Begrenzte x-Achse, Graph einer integrierbaren Funktion und Liniensegmente x=a\,\! und x=b\,\!, wo a\,\! und b\,\!- Integrationsgrenzen (siehe Abbildung).

Die Notwendigkeit, numerische Integration anzuwenden, kann meistens durch das Fehlen einer Darstellung in verursacht werden und daher durch die Unmöglichkeit, den Wert eines bestimmten Integrals über analytisch zu berechnen. Es ist auch möglich, dass die Form der Stammfunktion so komplex ist, dass der Wert des Integrals numerisch schneller berechnet werden kann.

Eindimensionaler Fall

Die Hauptidee der meisten Methoden der numerischen Integration besteht darin, den Integranden durch einen einfacheren zu ersetzen, dessen Integral sich leicht analytisch berechnen lässt. In diesem Fall, um den Wert des Integrals zu schätzen, Formeln der Form

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

wo n\,\! ist die Anzahl der Punkte, an denen der Wert des Integranden berechnet wird. Punkte x_i\,\! heißen Methodenknoten, Zahlen w_i\,\!- Knotengewichte. Wenn der Integrand durch ein Polynom null, ersten und zweiten Grades ersetzt wird, erhält man die Verfahren , bzw. (Simpson). Häufig werden Formeln zum Schätzen des Werts des Integrals als Quadraturformeln bezeichnet.

Rechteck-Methode

Rechteck-Methode erhält man, indem man den Integranden durch eine Konstante ersetzt. Als Konstante können Sie den Wert der Funktion an jedem Punkt des Segments nehmen \links\,\!. Die am häufigsten verwendeten Funktionswerte befinden sich in der Mitte eines Segments und an seinen Enden. Die entsprechenden Modifikationen heißen Methoden mittlere Rechtecke, linke Rechtecke und rechte Rechtecke. Die Formel zur ungefähren Berechnung des Wertes eines bestimmten Integrals nach der Methode der Rechtecke lautet

I \approx f(x) (b-a),

wo x=\frac(\links(a+b\rechts))(2), a\,\! oder b\,\!, beziehungsweise.

Trapezverfahren

Wenn wir eine gerade Linie durch die Enden des Integrationssegments ziehen, erhalten wir trapezförmige Methode. Aus geometrischen Überlegungen ist es leicht zu erhalten

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Parabel-Methode

Unter Verwendung von drei Punkten des Integrationssegments können wir den Integranden durch eine Parabel ersetzen. Üblicherweise werden die Enden des Segments und sein Mittelpunkt als solche Punkte verwendet. In diesem Fall ist die Formel sehr einfach

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Erhöhung der Genauigkeit

Die Approximation einer Funktion durch ein Polynom über das gesamte Integrationsintervall führt in der Regel zu einem großen Fehler bei der Schätzung des Integralwerts.

Um den Fehler zu reduzieren, wird das Integrationssegment in Teile unterteilt und ein numerisches Verfahren wird verwendet, um das Integral für jeden von ihnen auszuwerten.

Da die Anzahl der Partitionen gegen unendlich tendiert, tendiert die Schätzung des Integrals für jedes numerische Verfahren zu seinem wahren Wert.

Die obigen Methoden ermöglichen ein einfaches Verfahren zum Halbieren des Schritts, während bei jedem Schritt die Werte der Funktion nur an neu hinzugefügten Knoten berechnet werden müssen. Um den Berechnungsfehler abzuschätzen, dient.

Gauss-Methode

Die oben beschriebenen Verfahren verwenden feste Liniensegmentpunkte (Enden und Mittelpunkte) und sind niedrig (1, 1 bzw. 3). Wenn wir die Punkte wählen können, an denen wir die Funktionswerte berechnen f(x)\,\!, dann ist es möglich, mit der gleichen Anzahl von Berechnungen des Integranden Methoden höherer Genauigkeit zu erhalten. Für zwei (wie beim Trapezverfahren) Berechnungen der Werte des Integranden erhält man also ein Verfahren nicht mehr 1., sondern 3. Ordnung der Genauigkeit:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

Im Allgemeinen verwenden n\,\! Punkte erhalten Sie eine Methode mit einer Genauigkeitsordnung 2n-1\,\!. Die Werte der Knoten der Gaußschen Methode von n\,\! Punkte sind die Wurzeln des Legendre-Gradpolynoms n\,\!.

Die Werte der Knoten der Gaußschen Methode und ihre Gewichte sind in den Nachschlagewerken der Sonderfunktionen angegeben. Am bekanntesten ist die Gaußsche Fünf-Punkte-Methode.

Gauß-Kronrod-Verfahren

Der Nachteil des Gauß-Verfahrens besteht darin, dass es (aus rechnerischer Sicht) keine einfache Möglichkeit bietet, den Fehler des erhaltenen Werts des Integrals abzuschätzen. Die Anwendung der Runge-Regel erfordert die Berechnung des Integranden an ungefähr der gleichen Anzahl von Punkten, ohne praktisch einen Genauigkeitsgewinn zu erzielen, im Gegensatz zu einfachen Verfahren, bei denen die Genauigkeit mit jeder neuen Teilung um ein Vielfaches zunimmt. Kronrod schlug die folgende Methode zum Schätzen des Werts des Integrals vor

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

wo x_i\,\!- Knoten der Gaußschen Methode n\,\! Punkte und 3n+2\,\! Parameter a_i\,\!, Bi\,\!, y_i\,\! werden so gewählt, dass die Genauigkeitsordnung des Verfahrens gleich ist 3n+1\,\!.

Um den Fehler abzuschätzen, kann man dann die empirische Formel verwenden

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

wo ICH G\,\!- der Wert des Integrals, geschätzt nach der Gauß-Methode gemäß n\,\! Punkte. Bibliotheken [

Programmierung numerischer Integrationsformeln

Einführung

1. Numerische Integrationsmethoden

2. Quadraturformeln

3. Automatische Auswahl des Integrationsschritts

Fazit

Bibliographisches Verzeichnis

Einführung

Der Zweck des Abstracts ist das Studium und die vergleichende Analyse von Methoden zur numerischen Integration von Funktionen; Umsetzung dieser Methoden in Form von Maschinenprogrammen in einer Hochsprache und praktische Lösung numerischer Integrationsprobleme auf einem Computer.

Bei der Lösung technischer Probleme ist es häufig erforderlich, die Werte eines bestimmten Integrals der Form zu berechnen

. (1)

Wenn die Funktion stetig ist auf dem Segment [ a , b] und ihre Stammfunktion durch eine bekannte Funktion bestimmt werden, dann erfolgt die Berechnung eines solchen Integrals nach der Newton-Leibniz-Formel:

.

Bei technischen Problemen ist es selten möglich, den Wert des Integrals in analytischer Form zu erhalten. Außerdem die Funktion f (x) kann beispielsweise durch eine Tabelle mit experimentellen Daten angegeben werden. Daher werden in der Praxis zur Berechnung eines bestimmten Integrals spezielle Verfahren verwendet, die auf dem Interpolationsapparat beruhen.

Die Idee hinter diesen Methoden ist die folgende. Anstatt das Integral nach Formel (1) zu berechnen, werden zunächst die Werte der Funktion berechnet f (x ich) = y ich an einigen Knoten x ich Î[ a , b]. Dann wird das Interpolationspolynom gewählt P (x) Durchlaufen der erhaltenen Punkte ( x ich , y ich), der zur Berechnung des Näherungswerts des Integrals (1) verwendet wird:

.

Bei der Implementierung dieses Ansatzes nehmen die numerischen Integrationsformeln die folgende allgemeine Form an:

, (2) - Stützstellen, Ai sind einige Koeffizienten, R– Restterm, der den Fehler der Formel charakterisiert. Beachten Sie, dass Formeln der Form (2) Quadraturformeln genannt werden.

Die geometrische Bedeutung der numerischen Integration besteht darin, die Fläche eines krummlinigen Trapezes zu berechnen, das durch den Graphen der Funktion begrenzt ist f (X), eine Abszissenachse und zwei Geraden x = a und x = b. Eine ungefähre Berechnung der Fläche führt zur Ablehnung des Restterms in den Quadraturformeln R den Fehler des Verfahrens charakterisieren, der zusätzlich durch den Rechenfehler überlagert wird.

1. Numerische Integrationsmethoden

In der angewandten Forschung wird es oft notwendig, den Wert eines bestimmten Integrals zu berechnen

Wie aus dem Mathematikunterricht bekannt, ist die analytische Berechnung des Integrals nicht in allen Fällen durchführbar. Und selbst wenn es möglich ist, die analytische Form dieses Integrals zu finden, liefert das Berechnungsverfahren ein ungefähres Ergebnis, sodass das Problem des ungefähren Werts dieses Integrals entsteht.

Das Wesen der Näherungsrechnung besteht in zwei Operationen: 1. in der Wahl einer endlichen Zahl anstelle von n; 2. in der Punktauswahl

im entsprechenden Abschnitt.

Je nach Wahl

erhalten wir verschiedene Formeln zur Berechnung des Integrals: Formeln für linkes und rechtes Rechteck (5), (6) (5) (6)

Trapezformel:

Simpson-Formel

b, a - Enden des betrachteten Segments.

Um die Ergebnisse der Berechnung mit den obigen numerischen Integrationsformeln zu vergleichen, berechnen wir das folgende Integral auf 3 Arten, indem wir das Segment in 6 gleiche Segmente teilen: h=

Nach der Formel der linken Rechtecke:

Nach der Trapezformel:

Nach Simpsons Formel:

Und das analytisch erhaltene Ergebnis ist gleich

=1

Daraus können wir schließen, dass die numerische Integrationsmethode nach der Simpson-Formel genauer ist, aber im allgemeinen Fall verwendet wird, wenn das zu trennende Segment in eine gerade Anzahl von Intervallen unterteilt wird.

2. Quadraturformeln

Rechteckformeln sind die einfachsten Quadraturformeln. Lassen Sie uns das Integrationssegment aufteilen [ ein, b] auf der P gleiche Teilelänge

. Beachten Sie, dass der Wert h heißt Integrationsschritt. An Splitpunkten X 0 = ein ,X 1 = a + h , ..., x n = b beachte die Ordinaten j 0 ,j 1 ,…,ja n krumm f (x), d.h. berechnen ich = f (x ich), x ich = a + ih = x ich -1 +h (ich =). Auf jedem Längensegment h Konstruiere ein Rechteck mit Seiten h und y ich, wo ich =, d.h. durch die Werte der an den linken Enden der Segmente berechneten Ordinaten. Dann lässt sich die Fläche des krummlinigen Trapezes, die den Wert des Integrals (1) bestimmt, näherungsweise als Summe der Flächen der Rechtecke darstellen (Abb. 1). Daraus erhalten wir die Formel für Rechtecke:
. (3)

Wenn wir bei der Berechnung der Integralsumme die Werte der Funktion nehmen f (x) nicht am linken, sondern am rechten Ende der Längensegmente h, die in Abb. 1 mit einer gepunkteten Linie, dann erhalten wir die zweite Version der Rechteckformel:

. (4)

Die dritte Variante der Rechteckformel erhält man, indem man die Werte der Funktion verwendet f (x) berechnet am Mittelpunkt jedes Längensegments h(Abb. 2):

. (5)

Die Formeln (3), (4) und (4) werden die Formeln des linken, rechten bzw. mittleren Rechtecks ​​genannt.

Simpson-Formel. Wir teilen das Integrationsintervall durch 2 n gleiche Teilelänge

. Auf jedem Segment [ x ich , xi+2] der Integrand f (X) wird durch eine Parabel ersetzt, die durch die Punkte ( x ich , y ich), (x ich +1 , y ich +1), (x ich +2 , y ich+2). Dann wird der ungefähre Wert des Integrals durch die Simpson-Formel bestimmt: . (7)

Bei der Berechnung auf einem Computer ist die folgende Formel bequemer:

Die Simpson-Methode ist eine der bekanntesten und am weitesten verbreiteten Methoden der numerischen Integration. Sie gibt genaue Werte des Integrals an, wenn Polynome bis einschließlich dritter Ordnung integriert werden.

Newtons Formel. Der Näherungswert des Integrals nach Newtons Formel errechnet sich wie folgt:

wobei die Anzahl der Segmente der Partition ein Vielfaches von drei ist, d.h. ist 3 n. Bei der Entwicklung von Computerprogrammen ist es bequemer, die entsprechende Formel zu verwenden:

Das Newton-Verfahren liefert genaue Werte des Integrals bei der Integration von Polynomen bis einschließlich vierter Ordnung.

3. Automatische Auswahl des Integrationsschritts

Als Ergebnis der Berechnung nach den Formeln (3) - (8) erhält man einen Näherungswert des Integrals, der sich vom exakten Wert um einen bestimmten Wert, Integrationsfehler genannt, unterscheiden kann. Der Fehler wird durch die Restformel bestimmt R, unterschiedlich für jede der Integrationsmethoden. Wenn es erforderlich ist, den Wert des Integrals mit einem Fehler zu berechnen, der e nicht überschreitet, muss ein solcher Integrationsschritt gewählt werden h um die Ungleichheit zu befriedigen R (h) £e. In der Praxis wird eine automatische Wertauswahl verwendet h, die das Erreichen des angegebenen Fehlers sicherstellt. Berechnen Sie zuerst den Wert des Integrals ich (n), Teilen des Integrationsintervalls in P Abschnitte, dann wird die Anzahl der Abschnitte verdoppelt und das Integral berechnet ich (2n). Der Berechnungsprozess wird fortgesetzt, bis die Bedingung wahr wird.

Numerische Integration

Die Hauptfragen des Vortrags:

2. Newton-Cotes-Quadraturformeln

3. Formeln von Rechtecken

4. Trapezformel

5. Simpson-Formel

6. Quadraturformeln von Gauß

7. Monte-Carlo-Methode

1. Formulierung des Problems der numerischen Integration

Es muss ein bestimmtes Integral der Form berechnet werden, und die Funktion kann sowohl in Form einer Formel als auch in Form einer Tabelle angegeben werden.

Newton-Cotes-Quadraturformeln

,
wo - Cotes-Koeffizienten.
Diese Formeln ergeben unterschiedliche Darstellungen für eine unterschiedliche Anzahl n von Partitionssegmenten auf demselben Integrationssegment.

Rechteckformeln

Lassen Sie es erforderlich sein, das Integral zu berechnen.
Wenn das Integrationssegment groß genug ist, müssen Sie es in kleinere Segmente gleicher Länge aufteilen, wobei n die Anzahl der Segmente ist, und das krummlinige Trapez durch ein Rechteck auf jedem der Segmente ersetzen und die Flächen dieser Rechtecke berechnen. Dann müssen die resultierenden Flächen addiert werden, und dieser Betrag wird als ungefährer Wert des gewünschten Integrals genommen.
Die Konstruktion von Rechtecken kann auf verschiedene Arten erfolgen: Sie können eine Senkrechte zum Schnittpunkt mit der Kurve f (x) vom rechten Ende jedes Segments zeichnen (Abb. 1), Sie können - vom linken Ende (Abb. 2)

Reis. eines

Reis. 2

Abhängig davon sind die Formeln zur Berechnung etwas unterschiedlich und heißen Rechteckformeln mit rechter bzw. linker Ordinate:

(Formel für "richtige" Rechtecke)

(Formel der "linken" Rechtecke)
Es gibt auch eine Formel für "mittlere" Rechtecke: , für die die Konstruktion von Rechtecken durch die Mittelpunkte jedes der Segmente der Partition ausgeführt wird:

· Trapezformel

· Simpson-Formel

Ersetzen Sie auf jedem Segment der Partition einen Teil der Kurve y = f(x) auf eine parabolische Kurve, berechnen die Flächen der resultierenden Figuren und summieren sie, erhalten wir die Simpson-Formel:

·

· Quadraturformeln von Gauß

Herkömmlicherweise wird beim Erhalten von Quadratur-Gaußschen Formeln im ursprünglichen Integral eine Variablenänderung durchgeführt, wobei das Integral über das Segment in das Integral über das Segment [–1; eines]:

.
Dann .
Wir werden eine lineare Interpolation des Integranden verwenden.
Wenn anstelle des Segments [-1; 1] Um die beweglichen Knoten t1, t2 als Interpolationsknoten zu nehmen, müssen Sie diese Werte so wählen, dass die Fläche des Trapezes, die von oben durch die gerade Linie begrenzt wird, die durch die Punkte A1 (t1, φ(t1) ) und A2 (t2, φ(t2)) war gleich dem Integral irgendeines Polynoms höchsten Grades.
Unter der Annahme, dass dies ein Polynom dritten Grades ist, berechnen wir t1, t2, die sich als gleich und herausstellen und sich nur in der Nummerierung der Werte unterscheiden.
Wenn wir das Integrationssegment in n Teile zerlegen und die oben beschriebene Idee auf jeden von ihnen anwenden, können wir die Gauß-Formel erhalten:

Numerische Integration

Numerische Integration(historischer Name: (numerisch) Quadratur ) - Berechnung des Wertes eines bestimmten Integrals (normalerweise ungefähr). Unter numerischer Integration versteht man eine Reihe von numerischen Methoden zum Ermitteln des Werts eines bestimmten Integrals.

Numerische Integration wird angewendet, wenn:

In diesen beiden Fällen ist es unmöglich, das Integral mit der Newton-Leibniz-Formel zu berechnen. Es ist auch möglich, dass die Form der Stammfunktion so komplex ist, dass der Wert des Integrals numerisch schneller berechnet werden kann.

Eindimensionaler Fall

Die Hauptidee der meisten Methoden der numerischen Integration besteht darin, den Integranden durch einen einfacheren zu ersetzen, dessen Integral sich leicht analytisch berechnen lässt. In diesem Fall, um den Wert des Integrals zu schätzen, Formeln der Form

wobei die Anzahl der Punkte ist, an denen der Wert des Integranden berechnet wird. Die Punkte werden die Knoten der Methode genannt, die Zahlen sind die Gewichte der Knoten. Wenn der Integrand durch ein Polynom null, ersten und zweiten Grades ersetzt wird, erhält man jeweils die Methoden der Rechtecke, Trapeze und Parabeln (Simpson). Häufig werden Formeln zum Schätzen des Werts des Integrals als Quadraturformeln bezeichnet.

Ein Spezialfall ist das Verfahren zur Konstruktion ganzzahliger Quadraturformeln für gleichförmige Gitter, bekannt als Cotes-Formeln. Die Methode ist nach Roger Coates benannt. Die Hauptidee der Methode besteht darin, den Integranden durch eine Art Interpolationspolynom zu ersetzen. Nachdem wir das Integral gebildet haben, können wir schreiben

wo die Nummern heißen Cotes-Koeffizienten und werden als Integrale der entsprechenden Polynome im ursprünglichen Interpolationspolynom für den Integranden mit dem Wert der Funktion am Knoten berechnet ( ist der Gitterschritt; ist die Anzahl der Gitterknoten, und der Knotenindex ist ). Der Begriff ist der Fehler der Methode, der auf unterschiedliche Weise gefunden werden kann. Für ungerade kann der Fehler durch Integrieren des Fehlers des Interpolationspolynoms des Integranden gefunden werden.

Spezialfälle von Cotes-Formeln sind: Rechteckformeln (n=0), Trapezformeln (n=1), Simpson-Formeln (n=2), Newton-Formeln (n=3) usw.

Rechteck-Methode

Lassen Sie es erforderlich sein, den Wert des Integrals der Funktion auf dem Intervall zu bestimmen. Dieses Segment wird durch Punkte in gleich lange Segmente unterteilt. Bezeichne durch den Wert der Funktion an den Punkten. Als nächstes bilden wir die Summen. Jede der Summen ist die Integralsumme für on und drückt daher näherungsweise das Integral aus

Wenn die angegebene Funktion positiv und steigend ist, drückt diese Formel die Fläche einer gestuften Figur aus, die aus "eingehenden" Rechtecken, auch Formel der linken Rechtecke genannt, und der Formel besteht

drückt den Flächeninhalt einer Stufenfigur aus „ausgehenden“ Rechtecken aus, auch Formel rechter Rechtecke genannt. Je kürzer die Länge der Segmente ist, in die das Segment unterteilt wird, desto genauer ist der durch diese Formel berechnete Wert des gewünschten Integrals.

Offensichtlich lohnt es sich, mit größerer Genauigkeit zu rechnen, wenn wir den Punkt in der Mitte der Lücke als Bezugspunkt für die Höhenbestimmung nehmen. Als Ergebnis erhalten wir die Formel für die mittleren Rechtecke:

Angesichts der a priori größeren Genauigkeit der letzten Formel bei gleichem Umfang und Art der Berechnungen wird sie als Rechteckformel bezeichnet

Trapezverfahren

Nähert man die Funktion auf jedem der Teilstrecken durch eine Gerade durch die Endwerte, so erhält man das Trapezverfahren.

Die Fläche des Trapezes auf jedem Segment:

Näherungsfehler für jedes Segment:

wo

Die vollständige Formel für Trapeze im Falle der Aufteilung des gesamten Integrationsintervalls in Segmente gleicher Länge:

wo

Trapezformelfehler:

wo

Parabelmethode (Simpson-Methode)

Unter Verwendung von drei Punkten des Integrationssegments können wir den Integranden durch eine Parabel ersetzen. Üblicherweise werden die Enden des Segments und sein Mittelpunkt als solche Punkte verwendet. In diesem Fall ist die Formel sehr einfach

.

Wenn wir das Integrationsintervall in gleiche Teile teilen, dann haben wir

Erhöhung der Genauigkeit

Die Approximation einer Funktion durch ein Polynom über das gesamte Integrationsintervall führt in der Regel zu einem großen Fehler bei der Schätzung des Integralwerts.

Um den Fehler zu reduzieren, wird das Integrationssegment in Teile unterteilt und ein numerisches Verfahren wird verwendet, um das Integral für jeden von ihnen auszuwerten.

Da die Anzahl der Partitionen gegen unendlich tendiert, tendiert die Schätzung des Integrals zu seinem wahren Wert für analytische Funktionen für jede numerische Methode.

Die obigen Methoden ermöglichen ein einfaches Verfahren zum Halbieren des Schritts, während es bei jedem Schritt erforderlich ist, die Funktionswerte nur an neu hinzugefügten Knoten zu berechnen. Zur Abschätzung des Rechenfehlers wird die Runge-Regel verwendet.

Gauss-Methode

Die oben beschriebenen Verfahren verwenden feste Segmentpunkte (Enden und Mitte) und haben eine niedrige Genauigkeitsordnung (1 – rechtes und linkes Rechteckverfahren, 2 – mittleres Rechteck- und Trapezverfahren, 3 – Parabel-(Simpson-)Verfahren). Wenn wir die Punkte wählen können, an denen wir die Werte der Funktion berechnen, dann können wir mit der gleichen Anzahl von Berechnungen des Integranden Methoden höherer Genauigkeit erhalten. Für zwei (wie beim Trapezverfahren) Berechnungen der Werte des Integranden erhält man also ein Verfahren nicht mehr 2., sondern 3. Ordnung der Genauigkeit:

.

Im Allgemeinen können Sie mit Punkten eine Methode mit einer Genauigkeitsordnung erhalten. Die Knotenwerte der Gauß-Methode nach Punkten sind die Wurzeln des Legendre-Polynoms des Grades.

Die Werte der Knoten der Gaußschen Methode und ihre Gewichte sind in den Nachschlagewerken der Sonderfunktionen angegeben. Am bekanntesten ist die Gaußsche Fünf-Punkte-Methode.

Gauß-Kronrod-Verfahren

Der Nachteil des Gauß-Verfahrens besteht darin, dass es (aus rechnerischer Sicht) keine einfache Möglichkeit bietet, den Fehler des erhaltenen Werts des Integrals abzuschätzen. Die Anwendung der Runge-Regel erfordert die Berechnung des Integranden an ungefähr der gleichen Anzahl von Punkten, ergibt aber praktisch keinen Gewinn an Genauigkeit im Gegensatz zu einfachen Methoden, bei denen die Genauigkeit mit jeder neuen Teilung um ein Vielfaches zunimmt. Kronrod schlug die folgende Methode zum Schätzen des Werts des Integrals vor

,

wo sind die Knoten der Gauß-Methode nach Punkten, und die Parameter , , werden so gewählt, dass die Genauigkeitsordnung der Methode gleich ist.

Um den Fehler abzuschätzen, können Sie dann die empirische Formel verwenden:

,

wo ist der ungefähre Wert des Integrals, das durch die Gauß-Methode über Punkte erhalten wird. Die gsl- und SLATEC-Bibliotheken zur Berechnung bestimmter Integrale enthalten Routinen nach dem Gauß-Kronrod-Verfahren für 15, 21, 31, 41, 51 und 61 Punkte. Die Bibliothek verwendet die Gauss-Kronrod-Methode für 15 Punkte.

Tschebyscheff-Methode

Integration unter unendlichen Grenzen

Um über unendliche Grenzen zu integrieren, müssen Sie ein ungleichmäßiges Gitter einführen, dessen Schritte ins Unendliche zunehmen, oder Sie können eine solche Änderung der Variablen im Integral vornehmen, wonach die Grenzen endlich sind. Ähnlich kann man vorgehen, wenn die Funktion an den Enden des Integrationsintervalls singulär ist

Monte-Carlo-Methoden

Figur 3 Numerische Integration einer Funktion nach der Monte-Carlo-Methode

Um die Fläche unter dem Funktionsgraphen zu bestimmen, können Sie den folgenden stochastischen Algorithmus verwenden:

Für eine kleine Anzahl von Dimensionen der integrierbaren Funktion ist die Leistung der Monte-Carlo-Integration viel geringer als die Leistung deterministischer Methoden. In manchen Fällen jedoch, wenn die Funktion implizit angegeben wird, es aber erforderlich ist, die in Form komplexer Ungleichungen angegebene Fläche zu bestimmen, kann die stochastische Methode vorzuziehen sein.

Runge-Kutta-Methoden

Spline-Methode

Multivariater Fall

In kleinen Dimensionen kann man auch Quadraturformeln auf Basis von Interpolationspolynomen anwenden. In höheren Dimensionen werden diese Verfahren jedoch aufgrund der schnellen Zunahme der Anzahl von Gitterpunkten und/oder der komplexen Begrenzung der Region unannehmbar. Dabei kommt die Monte-Carlo-Methode zur Anwendung. In unserem Bereich werden zufällige Punkte generiert und die darin enthaltenen Funktionswerte gemittelt. Sie können auch einen gemischten Ansatz verwenden - teilen Sie das Gebiet in mehrere Teile auf, in denen jeweils (oder nur in denen, in denen das Integral aufgrund einer komplexen Grenze nicht berechnet werden kann) die Monte-Carlo-Methode angewendet wird.

Literatur

1. Kahaner D., Moler K., Nash S. Numerische Methoden und Software (aus dem Englischen übersetzt). M.: Mir, 2001, 575 S.