Anwendung

Die Länge des Bogens einer gekrümmten Linie im kartesischen Koordinatensystem auf der Website, auf der Schüler den behandelten Stoff festigen können. Die Berechnung der Länge des Bogens einer Kurve aus einer explizit spezifizierten Funktion unter Verwendung eines Integrals läuft auf die grundlegende Berechnung eines bestimmten Integrals auf einem Segment hinaus, das durch die Bedingung des Problems spezifiziert wird. Oft muss man wissen, wie die Länge der Kurve in der Praxis berechnet wird, ohne verfügbare Werkzeuge zu verwenden. Dieses Problem ist den Mathematikern besser bekannt als allen anderen seit der Antike, als eine Kurve begradigt wurde, indem man sie in viele gerade Segmente teilte und deren Summe berechnete. Zu dieser Zeit wussten große Köpfe noch nicht, dass der Wert der Bogenlänge nur durch das Integral genau berechnet werden kann, obwohl sie dessen Formel kannten. Es ist die Funktion des Arguments, das die Linie beschreibt, die in die Formel eingesetzt wird, und die Berechnung der Länge der Kurve nach solchen Manipulationen ist sehr, sehr einfach. Damit diese nicht viel Zeit verlieren, können Sie hierfür unseren Website-Rechner nutzen, der speziell für Studenten und Schüler konzipiert ist. Auf unserer Ressource gibt es viele Löser, unter denen die Länge der Kurve in Sekundenschnelle online gelöst werden kann und das Ergebnis mit hoher Genauigkeit auf der Website-Seite angezeigt wird. In der modernen Mathematik muss jeder Schüler die Länge eines Kurvenbogens im Rahmen einer bestimmten Aufgabe berechnen, vielleicht auch nebenbei, wenn er komplexere Arbeiten durchführt. Sie haben sogar eine spezielle Lektion zugewiesen, in der Anwendungen eines bestimmten Integrals anhand vieler von Wissenschaftlern abgeleiteter Formeln untersucht werden, darunter die Aufgabe, die Länge eines Kurvenbogens aus einer explizit oder implizit gegebenen Funktion zu ermitteln. Bei der Site handelt es sich um einen Rechner zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve in einem bestimmten Koordinatensystem, der in Schul- und Universitätsprogrammen untersucht wird. Zusätzlich zu dem zurückgelegten Weg gemäß den Bedingungen des Textproblems wird durch das Integral auch die Länge des Kurvenbogens berechnet, und zwar genau diejenige, die der Bewegungsbahn des Fußgängers entspricht. Ohne auf abstrakte Objekte oder gewöhnliche komplexe Rechensysteme wie beispielsweise den Riemannschen Raum einzugehen, die sich auf affine Transformationen auswirken, gehen wir davon aus, dass die Länge des Kurvenbogens im kartesischen Koordinatensystem liegt. Besuchen Sie daher gerne die Website, auf der ein Abschnitt zum Online-Ermitteln der Länge eines Bogens vorgestellt wird. Im Allgemeinen wird auch der Wert der Kurvenlänge in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedlich sein, und das ist eine unbestreitbare Tatsache, aber sehr interessant. Nehmen wir an, wir haben ein krummliniges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum und die Länge der Kurve hängt vom Start- und Endpunkt des untersuchten Segments ab. Wenn Sie also in diesem System eine Kurve Punkt für Punkt darstellen, stellt sie visuell eine gerade Linie in Bezug auf rechtwinklige Koordinaten dar und die Länge des Bogens wird durch das übliche Integral bestimmt. Es ist jedoch manchmal sehr schwierig, experimentell zu dieser nicht offensichtlichen Tatsache zu gelangen, und der Mensch ist von Natur aus nicht in der Lage, sich einen gekrümmten Raum visuell vorzustellen. Wir reduzieren alles auf den Vergleich mit dem bekannten rechteckigen kartesischen System. Die Länge einer Kurve kann jedoch in jedem Koordinatensystem berechnet werden, sofern sie korrigierbar ist, was die Grundlage für die Lösung eines solchen Problems darstellt. Es gibt nicht korrigierbare Kurven, deren Länge kein Rechner online finden kann. Im Allgemeinen kann eine solche Kurve nicht in normaler Darstellung angegeben werden. Es gibt eine Regel, nach der es aufgebaut ist, und das ist alles. Aber niemand wird in der Lage sein, die Länge eines Kurvenbogens zu berechnen, weil es ihn einfach nicht gibt. Zusätzlich zur Berechnung der Masse eines Körpers oder der Trägheitsmomente von Körpern und Platten können Sie durch Anwendung eines bestimmten Integrals leicht die Bogenlänge einer gekrümmten Linie in verschiedenen Koordinatensystemen ermitteln, übrigens auch in Polarkoordinatensystemen ist noch einfacher zu machen als im Kartesischen. Der Übergang vom ersten Koordinatensystem zum zweiten erfolgt durch eine einfache Transformation durch trigonometrische Funktionen, die die Beziehung zwischen dem Winkel und der Radiusfunktion vom Ursprung bestimmt. Als nächstes können Sie den kostenlosen Kurvenbogenlängenrechner verwenden und das Ergebnis direkt hier im Browserfenster abrufen, um die Website sofort zu vervollständigen und bei der Lösung der Aufgabe zu helfen. In diesem Fall kann die Bogenlänge online aus jeder Funktion aus einem beliebigen Aufgabenbuch der höheren Mathematik ermittelt werden. Im Zuge der mathematischen Lösung kann die Länge der Kurve durch ein bestimmtes Integral einer gegebenen Funktion über die untere und obere Integrationsgrenze ermittelt werden. Gleichzeitig mit der Suche nach einer allgemeinen Lösung des Problems wird die Länge des Bogens durch ein bestimmtes Integral sofort bestimmt, indem die erforderlichen Größen in die Endsumme des Integranden eingesetzt werden, was uns zur Untersuchung der Wurzelfunktion an den Enden des Integranden führt Segment. Gleichzeitig wird dem mathematischen Problem eine parallele hinzugefügt, nämlich die Länge der gekrümmten Linie anhand der Variablen t als Funktion der Zeitskala entlang der