Dies ist ein ziemlich interessanter Bereich der Mathematik, der absolut allen Absolventen und Studenten begegnet. Allerdings mag nicht jeder Matan. Manche können nicht einmal grundlegende Dinge wie eine scheinbar standardmäßige Funktionsstudie verstehen. Dieser Artikel soll ein solches Versäumnis korrigieren. Möchten Sie mehr über Funktionsanalyse erfahren? Möchten Sie wissen, was Extrempunkte sind und wie man sie findet? Dann ist dieser Artikel genau das Richtige für Sie.
Den Graphen einer Funktion studieren
Zunächst lohnt es sich zu verstehen, warum Sie das Diagramm überhaupt analysieren müssen. Es gibt einfache Funktionen, die nicht schwer zu zeichnen sind. Ein markantes Beispiel für eine solche Funktion ist eine Parabel. Es wird nicht schwierig sein, eine Grafik zu zeichnen. Es genügt, mit einer einfachen Transformation die Zahlen zu finden, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Und im Prinzip ist das alles, was Sie wissen müssen, um einen Graphen einer Parabel zu zeichnen.
Was aber, wenn die Funktion, die wir grafisch darstellen müssen, viel komplexer ist? Da die Eigenschaften komplexer Funktionen nicht ganz offensichtlich sind, ist eine umfassende Analyse erforderlich. Erst danach kann die Funktion grafisch dargestellt werden. Wie macht man das? Die Antwort auf diese Frage finden Sie in diesem Artikel.
Funktionsanalyseplan
Das erste, was wir tun müssen, ist eine oberflächliche Untersuchung der Funktion, bei der wir den Definitionsbereich finden. Beginnen wir also der Reihe nach. Der Definitionsbereich ist die Wertemenge, durch die die Funktion definiert wird. Einfach ausgedrückt sind dies die Zahlen, die in einer Funktion anstelle von x verwendet werden können. Um den Umfang zu bestimmen, genügt ein Blick in die Akte. Es ist beispielsweise offensichtlich, dass die Funktion y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 einen Definitionsbereich hat, der die Menge der reellen Zahlen ist. Nun, bei einer Funktion wie (x 2 - 2x)/x ist alles etwas anders. Da die Zahl im Nenner nicht gleich 0 sein darf, umfasst der Definitionsbereich dieser Funktion alle reellen Zahlen außer Null.
Als nächstes müssen Sie die sogenannten Nullstellen der Funktion finden. Dies sind die Argumentwerte, bei denen die gesamte Funktion den Wert Null annimmt. Dazu ist es notwendig, die Funktion mit Null gleichzusetzen, sie im Detail zu betrachten und einige Transformationen durchzuführen. Nehmen wir die bereits bekannte Funktion y(x) = (x 2 - 2x)/x. Aus dem Schulunterricht wissen wir, dass ein Bruch gleich 0 ist, wenn der Zähler gleich Null ist. Deshalb verwerfen wir den Nenner und beginnen mit dem Zähler zu arbeiten, indem wir ihn mit Null gleichsetzen. Wir erhalten x 2 - 2x = 0 und setzen x aus Klammern. Daher ist x (x - 2) = 0. Als Ergebnis stellen wir fest, dass unsere Funktion gleich Null ist, wenn x gleich 0 oder 2 ist.
Bei der Untersuchung des Graphen einer Funktion stoßen viele Menschen auf Probleme in Form von Extrempunkten. Und es ist seltsam. Extreme sind schließlich ein recht einfaches Thema. Glauben Sie mir nicht? Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie diesen Teil des Artikels lesen, in dem wir über Mindest- und Höchstpunkte sprechen.
Zunächst lohnt es sich zu verstehen, was ein Extremum ist. Ein Extremum ist der Grenzwert, den eine Funktion in einem Diagramm erreicht. Es stellt sich heraus, dass es zwei Extremwerte gibt – Maximum und Minimum. Zur Verdeutlichung können Sie sich das Bild oben ansehen. Im untersuchten Gebiet ist Punkt -1 das Maximum der Funktion y (x) = x 5 - 5x und Punkt 1 dementsprechend das Minimum.
Verwechseln Sie die Konzepte auch nicht. Die Extrempunkte einer Funktion sind die Argumente, an denen eine gegebene Funktion Extremwerte annimmt. Das Extremum wiederum ist der Wert der Minima und Maxima einer Funktion. Betrachten Sie zum Beispiel noch einmal die obige Abbildung. -1 und 1 sind die Extrempunkte der Funktion und 4 und -4 sind die Extrempunkte selbst.
Extrempunkte finden
Aber wie findet man trotzdem die Extrempunkte einer Funktion? Alles ist ganz einfach. Als Erstes muss die Ableitung der Gleichung ermittelt werden. Nehmen wir an, wir haben die Aufgabe erhalten: „Finden Sie die Extrempunkte der Funktion y (x), x ist das Argument. Nehmen wir zur Verdeutlichung die Funktion y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Lassen Sie uns differenzieren Erhalten Sie die folgende Gleichung: 3x 2 + 4x + 1. Als Ergebnis müssen wir sie nur mit Null gleichsetzen und die Wurzeln finden. Da die Diskriminante größer als Null ist (D = 16 - 12 = 4), diese Gleichung wird durch zwei Wurzeln bestimmt und erhält zwei Werte: 1/3 und -1. Dies sind jedoch die Extrempunkte der Funktion Ist wer? 1. Setzen Sie diesen Wert in unsere Gleichung y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5 ein. Als Ergebnis erhalten wir eine positive Zahl. Das bedeutet, dass die Funktion im Intervall von 1/3 zunimmt. Das wiederum bedeutet, dass die Funktion auf den Intervallen von minus Unendlich bis 1/3 und von -1 bis plus Unendlich abnimmt. Daraus können wir schließen, dass die Zahl 1/3 der Minimalpunkt der Funktion im untersuchten Intervall und -1 der Maximalpunkt ist.
Es ist auch erwähnenswert, dass das Einheitliche Staatsexamen nicht nur das Finden von Extrempunkten erfordert, sondern auch die Durchführung einer Operation mit ihnen (Addieren, Multiplizieren usw.). Aus diesem Grund lohnt es sich, den Bedingungen des Problems besondere Aufmerksamkeit zu schenken. Denn durch Unaufmerksamkeit kann man Punkte verlieren.
In diesem Artikel erfährt der Leser, was ein Extremwert des funktionalen Wertes ist und welche Merkmale seine Verwendung in der Praxis aufweist. Das Studium eines solchen Konzepts ist äußerst wichtig für das Verständnis der Grundlagen der höheren Mathematik. Dieses Thema ist grundlegend für ein vertieftes Studium des Kurses.
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Was ist ein Extremum?
Im Schulunterricht werden viele Definitionen des Begriffs „Extremum“ gegeben. Dieser Artikel soll denjenigen, die sich mit dem Thema nicht auskennen, das tiefste und klarste Verständnis des Begriffs vermitteln. Unter dem Begriff versteht man also, inwieweit das Funktionsintervall bei einem bestimmten Satz einen minimalen oder maximalen Wert annimmt.
Ein Extremum ist gleichzeitig der Minimalwert und das Maximum einer Funktion. Es gibt einen Minimalpunkt und einen Maximalpunkt, also die Extremwerte des Arguments im Diagramm. Die wichtigsten Wissenschaften, die dieses Konzept verwenden, sind:
- Statistiken;
- Maschinensteuerung;
- Ökonometrie.
Extremumpunkte spielen eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Reihenfolge einer bestimmten Funktion. Das Koordinatensystem im Diagramm zeigt am besten die Änderung der Extremposition in Abhängigkeit von der Änderung der Funktionalität.
Extrema der Ableitungsfunktion
Es gibt auch ein Phänomen wie „Derivat“. Es ist notwendig, den Extrempunkt zu bestimmen. Es ist wichtig, minimale oder maximale Punkte nicht mit den höchsten und niedrigsten Werten zu verwechseln. Dies sind unterschiedliche Konzepte, auch wenn sie ähnlich erscheinen mögen.
Der Wert der Funktion ist der Hauptfaktor bei der Bestimmung, wie der Maximalpunkt ermittelt wird. Die Ableitung wird nicht aus Werten gebildet, sondern ausschließlich aus ihrer Extremposition in der einen oder anderen Reihenfolge.
Die Ableitung selbst wird anhand dieser Extrempunkte bestimmt und nicht anhand des größten oder kleinsten Werts. In russischen Schulen ist die Grenze zwischen diesen beiden Konzepten nicht klar gezogen, was das Verständnis dieses Themas im Allgemeinen beeinträchtigt.
Betrachten wir nun ein solches Konzept als „akutes Extremum“. Heute gibt es einen akuten Minimalwert und einen akuten Maximalwert. Die Definition erfolgt gemäß der russischen Klassifikation kritischer Punkte einer Funktion. Das Konzept eines Extrempunkts ist die Grundlage für die Suche nach kritischen Punkten in einem Diagramm.
Um ein solches Konzept zu definieren, greifen sie auf den Satz von Fermat zurück. Es ist das wichtigste bei der Untersuchung von Extrempunkten und vermittelt eine klare Vorstellung von ihrer Existenz in der einen oder anderen Form. Um Extremität zu gewährleisten, ist es wichtig, bestimmte Bedingungen für eine Abnahme oder Zunahme im Diagramm zu schaffen.
Um die Frage „Wie findet man den Maximalpunkt“ genau zu beantworten, müssen Sie diese Richtlinien befolgen:
- Finden des genauen Definitionsbereichs im Diagramm.
- Suchen Sie nach der Ableitung einer Funktion und dem Extrempunkt.
- Lösen Sie Standardungleichungen für den Bereich, in dem das Argument gefunden wird.
- Beweisen können, in welchen Funktionen ein Punkt auf einem Graphen definiert und stetig ist.
Aufmerksamkeit! Die Suche nach dem kritischen Punkt einer Funktion ist nur möglich, wenn eine Ableitung mindestens zweiter Ordnung vorliegt, was durch einen hohen Anteil des Vorhandenseins eines Extrempunkts gewährleistet ist.
Notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion
Damit ein Extremum existiert, ist es wichtig, dass es sowohl Minimal- als auch Maximalpunkte gibt. Wird diese Regel nur teilweise beachtet, ist die Bedingung für die Existenz eines Extremums verletzt.
Jede Funktion an jeder Position muss differenziert werden, um ihre neue Bedeutung zu identifizieren. Es ist wichtig zu verstehen, dass der Fall, dass ein Punkt gegen Null geht, nicht das Hauptprinzip für die Suche nach einem differenzierbaren Punkt ist.
Ein akutes Extremum sowie ein Minimum einer Funktion sind ein äußerst wichtiger Aspekt bei der Lösung eines mathematischen Problems mithilfe von Extremwerten. Um diese Komponente besser zu verstehen, ist es wichtig, sich zur Spezifikation der Funktionalität auf die Tabellenwerte zu beziehen.
| Vollständige Bedeutungsforschung | Zeichnen eines Wertediagramms |
| 1. Bestimmung von Punkten mit steigenden und fallenden Werten. 2. Finden von Diskontinuitätspunkten, Extremum und Schnittpunkten mit Koordinatenachsen. 3. Der Prozess der Bestimmung von Positionsänderungen in einem Diagramm. 4. Bestimmung des Indikators und der Richtung der Konvexität und Konvexität unter Berücksichtigung des Vorhandenseins von Asymptoten. 5. Erstellung einer Fim Hinblick auf die Bestimmung ihrer Koordinaten. 6. Ermitteln der Intervalle zunehmender und abnehmender extremer und scharfer Punkte. 7. Bestimmung der Konvexität und Konkavität einer Kurve. 8. Durch die Erstellung eines Diagramms unter Berücksichtigung der Forschungsergebnisse können Sie das Minimum oder Maximum ermitteln. |
Das Hauptelement bei der Arbeit mit Extrempunkten ist die genaue Konstruktion des Diagramms. Schullehrer schenken einem so wichtigen Aspekt oft nicht die größtmögliche Aufmerksamkeit, was einen groben Verstoß gegen den Bildungsprozess darstellt. Die Erstellung eines Diagramms erfolgt nur auf der Grundlage der Ergebnisse der Untersuchung funktionaler Daten, der Identifizierung akuter Extrema sowie von Punkten im Diagramm. Scharfe Extrema der Ableitungsfunktion werden in einem Diagramm exakter Werte angezeigt, wobei ein Standardverfahren zur Bestimmung von Asymptoten verwendet wird. Die Maximal- und Minimalpunkte der Funktion werden von komplexeren Graphkonstruktionen begleitet. Dies liegt an der tieferen Notwendigkeit, das Problem des akuten Extremums zu lösen. Es ist auch notwendig, die Ableitung einer komplexen und einfachen Funktion zu finden, da dies eines der wichtigsten Konzepte im Extremumproblem ist. |
Extremum des Funktionalen
Um den oben genannten Wert zu ermitteln, müssen Sie folgende Regeln beachten:
- Bestimmen Sie die notwendige Bedingung für eine extreme Beziehung.
