Der russische Philologe Dmitry Nikolaevich Ushakov gibt in seinem erklärenden Wörterbuch eine solche Definition des Begriffs "Methode" - einen Weg, eine Methode, eine Methode der theoretischen Forschung oder praktischen Umsetzung von etwas (D. N. Ushakov, 2000).

Was sind die Methoden des Lehrens von Problemlösungen in Mathematik, die wir derzeit als nicht standardisiert betrachten? Leider hat sich angesichts der Einzigartigkeit dieser Aufgaben niemand ein universelles Rezept ausgedacht. Einige Lehrer trainieren in Vorlagenübungen. Dies geschieht folgendermaßen: Der Lehrer zeigt den Lösungsweg, und der Schüler wiederholt dies beim Lösen von Problemen viele Male. Gleichzeitig wird das Interesse der Schüler an Mathematik erschlagen, was zumindest traurig ist.

In der Mathematik gibt es keine allgemeinen Regeln, die es ermöglichen, jedes nicht standardmäßige Problem zu lösen, da solche Probleme in gewissem Maße einzigartig sind. Eine nicht standardmäßige Aufgabe wird in den meisten Fällen als "Herausforderung für den Intellekt" wahrgenommen und führt zu der Notwendigkeit, sich selbst zu verwirklichen, um Hindernisse zu überwinden und sich zu entwickeln Kreativität» .

Betrachten Sie mehrere Methoden zur Lösung von nicht standardmäßigen Problemen:

• · algebraisch;
• · Arithmetik;
• Aufzählungsmethode;
• Argumentationsmethode;
• praktisch;
• die Methode des Ratens.

Algebraische Methode Problemlösung entwickelt kreative Fähigkeiten, die Fähigkeit zur Verallgemeinerung, bildet abstraktes Denken und hat solche Vorteile wie Kürze des Schreibens und Argumentierens beim Erstellen von Gleichungen, spart Zeit.

Um das Problem mit der algebraischen Methode zu lösen, ist es notwendig:

• · das Problem zu analysieren, um die Hauptunbekannte auszuwählen und die Beziehung zwischen den Größen sowie den Ausdruck dieser Abhängigkeiten in mathematischer Sprache in Form von zwei algebraischen Ausdrücken zu identifizieren;
• Finden Sie die Grundlage für die Verbindung dieser Ausdrücke mit dem Zeichen "=" und stellen Sie eine Gleichung auf.
• Lösungen für die resultierende Gleichung finden, eine Überprüfung der Lösung der Gleichung organisieren.

Alle diese Phasen der Problemlösung sind logisch miteinander verbunden. Zum Beispiel erwähnen wir die Suche nach einer Basis für die Verbindung zweier algebraischer Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen als Sonderstufe, aber es ist klar, dass diese Ausdrücke in der vorherigen Stufe nicht willkürlich gebildet werden, sondern unter Berücksichtigung der Möglichkeit, sie zu verbinden mit dem Zeichen „=“.

Sowohl die Identifizierung von Abhängigkeiten zwischen Größen als auch die Übersetzung dieser Abhängigkeiten in mathematische Sprache erfordern eine intensive analytische und synthetische geistige Aktivität. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз " usw.). Weiterhin ist ein Verständnis dafür erforderlich, welche Art von mathematischer Aktion oder Eigenschaft der Aktion oder welcher Zusammenhang (Abhängigkeit) zwischen den Komponenten und dem Ergebnis der Aktion, diese oder jene bestimmte Beziehung beschrieben werden kann.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung eines nicht standardmäßigen Problems mit der algebraischen Methode geben.

Aufgabe. Der Fischer hat einen Fisch gefangen. Auf die Frage: „Was ist seine Masse?“ antwortete er: „Die Masse des Schwanzes beträgt 1 kg, die Masse des Kopfes ist gleich der Masse des Schwanzes und der Hälfte des Körpers. Und die Masse des Körpers ist die gleiche wie die Masse von Kopf und Schwanz zusammen. Welche Masse hat der Fisch?