Bewegungsrichtung des materiellen Punktes korrekt zu berechnen. Allerdings kann die Bewegungsbahn eines Körpers als Ansammlung materieller Punkte oder eines bestimmten Punktes separat nicht die volle Natur der Bewegung darstellen, ohne dass es ein Gesetz gibt, durch das seine Bewegungslinie beschrieben wird. Aber Sie können natürlich mithilfe einer mathematischen Analyse die Bewegung, einschließlich der Beschleunigung in bestimmten Bereichen, leicht untersuchen und auch die Länge der Kurve bestimmen, indem Sie diesen Wert online auf der Website berechnen. Wie man die Bogenlänge einer Kurve durch ein Integral ermittelt, ist Wissenschaftlern auf der ganzen Welt schon seit langem bekannt, aber dies den Studierenden zeitnah zu vermitteln, ist nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Mit dieser wunderbaren und nützlichen Ressource für Studenten und Schüler können Sie die Länge eines Kurvenbogens, wie man so sagt, hier und jetzt direkt vor Ihren Augen berechnen, und die Antwort wird auf das nächste Tausendstel absolut fehlerfrei sein. Da Anwendungen eines bestimmten Integrals an Universitäten nicht vollständig untersucht werden, da hierfür nur wenig Studienzeit vorgesehen ist, müssen sich die Studierenden selbst bemühen, diesen wichtigen Zweig der Mathematik zu verstehen, da er später im Leben nützlich sein wird. Ähnliche Websites helfen Ihnen im Gegensatz zur Website auch dabei, die Länge des Kurvenbogens einer bestimmten Funktion zu ermitteln. Wir empfehlen jedoch dennoch, die Berechnungsergebnisse mit der Antwort unserer Ressource zu vergleichen, für die wir hinter unserem Ruf stehen. Unabhängig davon, welchen modernen und leistungsstarken Bogenlängenrechner Sie verwenden, um ein Problem in der Mathematik zu untersuchen, kann Ihnen kein einziger solcher Taschenrechner oder Computer dabei helfen, zu lernen, wie Sie solche Probleme selbst lösen können. Beim Studium eines mathematischen Abschnitts ist Aufmerksamkeit, Ausdauer und vor allem Geduld gefragt, da es sich um eine exakte Wissenschaft handelt, die aufgrund ihrer Besonderheiten eine schrittweise Beherrschung erfordert. Kehren wir zu unserem Thema zurück und fassen wir unsere Gedanken darüber zusammen, wie man ohne große Schwierigkeiten herausfinden kann, dass die Bogenlänge einer Kurve mithilfe einer vorgegebenen Formel ermittelt und korrekt berechnet werden kann. Wir empfehlen jedem, der mit dem Studium der Mathematik beginnt, dringend, sich online auf der Website mit der Berechnung der Länge eines Bogens vertraut zu machen und zu wissen, wie dieser berechnet wird. Wie üblich ist bei solchen Problemen die durch das Integral berechnete Länge des Kurvenbogens erforderlich, da davon der Verlauf der weiteren Lösung des Problems abhängt. Der Zweck der Bedingung zur Identifizierung kritischer Punkte steht nicht in direktem Zusammenhang mit der jeweiligen Aufgabe, sondern die Länge der Kurve wird nach den gleichen Prinzipien mathematischer Gesetze bestimmt. Die Schüler haben richtig bemerkt, dass die Länge des Bogens als bestimmtes Integral die maximalen Antworten auf alle Fragen gibt, die bei der Untersuchung des Bewegungsbereichs eines materiellen Punktes gestellt werden. Bei der Untersuchung der Bewegung einer Materialplatte reicht es aus, die Bewegungsbahn von mindestens zwei ihrer Punkte zu kennen, da die Linien aller anderen Punkte auf der Grundlage geometrischer Beziehungen bestimmt werden können, insbesondere dann die Länge der Bewegungskurve eines beliebigen Punktes auf der Platte berechnet werden. Mithilfe des Rechners auf der Website wird die Länge der Kurve fast sofort und mit höchster Genauigkeit in der Antwort online ermittelt, da wir bei der Lösung solcher mathematischen Probleme moderne Technologien einsetzen. Und wenn Sie plötzlich die Bogenlänge einer Kurve aus einer expliziten oder impliziten Funktion berechnen müssen, dann machen Sie sich keine Sorgen, bis Sie unsere Ressource besuchen, denn neben der Anwendung eines bestimmten Integrals für Flächen oder der Berechnung des Volumens von Festkörpern können Sie auch Ich werde die Bogenlänge einer Kurve hier und in dieser Minute leicht ermitteln können. Der rationelle Einsatz von Ressourcen, und Zeit ist die wichtigste und wichtigste Ressource, die ein Mensch hat, ermöglicht es Ihnen, mit einem Kurvenbogenlängenrechner Zeit zu sparen, da dieses von Natur aus einzigartige Werkzeug in den Händen eines Handwerkers das beste Ergebnis liefert als einfach Auswendiglernen komplexer mathematischer Formeln ohne ausgeprägte praktische Fähigkeiten. Es ist kein Geheimnis, dass Ausdauer und Geduld der Schlüssel zum Erfolg eines jeden Einzelnen sind, denn nur in schwierigen Situationen lernt ein Schüler, unabhängig zu sein und sich selbst die Qualität einer Führungskraft zu vermitteln. Ihre Freunde und Kollegen werden nicht schneller als Sie erkennen können, dass die Bogenlänge der Kurve für die erste Funktion größer sein wird, nicht jedoch für die zweite Funktion, obwohl die Segmente vom ersten bis zum letzten Punkt gleich sind. Es kommt vor, dass die Länge des Bogens online einen anderen Wert hat als der, der durch manuelle Berechnung mit verfügbaren Rechnern und Tabellen ermittelt wird. Sie sollten jedoch nicht im Voraus unbegründete Schlussfolgerungen ziehen, da bei manuellen Berechnungen natürliche Fehler zulässig sind. Abschließend müssen die Studierenden den Standort noch empfehlen und klar sagen, dass die Länge des Bogens einer Kurve durch das Integral viel schneller, produktiver und viel genauer berechnet wird als mit numerischen Methoden für Näherungsberechnungen. Auf Studentenebene ist es allgemein anerkannt, dass die Länge einer Kurve nicht mit mathematischen Formeln berechnet werden kann, es sei denn, man kennt sie. Nein, das ist jedoch eine Fehleinschätzung, denn im Internet gibt es moderne, speziell auf Studierende zugeschnittene Dienste, bei denen es Rechner für Mathematik gibt und die Bogenlänge als Integral in Sekundenschnelle direkt vor den Augen der Seite berechnet wird Benutzer. Solche Rechner können die Länge der Kurve aus jeder gegebenen Funktion berechnen, indem sie dazu mathematische Gesetze nutzen und optimale Berechnungen identifizieren und auswählen, genau wie ein kompetenter Lehrer es tun würde. Schließlich ist die Programmierung eines beliebig komplexen Rechenvorgangs gewinnbringender und kostengünstiger, als sich ständig in abstrusen Büchern zu wälzen, nach einer passenden Formel zu suchen, den Funktionstyp zu bestimmen und so weiter und so weiter. Nutzen Sie alle Vorteile der Website für Ihre Ziele, seien Sie flexibler in der Herangehensweise an das Studium der exakten Wissenschaften wie Mathematik, Physik oder Chemie, nutzen Sie deren ähnliche Ressourcen optimal und widmen Sie mehr Zeit dem Studium theoretischer als praktischer Aspekte. Denn die Praxis ist die Grundlage für die Festigung des behandelten Stoffes, die Theorie zwingt Sie jedoch dazu, Ihr Gehirn intensiver zu nutzen und dadurch Ihren Horizont zu erweitern. Wenn die Länge der Online-Kurve sofort gefunden wird und eine ziemlich genaue Antwort liefert, fahren Sie unter Berücksichtigung der Bedingungen der Teilaufgabe sofort mit den nächsten Berechnungen fort und vervollständigen Sie die Schlussfolgerungen zu der logischen Schlussfolgerung. Auf dieser Website können Sie und alle anderen Schüler die Bogenlänge einer Kurve entlang der Flugbahn eines materiellen Punktes berechnen und die Formulierung des Problems auf der grundlegenden Bestimmung der Position eines Objekts als materieller Körper basieren. Durch die Anwendung eines bestimmten Integrals ist es mit Leichtigkeit und größerer Genauigkeit als numerische Methoden, die Näherungsergebnisse liefern, möglich und notwendig, Probleme wie das Volumen eines Rotationskörpers einer Figur um eine Achse in einem kartesischen Koordinatensystem zu lösen. oder zum Beispiel die Bestimmung der Masse einer Materialplatte mit einer bestimmten Dichte und viele nützliche Dinge beim Studium der exakten Wissenschaften. Und zu gegebener Zeit werden Sie und ich in der Lage sein, die Bogenlänge einer Kurve für eine explizit oder parametrisch spezifizierte Funktion zu ermitteln, basierend auf den Prinzipien des richtigen Ansatzes zur Lösung dieser Art von Problemen der mathematischen Analyse. Wie Sie wissen, ist es unmöglich, eine Lösung zu finden oder eindeutig zu bestimmen, ohne sich auf die Grundgesetze von Mutter Natur zu verlassen. Im naturwissenschaftlichen Studium machen Studierende oft recht selten Fehler, wenn sie einen hochwertigen Kurvenlängenrechner zur Hand haben und dieser 24 Stunden am Tag verfügbar ist, mit dessen Hilfe komplexe mathematische Berechnungen durchgeführt werden. Lassen Sie uns direkt auf eine so offensichtliche Sache wie die richtige und rechtzeitige Herangehensweise an das Studium von Theorie und Praxis insgesamt hinweisen, wenn der Schüler wächst und Wissen erlangt. Die Bogenlänge der Kurve hat eine enorme praktische Bedeutung, da sie Ingenieuren die Möglichkeit gibt, ein Bauvorhaben so zu gestalten, dass es während seines Betriebs in naher und ferner Zukunft zu keinen Notsituationen kommt. Nehmen wir zum Beispiel das Projekt einer Brücke über einen großen Fluss. Nur kilometerlange Kabel hängen in Girlanden über der Fahrbahn oder den Fußgängerzonen dieser Brücke, riesige Metallmassen belasten das Bauwerk und machen es einerseits zu einer gigantischen künstlichen Unvergleichlichkeit, mit einem Bogen – eine einzigartige Errungenschaft des menschlichen Denkens und seiner eigenen Fähigkeiten in dieser Welt. Wie nie zuvor bei Berechnungen wird die Länge des Bogens online mit sofortigen Ergebnissen berechnet, da Millionen mathematischer Funktionen in angemessenen Zeiträumen arbeiten müssen und die Struktur als einen einzigen lebenden Mechanismus mit seinen natürlichen Verformungen längs und quer beschreiben. Und wenn man Ihnen sagt, dass die Bogenlänge einer Kurve durch ein Integral eine nutzlose Übung sei, dann wissen Sie, wie Sie auf diesen Unsinn antworten sollen. Alles, was wir täglich nutzen und worauf unser Land stolz ist, ist die Frucht der menschlichen Entwicklung in diesem Umfeld. Sobald die wahre Länge der Kurve ihren oberen Grenzwert erreicht, erhalten wir mit der rektifizierbaren Linienmethode, also durch Einschreiben immer neuer Segmente der Halbteilung, sofort einen Näherungswert der Integralmethode in der Antwort zum mathematischen Problem. Das heißt, mit anderen Worten, die Länge des Bogens durch das Integral gibt uns den absolut genauen Wert des Wertes, dem die angewandte Lösungsmethode im Raum rechtwinkliger Koordinaten entspricht. In dieser Phase der Problemformulierung verirren sich die Schüler ein wenig und machen einfache Fehler. Sollte es dennoch nicht möglich sein, die Länge der Kurve mit einer expliziten Berechnungsformel vollständig zu berechnen, teilen Sie das Problem in mehrere Unterabsätze auf, damit Sie es visuell leichter wahrnehmen und in Zukunft loswerden können mathematische Ungenauigkeiten. Wir empfehlen, die Website-Ressource individuell zu nutzen, um zu erfahren, wie die Länge der Kurve online in wenigen Sekunden nach Eingabe der Daten für die Problembedingungen und Klicken auf die Schaltfläche „Lösung“ berechnet wird. Nehmen wir an, Sie wissen, wie man die Bogenlänge einer Kurve berechnet, und verfügen über ausreichende praktische Erfahrung darin. Vergessen Sie jedoch nicht, dass