Übung. Die Punkte A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC.
a) Finden Sie die Gleichungen der Seiten des Dreiecks ABC.
b) Finden Sie die Gleichung eines der Mediane des Dreiecks ABC.
c) Finden Sie die Gleichung für eine der Höhen des Dreiecks ABC.
d) Finden Sie die Gleichung einer der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC.
e) Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC.

Lösung Mach es mit einem Taschenrechner.
Es werden Dreieckskoordinaten angegeben: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorkoordinaten
Die Koordinaten der Vektoren werden durch die Formel ermittelt:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Zum Beispiel für den Vektor AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Module von Vektoren

3) Winkel zwischen Geraden
Der Winkel zwischen den Vektoren a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) kann durch die Formel ermittelt werden:

wobei a 1 a 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2
Finden Sie den Winkel zwischen den Seiten AB und AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorprojektion
Vektorprojektion B pro Vektor A kann mit der Formel ermittelt werden:

Finden Sie die Projektion des Vektors AB auf den Vektor AC

5) Fläche eines Dreiecks



Lösung


Nach der Formel erhalten wir:

6) diesbezügliche Aufteilung des Segments
Der Radiusvektor r des Punktes A, der das Segment AB im Verhältnis zu AA:AB = m 1:m 2 teilt, wird durch die Formel bestimmt:

Die Koordinaten von Punkt A werden durch die Formeln ermittelt:




Dreieck-Median-Gleichung
Den Mittelpunkt der Seite BC bezeichnen wir mit dem Buchstaben M. Dann ermitteln wir die Koordinaten des Punktes M anhand der Formeln zur Halbierung des Segments.


M(0;-1)
Wir finden die Gleichung für den Median AM mithilfe der Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Median AM geht durch die Punkte A(2;1) und M(0;-1), daher:

oder

oder
y=x-1 oder y-x+1=0
7) Geradengleichung


Gleichung der Linie AB

oder

oder
y = 3x -5 oder y -3x +5 = 0
Leitungs-AC-Gleichung

oder

oder
y = 1 / 3 x + 1 / 3 oder 3y -x - 1 = 0
Linie BC-Gleichung

oder

oder
y = -x -1 oder y + x +1 = 0
8) Die Länge der Höhe des Dreiecks, das vom Scheitelpunkt A aus gezeichnet wird
Der Abstand d vom Punkt M 1 (x 1; y 1) zur Geraden Ax + By + C \u003d 0 ist gleich dem Absolutwert der Menge:

Finden Sie den Abstand zwischen Punkt A(2;1) und der Linie BC (y + x +1 = 0)

9) Höhengleichung durch Scheitelpunkt C
Die Linie, die durch den Punkt M 0 (x 0 ;y 0) verläuft und senkrecht zur Linie Ax + By + C = 0 verläuft, hat einen Richtungsvektor (A;B) und wird daher durch die Gleichungen dargestellt:


Diese Gleichung kann auch auf andere Weise gefunden werden. Dazu ermitteln wir die Steigung k 1 der Geraden AB.
Gleichung AB: y = 3x -5 d.h. k 1 = 3
Ermitteln wir die Steigung k der Senkrechten aus der Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden: k 1 *k = -1.
Wenn wir anstelle von k 1 die Steigung dieser Geraden einsetzen, erhalten wir:
3k = -1, woraus k = -1 / 3
Da die Senkrechte durch den Punkt C(-1,0) verläuft und k = -1 / 3 hat, suchen wir nach ihrer Gleichung in der Form: y-y 0 = k(x-x 0).
Wenn wir x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 einsetzen, erhalten wir:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
oder
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Gleichung der Dreieckshalbierenden
Finden wir die Winkelhalbierende des Winkels A. Bezeichnen Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite BC mit M.
Verwenden wir die Formel:

AB-Gleichung: y -3x +5 = 0, AC-Gleichung: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Die Winkelhalbierende halbiert den Winkel, daher ist der Winkel NAK ≈ 26,5 0
Der Tangens der Steigung AB ist 3 (weil y -3x +5 = 0). Der Neigungswinkel beträgt 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Die Winkelhalbierende verläuft durch den Punkt A(2,1). Mit der Formel erhalten wir:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
oder
y=x-1
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Beispiel. Die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC sind angegeben: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Erforderlich: 1) Berechnen Sie die Länge der Seite BC; 2) Stellen Sie eine Gleichung für die Seite BC auf; 3) Finden Sie den Innenwinkel des Dreiecks am Scheitelpunkt B; 4) Stellen Sie eine Gleichung für die Höhe von AK auf, die von oben A gezeichnet wird. 5) Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts eines homogenen Dreiecks (den Schnittpunkt seiner Mediane); 6) Erstellen Sie eine Zeichnung im Koordinatensystem.

Übung. Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Erforderlich:

1. Schreiben Sie eine Gleichung für den vom Scheitelpunkt B gezogenen Median und berechnen Sie seine Länge.
2. Schreiben Sie eine Gleichung für die vom Scheitelpunkt A ausgehende Höhe und berechnen Sie deren Länge.
3. Finden Sie den Kosinus des Innenwinkels B des Dreiecks ABC.

Fertige eine Zeichnung an.

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Beispiel #3. Gegeben sind die Eckpunkte A(1;1), B(7;4), C(4;5) eines Dreiecks. Finden Sie: 1) die Länge der Seite AB; 2) Innenwinkel A im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von 0,001. Fertige eine Zeichnung an.
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Beispiel #4. Gegeben sind die Eckpunkte A(1;1), B(7;4), C(4;5) eines Dreiecks. Finden Sie: 1) die Gleichung der Höhe, die durch den Scheitelpunkt C gezogen wird; 2) die Gleichung des Medians, der durch den Scheitelpunkt C gezogen wird; 3) der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks; 4) die Länge der vom Scheitelpunkt C abgesenkten Höhe. Erstellen Sie eine Zeichnung.
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Beispiel Nr. 5. Die Eckpunkte des Dreiecks ABC sind angegeben: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Bestimmen Sie: 1) die Länge der Seite AB; 2) Gleichung der Seiten AB und AC und ihrer Steigungen; 3) die Fläche des Dreiecks.

Wir finden die Koordinaten der Vektoren nach der Formel: X = x j - x i ; Y = y j - y i
hier X,Y-Koordinaten des Vektors; x i , y i - Koordinaten des Punktes A i ; x j , y j - Koordinaten des Punktes A j
Zum Beispiel für den Vektor AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Die Länge der Seiten eines Dreiecks
Die Länge des Vektors a(X;Y) wird durch seine Koordinaten durch die Formel ausgedrückt:


Fläche eines Dreiecks
Seien die Punkte A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) die Eckpunkte des Dreiecks, dann wird seine Fläche durch die Formel ausgedrückt:

Auf der rechten Seite befindet sich eine Determinante zweiter Ordnung. Die Fläche eines Dreiecks ist immer positiv.
Lösung. Wenn wir A als ersten Knoten nehmen, finden wir:

Nach der Formel erhalten wir:

Gleichung einer Geraden
Die Gerade, die durch die Punkte A 1 (x 1; y 1) und A 2 (x 2; y 2) verläuft, wird durch die Gleichungen dargestellt:

Gleichung der Linie AB
Kanonische Gleichung einer Geraden:

oder

oder
y = -3 / 4 x -15 / 4 oder 4y + 3x +15 = 0
Die Steigung der Linie AB beträgt k = -3 / 4
Leitungs-AC-Gleichung

oder

oder
y = 13 / 16x + 65 / 16 oder 16y -13x - 65 = 0
Die Steigung der Linie AB beträgt k = 13 / 16

Übung. Gegeben sind die Koordinaten der Scheitelpunkte der Pyramide ABCD. Erforderlich:

1. Schreiben Sie die Vektoren in das Ort-System und finden Sie die Module dieser Vektoren.
2. Finden Sie den Winkel zwischen Vektoren.
3. Finden Sie die Projektion eines Vektors auf einen Vektor.
4. Finden Sie den Gesichtsbereich ABC.
5. Finden Sie das Volumen der Pyramide ABCD.