- Berücksichtigen Sie den ausreichenden Zustand der Extrempunkte im Diagramm.
- Führen Sie die Berechnung des akuten Extremums durch.
Es werden auch Konzepte wie schwaches Minimum und starkes Minimum verwendet. Dies muss bei der Bestimmung des Extremums und seiner genauen Berechnung berücksichtigt werden. Gleichzeitig ist die akute Funktionalität die Suche und Schaffung aller notwendigen Bedingungen für die Arbeit mit dem Graphen einer Funktion.
Einführung
In vielen Bereichen der Wissenschaft und der Praxis steht man oft vor dem Problem, das Extremum einer Funktion zu finden. Tatsache ist, dass viele technische, wirtschaftliche usw. Prozesse werden durch eine Funktion oder mehrere Funktionen modelliert, die von Variablen abhängen – Faktoren, die den Zustand des modellierten Phänomens beeinflussen. Um die optimale (rationale) Zustands- und Prozesssteuerung zu ermitteln, ist es erforderlich, die Extrema solcher Funktionen zu finden. So werden in der Wirtschaftswissenschaft oft die Probleme der Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung gelöst – das mikroökonomische Problem des Unternehmens. In dieser Arbeit betrachten wir keine Modellierungsprobleme, sondern betrachten nur Algorithmen zur Suche nach Extrema von Funktionen in der einfachsten Version, wenn den Variablen keine Einschränkungen auferlegt werden (bedingungslose Optimierung) und das Extremum nur für eine Zielfunktion gesucht wird.
EXTREMA DER FUNKTION
Betrachten Sie den Graphen einer stetigen Funktion y=f(x) in der Abbildung dargestellt. Funktionswert an einem Punkt X 1 wird größer sein als die Funktionswerte an allen benachbarten Punkten sowohl links als auch rechts davon X 1 . In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Maximal 1. Am Punkt X Funktion 3 hat offensichtlich auch ein Maximum. Wenn wir den Punkt bedenken X 2, dann ist der darin enthaltene Funktionswert kleiner als alle benachbarten Werte. In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Mindestens 2. Ebenso für den Punkt X 4 .
Funktion y=f(x) am Punkt X 0 hat maximal, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als ihre Werte an allen Punkten eines Intervalls, das den Punkt enthält X 0, d.h. wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0, was für alle gilt X≠X 0 , Zugehörigkeit zu dieser Nachbarschaft gilt die Ungleichung f(x)<f(x 0 ) .
Funktion y=f(x) Es hat Minimum am Punkt X 0 , wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0 , das ist für jeden etwas X≠X 0 zu dieser Nachbarschaft gehört, gilt die Ungleichung f(x)>f(x 0.
Die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum und Minimum erreicht, werden Extrempunkte genannt, und die Werte der Funktion an diesen Punkten werden Extrema der Funktion genannt.
Beachten wir die Tatsache, dass eine auf einem Segment definierte Funktion nur an Punkten, die innerhalb des betrachteten Segments liegen, ein Maximum und ein Minimum erreichen kann.
Beachten Sie, dass wenn eine Funktion an einem Punkt ein Maximum aufweist, dies nicht bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt den größten Wert im gesamten Definitionsbereich hat. In der oben besprochenen Abbildung ist die Funktion an dem Punkt X 1 hat ein Maximum, obwohl es Punkte gibt, an denen die Funktionswerte größer sind als am Punkt X 1 . Insbesondere, F(X 1) < F(X 4) d.h. Das Minimum der Funktion ist größer als das Maximum. Aus der Definition des Maximums folgt lediglich, dass dies der größte Wert der Funktion an Punkten ist, die hinreichend nahe am Maximalpunkt liegen.
Satz 1. (Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Wenn die differenzierbare Funktion y=f(x) hat an der Stelle x=x 0 Extremum, dann wird seine Ableitung an diesem Punkt Null.
Nachweisen. Lassen Sie uns der Sicherheit halber auf den Punkt kommen X 0-Funktion hat ein Maximum. Dann gilt für ausreichend kleine Inkremente Δ X wir haben f(x 0 + Δ X)
Übergabe dieser Ungleichungen an den Grenzwert bei Δ X→ 0 und unter Berücksichtigung der Ableitung F "(X 0) existiert, und daher hängt der Grenzwert auf der linken Seite nicht davon ab, wie Δ X→ 0 erhalten wir: bei Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a bei Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Da F"(X 0) eine Zahl definiert, dann sind diese beiden Ungleichungen nur dann kompatibel, wenn F"(X 0) = 0.
Der bewährte Satz besagt, dass die Maximal- und Minimalpunkte nur zu den Werten des Arguments gehören können, bei denen die Ableitung Null wird.
Wir haben den Fall betrachtet, dass eine Funktion an allen Punkten eines bestimmten Segments eine Ableitung hat. Wie verhält es sich, wenn das Derivat nicht existiert? Schauen wir uns Beispiele an.
j=|X|.
Die Funktion hat an diesem Punkt keine Ableitung X=0 (an diesem Punkt hat der Graph der Funktion keinen definierten Tangens), aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Minimum, da j(0)=0 und für alle X≠ 0j > 0.
hat keine Ableitung bei X=0, da es bei unendlich geht X=0. Aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Maximum. hat keine Ableitung bei X=0, seit wann X→0. Zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum. Wirklich, f(x)=0 und bei X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.Aus den gegebenen Beispielen und dem formulierten Satz geht somit klar hervor, dass eine Funktion nur in zwei Fällen ein Extremum haben kann: 1) an Punkten, an denen die Ableitung existiert und gleich Null ist; 2) an dem Punkt, an dem die Ableitung nicht existiert.
Wenn jedoch irgendwann X 0 das wissen wir f "(x 0 ) =0, dann kann man hieraus nicht auf das schließen X 0 hat die Funktion ein Extremum.
Zum Beispiel.
.Aber Punkt X=0 ist kein Extrempunkt, da links von diesem Punkt die Funktionswerte unterhalb der Achse liegen Ochse, und rechts oben.
Es werden Werte eines Arguments aus dem Definitionsbereich einer Funktion aufgerufen, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet oder nicht existiert kritische Punkte.
Aus alledem folgt, dass die Extrempunkte der Funktion zu den kritischen Punkten gehören, allerdings ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt. Um das Extremum einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie daher alle kritischen Punkte der Funktion ermitteln und dann jeden dieser Punkte separat auf Maximum und Minimum untersuchen. Hierzu dient der folgende Satz.
Satz 2. (Eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Die Funktion sei in einem Intervall, das den kritischen Punkt enthält, stetig X 0 und ist an allen Punkten dieses Intervalls differenzierbar (außer vielleicht am Punkt selbst). X 0). Wenn bei der Bewegung von links nach rechts durch diesen Punkt die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann an diesem Punkt X = X 0-Funktion hat ein Maximum. Wenn, bei der Durchreise X 0 von links nach rechts ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, dann hat die Funktion an dieser Stelle ein Minimum.
Also, wenn
f "(x)>0 um X<X 0 und f "(x)< 0 um x> x 0 also X 0 – Höchstpunktzahl;
bei X<X 0 und f "(x)> 0 um x> x 0 also X 0 – Mindestpunktzahl.Nachweisen. Nehmen wir zunächst einmal an, dass es sich um eine Durchreise handelt X 0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, d.h. Vor allen X, nah am Punkt X 0 f "(x)> 0 für X< x 0 , f "(x)< 0 für x> x 0 . Wenden wir den Satz von Lagrange auf die Differenz an f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), wo C liegt zwischen X Und X 0 .
Lassen X< x 0 . Dann C< x 0 und f "(c)> 0. Deshalb f "(c)(x- x 0)< 0 und daher
f(x) - f(x 0 )< 0, d.h. f(x)< f(x 0 ).
Lassen x > x 0 . Dann c>x 0 und f "(c)< 0. Bedeutet f "(c)(x- x 0)< 0. Deshalb f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .
Also für alle Werte X nah genug dran X 0 f(x)< f(x 0 ) . Und das bedeutet auf den Punkt gebracht X 0-Funktion hat ein Maximum.
Der zweite Teil des Minimumsatzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Theorems in der Abbildung veranschaulichen. Lassen f "(x 1 ) =0 und für alle X, nah genug dran X 1 sind die Ungleichungen erfüllt
f "(x)< 0 um X< x 1 , f "(x)> 0 um x> x 1 .
Dann links vom Punkt X 1 Die Funktion nimmt rechts zu und ab, also wann X = X 1 Funktion geht von steigend nach fallend, das heißt, sie hat ein Maximum.
Ebenso können wir Punkte berücksichtigen X 2 und X 3 .
Alles oben Genannte kann im Bild schematisch dargestellt werden:
Regel zum Studieren der Funktion y=f(x) für Extremum
Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion f(x).
Finden Sie die erste Ableitung einer Funktion f "(x).
Bestimmen Sie hierfür kritische Punkte:
Finden Sie die wahren Wurzeln der Gleichung f "(x)=0;
Finden Sie alle Werte X für die die Ableitung f "(x) existiert nicht.
Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Da das Vorzeichen der Ableitung zwischen zwei kritischen Punkten konstant bleibt, reicht es aus, das Vorzeichen der Ableitung an einem Punkt links und einem Punkt rechts vom kritischen Punkt zu bestimmen.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.
Finden Sie den größten Wert der Funktion y=(7x^2-56x+56)e^x auf dem Segment [-3; 2].
Lösung anzeigenLösung
Lassen Sie uns die Ableitung der ursprünglichen Funktion mithilfe der Produktableitungsformel ermitteln y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Berechnen wir die Nullstellen der Ableitung: y"=0;
7x(x-6)e^x=0,
x_1=0, x_2=6.
Ordnen wir die Vorzeichen der Ableitung und bestimmen wir die Monotonieintervalle der ursprünglichen Funktion auf einem gegebenen Segment.
Aus der Abbildung geht hervor, dass auf dem Segment [-3; 0] nimmt die ursprüngliche Funktion zu und auf dem Segment ab. Somit ist der größte Wert im Segment [-3; 2] wird bei x=0 erreicht und ist gleich y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.
Antwort
Zustand
Finden Sie den größten Wert der Funktion y=12x-12tg x-18 auf dem Segment \links.
Lösung anzeigenLösung
y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion im betrachteten Intervall nicht steigend ist und am linken Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert annimmt. y(0)= Der größte Wert ist -18.
Antwort
12\cdot 0-12 tg (0)-18=
Zustand
Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Lösung anzeigenLösung
Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion y=(x+8)^2e^(x+52).
Mit der Ableitung ermitteln wir den Minimalpunkt der Funktion. Finden wir die Ableitung einer gegebenen Funktion mithilfe der Formeln für die Ableitung des Produkts, die Ableitung von x^\alpha und e^x: y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)=
(x+8)(x+10)e^(x+52). Ordnen wir die Vorzeichen der Ableitung und bestimmen wir die Intervalle der Monotonie der ursprünglichen Funktion. e^(x+52)>0 für jedes x. y"=0 bei x=-8,
.png)
x=-10.
Antwort
12\cdot 0-12 tg (0)-18=
Zustand
Die Abbildung zeigt, dass die Funktion y=(x+8)^2e^(x+52) einen einzelnen Minimalpunkt x=-8 hat. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion
Lösung anzeigenLösung
y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.
ODZ: x \geqslant 0. Finden wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion:
y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.
Berechnen wir die Nullstellen der Ableitung:
8-\sqrt x=0;
\sqrt x=8;
x=64.
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Ordnen wir die Vorzeichen der Ableitung und bestimmen wir die Monotonieintervalle der ursprünglichen Funktion.
Antwort
12\cdot 0-12 tg (0)-18=
Zustand
Die Abbildung zeigt, dass der Punkt x=64 der einzige Maximalpunkt der gegebenen Funktion ist. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y=5x^2-12x+2\ln x+37 auf dem Segment
Lösung anzeigenLösung
\left[\frac35; \frac75\right].
ODZ: x>0.
Mit der Ableitung ermitteln wir den Minimalpunkt der Funktion. Finden wir die Ableitung einer gegebenen Funktion mithilfe der Formeln für die Ableitung des Produkts, die Ableitung von x^\alpha und e^x: Finden wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion: 10x-12+\frac(2)(x)=
\frac(10x^2-12x+2)(x).
Definieren wir die Nullstellen der Ableitung: y"(x)=0;
\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,
5x^2-6x+1=0, x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)=
\frac(3\pm2)(5),
x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],
x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].
.png)
Ordnen wir die Vorzeichen der Ableitung und bestimmen wir die Intervalle der Monotonie der ursprünglichen Funktion auf dem betrachteten Intervall. Aus der Abbildung geht hervor, dass es sich um ein Segment handelt\left[\frac35; 1\richtig] die ursprüngliche Funktion nimmt ab, und zwar auf dem Segment\links erhöht sich. Somit der kleinste Wert im Segment\left[\frac35; \frac75\right] wird bei x=1 erreicht und ist gleich y(1)= 30.
Antwort
12\cdot 0-12 tg (0)-18=
Zustand
Finden Sie den größten Wert der Funktion y=(x+4)^2(x+1)+19 auf dem Segment [-5; -3].
Lösung anzeigenLösung
Lassen Sie uns die Ableitung der ursprünglichen Funktion mithilfe der Produktableitungsformel ermitteln.
Wir können auch sagen, dass sich an diesen Punkten die Bewegungsrichtung der Funktion ändert: Wenn die Funktion aufhört zu fallen und zu wachsen beginnt, ist dies der Punkt des Minimums, im Gegenteil, es ist der Punkt des Maximums.
Minima und Maximum werden zusammenfassend genannt Extrema der Funktion.
Mit anderen Worten: Alle fünf in der obigen Grafik hervorgehobenen Punkte sind Extreme.
Dadurch ist das Auffinden dieser Punkte kein Problem, auch wenn Sie keinen Graphen der Funktion haben.
Aufmerksamkeit! Wenn sie schreiben Extreme oder Maxima/Minima bedeuten den Wert der Funktion, d.h. \(y\). Wenn sie schreiben Extrempunkte oder Punkte von Höchst-/Tiefstwerten bedeuten die Xs, an denen Höchst-/Tiefstwerte erreicht werden. In der Abbildung oben ist beispielsweise \(-5\) der Minimalpunkt (oder Extrempunkt) und \(1\) der Minimalpunkt (oder Extrempunkt).
Wie finde ich die Extrempunkte einer Funktion aus dem Ableitungsgraphen (Unified State Exam Aufgabe 7)?
Lassen Sie uns gemeinsam die Anzahl der Extrempunkte einer Funktion mithilfe des Ableitungsgraphen anhand eines Beispiels ermitteln:
Wir haben einen Graphen erhalten, was bedeutet, dass wir suchen, an welchen Punkten des Graphen die Ableitung gleich Null ist. Offensichtlich sind dies die Punkte \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) und \(3\). Die Anzahl der Extrempunkte der Funktion beträgt \(5\).
Aufmerksamkeit! Sofern ein Zeitplan vorliegt Derivat Funktionen, aber Sie müssen finden Extrempunkte der Funktion, wir zählen nicht die Maxima und Minima der Ableitung! Wir zählen die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion verschwindet (d. h. die \(x\)-Achse schneidet).
Wie finde ich die maximalen oder minimalen Punkte einer Funktion aus dem Ableitungsgraphen (Unified State Exam Aufgabe 7)?
Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie sich zwei weitere wichtige Regeln merken:
- Die Ableitung ist positiv, wenn die Funktion wächst.
- Die Ableitung ist dort negativ, wo die Funktion abnimmt.
Mithilfe dieser Regeln ermitteln wir die minimalen und maximalen Punkte der Funktion im Ableitungsgraphen.
Es ist klar, dass zwischen den Extremapunkten, d. h. Minima und Maxima, gesucht werden muss. unter \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) und \(3\).
Um die Lösung des Problems zu erleichtern, platzieren wir zunächst Plus- und Minuszeichen in der Abbildung, die das Vorzeichen der Ableitung angeben. Dann Pfeile – die auf zunehmende und abnehmende Funktionen hinweisen.
Beginnen wir mit \(-13\): bis \(-13\) ist die Ableitung positiv, d.h. die Funktion wächst, dann ist die Ableitung negativ, d.h. die Funktion stürzt ab. Wenn Sie sich das vorstellen, wird klar, dass \(-13\) der Maximalpunkt ist.
\(-11\): Die Ableitung ist zuerst positiv und dann negativ, was bedeutet, dass die Funktion zunimmt und dann abnimmt. Versuchen Sie noch einmal, dies im Kopf zu zeichnen, und es wird Ihnen klar werden, dass \(-11\) das Minimum ist.
\(- 9\): Die Funktion nimmt zu und dann ab – Maximum.
\(-7\): Minimum.
\(3\): maximal.
Alle oben genannten Punkte lassen sich in den folgenden Schlussfolgerungen zusammenfassen:
- Die Funktion hat ein Maximum, bei dem die Ableitung Null ist und das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt.
- Die Funktion hat ein Minimum, bei dem die Ableitung Null ist und das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt.
Wie findet man die Maximal- und Minimalpunkte, wenn die Formel der Funktion bekannt ist (12. Aufgabe des Einheitlichen Staatsexamens)?
Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie genauso vorgehen wie im vorherigen Absatz: Finden Sie heraus, wo die Ableitung positiv ist, wo sie negativ ist und wo sie Null ist. Zur Verdeutlichung schreibe ich einen Algorithmus mit einer Beispiellösung:
- Finden Sie die Ableitung der Funktion \(f"(x)\).
- Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(f"(x)=0\).
- Zeichnen Sie eine Achse \(x\) und markieren Sie darauf die in Schritt 2 erhaltenen Punkte. Zeichnen Sie mit Bögen die Intervalle, in die die Achse unterteilt ist. Beschriften Sie oberhalb der Achse \(f"(x)\) und unterhalb der Achse \(f(x)\).
- Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall (mit der Intervallmethode).
- Platzieren Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall (oberhalb der Achse) und verwenden Sie einen Pfeil, um die Zunahme (↗) oder Abnahme (↘) der Funktion (unterhalb der Achse) anzuzeigen.
- Bestimmen Sie, wie sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen der in Schritt 2 erhaltenen Punkte geändert hat:
- Wenn \(f’(x)\) das Vorzeichen von „\(+\)“ in „\(-\)“ geändert hat, dann ist \(x_1\) der maximale Punkt;
- Wenn \(f’(x)\) das Vorzeichen von „\(-\)“ in „\(+\)“ geändert hat, dann ist \(x_3\) der Mindestpunkt;
- Wenn \(f’(x)\) das Vorzeichen nicht geändert hat, dann kann \(x_2\) ein Wendepunkt sein.
Alle! Die maximale und minimale Punktzahl wurde gefunden.
Bei der Darstellung von Punkten auf der Achse, bei denen die Ableitung gleich Null ist, kann der Maßstab vernachlässigt werden. Das Verhalten der Funktion kann wie in der folgenden Abbildung dargestellt dargestellt werden. Auf diese Weise wird deutlicher erkennbar, wo das Maximum und wo das Minimum liegt.
Beispiel(VERWENDEN). Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion \(y=3x^5-20x^3-54\).
Lösung:
1. Finden Sie die Ableitung der Funktion: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Setzen wir es mit Null gleich und lösen die Gleichung:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Zeichnen wir die Punkte auf dem Zahlenstrahl ein und bestimmen wir, wie sich das Vorzeichen der Ableitung ändert und wie sich die Funktion bewegt:
Nun ist es offensichtlich, dass der Maximalpunkt \(-2\) ist.
Antwort. \(-2\).