Sie sich durch die Zeitersparnis bei einfachen Dingen das Recht vorbehalten, Ihre persönliche Freizeit für das weitere Mathematikstudium online zu verwalten . Die bekannten Anwendungen des bestimmten Integrals bieten Wissenschaftlern viele Möglichkeiten, sie überall beim Bau, bei der Installation von Bauwerken und einfach aus Gründen der Umweltsicherheit einzusetzen. Die Website hilft Ihnen und allen anderen Schülern dabei, die Bogenlänge einer Kurve zu ermitteln. Diese Website wurde speziell entwickelt, um die Arbeit der Schüler zu vereinfachen und zu erleichtern. sondern sie dadurch auf den Weg des richtigen Verständnisses des Wesens des theoretischen Wissens weisen. Auf Anfrage können Sie bei Google oder Yandex ganz einfach einen Kurvenbogenlängenrechner finden und ihn in vollem Umfang nutzen. Seien Sie jedoch vorsichtig, wenn Sie auf skrupellose Anbieter stoßen, die Ihnen nur Dienstleistungen in Rechnung stellen möchten, ohne darüber nachzudenken: Wie können Sie an einer Kurve vorbeikommen? Prüfung oder Sitzung erfolgreich? Denn Lehrer können bereits erkennen, ob ein Schüler eine Arbeit bestellt oder diese selbstständig erledigt hat. Versuchen Sie, Mathematik selbst zu lösen, seien Sie nicht faul, das dafür benötigte Material zu studieren und nutzen Sie Hinweise von Lösern. Um Ihnen zu helfen, bieten wir ein leistungsstarkes mathematisches Tool namens Website und Probleme an, für die die Länge eines Kurvenbogens erforderlich ist Weitere Aktionen sind im Handumdrehen gelöst! Sie müssen lediglich alle Klammern des Ausdrucks korrekt eingeben, die Vorzeichen für Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation, ggf. mit Radikalen, eingeben, kurz gesagt, die Syntax korrekt anwenden und schon wird die Länge des Bogens online gelöscht Sie sehen Ihre Antwort auf dem Monitor. Unabhängig davon, wie Sie den Integrationsschritt aufteilen, natürlich innerhalb akzeptabler Grenzen, kann er nicht besser berechnet werden als die Bogenlänge der Kurve durch das Integral, da dies der genaueste Weg ist, eine hohe Genauigkeit der Antwort zu erreichen. Das Verdienst dafür gebührt den Wissenschaftlern des vorletzten Jahrhunderts und noch früher. Und nun wollen wir abschließend über die Länge der Kurve f=f(x) oder jede andere explizit angegebene Funktion sprechen, die oft in Aufgabenbüchern in Schulen und Universitäten zu finden ist. Wenn Sie feststellen, dass alle Aufgaben in Untertypen unterteilt sind, geschieht dies, um den Schülern eine optimale Wahrnehmung des behandelten Materials zu ermöglichen. Sobald der Lehrer eine Theorie erklärt, gibt er sofort ein Beispiel, um den behandelten Stoff zu vertiefen. Daher kann die Länge der Kurve mithilfe numerischer Methoden oder mithilfe eines Integrals ermittelt werden, was besser ist. Da die Bogenlänge als Integral einer Funktion auf unterschiedliche Weise berechnet werden kann, liefert dies jedoch genau das gewünschte Ergebnis und kann für Berechnungen jeglicher Art von Problemen weiter verwendet werden. Da die Berechnung der Länge der Kurve in fast jeder Unterrichtsstunde erforderlich ist, während der Lehrer den Stoff mit zunehmender Komplexität vermittelt, empfehlen wir Ihnen, unsere Website namens Website zu wählen und Ihre Arbeit zu erleichtern. denn das ist es, was junge Leute heute tun. Sie hängen sich nicht an irgendeinem komplizierten Beispiel auf, sondern packen es an und lösen Probleme mit dem Taschenrechner, sobald sie auf dem Weg auf Hindernisse stoßen. Wenn man weiß, wie die Länge der Kurve online mithilfe des Website-Dienstes berechnet wird, besteht kein Zweifel daran, dass die Antwort aus jedem anderen Abschnitt dieser Ressource genauer und korrekter als je zuvor sein wird. Und bei einer Reihe von Taschenrechnern stehen Schritt-für-Schritt-Lösungen zur Verfügung, was im Allgemeinen einen Vorteil gegenüber denjenigen bietet, die diese nicht verwenden oder nicht wissen, wie man Taschenrechner verwendet und die Bogenlänge einer Kurve korrekt berechnet. Vergessen Sie nicht, sich nach jeder Aktion zu überprüfen, sei es das gewöhnliche Ziehen einer Wurzel oder die Multiplikation mit einer Spalte oder die Division eines Polynoms durch ein Polynom. In einigen Fällen führt die Anwendung eines bestimmten Integrals zu einem kolossalen Ergebnis bei der Bestimmung Das Gewicht eines Körpers oder einer Platte, das Ermitteln von Trägheitsmomenten, die in der Mechanik sehr wichtige Indikatoren bei der Konstruktion sind, helfen umso mehr, die Länge des Kurvenbogens zu ermitteln, was auch für Ingenieure wichtig sein wird. Wie bereits erwähnt, nutzen Sie den Kurvenbogenlängenrechner auf der Website und Ihre Erwartungen werden voll und ganz erfüllt, denn mathematische Probleme werden hier wie zweimal gelöst! Sie können sich im Internet über positive Bewertungen über uns informieren, da wir für die Online-Lösung von Mathematik keine Gebühr erheben und dank eines leistungsstarken Computersystems die Genauigkeit von Berechnungen jeglicher Komplexität garantieren. Heutzutage gibt es viele Möglichkeiten, die Länge eines Kurvenbogens beim Entwurf von Bauwerken zu bestimmen, da technische Taschenrechner bereits für die Berechnung dieses wichtigen Schritts programmiert sind. Aber es gibt immer noch, und davon gibt es viele, speziell für die Ermittlung der Bogenlänge entwickelte Online-Rechner, in denen die Kurve auf verschiedene Arten angegeben werden kann. Daher die Universalität solcher Erfindungen. Unabhängig davon, wie gut die numerische Methode zur Bestimmung der Länge des Kurvenbogens ist, hat diese Länge durch das Integral immer noch einen genauen Wert, sozusagen einen Referenzwert im Vergleich zu im Wesentlichen ähnlichen numerischen Ergebnissen.

Der Kreis, seine Teile, ihre Größen und Beziehungen sind Dinge, denen ein Juwelier ständig begegnet. Ringe, Armbänder, Kasten, Röhren, Kugeln, Spiralen – es müssen viele runde Dinge hergestellt werden. Wie kann man das alles berechnen, vor allem, wenn man das Glück hatte, den Geometrieunterricht in der Schule zu schwänzen?

Schauen wir uns zunächst an, welche Teile ein Kreis hat und wie sie heißen.

• Ein Kreis ist eine Linie, die einen Kreis umschließt.
• Ein Bogen ist ein Teil eines Kreises.
• Der Radius ist ein Segment, das den Mittelpunkt eines Kreises mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet.
• Eine Sehne ist ein Segment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet.
• Ein Segment ist ein Teil eines Kreises, der durch eine Sehne und einen Bogen begrenzt wird.
• Ein Sektor ist ein Teil eines Kreises, der durch zwei Radien und einen Bogen begrenzt wird.

Die uns interessierenden Größen und ihre Bezeichnungen:

Sehen wir uns nun an, welche Probleme im Zusammenhang mit Teilen eines Kreises gelöst werden müssen.

• Finden Sie die Entwicklungslänge eines beliebigen Teils des Rings (Armbands). Bestimmen Sie anhand des Durchmessers und der Sehne (Option: Durchmesser und Mittelpunktswinkel) die Länge des Bogens.
• Es gibt eine Zeichnung auf einer Ebene. Sie müssen ihre Größe in der Projektion herausfinden, nachdem Sie sie in einen Bogen gebogen haben. Ermitteln Sie anhand der Bogenlänge und des Bogendurchmessers die Sehnenlänge.
• Ermitteln Sie die Höhe des Teils, das Sie durch Biegen eines flachen Werkstücks in einen Bogen erhalten. Quelldatenoptionen: Bogenlänge und -durchmesser, Bogenlänge und -sehne; Finden Sie die Höhe des Segments.

Das Leben wird Ihnen andere Beispiele nennen, aber ich habe diese nur angegeben, um zu zeigen, dass es notwendig ist, zwei Parameter festzulegen, um alle anderen zu finden. Das werden wir tun. Wir nehmen nämlich fünf Parameter des Segments: D, L, X, φ und H. Dann wählen wir daraus alle möglichen Paare aus, betrachten sie als Ausgangsdaten und finden den Rest durch Brainstorming.

Um den Leser nicht unnötig zu belasten, werde ich auf detaillierte Lösungen verzichten, sondern nur die Ergebnisse in Form von Formeln darstellen (die Fälle, in denen es keine formale Lösung gibt, werde ich nebenbei diskutieren).

Und noch eine Anmerkung: zu den Maßeinheiten. Alle Größen außer dem Zentralwinkel werden in denselben abstrakten Einheiten gemessen. Das heißt, wenn Sie beispielsweise einen Wert in Millimetern angeben, muss der andere nicht in Zentimetern angegeben werden und die resultierenden Werte werden in denselben Millimetern (und Flächen in Quadratmillimetern) gemessen. Das Gleiche gilt für Zoll, Fuß und Seemeilen.

Und in allen Fällen wird nur der Zentralwinkel in Grad gemessen und sonst nichts. Denn als Faustregel gilt: Menschen, die etwas Rundes entwerfen, neigen nicht dazu, Winkel im Bogenmaß zu messen. Der Ausdruck „Winkel pi mal vier“ verwirrt viele, während „Winkel fünfundvierzig Grad“ für jeden verständlich ist, da er nur fünf Grad höher als normal ist. Allerdings wird in allen Formeln ein weiterer Winkel – α – als Zwischenwert vorhanden sein. Der Bedeutung nach ist dies der halbe Zentralwinkel, gemessen im Bogenmaß, aber man kann sich dieser Bedeutung sicher nicht näher widmen.

1. Gegeben seien der Durchmesser D und die Bogenlänge L

; Sehnenlänge ;
Segmenthöhe ; Zentralwinkel .

2. Gegebener Durchmesser D und Sehnenlänge X

; Bogenlänge ;
Segmenthöhe ; Zentralwinkel .

Da die Sehne den Kreis in zwei Segmente teilt, gibt es für dieses Problem nicht eine, sondern zwei Lösungen. Um den zweiten zu erhalten, müssen Sie den Winkel α in den obigen Formeln durch den Winkel ersetzen.

3. Gegeben seien der Durchmesser D und der Zentriwinkel φ

; Bogenlänge ;
Sehnenlänge ; Segmenthöhe .

4. Angesichts des Durchmessers D und der Höhe des Segments H

; Bogenlänge ;
Sehnenlänge ; Zentralwinkel .

6. Gegebene Bogenlänge L und Mittelpunktswinkel φ

; Durchmesser;
Sehnenlänge ; Segmenthöhe .

8. Gegeben seien die Sehnenlänge X und der Mittelpunktswinkel φ

; Bogenlänge ;
Durchmesser; Segmenthöhe .

9. Gegeben sei die Länge der Sehne X und die Höhe des Segments H

; Bogenlänge ;
Durchmesser; Zentralwinkel .

10. Gegeben seien der Zentralwinkel φ und die Höhe des Segments H

; Durchmesser ;
Bogenlänge ; Sehnenlänge .

Der aufmerksame Leser konnte nicht umhin zu bemerken, dass ich zwei Optionen verpasst habe:

5. Gegebene Bogenlänge L und Sehnenlänge X

7. Gegeben sei die Länge des Bogens L und die Höhe des Segments H

Dies sind nur die beiden unangenehmen Fälle, in denen es für das Problem keine Lösung gibt, die in Form einer Formel geschrieben werden könnte. Und die Aufgabe ist gar nicht so selten. Sie haben beispielsweise ein flaches Stück der Länge L und möchten es so biegen, dass seine Länge X (oder seine Höhe H) wird. Welchen Durchmesser soll ich für den Dorn (Querstange) nehmen?

Bei diesem Problem geht es darum, die Gleichungen zu lösen:
; - in Option 5
; - in Option 7
und obwohl sie nicht analytisch gelöst werden können, können sie leicht programmgesteuert gelöst werden. Und ich weiß sogar, wo man so ein Programm bekommt: auf dieser Seite, unter dem Namen . Sie erledigt alles, was ich Ihnen hier ausführlich erzähle, in Mikrosekunden.

Um das Bild zu vervollständigen, fügen wir zu den Ergebnissen unserer Berechnungen den Umfang und drei Flächenwerte hinzu – Kreis, Sektor und Segment. (Flächen helfen uns sehr bei der Berechnung der Masse aller runden und halbkreisförmigen Teile, aber mehr dazu in einem separaten Artikel.) Alle diese Größen werden nach denselben Formeln berechnet:

Umfang ;
Fläche eines Kreises ;
Sektorbereich ;
Segmentbereich ;

Abschließend möchte ich Sie noch einmal an die Existenz eines völlig kostenlosen Programms erinnern, das alle oben genannten Berechnungen durchführt und Sie von der Notwendigkeit befreit, sich daran zu erinnern, was ein Arkustangens ist und wo Sie danach suchen müssen.

Wie gut erinnern Sie sich an alle Namen, die mit dem Kreis verbunden sind? Für alle Fälle erinnern wir Sie daran – schauen Sie sich die Bilder an – frischen Sie Ihr Wissen auf.

Zuerst - Der Mittelpunkt eines Kreises ist ein Punkt, von dem aus die Abstände zu allen Punkten auf dem Kreis gleich sind.

Zweitens - Radius - ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis verbindet.

Es gibt viele Radien (so viele wie es Punkte auf dem Kreis gibt), aber Alle Radien haben die gleiche Länge.

Manchmal kurz Radius sie nennen es genau Länge des Segments„Der Mittelpunkt ist ein Punkt auf dem Kreis“ und nicht das Segment selbst.

Und hier ist, was passiert wenn man zwei Punkte auf einem Kreis verbindet? Auch ein Segment?

Dieses Segment heißt also "Akkord".

Genau wie beim Radius ist der Durchmesser oft die Länge eines Segments, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich, der Radius ist gleich dem halben Durchmesser.

Neben Akkorden gibt es auch Sekanten.

Erinnern Sie sich an die einfachste Sache?

Der Zentralwinkel ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Und jetzt - der eingeschriebene Winkel

Eingeschriebener Winkel – der Winkel zwischen zwei Sehnen, die sich in einem Punkt auf einem Kreis schneiden.

In diesem Fall sagt man, dass der eingeschriebene Winkel auf einem Bogen (oder einer Sehne) ruht.

Sehen Sie das Bild an:

Messungen von Bögen und Winkeln.

Umfang. Bögen und Winkel werden in Grad und Bogenmaß gemessen. Zunächst zu den Abschlüssen. Bei Winkeln gibt es keine Probleme – Sie müssen lernen, wie man den Bogen in Grad misst.

Das Gradmaß (Bogengröße) ist der Wert (in Grad) des entsprechenden Mittelpunktswinkels

Was bedeutet hier das Wort „angemessen“? Schauen wir genau hin:

Sehen Sie zwei Bögen und zwei Mittelwinkel? Nun, ein größerer Bogen entspricht einem größeren Winkel (und es ist in Ordnung, dass er größer ist), und ein kleinerer Bogen entspricht einem kleineren Winkel.

Wir waren uns also einig: Der Bogen enthält die gleiche Gradzahl wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Und nun zum Schrecklichen – zum Bogenmaß!

Was für ein Biest ist dieses „Radiant“?

Stell dir vor: Das Bogenmaß ist eine Möglichkeit, Winkel zu messen ... in Radien!

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dann stellt sich die Frage: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel?

Mit anderen Worten: Wie viele Radien „passen“ in einen Halbkreis? Oder anders ausgedrückt: Wie oft ist die Länge eines Halbkreises größer als der Radius?

Diese Frage stellten Wissenschaftler bereits im antiken Griechenland.

Und so stellten sie nach langer Suche fest, dass das Verhältnis von Umfang zu Radius nicht in „menschlichen“ Zahlen wie usw. ausgedrückt werden möchte.

Und es ist nicht einmal möglich, diese Einstellung durch Wurzeln auszudrücken. Das heißt, es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist zu sagen, dass ein Halbkreis um ein Vielfaches größer ist als der Radius! Können Sie sich vorstellen, wie erstaunlich es für die Leute war, dies zum ersten Mal zu entdecken?! Für das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius reichten „normale“ Zahlen nicht aus. Ich musste einen Buchstaben eingeben.

Das ist also eine Zahl, die das Verhältnis der Länge des Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Jetzt können wir die Frage beantworten: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel? Es enthält Bogenmaß. Eben weil der halbe Kreis mal größer ist als der Radius.

Alte (und nicht so alte) Menschen im Laufe der Jahrhunderte (!) versuchte, diese mysteriöse Zahl genauer zu berechnen, sie (zumindest annähernd) besser durch „gewöhnliche“ Zahlen auszudrücken. Und jetzt sind wir unglaublich faul – zwei Zeichen nach einem anstrengenden Tag reichen uns, das sind wir gewohnt

Denken Sie darüber nach, das bedeutet zum Beispiel, dass die Länge eines Kreises mit einem Radius von eins ungefähr gleich ist, aber diese genaue Länge ist einfach nicht mit einer „menschlichen“ Zahl aufzuschreiben – Sie brauchen einen Buchstaben. Und dann wird dieser Umfang gleich sein. Und natürlich ist der Umfang des Radius gleich.

Kommen wir zurück zum Bogenmaß.

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein gerader Winkel das Bogenmaß enthält.

Was wir haben:

Das heißt, ich bin froh, das heißt, ich bin froh. Auf die gleiche Weise erhält man eine Platte mit den gängigsten Winkeln.

Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.

Es gibt eine erstaunliche Tatsache:

Der eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.

Schauen Sie, wie diese Aussage auf dem Bild aussieht. Ein „korrespondierender“ Zentralwinkel ist ein Winkel, dessen Enden mit den Enden des eingeschriebenen Winkels zusammenfallen und dessen Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Und gleichzeitig muss der „entsprechende“ Zentralwinkel auf die gleiche Sehne () „blicken“ wie der eingeschriebene Winkel.

Warum ist das so? Schauen wir uns zunächst einen einfachen Fall an. Lassen Sie einen der Akkorde durch die Mitte verlaufen. Das passiert manchmal so, oder?

was geschieht hier? Lassen Sie uns überlegen. Es handelt sich schließlich um gleichschenklige Radien. Also (beschriftete sie).

Schauen wir uns nun an. Dies ist die äußere Ecke für! Wir erinnern uns, dass ein Außenwinkel gleich der Summe zweier Innenwinkel ist, die nicht an ihn angrenzen, und schreiben:

Also! Unerwarteter Effekt. Es gibt aber auch einen zentralen Winkel für das Eingeschriebene.

Das bedeutet, dass sie für diesen Fall bewiesen haben, dass der Zentralwinkel doppelt so groß ist wie der eingeschriebene Winkel. Aber es ist ein schmerzhafter Sonderfall: Stimmt es nicht, dass der Akkord nicht immer direkt durch die Mitte geht? Aber es ist in Ordnung, jetzt wird uns dieser spezielle Fall sehr helfen. Schauen Sie: Zweiter Fall: Lassen Sie die Mitte im Inneren liegen.

Machen wir Folgendes: Zeichnen Sie den Durchmesser. Und dann... sehen wir zwei Bilder, die bereits im ersten Fall analysiert wurden. Deshalb haben wir das bereits

Das bedeutet (in der Zeichnung a)

Damit bleibt der letzte Fall: Die Mitte liegt außerhalb der Ecke.

Wir machen dasselbe: Zeichnen Sie den Durchmesser durch den Punkt. Alles ist gleich, aber statt einer Summe gibt es einen Unterschied.

Das ist alles!

Lassen Sie uns nun zwei wesentliche und sehr wichtige Konsequenzen aus der Aussage ziehen, dass der eingeschriebene Winkel die Hälfte des Zentralwinkels ist.

Folgerung 1

Alle eingeschriebenen Winkel, die auf einem Bogen basieren, sind einander gleich.

Wir veranschaulichen:

Es gibt unzählige eingeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren (wir haben diesen Bogen), sie mögen völlig unterschiedlich aussehen, aber sie haben alle den gleichen zentralen Winkel (), was bedeutet, dass alle diese eingeschriebenen Winkel untereinander gleich sind.

Folgerung 2

Der durch den Durchmesser eingeschlossene Winkel ist ein rechter Winkel.

Schauen Sie: Welcher Winkel ist zentral?

Sicherlich, . Aber er ist gleich! Nun, daher (sowie viele weitere eingeschriebene Winkel, die darauf ruhen) und ist gleich.

Winkel zwischen zwei Akkorden und Sekanten

Was aber, wenn der Winkel, der uns interessiert, NICHT eingeschrieben und NICHT zentral ist, sondern beispielsweise so aussieht:

oder so?

Ist es möglich, es irgendwie durch einige zentrale Winkel auszudrücken? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Schauen Sie: Wir sind interessiert.

a) (als Außenecke für). Aber – beschriftet, ruht auf dem Bogen –. - beschriftet, ruht auf dem Bogen - .

Für Schönheit sagen sie:

Der Winkel zwischen den Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Sie schreiben dies der Kürze halber, aber wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie natürlich die Mittelpunktswinkel berücksichtigen

b) Und jetzt – „draußen“! Wie sein? Ja, fast das Gleiche! Erst jetzt (wieder wenden wir die Eigenschaft des Außenwinkels an). Das ist jetzt.

Und das bedeutet... Lassen Sie uns den Notizen und Formulierungen Schönheit und Kürze verleihen:

Der Winkel zwischen den Sekanten entspricht der Hälfte der Differenz der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Nun verfügen Sie über alle Grundkenntnisse über Winkel im Zusammenhang mit einem Kreis. Machen Sie weiter, nehmen Sie die Herausforderungen an!

KREIS UND INNENWINKEL. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sogar ein fünfjähriges Kind weiß, was ein Kreis ist, oder? Mathematiker haben wie immer eine abstruse Definition zu diesem Thema, aber wir werden sie nicht geben (siehe), sondern uns daran erinnern, wie die mit einem Kreis verbundenen Punkte, Linien und Winkel heißen.

Wichtige Begriffe

Zuerst:

Mittelpunkt des Kreises- ein Punkt, von dem alle Punkte auf dem Kreis den gleichen Abstand haben.

Zweitens:

Es gibt einen anderen akzeptierten Ausdruck: „Der Akkord verengt den Bogen.“ Hier in der Abbildung liegt beispielsweise die Sehne unterhalb des Bogens. Und wenn ein Akkord plötzlich durch die Mitte geht, dann hat er einen besonderen Namen: „Durchmesser“.

Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich,

Und jetzt - die Namen für die Ecken.

Natürlich, nicht wahr? Die Seiten des Winkels erstrecken sich von der Mitte aus – was bedeutet, dass der Winkel zentral ist.

Hier treten manchmal Schwierigkeiten auf. Passt auf - Es ist KEIN Winkel innerhalb eines Kreises eingeschrieben, aber nur einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst „sitzt“.

Schauen wir uns den Unterschied auf den Bildern an:

Anders ausgedrückt:

Hier gibt es einen heiklen Punkt. Was ist der „entsprechende“ oder „eigene“ Zentralwinkel? Nur ein Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises und den Enden an den Enden des Bogens? Auf diese Weise sicher nicht. Schauen Sie sich die Zeichnung an.

Einer davon sieht jedoch nicht einmal wie eine Ecke aus – er ist größer. Aber ein Dreieck kann nicht mehr Winkel haben, ein Kreis aber schon! Also: Der kleinere Bogen AB entspricht einem kleineren Winkel (orange) und der größere Bogen entspricht einem größeren. Einfach so, nicht wahr?

Die Beziehung zwischen den Größen der eingeschriebenen und zentralen Winkel

Denken Sie an diese sehr wichtige Aussage:

In Lehrbüchern schreiben sie die gleiche Tatsache gerne so:

Stimmt es nicht, dass die Formulierung mit einem zentralen Winkel einfacher ist?

Aber lassen Sie uns dennoch eine Entsprechung zwischen den beiden Formulierungen finden und gleichzeitig lernen, in den Zeichnungen den „entsprechenden“ Zentralwinkel und den Bogen zu finden, auf dem der eingeschriebene Winkel „ruht“.

Schauen Sie: Hier ist ein Kreis und ein eingeschriebener Winkel:

Wo ist der „entsprechende“ Mittelpunktswinkel?

Schauen wir noch einmal:

Was ist die Regel?

Aber! In diesem Fall ist es wichtig, dass die beschrifteten und zentralen Winkel von einer Seite auf den Bogen „blicken“. Zum Beispiel:

Seltsamerweise blau! Weil der Bogen lang ist, länger als der halbe Kreis! Lassen Sie sich also nie verwirren!

Welche Konsequenz lässt sich aus der „Halbheit“ des eingeschriebenen Winkels ableiten?

Aber zum Beispiel:

Winkel durch Durchmesser begrenzt

Ist Ihnen schon aufgefallen, dass Mathematiker gerne mit anderen Worten über dasselbe sprechen? Warum brauchen sie das? Sie sehen, die Sprache der Mathematik ist zwar formal, aber lebendig, und daher möchte man sie wie in der gewöhnlichen Sprache jedes Mal auf eine bequemere Weise sagen. Nun, wir haben bereits gesehen, was „ein Winkel ruht auf einem Bogen“ bedeutet. Und stellen Sie sich vor, das gleiche Bild heißt „Ein Winkel ruht auf einer Sehne“. Auf was? Ja, natürlich, zu dem, der diesen Bogen spannt!

Wann ist es bequemer, sich auf einen Akkord als auf einen Bogen zu verlassen?

Nun, insbesondere, wenn dieser Akkord einen Durchmesser hat.

Für eine solche Situation gibt es eine überraschend einfache, schöne und nützliche Aussage!

Schauen Sie: Hier ist der Kreis, der Durchmesser und der Winkel, der darauf ruht.

KREIS UND INNENWINKEL. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Grundkonzepte.

3. Messungen von Bögen und Winkeln.

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dies ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zu seinem Radius ausdrückt.

Der Umfang des Radius ist gleich.

4. Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

Gewinnen Sie Ihre Hand, indem Sie Probleme zu diesem Thema lösen.

Während der Prüfung werden Sie nicht nach Theorie gefragt.

Du wirst brauchen Probleme gegen die Zeit lösen.

Und wenn Sie sie nicht (VIEL!) gelöst haben, machen Sie mit Sicherheit irgendwo einen dummen Fehler oder haben einfach keine Zeit.

Es ist wie im Sport – man muss es viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

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Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, finden Sie andere. Hören Sie einfach nicht bei der Theorie auf.

„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Finden Sie Probleme und lösen Sie sie!

Die Formel zum Ermitteln der Länge eines Kreisbogens ist recht einfach, und sehr oft gibt es bei wichtigen Prüfungen wie dem Einheitlichen Staatsexamen Probleme, die ohne ihre Verwendung nicht gelöst werden können. Es ist auch notwendig, es zu kennen, um international standardisierte Tests wie SAT und andere zu bestehen.

Wie lang ist der Kreisbogen?

Die Formel sieht so aus:

l = πrα / 180°

Was ist jedes Element der Formel:

• π - Zahl Pi (konstanter Wert gleich ≈ 3,14);
• r ist der Radius eines gegebenen Kreises;
• α ist die Größe des Winkels, in dem der Bogen ruht (zentral, nicht eingeschrieben).

Wie Sie sehen, müssen zur Lösung des Problems r und α in der Bedingung vorhanden sein. Ohne diese beiden Größen ist es unmöglich, die Bogenlänge zu ermitteln.

Wie leitet sich diese Formel ab und warum sieht sie so aus?

Alles ist extrem einfach. Viel klarer wird es, wenn man im Nenner 360° einträgt und im Zähler davor eine Zwei hinzufügt. Du kannst auch α Lassen Sie es nicht im Bruch, nehmen Sie es heraus und schreiben Sie es mit dem Multiplikationszeichen. Dies ist durchaus möglich, da dieses Element im Zähler steht. Dann sieht die Gesamtansicht so aus:

l = (2πr / 360°) × α

Der Einfachheit halber haben wir 2 und 360° gekürzt. Und wenn Sie genau hinschauen, können Sie eine sehr bekannte Formel für die Länge des gesamten Kreises erkennen, nämlich – 2πr. Der gesamte Kreis besteht aus 360°, daher teilen wir das resultierende Maß in 360 Teile. Dann multiplizieren wir mit der Zahl α, das heißt, für die Anzahl der „Stücke vom Kuchen“, die wir benötigen. Aber jeder weiß mit Sicherheit, dass eine Zahl (also die Länge des gesamten Kreises) nicht durch einen Grad geteilt werden kann. Was ist in diesem Fall zu tun? Normalerweise verringert sich der Grad in der Regel mit dem Grad des Zentralwinkels, also mit α. Danach bleiben nur noch Zahlen übrig und am Ende erhält man die endgültige Antwort.

Dies kann erklären, warum die Länge des Kreisbogens auf diese Weise ermittelt wird und diese Form hat.

Ein Beispiel für ein Problem mittlerer Komplexität unter Verwendung dieser Formel

Bedingung: Es liegt ein Kreis mit einem Radius von 10 Zentimetern vor. Das Gradmaß eines Mittelpunktswinkels beträgt 90°. Ermitteln Sie die Länge des Kreisbogens, der durch diesen Winkel gebildet wird.

Lösung: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Antwort: l = 5π

Es ist auch möglich, dass anstelle eines Gradmaßes ein Bogenmaß angegeben wird. Sie sollten auf keinen Fall Angst haben, denn dieses Mal ist die Aufgabe viel einfacher geworden. Um ein Bogenmaß in ein Gradmaß umzuwandeln, müssen Sie diese Zahl mit 180° / π multiplizieren. Das bedeutet, dass wir jetzt ersetzen können α folgende Kombination: m × 180° / π. Wobei m der Bogenmaßwert ist. Und dann 180 und die Zahl π werden reduziert und man erhält eine völlig vereinfachte Formel, die wie folgt aussieht:

• m - Bogenmaß des Winkels;
• r ist der Radius eines gegebenen Kreises.