Lösung
Beispiel 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Beispiel Nr. 2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): Beispiel Nr. 3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): Beispiel Nr. 4

Übung. Finden Sie den spitzen Winkel zwischen den Linien x + y -5 = 0 und x + 4y - 8 = 0.
Empfehlungen für eine Lösung. Das Problem wird mithilfe des Dienstes „Winkel zwischen zwei Linien“ gelöst.
Antwort: 30,96o

Beispiel 1. Die Koordinaten der Punkte A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) werden angegeben. Ermitteln Sie die Länge der Kante A1A2. Schreiben Sie eine Gleichung für die Kante A1A4 und die Fläche A1A2A3. Schreiben Sie eine Gleichung für die Höhe, die vom Punkt A4 zur Ebene A1A2A3 abfällt. Finden Sie die Fläche des Dreiecks A1A2A3. Finden Sie das Volumen der dreieckigen Pyramide A1A2A3A4.

Wir finden die Koordinaten der Vektoren nach der Formel: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
hier X,Y,Z-Koordinaten des Vektors; x i , y i , z i - Koordinaten des Punktes A i ; x j , y j , z j - Koordinaten des Punktes A j ;
Für den Vektor A 1 A 2 lauten sie also wie folgt:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Die Länge des Vektors a(X;Y;Z) wird durch seine Koordinaten durch die Formel ausgedrückt:

Aufgabe 1. Die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC sind angegeben: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Finden Sie: 1) die Länge der Seite AB; 2) Gleichungen der Seiten AB und BC und ihrer Steigungen; 3) Winkel B im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen; 4) die Gleichung der Höhe CD und ihrer Länge; 5) die Gleichung des Medians AE und die Koordinaten des Punktes K des Schnittpunkts dieses Medians mit der Höhe CD; 6) die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K parallel zur Seite AB verläuft; 7) die Koordinaten des Punktes M, der symmetrisch zum Punkt A relativ zur Geraden CD liegt.

Lösung:

1. Abstand d zwischen den Punkten A(x 1 ,y 1) und B(x 2 ,y 2) wird durch die Formel bestimmt

Unter Anwendung von (1) ermitteln wir die Länge der Seite AB:

2. Die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A (x 1, y 1) und B (x 2, y 2) verläuft, hat die Form

(2)

Wenn wir in (2) die Koordinaten der Punkte A und B einsetzen, erhalten wir die Gleichung der Seite AB:

Nachdem wir die letzte Gleichung für y gelöst haben, finden wir die Gleichung der Seite AB in Form einer Geradengleichung mit Steigung:

Wo

Wenn wir in (2) die Koordinaten der Punkte B und C einsetzen, erhalten wir die Gleichung der Geraden BC:

Oder

3. Es ist bekannt, dass der Tangens des Winkels zwischen zwei Geraden, deren Winkelkoeffizienten jeweils gleich sind, nach der Formel berechnet wird

(3)

Der gewünschte Winkel B wird durch die Geraden AB und BC gebildet, deren Winkelkoeffizienten ermittelt werden: Unter Anwendung von (3) erhalten wir

Oder froh.

4. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft, hat die Form

(4)

Die Höhe CD steht senkrecht zur Seite AB. Um die Steigung der Höhe CD zu ermitteln, verwenden wir die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien. Seit damals Wenn wir in (4) die Koordinaten des Punktes C und den gefundenen Winkelkoeffizienten der Höhe einsetzen, erhalten wir

Um die Länge der Höhe CD zu ermitteln, bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes D – dem Schnittpunkt der Geraden AB und CD. Gemeinsam das System lösen:

finden diese. D(8;0).

Mit Formel (1) ermitteln wir die Länge der Höhe CD:

5. Um die Gleichung des Medians AE zu finden, bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes E, der den Mittelpunkt der Seite BC darstellt, indem wir die Formeln zur Aufteilung des Segments in zwei gleiche Teile verwenden:

(5)

Somit,

Wenn wir in (2) die Koordinaten der Punkte A und E einsetzen, finden wir die Mediangleichung:

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Höhe CD und des Medians AE zu finden, lösen wir gemeinsam das Gleichungssystem

Wir finden .

6. Da die gewünschte Linie parallel zur Seite AB verläuft, ist ihre Steigung gleich der Steigung der Linie AB. Ersetzen wir in (4) die Koordinaten des gefundenen Punktes K und die Steigung, erhalten wir

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Da die Linie AB senkrecht zur Linie CD steht, liegt der gewünschte Punkt M, der symmetrisch zum Punkt A relativ zur Linie CD liegt, auf der Linie AB. Darüber hinaus ist Punkt D der Mittelpunkt des Segments AM. Mit den Formeln (5) ermitteln wir die Koordinaten des gewünschten Punktes M:

Dreieck ABC, Höhe CD, Median AE, Linie KF und Punkt M sind im xOy-Koordinatensystem in Abb. aufgebaut. 1.

Aufgabe 2. Stellen Sie eine Gleichung für den Ort von Punkten auf, deren Abstandsverhältnis zu einem gegebenen Punkt A (4; 0) und zu einer gegebenen Geraden x \u003d 1 gleich 2 ist.

Lösung:

Im xOy-Koordinatensystem konstruieren wir den Punkt A(4;0) und die Gerade x = 1. Sei M(x;y) ein beliebiger Punkt des gewünschten Punkteortes. Lassen Sie uns die Senkrechte MB auf die gegebene Gerade x = 1 fallen lassen und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes B. Da der Punkt B auf der gegebenen Geraden liegt, ist seine Abszisse gleich 1. Die Ordinate des Punktes B ist gleich der Ordinate des Punktes M. Daher ist B(1; y) (Abb. 2).

Aufgrund der Bedingung des Problems |MA|: |MV| = 2. Abstände |MA| und |MB| wir finden nach Formel (1) von Problem 1:

Indem wir die linke und rechte Seite quadrieren, erhalten wir

oder

Die resultierende Gleichung ist eine Hyperbel, bei der die reale Halbachse a = 2 und die imaginäre ist

Definieren wir die Brennpunkte der Hyperbel. Für eine Hyperbel ist die Gleichheit erfüllt. Daher und sind die Brennpunkte der Hyperbel. Wie Sie sehen können, ist der gegebene Punkt A(4;0) der rechte Fokus der Hyperbel.

Bestimmen wir die Exzentrizität der resultierenden Hyperbel:

Die Asymptotengleichungen der Hyperbel haben die Form und . Daher sind oder und Asymptoten der Hyperbel. Bevor wir eine Hyperbel konstruieren, konstruieren wir ihre Asymptoten.

Aufgabe 3. Stellen Sie eine Gleichung für den Ort der Punkte mit gleichem Abstand vom Punkt A (4; 3) und der Geraden y \u003d 1 auf. Reduzieren Sie die resultierende Gleichung auf ihre einfachste Form.

Lösung: Sei M(x; y) einer der Punkte des gewünschten Punkteortes. Lassen Sie uns die Senkrechte MB vom Punkt M auf die gegebene Linie y = 1 fallen lassen (Abb. 3). Bestimmen wir die Koordinaten von Punkt B. Es ist offensichtlich, dass die Abszisse von Punkt B gleich der Abszisse von Punkt M ist und die Ordinate von Punkt B 1 ist, d.h. B (x; 1). Aufgrund der Bedingung des Problems |MA|=|MV|. Daher gilt für jeden Punkt M (x; y), der zum gewünschten Ort der Punkte gehört, die Gleichheit:

Die resultierende Gleichung definiert eine Parabel mit einem Scheitelpunkt an einem Punkt. Um die Parabelgleichung auf ihre einfachste Form zu reduzieren, setzen wir und y + 2 = Y, dann nimmt die Parabelgleichung die Form an:

Wie lernt man, Probleme in der analytischen Geometrie zu lösen?
Typisches Problem bei einem Dreieck auf einer Ebene

Diese Lektion wurde über die Annäherung an den Äquator zwischen der Geometrie der Ebene und der Geometrie des Raums erstellt. Im Moment besteht die Notwendigkeit, die gesammelten Informationen zu systematisieren und eine sehr wichtige Frage zu beantworten: Wie lernt man, Probleme in der analytischen Geometrie zu lösen? Die Schwierigkeit liegt darin, dass es in der Geometrie unendlich viele Probleme gibt und kein Lehrbuch alle vielen und vielfältigen Beispiele enthalten kann. Es ist nicht Funktionsableitung mit fünf Differenzierungsregeln, einer Tabelle und einigen Techniken….

Es gibt eine Lösung! Ich werde nicht laut sagen, dass ich eine grandiose Technik entwickelt habe, aber meiner Meinung nach gibt es einen effektiven Ansatz für das betrachtete Problem, der es ermöglicht, selbst mit einem vollen Wasserkocher gute und hervorragende Ergebnisse zu erzielen. Zumindest nahm der allgemeine Algorithmus zur Lösung geometrischer Probleme in meinem Kopf sehr deutlich Gestalt an.

WAS SIE WISSEN UND KÖNNEN MÜSSEN
Probleme in der Geometrie erfolgreich lösen?

Daran führt kein Weg vorbei – um nicht wahllos mit der Nase in Knöpfe zu stechen, müssen Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie beherrschen. Wenn Sie also gerade erst mit dem Studium der Geometrie begonnen haben oder es ganz vergessen haben, beginnen Sie bitte mit der Lektion Vektoren für Dummies. Neben Vektoren und Aktionen mit ihnen müssen Sie insbesondere die Grundkonzepte der ebenen Geometrie kennen Gleichung einer Geraden in einer Ebene Und . Die Geometrie des Raumes wird durch Artikel dargestellt Ebenengleichung, Gleichungen einer Geraden im Raum, Grundaufgaben auf einer Linie und einem Flugzeug und einige andere Lektionen. Geschwungene Linien und Raumflächen zweiter Ordnung stehen etwas auseinander und es gibt bei ihnen nicht so viele spezifische Probleme.

Angenommen, ein Student verfügt bereits über grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten zur Lösung der einfachsten Probleme der analytischen Geometrie. Aber es passiert so: Sie lesen den Zustand des Problems und ... Sie möchten das Ganze ganz abschließen, es in die hinterste Ecke werfen und es vergessen, wie einen Albtraum. Dabei kommt es auch nicht grundsätzlich auf das Niveau Ihrer Qualifikationen an, hin und wieder stoße ich selbst auf Aufgaben, bei denen die Lösung nicht auf der Hand liegt. Wie verhält man sich in solchen Fällen? Sie brauchen keine Angst vor einer Aufgabe zu haben, die Sie nicht verstehen!

Erstens, sollte auf eingestellt sein Handelt es sich um ein „planares“ oder räumliches Problem? Wenn in der Bedingung beispielsweise Vektoren mit zwei Koordinaten vorkommen, dann ist dies natürlich die Geometrie der Ebene. Und wenn der Lehrer den dankbaren Zuhörer mit einer Pyramide belädt, dann liegt da eindeutig die Geometrie des Raumes vor. Die Ergebnisse des ersten Schritts sind bereits recht gut, da es uns gelungen ist, eine große Menge an Informationen herauszuschneiden, die für diese Aufgabe nicht erforderlich waren!

Zweite. Bei der Bedingung handelt es sich in der Regel um eine geometrische Figur. Wenn Sie durch die Korridore Ihrer Heimatuniversität gehen, werden Sie viele besorgte Gesichter sehen.

Bei „flachen“ Problemen, ganz zu schweigen von den offensichtlichen Punkten und Linien, ist das Dreieck die beliebteste Figur. Wir werden es im Detail analysieren. Als nächstes kommt das Parallelogramm, und Rechteck, Quadrat, Raute, Kreis und andere Figuren sind weitaus seltener.

Bei räumlichen Aufgaben können die gleichen flachen Figuren + die Flugzeuge selbst und gewöhnliche dreieckige Pyramiden mit Parallelepipeden fliegen.

