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Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.
Datum: 10.05.2015
Wie findet man die Ableitung?
Differenzierungsregeln.
Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Konzepte beherrschen:
2. Differenzierungsregeln.
3. Ableitung einer komplexen Funktion.
Genau in dieser Reihenfolge. Es ist ein Hinweis.)
Natürlich wäre es schön, eine Vorstellung von Derivaten im Allgemeinen zu haben. Was eine Ableitung ist und wie man mit der Ableitungstabelle arbeitet, wurde in der vorherigen Lektion anschaulich erklärt. Hier beschäftigen wir uns mit den Differenzierungsregeln.
Differenzierung ist die Operation, die Ableitung zu finden. Hinter diesem Begriff verbirgt sich nichts mehr. Diese. Ausdrücke „Finde die Ableitung einer Funktion“ Und „Eine Funktion differenzieren“- Es ist das Gleiche.
Ausdruck „Regeln der Differenzierung“ bezieht sich auf das Finden der Ableitung aus arithmetischen Operationen. Dieses Verständnis hilft sehr, Verwirrung in Ihrem Kopf zu vermeiden.
Konzentrieren wir uns und merken wir uns alle, alle, alle Rechenoperationen. Es gibt vier davon. Addition (Summe), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt) und Division (Quotient). Hier sind sie, die Regeln der Differenzierung:
Die Platte zeigt fünf Regeln auf vier Rechenoperationen. Ich bin nicht zu kurz gekommen.) Es ist nur so, dass Regel 4 eine elementare Konsequenz von Regel 3 ist. Aber sie ist so beliebt, dass es Sinn macht, sie als eigenständige Formel zu schreiben (und sich daran zu erinnern!).
Unter den Bezeichnungen U Und V einige (absolut alle!) Funktionen sind impliziert U(x) Und V(x).
Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Erstens – die einfachsten.
Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2
Hier haben wir Unterschied zwei elementare Funktionen. Wir wenden Regel 2 an. Wir gehen davon aus, dass sinx eine Funktion ist U, und x 2 ist die Funktion V. Wir haben jedes Recht zu schreiben:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Das ist besser, oder?) Jetzt müssen nur noch die Ableitungen von Sinus und Quadrat von x ermittelt werden. Hierzu gibt es eine Derivatetabelle. Wir suchen einfach in der Tabelle nach den Funktionen, die wir benötigen ( sinx Und x 2), schauen Sie sich an, welche Derivate sie haben, und schreiben Sie die Antwort auf:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Das ist es. Regel 1 der Summendifferenzierung funktioniert genauso.
Was ist, wenn wir mehrere Begriffe haben? Keine große Sache.) Wir zerlegen die Funktion in Terme und suchen nach der Ableitung jedes Termes unabhängig von den anderen. Zum Beispiel:
Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Wir schreiben kühn:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Am Ende der Lektion gebe ich Tipps, die das Differenzieren einfacher machen.)
Praktische Tipps:
1. Prüfen Sie vor der Differenzierung, ob es möglich ist, die ursprüngliche Funktion zu vereinfachen.
2. In komplizierten Beispielen beschreiben wir die Lösung ausführlich, mit allen Klammern und Bindestrichen.
3. Bei der Differenzierung von Brüchen mit einer konstanten Zahl im Nenner wandeln wir die Division in eine Multiplikation um und verwenden Regel 4.
Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?
Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung
Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.
Ansonsten kann man es so schreiben:
Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.
Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.
Tatsächlich weiß seit der Schulzeit jeder, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:
Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:
Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest
Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .
Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:
Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen
Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.
Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.
Finden Sie die Ableitung der Funktion:
Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts
Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:
Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:
Lösung: 
Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.
Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:
In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.
Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen
Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:
Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.
Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.
In dieser Lektion lernen wir, Formeln und Differenzierungsregeln anzuwenden.
Beispiele. Finden Sie Ableitungen von Funktionen.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Anwenden der Regel ICH, Formeln 4, 2 und 1. Wir bekommen:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Wir lösen auf ähnliche Weise und verwenden dieselben Formeln und Formeln 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Anwenden der Regel ICH, Formeln 3, 5
Und 6
Und 1.
Anwenden der Regel IV, Formeln 5
Und 1
.
Im fünften Beispiel gemäß der Regel ICH Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen, und wir haben gerade die Ableitung des 1. Termes gefunden (Beispiel 4 ), daher werden wir Derivate finden 2 Und 3 Bedingungen und für den 1 Summand können wir das Ergebnis sofort schreiben.
Lassen Sie uns differenzieren 2 Und 3 Begriffe gemäß der Formel 4
. Dazu transformieren wir die Wurzeln der dritten und vierten Potenz im Nenner in Potenzen mit negativem Exponenten und dann entsprechend 4
Formel finden wir Ableitungen von Potenzen.
Schauen Sie sich dieses Beispiel und das Ergebnis an. Haben Sie das Muster erkannt? Bußgeld. Das bedeutet, dass wir eine neue Formel haben und diese zu unserer Ableitungstabelle hinzufügen können.
Lösen wir das sechste Beispiel und leiten wir eine weitere Formel ab.
Nutzen wir die Regel IV und Formel 4
. Lassen Sie uns die resultierenden Brüche reduzieren.
Schauen wir uns diese Funktion und ihre Ableitung an. Sie verstehen natürlich das Muster und sind bereit, die Formel zu benennen:
Neue Formeln lernen!
Beispiele.
1. Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion y= x 2, wenn der Anfangswert des Arguments gleich war 4 , und neu - 4,01 .
Lösung.
Neuer Argumentwert x=x 0 +Δx. Ersetzen wir die Daten: 4,01=4+Δх, daher die Erhöhung des Arguments Δx=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Da wir eine Funktion haben y=x2, Das Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Antwort: Argumentinkrement Δx=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.
Das Funktionsinkrement könnte anders gefunden werden: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, Wenn f "(x 0) = 1.
Lösung.
Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt x 0 und ist der Wert des Tangens des Tangentenwinkels (die geometrische Bedeutung der Ableitung). Wir haben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, als tg45°=1.
Antwort: Die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse gleich 45°.
3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung der Funktion her y=x n.
Differenzierung ist die Aktion, die Ableitung einer Funktion zu finden.
Verwenden Sie beim Finden von Ableitungen Formeln, die auf der Grundlage der Definition einer Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad abgeleitet haben: (x n)" = nx n-1.
Das sind die Formeln.
Tabelle der Derivate Das Auswendiglernen wird durch das Aussprechen mündlicher Formulierungen erleichtert:
1. Die Ableitung einer konstanten Größe ist Null.
2. X prim ist gleich eins.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden.
4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit einem Grad mit derselben Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.
5. Die Ableitung einer Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.
6. Die Ableitung von eins dividiert durch x ist gleich minus eins dividiert durch x im Quadrat.
7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.
8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.
9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.
10. Die Ableitung des Kotangens ist gleich minus eins geteilt durch das Quadrat des Sinus.
Wir lehren Differenzierungsregeln.
1. Die Ableitung einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen der Terme.
2. Die Ableitung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors und des zweiten Faktors plus dem Produkt des ersten Faktors und der Ableitung des zweiten.
3. Die Ableitung von „y“ dividiert durch „ve“ ist gleich einem Bruch, bei dem der Zähler „y prim multipliziert mit „ve“ minus „y multipliziert mit ve prim“ ist und der Nenner „ve quadriert“ ist.
4. Ein Sonderfall der Formel 3.
Lasst uns gemeinsam lernen!
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Ableitungsrechnung- eine der wichtigsten Operationen in der Differentialrechnung. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle zum Finden von Ableitungen einfacher Funktionen. Für komplexere Differenzierungsregeln siehe andere Lektionen:- Tabelle der Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen
Ableitungen einfacher Funktionen
1. Die Ableitung einer Zahl ist Nullс´ = 0
Beispiel:
5´ = 0
Erläuterung:
Die Ableitung zeigt die Geschwindigkeit, mit der sich der Wert einer Funktion ändert, wenn sich ihr Argument ändert. Da sich die Zahl unter keinen Umständen ändert, ist die Änderungsrate immer Null.
2. Ableitung einer Variablen gleich eins
x´ = 1
Erläuterung:
Mit jeder Erhöhung des Arguments (x) um eins erhöht sich der Wert der Funktion (das Ergebnis der Berechnungen) um den gleichen Betrag. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion y = x genau gleich der Änderungsrate des Werts des Arguments.
3. Die Ableitung einer Variablen und eines Faktors ist gleich diesem Faktor
сx´ = с
Beispiel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Erläuterung:
In diesem Fall ändert sich jedes Mal, wenn sich das Funktionsargument ändert ( X) sein Wert (y) nimmt zu Mit einmal. Somit ist die Änderungsrate des Funktionswerts im Verhältnis zur Änderungsrate des Arguments genau gleich dem Wert Mit.
Daraus folgt das
(cx + b)“ = c
das heißt, das Differential der linearen Funktion y=kx+b ist gleich der Steigung der Geraden (k).
4. Modulo-Ableitung einer Variablen gleich dem Quotienten dieser Variablen zu ihrem Modul
|x|"= x / |x| vorausgesetzt, dass x ≠ 0
Erläuterung:
Da die Ableitung einer Variablen (siehe Formel 2) gleich eins ist, unterscheidet sich die Ableitung des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Änderungsrate der Funktion beim Überqueren des Ursprungspunkts ins Gegenteil ändert (versuchen Sie, einen Graphen zu zeichnen). der Funktion y = |x| und überzeugen Sie sich selbst. Dies ist genau der Wert und gibt den Ausdruck x / |x| zurück< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - eins. Das heißt, bei negativen Werten der Variablen x nimmt der Wert der Funktion mit jeder Erhöhung der Argumentänderung um genau den gleichen Wert ab, bei positiven Werten hingegen steigt er, jedoch um genau den gleichen Wert.
5. Ableitung einer Variablen nach einer Potenz gleich dem Produkt einer Zahl dieser Potenz und einer Variablen zu der um eins reduzierten Potenz
(x c)"= cx c-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Sich an die Formel erinnern:
Verschieben Sie den Grad der Variablen als Faktor nach unten und reduzieren Sie dann den Grad selbst um eins. Zum Beispiel für x 2 - die beiden waren vor x, und dann ergab die reduzierte Potenz (2-1 = 1) einfach 2x. Das Gleiche geschah für x 3 – wir „bewegen“ das Tripel nach unten, reduzieren es um eins und statt eines Würfels haben wir ein Quadrat, also 3x 2. Etwas „unwissenschaftlich“, aber sehr leicht zu merken.
6.Ableitung eines Bruchs 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Beispiel:
Denn ein Bruch lässt sich als Potenz negativ darstellen
(1/x)" = (x -1)", dann können Sie die Formel aus Regel 5 der Ableitungstabelle anwenden
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Ableitung eines Bruchs mit einer Variablen beliebigen Grades im Nenner
(1 / x c)" = - c / x c+1
Beispiel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Ableitung der Wurzel(Ableitung der Variablen unter der Quadratwurzel)
(√x)“ = 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x)" = (x 1/2)" bedeutet, dass Sie die Formel aus Regel 5 anwenden können
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Ableitung einer Variablen unter der Wurzel eines beliebigen Grades
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
