Bernoulli-Formel- eine Formel in der Wahrscheinlichkeitstheorie, mit der Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ermitteln können A (\displaystyle A) in unabhängigen Tests. Mit der Bernoulli-Formel können Sie eine große Anzahl von Berechnungen - Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten - mit einer ausreichend großen Anzahl von Tests loswerden. Benannt nach dem herausragenden Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli, der diese Formel hergeleitet hat.

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✪ Wahrscheinlichkeitstheorie. 22. Bernoulli-Formel. Probleme lösen

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Untertitel

Wortlaut

Satz. Wenn die Wahrscheinlichkeit p (\ displaystyle p) Veranstaltung A (\displaystyle A) in jedem Versuch konstant ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit P k , n (\displaystyle P_(k,n)) dass die Veranstaltung A (\displaystyle A) kommt genau k (\ displaystyle k) einmal n (\displaystyle n) unabhängige Tests ist gleich: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - - k (\ displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ (k) \ cdot q ^ (n-k)), wo q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Nachweisen

Lass es halten n (\displaystyle n) unabhängige Tests, und es ist bekannt, dass als Ergebnis jedes Tests ein Ereignis A (\displaystyle A) kommt mit Wahrscheinlichkeit P (A) = p (\displaystyle P\links(A\rechts)=p) und tritt daher nicht mit Wahrscheinlichkeit auf P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Lassen Sie auch im Zuge von Wahrscheinlichkeitstests p (\ displaystyle p) und q (\ displaystyle q) bleiben unverändert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dadurch n (\displaystyle n) unabhängiger Test, Veranstaltung A (\displaystyle A) kommt genau k (\ displaystyle k) einmal?

Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, die Anzahl der "erfolgreichen" Kombinationen von Testergebnissen für das Ereignis genau zu berechnen A (\displaystyle A) kommt k (\ displaystyle k) einmal n (\displaystyle n) unabhängigen Studien, ist genau die Anzahl Kombinationen von n (\displaystyle n) an k (\ displaystyle k) :

C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

Da alle Studien unabhängig und ihre Ergebnisse nicht kompatibel sind (event A (\displaystyle A) entweder eintritt oder nicht), dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine "erfolgreiche" Kombination zu erhalten, genau: .

Schließlich, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden n (\displaystyle n) unabhängige Testveranstaltung A (\displaystyle A) kommt genau k (\ displaystyle k) Mal müssen Sie die Wahrscheinlichkeiten addieren, alle "erfolgreichen" Kombinationen zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeiten, alle "erfolgreichen" Kombinationen zu erhalten, sind gleich und gleich p k ⋅ q n - - k (\ displaystyle p ^ (k) \ cdot q ^ (n-k)), die Anzahl der "erfolgreichen" Kombinationen ist C n (k) (\ displaystyle C_ (n) (k)), also erhalten wir schließlich:

P. k , n = C. n k ⋅ p k ⋅ q n - - k = C. n k ⋅ p k ⋅ (1 - - p) n - - k (\ displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ ( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Der letzte Ausdruck ist nichts anderes als die Bernoulli-Formel. Es ist auch nützlich zu beachten, dass aufgrund der Vollständigkeit der Gruppe von Ereignissen gilt:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

In der praktischen Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie stößt man häufig auf Probleme, bei denen dasselbe Experiment oder ähnliche Experimente mehr als einmal wiederholt werden. Als Ergebnis jeder Erfahrung kann ein Ereignis erscheinen oder auch nicht. ABER, und uns interessiert nicht das Ergebnis jedes einzelnen Experiments, sondern Gesamterscheinungen Entwicklungen ABER als Ergebnis einer Versuchsreihe. Wenn zum Beispiel eine Gruppe von Schüssen auf dasselbe Ziel abgefeuert wird, interessiert uns nicht das Ergebnis jedes Schusses, sondern die Gesamtzahl der Treffer. Solche Probleme werden ganz einfach gelöst, wenn die Experimente sind unabhängig.

Definition. Versuche, die unabhängig von Ereignis A sind, sind solche, bei denen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch unabhängig von den Ergebnissen anderer Versuche ist.