Frage zwei – Wissen Sie alles über diese Figur? Angenommen, es geht bei der Bedingung um ein gleichschenkliges Dreieck, und Sie erinnern sich nur ganz vage, um welche Art von Dreieck es sich handelt. Wir schlagen ein Schulbuch auf und lesen über ein gleichschenkliges Dreieck. Was tun ... der Arzt sagte eine Raute, also eine Raute. Analytische Geometrie ist analytische Geometrie, aber Das Problem wird dazu beitragen, die geometrischen Eigenschaften der Figuren selbst zu lösen uns aus dem Schullehrplan bekannt. Wenn Sie die Winkelsumme eines Dreiecks nicht kennen, können Sie lange leiden.

Dritte. Versuchen Sie IMMER, der Blaupause zu folgen(auf Zug / sauber / gedanklich), auch wenn die Bedingung dies nicht erfordert. Bei „flachen“ Aufgaben befahl Euklid selbst, ein Lineal mit einem Bleistift in der Hand zu nehmen – und zwar nicht nur, um den Zustand zu verstehen, sondern auch zum Zweck der Selbstprüfung. In diesem Fall ist der praktischste Maßstab 1 Einheit = 1 cm (2 Tetradenzellen). Reden wir nicht über nachlässige Studenten und Mathematiker, die sich im Grab drehen – es ist fast unmöglich, bei solchen Problemen einen Fehler zu machen. Bei räumlichen Aufgaben erstellen wir eine schematische Zeichnung, die auch bei der Zustandsanalyse hilfreich ist.

Anhand einer Zeichnung oder schematischen Zeichnung lässt sich oft sofort erkennen, wie das Problem gelöst werden kann. Dazu müssen Sie natürlich die Grundlagen der Geometrie kennen und die Eigenschaften geometrischer Formen kennen (siehe vorherigen Absatz).

vierte. Entwicklung eines Lösungsalgorithmus. Viele Geometrieprobleme bestehen aus mehreren Durchgängen, daher ist es sehr praktisch, die Lösung und ihren Entwurf in Punkte aufzuteilen. Oft fällt einem der Algorithmus sofort ein, nachdem man die Bedingung gelesen oder die Zeichnung fertiggestellt hat. Bei Schwierigkeiten beginnen wir mit der FRAGE des Problems. Beispielsweise gemäß der Bedingung „Es ist erforderlich, eine gerade Linie zu bauen ...“. Hier lautet die logischste Frage: „Was muss man genug wissen, um diese Linie aufzubauen?“. Angenommen: „Wir kennen den Punkt, wir müssen den Richtungsvektor kennen.“ Wir stellen die folgende Frage: „Wie finde ich diesen Richtungsvektor?“ Wo?" usw.

Manchmal gibt es einen „Plug“ – die Aufgabe ist nicht gelöst und das war’s. Die Gründe für den Stopper können folgende sein:

- Eine gravierende Lücke im Grundwissen. Mit anderen Worten: Sie wissen etwas ganz Einfaches nicht oder (und) sehen es nicht.

- Unkenntnis der Eigenschaften geometrischer Formen.

- Die Aufgabe war schwierig. Ja, es passiert. Es hat keinen Sinn, stundenlang zu dampfen und Tränen in einem Taschentuch zu sammeln. Fragen Sie Ihren Lehrer, Ihre Mitschüler oder stellen Sie eine Frage im Forum um Rat. Darüber hinaus ist es besser, die Aussage konkret zu formulieren – über den Teil der Lösung, den Sie nicht verstehen. Ein Schrei in der Form „Wie löst man das Problem?“ sieht nicht gut aus... und vor allem für den eigenen Ruf.

Stufe fünf. Wir lösen-prüfen, lösen-prüfen, lösen-prüfen-geben eine Antwort. Es ist von Vorteil, jeden Punkt der Aufgabe zu überprüfen unmittelbar nachdem es fertig ist. Dies hilft Ihnen, den Fehler sofort zu finden. Natürlich verbietet niemand, das gesamte Problem schnell zu lösen, aber es besteht die Gefahr, alles noch einmal neu zu schreiben (oft mehrere Seiten).

Hier sind vielleicht alle wichtigen Überlegungen aufgeführt, an denen man sich bei der Lösung von Problemen orientieren sollte.

Der praktische Teil der Lektion wird durch Geometrie in einer Ebene dargestellt. Es wird nur zwei Beispiele geben, aber es scheint nicht genug zu sein =)

Lassen Sie uns den Thread des Algorithmus durchgehen, den ich gerade in meiner kleinen wissenschaftlichen Arbeit besprochen habe:

Beispiel 1

Gegeben sind drei Eckpunkte eines Parallelogramms. Top finden.

Beginnen wir damit, es herauszufinden:

Schritt eins: Es ist offensichtlich, dass es sich um ein „flaches“ Problem handelt.

Schritt zwei: Das Problem betrifft ein Parallelogramm. Erinnert sich jeder an so eine Parallelogrammfigur? Kein Grund zum Schmunzeln, denn viele Menschen sind bereits im Alter von 30, 40, 50 oder älter gebildet, sodass selbst einfache Fakten aus dem Gedächtnis gelöscht werden können. Die Definition eines Parallelogramms finden Sie in Beispiel Nr. 3 der Lektion Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis.

Schritt drei: Machen wir eine Zeichnung, auf der wir drei bekannte Eckpunkte markieren. Es ist lustig, dass es einfach ist, den gewünschten Punkt sofort aufzubauen:

Konstruieren ist natürlich gut, aber die Lösung muss analytisch formalisiert werden.

Schritt vier: Entwicklung eines Lösungsalgorithmus. Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist, dass ein Punkt als Schnittpunkt von Linien gefunden werden kann. Ihre Gleichungen sind uns unbekannt, daher müssen wir uns mit diesem Problem befassen:

1) Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Nach Punkten Finden Sie den Richtungsvektor dieser Seiten. Dies ist die einfachste Aufgabe, die in der Lektion behandelt wurde. Vektoren für Dummies.

Notiz: Es ist korrekter zu sagen „die Gleichung der geraden Linie, die die Seite enthält“, aber im Folgenden werde ich der Kürze halber die Ausdrücke „Gleichung der Seite“, „Richtungsvektor der Seite“ usw. verwenden.

3) Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Aus den Punkten ermitteln wir den Richtungsvektor dieser Seiten.

4) Stellen Sie die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen

In den Absätzen 1-2 und 3-4 haben wir das gleiche Problem tatsächlich zweimal gelöst, es wird übrigens in Beispiel Nr. 3 der Lektion analysiert Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Es war möglich, einen längeren Weg zu gehen – zuerst die Geradengleichungen zu finden und erst dann die Richtungsvektoren daraus „herauszuziehen“.

5) Nun sind die Gleichungen der Geraden bekannt. Es bleibt noch das entsprechende System linearer Gleichungen zusammenzustellen und zu lösen (siehe Beispiele Nr. 4, 5 derselben Lektion). Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene).

Punkt gefunden.

Die Aufgabe ist ganz einfach und die Lösung liegt auf der Hand, aber es gibt einen kürzeren Weg!

Der zweite Lösungsweg:

Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch ihren Schnittpunkt halbiert. Ich habe den Punkt markiert, aber um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich die Diagonalen nicht selbst gezeichnet.

Stellen Sie die Seitengleichung nach Punkten zusammen :

Um dies gedanklich oder auf einem Entwurf zu überprüfen, ersetzen Sie die Koordinaten jedes Punktes in der resultierenden Gleichung. Lassen Sie uns nun die Steigung finden. Dazu schreiben wir die allgemeine Gleichung in Form einer Gleichung mit Steigung um:

Der Steigungsfaktor ist also:

Ebenso finden wir die Gleichungen der Seiten. Ich sehe nicht viel Sinn darin, dasselbe zu malen, deshalb gebe ich gleich das fertige Ergebnis:

2) Ermitteln Sie die Länge der Seite. Dies ist die einfachste Aufgabe, die in der Lektion besprochen wird. Vektoren für Dummies. Für Punkte Wir verwenden die Formel:

Mit der gleichen Formel ist es einfach, die Längen anderer Seiten zu ermitteln. Mit einem normalen Lineal ist die Kontrolle sehr schnell erledigt.

Wir verwenden die Formel .

Finden wir die Vektoren:

Auf diese Weise:

Übrigens haben wir nebenbei die Längen der Seiten herausgefunden.

Ergebend:

Nun, es scheint wahr zu sein, zur Überzeugungskraft kann man an der Ecke einen Winkelmesser anbringen.

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie den Winkel eines Dreiecks nicht mit dem Winkel zwischen Geraden. Der Winkel eines Dreiecks kann stumpf sein, der Winkel zwischen Geraden jedoch nicht (siehe letzter Absatz des Artikels). Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene). Die Formeln der obigen Lektion können jedoch auch verwendet werden, um den Winkel eines Dreiecks zu ermitteln. Das Schlimme daran ist jedoch, dass diese Formeln immer einen spitzen Winkel ergeben. Mit ihrer Hilfe habe ich dieses Problem anhand eines Entwurfs gelöst und das Ergebnis erhalten. Und auf der sauberen Kopie müssten Sie noch weitere Ausreden aufschreiben.

4) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt parallel zu einer Geraden verläuft.

Standardaufgabe, ausführlich besprochen in Beispiel Nr. 2 der Lektion Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Aus der allgemeinen Geradengleichung Ziehen Sie den Richtungsvektor heraus. Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Wie finde ich die Höhe eines Dreiecks?

5) Stellen wir die Höhengleichung auf und ermitteln wir ihre Länge.

An strengen Definitionen führt kein Weg vorbei, also muss man aus einem Schulbuch klauen:

Dreieckshöhe nennt man die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Dreiecks zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.

Das heißt, es ist notwendig, die Gleichung der Senkrechten aufzustellen, die vom Scheitelpunkt zur Seite gezogen wird. Diese Aufgabe wird in den Beispielen Nr. 6, 7 der Lektion behandelt Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Aus der Gleichung Entfernen Sie den Normalenvektor. Wir stellen die Höhengleichung für den Punkt und den Richtungsvektor auf:

Bitte beachten Sie, dass wir die Koordinaten des Punktes nicht kennen.

Manchmal ergibt sich die Höhengleichung aus dem Verhältnis der Steigungen der senkrechten Linien: . In diesem Fall gilt dann: . Wir werden die Höhengleichung für einen Punkt und eine Neigung aufstellen (siehe Beginn der Lektion). Gleichung einer Geraden in einer Ebene):

Die Länge der Höhe kann auf zwei Arten ermittelt werden.

Es gibt einen Umweg:

a) finden – den Schnittpunkt von Höhe und Seite;
b) Ermitteln Sie die Länge des Segments durch zwei bekannte Punkte.

Aber im Unterricht Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene Es wurde eine praktische Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie in Betracht gezogen. Der Punkt ist bekannt: , die Geradengleichung ist ebenfalls bekannt: , Auf diese Weise:

6) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. Im Weltraum wird die Fläche eines Dreiecks traditionell mit berechnet Kreuzprodukt von Vektoren, aber hier ist ein Dreieck in der Ebene gegeben. Wir verwenden die Schulformel:
Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus seiner Grundfläche mal seiner Höhe.

In diesem Fall:

Wie finde ich den Median eines Dreiecks?

7) Stellen Sie die Mediangleichung auf.

Dreieck-Median Ein Liniensegment, das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt.

a) Finden Sie einen Punkt – den Mittelpunkt der Seite. Wir gebrauchen Formeln für Mittelpunktskoordinaten. Die Koordinaten der Enden des Segments sind bekannt: , dann die Koordinaten der Mitte:

Auf diese Weise:

Wir stellen die Mediangleichung nach Punkten zusammen :

Um die Gleichung zu überprüfen, müssen Sie die Koordinaten der Punkte darin einsetzen.

8) Finden Sie den Schnittpunkt von Höhe und Median. Ich denke, jeder hat bereits gelernt, wie man dieses Element des Eiskunstlaufs ausführt, ohne zu stürzen: