C1x C2
2
dT
Q
V x C1;
dx
(4)
Wenn wir die allgemeine Lösung in das g.e. einsetzen, finden wir die Integrationskonstanten.
Das Maximum liegt in einiger Entfernung von den Oberflächen.
Die Position des Maximums kann aus der Bedingung (Extremzustand) ermittelt werden.
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Aufgaben mit internen Wärmequellen
WÄRMELEITENDE FLACHWAND MIT VOLUMETRISCHER WÄRMEERZEUGUNG
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Lasst uns die Dinge etwas anders machen. (Zweiter „Weg“
Lösungen)
qV x 2
T x
C1x C2
allgemein
Lösung
2
(4)
Platzieren wir den Koordinatenursprung an der Stelle, an der
maximale Temperatur
T2
1; 2
- Abstände vom Maximum zu den Plattenrändern
0
C1 0
Wir schreiben die Randbedingung rechts wie folgt um:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
Q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Da die x=0-Ebene als wärmeisoliert betrachtet werden kann, wird die gesamte darin abgegebene Wärme abgegeben
Platte rechts pro Zeiteinheit, muss an die Umwelt abgegeben werden
durch Wärmeübertragung von der rechten Wand. Andernfalls wird die Bedingung verletzt
Stationarität
qV 2 - Wärmemenge, die im Volumen einer Platte mit der Dicke = 1 pro Zeiteinheit freigesetzt wird
Links ist der Ausdruck für den Wärmeübertragungsfluss pro Flächeneinheit der Platte

24.

Ähnliches gilt für die linke Schicht der Platte mit der Dicke
1 2
zum Ausdruck führen
2
Q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Mit den Gleichungen (6), (7) finden wir die Position
maximal
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Indem wir die Konstante C2 bestimmen (jede der Gleichungen ist geeignet), finden wir die allgemeine Lösung.
Es nimmt die einfachste Form an, wenn
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Dann
qV qV 2
C2
Te
2
8
Und
2
Q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Je niedriger, desto höher ist die Wärmeleitfähigkeit der Platte
Tmax T x 0
Te
8
2
Q
Die Wandtemperatur Ts T1 T2 V Te steigt mit der Verschlechterung der Wärmeübertragung
2

25.

Randbedingungen erster Art
T1
2
1
T2
0
siehe V. 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
siehe V2
(11)
siehe V 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
TxT2
X
1
2
2 2
qV
Für sehr große Werte
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Randbedingungen dritter Art werden zu Randbedingungen
Bedingungen erster Art. Daher haben wir die gleiche Entscheidung
Wir verwenden die vorherige Lösung
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Folglich ergibt sich aus dem symmetrischen Problem mit Randbedingungen dritter Art (10).
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
Q
V Ts
8
2
Temperatur
Wände
(14)
Die gleiche Gleichheit ergibt sich aus der vorherigen Lösung, sofern die Wandtemperaturen gleich sind

26.

Stellen Sie sich einen unendlichen, gleichmäßig beheizten Vollzylinder vor (oder
gekühlt) von der Seitenfläche. Das Volumen des Zylinders enthält eine Wärmequelle
konstante Intensität. Es ist erforderlich, die Temperaturverteilung für zu ermitteln
Gleichgewichtszustand.
d 2T 1 dT q
DR
u dT dr
2
r Dr
q r
du
R
u V 0
DR
V
oder
0
(1)
d ru qV r
0
DR
qV r 2
ru
C1
2
q r C
dT
V 1
DR
2
R
Gemeinsame Entscheidung
Erste
Integral
(3)
qV r 2
T
C1 ln r C2
4
Zustand im Zentrum für
Vollzylinder
dT dr 0; r 0
(2)
(4)
C1 0

27.

Volumetrischer Wärmeableitungszylinder
dT
T Te
r R
DR
siehe V2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
R
Te
C2
Te
4
2
2
4
Q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Äußerer Zustand:
Wärmestromdichte auf der Oberfläche des Zylinders:
Gesamtwärmestrom von der Zylinderoberfläche:
q Ts Te
Q qF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Das Problem der Kühlung eines Zylinders mit volumetrischer Wärmeabgabe liegt in
insbesondere Interesse an der Ermittlung der Temperaturverteilung in Kathoden,
Wird in Plasmatrons zur Erzeugung von Ionenströmen verwendet. In der Praxis
Anwendung kann dieses Problem wie folgt umformuliert werden: Finden Sie die Kraft
Quelle ausreichend, um die Kathode zu zerstäuben, sofern dies erforderlich ist
den Schmelzpunkt des Kathodenmaterials erreichen
Mit der allgemeinen Lösung (4) können wir die Temperaturverteilung über die Dicke ermitteln
die Wände eines Hohlzylinders oder entlang der Dicke eines Zylinders mit einer Schutzschicht bedeckt
(wir werden weiter darüber nachdenken). Im ersten Fall müssen Sie Bedingungen an der Innenfläche festlegen
Zylinder. Im zweiten Fall ist eine zusätzliche Bedingung an der Schnittstelle erforderlich
zwei Materialien mit unterschiedlichen Eigenschaften, d.h. Randbedingung der vierten Art.

28.

Ball mit volumetrischer Wärmeabgabe
qV r 2 C1
Zu Hause: zeig es mir
T
C2 (2)
(1)
Was ist die allgemeine Lösung?
6
r1
Dr. 2
(1) hat die Form (2)
dT
Bedingungen:
dT dr 0; r 0 und dr T Te ; r R
Q
Q
Gib C1 0 und
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R 1
3
6
R
Q
Q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maximale Temperatur
3
6
Q
Q
Oberflächentemperatur
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R 2 dT
1
Gesamtwärmefluss durch die Oberfläche
Q
R 3qV
4 dr r R 3
Ball
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
Zylinder
S
2
4
2
Vergleichen
d 2T
2 dT qV
0
r Dr
Flache Schicht Tmax
qV qV 2
Te
2
8
Q
T s V Te
2
mit (4), (5)

29.

Beispiel 1. Ermitteln Sie den maximalen Strom, der durchgelassen werden kann
Aluminiumdraht (λ=204 W/(m K)) mit einem Durchmesser von 1 mm, so dass es
Die Temperatur überstieg 200 °C nicht. Der Draht wurde mit an der Luft aufgehängt
Temperatur 25 C. Koeffizient der konvektiven Wärmeübertragung vom Draht zum
Luft beträgt 10 W/(m2 K). Elektrischer Widerstand Re/l pro Einheit
die Leitungslänge beträgt 0,037 Ohm/m.
Lösung. Verwenden wir die Formel (66), aus der sie folgt
qV
Zu I 2
R2l
Tm Axt
qV R R
Ich 2 Re
Te
1
Te
2
2
2 R l
R
1 2
Wir ersetzen die angegebenen Werte physikalischer Größen:
200 25
ICH
2
2 1 0 3
Von hier aus finden wir die aktuelle Stärke:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
Ich 12,2 A

30.

Isolierter Draht
Strenge mathematische Formulierung des Problems:
d 2T1
DR
2
d 2T2
Die erste Bedingung ist die Symmetriebedingung;
der zweite deutet darauf hin, dass thermisch
Kontakt zwischen Draht und Isolierung –
ideal, und das dritte entspricht
konvektiver Wärmeaustausch von Draht mit
Isolation von der Umwelt.
DR
2
1 dT2
0
r Dr
r 0: dT dr 0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T 2
DR
DR
r R: 2
Allgemeine Lösung des Problems:
1 dT1 qV
0
r Dr
1
dT2
T2 Te
DR
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Zu Hause: zeig es mir
Gerechtigkeit

31.

Isolierter Draht
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Allgemeine Lösung des Problems:
T2 C3 l n r C 4
Aus Bedingung (3) gilt:
C1 0
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
Bedingungen (4) ergeben:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Aus Bedingung (5) folgt:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R 2 2
2 2
Wir finden:
qV R 2
q R
C4Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C2Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Daher die Temperaturverteilung in einem Draht mit Isolierung
durch Formeln beschrieben
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R 4 1
Und
qV R 2 2 qV R 2 R
T2Te
ln
2 2 R
2 2
R
Wir präsentieren die endgültige Lösung als:
T Te
ich ich
T Te
qV R 2
T Te
1
R
R
1
Bi K
2
1 1 2
ln 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Bestimmen wir den Wärmefluss von der Oberfläche
Dirigent
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Geh nach Hause
dimensionslose Variablen
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- Die Isolierung führt keine Wärme vom stromführenden Leiter ab
- Durch Wärmeverlust ist eine Abkühlung des Leiters möglich
Umfeld
R

33.

Beispiel 2. Lassen Sie einen langen Aluminiumdraht mit einem Durchmesser von 1 cm entlang
Es fließt ein elektrischer Strom mit einer Stromstärke von 1000 A. Der Draht ist mit einer Schicht bedeckt
Gummiisolierung 3 mm dick (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatur
Die Außenfläche der Isolierung hat eine Temperatur von 30 °C. Ermitteln Sie die Temperatur im Inneren
Isolierflächen. Ohmscher Widerstand des Drahtes pro Einheit
Länge 3,7·10-4 Ohm/m.
Lösung. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die zweite Formel für T2
als Konjugatproblem betrachtet. Vorausgesetzt, die Temperatur ist eingestellt
2
Außenfläche der Isolierung, d.h.
Zu I 2
Zu I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
R l
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Verwendung des Wärmeleitfähigkeitswerts von Aluminiumdraht
1.232 W/(m·K) und der Formel für T können wir die Temperatur im Zentrum berechnen
1
Drähte. Unter den betrachteten Bedingungen haben wir
2
Zu I 2
Zu I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Hausaufgabe.
1. Ein Strom der Stärke I=200A wird durch einen Edelstahldraht geleitet
mit einem Durchmesser von 2 mm und einer Länge von 1 m. Elektrischer Widerstand des Drahtes –
0,125 Ohm, Wärmeleitfähigkeitskoeffizient 17 W/(m·K). Temperatur
Drahtoberfläche 150 C. Es ist notwendig, die Temperatur auf der Achse zu berechnen
Draht.
2. Gehen Sie bei der gleichen Aufgabe davon aus, dass der Draht mit einer Isolierschicht bedeckt ist
(Wärmeleitfähigkeitskoeffizient der Isolierung 0,15 W/(m·K)) und der Koeffizient
Die Wärmeübertragung auf der Isolieroberfläche beträgt 60 W/(m2K). Wie benötigt
Ändern Sie den Strom (erhöhen oder verringern), um die Temperatur zu erhöhen
Die Oberfläche des Drahtes blieb bei 150 °C.

35.

Effektive (äquivalente) thermophysikalische Eigenschaften
Materialien, die tatsächlich im Maschinenbau und in unserem Umfeld verwendet werden
sind mehrkomponentig und mehrphasig. Dies gilt für Stähle
Legierungen, intermetallische Verbundwerkstoffe, Sinterwerkstoffe,
Faserverbundwerkstoffe, Verbundwerkstoffe auf Polymerbasis, Mischungen,
Lösungen usw.
Wenn für die Ausgangskomponenten (aus denen Verbundstoffe synthetisiert werden).
unterschiedlicher Technologien) oder die verwendeten Materialien mit allen Eigenschaften gegeben
mehr oder weniger klar, dann für neu entwickelte Materialien
Die Definition von Eigenschaften ist eine große Herausforderung.
Standardmäßige experimentelle Methoden funktionieren möglicherweise nicht oder werden nicht
teuer oder zeitaufwändig
Zur Berechnung müssen Sie die Eigenschaften der Komponenten, die Struktur und die gegenseitigen Eigenschaften kennen
der Einfluss physikalischer Phänomene aufeinander.
Ohne Daten zu physikalischen Eigenschaften ist keine wissenschaftliche Forschung möglich.
oder technische Berechnung
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Wärmeleitfähigkeit von Mischungen und Verbundwerkstoffen
Materialien

36.

Modelle zur Berechnung von Eigenschaften:
korpuskulär (molekular), Kontinuum und kombiniert
In Korpuskularmodellen werden Eigenschaften auf der Grundlage von Erkenntnissen über die Natur untersucht.
Struktur und Natur der Teilchenwechselwirkung. Berechnung physikalischer Eigenschaften in
In diesem Fall ist nur die Nutzung von Daten zu anderen Liegenschaften möglich.
Klassifizierung heterogener Strukturen:
Dulnev, S. 10-52 (offen)
Verbundwerkstoffe: S. 106–130

37.

Es gibt zahlreiche Methoden zur Berechnung effektiver Koeffizienten
Wärmeleitfähigkeit heterogener und poröser Materialien
In einfachster Näherung für den Prozess der Wärmeleitung in einem separaten
Mikrofläche (die als repräsentatives Volumen betrachtet wird)
physikalische Gleichungen gelten
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Randbedingungen an Schnittstellen zwischen Regionen mit einem Ideal
thermischer Kontakt haben die Form:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
N
N
Zur Bestimmung der effektiven Wärmeleitfähigkeit eines Materials (bestehend aus
verschiedenen Phasen) ist es notwendig, die Verteilung physikalischer Felder während zu bestimmen
alle Mikrobereiche, und gehen dann weiter zu einer quasi-homogenen Umgebung, z
welches die Beziehungen hält
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Festlegung der Art davon
Effektiver Koeffizient: f k, k;
Abhängigkeit und ist
Hauptaufgabe
- Phasenanteile
verschiedene Theorien.
JT
T

38.

Zweiphasensystem
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2 T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Folgt aus
vorherige
, k 1.2
- durchschnittlicher Volumengradient
Das System aus zwei Gleichungen (1) enthält drei Unbekannte. Für E-Verschluss
Es werden zusätzliche Informationen benötigt, beispielsweise Informationen zur Struktur
heterogenes System, Daten aus einem speziell entwickelten Experiment.
Die Lösung des Problems der Schließung solcher Systeme führte zur Entstehung von allem
Vielzahl von Methoden zur Bestimmung von Transferkoeffizienten (nicht nur
Wärmeleitfähigkeitskoeffizient), der in der Literatur bekannt ist

39.

1. Im Fall der einfachsten Struktur, die ein System ist
unbegrenzte Platten parallel zur Strömung J
1 2 1
Und
1 1 2 2
2. Wenn die Schichten senkrecht zur Strömung stehen
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Die Strukturtypen inhomogener Medien sind sehr vielfältig. Also für den Fall
Zweiphasenmedien, zu denen Phasen (Mikroregionen mit verschiedenen Phasen) gehören
kann sowohl chaotisch als auch geordnet im Raum verteilt sein,
Es ist möglich, Strukturen zu unterscheiden, die eine der Phasen in isolierter Form enthalten
isomere (1) oder anisotrop orientierte (2) Einschlüsse in
kontinuierliche andere Phase, körnige Systeme mit einem kontinuierlichen Rahmen (3) und
Poren (4), Fasersysteme aus Fasern (5) und Poren (6), statistisch gesehen
inhomogene (mikroheterogene) Systeme ähnlicher Größe
Komponenten (7), Schichtsysteme aus Parallelen (8) und Senkrechten
(9) Schichtfluss. Man kann sich Systeme vorstellen, die aus einzelnen bestehen
Subsysteme mit verschiedenen Strukturen der beschriebenen Art. Zusätzlich
Jede der in der Struktur enthaltenen Phasen kann entweder mehrkomponentig sein oder
und einkomponentig. In jedem Fall ist es notwendig, die Eigenschaften jeder Phase zu berechnen
oder deren experimentelle Bestimmung.

40.

Kondorsky-Gleichung
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (Methode
1
effektive Umgebung)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
Integrale Methode
Zweiseitige Schätzungen (Schätzungen
Khashin-Shtrikhman)
Schermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Index 1 bezieht sich auf die Matrix und „2“ auf die Einschlüsse
Trotz der vereinfachten Medienmodelle gelten einige der bekannten Formeln
ermöglichen es uns, recht zuverlässige Schätzungen vorzunehmen, obwohl die Anzahl der Formeln für
der verschiedenen Spezialfälle von Medien nimmt mit zunehmender Phasenzahl rapide zu.

41.

Zu Hause:
Verbundwerkstoff verfügbar. Die Matrix ist eine Legierung auf Wolframbasis (wir betrachten sie
Wärmeleitfähigkeitskoeffizient gleich der Wärmeleitfähigkeit von Wolfram).
Titankarbidpartikel (Einschlüsse).
Berechnen Sie die Abhängigkeiten mithilfe der oben beschriebenen Formeln
effektive Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten des Verbundwerkstoffs aus der Fraktion
Einschlüsse (ξ= von 0 bis 0,75). Plotten Sie in einem Diagramm.
Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen?

42.

Eigenschaften körniger und poröser Materialien
Zur effektiven Wärmeleitfähigkeit poröser Materialien unter sonst gleichen Bedingungen
Bedingungen werden durch die Wärmeleitfähigkeit der festen Phase beeinflusst. Darüber hinaus z
Koeffizient einiger poröser Materialien (basierend auf Al2O3, BeO, MgO usw.).
Die Wärmeleitfähigkeit nimmt mit steigender Temperatur ab, während z
andere auf der Basis von SiO2, ZrO2 - erhöht. Entscheidend
Porosität hat einen Einfluss auf die effektive Wärmeleitfähigkeit, da
Die Poren selbst sind aufgrund der geringen Leitfähigkeit des Gases wirksam
Barriere gegen die Ausbreitung von Hitze. Es gibt jedoch noch andere
Wärmeübertragungsmechanismen (Konvektion, Strahlung).
Die einfachsten Modelle basieren auf der Darstellung poröser bzw
dispergiertes Material in Form von flachen, abwechselnden Schichten zusammengesetzt und
fester Rahmen (Rahmen) und Luft.
1
1
2
2
1
1 1 2
- Porenanteil; Porosität
- Wärmeleitfähigkeit von Luft oder anderen Füllmaterialien
poröser Raum

43.

Den in der Abbildung in der Mitte dargestellten Modellen sind Namen zugeordnet
Maxwell–Eucken. Das Ergebnis sieht aus wie
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
Der solide Rahmen ist durchgehend
kontinuierlich ist porös
Raum
Modell der effektiven Umwelttheorie

Festlegung von TMO-Zielen

Wir haben ein Volumen, das durch thermische Belastungen beeinflusst wird, es ist notwendig, den Zahlenwert zu bestimmen qV und seine Verteilung nach Volumen.

Abb. 2 – Äußere und innere Reibungsquellen

1. Bestimmen Sie die Geometrie des untersuchten Volumens in einem beliebigen ausgewählten Koordinatensystem.

2. Bestimmen Sie die physikalischen Eigenschaften des untersuchten Volumens.

3. Bestimmen Sie die Bedingungen, die den TMT-Prozess initiieren.

4. Klären Sie die Gesetze, die die Wärmeübertragung im untersuchten Volumen bestimmen.

5. Bestimmen Sie den anfänglichen thermischen Zustand im untersuchten Volumen.

Gelöste Probleme bei der Analyse fester Abfälle:

1. „Direkte“ Aufgaben von TMO

Gegeben: 1,2,3,4,5

Bestimmen Sie: Temperaturverteilung in Raum und Zeit (weitere 6).

2. „Inverse“ TMT-Probleme (invers):

a) umgekehrt Grenze Aufgaben

Gegeben: 1,2,4,5,6

Definieren: 3;

b) umgekehrt Chancen Aufgaben

Gegeben: 1,3,4,5,6

Definieren: 2;

c) umkehren Retrospektive Aufgabe

Gegeben: 1,2,3,4,6

Definieren: 5.

3. „Induktive“ Aufgaben von TMO

Gegeben: 1,2,3,5,6

Definieren: 4.

Formen der Wärmeübertragung und thermische Prozesse

Es gibt 3 Formen der Wärmeübertragung:

1) Wärmeleitfähigkeit in Festkörpern (bestimmt durch Mikropartikel und in Metallen durch freie Elektronen);

2) Konvektion (bestimmt durch Makropartikel des sich bewegenden Mediums);

3) Wärmestrahlung (bestimmt durch elektromagnetische Wellen).

Wärmeleitfähigkeit von Feststoffen

Allgemeine Konzepte

Temperaturfeld ist eine Reihe von Temperaturwerten im untersuchten Volumen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessen wurden.

t(x, y, z, τ)- eine Funktion, die das Temperaturfeld bestimmt.

Es gibt stationäre und instationäre Temperaturfelder:

stationär - t(x,y,z);

instationär - t(x, y, z, τ).

Die Bedingung für Stationarität ist:

Nehmen wir einen bestimmten Körper und verbinden wir Punkte mit gleichen Temperaturen

Abb. 3 – Temperaturgradient und Wärmefluss

grad t- Temperaturgefälle;

andererseits: .

Fouriers Gesetz - Der Wärmefluss in Festkörpern ist proportional zum Temperaturgradienten, der Oberfläche, durch die er fließt, und dem betrachteten Zeitintervall.

Der Proportionalitätskoeffizient wird als Wärmeleitfähigkeitskoeffizient bezeichnet λ , W/m·K.

zeigt, dass sich die Wärme entgegen dem Temperaturgradientenvektor ausbreitet.

;

Für eine infinitesimale Oberfläche und ein unendlich kleines Zeitintervall:

Wärmegleichung (Fourier-Gleichung)

Betrachten Sie ein unendlich kleines Volumen: dv =dx dy dz

Abb. 4 – Thermischer Zustand eines verschwindend kleinen Volumens

Wir haben eine Taylor-Reihe:

Ebenfalls:

; ; .

Im allgemeinen Fall haben wir in einem Würfel qV. Die Schlussfolgerung basiert auf dem verallgemeinerten Energieerhaltungssatz:

.

Nach dem Fourierschen Gesetz:

; ; .

Nach Transformationen haben wir:

.

Für einen stationären Prozess:

Die räumliche Dimension von Problemen wird durch die Anzahl der Richtungen bestimmt, in denen die Wärmeübertragung erfolgt.

Eindimensionales Problem: ;

für einen stationären Prozess: ;

Für :

Für : ;

A- Wärmeleitfähigkeitskoeffizient, .Kartesisches System;

k = 1, ξ = x - zylindrisches System;

k = 2, ξ = x - Kugelsystem.

Einzigartigkeitsbedingungen

Einzigartigkeitsbedingung – Dabei handelt es sich um Bedingungen, die es ermöglichen, aus der Menge der möglichen Lösungen eine einzige auszuwählen, die der gestellten Aufgabe entspricht.

1. Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit ohne interne Wärmequellen ( = 0) :

2. Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit ohne interne Wärmequellen in Zylinderkoordinaten.

In Zylinderkoordinaten, in denen wo R– Radiusvektor, – Polarwinkel, so sieht die Gleichung aus

Eindeutigkeitsbedingungen für Wärmeleitungsprozesse. Die Differentialgleichung der Wärmeleitfähigkeit beschreibt nicht nur eine, sondern eine ganze Klasse von Wärmeleitfähigkeitsphänomenen. Um eine analytische Beschreibung eines bestimmten Prozesses zu erhalten, ist es notwendig, seine besonderen Merkmale anzugeben, die zusammen mit der Differentialgleichung eine vollständige mathematische Beschreibung des spezifischen Wärmeleitungsprozesses liefern und als Eindeutigkeitsbedingungen oder Randbedingungen bezeichnet werden.

Zu den Einzigartigkeitsbedingungen gehören:

Geometrische Bedingungen, die die Form und Größe des Körpers charakterisieren, in dem der Prozess stattfindet;

Physikalische Bedingungen, die die physikalischen Eigenschaften der Umwelt und des Körpers charakterisieren;

Vorübergehende oder Anfangszustände, die die Temperaturverteilung im Körper zum Anfangszeitpunkt charakterisieren;

Randbedingungen, die die Bedingungen der Interaktion zwischen dem betrachteten Körper und der Umwelt charakterisieren.

Randbedingungen können auf verschiedene Arten festgelegt werden.

Randbedingungen erster Art geben die Temperaturverteilung auf der Körperoberfläche für jeden Zeitpunkt an:

Randbedingungen zweiter Art geben die Wärmestromwerte für jeden Punkt der Körperoberfläche und zu jedem Zeitpunkt an:

Randbedingungen dritter Art werden durch die Umgebungstemperatur und das Gesetz des Wärmeaustausches zwischen Körper und Umgebung, das als Gesetz der Wärmeübertragung (Newton-Richmann-Gleichung) verwendet wird, vorgegeben:

Nach diesem Gesetz ist die Wärmestromdichte an der Oberfläche

Körper ist proportional zum Temperaturunterschied zwischen der Wandoberfläche und der Umgebung. Der Proportionalitätskoeffizient in dieser Gleichung wird als Wärmeübertragungskoeffizient bezeichnet und mit a, [W/(m 2 ×K)] bezeichnet. Sie charakterisiert die Intensität des Wärmeaustausches zwischen der Körperoberfläche und der Umgebung.

Andererseits kann die gleiche Wärmestromdichte aus der Gleichung ermittelt werden:

wobei der Index „c“ angibt, dass der Temperaturgradient auf der Körperoberfläche berechnet wird. Wir erhalten einen analytischen Ausdruck für Randbedingungen dritter Art:

Randbedingungen der vierten Art betrachten den Fall, dass zwei oder mehr Körper in engem Kontakt miteinander stehen. In diesem Fall passiert der Wärmestrom, der durch die Oberfläche eines Körpers fließt, auch die Oberfläche eines anderen Körpers (es gibt keine Wärmeverluste an der Kontaktstelle).

Vorlesung 2. Abschnitt 2. Wärmeleitfähigkeit im stationären Modus