Sei x kg die Masse des Körpers; dann ist (1+1/2x) kg die Masse des Kopfes. Da die Masse des Körpers bedingt gleich der Summe der Massen von Kopf und Schwanz ist, stellen wir die Gleichung auf und lösen sie:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg ist die Masse des Körpers, dann ist 1+1/2 4=3 (kg) die Masse des Kopfes und 3+4+1=8 (kg) ist die Masse des ganzen Fisches;

Antwort: 8 kg.

Arithmetische Methode Lösungen erfordern auch viel mentalen Stress, der sich positiv auf die Entwicklung der geistigen Fähigkeiten, der mathematischen Intuition, auf die Bildung der Fähigkeit auswirkt, eine reale Lebenssituation vorherzusehen.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Lösung eines nicht standardmäßigen Problems durch eine arithmetische Methode:

Aufgabe. Zwei Fischer wurden gefragt: "Wie viele Fische sind in Ihren Körben?"

„In meinem Korb ist die Hälfte von dem, was er im Korb hat, und 10 mehr“, antwortete der erste. „Und ich habe genauso viele in meinem Korb wie er, sogar 20“, rechnete der Zweite vor. Wir haben gezählt, und jetzt zählen Sie.

Lassen Sie uns ein Diagramm für das Problem erstellen. Das erste Segment des Diagramms bezeichne die Anzahl der Fische, die der erste Fischer hat. Das zweite Segment gibt die Anzahl der Fische des zweiten Fischers an.

Da ein moderner Mensch eine Vorstellung von den wichtigsten Methoden der Datenanalyse und probabilistischen Mustern haben muss, die in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft eine wichtige Rolle spielen, werden Elemente der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik eingeführt in den Schulmathematikkurs, die bequem zu verstehen sind Aufzählungsmethode.

Die Einbeziehung kombinatorischer Probleme in den Mathematikunterricht wirkt sich positiv auf die Entwicklung der Schüler aus. „Gezieltes Lernen zur Lösung kombinatorischer Probleme trägt zur Entwicklung einer solchen Qualität des mathematischen Denkens wie Variabilität bei. Unter der Variabilität des Denkens verstehen wir die Richtung der geistigen Aktivität des Schülers, nach verschiedenen Lösungen für das Problem zu suchen, falls es keine speziellen Anweisungen dafür gibt.

Kombinatorische Probleme können mit verschiedenen Methoden gelöst werden. Herkömmlicherweise können diese Verfahren in "formell" und "informell" unterteilt werden. Bei der „formalen“ Lösungsmethode müssen Sie die Art der Auswahl bestimmen, die geeignete Formel oder kombinatorische Regel auswählen (es gibt Summen- und Produktregeln), Zahlen ersetzen und das Ergebnis berechnen. Das Ergebnis ist die Anzahl der möglichen Optionen, aber die Optionen selbst werden in diesem Fall nicht gebildet.

Bei der „informellen“ Lösungsmethode steht der Prozess der Zusammenstellung verschiedener Optionen im Vordergrund. Und die Hauptsache ist nicht, wie viel, sondern welche Optionen erhalten werden können. Zu solchen Methoden gehören Aufzählungsmethode. Diese Methode steht auch jüngeren Studierenden zur Verfügung und ermöglicht es Ihnen, Erfahrungen in der praktischen Lösung kombinatorischer Probleme zu sammeln, die als Grundlage für die zukünftige Einführung kombinatorischer Prinzipien und Formeln dienen. Darüber hinaus muss eine Person im Leben nicht nur die Anzahl der möglichen Optionen bestimmen, sondern auch alle diese Optionen direkt zusammenstellen, und wenn sie die Methoden der systematischen Aufzählung beherrscht, kann dies rationaler erfolgen.

Aufgaben werden entsprechend der Komplexität der Aufzählung in drei Gruppen eingeteilt:

• ein . Aufgaben, bei denen Sie eine vollständige Aufzählung aller möglichen Optionen vornehmen müssen.
• 2. Aufgaben, bei denen es unpraktisch ist, die vollständige Aufzählungstechnik zu verwenden, und es notwendig ist, einige Optionen sofort auszuschließen, ohne sie zu berücksichtigen (dh eine verkürzte Aufzählung durchzuführen).
• 3. Aufgaben, bei denen die Aufzählungsoperation mehrmals und in Bezug auf verschiedene Arten von Objekten durchgeführt wird.

Hier sind die relevanten Beispiele für Aufgaben:

Aufgabe. Bilden Sie alle möglichen Ausdrücke, indem Sie die Zeichen „+“ und „-“ zwischen die gegebenen Zahlen 9 ... 2 ... 4 setzen.

Es gibt eine vollständige Liste der Optionen:

• a) zwei Zeichen im Ausdruck gleich sein können, dann erhalten wir:
  • 9 + 2 + 4 oder 9 - 2 - 4;
• b) zwei Vorzeichen verschieden sein können, dann erhalten wir:
  • 9 + 2 - 4 oder 9 - 2 + 4.

Aufgabe. Der Lehrer sagt, dass er 4 Figuren hintereinander gezeichnet hat: große und kleine Quadrate, große und kleine Kreise, damit der Kreis an erster Stelle steht und die Figuren gleicher Form nicht nebeneinander stehen, und fordert die Schüler zum Raten auf die Reihenfolge, in der diese Zahlen angeordnet sind.

Insgesamt gibt es 24 verschiedene Anordnungen dieser Figuren. Und es ist nicht ratsam, sie alle zusammenzustellen und dann diejenigen auszuwählen, die dieser Bedingung entsprechen, daher wird eine verkürzte Aufzählung durchgeführt.

Ein großer Kreis kann an erster Stelle stehen, dann kann ein kleiner nur an dritter Stelle stehen, während große und kleine Quadrate auf zwei Arten platziert werden können - an zweiter und vierter Stelle.

Eine ähnliche Argumentation wird durchgeführt, wenn der erste Platz ein kleiner Kreis ist, und es werden auch zwei Optionen zusammengestellt.

Aufgabe. Drei Partner derselben Firma verwahren Wertpapiere in einem Tresor mit 3 Schlössern. Die Begleiter wollen die Schlüssel zu den Schlössern untereinander verteilen, damit der Tresor nur in Anwesenheit von mindestens zwei Begleitern geöffnet werden kann, aber nicht von einem. Wie kann ich das machen?

Zunächst werden alle möglichen Fälle der Schlüsselverteilung aufgezählt. Jedem Gefährten kann ein Schlüssel gegeben werden, oder zwei verschiedene Schlüssel, oder drei.

Nehmen wir an, dass jeder Begleiter drei verschiedene Schlüssel hat. Dann kann der Tresor von einem Begleiter geöffnet werden, und dieser erfüllt die Bedingung nicht.

Nehmen wir an, dass jeder Begleiter einen Schlüssel hat. Wenn dann zwei von ihnen kommen, können sie den Safe nicht öffnen.

Geben wir jedem Gefährten zwei verschiedene Schlüssel. Die erste - 1 und 2 Tasten, die zweite - 1 und 3 Tasten, die dritte - 2 und 3 Tasten. Lassen Sie uns prüfen, wann zwei Gefährten kommen, um zu sehen, ob sie den Safe öffnen können.

Der erste und der zweite Begleiter können kommen, sie haben alle Schlüssel (1 und 2, 1 und 3). Die erste und dritte Begleitperson können kommen, sie haben auch alle Schlüssel (1 und 2, 2 und 3). Schließlich können die zweite und dritte Begleitperson kommen, sie haben auch alle Schlüssel (1 und 3, 2 und 3).

Um also die Antwort auf dieses Problem zu finden, müssen Sie die Iterationsoperation mehrmals durchführen.

Bei der Auswahl kombinatorischer Probleme sollte auf Gegenstand und Darstellungsform dieser Probleme geachtet werden. Es ist wünschenswert, dass die Aufgaben nicht künstlich aussehen, sondern für Kinder verständlich und interessant sind und positive Emotionen in ihnen hervorrufen. Sie können praktisches Material aus dem Leben verwenden, um Aufgaben zu erstellen.