Beispiel. Mehrere aufeinanderfolgende Ziehungen einer Karte aus dem Stapel sind unabhängige Experimente, vorausgesetzt, dass die gezogene Karte jedes Mal in den Stapel zurückgelegt und die Karten gemischt werden; andernfalls sind sie abhängige Erfahrungen.

Beispiel. Mehrere Schüsse sind nur dann unabhängige Experimente, wenn vor jedem Schuss erneut gezielt wird; in dem Fall, wenn das Zielen einmal vor dem gesamten Schießen oder kontinuierlich während des Schießens durchgeführt wird (Schießen in einem Stoß, Bomben in einer Reihe), sind die Schüsse abhängige Experimente.

Unabhängige Tests können unter denselben oder anderen Bedingungen durchgeführt werden. Im ersten Fall die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ABER bei allen Experimenten gleich, im zweiten Fall die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ABER ist von erfahrung zu erfahrung unterschiedlich. Der erste Fall ist mit vielen Problemen der Zuverlässigkeitstheorie, der Schießtheorie verbunden und führt zu den sogenannten Bernoulli-Schema, das lautet wie folgt:

1) Die Sequenz wird ausgeführt n unabhängigen Studien, in denen jeweils ein Ereignis ABER kann erscheinen oder nicht;

2) die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER in jedem Test ist konstant und gleich , sowie die Wahrscheinlichkeit seines Nichtauftretens .

Formel von Bernoulli, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu ermitteln Ein k einmal n unabhängigen Studien, in denen jeweils ein Ereignis ABER tritt mit Wahrscheinlichkeit auf p:

. (1)

Bemerkung 1. Mit aufsteigender n und k Die Anwendung der Bernoulli-Formel ist mit Rechenschwierigkeiten verbunden, daher wird Formel (1) hauptsächlich dann verwendet, wenn k 5 nicht überschreitet und n nicht gut.

Bemerkung 2. Da die Wahrscheinlichkeiten in Form Glieder der Binomialentwicklung sind, nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Form (1). Binomial- Verteilung.

Beispiel. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit von fünf Treffern mit sechs Schüssen.

Entscheidung. Seit damals , außerdem und . Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir:

Beispiel. Vier unabhängige Schüsse werden aus unterschiedlichen Entfernungen auf dasselbe Ziel abgegeben. Die Trefferwahrscheinlichkeiten für diese Schüsse sind jeweils:

Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten für keinen, einen, zwei, drei und vier Treffer:

Entscheidung. Wir bilden die erzeugende Funktion:

Beispiel. Es werden fünf unabhängige Schüsse auf ein Ziel mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,2 abgegeben. Drei Treffer reichen aus, um das Ziel zu zerstören. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel zerstört wird.

Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit der Zerstörung des Ziels wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel. Zehn unabhängige Schüsse werden auf das Ziel abgefeuert, die Wahrscheinlichkeit, es mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,1. Ein Treffer reicht aus, um das Ziel zu treffen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen.

Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer errechnet sich nach der Formel:

3. Lokaler Satz von Moivre-Laplace

In Anwendungen ist es oft erforderlich, die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse bezogen auf die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses zu berechnen n Tests des Bernoulli-Schemas bei großen Werten n. In diesem Fall werden Berechnungen nach Formel (1) schwierig. Die Schwierigkeiten nehmen zu, wenn man diese Wahrscheinlichkeiten addieren muss. Auch bei kleinen Werten treten Berechnungsschwierigkeiten auf p oder q.

Laplace erhielt eine wichtige Näherungsformel für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ABER exakt m mal, wenn eine ausreichend große Zahl ist, das heißt, wenn .

Lokales de Moivre-Laplace-Theorem. Wenn die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des Ereignisses A in jedem Versuch konstant und von null und eins verschieden ist, , der Wert in m und n einheitlich begrenzt ist, dann ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A genau m mal in n unabhängigen Versuchen ungefähr gleich

Es sollen n Versuche bezüglich des Ereignisses A durchgeführt werden. Führen wir die folgenden Ereignisse ein: Àk -- Ereignis À wurde während des k-ten Tests realisiert, $ k=1,2,\dots , n$. Dann ist $\bar(A)_(k) $ das entgegengesetzte Ereignis (Ereignis A ist während des k-ten Versuchs nicht eingetreten, $k=1,2,\dots , n$).

Was sind Peer- und Independent-Studien?

Definition

Gleichartige Tests bezüglich Ereignis A werden aufgerufen, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A1, A2, \dots , An$ gleich sind: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (d.h. die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A in einem Versuch ist in allen Versuchen konstant).

Offensichtlich stimmen auch in diesem Fall die Wahrscheinlichkeiten gegensätzlicher Ereignisse überein: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definition

Versuche heißen unabhängig von Ereignis A, wenn die Ereignisse $A1, A2, \dots , An$ unabhängig sind.

In diesem Fall

In diesem Fall bleibt die Gleichheit erhalten, wenn ein beliebiges Ereignis Ak durch $\bar(A)_(k) $ ersetzt wird.

Lassen Sie eine Reihe von n ähnlichen unabhängigen Versuchen in Bezug auf Ereignis A durchführen. Wir tragen die Notation: p - die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in einem Test; q ist die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses. Also P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ für beliebiges k und p+q=1.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von n Versuchen das Ereignis A genau k mal eintritt (0 ≤ k ≤ n), wird nach folgender Formel berechnet:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Gleichheit (1) wird die Bernoulli-Formel genannt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von n unabhängigen Versuchen desselben Typs Ereignis A mindestens k1-mal und höchstens k2-mal auftritt, wird nach folgender Formel berechnet:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Die Anwendung der Bernoulli-Formel für große Werte von n führt zu umständlichen Berechnungen, daher ist es in diesen Fällen besser, andere Formeln zu verwenden - asymptotische.

Verallgemeinerung des Bernoulli-Schemas

Betrachten Sie eine Verallgemeinerung des Bernoulli-Schemas. Wenn in einer Reihe von n unabhängigen Versuchen, von denen jeder m paarweise inkompatible und mögliche Ergebnisse Ak hat, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten Ðk= ðk(Àk). Dann gilt die Polynomverteilungsformel:

Beispiel 1

Die Wahrscheinlichkeit, während einer Epidemie an Grippe zu erkranken, liegt bei 0,4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 6 Mitarbeitern des Unternehmens krank werden

1. genau 4 Mitarbeiter;
2. nicht mehr als 4 Mitarbeiter.

Entscheidung. 1) Offensichtlich ist zur Lösung dieses Problems die Bernoulli-Formel anwendbar, wobei n = 6; k=4; p = 0,4; q = 1 – p = 0,6. Wenden wir Formel (1) an, erhalten wir: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \approx 0,138$.

Um dieses Problem zu lösen, ist Formel (2) anwendbar, wobei k1 = 0 und k2 = 4. Wir haben:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0)\cdot 0{,}4^(0)\cdot 0{,}6^(6)+C_(6)^(1)\cdot 0{,}4^(1)\cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ ungefähr 0,959.) \end(array)\]

Es ist zu beachten, dass diese Aufgabe mit dem entgegengesetzten Ereignis leichter zu lösen ist - mehr als 4 Mitarbeiter sind krank geworden. Dann erhalten wir unter Berücksichtigung der Formel (7) über die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse:

Antwort: $\ $0,959.

Beispiel 2

Eine Urne enthält 20 weiße und 10 schwarze Kugeln. 4 Kugeln werden herausgenommen, und jede herausgenommene Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die nächste gezogen und die Kugeln in der Urne gemischt werden. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier gezogenen Kugeln 2 weiße Kugeln in Abbildung 1 sind.

Bild 1.

Entscheidung. Das Ereignis A sei das – eine weiße Kugel wird gezogen. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Gemäß der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Antwort: $\frac(8)(27) $.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern nicht mehr als 3 Mädchen hat. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, wird als gleich angenommen.

