Bedingungen für das Gleichgewicht eines Festkörpers. Bedingungen für das Gleichgewicht der Körper

Statik.

Teilgebiet der Mechanik, das die Gleichgewichtsbedingungen mechanischer Systeme unter Einwirkung von Kräften und Momenten untersucht.

Das Kräfteverhältnis.

Mechanische Waage, auch statisches Gleichgewicht genannt, ist der Zustand eines ruhenden oder gleichförmig bewegten Körpers, in dem die Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte und Momente Null ist

Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper.

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Gleichgewicht eines freien starren Körpers sind die Nullgleichheit der Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte, die Nullgleichheit der Summe aller Momente äußerer Kräfte um eine beliebige Achse, die Gleichheit der Anfangsgeschwindigkeit der Translationsbewegung des Körpers zu Null und die Bedingung der Gleichheit der Anfangswinkelgeschwindigkeit der Rotation zu Null.

Arten von Gleichgewicht.

Das Körpergleichgewicht ist stabil wenn bei kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtslage, die durch äußere Zwänge zugelassen werden, Kräfte oder Kraftmomente im System auftreten, die dazu neigen, den Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückzubringen.

Das Gleichgewicht des Körpers ist instabil, wenn zumindest bei einigen willkürlich kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtslage, die durch äußere Zwänge zugelassen werden, Kräfte oder Kraftmomente im System entstehen, die den Körper tendenziell noch mehr aus dem anfänglichen Gleichgewichtszustand entfernen.

Das Gleichgewicht des Körpers wird als indifferent bezeichnet, wenn bei kleinen Abweichungen von der durch äußere Zwänge zugelassenen Gleichgewichtslage im System Kräfte oder Kraftmomente entstehen, die den Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzen wollen

Schwerpunkt eines starren Körpers.

Schwerpunkt Körper heißt der Punkt, relativ zu dem das gesamte auf das System wirkende Gravitationsmoment gleich Null ist. Beispielsweise wird in einem System, das aus zwei identischen Massen besteht, die durch einen starren Stab verbunden und in einem inhomogenen Gravitationsfeld platziert sind (z. B. Planeten), der Massenschwerpunkt in der Mitte des Stabs liegen, während der Schwerpunkt des System an das Ende des Stabes verschoben, das dem Planeten näher ist (weil das Gewicht der Masse P = m g vom Gravitationsfeldparameter g abhängt) und sich im Allgemeinen sogar außerhalb des Stabes befindet.

In einem konstanten parallelen (homogenen) Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt immer mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Daher fallen diese beiden Zentren in der Praxis fast zusammen (da das externe Gravitationsfeld bei nicht-raumbezogenen Problemen innerhalb des Körpervolumens als konstant angesehen werden kann).

Aus dem gleichen Grund fallen die Begriffe Schwerpunkt und Schwerpunkt zusammen, wenn diese Begriffe in Geometrie, Statik und ähnlichen Bereichen verwendet werden, wo ihre Anwendung im Vergleich zur Physik als metaphorisch bezeichnet werden kann und wo die Situation ihrer Äquivalenz implizit ist angenommen (da es kein echtes Gravitationsfeld gibt und es sinnvoll ist, dessen Heterogenität zu berücksichtigen). Bei diesen Verwendungen sind die beiden Begriffe traditionell synonym, und oft wird der zweite bevorzugt, einfach weil er älter ist.

Die Statik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit dem Gleichgewicht von Körpern befasst. Die Statik ermöglicht es Ihnen, die Bedingungen für das Gleichgewicht von Körpern zu bestimmen und beantwortet einige Fragen, die sich auf die Bewegung von Körpern beziehen, gibt beispielsweise eine Antwort, in welche Richtung die Bewegung erfolgt, wenn das Gleichgewicht gestört ist. Es lohnt sich, sich umzusehen, und Sie werden feststellen, dass sich die meisten Körper im Gleichgewicht befinden – sie bewegen sich entweder mit konstanter Geschwindigkeit oder in Ruhe. Diese Schlussfolgerung kann aus den Newtonschen Gesetzen gezogen werden.

Ein Beispiel ist die Person selbst, ein an der Wand hängendes Bild, Kräne, verschiedene Gebäude: Brücken, Bögen, Türme, Gebäude. Die Körper um uns herum sind einer Art Kraft ausgesetzt. Auf Körper wirkt eine unterschiedliche Anzahl von Kräften, aber wenn wir die resultierende Kraft finden, ist sie für einen Körper im Gleichgewicht gleich Null.
Unterscheiden:

statisches Gleichgewicht - der Körper ist in Ruhe;
dynamisches Gleichgewicht - der Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

statisches Gleichgewicht. Wirken Kräfte F1, F2, F3 usw. auf den Körper, so ist die Hauptvoraussetzung für das Bestehen eines Gleichgewichtszustandes (Gleichgewicht). Dies ist eine Vektorgleichung im 3D-Raum und stellt drei separate Gleichungen dar, eine für jede Richtung im Raum. .

Die Projektionen aller auf den Körper wirkenden Kräfte in beliebiger Richtung müssen kompensiert werden, d. h. die algebraische Summe der Projektionen aller Kräfte in beliebiger Richtung muss gleich 0 sein.

Bei der Bestimmung der resultierenden Kraft können Sie alle Kräfte übertragen und den Angriffspunkt auf den Massenmittelpunkt legen. Der Massenmittelpunkt ist ein Punkt, der eingeführt wird, um die Bewegung eines Körpers oder eines Systems von Teilchen als Ganzes zu charakterisieren, der die Verteilung von Massen im Körper charakterisiert.

In der Praxis begegnen uns sehr oft Fälle von gleichzeitiger Translations- und Rotationsbewegung: ein Fass, das eine schiefe Ebene hinunterrollt, ein tanzendes Paar. Bei einer solchen Bewegung reicht ein Gleichgewichtszustand nicht aus.

Die notwendige Gleichgewichtsbedingung lautet in diesem Fall:

In der Praxis und im Leben spielt eine wichtige Rolle Körperstabilität das Gleichgewicht charakterisieren.

Es gibt Arten von Waagen:

Stabiles Gleichgewicht;
Instabiles Gleichgewicht;
Gleichgültiges Gleichgewicht.

nachhaltiges Gleichgewicht- Dies ist Gleichgewicht, wenn bei einer kleinen Abweichung von der Gleichgewichtsposition eine Kraft entsteht, die es in einen Gleichgewichtszustand zurückversetzt (ein Pendel einer angehaltenen Uhr, ein in ein Loch gerollter Tennisball, ein Rollenspiel oder eine Trommel, Leinen an einem Seil befinden sich in einem stabilen Gleichgewichtszustand).

Instabiles Gleichgewicht- Dies ist ein Zustand, in dem der Körper, nachdem er aus der Gleichgewichtslage entfernt wurde, durch die auftretende Kraft (Tennisball auf einer konvexen Oberfläche) noch mehr von der Gleichgewichtslage abweicht.

Gleichgültiges Gleichgewicht- sich selbst überlassen, ändert der Körper seine Position nicht, nachdem er aus dem Gleichgewichtszustand entfernt wurde (ein auf dem Tisch liegender Tennisball, ein Bild an der Wand, eine Schere, ein an einer Nelke hängendes Lineal sind in einem Zustand der Gleichgültigkeit Gleichgewicht). Drehachse und Schwerpunkt sind gleich.

Bei zwei Körpern wird der Körper stabiler sein, was hat größerer Fußabdruck.

Ein Körper ist in Ruhe (oder bewegt sich gleichmäßig und geradlinig), wenn die Vektorsumme aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. Die Kräfte sollen sich gegenseitig ausgleichen. Wenn wir es mit einem Körper einer bestimmten geometrischen Form zu tun haben, können bei der Berechnung der resultierenden Kraft alle Kräfte auf den Massenmittelpunkt des Körpers aufgebracht werden.

Die Bedingung für das Gleichgewicht der Körper

Damit ein sich nicht drehender Körper im Gleichgewicht ist, muss die Resultierende aller auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null sein.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

Die obige Abbildung zeigt das Gleichgewicht eines starren Körpers. Der Block befindet sich unter der Wirkung von drei auf ihn einwirkenden Kräften in einem Gleichgewichtszustand. Die Wirkungslinien der Kräfte F 1 → und F 2 → schneiden sich im Punkt O. Der Angriffspunkt der Schwerkraft ist der Schwerpunkt des Körpers C. Diese Punkte liegen auf einer Geraden und werden bei der Berechnung der resultierenden Kraft F 1 → , F 2 → und mg → auf den Punkt C reduziert.

Die Bedingung, dass die Resultierende aller Kräfte gleich Null ist, reicht nicht aus, wenn sich der Körper um eine Achse drehen kann.

Die Schulter der Kraft d ist die Länge der von der Wirkungslinie der Kraft zum Angriffspunkt gezogenen Senkrechten. Das Kraftmoment M ist das Produkt aus dem Kraftarm und seinem Modul.

Das Kraftmoment neigt dazu, den Körper um seine Achse zu drehen. Die Momente, die den Körper gegen den Uhrzeigersinn drehen, werden als positiv angesehen. Die Maßeinheit des Kraftmoments im internationalen SI-System ist 1 Newtonmeter.

Definition. Moment Regel

Wenn die algebraische Summe aller auf den Körper wirkenden Momente relativ zur festen Rotationsachse gleich Null ist, befindet sich der Körper im Gleichgewicht.

M1 + M2 + . . + Mn = 0

Wichtig!

Im Allgemeinen müssen für das Gleichgewicht von Körpern zwei Bedingungen erfüllt sein: Die resultierende Kraft ist gleich Null und die Momentenregel wird eingehalten.

Es gibt verschiedene Arten von Gleichgewichten in der Mechanik. So wird zwischen stabilem und instabilem sowie indifferentem Gleichgewicht unterschieden.

