Der Logarithmus einer Zahl N aus grund a heißt Exponent X , auf die Sie erhöhen müssen a um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass
, d.h.
- diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden Dezimallogarithmen genannt. Anstatt von
schreiben
.

Basislogarithmen e heißen natürlich und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus der Einheit für jede Basis ist Null

Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird der Übergangsmodul von Logarithmen an der Basis genannt a zu Logarithmen an der Basis b .

Mit den Eigenschaften 2-5 ist es oft möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen mit Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen des Logarithmus heißen Logarithmen. Reziproke Transformationen von Logarithmen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Funktionsgrenze
ist eine endliche Zahl A, wenn, beim Streben xx 0 für jeden vorgegebenen
, es gibt eine Nummer
das sobald
, dann
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich davon um einen infinitesimalen Betrag:
, wobei - b.m.w., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j geht auf null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Die Grenze eines konstanten Werts ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) endlich vieler Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert eines Produkts endlich vieler Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist.

Bemerkenswerte Grenzen

,
, wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Limits so einfach berechnen. Häufiger wird die Berechnung des Limits auf die Offenlegung der Typunsicherheit reduziert: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit bekam etwas Auftrieb
. Dann wird die Funktion inkrementiert
.

Argumentwert entspricht dem Wert der Funktion
.

Argumentwert
entspricht dem Wert der Funktion .

Folglich, .

Lassen Sie uns den Grenzwert dieser Beziehung bei finden
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition der 3. Ableitung einer gegebenen Funktion
durch argument wird die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments genannt, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null geht.

Ableitung der Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Finden der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Unterscheidung.

2.1. Die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann lassen bewegender Punkt
war auf Distanz aus der Startposition
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück weit
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes
. Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses unter Berücksichtigung dessen
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Bestimmung der Ableitung der Bahn nach der Zeit.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Angenommen, wir haben eine grafisch definierte Funktion
.

Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn ein
, dann der Punkt
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Folglich
, d.h. der Wert der Ableitung bei gegebenem Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem gegebenen Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umgekehrte trigonometrische Funktion

2.4. Abgrenzungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Lassen Sie die Funktion
so dass es dargestellt werden kann

und
, wobei die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel2.

3. Funktionsdifferential.

Lass es sein
, differenzierbar in einem gewissen Intervall
Loslassen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann kannst du schreiben

(1),

wo - eine unendlich kleine Menge,

denn bei

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Wert
heißt Differential der Funktion
und bezeichnet

.

3.1. Der geometrische Wert des Differentials.

Lassen Sie die Funktion
.

Abb.2. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an dem gegebenen Punkt.

3.2. Derivate und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, dann
heißt erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung n-ter Ordnung der Funktion
heißt Ableitung der Ordnung (n-1) und lautet:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird als zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung bezeichnet.

.

.

3.3 Lösen biologischer Probleme durch Differenzieren.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen dem Gesetz gehorcht
, wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), t – Zeit (Tage).

b) Wird die Bevölkerung der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antworten. Die Kolonie wird an Größe zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu kontrollieren. Durch t Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration durch das Verhältnis bestimmt

.

Wann wird die Mindestkonzentration an Bakterien im See erreicht und es wird möglich sein, darin zu schwimmen?

Lösung Eine Funktion erreicht Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns bestimmen, ob das Maximum oder Minimum in 6 Tagen sein wird. Dazu nehmen wir die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Der Schwerpunkt dieses Artikels liegt Logarithmus. Hier geben wir die Definition des Logarithmus, zeigen die akzeptierte Schreibweise, geben Beispiele für Logarithmen und sprechen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition von Logarithmus

Das Konzept eines Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in einem bestimmten Sinne invers, wenn Sie den Exponenten aus einem bekannten Wert des Grades und einer bekannten Basis finden müssen.

Aber genug der Vorrede, es ist Zeit, die Frage „Was ist ein Logarithmus“ zu beantworten? Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Logarithmus von b zur Basis a, wobei a>0 , a≠1 und b>0 der Exponent ist, auf den Sie die Zahl a erhöhen müssen, um als Ergebnis b zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort „Logarithmus“ sofort zwei Folgefragen aufwerfen sollte: „welche Zahl“ und „auf welcher Grundlage“. Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Wir werden sofort vorstellen logarithmische Schreibweise: Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a wird üblicherweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, das heißt, sie schreiben nicht log e b , sondern lnb und nicht log 10 b , sondern lgb .

