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Ableitung der Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal entlang der Straße und vertikal ausgerichtet ist, ist die Straßenlinie dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion sehr ähnlich:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als solches.

Wenn wir uns auf einer solchen Straße vorwärts bewegen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die "Steilheit" unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich um eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? In der Tat werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszisse) bewegen, eine unterschiedliche Anzahl von Metern relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinate) ansteigen oder abfallen.

Wir bezeichnen Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt - dies ist eine Größenänderung, - eine Änderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das heißt zum Beispiel.

Wir haben uns also horizontal vorwärts bewegt. Wenn wir die Linie der Straße mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Bestimmt, . Das heißt, wenn wir uns vorwärts bewegen, steigen wir höher auf.

Es ist einfach, den Wert zu berechnen: Wenn wir uns am Anfang auf einer Höhe befanden und nach dem Umzug auf einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ - das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, wie stark (steil) die Höhe beim Vorwärtsbewegen pro Wegeinheit zunimmt:

Angenommen, auf einem Abschnitt des Weges steigt die Straße um Kilometer an, wenn sie um Kilometer vorrückt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße beim Vorrücken um m um km sank? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Beginn des Abschnitts einen halben Kilometer nach oben und das Ende - einen halben Kilometer danach - nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier fast gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und genauere Schätzung der Steilheit berücksichtigt werden. Wenn Sie zum Beispiel die Höhenänderung messen, wenn Sie sich einen Meter bewegen, wird das Ergebnis viel genauer sein. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus - schließlich können wir, wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, einfach durchrutschen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

Im wirklichen Leben ist es mehr als genug, die Entfernung auf den nächsten Millimeter zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulo-Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und Sie teilen diese Zahl durch - und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x strebt gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber ganz nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Wahrscheinlich ist es Ihnen schon begegnet, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist im Modul größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Und Unendlichkeit ist noch mehr als das, was passiert. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für ein unendlich kleines Segment des Weges berechnete Steigung, das heißt:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, kann man zum Beispiel eine ganz gewöhnliche Zahl erhalten. Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir fahren keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs in der Mathematik heißt Veränderung. Wie stark sich das Argument () beim Bewegen entlang der Achse geändert hat, wird aufgerufen Argumenterhöhung und bezeichnet durch Wie viel sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zum Wann. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie mit der Straße ist hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Bestimmt. Wenn wir zum Beispiel auf einer flachen horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. Also mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für alle Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf dem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ausfällt, dh das Segment parallel zur Achse ist:

Aber große Segmente sind ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir werden unser Segment parallel zu sich selbst anheben, dann wird seine Länge abnehmen.

Am Ende, wenn wir der Spitze unendlich nahe sind, wird die Länge des Segments unendlich klein. Gleichzeitig blieb es jedoch parallel zur Achse, dh der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (neigt nicht, ist aber gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße nur unwesentlich.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu, rechts fällt sie ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft, ohne Sprünge (weil die Straße ihre Neigung nirgendwo stark ändert). Daher muss es zwischen negativen und positiven Werten geben. Es wird dort sein, wo die Funktion weder zunimmt noch abnimmt - am Scheitelpunkt.

Dasselbe gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Ein bisschen mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) geworden? Wir können einen beliebigen Punkt wählen, und jetzt werden wir von ihm aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist jetzt das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion jetzt? Wo das Argument hingehört, kommt die Funktion dorthin: . Was ist mit dem Funktionsinkrement? Nichts Neues: Um diesen Betrag hat sich die Funktion noch geändert:

Übe das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
2. Dasselbe gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten ist bei gleichem Inkrement des Arguments das Inkrement der Funktion unterschiedlich. Dies bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das ganz am Anfang besprochen - die Steilheit der Straße an verschiedenen Punkten ist unterschiedlich). Wenn wir also eine Ableitung schreiben, müssen wir angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, richtig?) ist.

Und - in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Lassen Sie uns seine Ableitung an einem Punkt finden. Denken Sie an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Zuwachs ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Das bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein ist und daher vor dem Hintergrund eines anderen Terms unbedeutend ist:

Also haben wir eine andere Regel:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation des Würfels der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck in Faktoren mit der Formel für die Differenz von Würfeln. Versuchen Sie, es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten zu tun.

Also ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Terme vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und nimmt dann um ab“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Sehen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung - durch Zählen des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, das ist eine Potenzfunktion. Bei Fragen wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merkt euch das Thema „ “!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
   Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
   .
   Wir suchen die Ableitung mit der neu gelernten Formel:

   Wenn es an dieser Stelle wieder unklar wurde, wiederholen Sie das Thema "" !!! (etwa ein Abschluss mit negativem Kennzeichen)

2. . Jetzt der Exponent:

   Und nun zur Definition (schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Term, der enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Beim Ausdruck.

