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Ausdruckskonvertierung. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "Vereinfachen Sie den Ausdruck." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein schneiden- das heisst teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren können, dh durch und dann durch dividieren:

Sie können sofort dividieren durch:

Um solche Fehler zu vermeiden, merken Sie sich einen einfachen Weg, um festzustellen, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Hier verwandeln wir zunächst gemischte Brüche in unechte und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide vertreten:

Exzellent! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Zunächst stellen wir sicher, dass die maximale Anzahl der Faktoren in den Nennern gleich ist:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle Faktoren hinzu, die noch nicht geschrieben wurden, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, nennt man algebraische Ausdrücke.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a2-2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch verschiedene Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6.

Lösung.

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5. Anstelle von Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6. Wir ersetzen die angegebenen Werte. Denken Sie daran, dass der Modulus einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modulus einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte eines Buchstabens (Variable), für die der algebraische Ausdruck Sinn macht, heißen gültige Werte des Buchstabens (Variable).

Beispiele. Bei welchen Werten der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Lösung. Wir wissen, dass es unmöglich ist, durch Null zu dividieren, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn mit dem Wert des Buchstabens (Variable), der den Nenner des Bruchs auf Null setzt!

In Beispiel 1) ist dies der Wert a = 0. Wenn wir statt a 0 einsetzen, muss die Zahl 6 tatsächlich durch 0 geteilt werden, aber das geht nicht. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0 ist.

In Beispiel 2) ist der Nenner x - 4 = 0 bei x = 4, daher ist dieser Wert x = 4 und kann nicht genommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn für x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0 für x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht bei x = -2 keinen Sinn.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| \u003d 5, dann können Sie nicht x \u003d 5 und x \u003d -5 nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht keinen Sinn für x = -5 und für x = 5.
IV. Zwei Ausdrücke werden als identisch gleich bezeichnet, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind identisch, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für beliebige Werte von a und b gilt. Gleichheit 5 (a - b) = 5a - 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind zB die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Beispiele.

a) Konvertieren Sie den Ausdruck mit dem Distributivgesetz der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m – 2n + k).

Lösung. Erinnern Sie sich an das Distributivgesetz (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b) c=a c+b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man mit dieser gekürzten und subtrahierten Zahl separat multiplizieren und die zweite vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition in identisch gleich um:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Lösung. Wir wenden die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(Verschiebung: die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(Assoziativ: um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

in) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 Jahre · (-eines); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

ein b=b ein(Verschiebung: Permutation von Faktoren verändert das Produkt nicht).
(ab) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 Jahre · (-1) = 7 Jahre.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Wenn ein algebraischer Ausdruck als reduzierbarer Bruch angegeben wird, kann er mit der Bruchreduktionsregel vereinfacht werden, d.h. Ersetzen Sie identisch gleich durch einen einfacheren Ausdruck.

Beispiele. Vereinfachen Sie, indem Sie die Bruchreduktion verwenden.

Lösung. Einen Bruch kürzen bedeutet, seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (Ausdruck) außer Null zu dividieren. Bruchteil 10) wird um gekürzt 3b; Bruch 11) reduzieren um a und Bruch 12) reduzieren um 7n. Wir bekommen:

Algebraische Ausdrücke werden verwendet, um Formeln zu formulieren.

Eine Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der als Gleichheit geschrieben ist und die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen ausdrückt. Beispiel: die Pfadformel, die Sie kennen s=v t(s ist die zurückgelegte Strecke, v ist die Geschwindigkeit, t ist die Zeit). Denken Sie daran, welche anderen Formeln Sie kennen.

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Bei Aufgaben ist es oft erforderlich, eine vereinfachte Antwort zu geben. Obwohl sowohl die vereinfachten als auch die nicht vereinfachten Antworten richtig sind, kann Ihr Kursleiter Ihre Note herabsetzen, wenn Sie Ihre Antwort nicht vereinfachen. Darüber hinaus ist es viel einfacher, mit einem vereinfachten mathematischen Ausdruck zu arbeiten. Daher ist es sehr wichtig zu lernen, wie man Ausdrücke vereinfacht.

Schritte

Richtige Reihenfolge der mathematischen Operationen

1. Erinnere dich an die richtige Reihenfolge bei mathematischen Operationen. Beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks muss eine bestimmte Reihenfolge eingehalten werden, da einige mathematische Operationen Vorrang vor anderen haben und zuerst ausgeführt werden müssen (tatsächlich führt das Nichtbeachten der richtigen Reihenfolge der Operationen zu einem falschen Ergebnis). Merken Sie sich die folgende Reihenfolge der mathematischen Operationen: Ausdruck in Klammern, Exponentiation, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.

   • Beachten Sie, dass die Kenntnis der richtigen Reihenfolge der Operationen es Ihnen ermöglicht, die meisten der einfachsten Ausdrücke zu vereinfachen, aber um ein Polynom (einen Ausdruck mit einer Variablen) zu vereinfachen, müssen Sie spezielle Tricks kennen (siehe nächster Abschnitt).

2. Beginnen Sie damit, den Ausdruck in Klammern zu lösen. In der Mathematik geben Klammern an, dass der eingeschlossene Ausdruck zuerst ausgewertet werden muss. Beginnen Sie daher beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks damit, den in Klammern eingeschlossenen Ausdruck zu lösen (es spielt keine Rolle, welche Operationen Sie innerhalb der Klammern ausführen müssen). Denken Sie jedoch daran, dass Sie bei der Arbeit mit einem in Klammern eingeschlossenen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen einhalten sollten, dh die Terme in Klammern werden zuerst multipliziert, dividiert, addiert, subtrahiert usw.

   • Vereinfachen wir beispielsweise den Ausdruck 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hier beginnen wir mit den Ausdrücken in Klammern: 5 + 2 = 7 und 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Der Ausdruck im zweiten Klammerpaar vereinfacht sich zu 5, da 4/2 zuerst dividiert werden muss (entsprechend der richtigen Rechenreihenfolge). Wenn Sie diese Reihenfolge nicht einhalten, erhalten Sie die falsche Antwort: 3 + 4 = 7 und 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Wenn sich innerhalb der Klammern ein weiteres Klammerpaar befindet, beginnen Sie mit der Vereinfachung, indem Sie den Ausdruck in der inneren Klammer lösen, und fahren Sie dann mit der Lösung des Ausdrucks in der äußeren Klammer fort.

3. Zur Macht erheben. Nachdem Sie die Ausdrücke in Klammern gelöst haben, fahren Sie mit dem Potenzieren fort (denken Sie daran, dass eine Potenz einen Exponenten und eine Basis hat). Potenzieren Sie den entsprechenden Ausdruck (oder die Zahl) und setzen Sie das Ergebnis in den Ihnen gegebenen Ausdruck ein.

   • In unserem Beispiel ist der einzige Ausdruck (Zahl) in der Potenz 3 2: 3 2 = 9. Ersetzen Sie in dem Ihnen gegebenen Ausdruck 9 anstelle von 3 2 und Sie erhalten: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Multiplizieren. Denken Sie daran, dass die Multiplikationsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "x", "∙" oder "*". Wenn aber zwischen einer Zahl und einer Variablen (z. B. 2x) oder zwischen einer Zahl und einer Zahl in Klammern (z. B. 4(7)) keine Symbole stehen, handelt es sich ebenfalls um eine Multiplikation.

   • In unserem Beispiel gibt es zwei Multiplikationen: 2x (zwei mal x) und 4(7) (vier mal sieben). Wir kennen den Wert von x nicht, also lassen wir den Ausdruck 2x so wie er ist. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Jetzt können Sie den Ihnen gegebenen Ausdruck wie folgt umschreiben: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Teilen. Denken Sie daran, dass die Divisionsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "/", "÷" oder "-" (Sie können das letzte Symbol in Brüchen sehen). Zum Beispiel ist 3/4 drei geteilt durch vier.

   • In unserem Beispiel gibt es keine Division mehr, da Sie beim Lösen des eingeklammerten Ausdrucks bereits 4 durch 2 (4/2) dividiert haben. Daher können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren. Denken Sie daran, dass die meisten Ausdrücke nicht alle mathematischen Operationen auf einmal haben (nur einige davon).

6. Zusammenfalten. Wenn Sie Terme eines Ausdrucks hinzufügen, können Sie mit dem äußersten (linken) Term beginnen, oder Sie können zuerst die Terme hinzufügen, die sich leicht addieren lassen. Zum Beispiel ist es beim Ausdruck 49 + 29 + 51 +71 einfacher, zuerst 49 + 51 = 100 zu addieren, dann 29 + 71 = 100 und schließlich 100 + 100 = 200. Es ist viel schwieriger, so zu addieren : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • In unserem Beispiel 2x + 28 + 9 + 5 gibt es zwei Additionsoperationen. Beginnen wir mit dem extremsten (linken) Term: 2x + 28; Sie können 2x und 28 nicht addieren, weil Sie den Wert von x nicht kennen. Addieren Sie daher 28 + 9 = 37. Nun kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden: 2x + 37 - 5.

7. Subtrahieren. Dies ist die letzte Operation in der richtigen Reihenfolge der mathematischen Operationen. In dieser Phase können Sie auch negative Zahlen hinzufügen, oder Sie können dies beim Hinzufügen von Mitgliedern tun - dies wirkt sich in keiner Weise auf das Endergebnis aus.

   • In unserem Beispiel 2x + 37 - 5 gibt es nur eine Subtraktionsoperation: 37 - 5 = 32.

8. In diesem Stadium sollten Sie, nachdem Sie alle mathematischen Operationen durchgeführt haben, einen vereinfachten Ausdruck erhalten. Wenn der Ihnen gegebene Ausdruck jedoch eine oder mehrere Variablen enthält, denken Sie daran, dass das Mitglied mit der Variablen so bleibt, wie es ist. Um einen Ausdruck mit einer Variablen zu lösen (anstatt ihn zu vereinfachen), müssen Sie den Wert dieser Variablen finden. Manchmal können Ausdrücke mit einer Variablen durch spezielle Methoden vereinfacht werden (siehe nächster Abschnitt).

   • In unserem Beispiel lautet die endgültige Antwort 2x + 32. Sie können keine zwei Terme addieren, bis Sie den Wert von x kennen. Sobald Sie den Wert der Variablen kennen, können Sie dieses Binomial leicht vereinfachen.

   Komplexe Ausdrücke vereinfachen

   1. Hinzufügen ähnlicher Mitglieder. Denken Sie daran, dass Sie nur ähnliche Terme subtrahieren und addieren können, also Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten. Du kannst zum Beispiel 7x und 5x addieren, aber nicht 7x und 5x 2 (weil die Exponenten hier unterschiedlich sind).

      • Diese Regel gilt auch für Elemente mit mehreren Variablen. Sie können beispielsweise 2xy 2 und -3xy 2 hinzufügen, aber nicht 2xy 2 und -3x 2 y oder 2xy 2 und -3y 2 .
      • Betrachten Sie ein Beispiel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hier sind die gleichen Terme 3x und 8x, also können sie addiert werden. Der vereinfachte Ausdruck sieht so aus: x 2 - 5x + 6.

   2. Vereinfache die Zahl. In einem solchen Bruch enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner Zahlen (ohne Variable). Ein numerischer Bruch wird auf verschiedene Weise vereinfacht. Teilen Sie zunächst einfach den Nenner durch den Zähler. Zweitens, faktorisiere Zähler und Nenner und kürze dieselben Faktoren (denn wenn du eine Zahl durch sich selbst dividierst, erhältst du 1). Mit anderen Worten, wenn Zähler und Nenner denselben Faktor haben, kannst du ihn verwerfen und erhältst einen vereinfachten Bruch.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 36/60. Teile mit einem Taschenrechner 36 durch 60 und erhalte 0,6. Aber du kannst diesen Bruch auf andere Weise vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Seit 6/6 \u003d 1, dann der vereinfachte Bruch: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Dieser Bruch kann aber auch vereinfacht werden: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Wenn der Bruch eine Variable enthält, können Sie dieselben Faktoren mit der Variablen reduzieren. Faktorisieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner und löschen Sie dieselben Faktoren, selbst wenn sie eine Variable enthalten (denken Sie daran, dass dieselben Faktoren hier eine Variable enthalten können oder nicht).

      • Betrachten Sie ein Beispiel: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben (faktorisiert) werden: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Da der Term 3x sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, kann er auf einen vereinfachten Ausdruck reduziert werden: (x + 1)/(5 - x). Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Bitte beachten Sie, dass Sie keine Terme kürzen können - nur die gleichen Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden sind, werden gestrichen. Zum Beispiel ist im Ausdruck (x(x + 2))/x die Variable (Multiplikator) „x“ sowohl im Zähler als auch im Nenner, sodass „x“ reduziert werden kann und einen vereinfachten Ausdruck erhält: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Im Ausdruck (x + 2)/x kann die Variable "x" jedoch nicht reduziert werden (weil im Zähler "x" kein Faktor ist).

   4. Klammer öffnen. Multiplizieren Sie dazu den Term außerhalb der Klammer mit jedem Term in der Klammer. Manchmal hilft es, einen komplexen Ausdruck zu vereinfachen. Dies gilt sowohl für Mitglieder, die Primzahlen sind, als auch für Mitglieder, die eine Variable enthalten.

      • Beispiel: 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 und 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Bitte beachten Sie, dass bei Bruchausdrücken keine Klammern geöffnet werden müssen, wenn Zähler und Nenner den gleichen Faktor enthalten. Beispielsweise müssen Sie im Ausdruck (3(x 2 + 8)) / 3x die Klammern nicht erweitern, da Sie hier den Faktor 3 reduzieren können und einen vereinfachten Ausdruck (x 2 + 8) / x erhalten. Mit diesem Ausdruck ist es einfacher zu arbeiten; Wenn Sie die Klammern erweitern, erhalten Sie den folgenden komplexen Ausdruck: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorisiere die Polynome. Mit dieser Methode können Sie einige Ausdrücke und Polynome vereinfachen. Factoring ist das Gegenteil von Klammerexpansion, d. h. ein Ausdruck wird als Produkt zweier Ausdrücke geschrieben, die jeweils in Klammern eingeschlossen sind. In einigen Fällen können Sie durch Faktorisieren denselben Ausdruck kürzen. In besonderen Fällen (normalerweise bei quadratischen Gleichungen) können Sie die Gleichung durch Faktorisieren lösen.

      • Betrachten Sie den Ausdruck x 2 - 5x + 6. Er wird in Faktoren zerlegt: (x - 3) (x - 2). Wenn also beispielsweise ein Ausdruck gegeben ist (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), dann können Sie ihn umschreiben als (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduzieren Sie den Ausdruck (x - 2) und erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck (x - 3) / 2.
      • Das Faktorisieren von Polynomen wird verwendet, um Gleichungen zu lösen (Wurzeln zu finden) (eine Gleichung ist ein Polynom gleich 0). Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Wenn Sie sie in Faktoren zerlegen, erhalten Sie (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Da jeder mit 0 multiplizierte Ausdruck 0 ist, können wir ihn schreiben wie folgt: x - 3 = 0 und x - 2 = 0. Somit sind x = 3 und x = 2, das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Ihnen gegebenen Gleichung gefunden.

Das Vereinfachen algebraischer Ausdrücke ist einer der Schlüssel zum Erlernen der Algebra und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch die Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf einen einfachen Ausdruck reduzieren, mit dem Sie leicht arbeiten können. Grundlegende Vereinfachungsfähigkeiten sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Durch Befolgen einiger einfacher Regeln können viele der häufigsten Arten von algebraischen Ausdrücken ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfacht werden.

Schritte

Wichtige Definitionen

1. Ähnliche Mitglieder. Dies sind Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente (Elemente, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten, gleiche Begriffe enthalten eine Variable im gleichen Umfang, enthalten mehrere identische Variablen oder enthalten eine Variable überhaupt nicht. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.

   • Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 wie Terme, weil sie die Variable "x" zweiter Ordnung (in der zweiten Potenz) enthalten. x und x 2 sind jedoch keine ähnlichen Elemente, da sie die Variable "x" unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Elemente, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.

2. Faktorisierung. Dabei werden solche Zahlen gefunden, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Jede ursprüngliche Zahl kann mehrere Faktoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgende Reihe von Faktoren zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie Divisoren , dh die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl teilbar ist.

   • Wenn du zum Beispiel die Zahl 20 faktorisieren möchtest, schreibe es so: 4×5.
   • Beachten Sie, dass beim Factoring die Variable berücksichtigt wird. Zum Beispiel 20x = 4(5x).
   • Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.

3. Merken und befolgen Sie die Reihenfolge der Vorgänge, um Fehler zu vermeiden.

   • Klammern
   • Grad
   • Multiplikation
   • Aufteilung
   • Zusatz
   • Subtraktion

   Casting wie Mitglieder

   1. Schreibe den Ausdruck auf. Die einfachsten algebraischen Ausdrücke (die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in nur wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.

      • Vereinfache zum Beispiel den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieren Sie ähnliche Elemente (Elemente mit einer Variablen derselben Ordnung, Elemente mit denselben Variablen oder freie Elemente).

      • Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Terme 2x und 4x enthalten eine Variable gleicher Ordnung (erste). Außerdem sind 1 und -3 freie Mitglieder (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4xähnlich sind, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.

   3. Geben Sie ähnliche Begriffe an. Dies bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der gegebenen Terme um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem Original.

      • In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu handhaben.

   5. Beachten Sie die Reihenfolge, in der Operationen ausgeführt werden, wenn Sie ähnliche Begriffe umwandeln. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe zu verwenden. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Glieder in Klammern eingeschlossen sind und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe zu bringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.

      • Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als gleiche Terme zu definieren und zu zitieren, weil man erst die Klammern erweitern muss. Führen Sie daher die Vorgänge in ihrer Reihenfolge aus.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt, wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Terme umwandeln.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Den Multiplikator in Klammern setzen

   1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks teilbar sind.

      • Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist ggT = 3, da jeder Koeffizient dieses Ausdrucks durch 3 teilbar ist.

   2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.

      • Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Ausdrucksterm durch 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Es stellte sich der Ausdruck heraus 3x2 + 9x-1. Es ist nicht gleich dem ursprünglichen Ausdruck.

   3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt von ggT mal dem resultierenden Ausdruck. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und setzen Sie den ggT aus Klammern.

      • In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereinfachen von Bruchausdrücken durch Entfernen des Multiplikators aus Klammern. Warum einfach den Multiplikator aus den Klammern nehmen, wie es früher gemacht wurde? Anschließend erfahren Sie, wie Sie komplexe Ausdrücke wie Bruchausdrücke vereinfachen. In diesem Fall kann das Weglassen des Faktors aus der Klammer helfen, den Bruch (vom Nenner) loszuwerden.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (9x 2 + 27x - 3)/3. Verwenden Sie Klammern, um diesen Ausdruck zu vereinfachen.
        • Faktor 3 herausrechnen (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Beachten Sie, dass sowohl Zähler als auch Nenner jetzt die Zahl 3 haben. Dies kann reduziert werden und Sie erhalten den Ausdruck: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Da jeder Bruch mit der Zahl 1 im Nenner genau gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x2 + 9x-1.

   Zusätzliche Vereinfachungstechniken

4. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel: √(90). Die Zahl 90 lässt sich in folgende Faktoren zerlegen: 9 und 10, und aus 9 ziehe die Quadratwurzel (3) und ziehe 3 unter der Wurzel hervor.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. In einigen Ausdrücken gibt es Multiplikations- oder Divisionsoperationen von Termen mit einem Grad. Bei der Multiplikation von Termen mit einer Basis werden deren Grade addiert; bei der Teilung von Termen mit gleicher Basis werden deren Grade subtrahiert.

   • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Bei der Multiplikation werden die Exponenten addiert und bei der Division subtrahiert.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Das Folgende ist eine Erläuterung der Regel zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit einem Grad.
     • Das Multiplizieren von Termen mit Potenzen entspricht dem Multiplizieren von Termen mit sich selbst. Da zum Beispiel x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
     • Ebenso ist das Teilen von Termen durch Potenzen gleichbedeutend mit dem Teilen von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Da ähnliche Terme, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, gekürzt werden können, bleibt im Zähler das Produkt aus zwei „x“, also x 2 .

• Achten Sie immer auf die Zeichen (Plus oder Minus) vor den Begriffen eines Ausdrucks, da viele Menschen Schwierigkeiten haben, das richtige Zeichen zu wählen.
• Bitten Sie um Hilfe, wenn nötig!
• Das Vereinfachen algebraischer Ausdrücke ist nicht einfach, aber wenn Sie es in die Finger bekommen, können Sie diese Fähigkeit ein Leben lang anwenden.

Ein algebraischer Ausdruck, in dessen Aufzeichnung neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation auch die Division in wörtliche Ausdrücke verwendet wird, wird als gebrochener algebraischer Ausdruck bezeichnet. So sind zum Beispiel die Ausdrücke

Wir nennen einen algebraischen Bruch einen algebraischen Ausdruck, der die Form eines Divisionsquotienten zweier ganzzahliger algebraischer Ausdrücke hat (z. B. Monome oder Polynome). So sind zum Beispiel die Ausdrücke

der dritte der Ausdrücke).

Identitätstransformationen von gebrochenen algebraischen Ausdrücken sollen sie größtenteils als algebraischen Bruch darstellen. Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, wird die Faktorisierung der Nenner von Brüchen - Termen verwendet, um ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches zu finden. Beim Reduzieren algebraischer Brüche kann die strikte Identität von Ausdrücken verletzt werden: Es müssen die Werte von Mengen ausgeschlossen werden, bei denen der Faktor, um den die Reduzierung erfolgt, verschwindet.

Lassen Sie uns Beispiele für identische Transformationen von gebrochenen algebraischen Ausdrücken geben.

Beispiel 1: Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Alle Terme können auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden (es ist zweckmäßig, das Vorzeichen im Nenner des letzten Terms und das Vorzeichen davor zu ändern):

Unser Ausdruck ist für alle Werte außer diesen Werten gleich eins, er ist nicht definiert und die Fraktionsreduktion ist illegal).

Beispiel 2. Stellen Sie den Ausdruck als algebraischen Bruch dar

Lösung. Der Ausdruck kann als gemeinsamer Nenner genommen werden. Wir finden nacheinander:

Übungen

1. Finden Sie die Werte algebraischer Ausdrücke für die angegebenen Werte der Parameter:

2. Faktorisieren.