Jetzt können Sie Folgendes mitbringen: .
Und die Aufzeichnungen machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, im zweiten - eine negative Zahl in der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch eine Einheit in der Basis.

Jetzt reden wir darüber Regeln zum Lesen von Logarithmen. Der Eintrag log a b wird gelesen als "Logarithmus von b zur Basis a". Beispielsweise ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und der Logarithmus von zwei ganzen Zahlen zwei Basisdrittel der Quadratwurzel von fünf. Der Logarithmus zur Basis e wird aufgerufen natürlicher Logarithmus, und die Notation lnb wird als "der natürliche Logarithmus von b" gelesen. Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir werden ihn als den natürlichen Logarithmus von Pi lesen. Der Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und die Notation lgb wird gelesen als "dezimaler Logarithmus b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2,75 der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a>0, a≠1 und b>0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form namens , die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Beginnen wir mit a≠1 . Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, kann die Gleichheit nur für b=1 wahr sein, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird a≠1 akzeptiert.

Untermauern wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a>0 . Mit a=0 hätten wir nach Definition des Logarithmus Gleichheit, was nur mit b=0 möglich ist. Aber dann könnte log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Bedingung a≠0 vermieden werden. Und für ein<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a>0 die Bedingung b>0, da , und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus einen bestimmten Basisgrad hat. Tatsächlich erlaubt uns die Definition des Logarithmus zu behaupten, dass wenn b=a p , der Logarithmus der Zahl b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, das Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Wir wissen zum Beispiel, dass 2 3 =8 , dann log 2 8=3 . Wir werden im Artikel mehr darüber sprechen.

Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Berechnung von Logarithmen, wird dieser Prozess aufgerufen Logarithmus. Zuerst werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen per Definition befassen. Überlegen Sie als Nächstes, wie die Werte von Logarithmen anhand ihrer Eigenschaften gefunden werden. Danach werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen durch die anfänglich angegebenen Werte anderer Logarithmen befassen. Lassen Sie uns schließlich lernen, wie man Logarithmentabellen verwendet. Die ganze Theorie ist mit Beispielen mit Detaillösungen versehen.

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Berechnung von Logarithmen per Definition

In den einfachsten Fällen ist es möglich, schnell und einfach durchzuführen Suche nach dem Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition des Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das heißt, per Definition entspricht das Finden des Logarithmus der folgenden Gleichungskette: log a b=log a a c = c .

Die Berechnung des Logarithmus läuft also per Definition darauf hinaus, eine solche Zahl c zu finden, dass a c \u003d b, und die Zahl c selbst der gewünschte Wert des Logarithmus ist.

Wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus durch einen gewissen Grad der Basis des Logarithmus angegeben wird, können Sie anhand der Informationen der vorherigen Absätze sofort angeben, was der Logarithmus gleich ist - er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Beispiele zeigen.

Beispiel.

Finde log 2 2 −3 und berechne auch den natürlichen Logarithmus von e 5.3 .

Lösung.

Die Definition des Logarithmus lässt uns sofort sagen, dass log 2 2 −3 = −3 . Tatsächlich ist die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 = 5,3.

Antworten:

log 2 2 −3 = −3 und Inne 5,3 =5,3 .

Wenn die Zahl b unter dem Vorzeichen des Logarithmus nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben wird, müssen Sie sorgfältig überlegen, ob es möglich ist, die Zahl b in der Form a c darzustellen. Oft ist diese Darstellung ziemlich offensichtlich, besonders wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis hoch 1 oder 2 oder 3 ist, ...

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass 25=5 2 , damit können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Wir fahren mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Eine Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Folglich, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Also durch die Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden:

Antworten:

log 5 25=2 , und .

Wenn eine hinreichend große natürliche Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, schadet es nicht, sie in Primfaktoren zu zerlegen. Oft hilft es, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finde den Wert des Logarithmus.

Lösung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Diese Eigenschaften umfassen die Eigenschaft des Logarithmus von eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1 . Das heißt, wenn die Zahl 1 oder die Zahl a unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, gleich der Basis des Logarithmus, dann sind in diesen Fällen die Logarithmen 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind die Logarithmen und lg10 ?

Lösung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Vorzeichen des Logarithmus mit ihrer Basis überein, sodass der Dezimallogarithmus von zehn gleich eins ist, d. h. lg10=lg10 1 =1 .

Antworten:

Und lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung des Gleichheitslogs a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

In der Praxis ist es sehr bequem, die Formel zu verwenden, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und die Basis des Logarithmus leicht als Potenz einer Zahl dargestellt werden können , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Betrachten Sie ein Beispiel zum Ermitteln des Logarithmus, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von .

Lösung.

Antworten:

.

Die oben nicht erwähnten Eigenschaften von Logarithmen werden ebenfalls in der Berechnung verwendet, aber wir werden in den folgenden Abschnitten darauf eingehen.

Finden von Logarithmen in Bezug auf andere bekannte Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz setzen das Thema der Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen in ihrer Berechnung fort. Aber hier besteht der Hauptunterschied darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1.584963 , dann können wir zum Beispiel log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zu verwenden. Viel häufiger muss man jedoch auf ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zurückgreifen, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn bekannt ist, dass log 60 2=a und log 60 5=b .

Lösung.

Also müssen wir log 60 27 finden. Es ist leicht zu sehen, dass 27 = 3 3 , und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Gradlogarithmus in 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie log 60 3 in bekannten Logarithmen ausgedrückt werden kann. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es Ihnen, das Gleichheitsprotokoll 60 60=1 zu schreiben. Andererseits log 60 60=log60(2 2 3 5)= Protokoll 60 2 2 +Protokoll 60 3+Protokoll 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Auf diese Weise, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Folglich, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Schließlich berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Antworten:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit einer beliebigen Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder gefunden werden können. Normalerweise wechseln sie vom ursprünglichen Logarithmus gemäß der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, die es ermöglichen, ihre Werte mit einem bestimmten Grad zu berechnen der Genauigkeit. Wie das geht, zeigen wir im nächsten Abschnitt.

Logarithmentafeln, ihre Verwendung

Für eine ungefähre Berechnung der Werte der Logarithmen kann man verwenden Logarithmentabellen. Die am häufigsten verwendeten sind die Basis-2-Logarithmustabelle, die natürliche Logarithmustabelle und die Dezimallogarithmustabelle. Wenn Sie mit dem Dezimalsystem arbeiten, ist es praktisch, eine Tabelle mit Logarithmen zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu finden.

Die vorgestellte Tabelle ermöglicht es, mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1,000 bis 9,999 (mit drei Dezimalstellen) zu finden. Wir werden das Prinzip der Ermittlung des Werts des Logarithmus anhand einer Tabelle mit Dezimallogarithmen anhand eines bestimmten Beispiels analysieren - es ist klarer. Lassen Sie uns lg1.256 finden.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist zur Verdeutlichung blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Zahl 5) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile links vom Doppelstrich (diese Zahl ist rot eingekreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Zahl 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts vom Doppelstrich (diese Zahl ist grün eingekreist). Jetzt finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen sind orange hervorgehoben). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gesuchten Wert des Dezimallogarithmus bis zur vierten Dezimalstelle, also log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen zu finden, die mehr als drei Nachkommastellen haben und auch die Grenzen von 1 bis 9,999 überschreiten? Ja, du kannst. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Lassen Sie uns lg102.76332 berechnen. Zuerst müssen Sie schreiben Nummer in Standardform: 102,76332=1,0276332 10 2 . Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle aufgerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, während der ursprüngliche dezimale Logarithmus ungefähr gleich dem Logarithmus der resultierenden Zahl ist, d. h. wir nehmen lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Wenden Sie nun die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1.028 gemäß der Tabelle der Dezimallogarithmen lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Als Ergebnis sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈ lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Abschließend ist anzumerken, dass Sie mit der Tabelle der Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu reicht es aus, die Übergangsformel zu verwenden, um zu Dezimallogarithmen zu gehen, ihre Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Nach der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir lg3≈0.4771 und lg2≈0.3010. Auf diese Weise, .

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analyse: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		Weil \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Weil \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von wir wissen, dass dies eine gebrochene Potenz ist, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition des Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir fahren mit der Gleichheit der Indikatoren fort
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf dieselbe Basis reduziert werden. Hier kommt man also nicht ohne den Logarithmus aus. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehe die Gleichung um, sodass x links steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine normale Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie diese Formel zustande kam.

Erinnern Sie sich an die kurze Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die sich nur schwer direkt berechnen lassen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel - es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antworten : \(1\)