Es gibt noch andere Probleme, die durch Aufzählung gelöst werden können.

Als Beispiel lösen wir das Problem: „Marquis Karabas war 31 Jahre alt, und sein junger energischer Gestiefelter Kater war 3 Jahre alt, als sich die aus dem Märchen bekannten Ereignisse ereigneten. Wie viele Jahre sind seitdem vergangen, wenn die Katze jetzt dreimal jünger ist als ihr Besitzer? Die Aufzählung der Optionen wird durch eine Tabelle dargestellt.

Zeitalter des Marquis von Carabas und des gestiefelten Katers

14 - 3 = 11 (Jahre)

Antwort: 11 Jahre sind vergangen.

Gleichzeitig experimentiert der Student sozusagen, beobachtet, vergleicht Fakten und zieht auf der Grundlage bestimmter Schlussfolgerungen bestimmte allgemeine Schlussfolgerungen. Im Prozess dieser Beobachtungen wird seine real-praktische Erfahrung bereichert. Genau darin besteht der praktische Wert von Aufzählungsproblemen. In diesem Fall wird das Wort "Aufzählung" im Sinne der Analyse aller möglichen Fälle verwendet, die die Bedingungen des Problems erfüllen, um zu zeigen, dass es keine anderen Lösungen geben kann.

Dieses Problem kann auch durch ein algebraisches Verfahren gelöst werden.

Lassen Sie die Katze x Jahre alt sein, dann ist der Marquis 3x, basierend auf der Bedingung des Problems werden wir die Gleichung aufstellen:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Die Katze ist jetzt 14 Jahre alt, dann sind 14 - 3 = 11 (Jahre) vergangen.

Antwort: 11 Jahre sind vergangen.

Argumentationsmethode kann verwendet werden, um mathematische Sophismen zu lösen.

Die Fehler, die im Sophismus gemacht werden, sind normalerweise auf Folgendes zurückzuführen: Ausführen "verbotener" Handlungen, Verwenden falscher Zeichnungen, falscher Wortgebrauch, ungenaue Formulierungen, "illegale" Verallgemeinerungen, falsche Anwendung von Theoremen.

Sophismus aufdecken bedeutet, auf einen Denkfehler hinzuweisen, aufgrund dessen der äußere Schein des Beweises geschaffen wurde.

Die Analyse von Sophismen entwickelt vor allem das logische Denken und vermittelt die Fähigkeit zum richtigen Denken. Einen Fehler im Sophismus zu erkennen bedeutet, ihn zu erkennen, und das Bewusstsein eines Fehlers verhindert, dass er in anderen mathematischen Überlegungen wiederholt wird. Neben der Kritikalität des mathematischen Denkens offenbart diese Art von Nicht-Standard-Aufgaben die Flexibilität des Denkens. Wird es dem Studenten gelingen, diesem auf den ersten Blick streng logischen Weg „aus den Fängen auszubrechen“, die Folgerungskette genau an dem irrigen Glied zu durchbrechen, das alle weiteren Überlegungen irrig macht?

Die Analyse von Sophismen hilft auch bei der bewussten Aufnahme des untersuchten Materials, entwickelt die Beobachtung und eine kritische Haltung gegenüber dem, was untersucht wird.

a) Hier ist zB ein Sophismus mit falscher Anwendung des Satzes.

Beweisen wir, dass 2 2 = 5 ist.

Nehmen wir die folgende offensichtliche Gleichheit als Anfangsverhältnis: 4: 4 = 5: 5 (1)

Wir entfernen den gemeinsamen Teiler im linken und rechten Teil aus Klammern, wir erhalten:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Die Zahlen in Klammern sind gleich, also 4 = 5 oder 2 2 = 5.

In der Begründung wird beim Übergang von Gleichheit (1) zu Gleichheit (2) aufgrund einer falschen Analogie zum Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition eine Wahrscheinlichkeitsillusion erzeugt.

b) Sophismus mit „illegalen“ Verallgemeinerungen.

Es gibt zwei Familien - Ivanovs und Petrovs. Jeder besteht aus 3 Personen - Vater, Mutter und Sohn. Ivanovs Vater kennt Petrovs Vater nicht. Ivanovs Mutter kennt Petrovas Mutter nicht. Der einzige Sohn der Ivanovs kennt den einzigen Sohn der Petrovs nicht. Fazit: Kein einziges Mitglied der Familie Ivanov kennt ein einziges Mitglied der Familie Petrov. Ist das wahr?

Wenn ein Mitglied der Familie Ivanov kein Mitglied der Familie Petrov mit gleichem Familienstand kennt, bedeutet dies nicht, dass er nicht die ganze Familie kennt. Beispielsweise kann Ivanovs Vater Petrovs Mutter und Sohn kennen.

Die Argumentationsmethode kann auch verwendet werden, um logische Probleme zu lösen. Unter logischen Aufgaben werden in der Regel solche Aufgaben verstanden, die ausschließlich durch logische Operationen gelöst werden. Manchmal erfordert ihre Lösung langwierige Überlegungen, deren notwendige Richtung nicht im Voraus vorhersehbar ist.

Aufgabe. Sie sagen, dass Tortila Pinocchio den goldenen Schlüssel nicht so einfach gegeben hat, wie A. N. Tolstoi gesagt hat, sondern auf ganz andere Weise. Sie holte drei Schachteln heraus: rot, blau und grün. Auf dem roten Kästchen stand: „Hier liegt ein goldener Schlüssel“, auf dem blauen „Das grüne Kästchen ist leer“ und auf dem grünen „Hier sitzt eine Schlange“. Tortila las die Inschriften und sagte: „In der einen Kiste ist ein goldener Schlüssel, in der anderen eine Schlange, und die dritte ist leer, aber alle Inschriften sind falsch. Wenn Sie erraten, welche Kiste den goldenen Schlüssel enthält, gehört er Ihnen." Wo ist der goldene Schlüssel?

Da alle Aufschriften auf den Kisten falsch sind, enthält die rote Kiste keinen goldenen Schlüssel, die grüne Kiste ist nicht leer und es ist keine Schlange darin, was bedeutet, dass der Schlüssel in der grünen Kiste ist, die Schlange ist drin das rote und das blaue ist leer.

Beim Lösen logischer Probleme wird das logische Denken aktiviert, und das ist die Fähigkeit, Konsequenzen aus Prämissen abzuleiten, was für die erfolgreiche Beherrschung der Mathematik unerlässlich ist.

Ein Rebus ist ein Rätsel, aber ein Rätsel ist kein ganz gewöhnliches. Wörter und Zahlen in mathematischen Rätseln werden mit Zeichnungen, Sternchen, Zahlen und verschiedenen Zeichen dargestellt. Um zu lesen, was im Rebus verschlüsselt ist, müssen Sie alle abgebildeten Objekte richtig benennen und verstehen, welches Zeichen was darstellt. Leute benutzten Rätsel, selbst wenn sie nicht schreiben konnten. Sie setzten ihre Briefe aus Gegenständen zusammen. Beispielsweise schickten die Anführer eines Stammes einmal einen Vogel, eine Maus, einen Frosch und fünf Pfeile statt eines Briefes an ihre Nachbarn. Das bedeutete: „Kannst du fliegen wie Vögel und dich im Boden verstecken wie Mäuse, durch Sümpfe springen wie Frösche? Wenn Sie nicht wissen, wie, dann versuchen Sie nicht, gegen uns zu kämpfen. Wir werden Sie mit Pfeilen bombardieren, sobald Sie unser Land betreten.“

Gemessen am Anfangsbuchstaben der Summe 1), D = 1 oder 2.

Angenommen, D = 1. Dann ist Y? 5. Y \u003d 5 ist ausgeschlossen, weil P kann nicht gleich 0 sein. Y? 6, weil 6 + 6 = 12, also P = 2. Aber ein solcher Wert von P ist für eine weitere Überprüfung nicht geeignet. Ebenso U? 7.

Angenommen Y = 8. Dann ist P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Ein magisches (magisches) Quadrat ist ein Quadrat, bei dem die Summe der Zahlen vertikal, horizontal und diagonal gleich ist.

Aufgabe. Ordnen Sie die Zahlen von 1 bis 9 so an, dass Sie vertikal, horizontal und diagonal die gleiche Summe von Zahlen erhalten, die 15 entspricht.

Obwohl es keine allgemeinen Regeln für die Lösung von Nicht-Standard-Problemen gibt (weshalb diese Probleme als Nicht-Standard-Probleme bezeichnet werden), haben wir versucht, eine Reihe allgemeiner Richtlinien zu geben – Empfehlungen, die bei der Lösung von Nicht-Standard-Problemen verschiedener Art befolgt werden sollten .

Jede Nicht-Standard-Aufgabe ist originell und einzigartig in ihrer Lösung. In dieser Hinsicht bildet die entwickelte Methodik zum Unterrichten von Suchaktivitäten beim Lösen von nicht standardmäßigen Aufgaben keine Fähigkeiten zum Lösen von nicht standardmäßigen Aufgaben. Wir können nur über die Entwicklung bestimmter Fähigkeiten sprechen:

• Fähigkeit, die Aufgabe zu verstehen, die wichtigsten (unterstützenden) Wörter hervorzuheben;
• die Fähigkeit, den Zustand und die Frage zu identifizieren, bekannt und unbekannt in dem Problem;
• die Fähigkeit, eine Verbindung zwischen den Daten und dem Gewünschten zu finden, dh den Text des Problems zu analysieren, dessen Ergebnis die Wahl einer arithmetischen Operation oder einer logischen Operation zur Lösung eines nicht standardmäßigen Problems ist;
• die Fähigkeit, den Fortschritt der Lösung und die Antwort auf das Problem aufzuzeichnen;
• · Fähigkeit, zusätzliche Arbeiten an der Aufgabe durchzuführen;
• die Fähigkeit, nützliche Informationen, die im Problem selbst enthalten sind, im Prozess seiner Lösung auszuwählen, diese Informationen zu systematisieren und sie mit vorhandenem Wissen zu korrelieren.

Nicht standardmäßige Aufgaben entwickeln räumliches Denken, das sich in der Fähigkeit ausdrückt, räumliche Bilder von Objekten im Kopf nachzubilden und Operationen an ihnen durchzuführen. Räumliches Denken zeigt sich beim Lösen von Aufgaben wie: „Auf den Rand einer runden Torte wurden 5 Sahnetupfer im gleichen Abstand zueinander gelegt. Schnitte wurden durch alle Punktepaare gemacht. Wie viele Kuchenstücke hast du insgesamt bekommen?

praktische Methode kann für nicht standardmäßige Teilungsprobleme in Betracht gezogen werden.

Aufgabe. Der Stick muss in 6 Teile geschnitten werden. Wie viele Schnitte sind erforderlich?

Lösung: Schnitte benötigen 5.

Wenn Sie nicht standardmäßige Teilungsprobleme untersuchen, müssen Sie verstehen: Um ein Segment in P Teile zu schneiden, sollten Sie einen (P - 1) Schnitt machen. Diese Tatsache muss bei Kindern induktiv festgestellt und dann zur Lösung von Problemen genutzt werden.

Aufgabe. In einer drei Meter langen Stange - 300 cm Es muss in Stangen mit einer Länge von jeweils 50 cm geschnitten werden. Wie viele Schnitte müssen Sie machen?

Lösung: Wir erhalten 6 Balken 300: 50 = 6 (Balken)

Wir argumentieren wie folgt: Um die Stange in zwei Teile zu teilen, müssen Sie 1 Schnitt machen, in 3 Teile - 2 Schnitte und so weiter, in 6 Teile - 5 Schnitte.

Sie müssen also 6 - 1 = 5 (Schnitte) machen.

Antwort: 5 Schnitte.