Entscheidung. Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-Wahrscheinlichkeit, einen Jungen zu bekommen. Es gibt nicht mehr als drei Mädchen in einer Familie, was bedeutet, dass entweder ein oder zwei oder drei Mädchen geboren wurden oder alle Jungen in der Familie.

Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass es keine Mädchen in der Familie gibt, ein, zwei oder drei Mädchen geboren wurden: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Daher ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Antwort: $\frac(13)(16)$.

Beispiel 4

Der erste Schütze mit einem Schuss kann die Top Ten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 treffen, die Neun mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und die Acht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit 10 Schüssen sechsmal zehn, dreimal neun und achtmal acht trifft?

Es werden n Experimente nach dem Bernoulli-Schema mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p durchgeführt. Sei X die Anzahl der Erfolge. Die Zufallsvariable X hat den Wertebereich (0,1,2,...,n). Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte können durch die Formel gefunden werden: , wobei C m n die Anzahl der Kombinationen von n bis m ist.
Die Verteilungsreihe hat die Form:

x	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Dieses Verteilungsgesetz wird Binomial genannt.

Dienstzuweisung. Zum Zeichnen wird ein Online-Rechner verwendet Binomialverteilungsreihe und Berechnung aller Merkmale der Reihe: mathematischer Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Ein Bericht mit Beschluss wird im Word-Format erstellt (Beispiel).

Anzahl von Versuchen: n= , Wahrscheinlichkeit p =
Mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit p und einer großen Anzahl von n (np Poisson-Formel.

Videoanleitung

Bernoulli-Testschema

Numerische Eigenschaften einer nach dem Binomialgesetz verteilten Zufallsvariablen

Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, verteilt nach dem Binomialgesetz.
M[X]=np

Streuung einer Zufallsvariablen X, verteilt nach dem Binomialgesetz.
D[X]=npq

Beispiel 1. Das Produkt kann jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit p = 0,3 fehlerhaft sein. Aus einer Charge werden drei Artikel ausgewählt. X ist die Anzahl der defekten Teile unter den ausgewählten. Finden (alle Antworten in Form von Dezimalbrüchen eintragen): a) Verteilungsreihe X; b) Verteilungsfunktion F(x) .
Lösung. Die Zufallsvariable X hat einen Bereich (0,1,2,3).
Lassen Sie uns die Verteilungsserie X finden.
P 3 (0) = (1 – p) n = (1 – 0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1 – p) n – 1 = 3 (1 – 0,3) 3 – 1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x ich	0	1	2	3
Pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Die mathematische Erwartung ergibt sich aus der Formel M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Untersuchung: m = ∑ x ich p ich .
Mathematischer Erwartungswert M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Die Streuung ergibt sich aus der Formel D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Untersuchung: d = ∑x 2 ich p ich - M[x] 2 .
Streuung D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Standardabweichung σ(x).

Verteilungsfunktion F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Versuch eintritt, beträgt 0,6. Es werden 5 Tests gemacht. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X - die Anzahl der Vorkommen eines Ereignisses.
2. Erstellen Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X der Anzahl der Treffer mit vier Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,8 beträgt.
3. Eine Münze wird 7 Mal geworfen. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Häufigkeit des Wappens. Hinweis: Hier ist die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen des Wappens p = 1/2 (weil die Münze zwei Seiten hat).

Beispiel #2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem einzelnen Versuch eintritt, beträgt 0,6. Bestimmen Sie unter Anwendung des Satzes von Bernoulli die Anzahl der unabhängigen Versuche, ab denen die Wahrscheinlichkeit der Abweichung der Häufigkeit eines Ereignisses von seiner absoluten Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,1 und größer als 0,97 ist. (Antwort: 801)

Beispiel #3. Die Schüler führen Tests im Informatikunterricht durch. Die Arbeit besteht aus drei Aufgaben. Um eine gute Note zu bekommen, müssen Sie die richtigen Antworten auf mindestens zwei Aufgaben finden. Jedes Problem hat 5 Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler wählt zufällig eine Antwort aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine gute Note bekommt?
Lösung. Wahrscheinlichkeit, die Frage richtig zu beantworten: p=1/5=0,2; n=3.
Diese Daten müssen in den Rechner eingegeben werden. Siehe P(2)+P(3) für die Antwort.

