Nichtlineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
Definition 1. Lass A etwas sein Menge von Zahlenpaaren (X; j). Man sagt, dass die Menge A gegeben ist numerische Funktion z aus zwei Variablen
x und y , wenn eine Regel angegeben wird, mit deren Hilfe jedes Zahlenpaar aus Menge A einer bestimmten Zahl zugeordnet wird. Die Angabe einer numerischen Funktion z zweier Variablen x und y erfolgt häufig bezeichnen
Also: Wo (X , j) F
Wo (X , j) = – jede Funktion außer einer Funktion ,
Axt+durch+c
wobei a, b, c gegebene Zahlen sind. Definition 3. Gleichung (2) lösen X; j Rufen Sie ein Nummernpaar an (
) , für die Formel (2) eine echte Gleichheit ist.
Beispiel 1. Löse die Gleichung
Da das Quadrat jeder Zahl nicht negativ ist, folgt aus Formel (4), dass die Unbekannten x und y das Gleichungssystem erfüllen
Die Lösung ist ein Zahlenpaar (6; 3).
Antwort: (6; 3)
Beispiel 2. Löse die Gleichung Daher lautet die Lösung für Gleichung (6). unendlich viele Zahlenpaare
(1 + j ; j) ,
Typ
wobei y eine beliebige Zahl ist.
linear Definition 4.
Ein Gleichungssystem lösen X; j Rufen Sie ein Nummernpaar an (
) , wenn man sie in jede der Gleichungen dieses Systems einsetzt, erhält man die richtige Gleichheit.
Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine linear ist, haben die Form(X , j)
G
Beispiel 4. Gleichungssystem lösen
Lösung . Drücken wir die Unbekannte y aus der ersten Gleichung des Systems (7) durch die Unbekannte x aus und setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems ein:
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Lösung der Gleichung
j 1 = 8 - X 1 = 9 ,
j 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Somit,
Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist
Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist, haben die Form Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine linear ist, haben die Form(X , j) wobei a, b, c gegebene Zahlen sind und
– Funktion zweier Variablen x und y.
Beispiel 6. Gleichungssystem lösen
3X 2 + 2Lösung . Lösen wir die homogene Gleichung - j 2 = 0 ,
3X 2 + 17Lösung . Lösen wir die homogene Gleichung + 10j 2 = 0 ,
xy
.
Behandeln Sie es als quadratische Gleichung in Bezug auf die Unbekannte x: X = - 5j Falls
5j 2 = - 20 ,
, aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung
das keine Wurzeln hat.
Falls
,
Aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung j 1 = 3 , j 2 = - 3 . deren Wurzeln Zahlen sind
Wenn wir für jeden dieser Werte y den entsprechenden Wert x finden, erhalten wir zwei Lösungen des Systems: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Antwort: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Beispiele für die Lösung von Gleichungssystemen anderer Art
Beispiel 8. Ein Gleichungssystem lösen (MIPT)
Um System (12) in Bezug auf neue Unbekannte umzuschreiben, drücken wir zunächst die Unbekannten x und y durch u und v aus. Aus System (13) folgt das
Lösen wir das lineare System (14), indem wir die Variable x aus der zweiten Gleichung dieses Systems eliminieren.
Zu diesem Zweck führen wir die folgenden Transformationen auf System (14) durch.
Aufgabe 12. In ganzen Zahlen lösen.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Lösung. Wenn Sie versuchen, diese Gleichung mit der Faktorisierungsmethode zu lösen, ist dies eine recht arbeitsintensive Arbeit, sodass diese Gleichung mit einer eleganteren Methode gelöst werden kann. Betrachten Sie die Gleichung als Quadrat relativ Ö x 5x²+(8y-2+2=0 , )x+5y²+2y √ x1,2 = (1 – 4y ±√(1 – 4y)² - 5(5y² + 2y + 2))/5 = (1 – 4y ±
-9(y + 1)²)/5. Diese Gleichung hat eine Lösung, wenn die Diskriminante gleich Null ist, d. h.–9(y + 1) = 0 , von hier y = -1 . Wenn y = -1 , Das.
x =1
Antwort.
Aufgabe 12. Aufgabe 13.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
3(x² + xy + y²)= x + 8y Betrachten Sie die Gleichung als quadratisch bezüglich x 3x² + (3y - 1)x + 3y² - 8y = 0. Finden wir die Diskriminante der Gleichung
D = =(3y – 1) ² - 4 * 3(3y² - 8y) = 9y² - 6y + 1 – 36y² + 96y = -27y² + 90y + 1. Gegeben Gleichung Bildung hat Wurzeln,Wenn D³ 0 , d.h.
–27µ² + 90µ + 1³ 0(4)
(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 -√2052)/ (-27) Als y О Z 0, 1, 2, 3 , dann ist nur Bedingung (4) erfüllt (0; 0) . Wenn wir diese Werte durchgehen, stellen wir fest, dass die Gleichung in ganzen Zahlen Lösungen hat (1; 1) .
x =1
(0; 0) , (1; 1) .
Und
Aufgabe 14. Löse die Gleichung
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
5x² - 2xy + 2y² - 2x – 2y + 1= 0. Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich X mit Koeffizienten abhängig von
y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² – 2y + 1= 0. Finden wir ein Viertel der Diskriminante.
D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² Daraus folgt, dass die Gleichung nur dann eine Lösung hat, wenn-(3у – 2)² = 0 , das impliziert y = ⅔, dann finden wir
x =1
(⅓; ⅔).
x = ⅓.
Rückstandsmethode.
Aufgabe 12. Aufgabe 15.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
3ª = 1 + y² (0; 0) Es ist klar, dass
– Lösung dieser Gleichung. Lassen Sie uns beweisen, dass es keine anderen Lösungen gibt.
1) Betrachten wir die Fälle:(5)
x О N, y О N Wenn y = -1 x О N 3ª 3 geteilt durch spurlos und y² + 1 3 wenn geteilt durch 1 gibt den Rest entweder 2 , oder Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich. Wenn wir diese Werte durchgehen, stellen wir fest, dass die Gleichung in ganzen Zahlen Lösungen hat . Folglich Gleichheit (5) für natürliche Werte bei
unmöglich. Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich 2)Wenn – negative ganze Zahl, y О Z, 0<3ª<1, Dann A 1+y²³0
x =1
und Gleichheit (5) ist ebenfalls unmöglich. Daher ist (0; 0) die einzige Lösung. .
Aufgabe 16
ì Beweisen Sie, dass das Gleichungssystem
î x² - y² = 7
z² - 2y² = 1
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
hat keine Lösungen in ganzen Zahlen. Nehmen wir an, dass das System aktiviert ist. Aus der zweiten Gleichung z²=2у+1, d.h. z²– ungerade Zahl und z -ungerade Mittel z=2m+1 . Dann y²+2m²+2m , Bedeutet, y² - gerade Zahl bei - sogar,
y = 2n, n О Z. x²=8n³+7, d.h. x² - ungerade Zahl und X - ungerade Zahl,
Ersetzen wir die Werte Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich Und . Folglich Gleichheit (5) für natürliche Werte in die erste Gleichung erhalten wir 2(k² + k - 2n³) = 3, was unmöglich ist, da die linke Seite durch teilbar ist 2 , aber der Richtige nicht.
Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist, d.h. Das System hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Methode des unendlichen Abstiegs.
Die Lösung von Gleichungen mit der Methode des unendlichen Abstiegs verläuft nach folgendem Schema: Unter der Annahme, dass die Gleichung Lösungen hat, konstruieren wir einen unendlichen Prozess, während dieser Prozess aufgrund der eigentlichen Bedeutung des Problems an etwas enden sollte.
Oft wird die Methode des unendlichen Abstiegs in einer einfacheren Form verwendet. Wenn wir davon ausgehen, dass wir das natürliche Ende bereits erreicht haben, sehen wir, dass wir nicht „aufhören“ können.
Aufgabe 17.
In ganzen Zahlen lösen 29x + 13y + 56z = 17 (6)
Lassen Sie uns die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten in Bezug auf die verbleibenden Unbekannten ausdrücken.
y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)
Bezeichnen wir (4-3x-4z)/13 = t1(8)
Aus (7) folgt das t1 kann nur ganzzahlige Werte annehmen. Aus (8) haben wir 13t1 + 3x + 4z = 14(9)
Wir erhalten eine neue diophantische Gleichung, jedoch mit kleineren Koeffizienten als in (6). Wenden wir die gleichen Überlegungen auf (9) an: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2 , t2- ganz, 3t2+t1+z = 1(10)
In (10) ist der Koeffizient bei ungerade Zahl und– die Unbekannte der ursprünglichen Gleichung ist gleich 1 - Dies ist der Endpunkt des „Abstiegs“. Jetzt drücken wir konsequent aus ungerade Zahl und, X, j durch t1. Wenn wir diese Werte durchgehen, stellen wir fest, dass die Gleichung in ganzen Zahlen Lösungen hat t2.
ì z = -t1 – 3t2 + 1
í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2
î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3
Also, ì x = -3t1 + 4t2
í y = 11t1 + 4t2 - 3
î z = -t1 – 3t2 + 1
t1, t2- beliebige ganze Zahlen – alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung (6)
Aufgabe 18.