Eines der Hauptmotive, die Studenten zum Studieren anregen, ist also das Interesse am Fach. Interesse ist eine aktive kognitive Ausrichtung einer Person auf ein bestimmtes Objekt, Phänomen und eine bestimmte Aktivität, die mit einer positiven emotionalen Einstellung zu ihnen geschaffen wird. Eines der Mittel, um das Interesse an Mathematik zu entwickeln, sind nicht standardmäßige Aufgaben. Unter einer Nichtstandardaufgabe werden solche Aufgaben verstanden, für die es keine allgemeinen Regeln und Vorschriften im Ablauf der Mathematik gibt, die das genaue Programm zu ihrer Lösung vorgeben. Das Lösen solcher Probleme ermöglicht es den Schülern, sich aktiv an Lernaktivitäten zu beteiligen. Es gibt verschiedene Klassifikationen von Problemen und Methoden zu ihrer Lösung. Die am häufigsten verwendeten sind algebraische, arithmetische, praktische Methoden und Aufzählung, Argumentation und Vermutung.

Ziel ist es, den Schülern beizubringen, nicht standardmäßige Gleichungen und Ungleichungen durch ein tiefes Verständnis der theoretischen Grundlagen der Mathematik zu lösen.

Im Lernprozess gelöste Aufgaben:

• Entwicklung von nicht standardisiertem Denken der Schüler;
• die Fähigkeit zu bilden, mathematische Modelle zu bauen;
• Entwicklung der Fähigkeiten zum Bestehen von Tests zur Vorbereitung auf die Prüfung (Lösung von Problemen mit erhöhter Komplexität);
• Interesse an Mathematik steigern;
• den Schülern Vertrauen bei der Lösung von Problemen vermitteln

1. Organisatorischer Moment. Festlegung von Zielen und Zielsetzungen für den Unterricht. Schaffung von Voraussetzungen für Erfolg Gemeinsame Aktivitäten(Die Arbeit im Unterricht wird durch ein Punktesystem bewertet, ein elektronisches Tagebuch wird geführt).

2. Kontrolle der Hausaufgaben (elektronisches Tagebuch für den Unterricht). Die Schüler überprüfen die Hausaufgaben (vergleichen ihre Lösungen mit vorgefertigten Lösungen, arbeiten zu zweit.) in einem Microsoft-Office-Word-Dokument am Bildschirm (vom Lehrer vorbereitete Lösungen).

Hausarbeit

Lösen Sie die Gleichungen:

Entscheidung.

Entscheidung. Schreiben wir diese Gleichung in der Form um:

3.

Entscheidung.

Die Wurzel der Gleichung erfüllt die Bedingung nicht.

3. Mündliche Befragung der Studierenden. Gegenseitige Kontrolle und Wertung auf der Scorekarte, während des Unterrichts werden die Ergebnisse in einem elektronischen Tagebuch festgehalten

1. Wie werden Gleichungen der Form gelöst?

2. Wie sind Gleichungen der Form ?

3. Wie werden logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen gelöst?

4. Wie werden Gleichungen gelöst, in denen eine Funktion der Form vorkommt?

4. Problemaufgabe (Gruppenarbeit), die Aufgabe liegt auf jedem Tisch auf roten Blättern. Die Schüler schreiben das Datum und das Thema der Unterrichtsstunde in ihre Hefte und beginnen mit der Lösung der Aufgabe.

1. Lösen Sie die Gleichung

Schon jetzt ist klar, dass die Lösung sehr umständlich sein wird. Es ist ein Problem aufgetreten - diese Gleichung weiter zu lösen oder nach einem anderen Lösungsweg zu suchen?

weil logarithmische Ausdrücke für alle X größer als 1, dann ist jeder Logarithmus eine positive Zahl oder gleich 0.

Damit die Summe gleich 0 ist, müssen Nullen oder entgegengesetzte Zahlen addiert werden, daher kann jeder Logarithmus nur einen Wert gleich Null annehmen, d.h.:

Wir schließen also, dass die Gleichungen mit den Eigenschaften der Funktion gelöst werden können.

Für eine unabhängige Lösung: Lösen Sie die Gleichung: .

Die linke Seite der Gleichung ist eine monoton abnehmende Funktion und die rechte Seite ist eine Konstante, daher hat die Gleichung eine einzelne Wurzel x=1(einfache Auswahl).

5. Ein neues Thema lernen. Um die meisten in Prüfungen, insbesondere beim Einheitlichen Staatsexamen, auftretenden Gleichungen und Ungleichungen zu lösen, reicht es aus, das Schulfach Mathematik zu beherrschen, gleichzeitig ist es aber notwendig, diese nicht nur mit Standardtechniken lösen zu können , sondern auch mit „Nicht-Standard-Techniken und -Methoden“. Hier sind wir in den nächsten fünf Lektionen bei Ihnen und werden solche Methoden und Techniken erarbeiten.

Du weißt bereits, wie man die Substitutionsmethode beim Lösen einiger Gleichungen anwendet. Heute haben wir bereits gelernt, dass man beim Lösen von Gleichungen die Eigenschaften von Funktionen anwenden kann.

Nun möchte ich die Anwendung des eingeschränkten Eigentums zeigen.

1. Satz 1. Wenn und , dann die Gleichung

Löse die Gleichung

Schreiben wir die Gleichung in der Form um:

Da und daher ist diese Gleichung äquivalent zu dem System:

2. Bewertungsmethode

Ein Zeichen dafür, dass die Schätzmethode angewendet werden sollte, ist häufig das Vorhandensein von Funktionen unterschiedlicher Natur in der Gleichung.

Löse die Gleichung

Gleichberechtigung ist erreicht, wenn

Setzen wir die gefundenen x-Werte in Gleichung (2) ein, erhalten wir:

-Lösung des Systems.

3. Verwenden der Monotoniemethode zum Lösen von nicht standardmäßigen Gleichungen und Ungleichungen

Wenn y=f(x) eine monotone Funktion ist, dann hat die Gleichung f(x) = c höchstens eine Wurzel

Die Funktion y=f(x) nehme auf dem Intervall M zu und die Funktion y=g(x) nehme auf diesem Intervall ab. Dann hat die Gleichung f(x)=g(x) höchstens eine Nullstelle auf dem Intervall M.

Der Definitionsbereich der Funktion f(t) sei das Intervall M, und diese Funktion sei stetig und streng monoton (d. h. steigend oder fallend) auf diesem Intervall. Dann ist die Gleichung äquivalent zum System:

Beim Lösen von Gleichungen der Form ist der folgende Satz nützlich: Wenn

Eine monoton steigende (fallende) Funktion, die Gleichungen und sind äquivalent.

Löse die Gleichung:

Entscheidung. - steigende Funktion (als Summe zweier steigender Funktionen).

Die rechte Seite der Gleichung ist eine konstante Zahl. Aufgrund des Wurzelsatzes hat die Gleichung höchstens eine Lösung. Offensichtlich ist =2 eine Wurzel.

Antwort: =2.

4. Verwendung des Definitionsbereichs von Funktionen beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

Eine Methode wird betrachtet, wenn sich bei der Betrachtung einer Gleichung oder einer Ungleichung herausstellt, dass beide ihrer Teile auf einer bestimmten Menge definiert sind, die aus einer oder mehreren Zahlen besteht.

Diese Methode ist am effektivsten beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die Funktionen enthalten y=; y=; y=; y = .

Verschieben Sie beim Lösen einer Gleichung oder Ungleichung alle Terme auf die linke Seite und betrachten Sie die Funktion f(x). Finden Sie seinen Definitionsbereich D (f). Dabei:

ein). Wenn ein D (f) = , dann hat die Gleichung oder Ungleichung keine Lösungen.

2). Wenn ein D (f) \u003d (a 1; a 2; a 3 ..... a n), dann sind die reellen Lösungen der gegebenen Gleichung und Ungleichung unter den Zahlen a 1 ; a 2 ; a 3 ..... ein n . Jetzt müssen wir prüfen, welche der gegebenen Zahlen Lösungen der Gleichung oder Ungleichung sind.

3). Wenn ein D(f) = [a; in], dann müssen Sie überprüfen, ob die Gleichung oder Ungleichung an den Enden des Intervalls und in jedem Intervall gilt, außerdem, wenn a< 0 , a c > 0, dann ist es notwendig, die Intervalle zu überprüfen (а; 0) und )