Mathematik ist wasMenschen kontrollieren die Natur und sich selbst.

Sowjetischer Mathematiker, Akademiker A.N. Kolmogorow

Geometrischer Verlauf.

Neben Aufgaben zu arithmetischen Progressionen sind auch Aufgaben zum Konzept einer geometrischen Progression in Aufnahmetests in Mathematik üblich. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Eigenschaften einer geometrischen Progression kennen und diese gut anwenden können.

Dieser Artikel ist der Darstellung der Haupteigenschaften einer geometrischen Folge gewidmet. Es enthält auch Beispiele für die Lösung typischer Probleme, den Aufgaben der Aufnahmetests in Mathematik entlehnt.

Halten wir uns zunächst die Haupteigenschaften einer geometrischen Folge fest und erinnern uns an die wichtigsten Formeln und Aussagen, mit diesem Begriff verbunden.

Definition. Eine Zahlenfolge heißt geometrische Folge, wenn jede ihrer Zahlen, beginnend mit der zweiten, gleich der vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Die Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Für eine geometrische ProgressionDie Formeln sind gültig

, (1)

wo . Formel (1) wird die Formel des allgemeinen Terms einer geometrischen Folge genannt, und Formel (2) ist die Haupteigenschaft einer geometrischen Folge: Jedes Glied der Folge fällt mit dem geometrischen Mittel seiner benachbarten Glieder zusammen und .

Notiz, dass gerade wegen dieser Eigenschaft die betreffende Progression "geometrisch" genannt wird.

Die obigen Formeln (1) und (2) werden wie folgt zusammengefasst:

, (3)

Um die Summe zu berechnen Erste Mitglieder einer geometrischen Folgedie Formel gilt

Wenn wir benennen

wo . Da Formel (6) eine Verallgemeinerung von Formel (5) ist.

Im Fall wann und geometrischer Verlaufnimmt unendlich ab. Um die Summe zu berechnenaller Mitglieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge wird die Formel verwendet

. (7)

Zum Beispiel , mit Formel (7) kann man zeigen, was

wo . Diese Gleichheiten werden aus Formel (7) erhalten, vorausgesetzt dass , (die erste Gleichheit) und , (die zweite Gleichheit).

Satz. Wenn, dann

Nachweisen. Wenn, dann ,

Der Satz ist bewiesen.

Betrachten wir nun Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema "Geometrische Progression".

Beispiel 1 Gegeben: , und . Finden .

Entscheidung. Wenn Formel (5) angewendet wird, dann

Antworten: .

Beispiel 2 Lassen Sie und . Finden .

Entscheidung. Da und verwenden wir die Formeln (5), (6) und erhalten das Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems (9) durch die erste dividiert wird, dann oder . Daraus folgt . Betrachten wir zwei Fälle.

1. Wenn , dann haben wir aus der ersten Gleichung des Systems (9)..

2. Wenn , dann .

Beispiel 3 Lassen Sie , und . Finden .

Entscheidung. Aus Formel (2) folgt, dass oder . Seit , dann oder .

Nach Bedingung. Aber deshalb . Denn und, dann haben wir hier ein Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems durch die erste dividiert wird, dann oder .

Da die Gleichung eine einzige geeignete Wurzel hat. In diesem Fall impliziert die erste Gleichung des Systems .

Unter Berücksichtigung von Formel (7) erhalten wir.

Antworten: .

Beispiel 4 Gegeben: und . Finden .

Entscheidung. Seit damals .

Denn dann bzw

Nach Formel (2) haben wir . In dieser Hinsicht erhalten wir aus Gleichheit (10) oder .

Allerdings nach Bedingung, also .

Beispiel 5 Es ist bekannt, dass . Finden .

Entscheidung. Nach dem Satz haben wir zwei Gleichheiten

Seit , dann oder . Weil dann .

Antworten: .

Beispiel 6 Gegeben: und . Finden .

Entscheidung. Unter Berücksichtigung von Formel (5) erhalten wir

Seit damals . Seit , und , dann .

Beispiel 7 Lassen Sie und . Finden .

Entscheidung. Nach Formel (1) können wir schreiben

Daher haben wir oder . Es ist bekannt, dass und daher und .

Antworten: .

Beispiel 8 Finden Sie den Nenner einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, wenn

und .

Entscheidung. Aus Formel (7) folgt und . Daraus und aus der Bedingung des Problems erhalten wir das Gleichungssystem

Wenn die erste Gleichung des Systems quadriert wird, und teilen Sie dann die resultierende Gleichung durch die zweite Gleichung, dann bekommen wir

Oder .

