Absoluter und relativer Fehler
Elemente der Fehlertheorie
Genaue und ungefähre Zahlen
Bei ganzen Datenwerten (2 Bleistifte, 100 Bäume) besteht in der Regel kein Zweifel an der Genauigkeit der Zahl. In den meisten Fällen, in denen es jedoch unmöglich ist, den genauen Wert einer Zahl anzugeben (z. B. beim Messen eines Objekts mit einem Lineal, beim Erfassen von Ergebnissen mit einem Gerät usw.), handelt es sich jedoch um Näherungswerte.
Ein Näherungswert ist eine Zahl, die geringfügig vom genauen Wert abweicht und diesen in Berechnungen ersetzt. Der Grad, in dem der Näherungswert einer Zahl von ihrem genauen Wert abweicht, wird durch charakterisiert Fehler .
Folgende Hauptfehlerquellen werden unterschieden:
1. Fehler bei der Problemformulierung, die als Ergebnis einer ungefähren Beschreibung eines realen Phänomens in Bezug auf die Mathematik entsteht.
2. Methodenfehler, verbunden mit der Schwierigkeit oder Unmöglichkeit, ein bestimmtes Problem zu lösen und durch ein ähnliches zu ersetzen, sodass es möglich ist, eine bekannte und zugängliche Lösungsmethode anzuwenden und ein Ergebnis zu erzielen, das dem gewünschten nahe kommt.
3. Fatale Fehler, verbunden mit ungefähren Werten der Originaldaten und aufgrund der Durchführung von Berechnungen für ungefähre Zahlen.
4. Rundungsfehler verbunden mit dem Runden der Werte von Anfangsdaten, Zwischen- und Endergebnissen, die mit Rechenwerkzeugen erhalten wurden.
Absoluter und relativer Fehler
Die Berücksichtigung von Fehlern ist ein wichtiger Aspekt bei der Anwendung numerischer Methoden, da der Fehler im Endergebnis der Lösung des Gesamtproblems ein Produkt des Zusammenwirkens aller Fehlerarten ist. Daher besteht eine der Hauptaufgaben der Fehlertheorie darin, die Genauigkeit des Ergebnisses anhand der Genauigkeit der Quelldaten zu beurteilen.
Wenn es sich um eine exakte Zahl handelt und ihr Näherungswert ist, dann ist der Fehler (Fehler) des Näherungswerts der Grad der Nähe seines Wertes zu seinem genauen Wert.
Das einfachste quantitative Fehlermaß ist der absolute Fehler, der definiert ist als
(1.1.2-1)
Wie aus Formel 1.1.2-1 ersichtlich ist, hat der absolute Fehler die gleichen Maßeinheiten wie der Wert. Daher ist es nicht immer möglich, anhand der Größe des absoluten Fehlers eine korrekte Aussage über die Qualität der Näherung zu treffen. Zum Beispiel, wenn 
Wenn es sich um ein Maschinenteil handelt, sind die Messungen sehr grob, und wenn es um die Größe des Gefäßes geht, sind sie sehr genau. In diesem Zusammenhang wurde das Konzept des relativen Fehlers eingeführt, bei dem der Wert des absoluten Fehlers mit dem Modul des Näherungswerts in Beziehung gesetzt wird ( 
).
(1.1.2-2)
Die Verwendung relativer Fehler ist insbesondere deshalb praktisch, weil sie nicht vom Maßstab der Mengen und Einheiten der Datenmessungen abhängen. Der relative Fehler wird in Bruchteilen oder Prozentsätzen gemessen. Also zum Beispiel, wenn
,A 
, Das ,
und wenn Und 
,
also dann .
Um den Fehler einer Funktion numerisch abzuschätzen, müssen Sie die Grundregeln zur Berechnung des Fehlers von Aktionen kennen:
· beim Addieren und Subtrahieren von Zahlen absolute Zahlenfehler summieren sich
· beim Multiplizieren und Dividieren von Zahlen ihre relativen Fehler addieren sich
· wenn man eine ungefähre Zahl potenziert sein relativer Fehler wird mit dem Exponenten multipliziert
Beispiel 1.1.2-1. Gegebene Funktion: 
. Finden Sie die absoluten und relativen Fehler des Werts (den Fehler des Ergebnisses der Durchführung arithmetischer Operationen), wenn die Werte vorliegen 
sind bekannt, und 1 ist eine exakte Zahl und ihr Fehler ist Null.
Nachdem wir so den Wert des relativen Fehlers bestimmt haben, können wir den Wert des absoluten Fehlers ermitteln als 
,
wobei der Wert anhand der Formel für Näherungswerte berechnet wird 
Da der genaue Wert der Menge meist unbekannt ist, erfolgt die Berechnung 
Und 
Nach den obigen Formeln ist es unmöglich. Daher werden in der Praxis die maximalen Fehler des Formulars bewertet:
(1.1.2-3)
Wo 
Und 
– bekannte Größen, die die Obergrenzen der absoluten und relativen Fehler darstellen, andernfalls werden sie als – maximale absolute und maximale relative Fehler bezeichnet. Somit liegt der genaue Wert innerhalb von:
Wenn der Wert ist also bekannt 
, und wenn die Menge bekannt ist , Das 
Lassen Sie eine Zufallsvariable A gemessen N Mal unter den gleichen Bedingungen. Die Messergebnisse ergaben einen Satz N verschiedene Zahlen
Absoluter Fehler- Dimensionswert. Unter N Absolute Fehlerwerte sind notwendigerweise sowohl positiv als auch negativ.
Für den wahrscheinlichsten Wert der Menge A normalerweise genommen arithmetische Mittel Wert der Messergebnisse
.
Je größer die Anzahl der Messungen, desto näher liegt der Mittelwert am wahren Wert.
Absoluter Fehlerich
.
Relativer Fehlerich Die -te Messung heißt Menge
Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe. Üblicherweise wird hierfür der relative Fehler in Prozent ausgedrückt e i mit 100 % multiplizieren. Die Größe des relativen Fehlers charakterisiert die Genauigkeit der Messung.
Durchschnittlicher absoluter Fehler ist wie folgt definiert:
.
Wir betonen die Notwendigkeit, die Absolutwerte (Module) der Größen D zu summieren und ich. Andernfalls ist das Ergebnis identisch Null.
Durchschnittlicher relativer Fehler heißt Menge
.
Mit einer großen Anzahl von Messungen.
Der relative Fehler kann als Fehlerwert pro Einheit des Messwerts betrachtet werden.
Die Genauigkeit der Messungen wird durch den Vergleich der Fehler der Messergebnisse beurteilt. Daher werden Messfehler so ausgedrückt, dass es zur Beurteilung der Genauigkeit ausreicht, nur die Fehler der Ergebnisse zu vergleichen, ohne die Größen der gemessenen Objekte zu vergleichen oder diese Größen nur sehr ungefähr zu kennen. Aus der Praxis ist bekannt, dass der absolute Fehler bei der Winkelmessung nicht vom Wert des Winkels abhängt und der absolute Fehler bei der Längenmessung vom Wert der Länge abhängt. Je größer die Länge, desto größer ist der absolute Fehler für eine bestimmte Methode und Messbedingungen. Folglich kann der absolute Fehler des Ergebnisses zur Beurteilung der Genauigkeit der Winkelmessung herangezogen werden, nicht jedoch die Genauigkeit der Längenmessung. Das Ausdrücken des Fehlers in relativer Form ermöglicht es, die Genauigkeit von Winkel- und Linearmessungen in bekannten Fällen zu vergleichen.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufälliger Fehler.
Zufälliger Fehler bezeichnet die Komponente des Messfehlers, die sich bei wiederholten Messungen derselben Größe zufällig ändert.
Wenn wiederholte Messungen derselben konstanten, unveränderlichen Größe mit der gleichen Sorgfalt und unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden, erhalten wir Messergebnisse, die teilweise voneinander abweichen und teilweise übereinstimmen. Solche Abweichungen in den Messergebnissen weisen auf das Vorhandensein zufälliger Fehlerkomponenten hin.
Zufällige Fehler entstehen durch den gleichzeitigen Einfluss vieler Quellen, die jeweils für sich genommen einen nicht wahrnehmbaren Einfluss auf das Messergebnis haben, der Gesamteinfluss aller Quellen kann jedoch recht stark sein.
Zufällige Fehler sind eine unvermeidliche Folge jeder Messung und werden verursacht durch:
a) Ungenauigkeit der Messwerte auf der Skala von Instrumenten und Instrumenten;
b) Nichtidentität der Bedingungen für wiederholte Messungen;
c) zufällige Änderungen der äußeren Bedingungen (Temperatur, Druck, Kraftfeld usw.), die nicht kontrolliert werden können;
d) alle sonstigen Einflüsse auf Messungen, deren Ursachen uns unbekannt sind. Durch mehrmaliges Wiederholen des Experiments und entsprechende mathematische Verarbeitung der erhaltenen Ergebnisse kann das Ausmaß des Zufallsfehlers minimiert werden.
Ein zufälliger Fehler kann unterschiedliche absolute Werte annehmen, die für eine bestimmte Messung nicht vorhersehbar sind. Dieser Fehler kann gleichermaßen positiv oder negativ sein. In einem Experiment treten immer zufällige Fehler auf. Wenn keine systematischen Fehler vorliegen, führen sie zu Streuungen wiederholter Messungen relativ zum wahren Wert.
Nehmen wir an, dass die Schwingungsdauer eines Pendels mit einer Stoppuhr gemessen und die Messung viele Male wiederholt wird. Fehler beim Starten und Stoppen der Stoppuhr, ein Fehler beim Ablesewert, eine leichte Ungleichmäßigkeit in der Bewegung des Pendels – all dies führt zu Streuungen der Ergebnisse wiederholter Messungen und kann daher als zufällige Fehler eingestuft werden.
Liegen keine weiteren Fehler vor, werden manche Ergebnisse etwas überschätzt, andere hingegen etwas unterschätzt. Wenn aber darüber hinaus noch die Uhr im Rückstand ist, werden alle Ergebnisse unterschätzt. Dies ist bereits ein systematischer Fehler.
Einige Faktoren können gleichzeitig sowohl systematische als auch zufällige Fehler verursachen. Durch das Ein- und Ausschalten der Stoppuhr können wir also eine kleine unregelmäßige Streuung der Start- und Stoppzeiten der Uhr relativ zur Bewegung des Pendels erzeugen und dadurch einen zufälligen Fehler einführen. Wenn wir es aber darüber hinaus jedes Mal eilig haben, die Stoppuhr einzuschalten, und etwas spät dran sind, sie auszuschalten, dann führt dies zu einem systematischen Fehler.
Zufällige Fehler werden durch Parallaxenfehler beim Zählen von Instrumentenskalenteilungen, Erschütterungen des Fundaments eines Gebäudes, den Einfluss leichter Luftbewegung usw. verursacht.
Obwohl es unmöglich ist, zufällige Fehler bei einzelnen Messungen zu eliminieren, ermöglicht uns die mathematische Theorie zufälliger Phänomene, den Einfluss dieser Fehler auf das endgültige Messergebnis zu reduzieren. Im Folgenden wird gezeigt, dass hierfür nicht eine, sondern mehrere Messungen erforderlich sind. Je kleiner der Fehlerwert ist, den wir erhalten möchten, desto mehr Messungen müssen durchgeführt werden.
Da das Auftreten zufälliger Fehler unvermeidbar und unvermeidbar ist, besteht die Hauptaufgabe jedes Messvorgangs darin, Fehler auf ein Minimum zu reduzieren.
Die Fehlertheorie basiert auf zwei Hauptannahmen, die durch Erfahrung bestätigt werden:
1. Bei einer großen Anzahl von Messungen treten häufig zufällige Fehler gleicher Größe, aber unterschiedlichen Vorzeichens, also Fehler in Richtung steigender und fallender Ergebnisse, auf.
2. Fehler, die im absoluten Wert groß sind, kommen seltener vor als kleine, daher nimmt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Fehlers mit zunehmender Größe ab.
Das Verhalten von Zufallsvariablen wird durch statistische Muster beschrieben, die Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit w ich Veranstaltungen ich ist die Einstellung
Wo N- Gesamtzahl der Experimente, n ich- die Anzahl der Experimente, bei denen das Ereignis stattgefunden hat ich passiert. In diesem Fall sollte die Gesamtzahl der Experimente sehr groß sein ( N®¥). Bei einer großen Anzahl von Messungen gehorchen zufällige Fehler einer Normalverteilung (Gaußverteilung), deren Hauptmerkmale die folgenden sind:
1. Je größer die Abweichung des Messwertes vom wahren Wert ist, desto unwahrscheinlicher ist ein solches Ergebnis.
2. Abweichungen vom wahren Wert in beide Richtungen sind gleich wahrscheinlich.
Aus den obigen Annahmen folgt, dass es zur Reduzierung des Einflusses zufälliger Fehler erforderlich ist, diesen Wert mehrmals zu messen. Angenommen, wir messen eine Größe x. Lass es entstehen N Messungen: x 1 , x 2 , ... x n- mit der gleichen Methode und mit der gleichen Sorgfalt. Es ist zu erwarten, dass die Zahl dn erhaltene Ergebnisse, die in einem ziemlich engen Intervall liegen X Vor x + dx, muss proportional sein:
Die Größe des genommenen Intervalls dx;
Gesamtzahl der Messungen N.
Wahrscheinlichkeit dw(X), dass ein gewisser Wert X liegt im Bereich von X Vor x + dx, ist wie folgt definiert :
(mit Anzahl der Messungen N ®¥).
Funktion F(X) wird Verteilungsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte genannt.
Als Postulat der Fehlertheorie wird angenommen, dass die Ergebnisse direkter Messungen und ihre zufälligen Fehler, wenn es eine große Anzahl davon gibt, dem Gesetz der Normalverteilung gehorchen.
Die von Gauß gefundene Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X hat die folgende Form:
, wo mis -
Verteilungsparameter .
Der Parameter m der Normalverteilung ist gleich dem Mittelwert b Xñ eine Zufallsvariable, die für eine beliebige bekannte Verteilungsfunktion durch das Integral bestimmt wird
.
Auf diese Weise, der Wert m ist der wahrscheinlichste Wert der Messgröße x, d.h. ihre beste Schätzung.
Der Parameter s 2 der Normalverteilung ist gleich der Varianz D der Zufallsvariablen, die im allgemeinen Fall durch das folgende Integral bestimmt wird
.
Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung der Zufallsvariablen bezeichnet.
Die durchschnittliche Abweichung (Fehler) der Zufallsvariablen ásñ wird mithilfe der Verteilungsfunktion wie folgt ermittelt
Der durchschnittliche Messfehler ásñ, berechnet aus der Gaußschen Verteilungsfunktion, hängt wie folgt mit dem Wert der Standardabweichung s zusammen:
< S > = 0,8s.
Die Parameter s und m hängen wie folgt miteinander zusammen:
.
Mit diesem Ausdruck können Sie die Standardabweichung s ermitteln, wenn eine Normalverteilungskurve vorliegt.
Der Graph der Gaußschen Funktion ist in den Abbildungen dargestellt. Funktion F(X) ist symmetrisch zur am Punkt gezeichneten Ordinate x = M; durchläuft an diesem Punkt ein Maximum x = m und weist einen Wendepunkt an den Punkten m ±s auf. Somit charakterisiert die Varianz die Breite der Verteilungsfunktion oder zeigt, wie weit die Werte einer Zufallsvariablen relativ zu ihrem wahren Wert gestreut sind. Je genauer die Messungen, desto näher am wahren Wert liegen die Ergebnisse der einzelnen Messungen, d. h. der Wert s ist kleiner. Abbildung A zeigt die Funktion F(X) für drei Werte von s .
Von einer Kurve umschlossene Fläche einer Figur F(X) und vertikale Linien, die aus Punkten gezogen werden X 1 und X 2 (Abb. B) , numerisch gleich der Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis in das Intervall D fällt x = x 1 -X 2, die als Konfidenzwahrscheinlichkeit bezeichnet wird. Fläche unter der gesamten Kurve F(X) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in das Intervall von 0 bis ¥ fällt, d.h.
,
da die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses gleich eins ist.
Mithilfe der Normalverteilung wirft und löst die Fehlertheorie zwei Hauptprobleme. Die erste besteht darin, die Genauigkeit der durchgeführten Messungen zu beurteilen. Die zweite ist eine Beurteilung der Genauigkeit des arithmetischen Mittelwerts der Messergebnisse.5. Konfidenzintervall. Schülerkoeffizient.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht es uns, die Größe des Intervalls mit bekannter Wahrscheinlichkeit zu bestimmen w Es werden die Ergebnisse einzelner Messungen gefunden. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Konfidenzwahrscheinlichkeit und das entsprechende Intervall (<X>±D X)w angerufen Konfidenzintervall. Die Konfidenzwahrscheinlichkeit entspricht auch dem relativen Anteil der Ergebnisse, die innerhalb des Konfidenzintervalls liegen.
Wenn die Anzahl der Messungen N ausreichend groß ist, dann drückt die Konfidenzwahrscheinlichkeit den Anteil an der Gesamtzahl aus N diejenigen Messungen, bei denen der Messwert innerhalb des Konfidenzintervalls lag. Jede Konfidenzwahrscheinlichkeit w entspricht seinem Konfidenzintervall w 2 80 %. Je breiter das Konfidenzintervall ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, innerhalb dieses Intervalls ein Ergebnis zu erhalten. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird ein quantitativer Zusammenhang zwischen dem Wert des Konfidenzintervalls, der Konfidenzwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Messungen hergestellt.
Wenn wir als Konfidenzintervall das Intervall wählen, das dem durchschnittlichen Fehler entspricht, also D a = Anzeige Añ, dann entspricht sie für eine ausreichend große Anzahl von Messungen der Konfidenzwahrscheinlichkeit w 60 %. Mit abnehmender Anzahl der Messungen steigt die Konfidenzwahrscheinlichkeit, die einem solchen Konfidenzintervall (á Añ ± Anzeige Añ), nimmt ab.
Um das Konfidenzintervall einer Zufallsvariablen abzuschätzen, kann man daher den Wert des durchschnittlichen Fehlers áD verwenden Añ .
Um die Größe des Zufallsfehlers zu charakterisieren, müssen zwei Zahlen angegeben werden, nämlich der Wert des Konfidenzintervalls und der Wert der Konfidenzwahrscheinlichkeit . Es ist weitgehend bedeutungslos, nur die Größe des Fehlers ohne die entsprechende Konfidenzwahrscheinlichkeit anzugeben.
Wenn der durchschnittliche Messfehler ásñ bekannt ist, wird das Konfidenzintervall geschrieben als (<X>±asñ) w, bestimmt mit Konfidenzwahrscheinlichkeit w= 0,57.
Wenn die Standardabweichung s bekannt ist Verteilung der Messergebnisse, das angegebene Intervall hat die Form (<X>± t w S) w, Wo t w- Koeffizient abhängig vom Konfidenzwahrscheinlichkeitswert und berechnet anhand der Gaußschen Verteilung.
Am häufigsten verwendete Mengen D X sind in Tabelle 1 angegeben.
MESSUNG PHYSIKALISCHER GRÖSSEN.
EINFÜHRUNG
Der K-402.1-Komplex stellt die notwendige Liste der Laborarbeiten dar, die im Bildungsstandard und Arbeitsprogramm für den Abschnitt „Festkörperdynamik“ der Disziplin „Physik“ vorgesehen sind. Es enthält eine Beschreibung der Laboreinrichtungen, der Vorgehensweise bei Messungen und einen Algorithmus zur Berechnung bestimmter physikalischer Größen.
Wenn sich ein Student während einer Unterrichtsstunde mit einer bestimmten Arbeit im Klassenzimmer vertraut macht, reichen ihm die zwei Stunden, die für die Bearbeitung einer Laborarbeit vorgesehen sind, nicht aus und er beginnt, dem Semesterplan für die Bearbeitung der Arbeit hinterherzuhinken. Um dies zu verhindern, verlangt der Bildungsstandards der zweiten Generation, dass 50 % der Stunden, die für das Studium der Disziplin vorgesehen sind, für unabhängige Arbeit aufgewendet werden müssen, was ein notwendiger Bestandteil des Lernprozesses ist. Ziel des selbständigen Arbeitens ist die Festigung und Vertiefung von Kenntnissen und Fähigkeiten, die Vorbereitung auf Vorlesungen, Praktika und Laborübungen sowie die Entwicklung der Selbstständigkeit der Studierenden beim Erwerb neuer Kenntnisse und Fähigkeiten.
Lehrpläne für verschiedene Fachrichtungen sehen ein eigenständiges Studium der Disziplin „Physik“ während des Semesters von 60 bis 120 Stunden vor. Davon entfallen 20–40 Stunden auf den Laborunterricht bzw. 2–4 Stunden pro Arbeit. Während dieser Zeit muss der Student: die relevanten Absätze in Lehrbüchern lesen; lernen Sie grundlegende Formeln und Gesetze; Machen Sie sich mit dem Installations- und Messvorgang vertraut. Um Arbeiten an der Anlage durchführen zu dürfen, muss der Studierende das Gerät der Anlage kennen, den Teilwert des Messgerätes ermitteln, den Messablauf kennen, Messergebnisse verarbeiten und den Fehler auswerten können.
Nach allen Berechnungen und der Erstellung des Berichts muss der Student eine Schlussfolgerung ziehen und dabei insbesondere die physikalischen Gesetze angeben, die während der Arbeit überprüft wurden.
Es gibt zwei Arten von Messungen: direkte und indirekte.
Direkte Messungen sind solche, bei denen ein Vergleich zwischen einem Maß und einem Objekt durchgeführt wird. Messen Sie beispielsweise die Höhe und den Durchmesser eines Zylinders mit einem Messschieber.
Bei indirekten Messungen wird eine physikalische Größe auf der Grundlage einer Formel bestimmt, die ihren Zusammenhang mit durch direkte Messungen ermittelten Größen herstellt.
Die Messung kann nicht absolut genau durchgeführt werden. Das Ergebnis enthält immer einen Fehler.
Messfehler werden üblicherweise in systematische und zufällige Fehler unterteilt.
Systematische Fehler werden durch Faktoren verursacht, die bei mehrfacher Wiederholung derselben Messungen gleich wirken.
Beitrag zu systematischen Fehlern kommt von instrumental oder Gerätefehler, die durch die Empfindlichkeit des Geräts bestimmt wird. Fehlen solche Daten auf dem Instrument, wird als Instrumentenfehler der Preis oder die Hälfte des Preises der kleinsten Skalenteilung des Instruments angenommen.
Zufällige Fehler verursacht durch das gleichzeitige Einwirken vieler Faktoren, die nicht berücksichtigt werden können. Die meisten Messungen gehen mit zufälligen Fehlern einher, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie bei jeder wiederholten Messung einen anderen, unvorhersehbaren Wert annehmen.
Absoluter Fehler umfasst systematische und zufällige Fehler:
. (1.1)
Der wahre Wert des gemessenen Werts liegt im Bereich:
welches als Konfidenzintervall bezeichnet wird.
Um den Zufallsfehler zu ermitteln, berechnen Sie zunächst den Durchschnitt aller bei der Messung erhaltenen Werte:
, (1.2)
Wo ist das Ergebnis? ich-te Dimension, – Anzahl der Dimensionen.
Anschließend werden die Fehler einzelner Messungen ermittelt
, 
, …, 
.
. (1.3)
Bei der Verarbeitung von Messergebnissen wird die Student-Verteilung verwendet. Unter Berücksichtigung des Student-Koeffizienten, Zufallsfehler
.
Tabelle 1.1
Koeffiziententabelle für Schüler
| N | |||||
| 0,6 | 0,7 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | |
| 1,36 | 2,0 | 6,3 | 12,7 | 636,6 | |
| 1,06 | 1,3 | 2,9 | 4,3 | 31,6 | |
| 0,98 | 1,3 | 2,4 | 3,2 | 12,9 | |
| 0,94 | 1,2 | 2,1 | 2,8 | 8,7 | |
| … | … | … | … | … | … |
| 0,85 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,5 | |
| 0,84 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,4 |
Der Student-Koeffizient zeigt die Abweichung des arithmetischen Mittels vom wahren Wert, ausgedrückt als Bruchteil des mittleren quadratischen Fehlers. Der Student-Koeffizient hängt von der Anzahl der Messungen ab N und auf Zuverlässigkeit und ist in der Tabelle angegeben. 1.1.
Der absolute Fehler wird anhand der Formel berechnet
.
In den meisten Fällen spielt nicht der absolute, sondern der relative Fehler eine größere Rolle
Oder 
. (1.4)
Alle Berechnungsergebnisse werden in die Tabelle eingetragen. 1.2.
Tabelle 1.2
Das Ergebnis der Berechnung des Messfehlers
| NEIN. |  | ||||||||||
| mm | mm | mm | mm 2 | mm 2 | mm | mm | mm | mm | mm | % | |
Berechnung der Fehler indirekter Messungen
Die Maße werden aufgerufen gerade, wenn die Werte von Größen direkt durch Instrumente bestimmt werden (z. B. Längenmessung mit einem Lineal, Zeitbestimmung mit einer Stoppuhr usw.). Die Maße werden aufgerufen indirekt, wenn der Wert der gemessenen Größe durch direkte Messungen anderer Größen bestimmt wird, die mit der spezifischen gemessenen Beziehung verbunden sind.
Zufällige Fehler bei direkten Messungen
Absoluter und relativer Fehler. Lass es ausgeführt werden N Messungen der gleichen Menge X sofern kein systematischer Fehler vorliegt. Die einzelnen Messergebnisse lauten wie folgt: X 1 ,X 2 , …,X N. Als bester Mittelwert wird der Messwert ausgewählt:
Absoluter Fehler einer einzelnen Messung nennt man eine Differenz der Form:
.
Durchschnittlicher absoluter Fehler N Einheitsmaße:
(2)
angerufen durchschnittlicher absoluter Fehler.
Relativer Fehler Das Verhältnis des durchschnittlichen absoluten Fehlers zum Durchschnittswert der Messgröße heißt:
.
(3)
Gerätefehler bei direkten Messungen
Wenn keine besonderen Anweisungen vorliegen, beträgt der Gerätefehler die Hälfte seines Teilungswertes (Lineal, Becher).
Der Fehler von Instrumenten, die mit einem Nonius ausgestattet sind, entspricht dem Wert der Noniusteilung (Mikrometer – 0,01 mm, Messschieber – 0,1 mm).
Der Fehler der Tabellenwerte beträgt eine halbe Einheit der letzten Ziffer (fünf Einheiten der nächsten Ordnung nach der letzten signifikanten Ziffer).
Der Fehler elektrischer Messgeräte wird nach der Genauigkeitsklasse berechnet MIT auf der Instrumentenskala angezeigt:
Zum Beispiel: 
Und 
,
Wo U max Und ICH max– Messgrenze des Gerätes.
Bei Geräten mit Digitalanzeige entspricht der Fehler einer der letzten Ziffern der Anzeige.
Nach der Bewertung der zufälligen und instrumentellen Fehler wird derjenige berücksichtigt, dessen Wert größer ist.
Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen
Die meisten Messungen sind indirekt. In diesem Fall ist der gewünschte Wert X eine Funktion mehrerer Variablen A,B, C… , deren Werte durch direkte Messungen ermittelt werden können: X = f( A, B, C…).
Das arithmetische Mittel des Ergebnisses indirekter Messungen ist gleich:
X = f( A, B, C…).
Eine Möglichkeit, den Fehler zu berechnen, besteht darin, den natürlichen Logarithmus der Funktion X = f( A,
B,
C...). Wenn beispielsweise der gewünschte Wert X durch die Beziehung X = bestimmt wird 
, dann erhalten wir nach dem Logarithmus: lnX = ln A+ln B+ln( C+
D).
Das Differential dieses Ausdrucks hat die Form:
.
Bezogen auf die Berechnung von Näherungswerten lässt sich der relative Fehler in der Form schreiben:
=
.
(4)
Der absolute Fehler wird nach folgender Formel berechnet:
Х = Х(5)
Somit erfolgt die Berechnung der Fehler und die Berechnung des Ergebnisses für indirekte Messungen in der folgenden Reihenfolge:
1) Messen Sie alle in der ursprünglichen Formel enthaltenen Größen, um das Endergebnis zu berechnen.
2) Berechnen Sie die arithmetischen Durchschnittswerte jedes Messwerts und ihre absoluten Fehler.
3) Setzen Sie die Durchschnittswerte aller Messwerte in die ursprüngliche Formel ein und berechnen Sie den Durchschnittswert des gewünschten Wertes:
X = f( A, B, C…).
4) Logarithmieren Sie die ursprüngliche Formel X = f( A, B, C...) und notieren Sie den Ausdruck für den relativen Fehler in Form der Formel (4).
5) Berechnen Sie den relativen Fehler = 
.
6) Berechnen Sie den absoluten Fehler des Ergebnisses mit Formel (5).
7) Das Endergebnis wird wie folgt geschrieben:
|
X = X durchschnittlich X |
Die absoluten und relativen Fehler der einfachsten Funktionen sind in der Tabelle angegeben:
|
Absolut Fehler |
Relativ Fehler |
|
|
a+ B |
|
|
|
a+ B |
|
|
|
Zur Beurteilung der Ungenauigkeit hochkomplexer Berechnungen werden absolute und relative Fehler herangezogen. Sie werden auch bei verschiedenen Messungen und zum Runden von Berechnungsergebnissen verwendet. Schauen wir uns an, wie man den absoluten und relativen Fehler bestimmt. Absoluter FehlerAbsoluter Fehler der Zahl Nennen Sie die Differenz zwischen dieser Zahl und ihrem genauen Wert. Um den absoluten Fehler zu berechnen, müssen Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Es gibt eine Formel für den absoluten Fehler. Bezeichnen wir die genaue Zahl mit dem Buchstaben A, und der Buchstabe a ist die Annäherung an die genaue Zahl. Eine ungefähre Zahl ist eine Zahl, die geringfügig von der genauen Zahl abweicht und diese in Berechnungen normalerweise ersetzt. Dann sieht die Formel so aus: Δa=A-a. Wir haben oben besprochen, wie man den absoluten Fehler mithilfe der Formel ermittelt. In der Praxis reicht der absolute Fehler nicht aus, um eine Messung genau auszuwerten. Es ist selten möglich, den genauen Wert der gemessenen Größe zu kennen, um den absoluten Fehler zu berechnen. Wenn man ein 20 cm langes Buch misst und einen Fehler von 1 cm zulässt, kann man davon ausgehen, dass die Messung einen großen Fehler aufweist. Wenn jedoch bei der Messung einer Wand von 20 Metern ein Fehler von 1 cm gemacht wurde, kann diese Messung als möglichst genau angesehen werden. Daher ist in der Praxis die Bestimmung des relativen Messfehlers wichtiger. Notieren Sie den absoluten Fehler der Zahl mit dem ±-Zeichen. Zum Beispiel Die Länge einer Tapetenrolle beträgt 30 m ± 3 cm. Die absolute Fehlergrenze wird als maximaler absoluter Fehler bezeichnet. Relativer FehlerRelativer Fehler Sie nennen das Verhältnis des absoluten Fehlers einer Zahl zur Zahl selbst. Um den relativen Fehler im Beispiel mit Schülern zu berechnen, teilen wir 26 durch 374. Wir erhalten die Zahl 0,0695, wandeln sie in einen Prozentsatz um und erhalten 6 %. Der relative Fehler wird als Prozentsatz angegeben, da es sich um eine dimensionslose Größe handelt. Der relative Fehler ist eine genaue Schätzung des Messfehlers. Wenn wir bei der Messung der Länge von Segmenten von 10 cm und 10 m einen absoluten Fehler von 1 cm annehmen, betragen die relativen Fehler 10 % bzw. 0,1 %. Bei einem 10 cm langen Segment ist ein Fehler von 1 cm sehr groß, das entspricht einem Fehler von 10 %. Aber bei einem Zehn-Meter-Abschnitt spielt 1 cm keine Rolle, sondern nur 0,1 %. Es gibt systematische und zufällige Fehler. Systematisch ist ein Fehler, der bei wiederholten Messungen unverändert bleibt. Zufällige Fehler entstehen durch den Einfluss externer Faktoren auf den Messprozess und können seinen Wert verändern. Regeln zur Berechnung von FehlernFür die nominale Fehlerschätzung gibt es mehrere Regeln:
Ungefähre und genaue Zahlen werden mit Dezimalbrüchen geschrieben. Es wird nur der Durchschnittswert genommen, da der genaue Wert unendlich lang sein kann. Um zu verstehen, wie man diese Zahlen schreibt, müssen Sie etwas über wahre und zweifelhafte Zahlen lernen. Wahre Zahlen sind diejenigen Zahlen, deren Rang den absoluten Fehler der Zahl übersteigt. Ist die Ziffer einer Zahl kleiner als der absolute Fehler, spricht man von zweifelhaft. Zum Beispiel , für den Bruch 3,6714 mit einem Fehler von 0,002 sind die richtigen Zahlen 3,6,7 und die zweifelhaften 1 und 4. Bei der Aufzeichnung der ungefähren Zahl bleiben nur die richtigen Zahlen übrig. Der Bruch sieht in diesem Fall so aus: 3,67. Was haben wir gelernt?Zur Beurteilung der Genauigkeit von Messungen werden absolute und relative Fehler herangezogen. Der absolute Fehler ist die Differenz zwischen einer exakten und einer ungefähren Zahl. Der relative Fehler ist das Verhältnis des absoluten Fehlers einer Zahl zur Zahl selbst. In der Praxis wird der relative Fehler verwendet, da dieser genauer ist.  
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