Die linken Teile von Differentialgleichungen der Form sind manchmal die totalen Differentiale einiger Funktionen. Rekonstruiert man eine Funktion aus ihrem totalen Differential, so findet man das allgemeine Integral der Differentialgleichung. In diesem Artikel beschreiben wir eine Methode zur Wiederherstellung einer Funktion aus ihrem totalen Differential, wir liefern theoretisches Material mit Beispielen und Aufgaben mit einer detaillierten Beschreibung der Lösung.

Die linke Seite der Differentialgleichung ist das totale Differential einer Funktion U(x, y) = 0, wenn die Bedingung erfüllt ist.

Da das totale Differential der Funktion U(x, y) = 0 ist , dann können wir das behaupten, wenn die Bedingung erfüllt ist . Folglich, .

Aus der ersten Gleichung des Systems haben wir . Die Funktion kann mit der zweiten Gleichung des Systems gefunden werden:

Dadurch wird die gewünschte Funktion U(x, y) = 0 gefunden.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel.

Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung .

Lösung.

In diesem Beispiel. Die Bedingung ist erfüllt, weil

daher ist die linke Seite der ursprünglichen Differentialgleichung das totale Differential einer Funktion U(x, y) = 0 . Unsere Aufgabe ist es, diese Funktion zu finden.

Als das totale Differential der Funktion U(x, y) = 0 ist, dann . Wir integrieren die erste Gleichung des Systems nach x und differenzieren das erhaltene Ergebnis nach y . Andererseits haben wir aus der zweiten Gleichung des Systems . Folglich,

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Auf diese Weise, und das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung ist .

Es gibt eine andere Methode, um eine Funktion anhand ihres totalen Differentials zu finden. Es besteht im Nehmen krummliniges Integral von einem festen Punkt (x 0 , y 0) zu einem Punkt mit variablen Koordinaten (x, y) : . In diesem Fall hängt der Wert des Integrals nicht vom Integrationsweg ab. Es ist zweckmäßig, als Integrationspfad eine unterbrochene Linie zu nehmen, deren Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen sind.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung .

Lösung.

Überprüfen wir die Bedingung:

Somit ist die linke Seite der Differentialgleichung das totale Differential einer Funktion U(x, y) = 0 . Lassen Sie uns diese Funktion finden, indem wir das krummlinige Integral vom Punkt (1; 1) bis (x, y) berechnen. Nehmen wir einen Polygonzug als Integrationspfad: Wir passieren den ersten Abschnitt des Polygonzugs entlang der Geraden y = 1 vom Punkt (1, 1) bis (x, 1) und nehmen den zweiten Abschnitt des Pfads von der Punkt (x, 1) nach (x, y) .

In diesem Thema betrachten wir eine Methode zur Wiederherstellung einer Funktion aus ihrem Gesamtdifferential, geben Beispiele für Probleme mit einer vollständigen Analyse der Lösung.

Es kommt vor, dass Differentialgleichungen (DE) der Form P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 vollständige Differentiale einiger Funktionen in den linken Teilen enthalten können. Dann können wir das allgemeine Integral des DE finden, wenn wir zuerst die Funktion aus ihrem totalen Differential wiederherstellen.

Beispiel 1

Betrachten Sie die Gleichung P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Die Aufzeichnung seiner linken Seite enthält das Differential einer Funktion U(x,y) = 0. Dazu muss die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt sein.

Das totale Differential der Funktion U (x , y) = 0 hat die Form d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Unter Berücksichtigung der Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erhalten wir:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Durch Umformen der ersten Gleichung aus dem resultierenden Gleichungssystem erhalten wir:

U (x, y) = ∫ P (x, y) dx + φ (y)

Wir können die Funktion φ (y) aus der zweiten Gleichung des zuvor erhaltenen Systems finden:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Damit haben wir die gesuchte Funktion U (x, y) = 0 gefunden.

Beispiel 2

Finden Sie für DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 die allgemeine Lösung.

Lösung

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Prüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Unsere Bedingung ist erfüllt.

Basierend auf den Berechnungen können wir schließen, dass die linke Seite des ursprünglichen DE das totale Differential einer Funktion U (x , y) = 0 ist. Wir müssen diese Funktion finden.

Da (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y das totale Differential der Funktion U (x, y) = 0 ist, dann

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Wir integrieren die erste Gleichung des Systems nach x:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nun differenzieren wir das Ergebnis nach y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Durch Umformen der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Das bedeutet es
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Wir erhalten: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung ist x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Lassen Sie uns eine andere Methode zum Finden einer Funktion aus einem bekannten totalen Differential analysieren. Es beinhaltet die Anwendung eines krummlinigen Integrals von einem festen Punkt (x 0, y 0) auf einen Punkt mit variablen Koordinaten (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

In solchen Fällen hängt der Wert des Integrals in keiner Weise vom Integrationsweg ab. Als Integrationsweg können wir eine gestrichelte Linie nehmen, deren Verbindungen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Beispiel 3

Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Lösung

Prüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Es stellt sich heraus, dass die linke Seite der Differentialgleichung durch das totale Differential einer Funktion U (x, y) = 0 dargestellt wird. Um diese Funktion zu finden, ist es notwendig, das krummlinige Integral aus dem Punkt zu berechnen (1 ; 1) Vor (x, y). Nehmen wir als Integrationspfad eine unterbrochene Linie, deren Abschnitte entlang einer geraden Linie verlaufen y=1 von Punkt (1 , 1) nach (x , 1) , und dann von Punkt (x , 1) nach (x , y) :

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Wir haben die allgemeine Lösung der Differentialgleichung der Form x y - x y 2 + C = 0 erhalten.

Beispiel 4

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Lösung

Prüfen wir, ob die Bedingung ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x erfüllt ist.

Da ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , ist die Bedingung nicht erfüllt. Das bedeutet, dass die linke Seite der Differentialgleichung nicht das totale Differential der Funktion ist. Dies ist eine trennbare Differentialgleichung und andere Lösungen sind geeignet, sie zu lösen.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Definition: Gleichung der Form

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

wobei die linke Seite das totale Differential einer Funktion zweier Variablen ist, wird eine Gleichung in totalen Differentialen genannt.

Bezeichne diese Funktion zweier Variablen mit F(x,y). Dann kann Gleichung (9) umgeschrieben werden als dF(x,y) = 0, und diese Gleichung hat eine allgemeine Lösung F(x,y) = C.

Gegeben sei eine Gleichung der Form (9). Um herauszufinden, ob es sich um eine Gleichung in totalen Differentialen handelt, müssen Sie überprüfen, ob der Ausdruck ist

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

das totale Differential einer Funktion zweier Variablen. Dazu ist es notwendig, die Erfüllung der Gleichheit zu überprüfen

Nehmen wir an, dass für einen gegebenen Ausdruck (10) die Gleichheit (11) in einem einfach zusammenhängenden Bereich (S) erfüllt ist und daher der Ausdruck (10) das totale Differential einer Funktion F(x,y) in (S) ist. .

Betrachten Sie die folgende Methode, um diese Stammfunktion zu finden. Es ist notwendig, eine solche Funktion F(x,y) zu finden

wobei die Funktion (y) unten definiert wird. Aus Formel (12) folgt dann das

an allen Punkten im Bereich (S). Nun wählen wir die Funktion (y), damit die Gleichheit stattfindet

Dazu schreiben wir die benötigte Gleichheit (14) um und ersetzen anstelle von F(x, y) ihren Ausdruck gemäß Formel (12):

Differenzieren wir nach y unter dem Integralzeichen (dies ist möglich, da P(x, y) stetige Funktionen zweier Variablen sind):

Da durch (11) dann durch Ersetzen durch unter dem Integralzeichen in (16) gilt:

Nachdem wir über y integriert haben, finden wir die Funktion (y) selbst, die so konstruiert ist, dass Gleichheit (14) gilt. Unter Verwendung der Gleichungen (13) und (14) sehen wir das

in Gebieten). (achtzehn)

Beispiel 5. Prüfen Sie, ob die gegebene Differentialgleichung eine Gleichung in totalen Differentialen ist und lösen Sie sie.

Dies ist eine Differentialgleichung in totalen Differentialen. In der Tat stellen wir sicher, dass dies der Fall ist

und dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für den Ausdruck

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

ist das totale Differential einer Funktion U(x,y). Außerdem sind stetige Funktionen in R.

Um eine gegebene Differentialgleichung zu integrieren, ist es daher notwendig, eine Funktion zu finden, für die die linke Seite der Differentialgleichung ein totales Differential ist. Sei also U(x,y) eine solche Funktion

Durch Integrieren der linken und rechten Seite über x erhalten wir:

Um u(y) zu finden, verwenden wir die Tatsache, dass

Setzen wir den gefundenen Wert von u(y) in (*) ein, erhalten wir schließlich die Funktion U(x, y):

Das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung hat die Form

Haupttypen von Differentialgleichungen erster Ordnung (Fortsetzung).

Lineare Differentialgleichungen

Definition: Eine lineare Gleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form

y" + P(x)y = f(x), (21)

wobei P(x) und f(x) stetige Funktionen sind.

Der Name der Gleichung erklärt sich aus der Tatsache, dass die Ableitung y "eine lineare Funktion von y ist, dh wenn wir Gleichung (21) als y umschreiben" \u003d - P (x) + f (x), dann die rechte Seite enthält y nur bis zum ersten Grad.

Wenn f(x) = 0, dann ist die Gleichung

y´+ P(x) y = 0 (22)

heißt lineare homogene Gleichung. Offensichtlich ist eine homogene lineare Gleichung eine Gleichung mit trennbaren Variablen:

y" + P(x)y = 0; ,

Wenn f(x) ? 0, dann die Gleichung

y´+ P(x) y = f(x) (23)

heißt lineare inhomogene Gleichung.

Im Allgemeinen können die Variablen in Gleichung (21) nicht getrennt werden.

Gleichung (21) wird wie folgt gelöst: Wir suchen nach einer Lösung in Form eines Produkts zweier Funktionen U(x) und V(x):

Finden wir die Ableitung:

y" = U"V + UV" (25)

und setze diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Gruppieren wir die Begriffe auf der linken Seite:

U "V + U \u003d f (x). (26)

Wir wollen einem der Faktoren (24) eine Bedingung auferlegen, nämlich annehmen, dass die Funktion V(x) so beschaffen ist, dass sie den Ausdruck in eckigen Klammern in (26) in identische Null verwandelt, d.h. dass es sich um eine Lösung der Differentialgleichung handelt

V" + P(x)V = 0. (27)

Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen, wir finden daraus V (x):

Lassen Sie uns nun eine Funktion U(x) finden, so dass für die bereits gefundene Funktion V(x) das Produkt U V eine Lösung von Gleichung (26) ist. Dazu muss U(x) eine Lösung der Gleichung sein

Dies ist eine trennbare Variablengleichung, also

Durch Einsetzen der gefundenen Funktionen (28) und (30) in Formel (4) erhalten wir die allgemeine Lösung von Gleichung (21):

Somit reduziert das betrachtete Verfahren (das Bernoulli-Verfahren) die Lösung der linearen Gleichung (21) auf die Lösung zweier Gleichungen mit trennbaren Variablen.

Beispiel 6. Finden Sie das allgemeine Integral der Gleichung.

Diese Gleichung ist nicht linear in Bezug auf y und y", aber sie stellt sich als linear heraus, wenn wir die erforderliche Funktion x und das Argument y betrachten. Tatsächlich erhalten wir, wenn wir zu übergehen

Um die resultierende Gleichung zu lösen, verwenden wir die Substitutionsmethode (Bernoulli). Wir suchen dann nach einer Lösung der Gleichung in der Form x(y)=U(y)V(y). Wir erhalten die Gleichung:

Wir wählen die Funktion V(y) damit. Dann

Mit der Standardform $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, wobei die linke Seite das totale Differential einer Funktion $F ist \left( x,y\right)$ heißt Gleichung in totalen Differentialen.

Die gesamte Differentialgleichung kann immer umgeschrieben werden als $dF\left(x,y\right)=0$, wobei $F\left(x,y\right)$ eine Funktion ist, sodass $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Wir integrieren beide Seiten der Gleichung $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; das Integral der rechten Nullseite ist gleich einer beliebigen Konstante $C$. Somit hat die allgemeine Lösung dieser Gleichung in impliziter Form die Form $F\left(x,y\right)=C$.

Damit eine gegebene Differentialgleichung eine Gleichung in totalen Differentialen ist, ist es notwendig und hinreichend, dass die Bedingung $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ erfüllt ist . Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann gibt es eine Funktion $F\left(x,y\right)$ für die wir schreiben können: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, woraus wir zwei Relationen erhalten: $\ frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ und $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Wir integrieren die erste Relation $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ über $x$ und erhalten $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, wobei $U\left(y\right)$ eine beliebige Funktion von $y$ ist.

Wählen wir sie so, dass die zweite Beziehung $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ erfüllt ist. Dazu differenzieren wir die resultierende Beziehung für $F\left(x,y\right)$ nach $y$ und setzen das Ergebnis mit $Q\left(x,y\right)$ gleich. Wir erhalten: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\rechts)$.

Die nächste Lösung ist:

• aus der letzten Gleichheit finden wir $U"\left(y\right)$;
• integriere $U"\left(y\right)$ und finde $U\left(y\right)$;
• ersetzen Sie $U\left(y\right)$ durch $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ und schließlich erhalten wir die Funktion $F\left(x,y\right)$.

\

Wir finden den Unterschied:

Wir integrieren $U"\left(y\right)$ über $y$ und finden $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Finde das Ergebnis: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Wir schreiben die allgemeine Lösung als $F\left(x,y\right)=C$, nämlich:

Finden Sie eine bestimmte Lösung $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, wobei $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Eine bestimmte Lösung hat die Form: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Definition 8.4. Differentialgleichung der Form

wo
heißt totale Differentialgleichung.

Beachten Sie, dass die linke Seite einer solchen Gleichung das totale Differential einer Funktion ist
.

Im allgemeinen Fall kann Gleichung (8.4) dargestellt werden als

Anstelle von Gleichung (8.5) kann man die Gleichung betrachten

,

dessen Lösung das allgemeine Integral von Gleichung (8.4) ist. Um Gleichung (8.4) zu lösen, ist es also notwendig, die Funktion zu finden
. Gemäß der Definition von Gleichung (8.4) gilt

(8.6)

Funktion
suchen wir als Funktion, die eine dieser Bedingungen (8.6) erfüllt:

wo ist eine beliebige Funktion unabhängig von .

Funktion
ist so definiert, dass die zweite Bedingung des Ausdrucks (8.6) erfüllt ist

(8.7)

Aus Ausdruck (8.7) wird die Funktion bestimmt
. Setzen Sie es in den Ausdruck für ein
und erhalte das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung.

Aufgabe 8.3. Gleichung integrieren

Hier
.

Daher gehört diese Gleichung zum Typ der Differentialgleichungen in totalen Differentialen. Funktion
Wir werden im Formular suchen

.

Andererseits,

.

In einigen Fällen die Bedingung
dürfen nicht durchgeführt werden.

Dann werden solche Gleichungen durch Multiplikation mit dem sogenannten Integrationsfaktor, der im allgemeinen nur eine Funktion von ist, auf den betrachteten Typ reduziert oder .

Wenn eine Gleichung einen integrierenden Faktor hat, hängt das nur von ab , dann wird sie durch die Formel bestimmt

wo ist das Verhältnis sollte nur eine Funktion sein .

In ähnlicher Weise hängt ein integrierender Faktor nur von ab , wird durch die Formel bestimmt

wo ist das Verhältnis
sollte nur eine Funktion sein .

Das Fehlen der Variablen in den obigen Verhältnissen im ersten Fall , und in der zweiten - eine Variable , sind ein Zeichen für die Existenz eines Integrationsfaktors für eine gegebene Gleichung.

Aufgabe 8.4. Bringen Sie diese Gleichung in eine Gleichung in totalen Differentialen.

.

Betrachten Sie die Beziehung:

.

Thema 8.2. Lineare Differentialgleichungen

Definition 8.5. Differentialgleichung
heißt linear, wenn sie bezüglich der gesuchten Funktion linear ist , seine Ableitung und enthält nicht das Produkt der gewünschten Funktion und ihrer Ableitung.

Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung wird durch die folgende Beziehung dargestellt:

(8.8)

Wenn in Beziehung (8.8) die rechte Seite
, dann heißt eine solche Gleichung linear homogen. In dem Fall, wo die rechte Seite
, dann heißt eine solche Gleichung linear inhomogen.

Zeigen wir, dass Gleichung (8.8) in Quadraturen integrierbar ist.

In der ersten Stufe betrachten wir eine lineare homogene Gleichung.

Eine solche Gleichung ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Wirklich,

;

/

Die letzte Beziehung bestimmt die allgemeine Lösung der linearen homogenen Gleichung.

Um eine allgemeine Lösung für eine lineare inhomogene Gleichung zu finden, wird die Methode der Variation der Ableitung einer Konstanten verwendet. Die Idee des Verfahrens ist, dass die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung die gleiche Form hat wie die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung, jedoch eine beliebige Konstante durch irgendeine Funktion ersetzt
bestimmt werden. Also haben wir:

(8.9)

Einsetzen der entsprechenden Ausdrücke in die Beziehung (8.8).
und
, wir bekommen

Setzt man den letzten Ausdruck in die Beziehung (8.9) ein, erhält man das allgemeine Integral einer linearen inhomogenen Gleichung.

Somit wird die allgemeine Lösung einer linearen nichthomogenen Gleichung durch zwei Quadraturen bestimmt: die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Gleichung und eine bestimmte Lösung einer linearen nichthomogenen Gleichung.

Aufgabe 8.5. Gleichung integrieren

Damit gehört die Ausgangsgleichung zum Typ der linearen inhomogenen Differentialgleichungen.

In der ersten Stufe finden wir die allgemeine Lösung der linearen homogenen Gleichung.

;

In der zweiten Stufe bestimmen wir die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen Gleichung, die in der Form gesucht wird

,

wo
ist die zu definierende Funktion.

Also haben wir:

Ersetzen der Verhältnisse für und in die ursprüngliche lineare inhomogene Gleichung erhalten wir:

;

;

.

Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

.