Den Beweis lernst du im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, musst du die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass, wenn die Funktion nicht existiert, der Punkt auf dem Graphen punktiert ist. Aber je näher am Wert, desto näher an der Funktion, das ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Taschenrechner in den Radian-Modus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema ""):.

Nun die Ableitung:

Nehmen wir eine Ersetzung vor: . Dann ist sie für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt merken wir uns das mit dem Ausdruck. Und was ist, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe vernachlässigt werden kann (dh at).

Damit erhalten wir folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dies sind grundlegende („Tabellen“)-Derivate. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch ein paar weitere hinzufügen, aber das sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
2. Finde die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Zuerst finden wir die Ableitung in allgemeiner Form und ersetzen dann stattdessen ihren Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie zu sich zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination aus mehreren Arten von Funktionen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen Sie einige weitere Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

Es gibt eine solche Funktion in der Mathematik, deren Ableitung für jede gleich dem Wert der Funktion selbst für dieselbe ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion - eine Konstante - ist ein unendlicher Dezimalbruch, dh eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, wir werden nicht weit gehen, wir werden sofort die Umkehrfunktion betrachten. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man einen „natürlichen“ und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ebenfalls sehr einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach sind. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Ableitungsregeln durchgegangen sind.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passierte?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, dh nicht in einfacherer Form geschrieben werden kann. Daher wird es in der Antwort in dieser Form belassen.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen werden fast nie in der Prüfung gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die entgegengesetzten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel, .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das ursprüngliche Beispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Ableitungsrechnung ist eine der wichtigsten Operationen in der Differentialrechnung. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle zum Auffinden von Ableitungen einfacher Funktionen. Für komplexere Differenzierungsregeln siehe andere Lektionen:

• Tabelle der Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Verwenden Sie die angegebenen Formeln als Richtwerte. Sie helfen beim Lösen von Differentialgleichungen und Problemen. Im Bild, in der Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen, gibt es einen "Spickzettel" der Hauptfälle, um die Ableitung in einer für die Verwendung verständlichen Form zu finden, daneben sind Erklärungen für jeden Fall.

Ableitungen einfacher Funktionen

1. Die Ableitung einer Zahl ist Null
с´ = 0
Beispiel:
5' = 0

Erläuterung:
Die Ableitung zeigt die Rate, mit der sich der Wert der Funktion ändert, wenn sich das Argument ändert. Da sich die Zahl unter keinen Umständen in irgendeiner Weise ändert, ist die Änderungsrate immer Null.

2. Ableitung einer Variablen gleich eins
x' = 1

Erläuterung:
Mit jeder Erhöhung des Arguments (x) um eins erhöht sich der Wert der Funktion (Rechenergebnis) um den gleichen Betrag. Somit ist die Änderungsrate des Wertes der Funktion y = x genau gleich der Änderungsrate des Wertes des Arguments.

3. Die Ableitung einer Variablen und eines Faktors ist gleich diesem Faktor
сx´ = с
Beispiel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Erläuterung:
In diesem Fall wird jedes Mal, wenn das Funktionsargument ( x) sein Wert (y) wächst an von Einmal. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion in Bezug auf die Änderungsrate des Arguments genau gleich dem Wert von.

Woraus folgt das
(cx + b)" = c
das heißt, das Differential der linearen Funktion y=kx+b ist gleich der Steigung der geraden Linie (k).

4. Modulo-Ableitung einer Variablen ist gleich dem Quotienten dieser Variablen zu ihrem Modul
|x|"= x / |x| vorausgesetzt, dass x ≠ 0 ist
Erläuterung:
Da die Ableitung der Variablen (siehe Formel 2) gleich eins ist, unterscheidet sich die Ableitung des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Änderungsrate der Funktion beim Kreuzen des Nullpunkts ins Gegenteil ändert (versuchen Sie, einen Graphen zu zeichnen der Funktion y = |x| und sehen Sie selbst. Dies ist genau der Wert und liefert den Ausdruck x / |x| Wenn x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - eins. Das heißt, bei negativen Werten der Variablen x nimmt der Wert der Funktion mit jeder Zunahme der Änderung des Arguments um genau denselben Wert ab, und bei positiven Werten dagegen steigt er an, aber um genau den gleichen Wert.

