Elementarfunktionen und ihre Graphen.

Die wichtigsten Elementarfunktionen sind: Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen und inverse trigonometrische Funktionen sowie ein Polynom und eine rationale Funktion, die das Verhältnis zweier Polynome darstellt.

Zu den Elementarfunktionen zählen auch solche Funktionen, die aus Elementarfunktionen durch Anwendung der vier Grundrechenarten und Bildung einer komplexen Funktion gewonnen werden.

Graphen elementarer Funktionen

	Gerade Linie- Graph einer linearen Funktion y = Axt + B. Die Funktion y nimmt für a > 0 monoton zu und für a ab< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabel- Graph der quadratischen Trinomialfunktion y = ax 2 + bx + c. Es hat eine vertikale Symmetrieachse. Wenn a > 0, hat es ein Minimum, wenn a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hyperbel- Graph der Funktion. Wenn a > O liegt es im I- und III-Viertel, wenn a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) oder y - - x(a< 0).
	Exponentialfunktion. Aussteller(Exponentialfunktion zur Basis e) y = e x. (Andere Schreibweise y = exp(x)). Asymptote ist die Abszissenachse.
	Logarithmische Funktion y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sinus- periodische Funktion mit Periode T = 2π

Funktionsgrenze.

Die Funktion y=f(x) hat eine Zahl A als Grenzwert, da x gegen a strebt, wenn es für jede Zahl ε › 0 eine Zahl δ › 0 gibt, so dass | y – A | ‹ ε wenn |x - a| ‹ δ,

oder lim y = A

Kontinuität der Funktion.

Die Funktion y=f(x) ist im Punkt x = a stetig, wenn lim f(x) = f(a), d.h.

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt x = a ist gleich dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die Grenzen von Funktionen finden.

Grundlegende Sätze über die Grenzen von Funktionen.

1. Der Grenzwert eines konstanten Wertes ist gleich diesem konstanten Wert:

2. Der Grenzwert einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Grenzwerte dieser Funktionen:

lim (f + g – h) = lim f + lim g – lim h

3. Der Grenzwert des Produkts mehrerer Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich 0 ist:

lim------- = ----------

Die erste bemerkenswerte Grenze: lim --------- = 1

Zweite bemerkenswerte Grenze: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Beispiele zum Finden der Grenzen von Funktionen.

5.1. Beispiel:

Jedes Limit besteht aus drei Teilen:

1) Das bekannte Limit-Symbol.

2) Einträge unter dem Limit-Symbol. Der Eintrag lautet „X tendiert zu eins.“ Meistens ist es x, obwohl es anstelle von „x“ jede andere Variable geben kann. Anstelle von eins kann es absolut jede Zahl geben, sowie unendlich 0 oder .

3) Funktionen unter dem Grenzwertzeichen, in diesem Fall .

Die Aufnahme selbst liest sich so: „Der Grenzwert einer Funktion, da x gegen Eins strebt.“

Eine sehr wichtige Frage: Was bedeutet der Ausdruck „x“? strebt zu einem"? Der Ausdruck „x“ strebt zu eins“ ist wie folgt zu verstehen: „x“ nimmt konsequent die Werte an die der Einheit unendlich nahe kommen und praktisch mit ihr zusammenfallen.

Wie löse ich das obige Beispiel? Basierend auf dem oben Gesagten müssen Sie nur eins in die Funktion unter dem Grenzwertzeichen einsetzen:

Also die erste Regel : Wenn ein Grenzwert angegeben ist, fügen Sie zunächst einfach die Zahl in die Funktion ein.

5.2. Beispiel mit Unendlich:

Lassen Sie uns herausfinden, was es ist? Dies ist der Fall, wenn es unbegrenzt zunimmt.

Also: wenn , dann die Funktion tendiert gegen minus unendlich:

Gemäß unserer ersten Regel ersetzen wir anstelle von „X“ die Funktion Unendlich und wir bekommen die Antwort.

5.3. Ein weiteres Beispiel mit Unendlichkeit:

Wieder beginnen wir, bis ins Unendliche zu wachsen, und schauen uns das Verhalten der Funktion an.
Fazit: Die Funktion erhöht sich unbegrenzt

5.4. Eine Reihe von Beispielen:

Versuchen Sie, die folgenden Beispiele selbst mental zu analysieren und die einfachsten Arten von Grenzwerten zu lösen:

, , , , , , , , ,

Was müssen Sie aus dem oben Gesagten beachten und verstehen?

Wenn ein Grenzwert angegeben wird, fügen Sie zunächst einfach die Zahl in die Funktion ein. Gleichzeitig müssen Sie die einfachsten Grenzen verstehen und sofort lösen, wie z , , usw.

6. Grenzen mit Typunsicherheit und eine Methode, sie zu lösen.

Nun betrachten wir die Gruppe der Grenzwerte, wenn die Funktion ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner Polynome enthalten.

6.1. Beispiel:

Grenzwert berechnen

Gemäß unserer Regel versuchen wir, Unendlich in die Funktion einzusetzen. Was bekommen wir oben? Unendlichkeit. Und was passiert unten? Auch Unendlichkeit. Wir haben also die sogenannte Artenunsicherheit. Man könnte denken, dass = 1, und die Antwort ist fertig, aber im allgemeinen Fall ist dies überhaupt nicht der Fall, und Sie müssen eine Lösungstechnik anwenden, die wir jetzt betrachten werden.

Wie kann man Grenzwerte dieser Art lösen?

Zuerst schauen wir uns den Zähler an und ermitteln die höchste Potenz:

Die führende Potenz im Zähler ist zwei.

Nun schauen wir uns den Nenner an und finden ihn auch in der höchsten Potenz:

Der höchste Grad des Nenners ist zwei.

Dann wählen wir die höchste Potenz von Zähler und Nenner: In diesem Beispiel sind sie gleich und gleich zwei.

Die Lösungsmethode lautet also wie folgt: Unsicherheit offenbaren Sie müssen Zähler und Nenner durch dividieren im Oberstufenstudium.

Die Antwort lautet also nicht 1.

Beispiel

Finden Sie die Grenze

Auch hier finden wir im Zähler und Nenner im höchsten Grad:

Maximaler Grad im Zähler: 3

Maximaler Grad im Nenner: 4

Wählen größte Wert, in diesem Fall vier.
Um die Unsicherheit aufzudecken, dividieren wir gemäß unserem Algorithmus den Zähler und den Nenner durch .

Beispiel

Finden Sie die Grenze

Maximaler Grad von „X“ im Zähler: 2

Maximaler Grad von „X“ im Nenner: 1 (kann geschrieben werden als)
Um die Unsicherheit aufzudecken, ist es notwendig, Zähler und Nenner durch zu dividieren. Die endgültige Lösung könnte so aussehen:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Schauen wir uns einige anschauliche Beispiele an.

Sei x eine numerische Variable, X der Bereich ihrer Änderung. Wenn jeder Zahl x, die zu X gehört, eine bestimmte Zahl y zugeordnet ist, dann sagt man, dass eine Funktion auf der Menge X definiert ist, und schreibt y = f(x).
Der X-Satz ist in diesem Fall eine Ebene, die aus zwei Koordinatenachsen besteht – 0X und 0Y. Stellen wir uns zum Beispiel die Funktion y = x 2 vor. Die Achsen 0X und 0Y bilden X – den Bereich seiner Veränderung. Die Abbildung zeigt deutlich, wie sich die Funktion verhält. In diesem Fall sagen sie, dass die Funktion y = x 2 auf der Menge X definiert ist.

Die Menge Y aller Teilwerte einer Funktion heißt Wertemenge f(x). Mit anderen Worten, die Wertemenge ist das Intervall entlang der 0Y-Achse, in dem die Funktion definiert ist. Die abgebildete Parabel zeigt deutlich, dass f(x) > 0, weil x2 > 0. Daher beträgt der Wertebereich . Wir betrachten viele Werte von 0Y.

Die Menge aller x heißt Definitionsbereich von f(x). Wir betrachten viele Definitionen nach 0X und in unserem Fall beträgt der Bereich akzeptabler Werte [-; +].

Ein Punkt a (a gehört zu oder X) heißt Grenzpunkt der Menge

Es ist an der Zeit zu verstehen, was die Grenze einer Funktion ist.

Das reine b, zu dem die Funktion tendiert, während x zur Zahl a tendiert, wird aufgerufen Grenze der Funktion. Dies ist wie folgt geschrieben:

Zum Beispiel ist f(x) = x 2. Wir müssen herausfinden, wohin die Funktion bei x 2 tendiert (ungleich ist). Zuerst schreiben wir den Grenzwert auf:

Schauen wir uns die Grafik an.

Zeichnen wir eine Linie parallel zur 0Y-Achse durch Punkt 2 auf der 0X-Achse. Es wird unseren Graphen am Punkt (2;4) schneiden. Lassen Sie uns von diesem Punkt aus eine Senkrechte auf die 0Y-Achse fallen und gelangen Sie zu Punkt 4. Das ist es, was unsere Funktion bei x 2 anstrebt. Wenn wir nun den Wert 2 in die Funktion f(x) einsetzen, ist die Antwort dieselbe.

Nun, bevor wir weitermachen Berechnung von Grenzwerten Lassen Sie uns grundlegende Definitionen einführen.

Im 19. Jahrhundert vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy eingeführt.

Angenommen, die Funktion f(x) ist in einem bestimmten Intervall definiert, das den Punkt x = A enthält, aber es ist überhaupt nicht notwendig, dass der Wert von f(A) definiert wird.

Dann gilt nach Cauchys Definition: Grenze der Funktion f(x) wird eine bestimmte Zahl B sein, wobei x zu A tendiert, wenn es für jedes C > 0 eine Zahl D > 0 gibt, für die

Diese. Wenn die Funktion f(x) bei x A durch den Grenzwert B begrenzt ist, wird dies in der Form geschrieben

Sequenzbegrenzung eine bestimmte Zahl A heißt, wenn es für jede beliebig kleine positive Zahl B > 0 eine Zahl N gibt, für die alle Werte im Fall n > N die Ungleichung erfüllen

Diese Grenze sieht aus wie .

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, nennen wir konvergent; andernfalls nennen wir sie divergent.

Wie Sie bereits bemerkt haben, werden Grenzwerte durch das Lim-Symbol angezeigt, unter dem eine Bedingung für die Variable geschrieben wird und dann die Funktion selbst geschrieben wird. Eine solche Menge wird als „Grenze einer Funktion unter …“ gelesen. Zum Beispiel:

- der Grenzwert der Funktion, da x gegen 1 tendiert.

Der Ausdruck „sich 1 nähernd“ bedeutet, dass x nacheinander Werte annimmt, die sich unendlich nahe der 1 nähern.

Nun wird klar, dass es zur Berechnung dieser Grenze ausreicht, x durch den Wert 1 zu ersetzen:

Neben einem bestimmten Zahlenwert kann x auch gegen Unendlich tendieren. Zum Beispiel:

Der Ausdruck x bedeutet, dass x ständig zunimmt und sich der Unendlichkeit auf unbestimmte Zeit nähert. Wenn man also x durch Unendlich ersetzt, wird klar, dass die Funktion 1-x tendenziell tendiert, jedoch mit dem umgekehrten Vorzeichen:

Auf diese Weise, Berechnung von Grenzwerten kommt es darauf an, seinen spezifischen Wert oder einen bestimmten Bereich zu finden, in den die durch den Grenzwert begrenzte Funktion fällt.

Aus dem oben Gesagten folgt, dass es bei der Berechnung von Grenzwerten wichtig ist, mehrere Regeln zu verwenden:

Verständnis Wesen der Grenze und Grundregeln Grenzwertberechnungen erhalten Sie wichtige Einblicke in die Lösung dieser Probleme. Wenn Ihnen ein Limit Schwierigkeiten bereitet, schreiben Sie es in die Kommentare und wir werden Ihnen auf jeden Fall helfen.

Hinweis: Rechtswissenschaft ist die Rechtswissenschaft, die bei Konflikten und anderen Lebensschwierigkeiten hilft.

Grenzwert einer Funktion im Unendlichen:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Bestimmung des Cauchy-Limits
Sei die Funktion f (X) ist in einer bestimmten Umgebung des Punktes im Unendlichen definiert, mit |x| > Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion F (X) da x gegen Unendlich strebt (), wenn für irgendeine, wie kleine, positive Zahl ε > 0 , es gibt eine Zahl N ε >K, abhängig von ε, das für alle x, |x| > N ε, die Funktionswerte gehören zur ε-Umgebung des Punktes a:
|f (x) - a|< ε .
Der Grenzwert einer Funktion im Unendlichen wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Häufig wird auch die folgende Schreibweise verwendet:
.

Schreiben wir diese Definition mit den logischen Symbolen von Existenz und Universalität:
.
Dies setzt voraus, dass die Werte zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

Einseitige Grenzen

Linker Grenzwert einer Funktion im Unendlichen:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Es gibt häufig Fälle, in denen die Funktion nur für positive oder negative Werte der Variablen x definiert ist (genauer gesagt in der Nähe des Punktes oder ). Außerdem können die Grenzen im Unendlichen für positive und negative Werte von x unterschiedliche Werte haben. Dann werden einseitige Grenzwerte verwendet.

Linke Grenze im Unendlichen oder der Grenzwert, da x gegen minus Unendlich tendiert () ist wie folgt definiert:
.
Rechte Grenze im Unendlichen oder der Grenzwert, da x gegen Unendlich strebt ():
.
Einseitige Grenzen im Unendlichen werden oft wie folgt bezeichnet:
; .

