Ungleichheiten online lösen

Vor dem Lösen von Ungleichungen ist es notwendig, gut zu verstehen, wie Gleichungen gelöst werden.

Es spielt keine Rolle, ob die Ungleichung streng () oder nicht streng (≤, ≥) ist, der erste Schritt besteht darin, die Gleichung zu lösen, indem das Ungleichheitszeichen durch Gleichheit (=) ersetzt wird.

Erklären Sie, was es bedeutet, eine Ungleichung zu lösen?

Nach dem Studium der Gleichungen hat der Schüler folgendes Bild im Kopf: Sie müssen solche Werte der Variablen finden, für die beide Teile der Gleichung die gleichen Werte annehmen. Mit anderen Worten, finden Sie alle Punkte, an denen die Gleichheit gilt. Alles ist richtig!

Wenn über Ungleichungen gesprochen wird, meinen sie, die Intervalle (Segmente) zu finden, für die die Ungleichung gilt. Wenn es zwei Variablen in der Ungleichung gibt, dann ist die Lösung nicht mehr Intervalle, sondern einige Bereiche auf der Ebene. Raten Sie, was die Lösung der Ungleichung in drei Variablen sein wird?

Wie löst man Ungleichungen?

Die Methode der Intervalle (auch Intervallmethode genannt) wird als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen angesehen, die darin besteht, alle Intervalle zu bestimmen, innerhalb derer die gegebene Ungleichung erfüllt wird.

Ohne auf die Art der Ungleichung einzugehen, ist es in diesem Fall nicht das Wesentliche, es ist erforderlich, die entsprechende Gleichung zu lösen und ihre Wurzeln zu bestimmen, gefolgt von der Bezeichnung dieser Lösungen auf der numerischen Achse.

Wie schreibt man die Lösung einer Ungleichung richtig?

Wenn Sie die Intervalle zum Lösen der Ungleichung bestimmt haben, müssen Sie die Lösung selbst korrekt aufschreiben. Es gibt eine wichtige Nuance - sind die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten?

Hier ist alles einfach. Wenn die Lösung der Gleichung die ODZ erfüllt und die Ungleichung nicht streng ist, wird die Grenze des Intervalls in die Lösung der Ungleichung einbezogen. Ansonsten nein.

Betrachtet man jedes Intervall, kann die Lösung der Ungleichung das Intervall selbst oder ein halbes Intervall (wenn eine seiner Grenzen die Ungleichung erfüllt) oder ein Segment sein – ein Intervall zusammen mit seinen Grenzen.

Wichtiger Punkt

Denken Sie nicht, dass nur Intervalle, Halbintervalle und Segmente die Lösung für eine Ungleichung sein können. Nein, es können auch einzelne Punkte in die Lösung aufgenommen werden.

Beispielsweise hat die Ungleichung |x|≤0 nur eine Lösung - Punkt 0.

Und die Ungleichung |x|

Wozu dient der Ungleichheitsrechner?

Der Ungleichheitsrechner gibt die richtige endgültige Antwort. Dabei wird in den meisten Fällen eine Darstellung einer numerischen Achse oder Ebene angegeben. Sie können sehen, ob die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten sind oder nicht – die Punkte werden gefüllt oder durchbrochen dargestellt.

Dank des Online-Ungleichheitsrechners können Sie überprüfen, ob Sie die Wurzeln der Gleichung richtig gefunden, auf dem Zahlenstrahl markiert und die Ungleichungsbedingungen an den Intervallen (und Grenzen) überprüft haben?

Wenn Ihre Antwort von der Antwort des Taschenrechners abweicht, müssen Sie Ihre Lösung unbedingt noch einmal überprüfen und den gemachten Fehler identifizieren.

Heute, Freunde, wird es keinen Rotz und keine Sentimentalität geben. Stattdessen schicke ich Sie ohne weitere Fragen in den Kampf mit einem der gewaltigsten Gegner im Algebrakurs der 8. bis 9. Klasse.

Ja, Sie haben alles richtig verstanden: Wir sprechen von Ungleichungen mit Modul. Wir werden uns vier grundlegende Techniken ansehen, mit denen Sie lernen werden, etwa 90 % dieser Probleme zu lösen. Was ist mit den anderen 10 %? Nun, wir werden in einer separaten Lektion darüber sprechen. :)

Bevor ich jedoch irgendwelche Tricks analysiere, möchte ich an zwei Tatsachen erinnern, die Sie bereits wissen müssen. Andernfalls laufen Sie Gefahr, den Stoff der heutigen Lektion überhaupt nicht zu verstehen.