5. Potenzableitung einer Variablen ist gleich dem Produkt aus der Zahl dieser Potenz und der Variablen in der Potenz, reduziert um eins
(xc)"= cxc-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Um sich die Formel zu merken:
Nehmen Sie den Exponenten der Variablen "down" als Multiplikator und verringern Sie dann den Exponenten selbst um eins. Zum Beispiel für x 2 - zwei war vor x, und dann gab uns die reduzierte Potenz (2-1 = 1) nur 2x. Dasselbe geschah für x 3 - wir verringern das Tripel, reduzieren es um eins, und anstelle eines Würfels haben wir ein Quadrat, dh 3x 2 . Etwas "unwissenschaftlich", aber sehr leicht zu merken.

6.Bruchableitung 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Beispiel:
Da ein Bruch als Potenz dargestellt werden kann
(1/x)" = (x -1)" , dann kannst du die Formel aus Regel 5 der Ableitungstabelle anwenden
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Bruchableitung mit einer Variablen beliebigen Grades im Nenner
(1/xc)" = -c / x c+1
Beispiel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Wurzelderivat(Ableitung der Variablen unter Quadratwurzel)
(√x)" = 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x)" = (x 1/2)", sodass Sie die Formel aus Regel 5 anwenden können
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Ableitung einer Variablen unter einer Wurzel beliebigen Grades
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion F(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Dies sind relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	F(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	F(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	F(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	F(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	F(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	F(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	F(x) = Protokoll ein x	1/(x ln ein)
Exponentialfunktion	F(x) = e x	e x(nichts hat sich verändert)

Multipliziert man eine elementare Funktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen F(x) Und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (F + g)’ = F ’ + g ’
2. (F − g)’ = F ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied F − g kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

F(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion F(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

F ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
F ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion F(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

F ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) ist der erste Multiplikator etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
F ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass der letzte Schritt darin besteht, die Ableitung zu faktorisieren. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(x) Und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = F(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum g 2? So geht das! Dies ist eine der komplexesten Formeln - Sie können es ohne eine Flasche nicht herausfinden. Daher ist es besser, es mit konkreten Beispielen zu studieren.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine einen halben Kilometer lange Formel. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen F(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus F(x) = Sünde ( x 2+ln x) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft die Ersetzung einer Variablen und die Formel zur Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(x) = F ’(T) · T', wenn x wird ersetzt durch T(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären, mit einer detaillierten Beschreibung jedes Schritts.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann erhalten wir eine elementare Funktion F(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: T = 2x+ 3. Wir erhalten:

F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = T. Wir haben:

g ’(x) = g ’(T) · T' = (Sünde T)’ · T' = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
F ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann durchaus eine Bruchzahl sein. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - sie geben solche Konstruktionen gerne in Tests und Prüfungen.

Eine Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = T. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: T = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

1- Ableitung, dh in verschiedenen Aufgaben und Eigenschaften

1.1. Das Konzept eines Derivats

Lassen Sie die Funktion bei– F(x) auf dem Intervall definiert D. Nehmen Sie einen Wert X0 D und betrachte das Inkrement ∆ x: x0 +∆x D. Wenn das Verhältnis der Änderung (Inkrement) der Funktion zum entsprechenden Inkrement des Arguments begrenzt ist, wenn letzteres dazu tendiert zu Null, dann heißt es Ableitungsfunktion bei= F(x) am Punkt x= x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Der Prozess zum Finden von Derivaten wird aufgerufen Unterscheidung .

Wenn F"(x) ist für alle endlich x D, dann die Funktion bei= F(x) namens differenzierbar in D. Eine genaue Formulierung der Differenzierbarkeit einer Funktion und ein Kriterium für die Differenzierbarkeit einer Funktion werden in Abschn. 1.5 gegeben.

Anhand der Definition der Ableitung erhalten wir einige Ableitungsregeln und Ableitungen der wichtigsten Elementarfunktionen, die wir dann in Tabellen zusammenfassen.

10. Die Ableitung einer Konstanten ist Null:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Wirklich,

Insbesondere,

30 . Für die Funktion y = x2 Derivat y' = 2x.

Um diese Formel abzuleiten, finden wir das Inkrement der Funktion:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Mit der Formel Binomial Newton, kann man das für eine Potenzfunktion zeigen

1.2. Das Konzept einer einseitigen Ableitung

In den Grundlagen der Analysis für eine Funktion bei=F(x) die Konzepte linker und rechter Grenzen an einem Punkt wurden eingeführt aber:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

rechte Ableitung -

Erinnern Sie sich an die Existenz eines endlichen Grenzwerts der Funktion bei= F(x) am Punkt x = a Es ist notwendig und ausreichend, dass die linken und rechten Grenzen der Funktion an diesem Punkt endlich und gleich sind:

(x - 0) = F’(x + 0).

1.3. Das Konzept der Ableitungen höherer Ordnung

Let für die Funktion bei= F(x) am Set definiert D, gibt es eine Ableitung bei"= F"(x) bei jedem x D,T. e. die Ableitung ist eine Funktion, und für sie kann man die Frage nach der Existenz einer Ableitung stellen. Ableitung der ersten Ableitung, falls vorhanden - zweite Ableitung dieser Funktion oder Ableitung zweiter Ordnung

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

Ableitung n-ter Ordnung

0, y"" = 0,...y(n) = 0. Für die Funktion y = x2 Derivat du= 2x. Dann bei"= 2, bei""= 0,.., y(n) = 0.

1.4. Geometrische und mechanische Interpretationen der Ableitung

1.4.1. Die mechanische Bedeutung der Ableitung. Das Problem der Geschwindigkeit und Beschleunigung ungleichförmiger Bewegungen

Lassen Sie die Abhängigkeit des vom Körper zurückgelegten Weges in der Zeit T, wird durch die Funktion beschrieben S = S(T), und die Bewegungsgeschwindigkeit bzw. Beschleunigung durch die Funktionen v = v(T), ein = ein(T). Bewegt sich der Körper gleichförmig, so gilt, wie aus der Physik bekannt, S = vּt, d.h. v = S/ T. Bewegt sich der Körper mit gleichmäßiger Beschleunigung und vo= 0, dann Beschleunigung ein = v/ T.

Wenn die Bewegung nicht gleichmäßig und gleichmäßig beschleunigt wird, dann der Durchschnittswert von Geschwindigkeit und Beschleunigung über einen bestimmten Zeitraum Δ T sind jeweils offensichtlich gleich.

Lassen v(T)- Bewegungsgeschwindigkeit, ein(T)- Beschleunigung zur Zeit T.

Dann also,

Vorausgesetzt, die letzten Grenzen bestehen.

Die mechanische Bedeutung der Ableitung: PfadableitungS = S(T) NeinZeitTist die Momentangeschwindigkeit des materiellen Punktes, d.h.v(T)= S"(T). Die zweite Ableitung des Pfades nach der Zeit- Beschleunigung, d.h.S""(T)= v"(T)=a(T).

Mit der Einführung des Begriffs der Ableitung einer Funktion kam nach F. Engels Bewegung in die Mathematik, da die Ableitung die Änderungsgeschwindigkeit eines beliebigen Prozesses bedeutet, zum Beispiel: des Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgangs eines Körpers, der Rate einer chemischen oder nuklearen Reaktion usw.

Beispiel 1.1. Die Strommenge (in Coulomb), die durch einen Leiter fließt, ist gesetzlich festgelegt Q = 2 T2 + 3 T + 4 . Finden Sie den Strom am Ende der dritten Sekunde.

Lösung. Stromstärke ich = Q" = 4 T+3. Bei T = 3 ich=15 k/s=15 A.

1.4.2.3 Tangentenproblem. Die geometrische Bedeutung der Ableitung

Lassen Sie die Funktion bei= F(x) definiert und kontinuierlich an einem Punkt x= x0 und in irgendeiner Umgebung dieses Punktes. Lassen Sie uns die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion herausfinden.

Um dieses Problem zu lösen, gehen wir wie folgt vor. Nehmen Sie einen Punkt auf dem Graphen der Funktion (Abb. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу) und zeichne eine Sekante M0M. Lassen Sie uns einen Punkt machen m zum Punkt M0, d.h. Δ x → 0. Punkt M() fest ist, also nimmt die Sekante im Grenzwert die Position einer Tangente ein ZU.

Tangente an den Graphen der Funktion y= F(x) ePunktm0 heißt Grenzlage der Sekante M0M, vorausgesetzt, dass der Punkt M entlang der Kurve G zum Punkt M0 tendiertF- Funktionsgrafikj = F(x).

Dann die Steigung der Sekante M0M

in der Grenze wird gleich der Steigung der Tangente:

{ x0 ) = tga, wobei α der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Ox-Achse ist(siehe Abb. 1.1).

Wie aus der analytischen Geometrie bekannt, ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt ( x0, y0) und eine Steigung haben k Wille

y - y0 =k(x-x0).

Dann, unter Berücksichtigung der geometrischen Bedeutung der Ableitung, Tangentengleichung (ZU) zum Funktionsgraphen bei= F(x) am Punkt (x0, y0) hat die Form

(K) y =F(x0 ) + F"(x0 )(x- x0 ).

Normale Gleichung (n) - senkrecht zur Tangente am Berührungspunkt:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Oh)- Über-klein von Δx).

Satz. Damit die Funktion bei= F(x) war am Punkt x differenzierbar D), ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine endliche Ableitung hat y' =F"(x).

Nachweisen . Brauchen. Lassen Sie die Funktion j= F(x) differenzierbar bei x D, d.h. es gilt die Beziehung (1.1). Dann ist nach Definition der Ableitung unter Berücksichtigung von (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Dann auf der Grundlage des Satzes über den Zusammenhang zwischen einer Funktion, ihrem Grenzwert und einer infinitesimalen Größe

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

kann als Summe zweier Terme dargestellt werden, von denen der erste proportional zum Inkrement des Arguments ist Δх mit Proportionalitätsfaktor F'(X), und die zweite ist eine infinitesimale höhere Ordnung als Δх, d.h. (1.1) gilt, also ist die Funktion an der Stelle differenzierbar x D.

Beachten Sie, dass das Verhältnis

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, aber die Funktion ist stetig für x= 0.

1.6. Abgrenzungsregeln

ein . Differentiation der algebraischen Summe von Funktionen. Die algebraische Summe einer endlichen Anzahl differenzierbarer Funktionen ist eine differenzierbare Funktion, und die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe von Ableitungen. Zum Beispiel: für zwei Funktionen

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Erwägen Sie, die Funktion zu ändern und ±v beim Ändern des Arguments Δ X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Da die Grenze jedes Terms existiert und durch die Bedingung endlich ist, ist die Grenze der algebraischen Summe gleich der algebraischen Summe der Grenzen. d.h. Funktion (und ±v) an beliebiger Stelle differenzierbar x Und (u± v)" = u’ ± v’ . Die Behauptung ist bewiesen.

2. Differentiation des Produkts von Funktionen . Das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen ist eine differenzierbare Funktion, während die Ableitung des Produkts gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors durch den zweiten ohne Änderung plus dem ersten Faktor multipliziert mit der Ableitung des zweiten ist:

(Undv) = Und"v + uv".

Die obige Regel lässt sich beispielsweise leicht auf das Produkt einer beliebigen endlichen Anzahl differenzierbarer Funktionen verallgemeinern.

Nachweisen. Durch Bedingung an beliebiger Stelle x D

Beim Ändern von Δ x Funktionsänderung

im Formular darstellen

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Da aufgrund der Differenzierbarkeit u

lim Δ v = 0 aufgrund der Stetigkeit der Funktion, dann durch die Eigenschaften der Grenzen

Δх→ ÜBER

(UV)" = u"v + uv".

Als Folge der Regel zum Ableiten eines Funktionsprodukts laden wir die Leser ein, die Ableitung einer Potenzfunktion zu erhalten un,n n :

(Undn)’ = Nonne-1 Und'

3° Folgerung von 2°. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen herausgenommen werden

Derivat:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Nachweisen. Beim Ändern von Δ x Betrachten Sie Änderungen in differenzierbaren Funktionen u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - Ihnen)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)].

Die modifizierten Funktionswerte sind: und + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Funktionen Und= w(x),v = v(x) ≠ 0 sind durch Bedingung differenzierbar und daher auch stetig, d.h.

Nach den Eigenschaften der Grenzen

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Differenzierung komplexer Funktionen . Lassen Sie die Funktion bei= F(Und) ist differenzierbar nach x, Funktion Und= Ihnen) differenzierbar bzgl x. Dann die komplexe Funktion bei= F(u(x)) differenzierbar bzgl x, Und

y"=F"(u)∙ u"

Nachweisen . Wegen der Differenzierbarkeit von Funktionen F(u), u(x) und Grenzeigenschaften

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Umkehrfunktionsdifferenzierung . Lassen Sie die Funktion y=F(x) differenzierbar bzgl x Und y "x ≠ 0. Dann die Umkehrfunktion x=g(bei) ist differenzierbar nach bei Und x "y \u003d 1 / y" x

Nachweisen. Wirklich,

Der Einfachheit halber präsentieren wir die Grundregeln der Differenzierung in Tabelle 1.

Tabelle 1

Abgrenzungsregeln

Formelnummer
	c =konstant, c" = 0.
	(u± v)" =u"± v", Und= Ihnen),v = v(x).
	(u∙v)= c∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",von = konst.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"bei =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Unter Verwendung der Definition der Ableitung einer Funktion und der Ableitungsregeln finden wir die Ableitungen der elementaren Grundfunktionen, die in Tabelle 2 unten dargestellt sind.

Tabelle 2

Ableitungen elementarer Grundfunktionen

	Einfache Funktionen	Komplexe Funktionen

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so heißt der angegebene Grenzwert Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise ist für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) wahr. Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, dh die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

Damit, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $