Proportionalität ist das Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem eine Änderung der einen eine Änderung der anderen um den gleichen Betrag zur Folge hat.

Die Proportionalität ist direkt und umgekehrt. In dieser Lektion werden wir uns jeden von ihnen ansehen.

Unterrichtsinhalt

Direkte Proportionalität

Angenommen, ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Wir erinnern uns, dass Geschwindigkeit die pro Zeiteinheit (1 Stunde, 1 Minute oder 1 Sekunde) zurückgelegte Strecke ist. In unserem Beispiel bewegt sich das Auto mit einer Geschwindigkeit von 50 km / h, dh es legt in einer Stunde eine Strecke von fünfzig Kilometern zurück.

Lassen Sie uns die Strecke aufzeichnen, die das Auto in 1 Stunde zurückgelegt hat.

Lassen Sie das Auto eine weitere Stunde mit der gleichen Geschwindigkeit von fünfzig Kilometern pro Stunde fahren. Dann stellt sich heraus, dass das Auto 100 km fahren wird

Wie dem Beispiel zu entnehmen ist, führte eine Verdopplung der Zeit zu einer Erhöhung der zurückgelegten Wegstrecke um den gleichen Betrag, also auf das Doppelte.

Größen wie Zeit und Weg sollen direkt proportional sein. Das Verhältnis zwischen diesen Größen wird genannt direkte Proportionalität.

Direkte Proportionalität ist das Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem eine Erhöhung der einen eine Erhöhung der anderen um den gleichen Betrag zur Folge hat.

und umgekehrt, wenn ein Wert um eine bestimmte Anzahl von Malen abnimmt, dann nimmt der andere um den gleichen Betrag ab.

Nehmen wir an, es war ursprünglich geplant, ein Auto 100 km in 2 Stunden zu fahren, aber nach 50 km Fahrt entschied sich der Fahrer, eine Pause einzulegen. Dann stellt sich heraus, dass durch Verringern der Entfernung um die Hälfte die Zeit um den gleichen Betrag verkürzt wird. Mit anderen Worten, eine Verringerung der zurückgelegten Entfernung führt zu einer Verkürzung der Zeit um den gleichen Faktor.

Ein interessantes Merkmal von direkt proportionalen Größen ist, dass ihr Verhältnis immer konstant ist. Das heißt, wenn Sie die Werte direkt proportionaler Größen ändern, bleibt ihr Verhältnis unverändert.

Im betrachteten Beispiel betrug die Entfernung zunächst 50 km und die Zeit eine Stunde. Das Verhältnis von Weg zu Zeit ist die Zahl 50.

Aber wir haben die Bewegungszeit um das Zweifache erhöht, sodass sie zwei Stunden entspricht. Infolgedessen erhöhte sich die zurückgelegte Strecke um den gleichen Betrag, dh sie wurde gleich 100 km. Das Verhältnis von hundert Kilometern zu zwei Stunden ist wieder die Zahl 50

Die Nummer 50 wird gerufen direkter Proportionalitätskoeffizient. Sie zeigt an, wie viel Strecke pro Bewegungsstunde zurückgelegt wird. BEI dieser Fall Der Koeffizient spielt die Rolle der Bewegungsgeschwindigkeit, da die Geschwindigkeit das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Zeit ist.

Anteile können aus direkt proportionalen Größen gebildet werden. Zum Beispiel machen die Verhältnisse und den Anteil aus:

Fünfzig Kilometer beziehen sich auf eine Stunde wie hundert Kilometer auf zwei Stunden.

Beispiel 2. Die Kosten und die Menge der gekauften Waren sind direkt proportional. Wenn 1 kg Süßigkeiten 30 Rubel kosten, kosten 2 kg derselben Süßigkeiten 60 Rubel, 3 kg - 90 Rubel. Mit der Erhöhung der Kosten der gekauften Waren erhöht sich ihre Menge um den gleichen Betrag.

Da der Wert einer Ware und ihre Menge direkt proportional sind, ist ihr Verhältnis immer konstant.

Schreiben wir das Verhältnis von dreißig Rubel zu einem Kilogramm auf

Lassen Sie uns nun aufschreiben, was das Verhältnis von sechzig Rubel zu zwei Kilogramm ist. Dieses Verhältnis wird wieder gleich dreißig sein:

Hier ist der Koeffizient der direkten Proportionalität die Zahl 30. Dieser Koeffizient gibt an, wie viele Rubel pro Kilogramm Süßigkeiten. In diesem Beispiel spielt der Koeffizient die Rolle des Preises für ein Kilogramm Ware, da der Preis das Verhältnis der Kosten der Ware zu ihrer Menge ist.

Umgekehrte Proportionalität

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 80 km. Der Motorradfahrer verließ die erste Stadt und erreichte mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h die zweite Stadt in 4 Stunden.

Wenn die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers 20 km/h beträgt, bedeutet dies, dass er jede Stunde eine Strecke von zwanzig Kilometern zurücklegt. Lassen Sie uns in der Abbildung die vom Motorradfahrer zurückgelegte Strecke und die Zeit seiner Bewegung darstellen:

Auf dem Rückweg war der Motorradfahrer 40 km/h schnell und verbrachte 2 Stunden auf derselben Strecke.

Es ist leicht zu erkennen, dass sich bei einer Änderung der Geschwindigkeit die Bewegungszeit um den gleichen Betrag geändert hat. Außerdem änderte es sich in die entgegengesetzte Richtung - das heißt, die Geschwindigkeit nahm zu und die Zeit im Gegenteil ab.

Größen wie Geschwindigkeit und Zeit heißen umgekehrt proportional. Das Verhältnis zwischen diesen Größen wird genannt umgekehrte Proportionalität.

Umgekehrte Proportionalität ist das Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem eine Erhöhung der einen zu einer Verringerung der anderen um denselben Betrag führt.

und umgekehrt, wenn ein Wert um eine bestimmte Anzahl von Malen abnimmt, steigt der andere um den gleichen Betrag.

Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers auf dem Rückweg 10 km / h beträgt, dann würde er die gleichen 80 km in 8 Stunden zurücklegen:

Wie dem Beispiel zu entnehmen ist, führte eine Verringerung der Geschwindigkeit zu einer Erhöhung der Fahrzeit um den gleichen Faktor.

Die Besonderheit umgekehrt proportionaler Größen besteht darin, dass ihr Produkt immer konstant ist. Das heißt, wenn die Werte umgekehrt proportionaler Größen geändert werden, bleibt ihr Produkt unverändert.

Im betrachteten Beispiel betrug die Entfernung zwischen den Städten 80 km. Bei Änderung der Geschwindigkeit und Zeit des Motorradfahrers blieb dieser Abstand immer unverändert.

Ein Motorradfahrer könnte diese Strecke mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h in 4 Stunden, mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h in 2 Stunden und mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h in 8 Stunden zurücklegen. In allen Fällen war das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit gleich 80 km

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Beispiel

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 usw.

Verhältnismäßigkeitsfaktor

Das konstante Verhältnis proportionaler Größen wird genannt Koeffizient der Proportionalität. Der Proportionalitätskoeffizient gibt an, wie viele Einheiten einer Größe auf eine Einheit einer anderen fallen.

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität- funktionale Abhängigkeit, bei der eine Größe von einer anderen Größe so abhängt, dass ihr Verhältnis konstant bleibt. Mit anderen Worten, diese Variablen ändern sich proportional, zu gleichen Teilen, das heißt, wenn sich das Argument zweimal in irgendeine Richtung geändert hat, dann ändert sich auch die Funktion zweimal in die gleiche Richtung.

Mathematisch wird die direkte Proportionalität als Formel geschrieben:

f(x) = ax,a = cÖnst

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrter Anteil- Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine Erhöhung des unabhängigen Werts (Argument) eine proportionale Verringerung des abhängigen Werts (Funktion) verursacht.

Mathematisch wird die umgekehrte Proportionalität als Formel geschrieben:

Funktionseigenschaften:

Quellen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Beispiel

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 usw.

Verhältnismäßigkeitsfaktor

Das konstante Verhältnis proportionaler Größen wird genannt Koeffizient der Proportionalität. Der Proportionalitätskoeffizient gibt an, wie viele Einheiten einer Größe auf eine Einheit einer anderen fallen.

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität- funktionale Abhängigkeit, bei der eine Größe von einer anderen Größe so abhängt, dass ihr Verhältnis konstant bleibt. Mit anderen Worten, diese Variablen ändern sich proportional, zu gleichen Teilen, das heißt, wenn sich das Argument zweimal in irgendeine Richtung geändert hat, dann ändert sich auch die Funktion zweimal in die gleiche Richtung.

Mathematisch wird die direkte Proportionalität als Formel geschrieben:

f(x) = ax,a = cÖnst

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrter Anteil- Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine Erhöhung des unabhängigen Werts (Argument) eine proportionale Verringerung des abhängigen Werts (Funktion) verursacht.

Mathematisch wird die umgekehrte Proportionalität als Formel geschrieben:

Funktionseigenschaften:

Quellen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Abhängigkeitstypen

Betrachten Sie das Aufladen der Batterie. Nehmen wir als ersten Wert die Ladezeit. Der zweite Wert ist die Zeit, die es nach dem Aufladen funktioniert. Je länger der Akku geladen wird, desto länger hält er. Der Vorgang wird fortgesetzt, bis der Akku vollständig aufgeladen ist.

Die Abhängigkeit der Batterielebensdauer von der Ladezeit

Bemerkung 1

Diese Abhängigkeit heißt gerade:

Wenn ein Wert steigt, steigt auch der andere. Wenn ein Wert abnimmt, nimmt auch der andere Wert ab.

Betrachten wir ein anderes Beispiel.

Je mehr Bücher der Schüler liest, desto weniger Fehler macht er im Diktat. Oder je höher Sie die Berge besteigen, desto niedriger wird der atmosphärische Druck sein.

Bemerkung 2

Diese Abhängigkeit heißt umkehren:

Wenn ein Wert steigt, sinkt der andere. Wenn ein Wert sinkt, steigt der andere Wert.

Also in dem Fall direkte Abhängigkeit beide Größen ändern sich auf die gleiche Weise (beide nehmen entweder zu oder ab), und in dem Fall umgekehrte Beziehung- entgegengesetzt (einer nimmt zu und der andere ab oder umgekehrt).

Ermittlung von Abhängigkeiten zwischen Mengen

Beispiel 1

Die Zeit, die man braucht, um einen Freund zu besuchen, beträgt $20$ Minuten. Bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit (des ersten Wertes) um das $2$-fache werden wir feststellen, wie sich die Zeit (zweiter Wert) ändert, die auf dem Weg zu einem Freund verbracht wird.

Offensichtlich verkürzt sich die Zeit um das $2$-fache.

Bemerkung 3

Diese Abhängigkeit heißt proportional:

Wie oft ändert sich ein Wert, wie oft ändert sich der zweite.

Beispiel 2

Für einen Laib Brot im Wert von 2 $ in einem Geschäft müssen Sie 80 Rubel bezahlen. Wenn Sie Brotlaibe im Wert von 4 $ kaufen müssen (die Brotmenge erhöht sich um das 2 $-fache), wie viel müssen Sie dann zusätzlich bezahlen?

Natürlich werden die Kosten auch um das 2$-fache steigen. Wir haben ein Beispiel für proportionale Abhängigkeit.

In beiden Beispielen wurden proportionale Abhängigkeiten berücksichtigt. Aber im Beispiel mit Brotlaiben ändern sich die Werte in eine Richtung, daher ist die Abhängigkeit gerade. Und im Beispiel mit einem Ausflug zu einem Freund ist das Verhältnis zwischen Geschwindigkeit und Zeit umkehren. Somit gibt es direkt proportionales Verhältnis und umgekehrt proportionales Verhältnis.

Direkte Proportionalität

Betrachten Sie anteilige Mengen von 2$: die Anzahl der Brotlaibe und ihre Kosten. Lassen Sie 2 $ Brotlaibe 80 $ Rubel kosten. Bei einer Erhöhung der Anzahl der Rollen um das 4$-fache (8$-Rollen) betragen ihre Gesamtkosten 320$ Rubel.

Das Verhältnis der Anzahl der Rollen: $\frac(8)(2)=4$.

Rollenkostenverhältnis: $\frac(320)(80)=4$.

Wie Sie sehen können, sind diese Verhältnisse gleich:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Bestimmung 1

Die Gleichheit zweier Relationen heißt Anteil.

Bei einer direkt proportionalen Beziehung ergibt sich ein Verhältnis, wenn die Änderung des ersten und zweiten Werts gleich ist:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Bestimmung 2

Die beiden Größen werden aufgerufen direkt proportional wenn sich beim Ändern (Erhöhen oder Verringern) eines von ihnen der andere Wert um den gleichen Betrag ändert (erhöht oder verringert sich entsprechend).

Beispiel 3

Das Auto legte $180$ km in $2$ Stunden zurück. Finden Sie die Zeit heraus, die er braucht, um $2$ mal die Distanz mit der gleichen Geschwindigkeit zurückzulegen.

Lösung.

Die Zeit ist direkt proportional zur Entfernung:

$t=\frac(S)(v)$.

Wie oft sich die Entfernung bei konstanter Geschwindigkeit erhöht, erhöht sich die Zeit um den gleichen Betrag:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Das Auto hat $180$ km zurückgelegt - in der Zeit von $2$ Stunde

Das Auto legt $180 \cdot 2=360$ km zurück - in der Zeit von $x$ Stunden

Je länger das Auto fährt, desto länger dauert es. Daher ist das Verhältnis zwischen den Mengen direkt proportional.

Machen wir eine Proportion:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Antworten: Das Auto benötigt $4$ Stunden.

Umgekehrte Proportionalität

Bestimmung 3

Lösung.

Die Zeit ist umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit:

$t=\frac(S)(v)$.

Wie oft die Geschwindigkeit zunimmt, bei gleichem Weg verringert sich die Zeit um den gleichen Betrag:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Schreiben wir die Bedingung des Problems in Form einer Tabelle:

Das Auto hat $60$ km zurückgelegt - in der Zeit von $6$ Stunden

Ein Auto legt $120$ km zurück - in einer Zeit von $x$ Stunden

Je schneller das Auto, desto weniger Zeit wird es brauchen. Daher ist das Verhältnis zwischen den Größen umgekehrt proportional.

Machen wir eine Proportion.

Da Proportionalität umgekehrt ist, drehen wir das zweite Verhältnis proportional:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Antworten: Das Auto braucht $3$ Stunden.

Grundlegende Ziele:

• das Konzept der direkten und umgekehrt proportionalen Abhängigkeit von Größen einführen;
• lehren, wie man Probleme mit diesen Abhängigkeiten löst;
• Förderung der Entwicklung von Fähigkeiten zur Problemlösung;
• festigen Sie die Fähigkeit, Gleichungen mithilfe von Proportionen zu lösen;
• Aktionen mit gewöhnlichen und Dezimalbrüchen wiederholen;
• das logische Denken der Schüler entwickeln.

WÄHREND DER KLASSEN

ICH. Selbstbestimmung zum Handeln(Organisationszeit)

- Leute! Heute lernen wir in der Lektion die Probleme kennen, die mit Proportionen gelöst werden.

II. Aktualisieren von Wissen und Beheben von Schwierigkeiten bei Aktivitäten

2.1. Mündliche Arbeit (3 Minuten)

- Finden Sie die Bedeutung von Ausdrücken heraus und finden Sie das in den Antworten verschlüsselte Wort heraus.

14 - s; 0,1 - und; 7 - l; 0,2 - a; 17 - hinein; 25 - zu

- Das Wort kam heraus - Stärke. Gut erledigt!
- Das Motto unseres heutigen Unterrichts: Im Wissen liegt die Macht! Ich schaue – also lerne ich!
- Machen Sie einen Anteil der resultierenden Zahlen. (14:7=0,2:0,1 usw.)

2.2. Betrachten Sie die Beziehung zwischen bekannten Größen (7 Minuten)

- der vom Auto mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Weg und die Zeit seiner Bewegung: S = v t ( mit zunehmender Geschwindigkeit (Zeit) nimmt der Weg zu);
- die Geschwindigkeit des Autos und die auf der Straße verbrachte Zeit: v=S:t(mit zunehmender Zeit zum Zurücklegen des Pfades nimmt die Geschwindigkeit ab);
– die Kosten der zu einem Preis gekauften Waren und ihre Menge: C \u003d a n (mit steigendem (fallendem) Preis steigen (sinken) die Anschaffungskosten);
- der Preis des Produkts und seine Menge: a \u003d C: n (mit zunehmender Menge sinkt der Preis)
– die Fläche des Rechtecks ​​und seine Länge (Breite): S = a · b (mit zunehmender Länge (Breite) nimmt die Fläche zu;
- die Länge des Rechtecks ​​und die Breite: a = S: b (mit zunehmender Länge nimmt die Breite ab;
- die Anzahl der Arbeiter, die eine Arbeit mit der gleichen Arbeitsproduktivität ausführen, und die Zeit, die für die Erledigung dieser Arbeit benötigt wird: t \u003d A: n (mit zunehmender Anzahl der Arbeiter nimmt die für die Arbeit aufgewendete Zeit ab), usw.

Wir haben Abhängigkeiten erhalten, bei denen bei mehrfacher Erhöhung eines Wertes ein anderer sofort um den gleichen Betrag zunimmt (beispielhaft mit Pfeilen dargestellt) und Abhängigkeiten, bei denen bei mehrfacher Erhöhung eines Wertes der zweite Wert um sinkt gleich oft.
Solche Beziehungen werden als direkte und inverse Proportionen bezeichnet.
Direkt proportionale Abhängigkeit- eine Abhängigkeit, bei der bei mehrmaliger Erhöhung (Verringerung) eines Werts der zweite Wert um denselben Betrag zunimmt (abnimmt).
Umgekehrtes proportionales Verhältnis- eine Abhängigkeit, bei der bei mehrmaliger Erhöhung (Verringerung) eines Werts der zweite Wert um denselben Betrag abnimmt (ansteigt).

III. Erklärung der Lernaufgabe

Was ist das Problem, mit dem wir konfrontiert sind? (Lernen Sie, zwischen direkten und inversen Beziehungen zu unterscheiden)
- Das - Tor unsere Lektion. Jetzt formulieren Thema Lektion. (Direkte und umgekehrte Proportionalität).
- Gut erledigt! Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihre Hefte. (Der Lehrer schreibt das Thema an die Tafel.)

IV. "Entdeckung" von neuem Wissen(10 Minuten)

Lassen Sie uns Probleme Nummer 199 analysieren.

1. Der Drucker druckt 27 Seiten in 4,5 Minuten. Wie lange dauert es, 300 Seiten zu drucken?

27 Seiten - 4,5 Min.
300 S. - x?

2. In einer Schachtel befinden sich 48 Packungen Tee à 250 g. Wie viele Packungen mit 150 g kommen aus diesem Tee?

48 Packungen - 250 g.
X? - 150 gr.

3. Das Auto fuhr 310 km, nachdem es 25 Liter Benzin verbraucht hatte. Wie weit kann ein Auto mit einer Tankfüllung von 40 Litern fahren?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Eines der Kupplungszahnräder hat 32 Zähne und das andere 40. Wie viele Umdrehungen macht das zweite Zahnrad, während das erste 215 Umdrehungen macht?

32 Zähne - 315 U/min
40 Zähne - x?

Zur Erstellung einer Proportion ist eine Richtung der Pfeile notwendig, dazu wird bei umgekehrter Proportion ein Verhältnis durch das Inverse ersetzt.

An der Tafel finden die Schüler den Wert der Größen, im Feld lösen die Schüler eine Aufgabe ihrer Wahl.

– Formulieren Sie eine Regel zur Lösung von Problemen mit direkter und umgekehrter Proportionalität.

An der Tafel erscheint eine Tabelle:

V. Primäre Konsolidierung in der Außensprache(10 Minuten)

Aufgaben auf den Blättern:

1. Aus 21 kg Baumwollsaat wurden 5,1 kg Öl gewonnen. Wie viel Öl wird aus 7 kg Baumwollsamen gewonnen?
2. Für den Bau des Stadions räumten 5 Bulldozer das Gelände in 210 Minuten. Wie lange würden 7 Bulldozer brauchen, um dieses Gebiet zu räumen?

VI. Eigenständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm(5 Minuten)

Zwei Schüler erledigen die Aufgaben Nr. 225 selbstständig an versteckten Tafeln, den Rest in Heften. Dann überprüfen sie die Arbeit nach dem Algorithmus und vergleichen sie mit der Lösung an der Tafel. Fehler werden behoben, ihre Ursachen geklärt. Wenn die Aufgabe erledigt ist, richtig, setzen Sie neben den Schülern ein „+“ -Zeichen für sich.
Studierende, die bei selbstständiger Arbeit Fehler machen, können Berater hinzuziehen.

VII. Aufnahme in das Wissenssystem und Wiederholung№ 271, № 270.

Sechs Personen arbeiten an der Tafel. Nach 3-4 Minuten stellen die Schüler, die an der Tafel gearbeitet haben, ihre Lösungen vor, der Rest überprüft die Aufgaben und beteiligt sich an ihrer Diskussion.

VIII. Reflexion der Aktivität (Unterrichtszusammenfassung)

- Was hast du Neues im Unterricht gelernt?
- Was hast du wiederholt?
Wie lautet der Algorithmus zur Lösung von Proportionsproblemen?
Haben wir unser Ziel erreicht?
- Wie bewerten Sie Ihre Arbeit?