Einführung

In seiner Tätigkeit muss sich der Mensch überall der Notwendigkeit stellen, die Form, Größe und relative Position räumlicher Figuren zu studieren. Ähnliche Probleme werden von Astronomen gelöst, die sich mit den größten Maßstäben befassen, und von Physikern, die die Struktur von Atomen und Molekülen untersuchen. Der Bereich der Geometrie, in dem solche Probleme untersucht werden, heißt Stereometrie (von griechisch "stereos" - volumetrisch, räumlich).

1.1. Grundlegende Axiome der Stereometrie

In der Stereometrie wird den Konzepten der Planimetrie eine weitere Sache hinzugefügt - eine Ebene und damit - Axiome, die die "Beziehungen" von Ebenen zu anderen Objekten der Geometrie regeln. Es gibt drei solcher Axiome.

1) Axiom 1 – Durch je drei Punkte im Raum, die nicht auf derselben Geraden liegen, gibt es nur eine Ebene. (Abb.1)

Bild 1.

2) Axiom 2 - durch zwei beliebige Punkte im Raum gibt es nur eine Linie. (Abb.2)

Figur 2.

3) Axiom 3 - Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Linie, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen. (Abb. 3)

Abbildung 3. 1

Das dritte Axiom spielt eine sehr wichtige Rolle in der Stereometrie: Es macht den Raum genau dreidimensional, weil sich Ebenen in Räumen mit vier Dimensionen und darüber in einem Punkt schneiden können. Planimetrische Axiome werden auch zu den drei angegebenen hinzugefügt, neu durchdacht, wobei berücksichtigt wird, dass wir es jetzt nicht mit einer, sondern mit mehreren Ebenen zu tun haben. So wird beispielsweise das Axiom der Geraden – durch zwei verschiedene Punkte kann eine und nur eine Gerade gezogen werden – wörtlich auf die Stereometrie übertragen, aber nur erstreckt es sich bereits auf zwei Punkte im Raum.

Als Korollar leiten wir direkt aus den Axiomen ein nützliches Korollar ab:Eine Linie, die mindestens zwei Punkte mit einer Ebene gemeinsam hat, liegt vollständig in dieser Ebene.

Diese Axiome werden häufig bei der Konstruktion von Figuren in der Stereometrie verwendet.

1.2. Koordinatenebene in der Stereometrie.

Im Gegensatz zur Planimetrie, bei der die Ebene nur durch 2 Achsen bestimmt wird - die Achse x (Abszisse) und j (Ordinate), die 3. Achse wird der Stereometrie hinzugefügt - die Achse z (Applikationen) . Diese Achse geht nach vorne, wie in Abb. 4 gezeigt. Aber um die Konstruktion zu vereinfachen, wurden die Koordinatenachsen wie in Fig. 5 gezeigt dargestellt.

Abbildung 4. Abbildung 5.

In der Stereometrie der Koordinaten eines Punktes im Raum 3: Abszisse eines Punktes, Ordinate eines Punktes, Applikate eines Punktes.

Betrachten wir dies anhand eines konkreten Beispiels. Die Segmente OB, OS, OD in Abb. 6 sind gleich 1. Dann ist die Abszisse von Punkt A 1, die Ordinate von Punkt A 1 und die Applikate von Punkt A 1. Symbolisch wird dies wie folgt geschrieben:

oder binden Sie einen Koordinatendatensatz mit einem Index an einen bestimmten Punkt:

Abbildung 6

Jede Achse wird als Zahlenstrahl betrachtet, d. h. sie hat eine positive Richtung, und den auf dem negativen Strahl liegenden Punkten werden negative Werte der Abstandskoordinate zugewiesen (der Abstand wird mit einem Minuszeichen genommen). Das heißt, wenn zum Beispiel Punkt B nicht wie in der Abbildung auf dem OX-Strahl lag, sondern auf seiner Fortsetzung in entgegengesetzter Richtung vom Punkt O (auf dem negativen Teil der OX-Achse), dann die Abszisse X Punkt A wäre negativ (minus Abstand OB). Analog für die anderen beiden Achsen.

Alle rechtwinkligen Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum werden in zwei Klassen eingeteilt - rechts (es werden auch positive Standardbegriffe verwendet) und links. Normalerweise versuchen sie standardmäßig, rechtshändige Koordinatensysteme zu verwenden, und wenn sie grafisch angezeigt werden, platzieren sie sie auch, wenn möglich, an einer von mehreren üblichen (traditionellen) Positionen. (Abbildung 6 zeigt das rechte Koordinatensystem). Das rechte und das linke Koordinatensystem können nicht durch Rotationen kombiniert werden, so dass die entsprechenden Achsen (und ihre Richtungen) zusammenfallen. Zu welcher Klasse ein bestimmtes Koordinatensystem gehört, können Sie mit der Rechtshandregel, der Schraubenregel usw. bestimmen (die positive Richtung der Achsen ist so gewählt, dass bei einer Drehung der OX-Achse um 90° gegen den Uhrzeigersinn deren positive Richtung übereinstimmt mit der positiven Richtung der OY-Achse, wenn diese Drehung von der Seite der positiven Richtung der OZ-Achse betrachtet wird).

Um beispielsweise einen Würfel in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darzustellen, müssen Sie die Seitenlängen dieses Quadrats kennen. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Würfel mit Seite 1 und den Eckpunkten O, C, T, B, D, R, A, S bauen (Abb. 7). Dann die Koordinaten der Ecken dieses Würfels:

Abbildung 7

Fazit

Dank der Existenz eines dreidimensionalen Koordinatensystems können Sie jede dreidimensionale Figur bauen, z. B. ein Parallelepiped, eine Pyramide, ein Prisma usw. Dieses Koordinatensystem wird in der Physik, Astronomie und anderen Wissenschaften verwendet, die Konstruktionsgenauigkeit erfordern.

Literaturverzeichnis:

A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.

A. L. Werner Stereometrie. Klasse 7-9, Lehrbuch für Geometrielehrer.

Atanasyan L. Geometrie Klasse 10-11,

E. V. Potoskuev, L. I. Zvavich Geometrie Klasse 11,Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.

Kapitel IV. Linien und Flächen im Raum. Polyeder

§ 45. Grundlegende Axiome der Stereometrie

Die einfachsten räumlichen Figuren (Körper): ein Würfel, ein Prisma, eine Pyramide, eine Kugel, ein Kegel, ein Zylinder usw. und ihre Eigenschaften wurden im Geometriekurs der achtjährigen Schule studiert. Beachten Sie, dass einige Eigenschaften räumlicher Figuren in der Untersuchung von Vektoren in Kapitel I dieses Lehrbuchs verwendet wurden.

In diesem Kapitel wird ausführlicher als bisher der Teil der Geometrie untersucht, der sich auf die Anordnung von Linien und Ebenen im Raum bezieht. Man nennt den Zweig der Geometrie, der sich mit im Raum angeordneten Figuren befasst Stereometrie.

Die Grundbegriffe der Stereometrie sind Punkt, Linie und Ebene. Der Raum besteht aus unendlich vielen Punkten. Linien und Ebenen bestehen aus unendlich vielen Punkten im Raum und fallen nicht mit dem gesamten Raum zusammen.

Lassen Sie uns das Wichtigste formulieren stereometrie axiome. Denken Sie daran, dass Axiome Sätze sind, die ohne Beweis akzeptiert werden. Die Axiome der Geometrie sind eine Abstraktion der entsprechenden Eigenschaften der realen Welt um uns herum.

Wir nehmen an, dass für jede Raumebene alle Axiome, Definitionen und Theoreme der Planimetrie erfüllt sind. Außerdem nehmen wir an, dass die folgenden Axiome der Stereometrie gelten:

1. Es gibt nur eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte.

2. Wenn zwei verschiedene Punkte einer Linie zu einer Ebene gehören, dann gehören alle Punkte der Linie zu dieser Ebene.

3. Durch je drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, gibt es genau eine Ebene.

4. Wenn sich zwei verschiedene Ebenen schneiden, dann schneiden sie sich in einer geraden Linie.

Unter Verwendung dieser Axiome beweisen wir die folgenden Behauptungen:

1. Eine einzelne Ebene geht durch eine Gerade und einen nicht zu ihr gehörenden Punkt.

2. Es gibt nur eine Ebene durch zwei sich schneidende Geraden.

1. Auf dieser geraden Linie l Nehmen wir zwei Punkte A und B (Abb. 128). Dann geht nach Axiom 3 eine einzelne Ebene durch den gegebenen Punkt M und die Punkte A und B R und alle Punkte der Linie l gehören zum Flugzeug R.

Daher das Flugzeug R geht durch eine gerade Linie l und einen nicht zu ihr gehörenden Punkt M. Es gibt keine andere solche Ebene, da sie durch drei Punkte A, B, M gehen muss, die nicht auf einer geraden Linie liegen, und daher mit der Ebene zusammenfallen müssen R.

2. In der Tat, lassen Sie gerade Linien 1 1 und 1 2 schneiden sich im Punkt M (Abb. 129). Auf geraden Linien 1 1 und 1 2 Nehmen Sie einige Punkte A und B, die sich von Punkt M unterscheiden. Dann passiert die einzige Ebene durch die drei Punkte A, B, M R. Aufgrund von Axiom 2 ist die Ebene R geht durch die angegebenen Linien 1 1 und 1 2 .

In diesem Artikel werden wir uns mit dem Konzept einer geraden Linie im dreidimensionalen Raum befassen, Optionen für die relative Position von geraden Linien betrachten und auf die wichtigsten Möglichkeiten zur Definition einer geraden Linie im Raum eingehen. Zur besseren Darstellung präsentieren wir grafische Illustrationen.

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Eine Linie im Raum ist ein Konzept.

Nachdem wir die Definition paralleler Linien im Raum gegeben haben, soll wegen ihrer Bedeutung noch von den Richtungsvektoren einer Geraden gesprochen werden. Jeder Vektor ungleich Null, der auf dieser Linie oder auf einer Linie liegt, die parallel zu der gegebenen ist, wird als Richtungsvektor der Linie bezeichnet. Der Richtungsvektor einer Geraden wird sehr oft zur Lösung von Problemen im Zusammenhang mit einer Geraden im Raum verwendet.

Schließlich können zwei Linien im dreidimensionalen Raum schief sein. Zwei Geraden im Raum heißen sich schneiden, wenn sie nicht in einer Ebene liegen. Diese gegenseitige Anordnung zweier Linien im Raum führt uns zum Konzept des Winkels zwischen schiefen Linien.

Methoden zum Setzen einer geraden Linie im Raum.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine gerade Linie im Raum eindeutig zu definieren. Lassen Sie uns die wichtigsten auflisten.

Wir wissen aus dem Axiom, dass eine Gerade durch zwei Punkte geht und nur durch einen. Wenn wir also zwei Punkte im Raum markieren, können wir die durch sie verlaufende Gerade eindeutig bestimmen.

Führt man im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein und gibt man eine Gerade durch Angabe der Koordinaten ihrer beiden Punkte an, so hat man die Möglichkeit, die Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte aufzustellen.

Die zweite Art, eine Linie im Raum anzugeben, basiert auf dem Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, verläuft eine Linie parallel zu der gegebenen, und nur eine.

Geben wir also eine Gerade (oder einen Abschnitt dieser Geraden) und einen nicht darauf liegenden Punkt an, so bestimmen wir eindeutig die zu der gegebenen parallele und durch den gegebenen Punkt verlaufende Gerade.

Sie können den Punkt angeben, durch den die Linie verläuft, und ihren Richtungsvektor. Dadurch können Sie die Leitung auch eindeutig identifizieren.

Wird auf diese Weise eine Gerade in Bezug auf ein festes rechtwinkliges Koordinatensystem definiert, dann können wir sofort ihre kanonischen Gleichungen einer Raumgeraden und Parametergleichungen einer Raumgeraden aufschreiben.

Die nächste Möglichkeit, eine Gerade im Raum anzugeben, basiert auf dem Axiom der Stereometrie: Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

Indem wir also zwei sich schneidende Ebenen setzen, definieren wir eindeutig eine gerade Linie im Raum.

Eine andere Möglichkeit, eine Linie im Raum anzugeben, folgt aus dem Satz (den Beweis finden Sie in den Büchern, die am Ende dieses Artikels aufgeführt sind): Wenn eine Ebene und ein Punkt, der nicht darin liegt, gegeben sind, dann geht eine einzige Linie durch durch diesen Punkt und senkrecht zur gegebenen Ebene.

Um eine gerade Linie zu bestimmen, können Sie also die Ebene angeben, zu der die gewünschte Linie senkrecht steht, und den Punkt, durch den diese Linie verläuft.

Wenn die Gerade in Bezug auf das eingeführte rechtwinklige Koordinatensystem auf diese Weise definiert ist, dann wird es nützlich sein, das Material des Artikels der Gleichung einer Geraden zu besitzen, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene verläuft.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Erster Band: Elemente der linearen Algebra und analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

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Präsentation zum Thema "Axiome der Stereometrie" zur Geometrie im Powerpoint-Format. In der Präsentation für Schüler werden 7 Axiome der Stereometrie aufgelistet, Aufgaben werden anhand dieser Axiome gestellt. Autor der Präsentation: Sukhorukova E.V.

Fragmente aus der Präsentation

• Es gibt nur eine Gerade durch zwei beliebige Punkte im Raum.
• Durch je drei Punkte im Raum, die nicht zu derselben Geraden gehören, gibt es nur eine Ebene
• Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sie sich in einer geraden Linie
• Es gibt mindestens vier Punkte, die nicht zu derselben Ebene gehören
• Wenn eine Gerade zwei Punkte mit einer Ebene gemeinsam hat, dann liegt sie in dieser Ebene.
• Durch eine Linie und einen nicht dazugehörenden Punkt gibt es nur eine Ebene
• Es gibt nur eine Ebene durch zwei sich schneidende Geraden.

FRAGE 1

Finden Sie den Fehler in den Zeichnungen, wenn:

Antwortmöglichkeiten hier.

Antworten: a) Die Punkte A, B, C müssen zur selben Linie gehören; b) Die Punkte K, L, M müssen zu einer Linie gehören.

FRAGE 2

Bestimme aus der Figur, zu welchen Figuren der Punkt M der Ebene gehört.

Frage 3

Finden Sie den Fehler in der Zeichnung. Geben Sie eine Erklärung

Antworten: Punkt M gehört nicht zu AC

Frage 4

Wie liegen die Ebenen α und β in der Figur relativ zueinander? Erklären Sie die Antwort. Vervollständigen Sie die Zeichnung, falls erforderlich.

Antworten: Weil Ebenen haben einen gemeinsamen Punkt, dann schneiden sie sich in einer geraden Linie

Frage 5

Wie viele Ebenen können durch eine Linie gezogen werden?

Antworten: unendlich viele

Parallele Linien im Raum

• Linien im Raum werden genannt parallel wenn sie in der gleichen Ebene liegen und sich nicht schneiden
• Geraden, die sich nicht schneiden und nicht in einer Ebene liegen, nennt man Kreuzung

• Geben Sie im Parallelepiped A…D1 die parallelen und schiefen Linien an
• Geben Sie in der Pyramide ABCD alle Paare sich schneidender Linien an