Unendlicher Grenzwert einer Funktion im Unendlichen

Unendlicher Grenzwert einer Funktion im Unendlichen:
|f(x)| > M für |x| >N

Definition der Unendlichkeitsgrenze nach Cauchy
Sei die Funktion f (X) ist in einer bestimmten Umgebung des Punktes im Unendlichen definiert, mit |x| > K, wobei K eine positive Zahl ist. Funktionsgrenze f (X) Da x gegen Unendlich tendiert (), ist es gleich Unendlich, wenn für eine beliebig große Zahl M > 0 , es gibt eine solche Zahl N M >K, abhängig von M, was für alle x, |x| > N M , die Funktionswerte gehören zur Umgebung des Punktes im Unendlichen:
|f (x) | > M.
Die unendliche Grenze, da x gegen Unendlich strebt, wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann die Definition des unendlichen Grenzwerts einer Funktion wie folgt geschrieben werden:
.

Ebenso werden Definitionen unendlicher Grenzen bestimmter Zeichen gleich und eingeführt:
.
.

Definitionen einseitiger Grenzen im Unendlichen.
Linke Grenzen.
.
.
.
Richtige Grenzen.
.
.
.

Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion nach Heine

Sei die Funktion f (X) definiert in einer Umgebung des Punktes x im Unendlichen 0 , wo oder oder .
Die Zahl a (endlich oder im Unendlichen) heißt Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
wenn für irgendeine Sequenz (xn), konvergierend zu x 0 : ,
deren Elemente zur Nachbarschaft, Folge gehören (f(xn)) konvergiert zu:
.

Wenn wir als Umgebung die Umgebung eines vorzeichenlosen Punktes im Unendlichen nehmen: , dann erhalten wir die Definition des Grenzwerts einer Funktion, wenn x gegen Unendlich strebt, . 0 Nehmen wir eine linksseitige oder rechtsseitige Umgebung des Punktes x im Unendlichen

: oder , dann erhalten wir die Definition des Grenzwerts, wenn x gegen minus Unendlich bzw. plus Unendlich tendiert.

Die Grenzwertdefinitionen von Heine und Cauchy sind äquivalent.

Beispiele

Beispiel 1
.

Verwenden Sie Cauchys Definition, um dies zu zeigen
.
Führen wir die folgende Notation ein:
.
Finden wir den Definitionsbereich der Funktion.
; .
Da Zähler und Nenner des Bruchs Polynome sind, ist die Funktion für alle x definiert, mit Ausnahme der Punkte, an denen der Nenner verschwindet. Lassen Sie uns diese Punkte finden. Eine quadratische Gleichung lösen. ;
Wurzeln der Gleichung:

Seitdem, dann und.
.
Daher ist die Funktion definiert bei .
.
Wir werden dies später verwenden. -1 :
.

Schreiben wir die Definition des endlichen Grenzwertes einer Funktion im Unendlichen nach Cauchy auf:
Lassen Sie uns den Unterschied transformieren:
;
;
;
.

Teilen Sie Zähler und Nenner durch und multiplizieren Sie mit
.
.
Lassen .
Dann

Also haben wir herausgefunden, dass, wenn ,
Es folgt dem
bei , und .

Da Sie es jederzeit erhöhen können, nehmen wir .

Schreiben wir die Definition des endlichen Grenzwertes einer Funktion im Unendlichen nach Cauchy auf:
Dann für jeden,
1) ;
2) .

bei .

Es bedeutet das.
Beispiel 2
.

Zeigen Sie anhand der Cauchy-Definition eines Grenzwerts, dass:
;
.

Teilen Sie Zähler und Nenner durch und multiplizieren Sie mit
.
1) Lösung, da x gegen minus Unendlich tendiert
.
Da ist die Funktion für alle x definiert.
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwerts einer Funktion gleich minus Unendlich auf:

Lassen . Dann

Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Daraus folgt, dass es für jede positive Zahl M eine Zahl gibt, sodass für ,

.
Es bedeutet das.
.

2) Lösung, da x gegen Unendlich tendiert
Daher ist die Funktion definiert bei .
.
Lassen Sie uns die ursprüngliche Funktion transformieren. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit und wenden Sie die Quadratdifferenzformel an:
.

Wir haben:
.
Lassen Sie uns den Unterschied transformieren:
;
.

Teilen Sie Zähler und Nenner durch und multiplizieren Sie mit
.
1) Lösung, da x gegen minus Unendlich tendiert
.
Lassen .
Schreiben wir die Definition des rechten Grenzwerts der Funktion auf:

Führen wir die Notation ein: .
.

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit:
Lassen

Da dies für jede positive Zahl gilt

Begrenzt online auf der Website für Studenten und Schüler, um den von ihnen behandelten Stoff vollständig zu festigen. Wie finde ich das Limit online mithilfe unserer Ressource? Dies ist sehr einfach. Sie müssen lediglich die ursprüngliche Funktion mit der Variablen x korrekt schreiben, die gewünschte Unendlichkeit aus dem Selektor auswählen und auf die Schaltfläche „Lösen“ klicken. Wenn der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt x berechnet werden muss, müssen Sie den numerischen Wert genau dieses Punktes angeben. Eine Antwort auf die Lösung des Limits erhalten Sie in Sekundenschnelle, also sofort. Wenn Sie jedoch falsche Daten angeben, werden Sie vom Dienst automatisch über den Fehler informiert. Korrigieren Sie die zuvor eingeführte Funktion und erhalten Sie die richtige Lösung für den Grenzwert. Um Grenzwerte zu lösen, werden alle möglichen Techniken verwendet, besonders häufig wird die Methode von L'Hopital verwendet, da sie universell ist und schneller zu einer Antwort führt als andere Methoden zur Berechnung des Grenzwerts einer Funktion. Es ist interessant, sich Beispiele anzusehen, in denen das Modul vorhanden ist. Nach den Regeln unserer Ressource wird ein Modul übrigens durch den klassischen vertikalen Balken in der Mathematik „|“ gekennzeichnet. oder Abs(f(x)) vom lateinischen absolut. Oft ist es erforderlich, einen Grenzwert zu lösen, um die Summe einer Zahlenfolge zu berechnen. Wie jeder weiß, reicht es aus, die Teilsumme der untersuchten Folge richtig auszudrücken, und dann ist dank unseres kostenlosen Website-Service alles viel einfacher, da die Berechnung des Grenzwerts der Teilsumme die Endsumme der Zahlenfolge ist. Im Allgemeinen ist die Theorie des Grenzübergangs das Grundkonzept aller mathematischen Analysen. Alles basiert genau auf Übergängen zu Grenzen, das heißt, die Lösung von Grenzen ist die Grundlage der Wissenschaft der mathematischen Analyse. Bei der Integration wird auch der Grenzübergang verwendet, wenn das Integral theoretisch als Summe einer unbegrenzten Anzahl von Flächen dargestellt wird. Wo es eine unbegrenzte Anzahl von Dingen gibt, also die Tendenz der Anzahl von Objekten ins Unendliche, dann tritt immer die Theorie der Grenzübergänge in Kraft, und in ihrer allgemein anerkannten Form ist dies eine Lösung für die jedem bekannten Grenzen. Die Online-Lösung von Limits auf der Website ist ein einzigartiger Service, um in Echtzeit eine genaue und sofortige Antwort zu erhalten. Der Grenzwert einer Funktion (der Grenzwert einer Funktion) an einem bestimmten Punkt, der Grenzpunkt für den Definitionsbereich der Funktion, ist der Wert, zu dem der Wert der betreffenden Funktion tendiert, wenn ihr Argument zu einem gegebenen Wert tendiert Punkt. Es ist nicht ungewöhnlich, und wir würden sogar sagen, dass es sehr oft vorkommt, dass Studierende beim Studium der mathematischen Analyse online mit der Frage konfrontiert werden, wie sie Grenzwerte lösen können. Wenn man sich mit der Frage beschäftigt, ob man ein Limit online mit einer detaillierten Lösung nur in besonderen Fällen lösen kann, wird klar, dass man ein komplexes Problem nicht ohne den Einsatz eines Limitrechners bewältigen kann. Das Lösen von Grenzwerten mit unserem Service ist eine Garantie für Genauigkeit und Einfachheit. Der Grenzwert einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Konzepts eines Grenzwerts einer Folge: Ursprünglich wurde der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt als Grenzwert einer Folge von verstanden Elemente des Wertebereichs einer Funktion, bestehend aus Bildern von Punkten einer Folge von Elementen des Definitionsbereichs einer Funktion, die zu einem bestimmten Punkt (Grenze, an der betrachtet wird) konvergieren; Wenn eine solche Grenze existiert, konvergiert die Funktion gegen den angegebenen Wert; Existiert ein solcher Grenzwert nicht, spricht man von einer Divergenz der Funktion. Die Online-Lösung von Limits wird für Benutzer zu einer einfachen Lösung, sofern sie wissen, wie sie Limits online über die Website lösen können. Bleiben wir konzentriert und lassen wir nicht zu, dass uns Fehler in Form unbefriedigender Noten in die Quere kommen. Wie bei jeder Online-Lösung für Limits wird Ihr Problem in einer bequemen und verständlichen Form mit einer detaillierten Lösung unter Einhaltung aller Regeln und Vorschriften zur Erlangung einer Lösung dargestellt. Am häufigsten wird die Definition des Grenzwerts einer Funktion in der Sprache der Nachbarschaften formuliert. Hierbei werden die Grenzen einer Funktion nur an Punkten betrachtet, die den Definitionsbereich der Funktion begrenzen, was bedeutet, dass es in jeder Umgebung eines gegebenen Punktes Punkte aus dem Definitionsbereich dieser Funktion gibt. Dadurch können wir über die Tendenz des Funktionsarguments zu einem bestimmten Punkt sprechen. Der Grenzpunkt des Definitionsbereichs muss jedoch nicht zum Definitionsbereich selbst gehören, und dies wird durch die Lösung des Grenzwerts bewiesen: Beispielsweise kann man den Grenzwert einer Funktion an den Enden des offenen Intervalls betrachten, auf dem Die Funktion ist definiert. In diesem Fall sind die Grenzen des Intervalls selbst nicht im Definitionsbereich enthalten. In diesem Sinne ist ein System punktierter Umgebungen eines gegebenen Punktes ein Sonderfall einer solchen Basis von Mengen. Die Online-Lösung von Limits mit einer detaillierten Lösung erfolgt in Echtzeit und mithilfe von Formeln in einer explizit festgelegten Form. Sie können Zeit und vor allem Geld sparen, da wir hierfür keine Entschädigung verlangen. Wenn es an einem Punkt im Definitionsbereich einer Funktion einen Grenzwert gibt und die Lösung dieses Grenzwerts gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt ist, dann erweist sich die Funktion an einem solchen Punkt als stetig. Auf unserer Website ist die Lösung der Limits rund um die Uhr, jeden Tag und jede Minute online verfügbar. Die Verwendung des Limitrechners ist sehr wichtig und die Hauptsache ist, ihn jedes Mal zu verwenden, wenn Sie Ihr Wissen testen müssen. Die Studierenden profitieren eindeutig von all diesen Funktionen. Die Berechnung des Grenzwerts nur mithilfe der Theorie und deren Anwendung wird nicht immer so einfach sein, wie erfahrene Studierende der Mathematikabteilungen der Universitäten des Landes sagen. Die Tatsache bleibt eine Tatsache, wenn es ein Ziel gibt. Typischerweise ist die gefundene Lösung der Grenzwerte lokal nicht für die Problemformulierung anwendbar. Ein Student wird sich freuen, sobald er online im Internet einen Limitrechner entdeckt, der frei verfügbar ist, und zwar nicht nur für sich selbst, sondern für alle. Der Zweck sollte im allgemeinen Verständnis als Mathematik angesehen werden. Wenn Sie im Internet nachfragen, wie Sie das Limit online im Detail herausfinden können, dann hilft Ihnen die Masse an Seiten, die als Ergebnis der Anfrage erscheinen, nicht weiter, wie wir es tun werden. Die Differenz zwischen den Parteien wird mit der Gleichwertigkeit des Vorfalls multipliziert. Der ursprüngliche legitime Grenzwert einer Funktion muss durch die Formulierung des mathematischen Problems selbst bestimmt werden. Hamilton hatte recht, aber es lohnt sich, die Aussagen seiner Zeitgenossen zu berücksichtigen. Die Online-Berechnung von Limits ist keineswegs so schwierig, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag... Um nicht den Wahrheitsgehalt unerschütterlicher Theorien zu zerstören. Zurück zur Ausgangssituation: Es gilt, das Limit schnell, effizient und übersichtlich zu berechnen. Wäre es möglich, es anders zu machen? Dieser Ansatz ist naheliegend und berechtigt. Der Limit-Rechner wurde entwickelt, um das Wissen zu erweitern, die Qualität des Schreibens von Hausaufgaben zu verbessern und die allgemeine Stimmung unter den Schülern zu heben, damit er für sie richtig ist. Sie müssen nur so schnell wie möglich denken und der Geist wird triumphieren. Das explizite Sprechen über die Grenzen von Online-Interpolationstermen ist für Profis auf ihrem Gebiet eine sehr anspruchsvolle Tätigkeit. Wir sagen das Verhältnis des Systems ungeplanter Unterschiede an Punkten im Raum voraus. Und wiederum wird das Problem auf Unsicherheit reduziert, basierend auf der Tatsache, dass der Grenzwert der Funktion nach einer affinen Transformation des ursprünglichen Ausdrucks im Unendlichen und in einer bestimmten Umgebung eines lokalen Punktes auf einer gegebenen x-Achse existiert. Es wird einfacher sein, den Aufstieg von Punkten in der Ebene und an der Spitze des Raums zu analysieren. Über die Ableitung einer mathematischen Formel wird im allgemeinen Sachverhalt weder in der Realität noch in der Theorie gesprochen, so dass der Online-Limitrechner in diesem Sinne bestimmungsgemäß genutzt wird. Ohne die Grenze online zu definieren, fällt es mir schwer, weitere Berechnungen im Bereich der Untersuchung des krummlinigen Raums durchzuführen. Es wäre nicht einfacher, die wirklich richtige Antwort zu finden. Ist es unmöglich, einen Grenzwert zu berechnen, wenn ein bestimmter Punkt im Raum im Voraus unsicher ist? Widerlegen wir die Existenz von Antworten, die über den Studienbereich hinausgehen. Die Lösung der Grenzen kann aus Sicht der mathematischen Analyse als Beginn der Untersuchung der Folge von Punkten auf der Achse diskutiert werden. Die bloße Tatsache der Berechnung kann unangemessen sein. Die Zahlen sind als unendliche Folge darstellbar und werden durch die anfängliche Notation identifiziert, nachdem wir den Grenzwert online im Detail gemäß der Theorie gelöst haben. Gerechtfertigt zugunsten des besten Wertes. Das Ergebnis der Funktionsgrenze kann als offensichtlicher Fehler in einem falsch formulierten Problem die Vorstellung vom realen mechanischen Prozess eines instabilen Systems verzerren. Die Fähigkeit, Bedeutung direkt im Betrachtungsbereich auszudrücken. Indem man einen Online-Grenzwert mit einer ähnlichen Notation eines einseitigen Grenzwerts verknüpft, sollte man besser vermeiden, ihn explizit durch Reduktionsformeln auszudrücken. Zusätzlich zum Starten der proportionalen Ausführung der Aufgabe. Wir werden das Polynom erweitern, nachdem wir den einseitigen Grenzwert berechnen und ihn ins Unendliche schreiben können. Einfache Gedanken führen in der mathematischen Analyse zu einem wahren Ergebnis. Eine einfache Lösung von Grenzwerten läuft oft auf einen unterschiedlichen Grad der Gleichheit ausgeführter gegensätzlicher mathematischer Darstellungen hinaus. Linien und Fibonacci-Zahlen entschlüsselt der Limit-Rechner online, abhängig davon können Sie eine unbegrenzte Berechnung bestellen und vielleicht tritt die Komplexität in den Hintergrund. Der Prozess der Entfaltung des Graphen auf einer Ebene in einem dreidimensionalen Raumausschnitt ist im Gange. Dies führte dazu, dass unterschiedliche Ansichten zu einem komplexen mathematischen Problem erforderlich waren. Das Ergebnis wird jedoch nicht lange auf sich warten lassen. Der fortlaufende Prozess der Realisierung des aufsteigenden Produkts verzerrt jedoch den Zeilenraum und schreibt die Grenze online auf, um sich mit der Formulierung des Problems vertraut zu machen. Die Natürlichkeit des Prozesses der Akkumulation von Problemen bestimmt den Bedarf an Kenntnissen in allen Bereichen der mathematischen Disziplinen. Ein ausgezeichneter Limitrechner wird in den Händen erfahrener Studenten zu einem unverzichtbaren Werkzeug und sie werden alle seine Vorteile gegenüber Analoga des digitalen Fortschritts zu schätzen wissen. In Schulen werden Online-Limits aus irgendeinem Grund anders bezeichnet als in Instituten. Der Wert der Funktion erhöht sich, wenn sich das Argument ändert. L'Hopital sagte auch, dass das Finden des Grenzwerts einer Funktion nur die halbe Miete sei; man müsse das Problem zu seinem logischen Abschluss bringen und die Antwort in erweiterter Form präsentieren. Die Realität genügt dem Vorliegen von Tatsachen im vorliegenden Fall. Das Online-Limit ist mit historisch wichtigen Aspekten mathematischer Disziplinen verbunden und bildet die Grundlage für das Studium der Zahlentheorie. Die Seitenkodierung in mathematischen Formeln ist in der Clientsprache im Browser verfügbar. So berechnen Sie den Grenzwert mit einer akzeptablen legalen Methode, ohne die Funktion zu zwingen, sich in Richtung der x-Achse zu ändern. Im Allgemeinen hängt die Realität des Raumes nicht nur von der Konvexität einer Funktion oder ihrer Konkavität ab. Eliminieren Sie alle Unbekannten aus dem Problem und die Lösung der Grenzwerte führt zu der geringsten Belastung Ihrer verfügbaren mathematischen Ressourcen. Durch die Lösung des genannten Problems wird die Funktionalität hundertprozentig korrigiert. Der daraus resultierende mathematische Erwartungswert zeigt online detailliert die Grenze hinsichtlich der Abweichung vom kleinsten signifikanten Sonderverhältnis auf. Drei Tage vergingen, nachdem die mathematische Entscheidung zugunsten der Wissenschaft gefallen war. Das ist eine wirklich nützliche Aktivität. Ohne Angabe von Gründen führt das Fehlen eines Online-Limits zu einer Divergenz im Gesamtansatz zur Lösung situativer Probleme. Ein besserer Name für das einseitige Limit mit 0/0-Unsicherheit wird in Zukunft gefragt sein. Eine Ressource kann nicht nur schön und gut sein, sondern auch nützlich, wenn sie das Limit für Sie berechnen kann. Der große Wissenschaftler erforschte als Student Funktionen zum Verfassen einer wissenschaftlichen Arbeit. Zehn Jahre sind vergangen. Vor verschiedenen Nuancen lohnt es sich, die mathematische Erwartung eindeutig zu kommentieren, und zwar zugunsten der Tatsache, dass der Grenzwert der Funktion die Divergenz der Prinzipien übernimmt. Sie reagierten auf die angeordneten Testarbeiten. Eine Ausnahmestellung in der Lehre nimmt in der Mathematik seltsamerweise die Untersuchung von Online-Grenzen mit sich gegenseitig ausschließenden Drittbeziehungen ein. Wie es in gewöhnlichen Fällen der Fall ist. Sie müssen nichts reproduzieren. Nachdem wir die Herangehensweisen der Studierenden an mathematische Theorien analysiert haben, überlassen wir die Lösung von Grenzwerten gründlich der letzten Phase. Dies ist die Bedeutung des Folgenden. Schauen Sie sich den Text an. Die Brechung definiert den mathematischen Ausdruck eindeutig als die Essenz der empfangenen Informationen. Das Online-Limit ist die Essenz zur Bestimmung der wahren Position des mathematischen Relativitätssystems multidirektionaler Vektoren. In diesem Sinne möchte ich meine eigene Meinung äußern. Wie in der vorherigen Aufgabe. Das ausgeprägte Online-Limit erweitert seinen Einfluss im Detail auf die mathematische Sichtweise des sequentiellen Studiums der Programmanalyse im Studienbereich. Im Kontext der Theorie ist Mathematik etwas Höheres als nur Wissenschaft. Loyalität zeigt sich durch Taten. Es bleibt unmöglich, die Kette aufeinanderfolgender Zahlen, die ihre Aufwärtsbewegung beginnen, absichtlich zu unterbrechen, wenn das Limit falsch berechnet wird. Die doppelseitige Oberfläche kommt in ihrer natürlichen Form in voller Größe zum Ausdruck. Die Fähigkeit, mathematische Analysen zu erforschen, begrenzt die Grenze einer Funktion auf eine Folge von Funktionsreihen als Epsilon-Umgebung an einem bestimmten Punkt. Im Gegensatz zur Funktionentheorie sind Rechenfehler nicht ausgeschlossen, die Sachlage ist jedoch gegeben. Das Online-Division-by-Limit-Problem kann mit einer variablen Divergenzfunktion für das schnelle Produkt eines nichtlinearen Systems im dreidimensionalen Raum geschrieben werden. Ein trivialer Fall ist die Grundlage der Operation. Um diesen Fall zu analysieren, muss man kein Student sein. Die Gesamtheit der Momente der laufenden Berechnung, zunächst die Lösung der Grenzwerte, wird als Funktion des gesamten integralen Fortschrittssystems entlang der Ordinatenachse auf mehreren Zahlenwerten definiert. Als Basiswert nehmen wir den kleinstmöglichen mathematischen Wert. Die Schlussfolgerung liegt auf der Hand. Der Abstand zwischen den Ebenen wird dazu beitragen, die Theorie der Online-Grenzwerte zu erweitern, da die Verwendung der Methode der divergenten Berechnung des subpolaren Aspekts der Signifikanz keine inhärente Bedeutung hat. Eine ausgezeichnete Wahl, wenn sich der Grenzwertrechner auf dem Server befindet, kann dieser so übernommen werden, wie er ist, ohne die Signifikanz der Oberflächenänderung in Bereichen zu verfälschen, da sonst das Problem der Linearität größer wird. Eine vollständige mathematische Analyse ergab die Instabilität des Systems und seiner Beschreibung im Bereich der kleinsten Umgebung des Punktes. Wie bei jeder Grenze einer Funktion entlang der Schnittachse von Ordinaten und Abszissen ist es möglich, die numerischen Werte von Objekten entsprechend der Verteilung der Funktionalität des Forschungsprozesses in eine minimale Nachbarschaft einzuschließen. Schreiben wir die Aufgabe Punkt für Punkt auf. Es gibt eine Einteilung in Schreibphasen. Wissenschaftliche Aussagen, dass die Berechnung des Grenzwerts wirklich schwierig oder gar nicht einfach ist, werden durch eine Analyse der mathematischen Ansichten ausnahmslos aller Studenten und Doktoranden gestützt. Mögliche Zwischenergebnisse werden nicht lange auf sich warten lassen. Die obige Grenze wird online im Detail am absoluten Minimum der Systemdifferenz von Objekten untersucht, jenseits dessen die Linearität des Raums der Mathematik verzerrt ist. Die Segmentierung größerer Flächen wird von den Schülern nicht zur Berechnung mehrfacher Meinungsverschiedenheiten verwendet, nachdem sie den Online-Grenzwertrechner für Subtraktionen geschrieben haben. Nach Beginn wird es den Studierenden untersagt, Aufgaben zum Studium der räumlichen Umwelt in der Mathematik zu wiederholen. Da wir den Grenzwert der Funktion bereits gefunden haben, erstellen wir einen Graphen ihrer Untersuchung in der Ebene. Lassen Sie uns die Ordinatenachsen mit einer speziellen Farbe hervorheben und die Richtung der Linien anzeigen. Es gibt Stabilität. Während des Verfassens der Antwort besteht lange Zeit Unsicherheit. Berechnen Sie den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt, indem Sie einfach die Differenz zwischen den Grenzwerten im Unendlichen unter den Anfangsbedingungen analysieren. Diese Methode ist nicht jedem Benutzer bekannt. Wir brauchen eine mathematische Analyse. Das Überwinden der Grenzen sammelt über viele Jahre hinweg Erfahrungen in den Köpfen von Generationen. Es ist unmöglich, den Prozess nicht zu komplizieren. Für den Abschluss sind Studierende aller Generationen verantwortlich. All dies kann sich ändern, wenn es kein Fixargument für die Position von Funktionen um einen bestimmten Punkt gibt, der hinsichtlich der Differenz in der Rechenleistung hinter den Grenzwertrechnern zurückbleibt. Lassen Sie uns die Funktion untersuchen, um die resultierende Antwort zu erhalten. Die Schlussfolgerung ist nicht offensichtlich. Nachdem nach der Transformation der mathematischen Ausdrücke die impliziten Funktionen aus der Gesamtzahl ausgeschlossen wurden, bleibt der letzte Schritt, die Grenzwerte online korrekt und mit hoher Genauigkeit zu finden. Die Zulässigkeit der ergangenen Entscheidung unterliegt einer Überprüfung. Der Prozess geht weiter. Indem Mathematiker die Folge isoliert von den Funktionen lokalisieren und ihre enorme Erfahrung nutzen, müssen sie den Grenzwert berechnen, um die richtige Richtung in der Forschung zu rechtfertigen. Für ein solches Ergebnis bedarf es keiner theoretischen Verstärkung. Ändern Sie den Anteil der Zahlen innerhalb einer bestimmten Umgebung eines Nicht-Null-Punkts auf der x-Achse in Richtung des Online-Grenzrechners mit variablem räumlichen Neigungswinkel unter der schriftlichen Aufgabe in Mathematik. Verbinden wir zwei Bereiche im Raum. Die Meinungsverschiedenheit unter den Lösern darüber, wie der Grenzwert einer Funktion die Eigenschaften einseitiger Werte im Raum erhält, kann an den intensivierten betreuten Leistungen der Studierenden nicht unbemerkt bleiben. Die Richtung in der Mathematik-Online-Grenze hat hinsichtlich der Unsicherheit bei der Berechnung dieser Grenzen eine der am wenigsten umstrittenen Positionen eingenommen. Ein Online-Grenzwertrechner für die Höhe gleichschenkliger Dreiecke und Würfel mit einer Seite von drei Kreisradien hilft einem Schüler, in einem frühen Stadium der Naturwissenschaften auswendig zu lernen. Überlassen wir es den Studierenden, die Grenzen bei der Untersuchung eines funktionierenden mathematisch geschwächten Systems von der Forschungsebene her zu bestimmen. Die Sicht des Studenten auf die Zahlentheorie ist nicht eindeutig. Jeder hat seine eigene Meinung. Die richtige Ausrichtung des Mathematikstudiums hilft dabei, die Grenze im eigentlichen Sinne zu berechnen, wie es an Universitäten in fortgeschrittenen Ländern der Fall ist. Der Kotangens wird in der Mathematik als Grenzwertrechner berechnet und ist das Verhältnis zweier weiterer elementarer trigonometrischer Funktionen, nämlich Kosinus und Sinus des Arguments. Dies ist die Lösung zur Halbierung der Segmente. Es ist unwahrscheinlich, dass ein anderer Ansatz die Situation zugunsten des vergangenen Moments lösen wird. Wir können lange darüber reden, dass es sehr schwierig und nutzlos ist, das Online-Limit im Detail zu lösen, ohne es zu verstehen, aber dieser Ansatz führt tendenziell dazu, die interne Disziplin der Studierenden zum Besseren zu steigern.

Die Grenzwerttheorie ist einer der Zweige der mathematischen Analyse. Die Frage der Lösung von Grenzwerten ist recht umfangreich, da es Dutzende Methoden zur Lösung von Grenzwerten unterschiedlicher Art gibt. Es gibt Dutzende Nuancen und Tricks, mit denen Sie dieses oder jenes Limit lösen können. Dennoch werden wir versuchen, die wichtigsten Arten von Grenzwerten zu verstehen, die in der Praxis am häufigsten vorkommen.

Beginnen wir mit dem eigentlichen Konzept einer Grenze. Doch zunächst ein kurzer geschichtlicher Hintergrund. Im 19. Jahrhundert lebte ein Franzose, Augustin Louis Cauchy, der vielen Matan-Konzepten strenge Definitionen gab und ihre Grundlagen legte. Es muss gesagt werden, dass dieser angesehene Mathematiker in den Albträumen aller Studenten der Fakultäten für Physik und Mathematik war, ist und sein wird, da er eine große Anzahl von Theoremen der mathematischen Analyse bewiesen hat und ein Theorem tödlicher ist als der andere. Diesbezüglich werden wir noch nicht darauf eingehen Bestimmung des Cauchy-Limits, aber versuchen wir, zwei Dinge zu tun:

1. Verstehen Sie, was eine Grenze ist.
2. Lernen Sie, die wichtigsten Arten von Limits zu lösen.

Ich entschuldige mich für einige unwissenschaftliche Erklärungen. Wichtig ist, dass der Stoff auch für eine Teekanne verständlich ist, was eigentlich die Aufgabe des Projekts ist.

Was ist also die Grenze?

Und nur ein Beispiel dafür, warum man zur struppigen Oma gehen sollte ...

Jedes Limit besteht aus drei Teilen:

1) Das bekannte Limit-Symbol.
2) Einträge unter dem Limit-Symbol, in diesem Fall . Der Eintrag lautet „X tendiert zu eins.“ Am häufigsten - genau, obwohl es in der Praxis anstelle von „X“ andere Variablen gibt. In praktischen Aufgaben kann die Stelle von Eins eine absolut beliebige Zahl sein, ebenso wie die Unendlichkeit ().
3) Funktionen unter dem Grenzwertzeichen, in diesem Fall .

Die Aufnahme selbst liest sich so: „Der Grenzwert einer Funktion, da x gegen Eins strebt.“

Schauen wir uns die nächste wichtige Frage an: Was bedeutet der Ausdruck „x“? strebt zu einem"? Und was bedeutet „streben“ überhaupt?
Der Begriff einer Grenze ist sozusagen ein Begriff, dynamisch. Lassen Sie uns eine Sequenz erstellen: zuerst , dann , , …, , ….
Das heißt, der Ausdruck „x strebt zu eins“ ist wie folgt zu verstehen: „x“ nimmt konsequent die Werte an die der Einheit unendlich nahe kommen und praktisch mit ihr zusammenfallen.

Wie löse ich das obige Beispiel? Basierend auf dem oben Gesagten müssen Sie nur eins in die Funktion unter dem Grenzwertzeichen einsetzen:

Also die erste Regel: Wenn ein Grenzwert angegeben wird, versuchen wir zunächst einfach, die Zahl in die Funktion einzufügen.

Wir haben die einfachsten Grenzwerte betrachtet, aber diese kommen auch in der Praxis vor, und das gar nicht so selten!

Beispiel mit Unendlich:

Lassen Sie uns herausfinden, was es ist? Dies ist der Fall, wenn es unbegrenzt zunimmt, also: zuerst, dann, dann, dann und so weiter bis ins Unendliche.

Was passiert zu diesem Zeitpunkt mit der Funktion?
, , , …

Also: wenn, dann tendiert die Funktion gegen minus Unendlich:

Grob gesagt setzen wir gemäß unserer ersten Regel anstelle von „X“ Unendlich in die Funktion ein und erhalten die Antwort.

Ein weiteres Beispiel mit Unendlichkeit:

Wieder beginnen wir mit der Erhöhung ins Unendliche und schauen uns das Verhalten der Funktion an:

Fazit: Wenn die Funktion unbegrenzt wächst:

Und noch eine Reihe von Beispielen:

Versuchen Sie bitte, Folgendes mental für sich zu analysieren und erinnern Sie sich an die einfachsten Arten von Grenzwerten:

, , , , , , , , ,
Wenn Sie Zweifel haben, können Sie einen Taschenrechner in die Hand nehmen und ein wenig üben.
Versuchen Sie in diesem Fall, die Reihenfolge , , zu konstruieren. Wenn, dann , , .

! Notiz: Streng genommen ist dieser Ansatz zur Konstruktion von Folgen mehrerer Zahlen falsch, aber zum Verständnis der einfachsten Beispiele ist er durchaus geeignet.

Achten Sie auch auf Folgendes. Auch wenn ein Limit mit einer großen Zahl an der Spitze oder sogar mit einer Million: angegeben wird, dann ist es egal , denn früher oder später wird „X“ so gigantische Werte annehmen, dass eine Million im Vergleich dazu eine echte Mikrobe sein wird.

Was müssen Sie aus dem oben Gesagten beachten und verstehen?

1) Wenn ein Grenzwert gegeben ist, versuchen wir zunächst einfach, die Zahl in die Funktion einzusetzen.

2) Sie müssen die einfachsten Grenzen verstehen und sofort lösen, wie z , , usw.

Darüber hinaus hat die Grenze eine sehr gute geometrische Bedeutung. Für ein besseres Verständnis der Thematik empfehle ich Ihnen die Lektüre des Lehrmaterials Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Nachdem Sie diesen Artikel gelesen haben, werden Sie nicht nur endgültig verstehen, was ein Grenzwert ist, sondern auch interessante Fälle kennen lernen, in denen der Grenzwert einer Funktion im Allgemeinen gilt existiert nicht!

In der Praxis gibt es leider nur wenige Geschenke. Und deshalb gehen wir dazu über, komplexere Grenzen zu betrachten. Zu diesem Thema gibt es übrigens Intensivkurs im PDF-Format, was besonders nützlich ist, wenn Sie SEHR wenig Zeit für die Vorbereitung haben. Aber die Materialien der Website sind natürlich nicht schlechter:

Nun betrachten wir die Gruppe der Grenzwerte, wenn die Funktion ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner Polynome enthalten

Beispiel:

Grenzwert berechnen

Gemäß unserer Regel werden wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen. Was bekommen wir oben? Unendlichkeit. Und was passiert unten? Auch Unendlichkeit. Wir haben also die sogenannte Artenunsicherheit. Man könnte meinen, dass die Antwort fertig ist, aber im allgemeinen Fall ist dies überhaupt nicht der Fall, und es ist notwendig, eine Lösungstechnik anzuwenden, die wir nun betrachten werden.

Wie kann man Grenzwerte dieser Art lösen?

Zuerst schauen wir uns den Zähler an und ermitteln die höchste Potenz:

Die führende Potenz im Zähler ist zwei.

Nun schauen wir uns den Nenner an und finden ihn auch in der höchsten Potenz:

Der höchste Grad des Nenners ist zwei.

Dann wählen wir die höchste Potenz von Zähler und Nenner: In diesem Beispiel sind sie gleich und gleich zwei.

Die Lösungsmethode lautet also wie folgt: Um die Unsicherheit aufzudecken, ist es notwendig, Zähler und Nenner durch die höchste Potenz zu dividieren.

Hier ist sie, die Antwort, und keineswegs die Unendlichkeit.

Was ist bei der Gestaltung einer Entscheidung grundsätzlich wichtig?

Zunächst geben wir etwaige Unsicherheiten an.

Zweitens empfiehlt es sich, die Lösung für Zwischenerklärungen zu unterbrechen. Normalerweise verwende ich das Zeichen, es hat keine mathematische Bedeutung, sondern bedeutet, dass die Lösung für eine Zwischenerklärung unterbrochen wird.

Drittens empfiehlt es sich, im Limit zu markieren, was wohin geht. Wenn die Arbeit von Hand erstellt wird, ist es bequemer, dies auf diese Weise zu tun:

Für Notizen verwenden Sie besser einen einfachen Bleistift.

Natürlich müssen Sie nichts davon tun, aber dann weist der Lehrer vielleicht auf Mängel in der Lösung hin oder stellt zusätzliche Fragen zur Aufgabe. Brauchst du es?

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze
Auch hier finden wir im Zähler und Nenner im höchsten Grad:

Maximaler Grad im Zähler: 3
Maximaler Grad im Nenner: 4
Wählen größte Wert, in diesem Fall vier.
Um die Unsicherheit aufzudecken, dividieren wir gemäß unserem Algorithmus den Zähler und den Nenner durch .
Die komplette Aufgabe könnte so aussehen:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze
Maximaler Grad von „X“ im Zähler: 2
Maximaler Grad von „X“ im Nenner: 1 (kann geschrieben werden als)
Um die Unsicherheit aufzudecken, ist es notwendig, Zähler und Nenner durch zu dividieren. Die endgültige Lösung könnte so aussehen:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Notation bedeutet nicht Division durch Null (man kann nicht durch Null dividieren), sondern Division durch eine Infinitesimalzahl.

Wenn wir also die Artenunsicherheit aufdecken, könnten wir dazu in der Lage sein letzte Zahl, Null oder Unendlich.

Grenzen mit Unsicherheit über Art und Methode zu ihrer Lösung

Die nächste Gruppe von Grenzwerten ähnelt in gewisser Weise den gerade betrachteten Grenzwerten: Zähler und Nenner enthalten Polynome, aber „x“ strebt nicht mehr gegen Unendlich, sondern gegen endliche Zahl.

Beispiel 4

Limit lösen
Versuchen wir zunächst, -1 in den Bruch einzufügen:

In diesem Fall ergibt sich die sogenannte Unsicherheit.

Allgemeine Regel: Wenn der Zähler und der Nenner Polynome enthalten und die Form unsicher ist, dann offenlegen Sie müssen Zähler und Nenner faktorisieren.

Dazu müssen Sie meist eine quadratische Gleichung lösen und/oder abgekürzte Multiplikationsformeln verwenden. Wenn diese Dinge vergessen wurden, dann besuchen Sie die Seite Mathematische Formeln und Tabellen und lesen Sie das Lehrmaterial Heiße Formeln für den Schulmathematikkurs. Übrigens ist es am besten, es auszudrucken; es wird sehr oft benötigt, und Informationen werden vom Papier besser aufgenommen.

Also, lasst uns unser Limit lösen

Faktorisieren Sie Zähler und Nenner

Um den Zähler zu faktorisieren, müssen Sie die quadratische Gleichung lösen:

Zuerst finden wir die Diskriminante:

Und die Quadratwurzel daraus: .

Wenn die Diskriminante groß ist, zum Beispiel 361, verwenden wir einen Taschenrechner; die Funktion zum Ziehen der Quadratwurzel ist der einfachste Taschenrechner.

! Wenn die Wurzel nicht vollständig extrahiert wird (es wird eine Bruchzahl mit Komma erhalten), ist es sehr wahrscheinlich, dass die Diskriminante falsch berechnet wurde oder sich in der Aufgabe ein Tippfehler eingeschlichen hat.

Als nächstes finden wir die Wurzeln:

Auf diese Weise:

Alle. Der Zähler wird faktorisiert.

Nenner. Der Nenner ist bereits der einfachste Faktor und es gibt keine Möglichkeit, ihn zu vereinfachen.

Offensichtlich kann es wie folgt abgekürzt werden:

Jetzt ersetzen wir -1 in den Ausdruck, der unter dem Grenzzeichen bleibt:

Natürlich wird in einem Test, Test oder einer Prüfung die Lösung nie so detailliert ausgeschrieben. In der finalen Version sollte das Design etwa so aussehen:

Lassen Sie uns den Zähler faktorisieren.

Beispiel 5

Grenzwert berechnen

Zunächst die „fertige“ Version der Lösung

Lassen Sie uns Zähler und Nenner faktorisieren.

Zähler:
Nenner:



,

Was ist in diesem Beispiel wichtig?
Zunächst müssen Sie gut verstehen, wie der Zähler ermittelt wird. Zuerst haben wir 2 aus Klammern genommen und dann die Formel für die Differenz der Quadrate verwendet. Dies ist die Formel, die Sie kennen und sehen müssen.

Empfehlung: Wenn es in einem Limit (fast beliebiger Art) möglich ist, eine Zahl aus Klammern herauszunehmen, dann machen wir das immer.
Darüber hinaus ist es ratsam, solche Zahlen über das Limit-Symbol hinaus zu verschieben. Wofür? Ja, nur damit sie nicht im Weg stehen. Die Hauptsache ist, diese Zahlen später bei der Lösung nicht zu verlieren.

Bitte beachten Sie, dass ich in der letzten Phase der Lösung die beiden aus dem Limit-Symbol herausgenommen habe und dann das Minus.

! Wichtig
Bei der Lösung kommt das Typfragment sehr häufig vor. Reduzieren Sie diesen Bruches ist verboten . Zuerst müssen Sie das Vorzeichen des Zählers oder Nenners ändern (setzen Sie -1 in Klammern).
, d.h. es erscheint ein Minuszeichen, das bei der Berechnung des Limits berücksichtigt wird und auf das überhaupt nicht verzichtet werden muss.

Im Allgemeinen ist mir aufgefallen, dass man bei der Suche nach Grenzwerten dieser Art meist zwei quadratische Gleichungen lösen muss, das heißt, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner quadratische Trinome enthalten.

Methode zur Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck

Wir berücksichtigen weiterhin die Unsicherheit der Form

Der nächste Grenzwerttyp ähnelt dem vorherigen Typ. Das einzige, was wir zusätzlich zu den Polynomen tun werden, ist das Hinzufügen von Wurzeln.

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Beginnen wir mit der Entscheidung.

Zuerst versuchen wir, 3 in den Ausdruck unter dem Grenzzeichen einzusetzen
Ich wiederhole es noch einmal: Dies ist das Erste, was Sie für JEDES Limit tun müssen. Diese Aktion wird normalerweise gedanklich oder in Entwurfsform ausgeführt.

Es liegt eine Formunsicherheit vor, die beseitigt werden muss.

Wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben, enthält unser Zähler die Differenz der Wurzeln. Und in der Mathematik ist es üblich, möglichst Wurzeln zu entfernen. Wofür? Und das Leben ist einfacher ohne sie.