Ein typisches Beispiel für ein indifferentes Gleichgewicht ist ein rollendes Rad (oder eine Kugel), das sich in einem Gleichgewichtszustand befindet, wenn es an irgendeinem Punkt angehalten wird.

Stabiles Gleichgewicht ist ein solches Gleichgewicht eines Körpers, wenn mit seinen kleinen Abweichungen Kräfte oder Kraftmomente auftreten, die bestrebt sind, den Körper wieder in einen Gleichgewichtszustand zu versetzen.

Instabiles Gleichgewicht - ein Gleichgewichtszustand, mit einer kleinen Abweichung, von der die Kräfte und Momente der Kräfte dazu neigen, den Körper noch mehr aus dem Gleichgewicht zu bringen.

In der obigen Abbildung ist die Position des Balls (1) - indifferentes Gleichgewicht, (2) - instabiles Gleichgewicht, (3) - stabiles Gleichgewicht.

Ein Körper mit fester Rotationsachse kann sich in jeder der beschriebenen Gleichgewichtslagen befinden. Wenn die Rotationsachse durch den Massenmittelpunkt geht, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Im stabilen und instabilen Gleichgewicht liegt der Massenmittelpunkt auf einer senkrechten Linie, die durch die Rotationsachse verläuft. Wenn der Schwerpunkt unterhalb der Rotationsachse liegt, ist das Gleichgewicht stabil. Ansonsten umgekehrt.

Ein Sonderfall des Gleichgewichts ist das Gleichgewicht eines Körpers auf einer Unterlage. In diesem Fall verteilt sich die elastische Kraft über die gesamte Basis des Körpers und geht nicht durch einen Punkt. Ein Körper befindet sich in Ruhe im Gleichgewicht, wenn eine durch den Massenmittelpunkt gezogene vertikale Linie die Auflagefläche schneidet. Andernfalls, wenn die Linie vom Massenschwerpunkt nicht in die Kontur fällt, die durch die Linien gebildet wird, die die Stützpunkte verbinden, kippt der Körper um.

Ein Beispiel für das Gleichgewicht eines Körpers auf einer Stütze ist der berühmte Schiefe Turm von Pisa. Der Legende nach ließ Galileo Galilei Kugeln daraus fallen, als er seine Experimente zur Untersuchung des freien Falls von Körpern durchführte.

Eine vom Massenmittelpunkt des Turms gezogene Linie schneidet die Basis etwa 2,3 m von ihrem Mittelpunkt entfernt.

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Gleichgewicht eines mechanischen Systems ist ein Zustand, in dem alle Punkte eines mechanischen Systems in Bezug auf das betrachtete Bezugssystem in Ruhe sind. Ist das Bezugssystem inertial, spricht man vom Gleichgewicht absolut, wenn nicht träge — relativ.

Um die Gleichgewichtsbedingungen für einen absolut starren Körper zu finden, ist es notwendig, ihn gedanklich in eine große Anzahl hinreichend kleiner Elemente zu unterteilen, von denen jedes durch einen materiellen Punkt dargestellt werden kann. Alle diese Elemente interagieren miteinander - diese Wechselwirkungskräfte werden genannt intern. Außerdem können an mehreren Stellen des Körpers äußere Kräfte einwirken.

Damit die Beschleunigung eines Punktes null ist (und die Beschleunigung eines ruhenden Punktes null), muss nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die geometrische Summe der auf diesen Punkt wirkenden Kräfte null sein. Wenn der Körper in Ruhe ist, dann sind auch alle seine Punkte (Elemente) in Ruhe. Daher können wir für jeden Punkt des Körpers schreiben:

wobei die geometrische Summe aller einwirkenden äußeren und inneren Kräfte ist ich te Element des Körpers.

Die Gleichung bedeutet, dass es für das Gleichgewicht eines Körpers notwendig und ausreichend ist, dass die geometrische Summe aller Kräfte, die auf irgendein Element dieses Körpers wirken, gleich Null ist.

Daraus ergibt sich leicht die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines Körpers (System von Körpern). Dazu reicht es aus, die Gleichung über alle Elemente des Körpers zu summieren:

Die zweite Summe ist nach dem dritten Newtonschen Gesetz gleich Null: Die Vektorsumme aller inneren Kräfte des Systems ist gleich Null, da jeder inneren Kraft eine betragsmäßig gleiche und entgegengesetzt gerichtete Kraft entspricht.

Folglich,

Die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers(Körper Systeme) ist die Nullgleichheit der geometrischen Summe aller auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Dies lässt sich leicht verifizieren, wenn man sich die rotierende Wirkung eines Kräftepaares vor Augen führt, dessen geometrische Summe ebenfalls gleich Null ist.

Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers ist die Nullgleichheit der Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die auf den Körper wirken, relativ zu einer beliebigen Achse.

Damit sehen die Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper bei beliebig vielen äußeren Kräften so aus: