Die Ebene schneidet die Kugel immer in einem Kreis, der in der Form auf die Ebene projiziert werden kann Ellipse,Kreise oder Segment gerade Linie (Abb. 70).

Schnitt einer Kugel durch eine Projektionsebene Ω  P 2

Der Umfang des Abschnitts wird auf die Frontalebene in ein gerades Liniensegment projiziert Mit 2 D 2, aber auf der horizontalen Projektionsebene in eine Ellipse, deren Hauptachse gleich dem Durchmesser des Schnittkreises ist.

Um eine Hauptachse zu bauen SONDERN 1 BEIM 1 (horizontale Projektion, Segmentmitte bestimmen Mit 2 D 2 , durch den Punkt ( SONDERN 2 BEIM 2) Eine Parallele wird gezogen, eine horizontale Projektion dieser Parallele wird gefunden und die Punkte der Achse werden darauf entlang der Kommunikationslinien bestimmt SONDERN 1 und BEIM 1.

Die Punkte 1 und 1, die sich auf dem Äquator befinden, sind die Sichtgrenze auf P 1 . Die Punkte 2 und 2, die sich auf dem Hauptmeridian befinden, sind die Sichtgrenze auf P 3 .

Vortrag Nr. 6 Axonometrische Projektionen

1. Allgemeine Information. 2. Verzerrungsindikatoren. 3. Arten von axonometrischen Projektionen. 4. Konstruktion eines Kreises in der Axonometrie.

1. Allgemeine Information

Beim Erstellen von technischen Zeichnungen ist es oft erforderlich, Objekte visueller darzustellen. Um solche Bilder zu konstruieren, werden axonometrische Projektionen (Axonometrie) verwendet.

SONDERN Xonometrie - Griechisches Wort mit zwei Wörtern Ach son – Achse und Meter –Ich messe.

Die Methode der axonometrischen Projektion besteht darin, dass das Objekt zusammen mit den Koordinatenachsen, auf die es im Raum bezogen ist, durch parallele Strahlen auf eine Ebene projiziert wird. Diese Ebene wird als Ebene axonometrischer Projektionen oder als Bildebene bezeichnet (Abb. 71).

Die Projektionsrichtung sollte mit keiner der Koordinatenachsen zusammenfallen, dann ist das Bild visuell.

Neben der Übersichtlichkeit ermöglichen axonometrische Projektionen auch die Vermessung eines Objekts in drei Koordinatenrichtungen.

Die Konstruktion des Bildes eines Objekts erfolgt gemäß dem für das Objekt charakteristischen Punktrahmen unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Parallelprojektion: Parallele Linien bleiben bei axonometrischen Projektionen parallel, Punkte, die zu Linien auf den Projektionen gehören, gehören zur Axonometrie Projektionen dieser Linien. Alle Messungen erfolgen nur entlang der Achsen oder parallel zu den Achsen, charakteristische Punkte werden entsprechend den Koordinaten gebildet.

K - axonometrische (Bild-) Ebene;

S- Projektionsrichtung.

2 Verzerrungsraten

Um das Koordinatenverfahren in der Axonometrie anwenden zu können, werden Verzerrungsindikatoren entlang der Achsen eingeführt.

Auf Abb. 72 zeigt das räumliche Koordinatensystem , Single Segmente e auf den Koordinatenachsen und deren Projektion in die Richtung S zu irgendeinem Flugzeug Zu , das ist eine axonometrische Projektionsebene. Projektionen e X , e beim , e z Segment e auf den jeweiligen axonometrischen Achsen in Allgemeiner Fall nicht gleich dem Segment e und sind nicht gleich. Segmente e X , e beim , e z sind Maßeinheiten entlang axonometrischer Achsen - axonometrische Einheiten (axonometrische Skalen).

Ö Das Verhältnis der Schnittlänge in axonometrischen Projektionen zur wahren Länge des Segments wird als Verzerrungsindex (Verzerrungsfaktor) bezeichnet:

.

Wenn der Wert des Verzerrungskoeffizienten bekannt ist, ist es möglich, ein axonometrisches Bild eines Punktes gemäß seinen natürlichen Koordinaten zu erstellen, indem man die folgenden Formeln verwendet:

X 1 = K X  X; Beim 1 = K beim  U;

Z 1 = K z  Z .

Die Verzerrungsindikatoren sind durch die Beziehungen miteinander verbunden:

in rechteckiger Perspektive:

Zu X 2  Zu beim 2  Zu z 2 = 2,

in schräger Perspektive:

Zu X 2  Zu beim 2  Zu z 2 = 2  mittg 2 .

KAPITEL VIER

RUNDE KÖRPER

II. KUGEL

Schnitt einer Kugel durch eine Ebene

125. Definition. Der Körper, der sich aus der Rotation eines Halbkreises um einen Durchmesser ergibt, wird genannt Ball, und die in diesem Fall durch einen Halbkreis gebildete Fläche heißt Ball oder kugelförmig Fläche. Wir können auch sagen, dass diese Fläche der Ort von Punkten ist, die von demselben Punkt gleich weit entfernt sind (genannt Center Ball).

Ein Liniensegment, das den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Oberfläche verbindet, wird aufgerufen Radius, und das Segment, das zwei Punkte der Oberfläche verbindet und durch das Zentrum geht, heißt Durchmesser Ball. Alle Radien einer Kugel sind einander gleich; Jeder Durchmesser ist gleich zwei Radien.

Zwei Kugeln mit demselben Radius sind gleich, weil sie, wenn sie verschachtelt sind, kombiniert werden.

126. Satz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.

1) Nehmen wir zunächst an, dass (Abb. 137) die Schnittebene AB durch den Mittelpunkt O der Kugel geht. Alle Punkte der Schnittlinie gehören zur Kugeloberfläche und sind daher vom Punkt O, der in der Sekantenebene liegt, gleich weit entfernt; daher ist der Schnitt ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist.

2) Nehmen wir nun an, dass die Schnittebene CO nicht durch den Mittelpunkt geht. Lassen Sie uns das perenikuläre OK von der Mitte darauf fallen lassen und nehmen Sie einen Punkt M auf der Schnittlinie.Verbinden Sie es mit O und A, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck IOC, aus dem wir finden:

MK \u003d √OM 2 - OK 2. (ein)

Da sich die Längen der Segmente OM und OK nicht ändern, wenn sich die Position des Punktes M auf der Schnittlinie ändert, ist der Abstand MK für einen gegebenen Abschnitt ein konstanter Wert; Das bedeutet, dass die Schnittlinie ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt der Punkt K ist.

127. Folge. Seien R und r werden die Längen des Radius der Kugel und des Radius des Schnittkreises sein, und
d- Abstand der Sekantenebene vom Mittelpunkt, dann nimmt Gleichheit (1) die Form an:
r=√R 2 - d 2 .

Aus dieser Formel leiten wir ab:

1) Der größte Schnittradius ergibt sich bei d= 0, d.h. wenn die Schnittebene durch die Kugelmitte geht. In diesem Fall r=R. Der in diesem Fall erhaltene Kreis wird aufgerufen großer Kreis.

2) Den kleinsten Schnittradius erhält man wenn d= R. In diesem Fall r= 0, d.h. der Schnittkreis wird zu einem Punkt.

3) Gleich weit von der Kugelmitte entfernte Abschnitte sind gleich.

4) Von den beiden Abschnitten, die ungleich vom Zentrum der Kugel entfernt sind, hat derjenige, der näher am Zentrum liegt, einen größeren Radius.

128. Satz. Jedes Flugzeug (R, hell. 138), durch die Mitte der Kugel geht, teilt ihre Oberfläche in zwei symmetrische und gleiche Teile.

Nehmen wir einen Punkt A auf der Oberfläche der Kugel; Sei AB eine Senkrechte, die von Punkt A auf die Ebene P fällt. Wir setzen AB fort, bis sie die Oberfläche der Kugel an Punkt C schneidet. Wenn wir BO zeichnen, erhalten wir zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke
AOB und BOC (gemeinsames Bein BO und Hypotenusen sind gleich, wie die Radien eines Balls); daher AB = BC; somit entspricht jedem Punkt A der Oberfläche der Kugel ein anderer Punkt C dieser Oberfläche, symmetrisch in Bezug auf die Ebene P mit dem Punkt A. Somit teilt die Ebene P die Oberfläche der Kugel in zwei symmetrische Teile.

