Einführung
In der Mathematik und ihren Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik sind Exponentialfunktionen weit verbreitet. Dies erklärt sich insbesondere dadurch, dass viele naturwissenschaftlich untersuchte Phänomene zu den sogenannten Prozessen des organischen Wachstums gehören, bei denen die Änderungsraten der daran beteiligten Funktionen proportional zu den Werten der Funktionen sind sich.
Wenn es durch eine Funktion und durch ein Argument bezeichnet wird, kann das Differentialgesetz des Prozesses des organischen Wachstums in der Form geschrieben werden, dass ein konstanter Proportionalitätskoeffizient ist.
Die Integration dieser Gleichung führt zur allgemeinen Lösung in Form einer Exponentialfunktion
Setzt man die Anfangsbedingung auf, so kann man eine beliebige Konstante bestimmen und damit eine bestimmte Lösung finden, die ein Integralgesetz des betrachteten Prozesses ist.
Zu den Prozessen des organischen Wachstums gehören unter einigen vereinfachenden Annahmen solche Phänomene wie zB eine Änderung des atmosphärischen Drucks in Abhängigkeit von der Höhe über der Erdoberfläche, radioaktiver Zerfall, Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einer Umgebung mit konstanter Temperatur, a unimolekulare chemische Reaktion (z. B. das Auflösen eines Stoffes in Wasser), bei der das Massenwirkungsgesetz abläuft (die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zur vorhandenen Menge an Reaktanten), die Vermehrung von Mikroorganismen und viele andere mehr.
Auch die Vermehrung der Geldmenge durch Zinseszinsen (Zinsen auf Zinsen) ist ein Prozess des organischen Wachstums.
Diese Beispiele ließen sich fortführen.
Neben einzelnen Exponentialfunktionen in der Mathematik und ihren Anwendungen werden verschiedene Kombinationen von Exponentialfunktionen verwendet, unter denen bestimmte lineare und linear-gebrochene Funktionskombinationen und die sogenannten hyperbolischen Funktionen von besonderer Bedeutung sind. Es gibt sechs dieser Funktionen, für die folgende spezielle Namen und Bezeichnungen eingeführt wurden:
(hyperbolischer Sinus),
(hyperbolischer Kosinus),
(hyperbolischer Tangens),
(hyperbolischer Kotangens),
(hyperbolischer Sekans),
(hyperbolischer Sekans).
Es stellt sich die Frage, warum genau solche Namen gegeben werden, und hier ist eine Übertreibung und die Namen von Funktionen, die aus der Trigonometrie bekannt sind: Sinus, Cosinus usw.? Es stellt sich heraus, dass die Beziehungen, die trigonometrische Funktionen mit den Koordinaten von Punkten eines Kreises mit einem Einheitsradius verbinden, den Beziehungen ähnlich sind, die hyperbolische Funktionen mit den Koordinaten von Punkten einer gleichseitigen Hyperbel mit einer Einheitshalbachse verbinden. Dies rechtfertigt den Namen hyperbolischer Funktionen.
Hyperbolische Funktionen
Die durch Formeln gegebenen Funktionen werden als hyperbolischer Kosinus bzw. hyperbolischer Sinus bezeichnet.
Diese Funktionen sind definiert und stetig, und sind eine gerade Funktion und eine ungerade Funktion.
Abbildung 1.1 - Graphen von Funktionen
Aus der Definition hyperbolischer Funktionen folgt:
In Analogie zu trigonometrischen Funktionen werden der hyperbolische Tangens und der Kotangens jeweils durch die Formeln definiert
Eine Funktion ist definiert und stetig auf, und eine Funktion ist definiert und stetig auf einer Menge mit einem punktierten Punkt; Beide Funktionen sind ungerade, ihre Diagramme sind in den folgenden Abbildungen dargestellt.
Abbildung 1.2 - Graph der Funktion
Abbildung 1.3 - Graph der Funktion
Es kann gezeigt werden, dass die Funktionen und streng steigend sind, während die Funktion streng fallend ist. Daher sind diese Funktionen umkehrbar. Die dazu inversen Funktionen bezeichnen wir mit .
Betrachten Sie eine zu einer Funktion inverse Funktion, d.h. Funktion. Wir drücken es in Form von elementaren aus. Wenn wir die Gleichung in Bezug auf lösen, erhalten wir Seit, dann, woher
Durch Ersetzen von mit und mit finden wir die Formel für die Umkehrfunktion für den hyperbolischen Sinus.
Zusammen mit der Verbindung zwischen trigonometrischen und Exponentialfunktionen, die wir im komplexen Bereich entdeckt haben (Euler-Formeln)
im komplexen Bereich gibt es eine sehr einfache Verbindung zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen.
Denken Sie daran, dass gemäß der Definition:
Wenn wir in Identität (3) durch dann auf der rechten Seite ersetzen, erhalten wir den gleichen Ausdruck, der auf der rechten Seite der Identität steht, woraus die Gleichheit der linken Seiten folgt. Dasselbe gilt für die Identitäten (4) und (2).
Indem wir beide Identitätsteile (6) in die entsprechenden Identitätsteile (5) und umgekehrt (5) durch (6) dividieren, erhalten wir:
Eine ähnliche Ersetzung in den Identitäten (1) und (2) und ein Vergleich mit den Identitäten (3) und (4) ergibt:
Schließlich finden wir aus den Identitäten (9) und (10):
Wenn wir die Identitäten (5) – (12) einsetzen, wobei x eine reelle Zahl ist, d. h. das Argument als rein imaginär betrachten, dann erhalten wir acht weitere Identitäten zwischen den trigonometrischen Funktionen eines rein imaginären Arguments und den entsprechenden hyperbolischen Funktionen einer reellen Zahl Argument sowie zwischen hyperbolischen Funktionen eines rein imaginären imaginären Arguments und den entsprechenden trigonometrischen Funktionen des reellen Arguments:
Die erhaltenen Beziehungen ermöglichen den Übergang von trigonometrischen Funktionen zu hyperbolischen und von
hyperbolische Funktionen in trigonometrische Funktionen umwandeln, wobei das imaginäre Argument durch das reale ersetzt wird. Sie lassen sich wie folgt formulieren:
Um von trigonometrischen Funktionen eines imaginären Arguments zu hyperbolischen oder umgekehrt von hyperbolischen Funktionen eines imaginären Arguments zu trigonometrischen überzugehen, sollte man die imaginäre Einheit aus dem Vorzeichen der Funktion für den Sinus und den Tangens nehmen und sie ganz verwerfen für den Kosinus.
Die hergestellte Verbindung ist insbesondere insofern bemerkenswert, als sie es ermöglicht, alle Beziehungen zwischen hyperbolischen Funktionen aus bekannten Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen zu gewinnen, indem man letztere durch hyperbolische Funktionen ersetzt
Lassen Sie uns zeigen, wie es ist. wird erledigt.
Nehmen Sie zum Beispiel die grundlegende trigonometrische Identität
und setze es ein, wobei x eine reelle Zahl ist; wir bekommen:
Wenn wir in dieser Identität den Sinus und Kosinus durch den hyperbolischen Sinus und Kosinus gemäß den Formeln ersetzen, dann erhalten wir oder und dies ist die grundlegende Identität zwischen den zuvor auf andere Weise abgeleiteten.
In ähnlicher Weise können Sie alle anderen Formeln ableiten, einschließlich Formeln für die hyperbolischen Funktionen der Summe und Differenz von Argumenten, Doppel- und Halbargumenten usw., erhalten also aus der gewöhnlichen Trigonometrie die "hyperbolische Trigonometrie".
HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN- Hyperbolischer Sinus (sh x) und Kosinus (ch x) werden durch die folgenden Gleichungen definiert:
Hyperbolischer Tangens und Kotangens werden analog zu trigonometrischem Tangens und Kotangens definiert:
Der hyperbolische Sekans und der Kosekan sind ähnlich definiert:
Es gibt Formeln:
Die Eigenschaften hyperbolischer Funktionen ähneln in vielerlei Hinsicht den Eigenschaften (siehe). Die Gleichungen x=cos t, y=sin t bestimmen den Kreis x²+y² = 1; die Gleichungen x=сh t, y=sh t definieren die Hyperbel x² - y²=1. Wie trigonometrische Funktionen aus einem Kreis mit Einheitsradius bestimmt werden, so werden hyperbolische Funktionen aus einer gleichschenkligen Hyperbel x² - y² = 1 bestimmt. Das Argument t ist die doppelte Fläche des schattierten krummlinigen Dreiecks OME (Abb. 48), ähnlich wie die Tatsache, dass für kreisförmige (trigonometrische) Funktionen das Argument t numerisch gleich der doppelten Fläche des krummlinigen Dreiecks OKE ist ( Abb. 49):
für Kreis
für Übertreibung
Die Additionstheoreme für hyperbolische Funktionen ähneln den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen:
Diese Analogien sind leicht zu erkennen, wenn die komplexe Variable r als Argument x genommen wird.Hyperbolische Funktionen beziehen sich auf trigonometrische Funktionen durch die folgenden Formeln: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, wobei i eine davon ist die Werte der Wurzel √-1. Die hyperbolischen Funktionen sh x, sowie ch x: können beliebige große Werte (daher natürlich große Einheiten) annehmen, im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen sin x, cos x, die das für reelle Werte nicht können im absoluten Wert größer als eins sein.
Hyperbolische Funktionen spielen eine Rolle in der Geometrie von Lobachevsky (siehe), werden in der Untersuchung des Widerstands von Materialien, in der Elektrotechnik und anderen Wissenszweigen verwendet. In der Literatur finden sich auch Bezeichnungen hyperbolischer Funktionen wie sinh x; cosh x; tghx.