In ganzen Zahlen lösen x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Es ist ersichtlich, dass die linke Seite der Gleichung (11) keiner Transformation zugänglich ist. Erforschen Sie daher den Charakter ganzer Zahlen x³=3(y³-z³). Nummer x³ mehrere 3 , was die Zahl bedeutet Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich mehrere 3 D³ 0 x = 3x1(12) Ersetzen wir (12) durch (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)
y³=3(3x1³-z³). Dann y³ mehrere 3 , was bedeutet . Folglich Gleichheit (5) für natürliche Werte mehrere 3 D³ 0 y=3y1(14). Ersetzen wir (14) durch (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0. Aus dieser Gleichung folgt das z³ mehrere 3, und deshalb ungerade Zahl und mehrere 3 , d.h. z=3z1.
Es stellte sich also heraus, dass die Zahlen, die Gleichung (11) erfüllen, Vielfache von drei sind, und zwar unabhängig davon, wie oft wir sie dividieren 3 erhalten wir Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind. Die einzige ganze Zahl, die drei erfüllt. Die einzige ganze Zahl, die diese Bedingung erfüllt, ist Null, also die Lösung dieser Gleichung (0; 0; 0)
Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.
Unsichere Gleichungen sind Gleichungen, die mehr als eine Unbekannte enthalten. Unter einer Lösung einer unbestimmten Gleichung verstehen wir eine Menge von Werten der Unbekannten, die die gegebene Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.
Eine Gleichung der Form in ganzen Zahlen lösen ah + von = C , Wo A, B , C - Ganzzahlen ungleich Null stellen wir eine Reihe theoretischer Bestimmungen vor, die es uns ermöglichen, eine Entscheidungsregel aufzustellen. Diese Bestimmungen basieren auch auf bereits bekannten Tatsachen der Teilbarkeitstheorie.
Satz 1.Wenn gcd (A, B ) = D , dann gibt es solche ganzen Zahlen Betrachten Sie diese Gleichung als quadratisch bezüglich Und . Folglich Gleichheit (5) für natürliche Werte, dass die Gleichheit gilt ah + B y = D . (Diese Gleichheit wird als Linearkombination oder lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen durch die Zahlen selbst bezeichnet.)
Der Beweis des Satzes basiert auf der Verwendung der Gleichheit des euklidischen Algorithmus, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden (der größte gemeinsame Teiler wird in Form von Teilquotienten und Resten ausgedrückt, beginnend mit der letzten Gleichheit im euklidischen Algorithmus).
Beispiel.
Finden Sie die lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen 1232 und 1672.
Lösung.
1. Erstellen wir die Gleichungen des euklidischen Algorithmus:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, d.h. (1672,352) = 88.
2) Lassen Sie uns 88 sequentiell durch unvollständige Quotienten und Reste ausdrücken, indem wir die oben erhaltenen Gleichungen verwenden, beginnend am Ende:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, d.h. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Satz 2. Wenn die Gleichung ah + B y = 1 , wenn gcd (A, B ) = 1 , es reicht aus, sich die Zahl vorzustellen 1 als lineare Kombination der Zahlen a und B.
Die Gültigkeit dieses Theorems folgt aus Theorem 1. Also, um eine einzelne ganzzahlige Lösung der Gleichung zu finden ah + B y = 1, wenn ggT (a, b) = 1, reicht es aus, die Zahl 1 als lineare Zahlenkombination darzustellen A Und V .
Beispiel.
Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 15x + 37y = 1.
Lösung.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Satz 3. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 . Wenn wir diese Werte durchgehen, stellen wir fest, dass die Gleichung in ganzen Zahlen Lösungen hat Mit nicht teilbar durch D , dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
Um den Satz zu beweisen, genügt es, das Gegenteil anzunehmen.
Beispiel.
Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 16x - 34y = 7.
Lösung.
(16.34)=2; 7 ist nicht durch 2 teilbar, die Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen
Satz 4. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 und c D , Dann ist es
Beim Beweis des Satzes sollte gezeigt werden, dass eine beliebige ganzzahlige Lösung der ersten Gleichung auch eine Lösung der zweiten Gleichung ist und umgekehrt.
Satz 5. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:
T – jede ganze Zahl.
Beim Beweis des Satzes soll erstens gezeigt werden, dass die obigen Formeln tatsächlich Lösungen dieser Gleichung liefern und zweitens, dass in den obigen Formeln eine beliebige ganzzahlige Lösung dieser Gleichung enthalten ist.
Die obigen Theoreme ermöglichen es uns, die folgende Regel zum Lösen der Gleichung in ganzen Zahlen aufzustellen ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:
1) Es wird eine ganzzahlige Lösung der Gleichung gefunden ah + B y = 1 indem man 1 als lineare Zahlenkombination darstellt A UndB (Es gibt andere Möglichkeiten, ganzzahlige Lösungen für diese Gleichung zu finden, beispielsweise mithilfe von Kettenbrüchen);
Eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen des GegebenenGeben T Bei bestimmten ganzzahligen Werten können Sie Teillösungen dieser Gleichung erhalten: den kleinsten Absolutwert, den kleinsten positiven Wert (wenn möglich) usw.
Beispiel.
Finden Sie ganzzahlige Lösungen der Gleichung 407x - 2816y = 33.
Lösung.
1. Wir vereinfachen diese Gleichung und bringen sie auf die Form 37x - 256y = 3.
2. Lösen Sie die Gleichung 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Gesamtansicht aller ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung:
x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,
y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.
Die Methode der erschöpfenden Aufzählung aller möglichen Werte von Variablen,
in die Gleichung einbezogen.
Finden Sie die Menge aller Paare natürlicher Zahlen, die Lösungen der Gleichung 49x + 51y = 602 sind.
Lösung:
Drücken wir die Variable x aus der Gleichung durch y x = aus, da x und y natürliche Zahlen sind, dann x =602 - 51µ ≥ 49, 51µ≤553, 1≤µ≤10.
Eine vollständige Suche nach Optionen zeigt, dass die natürlichen Lösungen der Gleichung x=5, y=7 sind.
Antwort: (5;7).
Gleichungen mit der Faktorisierungsmethode lösen.
Diophantus betrachtete neben linearen Gleichungen auch quadratische und kubische unbestimmte Gleichungen. Sie zu lösen ist meist schwierig.
Betrachten wir einen Fall, in dem die Differenzquadratformel oder eine andere Faktorisierungsmethode in den Gleichungen verwendet werden kann.
Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 23 = y 2
Lösung:
Schreiben wir die Gleichung in der Form um: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Da x und y ganze Zahlen sind und 23 eine Primzahl ist, sind folgende Fälle möglich:
Wenn wir die resultierenden Systeme lösen, finden wir:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Eine Variable durch eine andere ausdrücken und den ganzen Teil des Bruchs isolieren.
Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Lösung:
Lassen Sie uns y durch x anhand dieser Gleichung ausdrücken:
y(x - 1) =2 - x 2,
Im Mathematikkurs der 7. Klasse begegnen wir zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Aus diesem Grund geraten eine ganze Reihe von Problemen außer Sicht, bei denen bestimmte Bedingungen an die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl Probleme dieser Art immer häufiger in den Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und in Aufnahmeprüfungen zu finden sind.
Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?
So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen in zwei Variablen.
Betrachten Sie die Gleichung 2x – y = 1. Sie wird wahr, wenn x = 2 und y = 3, sodass dieses Variablenwertpaar eine Lösung der betreffenden Gleichung ist.
Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen eine Menge geordneter Paare (x; y), Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandeln.
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:
A) habe eine Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 eine eindeutige Lösung (0; 0);
B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;
G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe gleich 3 ist. Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann in der Form (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist Nummer.
Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Isolierung eines vollständigen Quadrats, der Verwendung der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung, begrenzten Ausdrücken und Schätzmethoden basieren. Die Gleichung wird normalerweise in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Finden der Unbekannten abgeleitet werden kann.
Faktorisierung
Beispiel 1.
Lösen Sie die Gleichung: xy – 2 = 2x – y.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Wir gruppieren die Begriffe zum Zweck der Faktorisierung:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Aus jeder Klammer entnehmen wir einen gemeinsamen Faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Wir haben:
y = 2, x – jede reelle Zahl oder x = -1, y – jede reelle Zahl.
Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.
Gleichheit nicht negativer Zahlen mit Null
Beispiel 2.
Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Gruppierung:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Jetzt kann jede Klammer mithilfe der quadrierten Differenzformel gefaltet werden.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x – 2 = 0 und 2y – 3 = 0.
Das bedeutet x = 2/3 und y = 3/2.
Antwort: (2/3; 3/2).
Schätzmethode
Beispiel 3.
Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
In jeder Klammer wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lassen Sie uns schätzen 
die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:
(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y – 2) 2 + 2 = 2, was x = -1, y = 2 bedeutet.
Antwort: (-1; 2).
Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Diese Methode besteht darin, die Gleichung als zu behandeln Quadrat in Bezug auf eine Variable.
Beispiel 4.
Lösen Sie die Gleichung: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung für x. Finden wir die Diskriminante:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, also wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.
Antwort: (3; 4).
Sie geben oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten an Einschränkungen für Variablen.
Beispiel 5.
Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Schreiben wir die Gleichung in der Form x 2 = -5y 2 + 20x + 2 um. Die rechte Seite der resultierenden Gleichung ergibt bei Division durch 5 einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat von a Eine Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Daher ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.
Antwort: keine Wurzeln.
Beispiel 6.
Lösen Sie die Gleichung: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Lassen Sie uns die vollständigen Quadrate in jeder Klammer hervorheben:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, vorausgesetzt |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.
Antwort: (2; -3) und (-2; -3).
Beispiel 7.
Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x;y), die die Gleichung erfüllen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Bitte geben Sie in Ihrer Antwort den kleinsten Betrag an.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Wählen wir vollständige Quadrate aus:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Wir erhalten die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen gleich 37, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:
(x – y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.
Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Antwort: -17.
Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten haben, Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Mit ein wenig Übung können Sie mit jeder Gleichung umgehen.
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Vom Waldrand führen viele Wege ins Dickicht. Sie sind gewunden, sie konvergieren, divergieren wieder und kreuzen sich wieder. Während des Spaziergangs kann man die Fülle dieser Wege nur bemerken, einige davon entlang gehen und ihre Richtung bis in die Tiefen des Waldes verfolgen. Um den Wald ernsthaft zu studieren, müssen Sie den Pfaden folgen, bis sie zwischen den trockenen Kiefernnadeln und Büschen überhaupt sichtbar sind.
Deshalb wollte ich ein Projekt schreiben, das als Beschreibung eines der möglichen Spaziergänge entlang der Grenzen der modernen Mathematik betrachtet werden kann.
Die Welt um uns herum, die Bedürfnisse der Volkswirtschaft und oft auch alltägliche Sorgen stellen den Menschen vor immer neue Aufgaben, deren Lösung nicht immer offensichtlich ist. Manchmal gibt es auf eine bestimmte Frage viele mögliche Antworten, was die Lösung der Probleme erschwert. Wie wählt man die richtige und optimale Option?
Die Lösung unbestimmter Gleichungen steht in direktem Zusammenhang mit diesem Problem. Solche Gleichungen, die zwei oder mehr Variablen enthalten und für die es notwendig ist, alle ganzzahligen oder natürlichen Lösungen zu finden, werden seit der Antike in Betracht gezogen. Zum Beispiel der griechische Mathematiker Pythagoras (IV. Jahrhundert v. Chr.). der alexandrinische Mathematiker Diophantus (II.-III. Jahrhundert n. Chr.) und die besten Mathematiker einer uns näher stehenden Ära - P. Fermat (17. Jahrhundert), L. Euler (18. Jahrhundert), J. L. Lagrange (18. Jahrhundert) und andere.
Bei der Teilnahme am russischen Korrespondenzwettbewerb > in Obninsk, am Internationalen Spielewettbewerb > und an der Olympiade des Föderationskreises Ural stoße ich oft auf solche Aufgaben. Das liegt daran, dass ihre Lösung kreativ ist. Die Probleme, die beim Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen auftreten, werden sowohl durch die Komplexität als auch durch die Tatsache verursacht, dass ihnen in der Schule wenig Zeit gewidmet wird.
Diophantus präsentiert eines der schwierigsten Geheimnisse der Wissenschaftsgeschichte. Wir kennen weder die Zeit, in der er lebte, noch wissen wir, welche Vorgänger auf demselben Gebiet tätig waren. Seine Werke sind wie ein funkelndes Feuer inmitten undurchdringlicher Dunkelheit.
Die Zeitspanne, in der Diophantus hätte leben können, beträgt ein halbes Jahrtausend! Die Untergrenze lässt sich problemlos bestimmen: In seinem Buch über Polygonzahlen erwähnt Diophantus wiederholt den Mathematiker Hypsicles von Alexandria, der in der Mitte des 2. Jahrhunderts lebte. Chr e.
Andererseits findet sich in den Kommentaren des Theon von Alexandria an den berühmten Astronomen Ptolemäus ein Auszug aus dem Werk des Diophantus. Theon lebte in der Mitte des 4. Jahrhunderts. N. e. Dies bestimmt die Obergrenze dieses Intervalls. Also, 500 Jahre!
Der französische Wissenschaftshistoriker Paul Tannry, Herausgeber des umfassendsten Textes von Diophantus, versuchte, diese Lücke zu schließen. In der Escurial-Bibliothek fand er Auszüge aus einem Brief von Michael Psellus, einem byzantinischen Gelehrten des 11. Jahrhunderts. , wo gesagt wird, dass der gelehrteste Anatoly, nachdem er die wesentlichsten Teile dieser Wissenschaft gesammelt hatte, wir sprechen über die Einführung von Graden des Unbekannten und über ihre (Bezeichnung), sie seinem Freund Diophantus widmete. Anatoly von Alexandria verfasste tatsächlich >, Auszüge daraus werden in den erhaltenen Werken von Jamblichus und Eusenius zitiert. Aber Anatoly lebte Mitte des 111. Jahrhunderts v. Chr. in Alexandria. e und noch genauer - bis 270, als er Bischof von Laodacia wurde. Das bedeutet, dass seine Freundschaft mit Diophantus, den alle Alexandria nennen, schon vorher stattgefunden haben muss. Wenn also der berühmte alexandrinische Mathematiker und Anatolys Freund namens Diophantus eine Person sind, dann ist die Lebenszeit von Diophantus die Mitte des 111. Jahrhunderts n. Chr.
Aber der Wohnort von Diophantus ist bekannt – Alexandria, das Zentrum des wissenschaftlichen Denkens und der hellenistischen Welt.
Eines der Epigramme der Palatinischen Anthologie ist bis heute erhalten:
Die Asche des Diophantus ruht im Grab: Bestaunen Sie sie – und den Stein
Das Alter des Verstorbenen wird durch seine weise Kunst verraten.
Durch den Willen der Götter verbrachte er als Kind ein Sechstel seines Lebens.
Und ich traf mich um halb fünf mit Flaum auf den Wangen.
Es war erst der siebte Tag, als er sich mit seiner Freundin verlobte.
Nachdem er fünf Jahre mit ihr verbracht hatte, wartete der Weise auf seinen Sohn.
Der geliebte Sohn seines Vaters lebte nur die Hälfte seines Lebens.
Er wurde seinem Vater von seinem frühen Grab weggenommen.
Zweimal im Laufe von zwei Jahren trauerten die Eltern mit großer Trauer.
Hier sah ich die Grenze meines traurigen Lebens.
Mit modernen Methoden zur Lösung von Gleichungen lässt sich berechnen, wie viele Jahre Diophantus gelebt hat.
Lass Diophantus x Jahre leben. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
Multiplizieren wir die Gleichung mit 84, um Brüche loszuwerden:
Somit lebte Diophantus 84 Jahre.
Am geheimnisvollsten ist das Werk von Diophantus. Sechs der dreizehn Bücher, die zu > zusammengefasst wurden, sind uns überliefert; Stil und Inhalt dieser Bücher unterscheiden sich stark von den klassischen antiken Werken zur Zahlentheorie und Algebra, von denen wir Beispiele aus > Euklid, seinen Lemmata kennen von Archimedes und Apollonius. > war zweifellos das Ergebnis zahlreicher Studien, die völlig unbekannt blieben.
Über seine Wurzeln können wir nur spekulieren und über den Reichtum und die Schönheit seiner Methoden und Ergebnisse staunen.
> Diophanta ist eine Sammlung von Problemen (insgesamt 189), von denen jedes eine Lösung hat. Die darin enthaltenen Probleme sind sorgfältig ausgewählt und dienen der Veranschaulichung sehr spezifischer, streng durchdachter Methoden. Wie in der Antike üblich, werden Methoden nicht allgemein formuliert, sondern zur Lösung ähnlicher Probleme wiederholt.
Zuverlässig ist eine einzigartige Biographie von Diophantus bekannt, die der Legende nach in seinen Grabstein eingraviert war und eine Rätselaufgabe darstellte:
Dieses Rätsel dient als Beispiel für die Probleme, die Diophantus gelöst hat. Er spezialisierte sich auf die Lösung von Problemen in ganzen Zahlen. Solche Probleme werden derzeit als diophantische Probleme bezeichnet.
Das Studium diophantischer Gleichungen ist meist mit großen Schwierigkeiten verbunden.
Im Jahr 1900 identifizierte einer der weltweit führenden Mathematiker, David Hilbert, auf dem Weltkongress der Mathematiker in Paris 23 Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. Eines dieser Probleme war das Problem der Lösung diophantischer Gleichungen. Das Problem war folgendes: Ist es möglich, eine Gleichung mit beliebig vielen Unbekannten und ganzzahligen Koeffizienten auf eine bestimmte Weise zu lösen – mithilfe eines Algorithmus? Die Aufgabe lautet wie folgt: Für eine gegebene Gleichung müssen Sie alle ganzzahligen oder natürlichen Werte der in der Gleichung enthaltenen Variablen finden, bei denen sie in eine echte Gleichheit übergeht. Diophantus fand viele verschiedene Lösungen für solche Gleichungen. Aufgrund der unendlichen Vielfalt der diophantischen Gleichungen gibt es keinen allgemeinen Algorithmus zu ihrer Lösung, und für fast jede Gleichung muss man eine eigene Technik erfinden.
Eine diophantische Gleichung 1. Grades oder eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten ist eine Gleichung der Form: ax+by=c, wobei a,b,c ganze Zahlen sind, GCD(a,b)=1.
Ich werde die Formulierungen von Theoremen angeben, auf deren Grundlage ein Algorithmus zur Lösung unbestimmter Gleichungen ersten Grades zweier Variablen in ganzen Zahlen erstellt werden kann.
Satz 1. Wenn in einer Gleichung, dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung.
Nachweisen:
Wir können davon ausgehen, dass a >0. Nachdem wir die Gleichung nach x gelöst haben, erhalten wir: x = c-vua. Ich werde das beweisen, wenn wir in dieser Formel anstelle von y alle natürlichen Zahlen kleiner als a und 0 einsetzen, also die Zahlen 0;1;2;3;. ;a-1, und jedes Mal, wenn Sie eine Division durchführen, sind alle a-Reste unterschiedlich. Tatsächlich werde ich anstelle von y die Zahlen m1 und m2 einsetzen, die kleiner als a sind. Als Ergebnis erhalte ich zwei Brüche: c-bm1a und c-bm2a. Nachdem ich die Division durchgeführt und die unvollständigen Quotienten mit q1 und q2 und die Reste mit r1 und r2 bezeichnet habe, erhalte ich с-вm1а=q1+r1а, с-вm2а=q2+r2а.
Ich gehe davon aus, dass die Reste r1 und r2 gleich sind. Wenn ich dann die zweite von der ersten Gleichung subtrahiere, erhalte ich: c-bm1a-c-bm2a = q1-q2 oder b(m1 - m2)a = q1-q2.
Da q1-q2 eine Ganzzahl ist, muss die linke Seite eine Ganzzahl sein. Daher muss bm1 - m2 durch a teilbar sein, d. h. die Differenz zweier natürlicher Zahlen, die jeweils kleiner als a sind, muss durch a teilbar sein, was unmöglich ist. Das bedeutet, dass die Reste r1 und r2 gleich sind. Das heißt, alle Rückstände sind unterschiedlich.
Das. Ich habe einen von verschiedenen Guthaben von weniger als einem erhalten. Aber die verschiedenen a der natürlichen Zahlen, die a nicht überschreiten, sind die Zahlen 0;1;2;3;. ;a-1. Folglich wird es unter den Resten sicherlich einen und nur einen geben, der gleich Null ist. Der Wert von y, dessen Substitution in den Ausdruck (c-vu)a einen Rest von 0 ergibt und x=(c-vu)a in eine ganze Zahl umwandelt. Q.E.D.
Satz 2. Wenn in der Gleichung c nicht teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
Nachweisen:
Sei d=GCD(a;b), sodass a=md, b=nd, wobei m und n ganze Zahlen sind. Dann nimmt die Gleichung die Form an: mdх+ ndу=с, oder d(mх+ nу)=с.
Unter der Annahme, dass es ganze Zahlen x und y gibt, die die Gleichung erfüllen, finde ich, dass der Koeffizient c durch d teilbar ist. Der resultierende Widerspruch beweist den Satz.
Satz 3. Wenn in der Gleichung, und, dann ist es äquivalent zur Gleichung, in der.
Satz 4. Wenn in einer Gleichung, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:
wobei x0, y0 eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist und eine beliebige ganze Zahl ist.
Die formulierten Theoreme ermöglichen es, den folgenden Algorithmus zum Lösen einer Gleichung der Form in ganzen Zahlen zu konstruieren.
1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b; wenn c nicht durch teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen; wenn und dann
2. Teilen Sie die Gleichung Term für Term und erhalten Sie eine Gleichung, in der.
3. Finden Sie eine ganzzahlige Lösung (x0, y0) der Gleichung, indem Sie 1 als lineare Kombination von Zahlen und darstellen;
4. Erstellen Sie eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung, wobei x0, y0 eine ganzzahlige Lösung der Gleichung und eine beliebige ganze Zahl ist.
2. 1 ABSTIEGSMETHODE
Viele > basieren auf Methoden zur Lösung unsicherer Gleichungen. Zum Beispiel ein Trick, bei dem das Geburtsdatum erraten wird.
Bitten Sie Ihren Freund, seinen Geburtstag anhand der Summe der Zahlen zu erraten, die dem Produkt aus seinem Geburtsdatum mal 12 und der Zahl des Geburtsmonats mal 31 entsprechen.
Um den Geburtstag Ihres Freundes zu erraten, müssen Sie die Gleichung lösen: 12x + 31y = A.
Gegeben sei Ihnen die Zahl 380, d. h. wir haben die Gleichung 12x + 31y = 380. Um x und y zu finden, können Sie folgendermaßen argumentieren: Die Zahl 12x + 24y ist also entsprechend den Eigenschaften von durch 12 teilbar Teilbarkeit (Satz 4.4) müssen die Zahlen 7y und 380 den gleichen Rest haben, wenn sie durch 12 geteilt werden. Die Zahl 380, wenn sie durch 12 geteilt wird, ergibt einen Rest von 8, daher muss 7y, wenn sie durch 12 geteilt wird, auch einen Rest von 8 übrig lassen, und seitdem y ist die Zahl des Monats, dann 1
Die von uns gelöste Gleichung ist eine diophantische Gleichung 1. Grades mit zwei Unbekannten. Um solche Gleichungen zu lösen, kann die sogenannte Abstiegsmethode verwendet werden. Ich werde den Algorithmus dieser Methode anhand der spezifischen Gleichung 5x + 8y = 39 betrachten.
1. Ich wähle die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten (in unserem Fall ist es x) und drücke sie durch eine andere Unbekannte aus:. Ich werde den gesamten Teil hervorheben: Offensichtlich ist x eine ganze Zahl, wenn sich herausstellt, dass der Ausdruck eine ganze Zahl ist, was wiederum der Fall ist, wenn die Zahl 4 - 3y ohne Rest durch 5 teilbar ist.
2. Ich werde eine zusätzliche ganzzahlige Variable z wie folgt einführen: 4 - 3y = 5z. Als Ergebnis erhalte ich eine Gleichung vom gleichen Typ wie die ursprüngliche, jedoch mit kleineren Koeffizienten. Ich werde es in Bezug auf die Variable y: lösen. Wenn ich den gesamten Teil auswähle, erhalte ich:
Mit einer ähnlichen Argumentation wie zuvor führe ich eine neue Variable u ein: 3u = 1 - 2z.
3. Ich werde die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten ausdrücken, in diesem Fall die Variable z: =. Unter der Voraussetzung, dass es eine ganze Zahl ist, erhalte ich: 1 - u = 2v, woraus u = 1 - 2v resultiert. Es gibt keine Brüche mehr, der Abstieg ist abgeschlossen.
4. Jetzt benötigen Sie >. Ich werde durch die Variable v zuerst z, dann y und dann x ausdrücken: z = = = 3v - 1; = 3 - 5V.
5. Die Formeln x = 3+8v und y = 3 - 5v, wobei v eine beliebige ganze Zahl ist, stellen die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen dar.
Kommentar. Bei der Abstiegsmethode wird also zunächst eine Variable sequentiell durch eine andere ausgedrückt, bis in der Darstellung der Variablen keine Brüche mehr vorhanden sind, und dann sequentiell entlang einer Gleichungskette, um eine allgemeine Lösung der Gleichung zu erhalten.
2. 2 UMFRAGEMETHODE
Kaninchen und Fasane sitzen in einem Käfig; sie haben insgesamt 18 Beine. Finden Sie heraus, wie viele davon sich in der Zelle befinden?
Lassen Sie mich eine Gleichung mit zwei Unbekannten erstellen, in der x die Anzahl der Kaninchen und y die Anzahl der Fasane ist:
4x + 2y = 18 oder 2x + y = 9.
Antwort. 1) 1 Kaninchen und 7 Fasane; 2) 2 Kaninchen und 5 Fasane; 3) 3 Kaninchen und 3 Fasane; 4) 4 Kaninchen und 1 Fasan.
1. PRAKTISCHER TEIL
3. 1 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen
1. Lösen Sie die Gleichung 407x - 2816y = 33 in ganzen Zahlen.
Ich werde den kompilierten Algorithmus verwenden.
1. Mit dem Euklidischen Algorithmus finde ich den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 407 und 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Daher ist (407,2816) = 11, wobei 33 durch 11 teilbar ist.
2. Teilen Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch 11, wir erhalten die Gleichung 37x - 256y = 3 und (37, 256) = 1
3. Mit dem Euklidischen Algorithmus finde ich eine lineare Darstellung der Zahl 1 durch die Zahlen 37 und 256.
256 = 37 6 + 34;
Ich werde 1 ab der letzten Gleichheit ausdrücken und dann, wenn ich die Gleichungen sukzessive erhöhe, 3 ausdrücken; 34 und ersetzen Sie die resultierenden Ausdrücke in den Ausdruck für 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Somit ist 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, daher ist das Zahlenpaar x0 = - 83 und y0 = - 12 eine Lösung der Gleichung 37x - 256y = 3.
4. Ich werde die allgemeine Formel für Lösungen der ursprünglichen Gleichung aufschreiben, wobei t eine beliebige ganze Zahl ist.
Antwort. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.
Kommentar. Es kann bewiesen werden, dass, wenn das Paar (x1,y1) eine ganzzahlige Lösung der Gleichung wo ist, alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung mithilfe der Formeln gefunden werden: x=x1+bty=y1-at
2. Lösen Sie die Gleichung 14x - 33y=32 in ganzen Zahlen.
Lösung: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2J + 5J + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z
Suchen Sie von 1 bis 13
Wenn y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Lassen Sie mich y = 2 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen
14x = 32 +33 [. ] 2
14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7
Ich werde alle ganzzahligen Lösungen aus dem gefundenen Quotienten finden:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7): 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z
Lassen Sie mich in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, wobei k є Z. Diese Formeln geben die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung an.
Antwort. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.
3. Lösen Sie die Gleichung x - 3y = 15 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(1,3)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung bestimmen: x=(15+3y):1 Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert y=0, dann x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) - private Lösung.
Alle anderen Lösungen werden mit den Formeln gefunden: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z für k=0 erhalte ich eine bestimmte Lösung (15;0)
Antwort: (3k+15; k), k є Z.
4. Lösen Sie die Gleichung 7x - y = 3 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(7, -1)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (3+y):7
Mit der Brute-Force-Methode ermitteln wir den Wert y є y = 4, x = 1
Dies bedeutet, dass (1;4) eine bestimmte Lösung ist.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Antwort: (k+1;7k+4); k є Z.
5. Lösen Sie die Gleichung 15x+11 y = 14 ganze Zahlen.
Ich werde GCD(15, -14)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (14 - 11y):15
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 4, x = -2
(-2;4) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Antwort: (-11k-2; 15k+4); k є Z.
6. Lösen Sie die Gleichung 3x - 2y = 12 ganze Zahlen.
Ich werde GCD(3; 2)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (12+2y):3
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 0, x = 4
(4;0) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Antwort: (2k+4; 3k); k є Z.
7. Lösen Sie die Gleichung xy = x + y in ganzen Zahlen.
Ich habe xy - x - y + 1 = 1 oder (x - 1)(y - 1) = 1
Daher ist x - 1 = 1, y - 1 = 1, woher x = 2, y = 2 oder x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, woher x = 0, y = 0. Andere Lösungen in ganzen Zahlen sind gegeben Gleichung nicht hat.
Antwort. 0;0;(2;2).
8. Lösen Sie die Gleichung 60x - 77y = 1 in ganzen Zahlen.
Lassen Sie mich diese Gleichung nach x auflösen: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Sei (17y + 1) / 60 = z, dann ist y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Wenn wir (9z - 1) / 17 mit t bezeichnen, dann ist z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Schließlich sei (- t + 1) / 9 = n, dann ist t = 1- 9n. Da ich nur ganzzahlige Lösungen der Gleichung finde, müssen z, t, n ganze Zahlen sein.
Somit ist z = 2 – 18n + 2 = 2 – 17n und daher y = 6 – 51n + 1 – 9n = 7 – 60n, x = 2 – 17n +7 – 60n = 9 – 77n. Wenn also x und y ganzzahlige Lösungen einer gegebenen Gleichung sind, dann gibt es eine ganze Zahl n mit x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Wenn umgekehrt y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, dann sind x, y offensichtlich ganze Zahlen. Die Prüfung zeigt, dass sie die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Antwort. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.
9. Lösen Sie die Gleichung 2x+11y =24 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(2; 11)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (24-11y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 0, x = 12
(12;0) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Antwort:(-11k+12; 2k); k є Z.
10. Lösen Sie die Gleichung 19x - 7y = 100 in ganzen Zahlen.
Ich werde GCD(19, -7)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (100+7y):19
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 2, x = 6
(6;2) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Antwort:(7k+6; 19k+2); kє Z.
11. Lösen Sie die Gleichung 24x - 6y = 144 in ganzen Zahlen
Ich werde GCD(24, 6)=3 finden.
Die Gleichung hat keine Lösungen, da GCD(24, 6)!=1.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
12. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen.
Ich transformiere das Verhältnis der Koeffizienten für Unbekannte.
Zunächst werde ich den ganzen Teil des unechten Bruchs hervorheben;
Ich werde den richtigen Bruch durch einen gleichen Bruch ersetzen.
Dann werde ich es bekommen.
Ich werde die gleichen Transformationen mit dem im Nenner erhaltenen unechten Bruch durchführen.
Jetzt nimmt der ursprüngliche Bruch die Form an:
Wenn ich die gleiche Argumentation für den Bruch wiederhole, verstehe ich.
Wenn ich den ganzen Teil des unechten Bruchs isoliere, komme ich zu dem Endergebnis:
Ich habe einen Ausdruck erhalten, der endlicher Kettenbruch oder Kettenbruch genannt wird. Nachdem ich das letzte Glied dieses Kettenbruchs – ein Fünftel – verworfen habe, werde ich den resultierenden neuen Kettenbruch in einen einfachen umwandeln und ihn vom ursprünglichen Bruch subtrahieren.
Ich werde den resultierenden Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen und ihn dann verwerfen
Aus dem Vergleich der resultierenden Gleichheit mit der Gleichung folgt, dass es eine Lösung dieser Gleichung geben wird und gemäß dem Satz alle ihre Lösungen in enthalten sein werden.
Antwort. (9+52t; 22+127t), t є Z.
Das erhaltene Ergebnis legt nahe, dass es im allgemeinen Fall, um eine Lösung der Gleichung zu finden, notwendig ist, das Verhältnis der Koeffizienten der Unbekannten zu einem Kettenbruch zu erweitern, seine letzte Verknüpfung zu verwerfen und ähnliche Berechnungen wie die durchgeführten durchzuführen oben raus.
13. Lösen Sie die Gleichung 3xy + 2x + 3y = 0 in ganzen Zahlen.
3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
=(x + 1)(3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 oder 3y + 1 = 2 oder 3y + 1 = -1 oder 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 oder x = 0 oder x = -3 oder x = -2 y Cent z, y = 0, y = -1, y Cent z.
Antwort: (0;0);(-3;-1).
14. Lösen Sie die Gleichung y - x - xy = 2 in ganzen Zahlen.
Lösung: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,
3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).
y + 1 = 1 oder y + 1 = 3 oder y + 1 = -1 oder y + 1 = -3
1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.
y = 0 oder y = 2 oder y = -2 oder y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Antwort: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Lösen Sie die Gleichung y + 4x + 2xy = 0 in ganzen Zahlen.
Lösung: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 oder 2x + 1= 2 oder 2x + 1= -1 oder 2x + 1= -2
2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 oder y = -1 oder y = -4 oder y = -3 x = 0, x Cent Z, x = -1, x Cent Z.
Antwort: (-1;-4);(0;0).
16. Lösen Sie die Gleichung 5x + 10y = 21 in ganzen Zahlen.
5(x + 2y) = 21, da 21 != 5n, dann gibt es keine Wurzeln.
Antwort. Es gibt keine Wurzeln.
17. Lösen Sie die Gleichung 3x + 9y = 51 in natürlichen Zahlen.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.
Antwort:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).
18. Lösen Sie die Gleichung 7x+5y=232 in ganzen Zahlen.
Ich werde diese Gleichung in Bezug auf die Unbekannte lösen, bei der der kleinste (Modulo-)Koeffizient gefunden wird, also in diesem Fall in Bezug auf y: y = 232-7x5.
Lassen Sie mich die Zahlen anstelle von x in diesen Ausdruck einsetzen: 0;1;2;3;4. Ich erhalte: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Antwort. (1;45).
19. Lösen Sie die Gleichung 3x + 4y + 5xy = 6 in ganzen Zahlen.
Ich habe 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Teiler 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Ich finde, dass mit m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 die Lösungen sind: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Diese Gleichung hat also 4 Lösungen in ganzen Zahlen und keine in natürlichen Zahlen.
Antwort. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Lösen Sie die Gleichung 8x+65y=81 in natürlichen Zahlen.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Sei 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.
Bei t=0 x=2y=1
Antwort. (2;1).
21. Finden Sie ganzzahlige nichtnegative Lösungen der Gleichung 3x+7y=250.
250⋮GCD(3;7) =>die Gleichung kann in ganzen Zahlen gelöst werden.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Sei 1-y3=t, t Є Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7tу=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Antwort. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Lösen Sie die Gleichung xy+x+y3=1988 in ganzen Zahlen.
Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit 3 multiplizieren. Wir erhalten:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3х+1)+(3х+у)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 oder 5965=5965∙1 oder 5965=-1∙(-5965) oder 5965=-5965∙(-1) oder 5965=5∙1193 oder 5965=1193∙1 oder 5965=-5∙( -1193) oder 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 Lösungen in ganzen Zahlen keine Lösungen in ganzen Zahlen nein
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 keine Lösungen in ganzen Zahlen keine Lösungen in ganzen Zahlen
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Antwort. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3. 2 PROBLEME LÖSEN
Es gibt verschiedene Arten von Problemen, meistens handelt es sich dabei um Probleme mit olympischem Charakter, die darauf hinauslaufen, diophantische Gleichungen zu lösen. Zum Beispiel: a) Aufgaben zum Umtausch eines Geldbetrags einer bestimmten Stückelung.
b) Probleme bei der Transfusion und dem Teilen von Objekten.
1. Wir haben 390 Buntstifte in Schachteln mit 7 und 12 Stiften gekauft. Wie viele dieser und anderer Kartons haben Sie gekauft?
Ich bezeichne: x Schachteln mit 7 Bleistiften, y Schachteln mit 12 Bleistiften.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: 7x + 12y = 390
Ich werde GCD(7, 12)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (390 - 12y):7
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 1, x = 54
(54;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen finde ich mit den Formeln: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Ich habe viele Lösungen für die Gleichung gefunden. Unter Berücksichtigung der Problembedingungen werde ich die mögliche Anzahl beider Boxen ermitteln.
Antwort. Sie können kaufen: 54 Schachteln mit 7 Bleistiften und 1 Schachtel mit 12 Bleistiften, oder 42 Schachteln mit 7 Bleistiften und 8 Schachteln mit 12 Bleistiften, oder 30 Schachteln mit 7 Bleistiften und 15 Schachteln mit 12 Bleistiften, oder 28 Schachteln mit 7 Bleistiften und 22 Schachteln mit 12 Bleistiften oder 6 Schachteln mit 7 Bleistiften und 29 Schachteln mit 12 Bleistiften.
2. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 7 cm größer als das andere und der Umfang des Dreiecks beträgt 30 cm. Finden Sie alle Seiten des Dreiecks.
Ich bezeichne: x cm – ein Bein, (x+7) cm – das andere Bein, y cm – Hypotenuse
Ich werde die diophantische Gleichung aufstellen und lösen: x+(x+7)+y=30
Ich werde GCD(2; 1)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (23 - y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y =1 y = 1, x = 11
(11;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen der Gleichung finde ich mit den Formeln: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Wenn man bedenkt, dass jede Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der anderen beiden Seiten, kommen wir zu dem Schluss, dass es drei Dreiecke mit den Seiten 7, 9 und 14 gibt; 6, 11 und 13; 5, 13 und 12. Entsprechend den Bedingungen des Problems ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Dies ist ein Dreieck mit den Seiten 5, 13 und 12 (es gilt der Satz des Pythagoras).
Antwort: Ein Bein ist 5 cm, das andere 12 cm, die Hypotenuse 13 cm.
3. Mehrere Kinder pflückten Äpfel. Jeder Junge sammelte 21 kg und das Mädchen sammelte 15 kg. Insgesamt sammelten sie 174 kg. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen haben Äpfel gepflückt?
Es gebe x Jungen und y Mädchen, wobei x und y natürliche Zahlen seien. Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen:
Ich löse nach Auswahlmethode: x
6 Erst bei x = 4 erhält die zweite Unbekannte einen positiven ganzzahligen Wert (y = 6). Für jeden anderen Wert von x ist y entweder ein Bruch oder negativ. Daher gibt es für das Problem eine eindeutige Lösung.
Antwort. 4 Jungen und 6 Mädchen.
4. Ist es möglich, einen Satz Bleistifte im Wert von 3 Rubel und Stifte im Wert von 6 Rubel im Wert von 20 Rubel herzustellen?
Die Anzahl der Stifte im Set sei x und die Anzahl der Stifte sei y.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen:
Für alle ganzen Zahlen x und y muss die linke Seite der Gleichung durch 3 teilbar sein; die rechte Seite ist nicht durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass es keine ganzen Zahlen x und y gibt, die unsere Gleichung erfüllen würden. Diese Gleichung kann nicht in ganzen Zahlen gelöst werden. Es ist unmöglich, ein solches Set zu erstellen.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
5. Finden Sie eine natürliche Zahl, die bei Division durch 3 einen Rest von 2 und bei Division durch 5 einen Rest von 3 übrig lässt.
Die benötigte Zahl bezeichne ich mit x. Wenn ich den Quotienten von x durch 3 durch y und den Quotienten der Division durch 5 durch z bezeichne, dann erhalte ich: x=3y+2x=5z+3
Entsprechend der Bedeutung des Problems müssen x, y und z natürliche Zahlen sein. Das bedeutet, dass wir ein unbestimmtes Gleichungssystem in ganzen Zahlen lösen müssen.
Für jede ganze Zahl y und z ist x auch eine ganze Zahl. Ich subtrahiere die erste von der zweiten Gleichung und erhalte:
5z - 3y + 1 = 0.
Nachdem ich alle positiven ganzen Zahlen y und z gefunden habe, erhalte ich sofort alle positiven ganzzahligen Werte von x.
Aus dieser Gleichung finde ich:
Eine Lösung liegt auf der Hand: Für z = 1 erhalten wir y = 2, und x und y sind ganze Zahlen. Ihnen entspricht die Lösung x = 8.
Ich werde andere Lösungen finden. Dazu führe ich eine Hilfsunbekannte u ein und setze z = 1 + u. Ich werde erhalten:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, d. h. 5u = 3y - 6 oder 5u = 3(y - 2).
Die rechte Seite der letzten Gleichung ist für jede ganze Zahl y durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass die linke Seite auch durch 3 teilbar sein muss. Die Zahl 5 ist jedoch teilerfremd zur Zahl 3; daher muss u durch 3 teilbar sein, also die Form 3n haben, wobei n eine ganze Zahl ist. In diesem Fall ist y gleich
15n/3 + 2 = 5n + 2, also auch eine ganze Zahl. Also ist z = 1 + u = 1 + 3n, woraus x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Das Ergebnis ist nicht einer, sondern eine unendliche Menge von Werten für x: x = 8 + 15n, wobei n eine ganze Zahl (positiv oder null) ist:
Antwort. x=8+15n; n є 0;1;2;.
6. Die Probanden brachten dem Schah 300 Edelsteine als Geschenk: in kleinen Schachteln zu je 15 Stück und in großen Schachteln zu je 40 Stück. Wie viele dieser und anderer Kisten gab es, wenn bekannt ist, dass es weniger kleine als große gab?
Ich bezeichne mit x die Anzahl der kleinen Kästchen und mit y die Anzahl der großen.
15x+40y=300. Ich werde es um 5 reduzieren.
3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Damit der Wert eines Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2y ein Vielfaches von 3 sein, d. h. 2y = 3c.
Ich werde die Variable y ausdrücken und den gesamten Teil auswählen:
Z muss ein Vielfaches von 2 sein, d. h. z=2u.
Ich werde die Variablen x und y durch u ausdrücken:
X=20-2y-2y3
Х=20-2∙3u-2∙3u3
Ich werde ein System von Ungleichungen zusammenstellen und lösen:
Ich werde die gesamten Lösungen aufschreiben: 1; 2. Jetzt werde ich die Werte von x und y für u=1 finden; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Antwort. 4 kleine Kisten; 6 große Kisten.
7. Zwei Ural 5557-Wagen wurden übergeben, die Wagen wurden auf den Flug Krasnoturinsk – Perm – Krasnoturinsk geschickt. Insgesamt wurden für diesen Flug 4 Tonnen Dieselkraftstoff und 2 Fahrer benötigt. Es ist notwendig, die Transportkosten zu ermitteln, nämlich die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und die Löhne der Fahrer, die diesen Flug durchführen, wenn bekannt ist, dass insgesamt 76.000 Rubel ausgegeben wurden.
Seien x Rubel die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und seien x Rubel die Löhne der Fahrer. Dann wurden (4x + 2y) Rubel für den Flug ausgegeben. Und entsprechend den Bedingungen des Problems wurden 76.000 Rubel ausgegeben.
Ich bekomme die Gleichung:
Um diese Gleichung zu lösen, wird die Brute-Force-Methode ein arbeitsintensiver Prozess sein. Also verwende ich die >-Methode.
Ich drücke die Variable y durch x: aus, wähle den gesamten Teil aus und erhalte: (1).
Damit der Wert eines Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2x ein Vielfaches von 4 sein. Das heißt, 2x = 4z, wobei z eine ganze Zahl ist. Von hier:
Ich werde den Wert von x in Ausdruck (1) einsetzen:
Da x, y 0, dann 19000 z 0, also z ganzzahlige Werte von 0 bis 19000 gebe, erhalte ich die folgenden Werte von x und y: z
Aus realen Daten zu den Transportkosten ist bekannt, dass 1 Tonne Dieselkraftstoff (x) 18.000 Rubel kostet. , und die Zahlung für Fahrer, die den Flug (y) durchführen, beträgt 10.000 Rubel. (Annäherungswerte). Aus der Tabelle sehen wir, dass der x-Wert gleich 18000 und der y-Wert gleich 10000 einem z-Wert gleich 9000 entsprechen, tatsächlich: ;.
8. Auf wie viele Arten können Sie den Betrag von 27 Rubel einsammeln? , der ziemlich viele Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen hat?
Lassen Sie mich bezeichnen: x Zwei-Rubel-Münzen und y Fünf-Rubel-Münzen
Ich werde eine Gleichung erstellen und dabei die Bedingung des Problems 2x + 5y = 27 berücksichtigen.
Ich werde GCD(2;5)=1 finden
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (27-5y):2
Mit der Brute-Force-Methode finde ich den Wert y є y = 1, x = 11
(11;1) ist eine besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen werden mit den Formeln gefunden: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Diese Gleichung hat viele Lösungen. Lassen Sie uns alle Möglichkeiten finden, wie Sie mit den angebotenen Münzen den Betrag von 27 Rubel sammeln können. k
Antwort. Es gibt drei Möglichkeiten, diesen Betrag einzusammeln, wenn Sie viele Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen haben.
9. Nehmen wir an, Kraken und Seesterne leben in einem Aquarium. Kraken haben 8 Beine und Seesterne 5. Insgesamt gibt es 39 Gliedmaßen. Wie viele Tiere gibt es im Aquarium?
Sei x die Anzahl der Seesterne, y die Anzahl der Kraken. Dann haben alle Kraken 8 Beine und alle Sterne 5 Beine.
Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: 5x + 8y = 39.
Bitte beachten Sie, dass die Anzahl der Tiere nicht als nicht-ganzzahlige oder negative Zahlen ausgedrückt werden kann. Wenn also x eine nicht negative ganze Zahl ist, dann muss y = (39 - 5x)/8 auch eine ganze Zahl und nicht negativ sein, und daher ist es notwendig, dass der Ausdruck 39 - 5x ohne a durch 8 teilbar ist Rest. Eine einfache Suche nach Optionen zeigt, dass dies nur möglich ist, wenn x = 3, dann y = 3.
Antwort: (3; 3).
10. Eine Möbelfabrik produziert Hocker mit drei und vier Beinen. Der Meister fertigte 18 Beine. Wie viele Hocker können hergestellt werden, damit alle Beine genutzt werden können?
Sei x die Anzahl der dreibeinigen Stühle und y die Anzahl der vierbeinigen. Dann ist 3x + 4y = 18.
Ich habe, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
Ich bekomme: x = 2; y = 3 oder x = 6; y = 0.
Es gibt keine anderen Lösungen, da x 6.
Antwort. 2;3;(6;0).
11. Ist es möglich, 718 Personen in 4- und 8-Bett-Kabinen unterzubringen, so dass es in den Kabinen keine freien Plätze gibt?
Seien die 4-Bett-Kabinen x und die 8-Bett-Kabinen y, dann gilt:
2(x + 2y) = 309
Antwort. Es ist verboten.
12. Beweisen Sie, dass es auf der Geraden 124x + 216y = 515 keinen einzigen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten gibt.
GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, was bedeutet, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.
Antwort. Es gibt keine Lösungen.
13. Der Warenwert beträgt 23 Rubel, der Käufer hat nur 2 Rubel-Münzen und der Kassierer hat 5 Rubel-Münzen. Ist es möglich, einen Kauf zu tätigen, ohne vorher Geld umzutauschen?
Sei x die Anzahl der 2-Rubel-Münzen, y die Anzahl der 5-Rubel-Münzen, dann ist 2x - 5y = 23, wobei x,y є N.
Ich erhalte: 2x = 23 + 5y, woraus x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x eine ganze Zahl ist, wenn 1 + y2 eine ganze Zahl ist.
1 + y2 = t, wobei t Euro Z, dann y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Zu. x = 5t + 9 und y = 2t - 1, wobei t є z.
Das Problem hat viele ganzzahlige Lösungen. Die einfachste davon ist für t = 1, x = 14, y = 1, d. h. der Käufer gibt vierzehn 2-Rubel-Münzen und erhält als Wechselgeld eine 5-Rubel-Münze.
Antwort. Dürfen.
14. Bei einer Prüfung der Handelsbücher des Geschäfts stellte sich heraus, dass einer der Einträge mit Tinte bedeckt war und so aussah:
> Es war unmöglich, die Anzahl der verkauften Meter zu ermitteln, aber es bestand kein Zweifel daran, dass es sich dabei nicht um einen Bruchteil handelte; Im Erlös konnten nur die letzten drei Ziffern unterschieden werden, außerdem konnte festgestellt werden, dass davor noch drei weitere Ziffern standen. Ist es möglich, einen Datensatz anhand dieser Daten wiederherzustellen?
Sei die Anzahl der Meter x, dann beträgt der Warenwert in Kopeken 4936x. Die Summe der drei ausgefüllten Ziffern bezeichnen wir als y, das ist die Zahl der Tausend Kopeken, und der Gesamtbetrag in Kopeken wird wie folgt ausgedrückt (1000y + 728).
Ich erhalte die Gleichung 4936x = 1000y + 728, ich teile sie durch 8.
617x - 125y = 91, wobei x,y є z, x,y
125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =
5x - 1 + 2t, wobei t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Aus der Gleichung t = (17 - 4x)/125 erhalte ich x = 4 - 31t + 1 - t4 =
4 – 31t + t1, wobei t1 = 1 – t4, also t = 1 – 4t1, a x = 125t1 – 27, y = 617t1 – 134.
Aufgrund der Bedingung weiß ich, dass 100
100 = 234/617 und t1
Dies bedeutet, dass 98 Meter für 4837,28 Rubel verkauft wurden. Die Aufnahme wurde wiederhergestellt.
Antwort. 98 Meter freigegeben.
15. Für einen Rubel müssen 40 Briefmarken gekauft werden – Kopeken, 4 Kopeken und 12 Kopeken. Wie viele Briefmarken jedes Nennwerts können Sie kaufen?
Sie können zwei Gleichungen aufstellen: x + 4y + 12z = 100 und x + y + z = 40, wobei x die Anzahl der Penny-Marken, y die Anzahl der 4-Kopeken-Marken und z die Anzahl der 12-Kopeken-Marken ist . Ich subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung und erhalte:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.
Sei z3 = t, z = 3t, wobei t Euro Z. Dann erhalte ich, wenn x + y + z = 40 und z = 3t, und y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Da x >= 0, y >= 0, z >= 0, dann 0
Dann erhalte ich dementsprechend: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Der Kauf von Briefmarken kann also nur auf zwei Arten erfolgen, und wenn die Bedingung ist, dass mindestens eine Briefmarke jedes Nennwerts gekauft wird, dann nur auf eine Weise.
Antwort. 28 Mark zu 1 Kopeke, 9 Mark zu 4 Kopeken und 3 Mark zu 12 Kopeken.
16. Einem Schüler wurde eine Aufgabe mit 20 Aufgaben gestellt. Für jede richtig gelöste Frage erhält er 8 Punkte; für jede nicht gelöste Frage werden ihm 5 Punkte abgezogen. Für eine Aufgabe, die er nicht übernommen hat – 0 Punkte. Insgesamt erzielte der Student 13 Punkte. Wie viele Probleme hat er gelöst?
Die richtig gelösten Probleme seien x, die falsch gelösten Probleme seien y und die nicht berücksichtigten Probleme seien z.
Dann ist x + y + z = 20 und 8x - 5y = 13.
y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, wobei t = x - 15 und x = 5t + 1.
Durch Bedingung x + y
Antwort: Der Student hat 13 Aufgaben gelöst, 6 gelöst und 7 nicht bestanden.
17. Ivanushka der Narr kämpft mit der Schlange Gorynych, die 2001 Köpfe hat. Indem er sein Schwert nach links schwingt, schneidet er 10 Köpfe ab, und im Gegenzug wachsen ihm 16 Köpfe nach. Wenn er sein Schwert nach rechts schwingt, schneidet er 15 ab, und wenn alle Köpfe abgeschnitten werden, wachsen keine neuen. Sie können in beliebiger Reihenfolge schwingen, aber wenn es weniger als 15 Tore gibt, dann nur nach links, und wenn es weniger als 10 sind, dann überhaupt nicht. Kann Iwanuschka der Narr die Schlange Gorynytsch besiegen?
Lassen Sie mich das Problem anders formulieren: Ist es möglich, die Köpfe von 1986 abzuschneiden? Dann wird Ivan die restlichen 15 mit einem Schlag nach rechts abholzen und es werden keine neuen mehr wachsen.
Sei x die Anzahl der Striche nach rechts und y die Anzahl der Striche nach links, dann ist 1986 - 9x + 6y = 0.
Wenn ich die ganze Gleichung durch 6 teile, erhalte ich
3x - 2y = 662.
y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.
Sei x2 = t, dann ist x = 2t und y = 3t - 331.
Da x >= 0, y >= 0, dann t >= 111, also t = 111, x = 222, y = 2.
Ich bekomme: Durch 220 Schläge nach rechts schneidet Ivan 1980 Köpfe ab und die Schlange hat noch 21 Köpfe übrig; dann 2 Schläge nach links und die Schlange lässt 12 Köpfe wachsen, also insgesamt 33; Die nächsten 2 Schläge nach rechts entziehen der Schlange 18 Köpfe und Ivan schneidet die restlichen 15 mit dem letzten Schlag nach rechts ab und es wachsen keine neuen Köpfe nach.
Antwort: 220 Schläge nach rechts, 2 Schläge nach links und 3 weitere Schläge nach rechts.
18. Die Seiten eines Würfels sind nummeriert – 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aus 5 dieser Würfel bauten sie einen Turm und zählten die Summe der Punkte auf allen sichtbaren Seiten, nachdem sie den obersten Würfel entfernt hatten, die Summe um 19 verringert, welche Zahl entpuppte sich als Oberkante des oberen Würfels?
Die Punktesumme eines Würfels beträgt 21.
Sei x die Anzahl der Punkte am unteren Rand des oberen Würfels und y die Anzahl der Punkte am oberen Rand des nächsten Würfels. Wenn Sie den oberen Würfel entfernen, verschwinden die Punkte von 5 Flächen des oberen Würfels, deren Summe der Punkte (21 - x) beträgt, und der Fläche, auf der die Punkte erscheinen, was bedeutet, dass die Summe der Punkte vorhanden ist um (21 - x) - y verringert und gemäß der Bedingung ist es 19, daher:
(21 - x) - y = 19, x + y = 2.
Daher ist y = 2 - x und nach Bedingung 1
19. Jemand hat 30 Vögel für 30 Münzen desselben Nennwerts gekauft. Für je 3 Spatzen zahlt man 1 Münze, für 2 Gimpel 1 Münze, für 1 Taube 2 Münzen. Wie viele Vögel jeder Art gab es?
Es soll x Spatzen, y Dompfaffen und z Tauben geben. Dann gilt gemäß der Bedingung x + y + z = 30 und 13x + 12y + 2z = 30.
Ich erhalte x + y + z = 30 und 2x + 3y + 12z = 180, oder y + 10z = 120, y = 120 – 10z, wobei durch Bedingung x
Daher die folgenden Optionen (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Antworten: Spatzen - 0, Dompfaffen - 20, Tauben - 10; Spatzen - 9, Dompfaffen - 10, Tauben - 11; Spatzen - 18, Dompfaffen - 0, Tauben - 12.
20. Finden Sie alle zweistelligen Zahlen, von denen jede, wenn sie um 2 reduziert wird, dem Fünffachen des Produkts ihrer Ziffern entspricht.
Seien xy die erforderlichen zweistelligen Zahlen.
Für die Gleichung xy - 2 = 5xy, oder (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 und ich werde alle natürlichen Lösungen aus der Menge (x; 2) finden.
Da x die erste Ziffer zweistelliger Zahlen ist, kann es nur 9 Werte annehmen.
Das. , die erforderlichen Zahlen sind: 12, 22, 32,. , 92.
Antwort. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Ein 102 cm langes Stück Draht muss in 15 cm und 12 cm lange Stücke geschnitten werden, damit der gesamte Draht genutzt wird. Wie kann man das machen?
Sei x die Anzahl der Teile eines 15 cm langen Drahtes, y die Anzahl der Teile eines 12 cm langen Drahtes. Lassen Sie mich eine Gleichung aufstellen:
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Sei 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Wenn t=0, dann x=6y=1
Wenn t=-1, dann x=2y=6
Antwort. Für das Problem gibt es zwei Lösungen:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petja war 1987 so alt wie die Summe der Ziffern seines Geburtsjahres. In welchem Jahr wurde er geboren?
Lass Petja 1919 geboren werden. Dann, im Jahr 1987, war er 1987-19xy, also (1+9+x+y) Jahre alt. Wir haben die Gleichung:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Wenn man bedenkt, dass x und y Ziffern des dezimalen Zahlensystems sind, finden wir durch Auswahl: x=3, y=1.
Antwort. Petja wurde 1970 geboren.
23. Jemand kauft in einem Geschäft einen Artikel im Wert von 19 Rubel. Er hat nur 15-Drei-Rubel-Scheine, während der Kassierer nur 20-Fünf-Rubel-Scheine hat. Kann ich bezahlen und wie?
Das Problem besteht darin, die diophantische Gleichung in positiven ganzen Zahlen zu lösen: 3x - 5y = 19, wobei x
Aufgrund der Tatsache, dass x>0 und y > 0 und unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems, ist es einfach, 0 festzulegen
Dies führt zu 2 möglichen Werten: x
Antwort. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Ist es möglich, 28 g einer bestimmten Substanz auf einer Tassenwaage zu wiegen, wenn man nur 4 Gewichte mit einem Gewicht von 3 g und 7 Gewichte mit einem Gewicht von 5 g hat?
Dazu müssen Sie die Gleichung lösen:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Also x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass y1 keine negativen Werte erhalten kann. Als nächstes sollte y1 sein
Antwort. 1 Gewicht in 3 g und 5 Gewichte in 5 g.
25. Der Käufer kaufte im Laden für 21 Rubel. Waren. Aber er hat nur 5-Rubel-Banknoten, während der Kassierer 3-Rubel-Banknoten hat. Sie möchten wissen, ob und wie genau Sie an der Kasse bezahlen können, wenn Sie Geld haben?
Sei x die Zahl 5 – Rubel, y – 3 – Rubel.
Bedingung: x > 0, y > 0, das heißt.
Außerdem ist t gerade, sonst sind weder x noch y ganzzahlig.
Bei t = 4, 6, 8,. wir haben T
Antwort. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Es sind 110 Blatt Papier. Es ist erforderlich, Notizbücher mit jeweils 8 Blatt und 10 Blatt zu nähen. Wie viele müssen Sie nähen?
Sei x die Anzahl der 8-Blatt-Notizbücher, y die Anzahl der 10-Blatt-Notizbücher.
Also t = 0 oder t = - 1
Antwort. 5;7;(10;3).
27. Viele alte Methoden zum Erraten von Zahlen und Geburtsdaten basieren auf der Lösung diophantischer Gleichungen. Um beispielsweise das Geburtsdatum (Monat und Tag) Ihres Gesprächspartners zu erraten, reicht es aus, ihn nach der Summe zu fragen, die sich aus der Addition zweier Produkte ergibt: der Datumszahl (x) mal 12 und der Monatszahl (y) mal 31 .
Die Summe der betreffenden Produkte sei gleich 330. Ermitteln Sie das Geburtsdatum.
Lösen wir die unbestimmte Gleichung: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Also Geburtsdatum: 12. Tag des 6. Monats.
28. Ist es möglich, den Betrag von 51 Rubel mit Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen einzusammeln? Wenn möglich, wie viele Möglichkeiten gibt es?
Es seien x Zwei-Rubel-Münzen und Fünf-Rubel-Münzen.
Sei also 1+y2=z
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Antwort: 5 Möglichkeiten.
29. Ist es möglich, zweihundert Eier in Kartons zu 10 und 12 Stück zu packen? Wenn möglich, finden Sie alle derartigen Möglichkeiten.
Es seien x Kartons mit jeweils 10 Stück und die Kartons hätten jeweils 12 Stück. Lassen Sie mich eine Gleichung erstellen: z = 1, 2, 3
Antwort: 14;5;8;10;(2;15)
30. Stellen Sie sich die Zahl 257 als die Summe zweier natürlicher Terme vor: a) von denen einer ein Vielfaches von 3 und der andere ein Vielfaches von 4 ist; b) von denen eines ein Vielfaches von 5 und das andere ein Vielfaches von 8 ist.
Antwort: 1) 249 und 8; 2) 225 und 32.
Bei Problemen mit unbestimmten Gleichungen bin ich auf eine Vielzahl von Fällen gestoßen: Das Problem kann völlig unlösbar sein (Problem 4), es kann unendlich viele Lösungen haben (Problem 2), es kann mehrere eindeutige Lösungen haben; Insbesondere kann es eine eindeutige Lösung geben (Problem 1).
ABSCHLUSS
Das Ziel, das ich mir gesetzt habe, wurde erreicht. Die Arbeit an dem Projekt hat Interesse geweckt und mich fasziniert. Diese Arbeit erforderte von mir nicht nur gewisse mathematische Kenntnisse und Ausdauer, sondern gab mir auch die Möglichkeit, die große Freude am selbstständigen Entdecken zu spüren.
Diophantische Gleichungen finden sich in Olympia-Aufgaben, sodass sie logisches Denken entwickeln, das Niveau der mathematischen Kultur erhöhen und Fähigkeiten für unabhängige Forschungsarbeiten in der Mathematik vermitteln.
Bei der Lösung von Gleichungen und Problemen, die auf diophantische Gleichungen reduziert werden, werden die Eigenschaften von Primzahlen, die Methode zur Faktorisierung eines Polynoms, die Aufzählungsmethode, die Abstiegsmethode und der euklidische Algorithmus verwendet. Meiner Meinung nach ist die Abstiegsmethode die schwierigste. Aber die Brute-Force-Methode erwies sich für mich als schöner.
Ich habe in meiner Arbeit 54 Probleme gelöst.
Diese Arbeit trug zu einem tieferen Verständnis des Schullehrplans bei und erweiterte meinen Horizont.
Dieses Material wird für Studierende nützlich sein, die sich für Mathematik interessieren. Es kann in einigen Unterrichtsstunden und außerschulischen Aktivitäten verwendet werden.