Was Sie bereits wissen müssen

Captain Evidence weist sozusagen darauf hin, dass Sie zwei Dinge wissen müssen, um Ungleichungen mit einem Modul zu lösen:

1. Wie werden Ungleichheiten gelöst?
2. Was ist ein Modul.

Beginnen wir mit dem zweiten Punkt.

Moduldefinition

Hier ist alles einfach. Es gibt zwei Definitionen: algebraisch und graphisch. Beginnen wir mit der Algebra:

Definition. Der Modul der Zahl $x$ ist entweder die Zahl selbst, wenn sie nicht negativ ist, oder die ihr entgegengesetzte Zahl, wenn das ursprüngliche $x$ noch negativ ist.

Es ist so geschrieben:

\[\links| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Der Modul ist vereinfacht gesagt „eine Zahl ohne Minus“. Und in dieser Dualität (irgendwo müssen Sie nichts mit der ursprünglichen Zahl tun, aber irgendwo müssen Sie dort ein Minus entfernen) und all die Schwierigkeiten für Anfänger liegen.

Es gibt auch eine geometrische Definition. Es ist auch nützlich, es zu wissen, aber wir werden uns nur in komplexen und einigen Spezialfällen darauf beziehen, wo der geometrische Ansatz bequemer ist als der algebraische (Spoiler: heute nicht).

Definition. Lassen Sie den Punkt $a$ auf der reellen Linie markieren. Dann das Modul $\left| x-a \right|$ ist der Abstand vom Punkt $x$ zum Punkt $a$ auf dieser Linie.

Wenn Sie ein Bild zeichnen, erhalten Sie so etwas:

Grafische Moduldefinition

Auf die eine oder andere Weise folgt seine Schlüsseleigenschaft sofort aus der Definition des Moduls: Der Modul einer Zahl ist immer ein nicht negativer Wert. Diese Tatsache wird sich heute wie ein roter Faden durch unsere gesamte Geschichte ziehen.

Lösung von Ungleichungen. Abstandsmethode

Lassen Sie uns nun mit Ungleichheiten umgehen. Es gibt sehr viele davon, aber unsere Aufgabe ist es jetzt, zumindest die einfachsten zu lösen. Diejenigen, die auf lineare Ungleichungen reduziert werden, sowie auf die Methode der Intervalle.

Ich habe zwei große Tutorials zu diesem Thema (übrigens sehr, SEHR nützlich - ich empfehle das Studium):

1. Die Intervallmethode für Ungleichungen (insbesondere das Video ansehen);
2. Bruchrationale Ungleichungen ist eine sehr umfangreiche Lektion, aber danach werden Sie überhaupt keine Fragen mehr haben.

Wenn Sie das alles wissen, wenn der Satz "Lass uns von der Ungleichheit zur Gleichung übergehen" Sie nicht vage dazu bringt, sich an der Wand umzubringen, dann sind Sie bereit: Willkommen in der Hölle zum Hauptthema der Lektion. :)

1. Ungleichungen der Form „Baustein kleiner als Funktion“

Dies ist eine der am häufigsten vorkommenden Aufgaben bei Modulen. Es ist erforderlich, eine Ungleichung der Form zu lösen:

\[\links| f\richtig| \ltg\]

Alles kann als Funktionen $f$ und $g$ fungieren, aber normalerweise sind sie Polynome. Beispiele für solche Ungleichheiten:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\rechts| \ltx+7; \\ & \links| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \links| ((x)^(2))-2\links| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle werden buchstäblich in einer Zeile nach dem Schema gelöst:

\[\links| f\richtig| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \richtig richtig)\]

Es ist leicht zu sehen, dass wir den Modul loswerden, aber stattdessen eine doppelte Ungleichung erhalten (oder, was dasselbe ist, ein System von zwei Ungleichungen). Aber dieser Übergang berücksichtigt absolut alle möglichen Probleme: Wenn die Zahl unter dem Modul positiv ist, funktioniert die Methode; wenn negativ, funktioniert es immer noch; und selbst mit der ungeeignetsten Funktion anstelle von $f$ oder $g$ funktioniert die Methode immer noch.

Da stellt sich natürlich die Frage: Geht es nicht einfacher? Leider können Sie nicht. Dies ist der springende Punkt des Moduls.

Aber genug des Philosophierens. Lassen Sie uns ein paar Probleme lösen:

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| 2x+3\rechts| \ltx+7\]

Lösung. Wir haben also eine klassische Ungleichung der Form „der Modul ist kleiner als“ – es gibt sogar nichts zu transformieren. Wir arbeiten nach dem Algorithmus:

\[\begin(align) & \left| f\richtig| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \links| 2x+3\rechts| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Beeilen Sie sich nicht, die Klammern zu öffnen, denen ein „Minus“ vorangestellt ist: Es ist durchaus möglich, dass Sie aufgrund der Eile einen offensiven Fehler machen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Das Problem wurde auf zwei elementare Ungleichungen reduziert. Wir notieren ihre Lösungen auf parallelen reellen Linien:

Schnittmenge von vielen

Die Schnittmenge dieser Mengen wird die Antwort sein.

Antwort: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lösung. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Zunächst isolieren wir den Modul, indem wir den zweiten Term nach rechts verschieben:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts| \lt -3\links(x+1 \rechts)\]

Offensichtlich haben wir wieder eine Ungleichung der Form „der Modul ist kleiner“, also werden wir den Modul nach dem bereits bekannten Algorithmus los:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Jetzt Achtung: Jemand wird sagen, dass ich mit all diesen Klammern ein bisschen pervers bin. Aber noch einmal erinnere ich Sie daran, dass unser wichtigstes Ziel ist Lösen Sie die Ungleichung richtig und erhalten Sie die Antwort. Später, wenn Sie alles, was in dieser Lektion beschrieben wird, perfekt beherrschen, können Sie sich nach Belieben pervertieren: Klammern öffnen, Minuszeichen hinzufügen usw.

Und für den Anfang entfernen wir einfach das doppelte Minus auf der linken Seite:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\links(x+1\rechts)\]

Öffnen wir nun alle Klammern in der doppelten Ungleichung:

Kommen wir zur doppelten Ungleichheit. Diesmal werden die Berechnungen ernster:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rechts ausrichten.\]

Beide Ungleichungen sind quadratisch und werden nach der Intervallmethode gelöst (deshalb sage ich: wer nicht weiß, was das ist, sollte die Module besser noch nicht übernehmen). Wir gehen zur Gleichung in der ersten Ungleichung über:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\links(x+5 \rechts)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen können, war die Ausgabe eine unvollständige quadratische Gleichung, die elementar gelöst wird. Kommen wir nun zur zweiten Ungleichung des Systems. Dort müssen Sie den Satz von Vieta anwenden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \links(x-3 \rechts)\links(x+2 \rechts)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Wir markieren die erhaltenen Zahlen auf zwei parallelen Linien (getrennt für die erste Ungleichung und getrennt für die zweite):

Da wir wiederum ein Ungleichungssystem lösen, interessiert uns der Schnittpunkt der schattierten Mengen: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Ich denke, nach diesen Beispielen ist das Lösungsschema sehr klar:

1. Isolieren Sie den Modul, indem Sie alle anderen Terme auf die gegenüberliegende Seite der Ungleichung verschieben. Damit erhalten wir eine Ungleichung der Form $\left| f\richtig| \ltg$.
2. Lösen Sie diese Ungleichung, indem Sie das Modul wie oben beschrieben entfernen. Irgendwann wird es notwendig sein, von einer doppelten Ungleichung zu einem System von zwei unabhängigen Ausdrücken überzugehen, von denen jeder bereits separat gelöst werden kann.
3. Schließlich bleibt es nur noch, die Lösungen dieser beiden unabhängigen Ausdrücke zu kreuzen - und das war's, wir werden die endgültige Antwort erhalten.

Ein ähnlicher Algorithmus existiert für Ungleichungen des folgenden Typs, wenn der Modul größer als die Funktion ist. Es gibt jedoch ein paar ernste "Aber". Über diese „aber“ sprechen wir jetzt.

2. Ungleichungen der Form „Baustein ist größer als Funktion“

Sie sehen so aus:

\[\links| f\richtig| \gt g\]

Ähnlich wie beim Vorgänger? Sieht aus wie. Trotzdem werden solche Aufgaben ganz anders gelöst. Formal sieht das Schema wie folgt aus:

\[\links| f\richtig| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Mit anderen Worten, wir betrachten zwei Fälle:

1. Zuerst ignorieren wir einfach das Modul - wir lösen die übliche Ungleichung;
2. Dann öffnen wir den Modul tatsächlich mit dem Minuszeichen und multiplizieren dann beide Teile der Ungleichung mit −1, mit einem Vorzeichen.

In diesem Fall werden die Optionen mit einer eckigen Klammer kombiniert, d.h. Wir haben eine Kombination aus zwei Anforderungen.

Nochmals aufgepasst: Vor uns liegt also kein System, sondern ein Aggregat In der Antwort werden die Sätze kombiniert, nicht geschnitten. Dies ist ein grundlegender Unterschied zum vorherigen Absatz!

Im Allgemeinen haben viele Studenten eine Menge Verwirrung mit Gewerkschaften und Schnittmengen, also lassen Sie uns dieses Problem ein für alle Mal untersuchen:

• "∪" ist ein Verkettungszeichen. Tatsächlich ist dies ein stilisierter Buchstabe "U", der aus der englischen Sprache zu uns kam und eine Abkürzung für "Union" ist, d.h. "Verbände".
• "∩" ist das Schnittpunktzeichen. Dieser Mist kam nicht von irgendwoher, sondern erschien nur als Gegensatz zu "∪".

Um es noch einfacher zu merken, fügen Sie diesen Zeichen einfach Beine hinzu, um eine Brille herzustellen (beschuldigen Sie mich jetzt nicht, Drogensucht und Alkoholismus zu fördern: Wenn Sie diese Lektion ernsthaft studieren, dann sind Sie bereits drogenabhängig):

Unterschied zwischen Durchschnitt und Vereinigung von Mengen

Ins Russische übersetzt bedeutet dies Folgendes: Die Vereinigung (Sammlung) enthält Elemente aus beiden Mengen, daher nicht weniger als jede von ihnen; aber die Schnittmenge (System) enthält nur diejenigen Elemente, die sowohl in der ersten als auch in der zweiten Menge sind. Daher ist die Schnittmenge von Mengen niemals größer als die Quellmengen.

Also wurde es klarer? Das ist großartig. Fahren wir mit der Praxis fort.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| 3x+1 \rechts| \gt 5-4x\]

Lösung. Wir handeln nach dem Schema:

\[\links| 3x+1 \rechts| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ rechts.\]

Wir lösen jede Populationsungleichung:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Wir markieren jede resultierende Menge auf dem Zahlenstrahl und kombinieren sie dann:

Vereinigung von Mengen

Offensichtlich lautet die Antwort $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Antwort: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts| \gtx\]

Lösung. Und was? Nein, es ist alles gleich. Wir gehen von einer Ungleichung mit einem Modul zu einer Menge von zwei Ungleichungen über:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Wir lösen jede Ungleichung. Leider werden die Wurzeln dort nicht sehr gut sein:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Bei der zweiten Ungleichung ist auch ein bisschen Spiel drin:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Jetzt müssen wir diese Zahlen auf zwei Achsen markieren – eine Achse für jede Ungleichung. Allerdings müssen Sie die Punkte in der richtigen Reihenfolge markieren: Je größer die Zahl, desto weiter verschiebt sich der Punkt nach rechts.

Und hier warten wir auf ein Setup. Wenn alles klar ist mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (die Terme im Zähler der ersten Bruch sind kleiner als die Glieder im Zähler des zweiten , also ist auch die Summe kleiner), wobei die Zahlen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wird es auch keine Schwierigkeiten geben (eine positive Zahl ist natürlich negativer), aber mit dem letzten Paar ist alles nicht so einfach. Was ist größer: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ oder $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Die Anordnung der Punkte auf den Zahlengeraden und tatsächlich die Antwort hängt von der Antwort auf diese Frage ab.

Also vergleichen wir:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Wir haben die Wurzel isoliert, haben nicht negative Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung, also haben wir das Recht, beide Seiten zu quadrieren:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Ich denke, es ist ein Kinderspiel, dass $4\sqrt(13) \gt 3$, also $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, schließlich werden die Punkte auf den Achsen so angeordnet:

Fall von hässlichen Wurzeln

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir eine Menge lösen, also ist die Antwort die Vereinigung und nicht der Schnittpunkt der schattierten Mengen.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Wie Sie sehen können, funktioniert unser Schema sowohl für einfache als auch für sehr schwierige Aufgaben hervorragend. Der einzige „Schwachpunkt“ bei diesem Ansatz ist, dass Sie irrationale Zahlen richtig vergleichen müssen (und glauben Sie mir: Das sind nicht nur Wurzeln). Aber eine separate (und sehr ernsthafte) Lektion wird Fragen des Vergleichs gewidmet sein. Und wir gehen weiter.

3. Ungleichungen mit nicht-negativen "Schwänzen"

So kamen wir zu den interessantesten. Dies sind Ungleichungen der Form:

\[\links| f\richtig| \gt\links| g\richtig|\]

Im Allgemeinen gilt der Algorithmus, über den wir jetzt sprechen werden, nur für das Modul. Es funktioniert in allen Ungleichungen, bei denen links und rechts garantiert nicht negative Ausdrücke vorhanden sind:

Was tun mit diesen Aufgaben? Denk dran:

Bei Ungleichungen mit nicht-negativen Enden können beide Seiten zu jeder natürlichen Potenz erhoben werden. Es wird keine zusätzlichen Einschränkungen geben.

Zunächst werden wir uns für die Quadrierung interessieren - sie verbrennt Module und Wurzeln:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Verwechseln Sie dies nur nicht mit dem Wurzelziehen aus dem Quadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Unzählige Fehler wurden gemacht, wenn ein Student vergessen hat, ein Modul zu installieren! Aber das ist eine ganz andere Geschichte (das sind sozusagen irrationale Gleichungen), also gehen wir jetzt nicht darauf ein. Lassen Sie uns besser ein paar Probleme lösen:

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| x+2 \rechts|\ge \links| 1-2x \right|\]

Lösung. Zwei Dinge fallen uns sofort auf:

1. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung. Punkte auf dem Zahlenstrahl werden ausgestanzt.
2. Beide Seiten der Ungleichung sind offensichtlich nichtnegativ (dies ist eine Eigenschaft des Moduls: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Daher können wir beide Seiten der Ungleichung quadrieren, um den Modul loszuwerden und das Problem mit der üblichen Intervallmethode zu lösen:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Im letzten Schritt habe ich ein wenig geschummelt: Ich habe die Reihenfolge der Terme geändert, indem ich die Parität des Moduls verwendet habe (tatsächlich habe ich den Ausdruck $1-2x$ mit −1 multipliziert).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ rechts)\rechts)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Wir lösen nach der Intervallmethode. Gehen wir von der Ungleichung zur Gleichung über:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Wir markieren die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl. Noch einmal: Alle Punkte sind schattiert, weil die ursprüngliche Ungleichung nicht streng ist!

Das Modulschild loswerden

Ich erinnere für besonders Hartnäckige daran: Wir nehmen die Vorzeichen von der letzten Ungleichung, die aufgeschrieben wurde, bevor wir zur Gleichung übergehen. Und wir übermalen die benötigten Bereiche in der gleichen Ungleichheit. In unserem Fall ist dies $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Nun, das ist alles. Problem gelöst.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \rechts|\]

Lösung. Wir machen alles gleich. Ich werde nicht kommentieren - schauen Sie sich nur die Abfolge der Aktionen an.

Lassen Sie uns quadrieren:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \rechts))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ rechts))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Abstandsmethode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rechtspfeil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Auf dem Zahlenstrahl gibt es nur eine Wurzel:

Die Antwort ist eine ganze Reihe

Antwort: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Eine kleine Anmerkung zur letzten Aufgabe. Wie einer meiner Studenten treffend bemerkte, sind beide Untermodulausdrücke in dieser Ungleichung offensichtlich positiv, sodass das Modulzeichen ohne gesundheitliche Schäden weggelassen werden kann.

Dies ist jedoch bereits eine völlig andere Denkebene und ein anderer Ansatz - es kann bedingt als Methode der Konsequenzen bezeichnet werden. Über ihn - in einer separaten Lektion. Und jetzt gehen wir zum letzten Teil der heutigen Lektion über und betrachten einen universellen Algorithmus, der immer funktioniert. Auch wenn alle bisherigen Ansätze machtlos waren. :)

4. Methode der Aufzählung von Optionen

Was, wenn all diese Tricks nicht funktionieren? Wenn sich die Ungleichheit nicht auf nicht-negative Schwänze reduziert, wenn es unmöglich ist, das Modul zu isolieren, wenn überhaupt Schmerz-Traurigkeit-Sehnsucht?

Dann tritt die „schwere Artillerie“ aller Mathematik in Erscheinung – die Aufzählungsmethode. Bezüglich Ungleichungen mit dem Modul sieht das so aus:

1. Schreiben Sie alle Submodulausdrücke aus und setzen Sie sie mit Null gleich;
2. Lösen Sie die resultierenden Gleichungen und markieren Sie die gefundenen Wurzeln auf einem Zahlenstrahl;
3. Die Gerade wird in mehrere Abschnitte unterteilt, innerhalb derer jedes Modul ein festes Vorzeichen hat und sich somit eindeutig ausdehnt;
4. Lösen Sie die Ungleichung in jedem dieser Abschnitte (Sie können die in Absatz 2 erhaltenen Grenzwurzeln separat betrachten - für die Zuverlässigkeit). Kombiniere die Ergebnisse - das wird die Antwort sein. :)

Und wie? Schwach? Leicht! Nur für lange Zeit. Mal sehen in der Praxis:

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| x+2 \rechts| \lt\links| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösung. Dieser Mist läuft nicht auf Ungleichungen wie $\left| hinaus f\richtig| \lt g$, $\links| f\richtig| \gt g$ oder $\left| f\richtig| \lt\links| g \right|$, also machen wir weiter.

Wir schreiben Submodulausdrücke, setzen sie mit Null gleich und finden die Wurzeln:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rechtspfeil x=1. \\\end(align)\]

Insgesamt haben wir zwei Wurzeln, die den Zahlenstrahl in drei Abschnitte unterteilen, in denen sich jedes Modul eindeutig offenbart:

Aufteilung des Zahlenstrahls durch Nullen von submodularen Funktionen

Betrachten wir jeden Abschnitt einzeln.

1. Sei $x \lt -2$. Dann sind beide Submodulausdrücke negativ, und die ursprüngliche Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Wir haben eine ziemlich einfache Einschränkung. Lassen Sie es uns mit der ursprünglichen Annahme überschneiden, dass $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Offensichtlich kann die Variable $x$ nicht gleichzeitig kleiner als −2, aber größer als 1,5 sein. In diesem Bereich gibt es keine Lösungen.

1.1. Betrachten wir den Grenzfall separat: $x=-2$. Lassen Sie uns einfach diese Zahl in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen und prüfen: gilt sie?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \links| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rechtspfeil \varnothing . \\\end(align)\]

Offensichtlich hat uns die Rechenkette auf die falsche Ungleichung geführt. Daher ist auch die ursprüngliche Ungleichung falsch, und $x=-2$ ist nicht in der Antwort enthalten.

2. Nun sei $-2 \lt x \lt 1$. Das linke Modul öffnet sich bereits mit einem „Plus“, das rechte noch mit einem „Minus“. Wir haben:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Wieder treffen wir auf die ursprüngliche Anforderung:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Und wieder die leere Lösungsmenge, da es keine Zahlen gibt, die sowohl kleiner als −2,5 als auch größer als −2 sind.

2.1. Und wieder ein Sonderfall: $x=1$. Wir setzen in die ursprüngliche Ungleichung ein:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \links| 3\richtig| \lt\links| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Ähnlich wie beim vorigen "Sonderfall" ist die Zahl $x=1$ eindeutig nicht in der Antwort enthalten.

3. Das letzte Stück der Zeile: $x \gt 1$. Hier werden alle Module mit einem Pluszeichen erweitert:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Und wieder schneiden wir die gefundene Menge mit der ursprünglichen Einschränkung:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \rechts)\]

Na endlich! Wir haben das Intervall gefunden, das die Antwort sein wird.

Antwort: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Zum Schluss noch eine Anmerkung, die Sie vor dummen Fehlern beim Lösen echter Probleme bewahren kann:

Lösungen von Ungleichungen mit Moduln sind normalerweise kontinuierliche Mengen auf dem Zahlenstrahl - Intervalle und Segmente. Isolierte Punkte sind viel seltener. Und noch seltener kommt es vor, dass die Grenzen der Lösung (das Ende des Segments) mit der Grenze des betrachteten Bereichs zusammenfallen.

Wenn folglich die Grenzen (dieselben „Sonderfälle“) nicht in der Antwort enthalten sind, werden die Bereiche links-rechts dieser Grenzen mit ziemlicher Sicherheit auch nicht in der Antwort enthalten sein. Und umgekehrt: Die als Antwort eingegebene Grenze, was bedeutet, dass einige Bereiche darum herum auch Antworten sein werden.

Denken Sie daran, wenn Sie Ihre Lösungen überprüfen.

Lineare Ungleichungen werden aufgerufen der linke und der rechte Teil davon sind lineare Funktionen in Bezug auf den unbekannten Wert. Dazu gehören zum Beispiel die Ungleichungen:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Strikte Ungleichungen: ax+b>0 oder ax+b<0

2) Nicht strenge Ungleichungen: ax+b≤0 oder ax+b≫ 0

Nehmen wir diese Aufgabe an. Eine Seite eines Parallelogramms ist 7 cm lang. Wie lang muss die andere Seite sein, damit der Umfang des Parallelogramms größer als 44 cm ist?

Lassen Sie die gewünschte Seite sein x cm. In diesem Fall wird der Umfang des Parallelogramms durch (14 + 2x) cm dargestellt. Die Ungleichung 14 + 2x > 44 ist ein mathematisches Modell des Parallelogramm-Umfangsproblems. Wenn wir in dieser Ungleichung die Variable ersetzen x zum Beispiel die Zahl 16, dann erhalten wir die richtige numerische Ungleichung 14 + 32\u003e 44. In diesem Fall sagen wir, dass die Zahl 16 die Lösung der Ungleichung 14 + 2x\u003e 44 ist.

Ungleichheitslösung Nennen Sie den Wert der Variablen, der daraus eine echte numerische Ungleichung macht.

Daher ist jede der Zahlen 15.1; 20;73 fungieren als Lösung der Ungleichung 14 + 2x > 44, und die Zahl 10 beispielsweise ist nicht ihre Lösung.

Löse die Ungleichung bedeutet, alle seine Lösungen aufzustellen oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.

Die Formulierung der Lösung der Ungleichung ist ähnlich der Formulierung der Wurzel der Gleichung. Und doch ist es nicht üblich, die „Wurzel der Ungleichheit“ zu benennen.

Die Eigenschaften numerischer Gleichungen halfen uns, Gleichungen zu lösen. In ähnlicher Weise helfen Eigenschaften numerischer Ungleichungen beim Lösen von Ungleichungen.

Beim Lösen der Gleichung ändern wir sie in eine andere, einfachere Gleichung, die aber der gegebenen entspricht. Auf ähnliche Weise wird die Antwort für Ungleichheiten gefunden. Wenn sie die Gleichung in eine ihr äquivalente Gleichung umwandeln, verwenden sie den Satz über die Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung in den anderen und über die Multiplikation beider Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null. Beim Lösen einer Ungleichung gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen ihr und einer Gleichung, der darin besteht, dass jede Lösung einer Gleichung überprüft werden kann, indem man sie einfach in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Bei Ungleichungen gibt es kein solches Verfahren, da es nicht möglich ist, unendlich viele Lösungen in die ursprüngliche Ungleichung einzusetzen. Daher gibt es ein wichtiges Konzept, diese Pfeile<=>ist das Zeichen für äquivalente oder äquivalente Transformationen. Die Transformation wird aufgerufen gleichwertig oder gleichwertig wenn sie den Entscheidungssatz nicht ändern.

Ähnliche Regeln zum Lösen von Ungleichungen.

Wenn ein Term von einem Teil der Ungleichung zu einem anderen verschoben wird, während sein Vorzeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird, dann erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen entspricht.

Wenn beide Teile der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert (dividiert) werden, dann erhalten wir eine der gegebenen äquivalente Ungleichung.

Wenn beide Teile der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert (dividiert) werden, während das Ungleichheitszeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird, erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen entspricht.

Verwenden Sie diese Vorschriften wir berechnen die folgenden Ungleichungen.

1) Lassen Sie uns die Ungleichheit analysieren 2x - 5 > 9.

Das lineare Ungleichheit, finden Sie seine Lösung und diskutieren Sie die grundlegenden Konzepte.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 wurde mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf die linke Seite verschoben), dann haben wir alles durch 2 geteilt und wir haben x > 7. Wir wenden eine Reihe von Lösungen auf die Achse an x

Wir haben einen positiv gerichteten Strahl erhalten. Wir notieren die Menge der Lösungen entweder in Form der Ungleichung x > 7, oder als Intervall x(7; ∞). Und was ist eine bestimmte Lösung für diese Ungleichung? Zum Beispiel, x=10 ist eine spezielle Lösung für diese Ungleichung, x=12 ist auch eine spezielle Lösung dieser Ungleichung.

Es gibt viele Einzellösungen, aber unsere Aufgabe ist es, alle Lösungen zu finden. Und die Lösungen sind normalerweise unendlich.

Lassen Sie uns analysieren Beispiel 2:

2) Lösen Sie die Ungleichung 4a - 11 > a + 13.

Lösen wir es: aber auf eine Seite bewegen 11 Bewegen Sie sich auf die andere Seite, wir erhalten 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 Ungleichheit hat die Form ein<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>ein< 8 .

Wir werden auch das Set zeigen ein< 8 , aber schon auf der Achse aber.

Die Antwort wird entweder als Ungleichung a geschrieben< 8, либо aber(-∞;8), 8 schaltet sich nicht ein.

Ungleichheit ist ein Ausdruck mit, ≤ oder ≥. Zum Beispiel 3x - 5 Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle Werte der Variablen zu finden, für die diese Ungleichung gilt. Jede dieser Zahlen ist eine Lösung der Ungleichung, und die Menge aller solcher Lösungen ist ihre viele Lösungen. Ungleichungen, die dieselbe Menge von Lösungen haben, werden aufgerufen gleichwertige Ungleichungen.

Lineare Ungleichungen

Die Prinzipien zum Lösen von Ungleichungen ähneln den Prinzipien zum Lösen von Gleichungen.

Prinzipien zur Lösung von Ungleichungen
Für beliebige reelle Zahlen a, b und c gilt:
Das Prinzip der Addition von Ungleichungen: Wenn ein Multiplikationsprinzip für Ungleichungen: Wenn a 0 wahr ist, dann ac Wenn auch bc wahr ist.
Ähnliche Aussagen gelten auch für a ≤ b.

Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert werden, muss das Vorzeichen der Ungleichung umgekehrt werden.
Ungleichungen der ersten Ebene, wie in Beispiel 1 (unten), werden aufgerufen Lineare Ungleichungen.

Beispiel 1 Lösen Sie jede der folgenden Ungleichungen. Zeichnen Sie dann eine Reihe von Lösungen.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Lösung
Jede Zahl kleiner als 11/5 ist eine Lösung.
Die Lösungsmenge ist (x|x
Zur Überprüfung können wir y 1 = 3x - 5 und y 2 = 6 - 2x darstellen. Dann ist hier ersichtlich, dass für x
Die Lösungsmenge ist (x|x ≤ 1) oder (-∞, 1). Der Graph der Lösungsmenge ist unten dargestellt.

Doppelte Ungleichheiten

Wenn zwei Ungleichungen durch ein Wort verbunden werden Und, oder, dann wird es gebildet Doppelte Ungleichheit. Doppelte Ungleichheit wie
-3 Und 2x + 5 ≤ 7
namens in Verbindung gebracht weil es verwendet Und. Rekord -3 Doppelte Ungleichungen können mit den Prinzipien der Addition und Multiplikation von Ungleichungen gelöst werden.

Beispiel 2-3 lösen Lösung Wir haben

Menge von Lösungen (x|x ≤ -1 oder x > 3). Wir können die Lösung auch mit der Abstandsnotation und dem Symbol für schreiben Vereine oder Einschlüsse beider Mengen: (-∞ -1] (3, ∞). Der Graph der Lösungsmenge ist unten dargestellt.

Zeichnen Sie zum Testen y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 und y 3 = 1. Beachten Sie, dass für (x|x ≤ -1 oder x > 3), y 1 ≤ y 2 oder y 1 > y 3 .

Ungleichungen mit Betrag (Modul)

Ungleichungen enthalten manchmal Module. Die folgenden Eigenschaften werden verwendet, um sie zu lösen.
Für a > 0 und einen algebraischen Ausdruck x:
|x| |x| > a ist äquivalent zu x oder x > a.
Ähnliche Aussagen für |x| ≤ a und |x| ≥ ein.

Zum Beispiel,
|x| |y| ≥ 1 entspricht y ≤ -1 oder y ≥ 1;
und |2x + 3| ≤ 4 entspricht -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Beispiel 4 Lösen Sie jede der folgenden Ungleichungen. Zeichnen Sie die Menge der Lösungen.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Lösung
a) |3x + 2|

Die Lösungsmenge ist (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Die Lösungsmenge ist (x|x ≤ 2 oder x ≥ 3), oder (-∞, 2] )