Beispiel Nr. 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel mit einem Schuss trifft, ist (m+n)/(m+n+2) . Es werden n + 4 Schüsse abgegeben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht mehr als zweimal verfehlt.

Notiz. Die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht mehr als zweimal verfehlt, schließt die folgenden Ereignisse ein: verfehlt nie P(4), verfehlt einmal P(3), verfehlt zweimal P(2).

Beispiel Nummer 5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der ausgefallenen Flugzeuge, wenn 4 Flugzeuge fliegen. Die Wahrscheinlichkeit des störungsfreien Betriebs des Flugzeugs Р=0,99. Die Anzahl der Flugzeuge, die bei jedem Einsatz ausgefallen sind, wird gemäß dem Binomialgesetz verteilt.

Wenn mehrere Versuche durchgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch nicht von den Ergebnissen anderer Versuche abhängt, werden solche Versuche aufgerufen unabhängig in Bezug auf das Ereignis A .

In verschiedenen unabhängigen Versuchen kann Ereignis A entweder unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten oder dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Wir betrachten weiterhin nur solche unabhängigen Versuche, bei denen das Ereignis A die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Im Folgenden verwenden wir das Konzept Komplex Ereignisse, Verständnis dadurch Kombination mehrerer separater Ereignisse, die aufgerufen werden einfach .

Lass es produzieren n unabhängige Versuche, bei denen jeweils A eintreten kann oder nicht. Vereinbaren wir die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch gleich ist, nämlich gleich R . Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens von Ereignis A in jedem Versuch ebenfalls konstant und gleich q = 1 - s .

Stellen wir uns die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen n Tests, Ereignis A wird genau eintreten k Zeiten und werden daher nicht realisiert n-k Einmal. Es ist wichtig zu betonen, dass es nicht erforderlich ist, dass sich das Ereignis A exakt wiederholt k Mal in einer bestimmten Reihenfolge.

Zum Beispiel, wenn wir über das Eintreten eines Ereignisses sprechen ABER dreimal in vier Versuchen sind folgende komplexe Ereignisse möglich: AAA, AAA, AAA, AAA. Aufzeichnung AAA bedeutet, dass im ersten, zweiten und dritten Versuch das Ereignis ABER kam, aber im vierten Test erschien es nicht, d.h. das Gegenteil geschah SONDERN; andere Einträge haben eine entsprechende Bedeutung.

Geben Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit an R p (k) . Zum Beispiel das Symbol R5 (3) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in fünf Versuchen genau 3 Mal eintritt und daher 2 Mal nicht eintritt.

Das Problem lässt sich mit der sogenannten Bernoulli-Formel lösen.

Herleitung der Bernoulli-Formel. Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses besteht darin, dass in P Testveranstaltung ABER wird kommen k einmal und wird nicht kommen n-k Zeiten, nach dem Theorem der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ist gleich p k q n - k . Es kann so viele solcher komplexen Ereignisse geben, wie es Kombinationen davon gibt P Elemente von k Elemente, d.h. C n k .

Da diese komplexen Ereignisse unvereinbar, dann nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen komplexen Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeiten all dieser komplexen Ereignisse gleich sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (des Eintretens k Veranstaltungszeiten ABER in P Tests) ist gleich der Wahrscheinlichkeit eines komplexen Ereignisses, multipliziert mit ihrer Anzahl:

Die resultierende Formel wird aufgerufen Bernoulli-Formel .

Beispiel 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stromverbrauch an einem Tag die festgelegte Norm nicht überschreitet, ist gleich p = 0,75 . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 6 Tagen der Stromverbrauch für 4 Tage die Norm nicht überschreitet.

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit des normalen Stromverbrauchs an jedem der 6 Tage ist konstant und gleich p = 0,75 . Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Mehrverbrauchs an Strom jeden Tag ebenfalls konstant und gleich q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der Bernoulli-Formel ist gleich: