Grundlagen der Quantentheorie

Die Quantentheorie ist bei weitem die seltsamste Beschreibung der Realität, die je von Physikern geschaffen wurde. Aber sie glauben daran, weil trotz jahrzehntelanger strenger Tests kein einziges Experiment sie widerlegt hat. Darüber hinaus hat die Quantentheorie zu zahlreichen praktischen Anwendungen geführt – Haushaltsgeräte, die einfach nicht funktionieren würden, wenn nicht seltsame Quantenphänomene auf atomarer Ebene auftreten würden. Die Tatsache, dass diese Seite beispielsweise auf einem Computerbildschirm vor Ihnen angezeigt wird, ist größtenteils auf Quanteneffekte zurückzuführen. Die Gesetze der Transistoren, die Ihren Computer mit Strom versorgen, sowie die magnetischen Effekte, die zum Speichern dieser Seite auf Ihrer Festplatte verwendet werden, liegen in der Quantentheorie.

Trotz der Erfolge der Theorie verletzt sie unser konventionelles Weltbild des gesunden Menschenverstands so scharf, dass wir, selbst wenn wir die Theorie verwenden, um die Ergebnisse dieses oder jenes Experiments genau zu beschreiben, wahrscheinlich nicht zugeben werden, dass wir die Quantentheorie wirklich verstehen. Folgendes sagten zwei Nobelpreisträger über die Quantentheorie: „Diejenigen, die von der Quantentheorie nicht schockiert sind, haben sie nicht verstanden“ (Niels Bohr) und „Ich glaube, ich kann mit Zuversicht sagen, dass niemand die Quantenmechanik versteht“ (Richard Feynman). Seit der Entwicklung der Quantentheorie in den 1920er Jahren hat die Frage, was eine Theorie wirklich über das „Gewebe der Realität“ aussagt, viele der größten Denker in Physik und Philosophie beschäftigt. Das tiefe Eintauchen in das Studium der Grundlagen der Quantentheorie hat bis heute nicht nachgelassen.

Quantenfremdheit

Das Herzstück der Quantenfremdheit liegt im sogenannten Superpositionsprinzip. Angenommen, wir haben einen Ball, der in einer von zwei Boxen versteckt ist. Auch wenn wir nicht wissen, in welcher Box sich der Ball befindet, neigen wir dazu zu glauben, dass er sich tatsächlich in einer der beiden Boxen befindet, während in der anderen Box nichts ist. Wenn wir aber statt einer Kugel ein mikroskopisch kleines Objekt wie ein Atom nehmen, dann wäre es im Allgemeinen falsch anzunehmen, dass sich das Atom nur in einer der beiden Boxen befindet. In der Quantentheorie kann sich ein Atom so verhalten, dass es sich gewissermaßen in beiden Kästchen gleichzeitig befindet – in einer Überlagerung scheinbar sich gegenseitig ausschließender Alternativen. Dieses seltsame Verhalten ist für das Funktionieren der Natur im mikroskopischen Maßstab notwendig und eng mit dem Gewebe der Realität verwoben.

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass sich ein Atom so verhalten kann, als wäre es gleichzeitig an zwei Orten? Betrachten wir ein klassisches Zweispalt-Experiment, bei dem ein Strom identischer Teilchen (mit gleicher Geschwindigkeit und Richtung) auf eine Trennwand mit zwei Spalten gerichtet wird. Die Teilchen können Elektronen, Atome oder sogar große Moleküle sein – es spielt keine Rolle. Einige Partikel werden durch das Prallblech blockiert, während andere hindurchgehen und mit dem zweiten Aufnahmeschirm kollidieren. Nehmen wir an, die Strömungsgeschwindigkeit sei sehr gering, so dass jeweils nur ein Teilchen aus der Apparatur emittiert wird. Dadurch wird sichergestellt, dass alle seltsamen beobachteten Verhaltensweisen auf einzelne Partikel zurückzuführen sind, im Gegensatz zu zwei oder mehr Partikeln, die sich in irgendeiner Weise gegenseitig beeinflussen. Die Versuchsergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:

· Teilchen, die einzeln eintreffen, treffen an zufälligen Stellen auf den Aufnahmebildschirm. Auch wenn sie alle den gleichen "Zustand" haben, kann der Ort des Akzents nicht im Voraus vorhergesagt werden. Es gibt eine wahre Zufälligkeit in der Natur, tiefer als die Zufälligkeit in einem gewürfelten Würfel.

· Wenn die Anzahl der Partikel zunimmt, erscheint ein klares Aufprallmuster auf dem Aufnahmebildschirm – Partikel treffen tendenziell häufiger an einigen Stellen auf als an anderen. Dieses Muster sagt uns die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Teilchen einen bestimmten Ort trifft.

Es stellt sich heraus, dass dieses Wahrscheinlichkeitsmuster auf mehrere mathematisch äquivalente Arten sehr genau berechnet werden kann, zum Beispiel:

a) Eine Möglichkeit besteht darin, die Teilchen zu vergessen und stattdessen imaginäre Wellen zu betrachten, die durch die Trennwand laufen. Eine solche Wellenfront wird beide Schlitze gleichzeitig passieren, zwei Wellen werden auf der anderen Seite erscheinen, eine von jedem Schlitz. Sie breiten sich zum Aufnahmebildschirm aus, überlagern sich und stören sich gegenseitig – wie Wasserwellen auf einem See. Aufgrund des Interferenzmusters sind die Wellen an einigen Stellen auf dem Bildschirm intensiver als an anderen Stellen. Mit der richtigen Wahl des Abstands zwischen den Wellenbergen (Wellenlänge) kann dieses Interferenzmuster genau mit unserem Tübereinstimmen.

b) Eine andere Möglichkeit besteht darin, zu versuchen, das Experiment streng in Bezug auf die Teilchen zu verstehen, die durch das Gerät hindurchgehen. Schließlich werden die Partikel von der Quelle emittiert und die Partikel erscheinen auf dem Aufnahmebildschirm. In diesem Fall sagt uns die Mathematik, dass jedes einzelne Teilchen auf zwei Pfaden gleichzeitig existiert, um einen bestimmten Punkt auf dem Aufnahmebildschirm zu erreichen, einer geht durch den linken Schlitz, der andere durch den rechten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel tatsächlich einen registrierten Punkt trifft, kann auf der Grundlage bestimmter Zahlen berechnet werden, die den beiden Pfaden zugeordnet sind, und wir gelangen wieder zu demselben Muster von Partikelwahrscheinlichkeiten.

Der hier verwendete mathematische Apparat ist ziemlich einfach, aber alle Interpretationen dessen, was er über die Natur des Universums vorschlägt, beinhalten irgendeine Form von grundlegend seltsamer Vorstellung. In den oben beschriebenen Fällen (a) und (b) zeigt sich diese Kuriosität in der Tatsache, dass jedes einzelne Teilchen, das durch das Gerät hindurchgeht, irgendwie von beiden Schlitzen weiß: ob wir mit dem Teilchen verbundene imaginäre Wellen darstellen oder das Teilchen selbst, das hindurchgeht beide Schlitze gleichzeitig.

Um dies deutlicher zu sehen, stellen wir fest, dass es bei beiden geöffneten Schlitzen Stellen auf dem Aufnahmebildschirm gibt, an denen niemals Partikel fallen. Weitere Experimente zeigen jedoch, dass es kein Problem für Partikel gibt, an diese Stellen zu gelangen, wenn sie gezwungen werden, nur einen Schlitz zu passieren (wenn der andere Schlitz vorübergehend blockiert ist). Mit anderen Worten, es gibt Stellen auf dem Bildschirm, an die Partikel gelangen können, wenn nur der linke Schlitz offen ist oder nur der rechte Schlitz offen ist, aber niemals, wenn beide Schlitze offen sind. Angenommen, ein bestimmtes Partikel passiert tatsächlich nur einen Schlitz (rechts oder links), wie kann es "wissen", dass der andere Schlitz (links oder rechts) offen ist oder nicht, und daher "weiß", wo es "erlaubt" ist zu treffen , wo nicht? Irgendwie verhält sich das Teilchen so, als ob es gleichzeitig an zwei Orten sein könnte, im linken und im rechten Schlitz. Zurück zu einem Atom und zwei Boxen, wir haben eine ähnliche Situation: Im Alltag würde man "Atom in Box 1" oder "Atom in Box 2" erwarten. In der Quantenwelt können wir jedoch „Atom in Box 1“ und „Atom in Box 2“ haben und tun dies normalerweise auch.

Dasselbe kann man auch anders sagen. Die Hauptfrage in der gewöhnlichen (Nicht-Quanten-) Physik kann wie folgt formuliert werden: Wenn man die Anfangsposition und -geschwindigkeit (Größe und Richtung) des Balls kennt, wie ist seine anschließende Flugbahn? In der Quantenphysik ist die Art der Frage ganz anders: Wenn ich weiß, dass ich hier und jetzt ein Teilchen gesehen habe, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich es dort und dann sehe? Außerdem legt die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit merkwürdige Vorstellungen nahe. Zum Beispiel: Wenn es sich von hier nach dort bewegt, existiert das Teilchen gleichzeitig auf allen möglichen Wegen, einschließlich des Stoppens am Mond! In den letzten Jahrzehnten haben Wissenschaftler damit begonnen, diese Quantenkuriositäten anzuwenden, um neue und leistungsstarke Technologien wie Quantenkryptographie und Quantencomputer zu entwickeln – siehe Quanteninformation.

Verstrickung

Wenn wir mehr als ein Teilchen haben, kann die Quantenüberlagerung zu einem noch seltsameren Phänomen namens Quantenverschränkung führen. Zwei Teilchen, sagen wir Elektronen, in einem „verschränkten Zustand“ weisen eine sehr mysteriöse Art von Verbindung oder „Korrelation“ auf. Wird eines in irgendeiner Weise gestört, wirkt sich das sofort auf das andere aus, auch wenn sie im Weltraum sehr weit voneinander entfernt sind (z. B. ein Elektron auf der Erde und das andere auf dem Mars). Die Bedeutung des hier verwendeten Wortes „beeinflusst“ ist eher subtil. Die Verschränkung ist nicht stark genug, um uns zu erlauben, Informationen sofort zu senden, d.h. schneller als die Lichtgeschwindigkeit (und daher gibt es keine Verletzung von Einsteins Relativitätstheorie). Aber die Verschränkung ist stark genug, um einige interessante messbare Konsequenzen zu haben (was Einstein ärgerte und „schreckliche Fernwirkung" nannte. Hier gibt es eine tiefe und faszinierende Wechselwirkung zwischen Relativitätstheorie und Quantentheorie. Zum Beispiel kann man Fragen stellen wie: „Wenn eines der verschränkten Teilchenpaare in das Schwarze Loch fällt und das andere herausfliegt, wo wir es nachweisen können, kann das zweite Teilchen (oder viele solcher Teilchen) verwendet werden, um Informationen darüber zu extrahieren, was bereits ins Schwarze gefallen ist Loch oder sogar als Schwarzes Loch entstand?

Betrachten Sie ein einfaches Gedankenexperiment, um die Seltsamkeit der Quantenverschränkung zu verstehen. Angenommen, wir werfen eine Münze und schneiden sie, ohne sie anzusehen, in zwei Hälften (um die beiden Seiten der Münze zu trennen), verstecken dann jede Hälfte in einer versiegelten Schachtel, geben eine Schachtel Alice und die andere Schachtel Bob. und schickte Alice zur Venus und Bob zum Mars. Wenn Alice ihre Schublade öffnet, findet sie die Hälfte der Münze mit Kopf oder Zahl, und Bob findet die andere Hälfte. Es gibt nichts Überraschendes.

Aber jetzt, anstatt einer Münze mit zwei Seiten, nehmen wir an, wir haben zwei Elektronen. Es ist einfach, zwei Elektronen in zwei entgegengesetzten Zuständen zu präparieren, einen mit Spin nach oben und den anderen mit Spin nach unten (ähnlich wie Kopf und Schwanz), und dasselbe Experiment noch einmal durchzuführen. Der Unterschied besteht darin, dass in der Quantenwelt die beiden Fälle (A) in Alices Box nach oben und in Bobs Box nach unten drehen und (B) in Alices Box nach unten und in Bobs Box nach oben drehen – gleichzeitig existieren können. Anstelle des üblichen A oder B können wir A und B haben, was der oben diskutierten Interpretation der Quantentheorie entspricht. Bis Alice hineinschaut, enthält ihre Kiste ein Elektron, das definitiv weder Spin-up noch Spin-down hat. Dieser unsichere Zustand kann nur beschrieben werden, indem man die Elektronen in den beiden Kästen als Teile eines einzigen Systems betrachtet, sie können nicht getrennt beschrieben werden. Eine ähnliche Situation entwickelt sich für ein Elektron in Bobs Box.

Wenn Alice nun in ihre Kiste schaut, wird sie die Natur zwingen, diesen oder jenen bestimmten Zustand, A oder B, zu wählen, und die Natur wird es zufällig auswählen. Lassen Sie die Natur den Zustand A wählen (spin up für Alice, spin down für Bob). Bemerkenswerterweise wirkt sich diese Wahl auf beide Boxen gleichzeitig aus, egal wie weit sie voneinander entfernt sind. In dem Moment, in dem Alice in ihre Box schaut, wird sie nicht nur ihr Elektron beeinflussen, um einen bestimmten Spin-up zu erhalten, sondern auch Bobs Elektron (in seiner noch verschlossenen Box), um einen bestimmten Spin-down zu erhalten. Alices Blick auf ihr Elektron wirkt sich sofort auf Bobs Elektron aus, unabhängig von der Entfernung zwischen ihnen. Es scheint, dass dies zu einer Verletzung des Einsteinschen Prinzips der Lichtgeschwindigkeit führt! Da Alice jedoch keine Kontrolle darüber hat, welchen der beiden definierten Zustände ihr Elektron annehmen wird (die Natur wählt zufällig), kann der Prozess nicht verwendet werden, um Informationen sofort zu übertragen, sodass streng genommen keine Verletzung der Lichtgeschwindigkeit vorliegt. Allerdings ist das Ganze auf jeden Fall seltsam!

Die Quantenverschränkung stellt nicht nur tiefe und faszinierende Fragen zur Natur der Realität, sondern hat auch wichtige Anwendungen in der Quantenkryptographie. Es ermöglicht die Übertragung sehr empfindlicher Quanteninformationen (z. B. den Quantenzustand von Elektronen in einem Atom) von einem Ort zum anderen in einem als "Quantenteleportation" bezeichneten Prozess mit wichtigen Anwendungen im Quantencomputer. Beide Anwendungen werden im Abschnitt über Quanteninformation diskutiert.

Interpretation der Quantenwelt

Was machen wir mit dieser seltsamen Quantenwelt? Wie wir bereits erwähnt haben, obwohl die Mathematik der Quantentheorie gut verstanden wird, haben diese Kuriositäten zu unterschiedlichen Interpretationen der Natur der „Realität“ geführt.

Gehen wir zurück zu unserem Atom, das als Überlagerung in Kästchen 1 und Kästchen 2 existiert. Wenn wir in die Kästchen „schauen“ (zum Beispiel, indem wir ein Licht hineinleuchten und das vom Atom gestreute Licht finden), werden wir immer eines finden Atom in Kästchen 1 oder Kästchen 2 , aber niemals beides, da es nur ein Atom gibt. Aber was genau ist eine solche Dimension? Gibt es einige physikalische Wechselwirkungen, durch die ein Messgerät ein Quantensystem veranlasst, ein bestimmtes Ergebnis zu produzieren (eine starke Version dessen, was die „Kopenhagener Interpretation“ genannt wird, und die Interpretation, die der Diskussion in diesem Artikel zugrunde liegt)? Oder ist Gewissheit eine Illusion, und das Gerät und das Quantenteilchen sind nur Teile eines großen Quantensystems, in dem alle möglichen Messergebnisse realisiert werden? Das heißt, für jedes in "parallelen Realitäten" erzielte Ergebnis gibt es unzählige Kopien von Messgeräten, die alle möglichen Ergebnisse erhalten ("Multi-Welten-Interpretation")? Oder ist Unvorhersagbarkeit selbst eine Illusion, und die Quantentheorie kann auf einem verborgenen Fundament aufgebaut werden, das selbst einer vorhersagbaren Evolution folgt ("Bohmsche Mechanik")?

Die Antworten auf diese Fragen zu den Grundlagen der Quantentheorie sind im Zusammenhang mit einer Reihe grundlegender Probleme mit zahlreichen Implikationen sehr wichtig geworden. Da zum Beispiel das sehr frühe Universum als Quantensystem beschrieben werden muss, werden Fragen nach den Grundlagen der Quantentheorie wichtig für das Verständnis des Ursprungs unseres Universums, also für die Quantenkosmologie. Ein tieferes Verständnis der Grundlagen der Quantentheorie kann uns helfen, eines der großen ungelösten Probleme der Quantentheorie zu lösen: Wie stecken wir die Schwerkraft hinein und erhalten eine Theorie der Quantengravitation?

Quantenüberlagerung(kohärente Überlagerung) - eine Überlagerung von Zuständen, die aus klassischer Sicht nicht gleichzeitig realisiert werden können, dies ist eine Überlagerung von alternativen (sich gegenseitig ausschließenden) Zuständen. Das Prinzip der Existenz von Überlagerungen von Zuständen wird im Kontext der Quantenmechanik meist einfach genannt Prinzip der Superposition.

Aus dem Superpositionsprinzip folgt auch, dass alle Gleichungen für Wellenfunktionen (z. B. die Schrödinger-Gleichung) in der Quantenmechanik linear sein müssen.

Jede beobachtbare Größe (z. B. Ort, Impuls oder Energie eines Teilchens) ist ein Eigenwert des hermitischen linearen Operators, der einem bestimmten Eigenzustand dieses Operators entspricht, dh einer bestimmten Wellenfunktion, auf die der Operator einwirkt reduziert auf die Multiplikation mit einer Zahl - einem Eigenwert. Eine lineare Kombination zweier Wellenfunktionen - die Eigenzustände des Operators beschreiben auch den tatsächlichen physikalischen Zustand des Systems. Für ein solches System hat der beobachtete Wert jedoch keinen bestimmten Wert mehr, und als Ergebnis der Messung wird einer von zwei Werten mit Wahrscheinlichkeiten erhalten, die durch die Quadrate der Koeffizienten (Amplituden) bestimmt werden, mit denen die Basisfunktionen gehen eine Linearkombination ein. (Natürlich kann die Wellenfunktion eines Systems eine Linearkombination von mehr als zwei Grundzuständen sein, bis hin zu unendlich vielen davon).

Wichtige Folgen der Quantenüberlagerung sind verschiedene Interferenzeffekte (siehe Youngs Experiment, Beugungsmethoden) und für zusammengesetzte Systeme verschränkte Zustände.

Ein beliebtes Beispiel für das paradoxe Verhalten quantenmechanischer Objekte aus Sicht eines makroskopischen Beobachters ist Schrödingers Katze, die eine Quantenüberlagerung einer lebenden und einer toten Katze sein kann. Über die Anwendbarkeit des Superpositionsprinzips (sowie der Quantenmechanik im Allgemeinen) auf makroskopische Systeme ist jedoch nichts Sicheres bekannt.

Die Quantensuperposition (Überlagerung von „Wellenfunktionen“) sollte trotz der Ähnlichkeit der mathematischen Formulierung nicht mit dem Überlagerungsprinzip für gewöhnliche Wellenphänomene (Felder) verwechselt werden. Die Fähigkeit, Quantenzustände hinzuzufügen, bestimmt nicht die Linearität einiger physikalischer Systeme. Überlagerung Felder denn, sagen wir, der elektromagnetische Fall, bedeutet zum Beispiel, dass man aus zwei verschiedenen Zuständen eines Photons einen Zustand eines elektromagnetischen Feldes mit zwei Photonen machen kann, der sich überlagert Quantum nicht können. ABER aufstellen Die Überlagerung des Vakuumzustands (Nullzustand) und einer bestimmten Welle wird im Gegensatz zu derselben Welle sein QuantumÜberlagerungen von 0- und 1-Photonen-Zuständen, die neue Zustände sind. Die Quantenüberlagerung kann auf solche Systeme angewendet werden, unabhängig davon, ob sie durch lineare oder nichtlineare Gleichungen beschrieben werden (dh ob das Prinzip der Feldüberlagerung gilt oder nicht). Siehe Bose-Einstein-Statistik für die Beziehung zwischen Quanten- und Feldüberlagerungen für den Fall von Bosonen.

Auch sollte die quantenmechanische (kohärente) Überlagerung nicht mit den sogenannten Mischzuständen (siehe Dichtematrix) verwechselt werden – „inkohärente Überlagerung“. Auch das sind verschiedene Dinge.

Das Quantenprinzip der Superposition ist das zentrale Prinzip der Quantenphysik. Angewendet auf die Beschreibung der Zustände eines Photons lässt sich dies wie folgt erklären. Wenn ein Photon auf mehreren Wegen in einen Zustand gelangen kann, ist die resultierende Amplitude des Eintritts in diesen Zustand gleich der Vektorsumme der Amplituden des Eintritts in jeden der Wege. Das muss man bedenken Amplituden addieren sich nur dann, wenn grundsätzlich nicht zu unterscheiden ist, auf welche Art und Weise der Treffer in einem bestimmten Zustand erfolgt ist. Wenn Sie jedoch während des Experiments ein Gerät verwenden, mit dem Sie feststellen können, welche der Methoden den Endzustand erreicht, dann addieren sich die Amplituden nicht - die Wahrscheinlichkeiten, alle Methoden zu implementieren, addieren sich. In diesem Fall gibt es keine Quanteninterferenz von Wahrscheinlichkeitsamplituden.

Ein Beispiel für Quanteninterferenz. Wir richten einen Strahl von Photonen gleicher Energie auf zwei parallel zueinander planparallele Platten (Fabry-Perot-Interferometer). Wir registrieren die vom System reflektierten Photonen.

Die Beschreibung des Erlebnisses in klassischer Sprache sieht so aus. Die elektromagnetische Welle wird von der ersten Platte teilweise übertragen und teilweise reflektiert. Dasselbe passiert mit dem letzten Teil. Die reflektierte Welle ist eine Überlagerung von zwei Wellen – reflektiert von der ersten und reflektiert von der zweiten Platte. Wenn die Differenz im Weg der reflektierten Wellen gleich einer ganzzahligen Anzahl von Wellen ist, dann wird es eine Zunahme des reflektierten Lichts geben. Ist der Gangunterschied der reflektierten Wellen gleich einer ungeraden Anzahl von Halbwellen, so wird eine Abschwächung des reflektierten Lichts beobachtet. Daher sollte bei einer sanften Änderung des Abstands zwischen den Platten eine abwechselnde Verstärkung und Dämpfung des reflektierten Lichts beobachtet werden. Diese Vorhersage stimmt mit experimentellen Daten überein.

Es stellt sich heraus, dass alle Vorhersagen, die auf der klassischen Wellentheorie basieren und experimentell bestätigt werden, auch aus der Quantentheorie folgen. Führen wir Quantenschlussfolgerungen durch. Das auf die erste Platte einfallende Photon hat eine zu reflektierende Amplitude, wir bezeichnen es mit a1, und eine zu passierende Amplitude hat, bezeichnen wir sie mit b1. Offensichtlich, a1 und b1 muss die Bedingung ç erfüllen a1ç 2+ ç b1ç 2=1 . Wahrscheinlichkeitsamplitude Y2 ein Photon, das von der zweiten Platte reflektiert wird, um die erste Platte zu verlassen, hat eine Phase, die größer ist als die Phase der Amplitude der Reflexionswahrscheinlichkeit von der ersten Platte Y1=a1 auf der Dj=2kb(Wir berücksichtigen der Einfachheit halber den Brechungsindex der Platten nicht, d. h. wir betrachten die Platten als unendlich dünn), weil der Austrittspunkt des von der zweiten Platte reflektierten Photons vom Reflexionspunkt der getrennt ist erste Platte entlang der Photonenbahn um einen doppelten Abstand zwischen den Platten. Der vor den Platten installierte Photonendetektor kann grundsätzlich nicht unterscheiden, ob ein Photon von der ersten oder zweiten Platte reflektiert wird. Daher ist die resultierende Amplitude der Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon von einem Plattensystem reflektiert wird, gleich der Vektorsumme der Amplituden Y1 und Y2. Aus der Figur ist ersichtlich, dass bei einer Phasendifferenz die Amplituden der Wahrscheinlichkeiten gleich einer ganzen Zahl sind 2p, die Summe der Amplituden ist gleich der Summe der Längen der Pfeile und mit einer Phasendifferenz gleich einer ungeraden Zahl p, die Summe der Amplituden ist gleich der Längendifferenz der Pfeile. Im ersten Fall ist die Durchgangswahrscheinlichkeit gleich dem Quadrat der Summe der Pfeillängen und im zweiten Fall gleich dem Quadrat der Differenz der Pfeillängen. Im allgemeinen Fall kann die Reflexionswahrscheinlichkeit P mit dem Kosinussatz berechnet werden
P=|Y1|2+ |Y2|2+2 |Y1|× |Y2|cos2kb(3)
Ebenso wie die klassische Quantentheorie sagt die Quantentheorie abwechselnde Zunahmen und Abnahmen der Frequenz des Detektorbetriebs mit einer sanften Änderung des Abstands zwischen den Platten voraus. Stellen wir die Erfüllung der Bedingung ç Y1ç = ç Y2ç, dann in bestimmten Abständen b die Reflexionswahrscheinlichkeit kann null sein, obwohl die Reflexionsamplituden sowohl von der ersten als auch von der zweiten Platte nicht null sind.

Die nächste Aufgabe steht im Mittelpunkt der Lektion.

Aufgabe 4. Durch zwei Schlitze, deren Breite jeweils kleiner ist als die Wellenlänge der Wahrscheinlichkeitsamplitude l, passieren einen Elektronenstrahl. Die Elektronen treffen auf einen entfernt angeordneten Schirm L aus Rissen. Die Amplituden eines Elektrons, das auf den oberen und den unteren Schlitz trifft, sind gleich. Betrachten Sie die Situation L>>l, b, x.

a) Unter der Annahme, dass die Module der Wahrscheinlichkeitsamplituden für ein Elektron sowohl aus dem oberen als auch aus dem unteren Spalt, den Schirm am Ursprung zu treffen, gleich und gleich sind Y, bestimmen Sie die Auslösefrequenz des Detektors ich in einiger Entfernung auf den Bildschirm gepinnt x vom Ursprung. Beachten Sie, dass die Ansprechfrequenz des am Ursprung installierten Detektors gleich ist Ich0. Bedenken Sie auch das Y hängt nicht davon ab x.
b) Erhalten Sie einen ungefähren Ausdruck für den Abstand zwischen dem zentralen und dem ersten Maximum der Elektronentrefferintensität.
in) Geben Sie eine qualitative Vorhersage der Änderung des Beugungsmusters für den Fall an, dass die Module der Amplituden des Elektrons, das von den Schlitzen auf den Schirm trifft, nicht gleich sind und umgekehrt proportional zum Abstand vom Schlitz zum Auftreffpunkt sind.
G) Wie ändert sich das Beugungsmuster, wenn die Phase der Amplitude der Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron in den oberen Spalt fällt, kleiner ist als die Phase der Amplitude der Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron in den unteren Spalt fällt? S./6?

Lösung.a) Denn es ist grundsätzlich unmöglich festzustellen, aus welchem ​​Schlitz ein Elektron an einem Punkt ankommt x, sofern die resultierende Amplitude des Treffers gleich der Summe der Amplituden ist. Die Amplituden der von den oberen und unteren Schlitzen getroffenen Elektronen haben eine Phasendifferenz, wobei D l- Reisedifferenz zu einem Punkt x aus den oberen und unteren Schlitzen. Sie ist gleich
(4)
Die entsprechende Phasendifferenz in diesem Fall
(5)

Als nächstes addieren wir die Amplituden nach dem Kosinussatz und bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron einen Punkt trifft x, wie es im Beispiel gemacht wurde
(6)
Das zentrale Maximum liegt am Punkt x=0. Da die Intensität des Detektorbetriebs im zentralen Maximum gleich ist Ich0, dann , und die Antwortintensität an diesem Punkt x wird in das Formular geschrieben
(7)

b) Aus der Bedingung wird der Abstand zwischen dem zentralen und dem ersten Maximum bestimmt
(8)
Wo
(9)

in) Wenn Sie sich beim Bewegen entlang des Bildschirms vom zentralen Maximum entfernen, wird es einen Unterschied in der Länge der Pfeile der Wahrscheinlichkeitsamplitude geben. Im Gegensatz zu der durch Formel (13) beschriebenen Situation, die an den Minimalpunkten eine Null-Intensität des Detektorbetriebs ergibt, ergibt die Subtraktion der Amplitudenwellen der Wahrscheinlichkeit des Auftreffens von verschiedenen Schlitzen nicht Null. Dem Beugungsmuster wird ein monotones „Gegenlicht“ überlagert.

G) Zu der Phasendifferenz werden die durch Formel (5) gegebenen Wahrscheinlichkeitsamplituden addiert S./6, also wird die neue Phasendifferenz gleich sein
(10)
Dementsprechend wird Formel (17) in die Form transformiert
(11)

Formel (11) besagt, dass das gesamte Beugungsmuster um eine Strecke nach unten verschoben wird.

Lassen Sie uns die Lösung von Problem 4 zusammenfassen. Wenn ein Elektronenstrahl durch zwei Schlitze gestreut wird, werden die Wahrscheinlichkeitsamplitudenwellen, die durch den oberen und den unteren Schlitz gegangen sind, einander überlagert (interferieren) und ein Beugungsmuster erscheint ähnlich dem Beugungsmuster Licht auf zwei Schlitze. Es ist bemerkenswert, dass, wenn der eine oder andere Schlitz abwechselnd abgedeckt wird, das Streumuster keine Minima oder Maxima aufweisen wird (da die Schlitze sehr dünn sind). Höhen und Tiefen treten nur auf, wenn beide Schlitze offen sind. Die Wahrscheinlichkeitsamplituden der beiden Möglichkeiten werden addiert. Es kann nicht behauptet werden, dass ein Elektron entweder aus dem oberen oder aus dem unteren Spalt in den Detektor eintritt. Es kommt aus zwei Steckplätzen gleichzeitig. Obwohl das Elektron ein unteilbares Teilchen ist, fliegt es irgendwie gleichzeitig durch zwei Spalte.

Die Möglichkeit staatlicher Interferenz ist das Hauptmerkmal der Quantenphysik. Das ist ihr Hauptpunkt.

Sichtweise ist dies eine Überlagerung von alternativen (sich gegenseitig ausschließenden) Zuständen. Das Prinzip der Existenz von Überlagerungen von Zuständen wird im Kontext der Quantenmechanik meist einfach genannt Prinzip der Superposition.

Wenn funktioniert Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)\ ) und Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)\ ) sind zulässige Wellenfunktionen, die den Zustand eines Quantensystems beschreiben, dann deren lineare Überlagerung, Ψ 3 = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(3)=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)\ ), beschreibt auch einige Zustände des gegebenen Systems. Wenn die Messung einer physikalischen Größe f ^ (\displaystyle (\hat (f))\ ) fähig | Ψ 1 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(1)\rangle ) führt zu einem bestimmten Ergebnis, und im Zustand | Ψ 2 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(2)\rangle )- zum Ergebnis, dann ist die Messung im Stand | Ψ 3 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(3)\rangle ) wird zu einem Ergebnis führen f 1 (\displaystyle f_(1)\ ) oder f 2 (\displaystyle f_(2)\ ) mit Wahrscheinlichkeiten | c1 | 2 (\displaystyle |c_(1)|^(2)\ ) und | c 2 | 2 (\displaystyle |c_(2)|^(2)\ ) beziehungsweise.

Aus dem Superpositionsprinzip folgt auch, dass alle Gleichungen für Wellenfunktionen (z. B. die Schrödinger-Gleichung) in der Quantenmechanik linear sein müssen.

Jede beobachtbare Größe (z. B. Ort, Impuls oder Energie eines Teilchens) ist ein Eigenwert des hermitischen linearen Operators, der einem bestimmten Eigenzustand dieses Operators entspricht, dh einer bestimmten Wellenfunktion, auf die der Operator einwirkt reduziert auf die Multiplikation mit einer Zahl - einem Eigenwert. Eine lineare Kombination zweier Wellenfunktionen - die Eigenzustände des Operators beschreiben auch den tatsächlichen physikalischen Zustand des Systems. Für ein solches System hat der beobachtete Wert jedoch keinen bestimmten Wert mehr, und als Ergebnis der Messung wird einer von zwei Werten mit Wahrscheinlichkeiten erhalten, die durch die Quadrate der Koeffizienten (Amplituden) bestimmt werden, mit denen die Basisfunktionen gehen eine Linearkombination ein. (Natürlich kann die Wellenfunktion eines Systems eine Linearkombination von mehr als zwei Grundzuständen sein, bis hin zu unendlich vielen davon).

Wichtige Folgen der Quantenüberlagerung sind verschiedene Interferenzeffekte (siehe Youngs Experiment, Beugungsmethoden) und für zusammengesetzte Systeme verschränkte Zustände.

Ein beliebtes Beispiel für das paradoxe Verhalten quantenmechanischer Objekte aus Sicht eines makroskopischen Beobachters ist Schrödingers Katze, die eine Quantenüberlagerung einer lebenden und einer toten Katze sein kann. Über die Anwendbarkeit des Superpositionsprinzips (sowie der Quantenmechanik im Allgemeinen) auf makroskopische Systeme ist jedoch nichts Sicheres bekannt.

Unterschiede zu anderen Überlagerungen

Quantensuperposition (Überlagerung von "Wellenfunktionen") ist trotz der Ähnlichkeit der mathematischen Formulierung nicht zu verwechseln

Quantenüberlagerung(kohärente Superposition) ist eine Superposition von Zuständen, die aus klassischer Sicht nicht gleichzeitig realisiert werden können, es ist eine Superposition von alternativen (sich gegenseitig ausschließenden) Zuständen. Das Prinzip der Existenz von Überlagerungen von Zuständen wird im Kontext der Quantenmechanik meist einfach genannt Prinzip der Superposition.

Wenn funktioniert Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)\ ) und Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)\ ) sind zulässige Wellenfunktionen, die den Zustand eines Quantensystems beschreiben, dann deren lineare Überlagerung, Ψ 3 = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(3)=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)\ ), beschreibt auch einige Zustände des gegebenen Systems. Wenn die Messung einer physikalischen Größe f ^ (\displaystyle (\hat (f))\ ) fähig | Ψ 1 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(1)\rangle ) führt zu einem bestimmten Ergebnis, und im Zustand | Ψ 2 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(2)\rangle )- zum Ergebnis, dann ist die Messung im Stand | Ψ 3 ⟩ (\displaystyle |\Psi _(3)\rangle ) wird zu einem Ergebnis führen f 1 (\displaystyle f_(1)\ ) oder f 2 (\displaystyle f_(2)\ ) mit Wahrscheinlichkeiten | c1 | 2 (\displaystyle |c_(1)|^(2)\ ) und | c 2 | 2 (\displaystyle |c_(2)|^(2)\ ) beziehungsweise.

In einfachen Worten, die Formel Ψ n + 1 = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 . . . + c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(n+1)=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)\ ...+c_(n)\Psi _( n)\ ) ist eine Funktion der Summe der te Produkte von Funktionen und ihrer Wahrscheinlichkeiten, und daher die Summe der wahrscheinlichen Zustände aller Funktionen | Ψ ⟩ (\displaystyle |\Psi \rangle) .

Aus dem Superpositionsprinzip folgt auch, dass alle Gleichungen für Wellenfunktionen (z. B. die Schrödinger-Gleichung) in der Quantenmechanik linear sein müssen.

Jede beobachtbare Größe (z. B. Ort, Impuls oder Energie eines Teilchens) ist ein Eigenwert des hermiteschen linearen Operators , entsprechend einem bestimmten Eigenzustand dieses Operators, d. h. einer bestimmten Wellenfunktion, auf die der Operator einwirkt wird auf die Multiplikation mit einer Zahl - einem Eigenwert - reduziert. Eine lineare Kombination zweier Wellenfunktionen - die Eigenzustände des Operators beschreiben auch den tatsächlichen physikalischen Zustand des Systems. Für ein solches System hat der beobachtete Wert jedoch keinen bestimmten Wert mehr, und als Ergebnis der Messung wird einer von zwei Werten mit Wahrscheinlichkeiten erhalten, die durch die Quadrate der Koeffizienten (Amplituden) bestimmt werden, mit denen die Basisfunktionen gehen eine Linearkombination ein. (Natürlich kann die Wellenfunktion eines Systems eine Linearkombination von mehr als zwei Grundzuständen sein, bis hin zu unendlich vielen davon).

Wichtige Folgen der Quantenüberlagerung sind verschiedene Interferenzeffekte (siehe Youngs Experiment, Beugungsmethoden) und für zusammengesetzte Systeme verschränkte Zustände.

Ein beliebtes Beispiel für das paradoxe Verhalten quantenmechanischer Objekte aus Sicht eines makroskopischen Beobachters ist Schrödingers Katze, die eine Quantenüberlagerung einer lebenden und einer toten Katze sein kann. Über die Anwendbarkeit des Superpositionsprinzips (sowie der Quantenmechanik im Allgemeinen) auf makroskopische Systeme ist jedoch nichts Sicheres bekannt.

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