Antworten: .

Beispiel 9 Finden Sie alle Werte, für die die Folge , , eine geometrische Folge ist.

Entscheidung. Lassen Sie , und . Gemäß Formel (2), die die Haupteigenschaft einer geometrischen Folge definiert, können wir oder schreiben.

Daraus erhalten wir die quadratische Gleichung, dessen Wurzeln sind und .

Prüfen wir: Wenn, dann , und ; wenn , dann und .

Im ersten Fall haben wir und , und im zweiten - und .

Antworten: , .

Beispiel 10löse die Gleichung

, (11)

wo und .

Entscheidung. Die linke Seite von Gleichung (11) ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, in der und vorausgesetzt: und .

Aus Formel (7) folgt, was . Diesbezüglich nimmt Gleichung (11) die Form an oder . passende Wurzel quadratische Gleichung ist

Antworten: .

Beispiel 11. P Folge positiver Zahlenbildet eine arithmetische Folge, a - geometrische Progression, was hat das damit zu tun. Finden .

Entscheidung. Als Arithmetische Sequenz, dann (die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge). Soweit, dann oder . Dies impliziert, dass die geometrische Progression ist. Nach Formel (2), dann schreiben wir das .

Seit und dann . In diesem Fall der Ausdruck hat die Form oder . Nach Bedingung, also aus der gleichungwir erhalten die eindeutige Lösung des betrachteten Problems, d.h. .

Antworten: .

Beispiel 12. Summe berechnen

. (12)

Entscheidung. Multipliziere beide Seiten der Gleichheit (12) mit 5 und erhalte

Wenn wir (12) von dem resultierenden Ausdruck subtrahieren, dann

oder .

Zur Berechnung setzen wir die Werte in Formel (7) ein und erhalten . Seit damals .

Antworten: .

Die hier aufgeführten Beispiele zur Problemlösung werden Bewerbern bei der Vorbereitung auf die Aufnahmeprüfungen nützlich sein. Für ein tieferes Studium der Problemlösungsmethoden, verbunden mit einer geometrischen Progression, Sie können die Tutorials aus der Liste der empfohlenen Literatur verwenden.

1. Aufgabensammlung Mathematik für Studienbewerber an Fachhochschulen / Ed. MI Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 S.

2. Suprun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: zusätzliche Abschnitte des Schullehrplans. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 S.

3. Medynsky M.M. Ein vollständiger Kurs der elementaren Mathematik in Aufgaben und Übungen. Buch 2: Zahlenfolgen und Progressionen. – M.: Editus, 2015. - 208 S.

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Die geometrische Progression ist neben der Arithmetik eine wichtige Zahlenreihe, die im Algebrakurs der Schule in der 9. Klasse unterrichtet wird. In diesem Artikel betrachten wir den Nenner einer geometrischen Folge und wie ihr Wert ihre Eigenschaften beeinflusst.

Definition der geometrischen Progression

Zunächst geben wir die Definition dieser Zahlenreihe an. Eine geometrische Folge ist eine Reihe von rationalen Zahlen, die durch sukzessive Multiplikation ihres ersten Elements mit einer konstanten Zahl, dem Nenner, gebildet wird.

Zum Beispiel sind die Zahlen in der Reihe 3, 6, 12, 24, ... eine geometrische Folge, denn wenn wir 3 (das erste Element) mit 2 multiplizieren, erhalten wir 6. Wenn wir 6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir 12 und so weiter.

Die Mitglieder der betrachteten Folge werden üblicherweise mit dem Symbol ai bezeichnet, wobei i eine ganze Zahl ist, die die Nummer des Elements in der Folge angibt.

Die obige Definition einer Progression kann in der Sprache der Mathematik wie folgt geschrieben werden: an = bn-1 * a1, wobei b der Nenner ist. Es ist einfach, diese Formel zu überprüfen: Wenn n = 1, dann ist b1-1 = 1, und wir erhalten a1 = a1. Ist n = 2, so ist an = b * a1, und wir kommen wieder zur Definition der betrachteten Zahlenreihe. Ähnliche Überlegungen können für große Werte von n fortgesetzt werden.

Der Nenner einer geometrischen Progression

Die Zahl b bestimmt vollständig, welchen Charakter die gesamte Zahlenreihe haben wird. Der Nenner b kann positiv, negativ oder größer oder kleiner als eins sein. Alle oben genannten Optionen führen zu unterschiedlichen Sequenzen:

• b > 1. Es gibt eine zunehmende Reihe rationaler Zahlen. Zum Beispiel 1, 2, 4, 8, ... Wenn das Element a1 negativ ist, wird die gesamte Sequenz nur modulo erhöht, aber unter Berücksichtigung des Vorzeichens der Zahlen verringert.
• b = 1. Oft wird ein solcher Fall nicht als Progression bezeichnet, da es eine gewöhnliche Reihe identischer rationaler Zahlen gibt. Zum Beispiel -4, -4, -4.

Formel für Summe

Bevor mit der Betrachtung spezifischer Probleme unter Verwendung des Nenners der betrachteten Progressionsart fortgefahren wird, sollte eine wichtige Formel für die Summe ihrer ersten n Elemente angegeben werden. Die Formel lautet: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Sie können diesen Ausdruck selbst erhalten, wenn Sie eine rekursive Folge von Mitgliedern der Progression betrachten. Beachten Sie auch, dass es in der obigen Formel ausreicht, nur das erste Element und den Nenner zu kennen, um die Summe einer beliebigen Anzahl von Termen zu finden.

Unendlich abnehmende Folge

Oben war eine Erklärung dessen, was es ist. Nun, da wir die Formel für Sn kennen, wenden wir sie auf diese Zahlenreihe an. Da jede Zahl, deren Modul 1 nicht überschreitet, gegen Null tendiert, wenn sie in große Potenzen erhoben wird, d. h. b∞ => 0, wenn -1

Da die Differenz (1 - b) unabhängig vom Wert des Nenners immer positiv sein wird, ist das Vorzeichen der Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge S∞ eindeutig durch das Vorzeichen ihres ersten Elements a1 bestimmt.

Jetzt werden wir einige Probleme betrachten, bei denen wir zeigen werden, wie das erworbene Wissen auf bestimmte Zahlen angewendet werden kann.

Aufgabennummer 1. Berechnung unbekannter Elemente der Progression und der Summe

Bei einer gegebenen geometrischen Progression ist der Nenner der Progression 2 und ihr erstes Element 3. Was werden ihre 7. und 10. Glieder sein, und was ist die Summe ihrer sieben Anfangselemente?

Die Bedingung des Problems ist ziemlich einfach und beinhaltet die direkte Verwendung der obigen Formeln. Um das Element mit der Nummer n zu berechnen, verwenden wir also den Ausdruck an = bn-1 * a1. Für das 7. Element haben wir: a7 = b6 * a1, indem wir die bekannten Daten ersetzen, erhalten wir: a7 = 26 * 3 = 192. Wir machen dasselbe für das 10. Element: a10 = 29 * 3 = 1536.

Wir verwenden die bekannte Formel für die Summe und ermitteln diesen Wert für die ersten 7 Elemente der Reihe. Wir haben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Aufgabe Nummer 2. Bestimmen der Summe beliebiger Elemente der Progression

Sei -2 der Nenner der Exponentialprogression bn-1 * 4, wobei n eine ganze Zahl ist. Es ist notwendig, die Summe vom 5. bis einschließlich 10. Element dieser Reihe zu bestimmen.

Das gestellte Problem kann nicht direkt mit bekannten Formeln gelöst werden. Es kann auf 2 verschiedene Arten gelöst werden. Der Vollständigkeit halber stellen wir beide vor.

Methode 1. Die Idee ist einfach: Sie müssen die beiden entsprechenden Summen der ersten Terme berechnen und dann die anderen von einem subtrahieren. Berechnen Sie die kleinere Summe: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Jetzt berechnen wir die große Summe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Beachten Sie, dass im letzten Ausdruck nur 4 Terme summiert wurden, da der 5. bereits in der Summe enthalten ist, die gemäß den Bedingungen des Problems berechnet werden muss. Schließlich nehmen wir die Differenz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Methode 2. Bevor Sie Zahlen ersetzen und zählen, können Sie eine Formel für die Summe zwischen den Termen m und n der betreffenden Reihe erhalten. Wir gehen genauso vor wie bei Methode 1, nur arbeiten wir zuerst mit der symbolischen Darstellung der Summe. Wir haben: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Sie können bekannte Zahlen in den resultierenden Ausdruck einsetzen und das Endergebnis berechnen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Aufgabe Nummer 3. Was ist der Nenner?

Sei a1 = 2, finde den Nenner der geometrischen Folge, vorausgesetzt, ihre unendliche Summe ist 3, und es ist bekannt, dass dies eine fallende Zahlenreihe ist.

Je nach Zustand des Problems ist es nicht schwer zu erraten, welche Formel zur Lösung verwendet werden sollte. Natürlich für die Summe einer unendlich abnehmenden Progression. Es gilt: S∞ = a1 / (1 - b). Woher wir den Nenner ausdrücken: b = 1 - a1 / S∞. Es bleibt übrig, die bekannten Werte zu ersetzen und die erforderliche Zahl zu erhalten: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 oder -0,333 (3). Wir können dieses Ergebnis qualitativ überprüfen, wenn wir uns daran erinnern, dass für diese Art von Folge der Modul b nicht über 1 hinausgehen darf. Wie Sie sehen können, ist |-1 / 3|

Aufgabennummer 4. Wiederherstellen einer Zahlenreihe

Seien 2 Elemente einer Zahlenreihe gegeben, zum Beispiel ist das 5. gleich 30 und das 10. gleich 60. Es ist notwendig, die gesamte Reihe aus diesen Daten wiederherzustellen, in dem Wissen, dass sie die Eigenschaften einer geometrischen Folge erfüllt.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie zunächst für jedes bekannte Mitglied den entsprechenden Ausdruck aufschreiben. Wir haben: a5 = b4 * a1 und a10 = b9 * a1. Jetzt teilen wir den zweiten Ausdruck durch den ersten, wir erhalten: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Von hier aus bestimmen wir den Nenner, indem wir die Wurzel fünften Grades aus dem Verhältnis der Mitglieder ziehen, das aus der Bedingung des Problems bekannt ist, b = 1,148698. Wir setzen die resultierende Zahl in einen der Ausdrücke für ein bekanntes Element ein, wir erhalten: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Somit haben wir den Nenner der Progression bn und der geometrischen Progression bn-1 * 17,2304966 = an gefunden, wobei b = 1,148698 ist.

Wo werden geometrische Verläufe verwendet?

Gäbe es keine Anwendung dieser Zahlenreihe in der Praxis, dann würde sich ihr Studium auf ein rein theoretisches Interesse reduzieren. Aber es gibt eine solche Anwendung.

Die 3 bekanntesten Beispiele sind unten aufgeführt:

• Zenos Paradoxon, dass der flinke Achilles die langsame Schildkröte nicht einholen kann, wird mit dem Konzept einer unendlich abnehmenden Zahlenfolge gelöst.
• Wenn Weizenkörner auf jede Zelle des Schachbretts gelegt werden, so dass 1 Korn auf die 1. Zelle gelegt wird, 2 - auf die 2., 3 - auf die 3. usw., dann werden 18446744073709551615 Körner benötigt, um alle Zellen zu füllen Die Tafel!
• Im Spiel "Tower of Hanoi" müssen 2n - 1 Operationen durchgeführt werden, um die Scheiben von einer Stange zur anderen neu anzuordnen, dh ihre Anzahl wächst exponentiell von der Anzahl der verwendeten Scheiben n.

Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet, d. h. jeder Term unterscheidet sich q-mal vom vorherigen. (Wir nehmen an, dass q ≠ 1, sonst ist alles zu trivial). Es ist leicht zu sehen, dass die allgemeine Formel des n-ten Glieds der geometrischen Folge b n = b 1 q n – 1 ist; Terme mit den Nummern b n und b m unterscheiden sich um q n – m mal.

Schon im alten Ägypten kannten sie nicht nur die Arithmetik, sondern auch die geometrische Progression. Hier ist zum Beispiel eine Aufgabe aus dem Rhind-Papyrus: „Sieben Gesichter haben sieben Katzen; jede Katze frisst sieben Mäuse, jede Maus frisst sieben Ähren, jede Ähre kann sieben Maß Gerste anbauen. Wie groß sind die Zahlen dieser Reihe und ihre Summe?

Reis. 1. Altägyptisches geometrisches Progressionsproblem

Diese Aufgabe wurde viele Male mit unterschiedlichen Variationen bei anderen Völkern zu anderen Zeiten wiederholt. Zum Beispiel im XIII Jahrhundert geschrieben. Das "Buch des Abakus" von Leonardo von Pisa (Fibonacci) hat ein Problem, bei dem 7 alte Frauen auf dem Weg nach Rom erscheinen (offensichtlich Pilgerinnen), von denen jeder 7 Maultiere hat, von denen jeder 7 Taschen hat, von denen jeder enthält 7 Brote, von denen jedes 7 Messer hat, von denen jedes in 7 Scheiden steckt. Das Problem fragt, wie viele Elemente es gibt.

Die Summe der ersten n Elemente der geometrischen Folge S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Diese Formel kann beispielsweise wie folgt bewiesen werden: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Addieren wir die Zahl b 1 q n zu S n und erhalten:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Daher ist S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), und wir erhalten die notwendige Formel.

Bereits auf einer der Tontafeln des antiken Babylon aus dem 6. Jahrhundert. BC h., enthält die Summe 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Allerdings wissen wir, wie in einer Reihe anderer Fälle, nicht, woher diese Tatsache den Babyloniern bekannt war .

Das schnelle Wachstum einer geometrischen Progression in einer Reihe von Kulturen, insbesondere in Indien, wird immer wieder als klares Symbol für die Unermesslichkeit des Universums verwendet. In der bekannten Legende über die Entstehung des Schachspiels gibt der Herrscher seinem Erfinder die Möglichkeit, sich selbst eine Belohnung auszusuchen, und verlangt so viele Weizenkörner, wie man erhält, wenn man eines auf das erste Feld des Schachbretts legt , zwei auf der zweiten, vier auf der dritten, acht auf der vierten usw., jedes Mal, wenn die Zahl verdoppelt wird. Vladyka dachte, es seien höchstens ein paar Säcke, aber er verrechnete sich. Es ist leicht zu erkennen, dass der Erfinder für alle 64 Felder des Schachbretts (2 64 - 1) Körner hätte erhalten müssen, was als 20-stellige Zahl ausgedrückt wird; Selbst wenn die gesamte Erdoberfläche besät wäre, würde es mindestens 8 Jahre dauern, um die erforderliche Anzahl von Körnern zu sammeln. Diese Legende wird manchmal als Hinweis auf die nahezu unbegrenzten Möglichkeiten interpretiert, die im Schachspiel verborgen sind.

Dass diese Nummer wirklich 20-stellig ist, ist leicht zu erkennen:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (eine genauere Berechnung ergibt 1,84 10 19). Aber ich frage mich, ob Sie herausfinden können, mit welcher Ziffer diese Nummer endet?

Eine geometrische Progression nimmt zu, wenn der Nenner im Absolutwert größer als 1 ist, oder ab, wenn er kleiner als eins ist. Im letzteren Fall kann die Zahl q n für hinreichend großes n beliebig klein werden. Während ein steigender Exponent unerwartet schnell ansteigt, nimmt ein fallender Exponential genauso schnell ab.

Je größer n, desto schwächer unterscheidet sich die Zahl q n von Null und desto näher liegt die Summe von n Mitgliedern der geometrischen Folge S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) an der Zahl S \u003d b 1 / (1 - q) . (So ​​​​begründet zum Beispiel F. Viet). Die Zahl S heißt die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge. Allerdings war die Frage, was die Summation der geometrischen Folge ALL mit ihren unendlich vielen Termen bedeutet, den Mathematikern viele Jahrhunderte lang nicht klar genug.

Eine abnehmende geometrische Progression zeigt sich beispielsweise in Zenos Aporien „Beißen“ und „Achilles und die Schildkröte“. Im ersten Fall zeigt sich deutlich, dass die gesamte Straße (angenommen Länge 1) die Summe unendlich vieler Segmente 1/2, 1/4, 1/8 usw. ist. So ist es natürlich aus Sicht der Ideen über die endliche Summe unendliche geometrische Progression. Und doch – wie kann das sein?

Reis. 2. Progression mit Faktor 1/2

Bei der Aporie über Achilles ist die Situation etwas komplizierter, weil hier der Nenner der Progression nicht gleich 1/2 ist, sondern eine andere Zahl. Angenommen, Achilles läuft mit der Geschwindigkeit v, die Schildkröte bewegt sich mit der Geschwindigkeit u und der Anfangsabstand zwischen ihnen ist l. Achilles wird diese Strecke in der Zeit l / v laufen, die Schildkröte wird sich in dieser Zeit um eine Strecke lu / v bewegen. Wenn Achilles durch dieses Segment läuft, wird der Abstand zwischen ihm und der Schildkröte gleich l (u / v) 2 usw. Es stellt sich heraus, dass das Aufholen der Schildkröte bedeutet, die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression mit der ersten zu finden Term l und der Nenner u / v. Diese Summe – das Segment, das Achilles schließlich zum Treffpunkt mit der Schildkröte führen wird – ist gleich l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Aber wiederum, wie dieses Ergebnis zu interpretieren ist und warum es überhaupt Sinn macht, war lange Zeit nicht ganz klar.

Reis. 3. Geometrische Progression mit Koeffizient 2/3

Die Summe einer geometrischen Progression wurde von Archimedes bei der Bestimmung der Fläche eines Segments einer Parabel verwendet. Das gegebene Segment der Parabel sei durch die Sehne AB begrenzt und die Tangente am Punkt D der Parabel sei parallel zu AB . Sei C der Mittelpunkt von AB, E der Mittelpunkt von AC, F der Mittelpunkt von CB. Zeichnen Sie Linien parallel zu DC durch die Punkte A , E , F , B ; Lassen Sie die Tangente an Punkt D gezeichnet, diese Linien schneiden sich an den Punkten K, L, M, N. Lassen Sie uns auch die Segmente AD und DB zeichnen. Die Linie EL schneide die Linie AD im Punkt G und die Parabel im Punkt H; Die Linie FM schneidet die Linie DB im Punkt Q und die Parabel im Punkt R. Entsprechend Allgemeine Theorie Kegelschnitte, DC ist der Durchmesser der Parabel (dh ein Segment parallel zu ihrer Achse); es und die Tangente an Punkt D können als Koordinatenachsen x und y dienen, in denen die Parabelgleichung geschrieben wird als y 2 \u003d 2px (x ist der Abstand von D zu einem beliebigen Punkt mit einem bestimmten Durchmesser, y ist die Länge von a Segment parallel zu einer gegebenen Tangente von diesem Durchmesserpunkt zu einem Punkt auf der Parabel selbst).

Aufgrund der Parabelgleichung ist DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , und da DK = 2DL , dann KA = 4LH . Da KA = 2LG ist, ist LH = HG. Die Fläche des Segments ADB der Parabel ist gleich der Fläche des Dreiecks ΔADB und den Flächen der Segmente AHD und DRB zusammen. Die Fläche des AHD-Segments wiederum ist ähnlich gleich der Fläche des Dreiecks AHD und der restlichen Segmente AH und HD, mit denen jeweils die gleiche Operation durchgeführt werden kann – aufgeteilt in ein Dreieck (Δ) und die beiden verbleibenden Segmente () usw.:

Die Fläche des Dreiecks ΔAHD ist gleich der Hälfte der Fläche des Dreiecks ΔALD (sie haben eine gemeinsame Basis AD und die Höhen unterscheiden sich um das Zweifache), was wiederum der Hälfte der Fläche von entspricht ​das Dreieck ΔAKD und damit die halbe Fläche des Dreiecks ΔACD. Somit ist die Fläche des Dreiecks ΔAHD gleich einem Viertel der Fläche des Dreiecks ΔACD. Ebenso ist die Fläche des Dreiecks ΔDRB gleich einem Viertel der Fläche des Dreiecks ΔDFB. Die Flächen der Dreiecke ∆AHD und ∆DRB zusammengenommen entsprechen also einem Viertel der Fläche des Dreiecks ∆ADB. Durch Wiederholen dieser Operation, wie sie auf die Segmente AH, HD, DR und RB angewendet wird, werden auch Dreiecke aus ihnen ausgewählt, deren Fläche zusammengenommen 4-mal kleiner ist als die Fläche der Dreiecke ΔAHD und ΔDRB. zusammengenommen und damit 16-mal kleiner als die Fläche des Dreiecks ΔADB . Usw:

So bewies Archimedes, dass "jedes Segment, das zwischen einer geraden Linie und einer Parabel eingeschlossen ist, vier Drittel eines Dreiecks ist und damit dieselbe Basis und dieselbe Höhe hat".

Anweisung

10, 30, 90, 270...

Es ist erforderlich, den Nenner einer geometrischen Folge zu finden.
Entscheidung:

1 Möglichkeit. Nehmen wir ein beliebiges Mitglied der Progression (zB 90) und dividieren es durch das vorherige (30): 90/30=3.

Wenn die Summe mehrerer Mitglieder einer geometrischen Folge oder die Summe aller Mitglieder einer abnehmenden geometrischen Folge bekannt ist, verwenden Sie die entsprechenden Formeln, um den Nenner der Folge zu finden:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), wobei Sn die Summe der ersten n Terme der geometrischen Folge und ist
S = b1/(1-q), wobei S die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist (die Summe aller Mitglieder der Folge mit einem Nenner kleiner als eins).
Beispiel.

Der erste Term einer abnehmenden geometrischen Folge ist gleich eins, und die Summe aller seiner Terme ist gleich zwei.

Es ist erforderlich, den Nenner dieser Progression zu bestimmen.
Entscheidung:

Setzen Sie die Daten aus der Aufgabe in die Formel ein. Werden:
2=1/(1-q), also – q=1/2.

Eine Progression ist eine Folge von Zahlen. In einer geometrischen Progression wird jeder nachfolgende Term durch Multiplikation des vorherigen mit einer Zahl q erhalten, die als Nenner der Progression bezeichnet wird.

Anweisung

Wenn zwei benachbarte Elemente der Geometrie b(n+1) und b(n) bekannt sind, muss man, um den Nenner zu erhalten, die Zahl mit einer großen Zahl durch die vorangehende dividieren: q=b(n +1)/b(n). Dies folgt aus der Definition der Progression und ihres Nenners. Eine wichtige Bedingung ist, dass erster Term und Nenner der Progression ungleich Null sind, sonst gilt sie als unbestimmt.

Somit werden die folgenden Beziehungen zwischen den Gliedern der Progression hergestellt: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Durch die Formel b(n)=b1 q^(n-1) kann jedes Glied einer geometrischen Folge berechnet werden, bei dem der Nenner q und das Glied b1 bekannt sind. Außerdem ist jede Progression modulo gleich dem Durchschnitt ihrer benachbarten Mitglieder: |b(n)|=√, daher hat die Progression ihre .

Ein Analogon einer geometrischen Progression ist die einfachste Exponentialfunktion y=a^x, wobei x im Exponenten steht, a eine Zahl ist. In diesem Fall fällt der Nenner der Progression mit dem ersten Term zusammen und ist gleich der Zahl a. Der Wert der Funktion y kann als n-tes Glied der Progression verstanden werden, wenn das Argument x als natürliche Zahl n (Zähler) genommen wird.

Für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge gilt: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Diese Formel gilt für q≠1. Wenn q=1, dann wird die Summe der ersten n Terme durch die Formel S(n)=n b1 berechnet. Übrigens wird die Progression für q größer als eins und positives b1 als ansteigend bezeichnet. Wenn der Nenner der Progression modulo nicht größer als eins ist, wird die Progression fallend genannt.

Ein Spezialfall einer geometrischen Progression ist eine unendlich abfallende geometrische Progression (b.u.g.p.). Tatsache ist, dass die Glieder einer abnehmenden geometrischen Folge immer wieder abnehmen, aber niemals Null erreichen werden. Trotzdem ist es möglich, die Summe aller Terme einer solchen Progression zu finden. Er wird durch die Formel S=b1/(1-q) bestimmt. Die Gesamtzahl der Mitglieder n ist unendlich.

Backen Sie einen Kuchen, um sich vorzustellen, wie Sie unendlich viele Zahlen addieren können und nicht unendlich werden. Schneide die Hälfte davon ab. Dann 1/2 der Hälfte abschneiden und so weiter. Die Stücke, die Sie erhalten, sind nichts anderes als Glieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit einem Nenner von 1/2. Wenn Sie alle diese Teile zusammenfügen, erhalten Sie den ursprünglichen Kuchen.

Geometrieaufgaben sind eine besondere Art von Aufgaben, die räumliches Denken erfordern. Wenn Sie die Geometrie nicht lösen können Aufgabe Versuchen Sie, die folgenden Regeln zu befolgen.

Anweisung

Lesen Sie den Zustand des Problems sehr sorgfältig durch. Wenn Sie sich nicht erinnern oder etwas nicht verstehen, lesen Sie es erneut.

Versuchen Sie herauszufinden, um welche Art von geometrischen Problemen es sich handelt, zum Beispiel: rechnerisch, wenn Sie einen Wert herausfinden müssen, Aufgaben, die eine logische Argumentationskette erfordern, Aufgaben zum Bauen mit Zirkel und Lineal. Mehr gemischte Probleme. Sobald Sie die Art des Problems herausgefunden haben, versuchen Sie, logisch zu denken.

Wenden Sie das notwendige Theorem für dieses Problem an. Wenn Zweifel bestehen oder es überhaupt keine Optionen gibt, versuchen Sie, sich an die Theorie zu erinnern, die Sie zu dem entsprechenden Thema studiert haben.

Machen Sie auch einen Entwurf des Problems. Versuchen Sie, bekannte Methoden anzuwenden, um die Korrektheit Ihrer Lösung zu überprüfen.

Vervollständigen Sie die Lösung des Problems ordentlich in einem Notizbuch, ohne Kleckse und Durchstreichungen, und vor allem - Vielleicht wird es Zeit und Mühe kosten, die ersten geometrischen Probleme zu lösen. Sobald Sie jedoch den Dreh raus haben, werden Sie anfangen, Aufgaben wie Nüsse anzuklicken und Spaß dabei zu haben!

Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), so dass b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) = b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Mit anderen Worten, jedes Mitglied der Progression wird aus dem vorherigen erhalten, indem es mit einem von Null verschiedenen Nenner der Progression q multipliziert wird.

Anweisung

Probleme auf einer Progression werden meistens dadurch gelöst, dass man ein System in Bezug auf den ersten Term der Progression b1 und den Nenner der Progression q erstellt und befolgt. Um Gleichungen zu schreiben, ist es nützlich, sich einige Formeln zu merken.

Wie man das n-te Glied der Progression durch das erste Glied der Progression und den Nenner der Progression ausdrückt: b(n)=b1*q^(n-1).

Betrachten Sie separat den Fall |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Betrachten wir eine Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Diese Serie ist also eine Weiterentwicklung.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, deren Hauptmerkmal darin besteht, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl erhalten wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 = a z q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem eine geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel kann der Nenner der Progression wie folgt ermittelt werden:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Dementsprechend müssen Sie, um die nächste Zahl in der Reihe herauszufinden, die letzte mit q multiplizieren.

Um diese Progression anzugeben, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, jeden der nachfolgenden Terme und ihre Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird diese Progression in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nächsten Element ansteigt. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 - beide Parameter sind größer als eins.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins, d. h. die Multiplikation damit ist gleichbedeutend mit der Division, dann ist eine Progression mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Progression. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

6 2 2/3 ... - jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Vorzeichenvariable. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3 , q = -2 - beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann kann die Folge wie folgt geschrieben werden:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Zur bequemen Verwendung geometrischer Progressionen gibt es viele Formeln:

• Formel des z-ten Gliedes. Ermöglicht es Ihnen, das Element unter einer bestimmten Nummer zu berechnen, ohne die vorherigen Nummern zu berechnen.

Beispiel:q = 3, a 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu berechnen.

Entscheidung:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Anzahl ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Folge bis zuein zinklusive.

Seit (1-q) im Nenner steht, dann (1 - q)≠ 0, also ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q = 1, dann wäre die Progression eine Folge einer sich unendlich wiederholenden Zahl.

Die Summe einer geometrischen Folge, Beispiele:a 1 = 2, q= -2. Berechnen Sie S5.

Entscheidung:S 5 = 22 - Berechnung nach Formel.

• Betrag, wenn |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:a 1 = 2 , q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Entscheidung:Gr = 2 · = 4

Gr = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung für jeden durchgeführtz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl einer geometrischen Folge gefunden, indem die Quadrate von zwei beliebigen anderen Zahlen in einer bestimmten Reihe addiert werden, wenn sie von diesem Element gleich weit entfernt sind.

ein z 2 = ein z - t 2 + ein z + t 2 , wotist der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Die Logarithmen der Progressionselemente bilden ebenfalls eine Progression, aber bereits arithmetisch, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele einiger klassischer Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Progression ist, können Beispiele mit einer Lösung für die 9. Klasse helfen.

• Bedingungen:a 1 = 3, a 3 = 48. Findenq.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inq einmal.Es ist notwendig, einige Elemente durch andere unter Verwendung eines Nenners auszudrücken.

Somit,a 3 = q 2 · a 1

Beim Auswechselnq= 4

• Bedingungen:a 2 = 6, a 3 = 12. Berechnen Sie S6.

Entscheidung:Dazu reicht es aus, q, das erste Element, zu finden und es in die Formel einzusetzen.

a 3 = q· a 2 , somit,q= 2

a2 = q eine 1 ,Deshalb eine 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Der Kunde der Bank hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, zu deren Bedingungen der Kunde jedes Jahr 6% davon zum Kapitalbetrag hinzufügt. Wie viel Geld ist nach 4 Jahren auf dem Konto?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Ein Jahr nach der Investition weist das Konto also einen Betrag von 10.000 + 10.000 auf · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das heißt, um den Geldbetrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu ermitteln, reicht es aus, das vierte Element der Progression zu finden, das durch das erste Element gleich 10.000 und den Nenner gleich 1,06 gegeben ist.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Aufgaben zur Berechnung der Summe:

Bei verschiedenen Problemen wird eine geometrische Progression verwendet. Ein Beispiel für die Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

a 1 = 4, q= 2, berechnenS5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Entscheidung:

Geom. Progression, jedes nächste Element ist q-mal größer als das vorherige, d. h. um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennena 1 und Nennerq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Ebenso müssen wir findena 1 , wissenda 2 undq.

a 1 · q = a 2

eine 1 =2

S 6 = 728.