Diese Teile sind nicht nur symmetrisch, sondern auch gleich, da wir durch Schneiden der Kugel entlang der Ebene P einen der beiden Teile in den anderen verschachteln und diese Teile kombinieren können.

129. Satz. Durch zwei Punkte einer Kugeloberfläche, die nicht an den Enden des gleichen Durchmessers liegen, ist es möglich, einen Kreis eines Großkreises und nur einen zu zeichnen .

Auf einer Kugelfläche (Abb. 139) mit Mittelpunkt O, z. B. C und N, seien zwei Punkte genommen, die nicht auf derselben Geraden mit Punkt O liegen. Dann kann eine Ebene durch die Punkte C, O bis N gezogen werden . Diese Ebene, die durch den Mittelpunkt O geht, ergibt am Schnittpunkt mit der Kugeloberfläche den Umfang eines Großkreises.

Ein weiterer Kreis des Großkreises kann nicht durch dieselben zwei Punkte C und N gezogen werden. Tatsächlich muss jeder Umfang eines Großkreises per Definition in einer Ebene liegen, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht; Wenn es also möglich wäre, durch C und N noch einen weiteren Großkreiskreis zu ziehen, so würde sich herausstellen, dass durch drei Punkte C, N und O, die nicht auf einer Geraden liegen, zwei verschiedene Ebenen gezogen werden können , was unmöglich ist.

130. Satz. Die Umfänge zweier großer Kreise werden halbiert, wenn sie sich schneiden.

Der Mittelpunkt O (Fig. 139), der auf den Ebenen der beiden großen Kreise liegt, liegt auf der geraden Linie, entlang der sich diese Kreise schneiden; daher ist diese gerade Linie der Durchmesser beider Kreise, und der Durchmesser halbiert den Kreis.

Die Arbeit enthält einen Plan für eine Zusammenfassung des Unterrichts zum Thema: "Kugel. Schnitt einer Kugel durch eine Ebene" (die Zusammenfassung ist eher schematisch). Für ein vollständigeres Bild dieser Lektion empfehle ich, die beigefügte Präsentation, die Referenznotizen, Reflexionskarten sowie Computertests anzusehen. Die Zusammenfassung entspricht dem neuen GEF für Open-Source-Software.

Herunterladen:

Vorschau:

Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Beschriftungen der Folien:

Wir schöpfen Weisheit aus der Geschichte, Witz aus der Poesie, Einsichten aus der Mathematik. Roger Bacon Das Lösen eines schwierigen mathematischen Problems ist wie die Einnahme einer Festung. Naum Jakowlewitsch Wilenkin

Machen Sie ein Problem gemäß der Zeichnung und lösen Sie es. S B O A 10 cm? ?

Machen Sie ein Problem gemäß der Zeichnung und lösen Sie es. Der Winkel an der Spitze des axialen Abschnitts des Kegels beträgt 60 Grad. Die Mantellinie des Kegels beträgt 10 cm. Finden Sie den Durchmesser des Kegels und seine Höhe. S B O A 10 cm

Problemlösung: Das Dreieck A S B ist gleichseitig. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich. In unserem Fall ist die Erzeugende gleich dem Durchmesser. Der Durchmesser beträgt also 10 cm Das Dreieck O S B ist rechteckig. Nach dem Satz des Pythagoras: S O \u003d √ S B 2 - OB 2 \u003d S B O A

Das Thema der Stunde ist Ball. Schnitt einer Kugel durch eine Ebene

Der Zweck der Lektion: Definitionen der Konzepte einer Kugel, einer Kugel und ihrer Elemente geben, um herauszufinden, welche Figur im Schnitt einer Kugel durch eine Ebene liegt

