Reduktionsformeln sind Beziehungen, mit denen Sie von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens mit den Winkeln „\frac (\pi)2 \pm \alpha“, „\pi \pm \alpha“, „\frac (3\pi)“ ausgehen können. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` zu den gleichen Funktionen des Winkels `\alpha`, der im ersten Viertel des Einheitskreises liegt. Somit „führen“ uns die Reduktionsformeln dazu, mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad zu arbeiten, was sehr praktisch ist.
Insgesamt gibt es 32 Reduktionsformeln. Sie werden sich zweifellos beim Einheitlichen Staatsexamen, bei Prüfungen und Prüfungen als nützlich erweisen. Aber wir möchten Sie gleich darauf hinweisen, dass es nicht nötig ist, sie auswendig zu lernen! Sie müssen ein wenig Zeit aufwenden und den Algorithmus für ihre Anwendung verstehen, dann wird es Ihnen nicht schwer fallen, die erforderliche Gleichheit zum richtigen Zeitpunkt abzuleiten.
Schreiben wir zunächst alle Reduktionsformeln auf:
Für Winkel (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) oder (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Für Winkel (`\pi \pm \alpha`) oder (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Für Winkel (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) oder (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \\alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \\alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Für Winkel (`2\pi \pm \alpha`) oder (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \\alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \\alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Oft findet man Reduktionsformeln in Form einer Tabelle, in der Winkel im Bogenmaß angegeben werden:
Um es zu verwenden, müssen Sie die Zeile mit der von uns benötigten Funktion und die Spalte mit dem gewünschten Argument auswählen. Um beispielsweise anhand einer Tabelle herauszufinden, was „sin(\pi + \alpha)“ ist, reicht es aus, die Antwort am Schnittpunkt der Zeile „sin \beta“ und der Spalte „\pi +“ zu finden \alpha`. Wir erhalten „sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha“.
Und die zweite, ähnliche Tabelle, in der Winkel in Grad angegeben sind:
Mnemonische Regeln für Reduktionsformeln oder wie man sie sich merken kann
Wie bereits erwähnt, besteht keine Notwendigkeit, sich alle oben genannten Zusammenhänge zu merken. Wenn Sie sie genau betrachtet haben, sind Ihnen wahrscheinlich einige Muster aufgefallen. Sie ermöglichen es uns, eine Gedächtnisregel (Mnemonik – Merken) zu formulieren, mit deren Hilfe wir leicht jede Reduktionsformel erhalten können.
Wir möchten sofort darauf hinweisen, dass Sie zur Anwendung dieser Regel die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen in verschiedenen Vierteln des Einheitskreises gut erkennen (oder sich daran erinnern) müssen. 
Der Impfstoff selbst umfasst 3 Stufen:
- Das Funktionsargument muss als „\frac (\pi)2 \pm \alpha“, „\pi \pm \alpha“, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha“, „2\pi \“ dargestellt werden. pm \alpha`, und „\alpha“ ist notwendigerweise ein spitzer Winkel (von 0 bis 90 Grad).
- Für die Argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` ändert sich die trigonometrische Funktion des transformierten Ausdrucks in eine Kofunktion, also das Gegenteil (Sinus). zu Kosinus, Tangens zu Kotangens und umgekehrt). Für die Argumente „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ ändert sich die Funktion nicht.
- Das Vorzeichen der ursprünglichen Funktion wird bestimmt. Die resultierende Funktion auf der rechten Seite hat das gleiche Vorzeichen.
Um zu sehen, wie diese Regel in der Praxis angewendet werden kann, transformieren wir mehrere Ausdrücke:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Die Funktion wird nicht umgekehrt. Der Winkel „\pi + \alpha“ liegt im dritten Viertel, der Kosinus in diesem Viertel hat ein „-“-Zeichen, daher wird die transformierte Funktion auch ein „-“-Zeichen haben.
Antwort: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Gemäß der mnemonischen Regel wird die Funktion umgekehrt. Der Winkel „\frac (3\pi)2 – \alpha“ liegt im dritten Viertel, der Sinus hat hier ein „-“-Zeichen, daher wird das Ergebnis auch ein „-“-Zeichen haben.
Antwort: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alpha))`. Stellen wir „3\pi“ als „2\pi+\pi“ dar. „2\pi“ ist die Periode der Funktion.
Wichtig: Die Funktionen „cos \alpha“ und „sin \alpha“ haben eine Periode von „2\pi“ oder „360^\circ“, ihre Werte ändern sich nicht, wenn das Argument um diese Werte erhöht oder verringert wird.
Basierend darauf kann unser Ausdruck wie folgt geschrieben werden: „cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)“. Wenn wir die mnemonische Regel zweimal anwenden, erhalten wir: „cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Antwort: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Pferderegel
Der zweite Punkt der oben beschriebenen Gedächtnisregel wird auch Pferderegel der Reduktionsformeln genannt. Ich frage mich, warum Pferde?
Wir haben also Funktionen mit den Argumenten „\frac (\pi)2 \pm \alpha“, „\pi \pm \alpha“, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha“, „2\pi \ pm \alpha`, Punkte `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sind Schlüssel, sie liegen auf den Koordinatenachsen. „\pi“ und „2\pi“ befinden sich auf der horizontalen x-Achse und „\frac (\pi)2“ und „\frac (3\pi)2“ befinden sich auf der vertikalen Ordinate.
Wir stellen uns die Frage: „Ändert sich eine Funktion in eine Kofunktion?“ Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie Ihren Kopf entlang der Achse bewegen, auf der sich der Schlüsselpunkt befindet.
Das heißt, bei Argumenten mit Schlüsselpunkten auf der horizontalen Achse antworten wir mit „Nein“, indem wir den Kopf zur Seite schütteln. Und für Ecken mit Schlüsselpunkten auf der vertikalen Achse antworten wir mit „Ja“, indem wir mit dem Kopf von oben nach unten nicken, wie ein Pferd :)
Wir empfehlen, sich ein Video-Tutorial anzusehen, in dem der Autor ausführlich erklärt, wie man sich Reduktionsformeln merkt, ohne sie auswendig zu lernen.
Praktische Beispiele zur Verwendung von Reduktionsformeln
Der Einsatz von Reduktionsformeln beginnt in den Jahrgangsstufen 9 und 10. Viele Probleme bei der Verwendung wurden dem Einheitlichen Staatsexamen vorgelegt. Hier sind einige der Probleme, bei denen Sie diese Formeln anwenden müssen:
- Probleme zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks;
- Transformation numerischer und alphabetischer trigonometrischer Ausdrücke, Berechnung ihrer Werte;
- stereometrische Aufgaben.
Beispiel 1. Berechnen Sie mit den Reduktionsformeln a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.
Lösung: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Beispiel 2. Nachdem Sie den Kosinus durch den Sinus mithilfe von Reduktionsformeln ausgedrückt haben, vergleichen Sie die Zahlen: 1) „sin \frac (9\pi)8“ und „cos \frac (9\pi)8“; 2) „sin \frac (\pi)8“ und „cos \frac (3\pi)10“.
Lösung: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Lassen Sie uns zunächst zwei Formeln für den Sinus und Cosinus des Arguments „\frac (\pi)2 + \alpha“ beweisen: „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha“ und „cos“. (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Der Rest ist von ihnen abgeleitet. Nehmen wir einen Einheitskreis und zeigen darauf A mit den Koordinaten (1,0). Lassen Sie nach dem Wenden zu Aus der Definition von Tangens und Kotangens erhalten wir ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` und ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, was beweist Reduktionsformeln für Tangens und Kotangens des Winkels „\frac (\pi)2 + \alpha“. Um Formeln mit dem Argument „\frac (\pi)2 - \alpha“ zu beweisen, reicht es aus, es als „\frac (\pi)2 + (-\alpha)“ darzustellen und dem gleichen Weg wie oben zu folgen. Zum Beispiel: „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“. Die Winkel „\pi + \alpha“ und „\pi - \alpha“ können dargestellt werden als „\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)“ und „\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` bzw. Und „\frac (3\pi)2 + \alpha“ und „\frac (3\pi)2 - \alpha“ als „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ und „\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Zusätzliche Materialien Lehrmittel und Simulatoren im Integral Online-Shop für die 10. Klasse Was wir studieren werden: Überprüfung trigonometrischer Funktionen
Leute, ihr seid schon auf Geisterformeln gestoßen, aber ihr habt sie noch nicht so genannt. Was denkst du: Wo? Schauen Sie sich unsere Zeichnungen an. Richtig, als die Definitionen trigonometrischer Funktionen eingeführt wurden. Lassen Sie uns die Grundregel einführen: Wenn unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion eine Zahl der Form π×n/2 + t steht, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist, dann kann unsere trigonometrische Funktion auf eine einfachere Form reduziert werden, die enthält nur das Argument t. Solche Formeln werden Geisterformeln genannt. Erinnern wir uns an einige Formeln: Es gibt viele Geisterformeln. Lassen Sie uns eine Regel aufstellen, anhand derer wir unsere trigonometrischen Funktionen bei der Verwendung bestimmen Geisterformeln: Diese Regeln gelten auch, wenn das Funktionsargument in Grad angegeben wird! Wir können auch eine Tabelle mit Transformationen trigonometrischer Funktionen erstellen: 1. Transformiere cos(π + t). Der Name der Funktion bleibt erhalten, d.h. wir erhalten cos(t). Nehmen wir weiterhin an, dass π/2 2. Transformiere sin(π/2 + t). Der Name der Funktion ändert sich, d.h. wir erhalten cos(t). Nehmen wir als nächstes an, dass 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Transformiere tg(π + t). Der Name der Funktion bleibt erhalten, d.h. wir erhalten tan(t). Nehmen wir weiter an, dass 0 4. Transformiere ctg(270 0 + t). Der Name der Funktion ändert sich, das heißt, wir erhalten tg(t). Nehmen wir weiter an, dass 0 Leute, wandelt es selbst nach unseren Regeln um: 1) tg(π + t), Und noch etwas: Es gibt eine ganze Reihe von Reduktionsformeln, und wir warnen Sie sofort davor, sie alle auswendig zu lernen. Das ist absolut nicht nötig – es gibt eines, mit dem Sie Reduktionsformeln einfach anwenden können. Schreiben wir also alle Reduktionsformeln in Form einer Tabelle auf. Diese Formeln können mit Grad und Bogenmaß umgeschrieben werden. Denken Sie dazu einfach an die Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß und ersetzen Sie π überall durch 180 Grad. Der Zweck dieses Absatzes besteht darin, zu zeigen, wie Reduktionsformeln in der Praxis zur Lösung von Beispielen verwendet werden. Zunächst ist es erwähnenswert, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, einen Winkel im Vorzeichen trigonometrischer Funktionen in der Form und darzustellen Nehmen wir zum Beispiel den Winkel unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion gleich . Dieser Winkel kann dargestellt werden als: Sehen wir uns nun an, welche Reduktionsformeln wir je nach Darstellung des Winkels verwenden müssen. Lass uns nehmen . Wenn wir den Winkel darstellen als Zur Präsentation Schließlich hat die entsprechende Reduktionsformel die Form Zum Abschluss dieser Diskussion ist es besonders erwähnenswert, dass die Verwendung von Winkeldarstellungen, bei denen der Winkel einen Wert von 0 bis 90 Grad (von 0 bis Pi im halben Bogenmaß) hat, gewisse Vorteile bietet. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Reduktionsformeln an. Beispiel. Stellen Sie mithilfe von Reduktionsformeln einen spitzen Winkel durch den Sinus und auch durch den Cosinus dar. Lösung. Um die Reduktionsformeln anzuwenden, müssen wir einen Winkel von 197 Grad in der Form oder darstellen Bezugnehmend auf die entsprechenden Reduktionsformeln Antwort:
Wie oben erwähnt, ist es nicht notwendig, sich Reduktionsformeln zu merken. Wenn Sie sie genau betrachten, können Sie Muster identifizieren, aus denen Sie eine Regel ableiten können, mit der Sie jede der Reduktionsformeln erhalten können. Er heißt mnemonische Regel(Mnemonik ist die Kunst des Auswendiglernens). Die mnemonische Regel umfasst drei Stufen: Es lohnt sich gleich zu sagen, dass man zur Anwendung der mnemonischen Regel sehr gut darin sein muss, die Vorzeichen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in Vierteln zu erkennen, da man dies ständig tun muss. Schauen wir uns die Anwendung der mnemonischen Regel anhand von Beispielen an. Beispiel. Schreiben Sie mithilfe einer Gedächtnisregel die Reduktionsformeln für auf Lösung. Wir müssen den ersten Schritt der Regel nicht ausführen, da die Winkel unter den Vorzeichen trigonometrischer Funktionen bereits in der erforderlichen Form geschrieben sind. Bestimmen wir das Vorzeichen der Funktionen Da das Argument der Kosinusfunktion die Form hat Als Ergebnis haben wir Antwort:
Um das Material zu festigen, sollten Sie ein Beispiel mit bestimmten Winkeln lösen. Beispiel. Reduzieren Sie mithilfe einer Gedächtnisregel einen spitzen Winkel auf trigonometrische Funktionen. Lösung. Stellen wir uns zunächst den Winkel von 777 Grad in der Form vor, die zur Anwendung der mnemonischen Regel erforderlich ist. Dies kann auf zwei Arten erfolgen: oder. Der ursprüngliche Winkel ist der erste Viertelwinkel, der Sinus für diesen Winkel hat ein Pluszeichen. Zur Darstellung muss der Name des Sinus gleich bleiben, zur Darstellung des Typs muss der Sinus jedoch in Cosinus geändert werden. Als Ergebnis haben wir und . Antwort: UND Betrachten Sie zum Abschluss dieses Punktes ein Beispiel, das die Bedeutung der korrekten Darstellung eines Winkels unter dem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen für die Anwendung der mnemonischen Regel veranschaulicht: Der Winkel muss scharf sein!!! Berechnen wir den Tangens des Winkels. Im Prinzip können wir die Frage des Problems sofort beantworten, indem wir uns auf das Material im Artikel Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens beziehen: Wenn wir einen Winkel als oder als darstellen, können wir die mnemonische Regel verwenden: Aber das kann passieren, wenn man eine Darstellung eines Winkels, zum Beispiel der Form, annimmt. In diesem Fall führt uns die mnemonische Regel zu diesem Ergebnis. Dieses Ergebnis ist falsch und erklärt sich aus der Tatsache, dass wir für die Darstellung nicht das Recht hatten, die mnemonische Regel anzuwenden, da der Winkel nicht spitz ist. Reduktionsformeln spiegeln Periodizität, Symmetrie und Verschiebungseigenschaften durch Winkel und wider. Beachten wir sofort, dass alle Reduktionsformeln bewiesen werden können, indem der Term in den Argumenten verworfen wird, da dies eine Änderung des Winkels um eine ganzzahlige Anzahl voller Umdrehungen bedeutet und die Werte trigonometrischer Funktionen dadurch nicht geändert werden. Dieser Begriff dient als Spiegelbild der Periodizität. Der erste Block mit 16 Reduktionsformeln ergibt sich direkt aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Es lohnt sich nicht einmal, darüber nachzudenken. Kommen wir zum nächsten Formelblock. Lassen Sie uns zunächst die ersten beiden beweisen. Der Rest ergibt sich aus ihnen. Beweisen wir also die Reduktionsformeln der Form Betrachten wir den Einheitskreis. Der Anfangspunkt A gehe nach Drehung um einen Winkel zum Punkt A 1 (x, y) und nach Drehung um einen Winkel zum Punkt A 2. Zeichnen wir A 1 H 1 und A 2 H 2 – Senkrechte zur Geraden Ox. Es ist leicht zu erkennen, dass die rechtwinkligen Dreiecke OA 1 H 1 und OA 2 H 2 in der Hypotenuse und zwei benachbarten Winkeln gleich sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke und der Lage der Punkte A 1 und A 2 auf dem Einheitskreis wird deutlich, dass, wenn Punkt A 1 die Koordinaten x und y hat, Punkt A 2 die Koordinaten −y und x hat. Dann ermöglichen uns die Definitionen von Sinus und Cosinus, die Gleichheiten und zu schreiben Wenn man bedenkt, dass beides Um Reduktionsformeln mit einem Argument zu beweisen, reicht es aus, es als darzustellen und dann die bewährten Formeln und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen mit entgegengesetzten Argumenten zu verwenden. Zum Beispiel, . Alle anderen Reduktionsformeln werden in ähnlicher Weise auf der Grundlage der bereits durch doppelte Anwendung nachgewiesenen bewiesen. Beispielsweise wird es als , und - as dargestellt Referenzliste. Es gibt zwei Regeln für die Verwendung von Reduktionsformeln. 1. Wenn der Winkel als (π/2 ±a) oder (3*π/2 ±a) dargestellt werden kann, dann Funktionsname ändert sich sin zu cos, cos zu sin, tg zu ctg, ctg zu tg. Wenn der Winkel in der Form (π ±a) oder (2*π ±a) dargestellt werden kann, dann Der Funktionsname bleibt unverändert. Schauen Sie sich das Bild unten an, es zeigt schematisch, wann Sie das Vorzeichen ändern sollten und wann nicht. 2. Die Regel „So wie du warst, so bleibst du.“ Das Vorzeichen der reduzierten Funktion bleibt gleich. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Pluszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Pluszeichen. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Minuszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Minuszeichen. Die folgende Abbildung zeigt die Vorzeichen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit vom Viertel. Berechnen Sie Sin(150˚) Verwenden wir die Reduktionsformeln: Sin(150˚) liegt im zweiten Viertel; aus der Abbildung sehen wir, dass das Vorzeichen der Sünde in diesem Viertel gleich + ist. Das bedeutet, dass die angegebene Funktion auch ein Pluszeichen hat. Wir haben die zweite Regel angewendet. Jetzt 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ ist π/2. Das heißt, wir haben es mit dem Fall π/2+60 zu tun, also ändern wir gemäß der ersten Regel die Funktion von sin in cos. Als Ergebnis erhalten wir Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Auf Wunsch können alle Reduktionsformeln in einer Tabelle zusammengefasst werden. Dennoch ist es einfacher, sich diese beiden Regeln zu merken und anzuwenden. Trigonometrie. Reduktionsformeln. Reduktionsformeln müssen nicht gelehrt werden; sie müssen verstanden werden. Verstehen Sie den Algorithmus für ihre Ableitung. Es ist sehr leicht! Nehmen wir einen Einheitskreis und platzieren alle Gradmaße (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) darauf. Lassen Sie uns die Funktionen sin(a) und cos(a) in jedem Viertel analysieren. Denken Sie daran, dass wir die sin(a)-Funktion entlang der Y-Achse und die cos(a)-Funktion entlang der X-Achse betrachten. Im ersten Viertel ist klar, dass die Funktion sin(a)>0 Im zweiten Viertel wird deutlich, dass die Funktion sin(a)>0, weil die Y-Achse in diesem Viertel positiv ist. Im dritten Quartal zeigt sich, dass das funktioniert Sünde(a) Das dritte Viertel kann in Gradzahlen wie (180+α) oder (270-α) beschrieben werden.
Im vierten Viertel wird deutlich, dass die Funktion sin(a), weil die Y-Achse in diesem Viertel negativ ist. Schauen wir uns nun die Reduktionsformeln selbst an. Erinnern wir uns einfach Algorithmus: Beginnen wir also damit, diesen Algorithmus vierteljährlich zu analysieren. Finden Sie heraus, was der Ausdruck cos(90-α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck sin(90-α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck cos(360+α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck sin(360+α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck cos(90+α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck sin(90+α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck cos(180-α) sein wird Finden Sie heraus, was der Ausdruck sin(180-α) sein wird Ich spreche vom dritten und vierten Quartal. Erstellen wir auf ähnliche Weise eine Tabelle: Abonnieren zum Kanal auf YOUTUBE und schauen Sie sich das Video an, bereiten Sie sich mit uns auf Prüfungen in Mathematik und Geometrie vor.
Winkel „\alpha“ geht es zum Punkt „A_1(x, y)“ und nach der Drehung um den Winkel „\frac (\pi)2 + \alpha“ zum Punkt „A_2(-y, x)“. Wenn wir die Senkrechten von diesen Punkten auf die Linie OX fallen lassen, sehen wir, dass die Dreiecke „OA_1H_1“ und „OA_2H_2“ gleich sind, da ihre Hypotenusen und benachbarten Winkel gleich sind. Basierend auf den Definitionen von Sinus und Cosinus können wir dann „sin\alpha=y“, „cos\alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Wo können wir schreiben, dass „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha“ und „cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha“ die Reduktion beweist? Formeln für Sinus- und Kosinuswinkel „\frac (\pi)2 + \alpha“.Lektion und Präsentation zum Thema: „Anwendung von Reduktionsformeln bei der Lösung von Problemen“
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1C: Schule. Interaktive Bauaufgaben für die Klassen 7-10
1C: Schule. Wir lösen Probleme in der Geometrie. Interaktive Aufgaben zum Bauen im Weltraum für die Klassen 10–11
1. Wiederholen wir es ein wenig.
2. Regeln für Reduktionsformeln.
3. Umrechnungstabelle für Reduktionsformeln.
4. Beispiele.Regel für Reduktionsformeln
3π/2 + t und 3π/2 - t, dann ändert sich die Funktion in eine verwandte Funktion, das heißt, der Sinus wird zu einem Cosinus, der Kotangens wird zu einem Tangens.
Beispiele für die Verwendung von Reduktionsformeln
Probleme mit Reduktionsformeln zur unabhängigen Lösung
2) tg(2π - t),
3) Kinderbett(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
Beispiele für die Verwendung von Reduktionsformeln
. Dies liegt daran, dass der Winkel jeden beliebigen Wert annehmen kann. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.
, oder wie 
, oder wie 
, oder auf viele andere Arten., dann entspricht diese Darstellung einer Reduktionsformel der Form, aus der wir erhalten 
. Hier können wir den Wert der trigonometrischen Funktion angeben: .Wir werden bereits eine Formel der Form verwenden 
, was uns zu folgendem Ergebnis führt: .
.
, und entsprechend den Bedingungen des Problems muss der Winkel spitz sein. Dies kann auf zwei Arten erfolgen: 
oder 
. Auf diese Weise, 
oder 
.
Und 
, wir bekommen und .
Und 
.
Mnemonische Regel
Und 
, wobei der Winkel als Winkel des ersten Viertels betrachtet wird.Und . Vorausgesetzt, dass - der Winkel des ersten Viertels, der Winkel 
ist auch der Winkel des ersten Viertels und der Winkel 
- Winkel des zweiten Viertels. Der Kosinus im ersten Viertel hat ein Pluszeichen und der Tangens im zweiten Viertel hat ein Minuszeichen. Zu diesem Zeitpunkt sehen die erforderlichen Formeln so aus 
Und . Nachdem wir nun die Zeichen herausgefunden haben, können wir mit dem letzten Schritt der Gedächtnisregel fortfahren., dann muss der Name der Funktion in Kofunktion, also in Sinus, geändert werden. Und das Tangentenargument hat die Form Daher sollte der Funktionsname gleich bleiben.
Und . Um sicherzustellen, dass die erhaltenen Ergebnisse korrekt sind, können Sie sich die Tabelle mit den Reduktionsformeln ansehen.
Und .
.
.
und , was uns zum gleichen Ergebnis führt.Nachweis von Reduktionsformeln
Und 
.
, woraus folgt Und . Dies beweist die betrachteten Reduktionsformeln für jeden Winkel.
(siehe ggf. den Artikel Grundlegende trigonometrische Identitäten) sowie die soeben bewiesenen Formeln erhalten wir 
Und 
. Daher haben wir die folgenden zwei Reduktionsformeln bewiesen.
. Und und - als bzw.
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Und Funktion cos(a)>0
Das erste Viertel kann in Gradzahlen wie (90-α) oder (360+α) beschrieben werden.
Eine Funktion cos(a), da die X-Achse in diesem Quadranten negativ ist.
Das zweite Viertel kann in Gradzahlen wie (90+α) oder (180-α) beschrieben werden.
Eine Funktion cos(a)>0, weil die X-Achse in diesem Viertel positiv ist.
Das vierte Viertel kann in Gradzahlen wie (270+α) oder (360-α) beschrieben werden.
1. Quartal.(Achten Sie immer darauf, in welchem Viertel Sie sich befinden).
2. Zeichen.(Für Viertel siehe positive oder negative Kosinus- oder Sinusfunktionen).
3. Wenn Sie (90° oder π/2) und (270° oder 3π/2) in Klammern haben, dann Funktionsänderungen.
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel eins.
Wille cos(90-α) = sin(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel eins.
Wille sin(90-α) = cos(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel eins.
2. Im ersten Viertel ist das Vorzeichen der Kosinusfunktion positiv.
Wille cos(360+α) = cos(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel eins.
2. Im ersten Viertel ist das Vorzeichen der Sinusfunktion positiv.
3. Fehlen (90° oder π/2) und (270° oder 3π/2) in Klammern, dann ändert sich die Funktion nicht.
Wille sin(360+α) = sin(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel zwei.
3. In Klammern steht (90° oder π/2), dann ändert sich die Funktion von Kosinus zu Sinus.
Wille cos(90+α) = -sin(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel zwei.
3. In Klammern steht (90° oder π/2), dann ändert sich die Funktion von Sinus zu Cosinus.
Wille sin(90+α) = cos(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel zwei.
2. Im zweiten Viertel ist das Vorzeichen der Kosinusfunktion negativ.
3. Fehlen (90° oder π/2) und (270° oder 3π/2) in Klammern, dann ändert sich die Funktion nicht.
Wille cos(180-α) = cos(α)
Wir argumentieren nach dem Algorithmus:
1. Viertel zwei.
2. Im zweiten Viertel ist das Vorzeichen der Sinusfunktion positiv.
3. Fehlen (90° oder π/2) und (270° oder 3π/2) in Klammern, dann ändert sich die Funktion nicht.
Wille sin(180-α) = sin(α)