ZIELE: Studium der grundlegenden Konzepte in Bezug auf Ball und Kugel; herauszufinden, welche Formen erhalten werden können, wenn eine Kugel von einem Flugzeug geschnitten wird; zu lernen, wie man eine Kugel auf einem Flugzeug zeichnet; entwickeln Sie die Genauigkeit und Klarheit der mathematischen Sprache, lernen Sie, Schlussfolgerungen zu argumentieren;

"Kugel und Kugel"

Ein Ball ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die von einem bestimmten Punkt (dem Mittelpunkt des Balls) nicht mehr als einen bestimmten Abstand (Radius des Balls) haben. Die Grenze einer Kugel wird als Kugeloberfläche oder Kugel bezeichnet. Die Punkte der Kugel sind alle Punkte der Kugel, die einen Abstand haben, der gleich dem Radius vom Mittelpunkt ist. /

t.O - das Zentrum der Kugel; R ist der Radius der Kugel; AB - der Durchmesser der Kugel - ein Segment, das zwei Punkte der Kugel verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft. A, B - diametral gegenüberliegende Punkte des Balls. A B O R

Eine Kugel ist ein Rotationskörper eines Halbkreises um seinen Durchmesser als Achse /

Kugel - ein Rotationskörper eines Halbkreises um seinen Durchmesser als Achse /

Anwendungsbereich /

Die sphärische Geometrie wird nicht nur von Astronomen, Navigatoren von Seeschiffen, Flugzeugen und Raumfahrzeugen benötigt, die ihre Koordinaten anhand der Sterne bestimmen, sondern auch von den Erbauern von Minen, U-Bahnen, Tunneln sowie bei geodätischen Vermessungen großer Gebiete der Erde Oberfläche, wenn es notwendig wird, ihre Sphärizität zu berücksichtigen. /

AUGEN-LADEGERÄT

Schnitte einer Kugel durch eine Ebene.

/ http://www.etudes.ru/en/sketches/

Satz 1 Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt. OO "- senkrecht. O" - der Mittelpunkt des Kreises - die Basis der Senkrechten.

Die Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird Diametralebene genannt. Der Querschnitt einer Kugel mit einer diametralen Ebene wird Großkreis genannt, und der Querschnitt einer Kugel wird Großkreis genannt. Kugelabschnitt

Lösung von Problem 29, S.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

Die Geschichte der Entstehung des Balls. Einmal, allein zu Hause gelassen, verbrachte der hübsche Polukrug lange Zeit damit, sich anzuziehen und vor einem kleinen Spiegel mit Blechrahmen zu gurren, und konnte nicht aufhören, sich selbst zu bewundern. „Warum haben sich die Leute in den Kopf gesetzt, zu loben, dass ich gut bin?“, sagte er. Die Leute lügen, ich bin überhaupt nicht gut. Warum haben die Mädchen verkündet, dass es im Dorf Khatanga nie einen besseren Mann gegeben hat und nie geben wird? Halbkreis wusste und hörte alles, was über ihn gesagt wurde, und war launisch, wie ein gutaussehender Mann. Er konnte sich den ganzen Tag vor dem Spiegel bewundern und sich von allen Seiten betrachten. Und plötzlich geschah ein Wunder, als sich der Halbkreis vor dem Spiegel umdrehte, er sah sein eigenes Spiegelbild in Form eines Balls im Spiegel.

AUS DER ENTSTEHUNGSGESCHICHTE Als Kugel bezeichnet man gewöhnlich einen durch eine Kugel begrenzten Körper, d.h. Ball und Kugel sind verschiedene geometrische Körper. Allerdings stammen sowohl die Wörter Ball als auch Sphäre vom gleichen griechischen Wort "sfire" - Kugel. Gleichzeitig wurde das Wort "Ball" aus dem Übergang der Konsonanten sph in sh gebildet. In Buch XI der Elemente definiert Euklid eine Kugel als eine Figur, die durch einen Halbkreis beschrieben wird, der sich um einen festen Durchmesser dreht. In der Antike genoss die Kugel ein hohes Ansehen. Astronomische Beobachtungen des Firmaments rufen unweigerlich das Bild einer Kugel hervor. Das Zielfernrohr wurde schon immer in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie eingesetzt.

ZIELE: Studium der grundlegenden Konzepte in Bezug auf Ball und Kugel; Fähigkeiten zur Problemlösung entwickeln; herauszufinden, welche Zahlen erhalten werden können, wenn eine Kugel von einem Flugzeug geschnitten wird; entwickeln Sie die Genauigkeit und Klarheit der mathematischen Sprache, lernen Sie, die gezogenen Schlussfolgerungen zu argumentieren; lernen, einen Ball in einem Flugzeug zu zeichnen;

DANKE FÜR DIE LEKTION

Vorschau:

Referenzzusammenfassung der Lektion zum Thema:

"BALL. SCHNITT EINES BALLS DURCH EIN FLUGZEUG»

Ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die nicht weiter als ein gegebener Abstand sind, heißt ________________________________ von einem gegebenen Punkt.

Dieser Punkt wird als ____________________________ des Balls bezeichnet.

Diese Distanz beträgt _______ Bälle.

Die Begrenzung des Balls heißt _____________________________________________ oder ________________________.

Das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, ist _____________________.

Dies ist ein Segment, das zwei Punkte der Kugeloberfläche verbindet und durch die Mitte der Kugel verläuft.

Die Enden mit beliebigem Durchmesser werden als ________________________________________________ Punkte der Kugel bezeichnet.

Der Ball ist ein Rotationskörper. Sie wird erhalten, indem ein Halbkreis als Achse um seinen Durchmesser gedreht wird.

Zeichne einen Ball. Markieren Sie darauf seinen Mittelpunkt, zeichnen und markieren Sie Radius und Durchmesser, nennen Sie die diametral gegenüberliegenden Punkte der Kugel.

SATZ. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.

Die diametrale Ebene ist die Ebene, die durch die _________ der Kugel verläuft.

Der Großkreis ist der Querschnitt der Kugel.

Der Großkreis ist der Querschnitt der _______________ diametralen Ebene.

Reflektierende Karte Schüler__________________

1. Bewerten Sie die Lösung der gestellten Bildungsaufgaben

Lernziele	Aufgelöst völlig	Aufgelöst teilweise	Nicht gelöst
Lernen Sie die grundlegenden Konzepte im Zusammenhang mit Ball und Kugel
lernen, das erworbene Wissen bei der Lösung von Problemen und dem Beweis von Theoremen anzuwenden
lernen Sie die Geschichte der Begriffe "Ball", "Kugel" kennen
Finden Sie heraus, welche Formen erhalten werden können, wenn eine Kugel von einer Ebene geschnitten wird
die Fähigkeit entwickeln, in einer Gruppe zu arbeiten
logisches Denken entwickeln
Fähigkeiten aufbauen Kontrolle und Selbstkontrolle.
lernen, einen Ball in einem Flugzeug zu zeichnen
Entwickeln Sie die Genauigkeit und Klarheit der mathematischen Sprache, lernen Sie, die gezogenen Schlussfolgerungen zu argumentieren

2. Bewertung der persönlichen Zuwächse.

geplant entdecken	Ich weiss		Geplant zu lernen	Fachwissen
Kugel- und Kugeldefinitionen			Wenden Sie bereits erworbenes Wissen an, um Probleme zu lösen und Theoreme zu beweisen
Kennen Sie die Elemente einer Kugel und eines Balls und ihre Definitionen			Begründen Sie die getroffenen Annahmen
Welche Formen können erhalten werden, wenn eine Kugel von einer Ebene geschnitten wird?			Fertige eine Zeichnung des Balls und seiner Elemente an
Lernen Sie die Geschichte der Begriffe „Ball“, „Sphere“ kennen.			Stellen Sie Aufgaben nach vorgefertigten Zeichnungen zusammen

3. Selbstwertgefühl.

A) Geben Sie sich selbst eine Note, die Sie Ihrer Meinung nach für Ihre Arbeit im Unterricht verdient haben.

B) Persönliche Schlüsse ziehen

Vorschau:

Zusammenfassung des Geometrieunterrichts in Gruppe 1D.

Thema des Unterrichts: "Ball. Schnitt eines Balls durch ein Flugzeug".

Unterrichtsdauer: 45 Minuten.

Lehrbuch: "Geometrie, Klassen 10-11", Pogorelov A.V.

Die Lektion verwendet Elemente der folgenden modernen Bildungstechnologien:

• Konzerntechnologien
• Gesundheitssparende Technologien
• Informations-Computer-Technologie

Das konzeptionelle Ziel des Geometrieunterrichts: die Entwicklung von logischem und abstraktem Denken, räumlichem Vorstellungsvermögen und Forschungsfähigkeiten.

Zweck des Unterrichts: stellen Sie die Konzepte einer Kugel und einer Kugel und ihrer Elemente vor, finden Sie heraus, welche Figur im Schnitt der Kugel durch eine Ebene liegt;

Aufgaben:

Lernen Sie die grundlegenden Konzepte, die mit dem Ball und der Kugel verbunden sind; Arten der gegenseitigen Anordnung der Kugel und der Ebene (Schnitt der Kugel durch die Ebene);
- Fähigkeiten zur Problemlösung zu entwickeln;

Entwicklung von Fähigkeiten zur selbstständigen Planung und Organisation der Arbeit, zur Selbstbeobachtung und zur Korrektur der eigenen Aktivitäten;

Sich entwickeln Genauigkeit und Klarheit der mathematischen Sprache

Kultivieren Sie ein kognitives Interesse an Mathematik;
- Informationskultur und Kommunikationskultur erziehen;
- Beobachtung, Selbständigkeit, Kollektivarbeitsfähigkeit erziehen.

Material und didaktische Ausstattung:Computer, Leinwand, Projektor.

Arbeitsformen: Gruppenarbeit, selbstständiges Arbeiten.

Unterrichtsart: Lernstunde.

Während des Unterrichts

I. Motivation zum Unterrichtsbeginn - 1 Min.:

Grüße.

Wir schöpfen Weisheit aus der Geschichte,

in Poesie - Witz,

in Mathematik, Einsicht.
Roger Speck

Lösen einer schwierigen mathematischen Aufgabe

Es kann mit der Eroberung einer Festung verglichen werden.

Naum Jakowlewitsch Wilenkin

Ich achte auf das Handout und wie ich damit arbeite(Folie 1)

II. Aktualisierung des Wissens der Schüler - 7 Min.:

a) Computertest durchführen(9-10 Personen)

b) Mit Studenten, die nicht mit Computertests beschäftigt sind, ein Problem nach einer fertigen Zeichnung zusammenstellen und lösen(Rest der Gruppe)(Folie 2-4)

c) Zusammenfassung der Arbeitsergebnisse und Vornoten für den Unterricht (Test und Problemlösung)

III. Selbstbestimmung zum Handeln.

In diesem Jahr haben wir begonnen, den Bereich der Geometrie namens Stereometrie zu studieren. Was untersucht die Stereometrie?

• Schauen Sie sich die Tabelle an und nennen Sie, welche Körper Sie sehen?
• Prismen anzeigen
• Zylinder anzeigen; Zapfen
• Wer kennt den Namen der Leiche, die auf dem Tisch liegt?
• Was ist Ihrer Meinung nach das Thema unserer heutigen Stunde?
• Versuchen Sie, das Hauptziel unserer Lektion zu formulieren.(die Begriffe Kugel und Kugel und ihre Elemente einführen, herausfinden, welche Figur im Schnitt einer Kugel durch eine Ebene liegt)
• Welche Aufgaben werden wir uns stellen, um dieses Ziel zu erreichen?

(Folie 4-6 Thema, Ziel, Aufgaben)

Neues Material lernen - 10 min:

A) Das Thema ist formuliert, das Ziel und die Ziele sind klar – freuen Sie sich auf neue Erkenntnisse.

Erinnern wir uns, wie sie in der Schule einen Kreis nannten?

Wer wird versuchen, eine analoge Definition eines Balls zu geben, da es sich um einen Raumkörper handelt? Sie geben eine Definition des Balls, den Radius des Balls, den Durchmesser des Balls. (In Analogie dazu wird an der Kugel gearbeitet; gleichzeitig füllen die Schüler die Referenznotizen aus.)

Wir lernen, einen Ball und seine Elemente auf einer Ebene darzustellen, diese Elemente in einer Zeichnung darzustellen, sphärische Objekte in der Umgebung zu finden Folie 7-9

Fizminutka zur Linderung von Augenermüdung und Stress

B) Eines der Ziele der Lektion ist: herauszufinden, welche Figuren erhalten werden können, wenn eine Kugel von einem Flugzeug geschnitten wird. Erinnern wir uns zunächst daran, welche Abschnitte ein Kegel haben kann(Demonstration einer mathematischen Studie über das Internet)

Denken Sie nach, schalten Sie Ihr räumliches Vorstellungsvermögen ein und stellen Sie eine Vermutung darüber an, welche Abschnitte der Ball haben kann.

Der große russische Mathematiker Lobatschewski sagte: „Mathematik hat keine Autorität. Das einzige Argument für Wahrheit ist Argument.

Formulieren und beweisen Sie einen Satz über den Schnitt einer Kugel durch eine Ebene (.....) (10 min)

Wiederholung der Beweisschritte.

C) die Geschichte der Begriffe Kugel und Kugel (......)

IV. Konsolidierung des gelernten Materials - 5min

Die Lösung des Problems.

Arbeiten Sie zu zweit und prüfen Sie mit Hilfe des Internets

V Ergebnis der Lektion. Betrachtung.

Fragen zur Konsolidierung:

• Was ist ein Ball?
• Was ist eine sphärische Oberfläche oder Kugel?
• Was ist der Radius, der Durchmesser, die Sehne einer Kugel?
• Welche Punkte heißen diametral gegenüber?
• Was ist ein Schnitt einer Kugel durch eine Ebene in einem Abstand kleiner als der Radius der Kugel vom Kugelmittelpunkt?
• Welche Ebene wird Diametralebene der Kugel genannt?
• Was ist ein Großkreis, Großkreis?

Ausfüllen einer reflektierenden Landkarte, um herauszufinden, ob alle Unterrichtsziele erreicht wurden.

VI. Hausaufgaben 1 Minute:

Posten 58, 59, Nr. 30, 31

Anweisungen für Hausaufgaben.

Stichworte: Kugel, Kugel, Mittelpunkt der Kugel, Durchmesser, Tangentialebene, Symmetrieebene,

Ball wird ein Körper genannt, der aus allen Raumpunkten besteht, die von einem gegebenen Punkt nicht größer als ein bestimmter Abstand sind.

Dieser Punkt wird aufgerufen Center Ball, und diese Distanz heißt Radius Ball. Die Grenze einer Kugel wird als Kugeloberfläche oder bezeichnet Kugel. Jedes Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, wird als Radius bezeichnet. Eine Strecke, die zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, heißt Durchmesser. Enden mit beliebigem Durchmesser werden genannt diametral entgegengesetzt Kugelpunkte. Eine Kugel ist wie ein Zylinder und ein Kegel ein Rotationskörper. Sie wird erhalten, indem ein Halbkreis als Achse um seinen Durchmesser gedreht wird. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt auf die Schnittebene fällt. Die Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird genannt Diametralebene . Der Querschnitt der Kugel durch die Diametralebene wird genannt großer Kreis , und der Abschnitt der Kugel - schöner Kreis Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene . Der Mittelpunkt des Balls ist Zentrum der Symmetrie Die Ebene, die durch einen Punkt auf einer Kugeloberfläche verläuft und senkrecht zu dem zu diesem Punkt gezogenen Radius steht, heißt Tangentialebene . Dieser Punkt wird Berührungspunkt genannt. Die Tangentialebene hat nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel - den Kontaktpunkt. Eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt einer Kugeloberfläche senkrecht zu dem zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird als Tangente bezeichnet. Durch jeden Punkt der Kugeloberfläche gehen unendlich viele Tangenten, und alle liegen in der Tangentialebene der Kugel.

Satz 20.3 . Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel zur Sekante fällt Flugzeug.

Nachweisen. Let - Schnittebene und O - die Mitte der Kugel (Abb. 453). Lassen Sie uns eine Senkrechte vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene fallen lassen und die Basis dieser Senkrechten mit O" bezeichnen.

Sei X ein beliebiger Punkt der zur Ebene gehörenden Kugel. Von Satz Pythagoras 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2. Da OX nicht größer ist als der Radius R der Kugel, d.h. jeder Punkt des Schnitts der Kugel durch die Ebene befindet sich in einem Abstand, der nicht größer ist als der Punkt O ", gehört also zu einem Kreis mit Mittelpunkt O" und Radius.

Umgekehrt gehört jeder Punkt X dieses Kreises zur Kugel. Und das bedeutet, dass der Abschnitt Ball Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt O. Der Satz ist bewiesen.

Die Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird Diametralebene genannt. Der Schnitt der Kugel durch die diametrale Ebene heißt Großkreis (Abb. 454) und der Schnitt der Kugel heißt Großkreis.

Aufgabe (30). Eine Ebene senkrecht dazu wird durch den Mittelpunkt des Kugelradius gezogen. Wie verhält sich die Fläche des erhaltenen Schnitts zur Fläche des Großkreises?

Entscheidung . Wenn der Radius der Kugel R ist (Abb. 455), dann ist der Radius des Kreises im Schnitt

Das Verhältnis der Fläche dieses Kreises zur Fläche des Großkreises ist

Satz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.

Nachweisen. Sei b die Schnittebene und O der Mittelpunkt der Kugel (Abb. 453). Lassen wir die Senkrechte vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene b fallen und bezeichnen mit O" die Basis dieser Senkrechten.

Sei X ein beliebiger Punkt der Kugel, der zur Ebene b gehört. Nach dem Satz des Pythagoras ist 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2. Da OX nicht größer ist als der Radius R der Kugel, d. h. jeder Punkt des Schnitts der Kugel durch die Ebene b hat einen Abstand, der nicht größer ist als der Punkt O ", gehört er daher zu einem Kreis mit Mittelpunkt O " und Radius.

Umgekehrt gehört jeder Punkt X dieses Kreises zur Kugel. Und das bedeutet, dass der Schnitt der Kugel durch die Ebene ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist. Der Satz ist bewiesen.

Die Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, wird Diametralebene genannt. Der Schnitt der Kugel durch die diametrale Ebene heißt Großkreis (Abb. 454) und der Schnitt der Kugel heißt Großkreis.

Aufgaben

Aufgabe 1 . Zwei Abschnitte einer Kugel mit einem Radius von 10 cm durch parallele Ebenen haben einen Radius von 6 igel und 8 cm. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Sekantenebenen.

Entscheidung. Finden Sie den Abstand jeder der parallelen Ebenen zum Mittelpunkt der Kugel:

Je nachdem, ob der Mittelpunkt der Kugel zwischen den Ebenen liegt oder nicht, erhalten wir zwei unterschiedliche Antworten auf die Aufgabe:

Aufgabe 2. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Kugeln ist d; ihre Radien R1 und R2. Finden Sie den Radius des Kreises, wo sie sich schneiden.

Entscheidung. Der gewünschte Radius dient als Höhe des Dreiecks OMO1 (Abb. 5). Die Fläche S des Dreiecks OMO2 liegt auf drei Seiten 001 = d, R1 R2 und der gesuchte Radius ist r=2S/d. Auch eine Gerade kann in Bezug auf die Kugel drei wesentlich unterschiedliche Positionen einnehmen. Sie kann nämlich die Oberfläche der Kugel an zwei verschiedenen Punkten schneiden, sie nicht schneiden oder einen gemeinsamen Punkt mit ihr haben. Im letzteren Fall wird sie als Tangente an den Ball bezeichnet

Aufgabe 3 Eine Ebene senkrecht dazu wird durch den Mittelpunkt des Kugelradius gezogen. Wie verhält sich die Fläche des erhaltenen Schnitts zur Fläche des Großkreises?