Средняя скорость перемещения vср - это вектор, определяемый выражением
vср = Δr/Δt.
Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением
v = dr/dt.
Средняя скорость пути vср - это скаляр, определяемый выражением
vср = Δs/Δt.
Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением
v = ds/dt.
Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.
Среднее ускорение aср - это вектор, определяемый выражением
aср = Δv/Δt.
Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор, определяемый выражением
a =dv/dt.
Касательное (тангенциальное) ускорение aτ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.
Нормальное (центростремительное) ускорение an - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.
Модуль касательного ускорения
| aτ | = dv/dt,
то есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.
Модуль нормального ускорения
| an | = v2/r,
где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.
Мгновенная угловая скорость (или просто,
угловая скорость)
ω
- это вектор, определяемый выражением
ω = dφ/dt
Мгновенное угловое ускорение (или просто,
угловое ускорение)
ε
- это вектор, определяемый выражением
ε = dω/dt.
Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:
r = r0 + v t,
где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r0 - то же в начальный момент времени t0 (в момент начала наблюдений).
Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:
r = r0 + v0 t + at2/2, где v0 скорость объекта в момент t0 .
Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:
v = v0 + a t.
Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатахимеет вид:
φ = φ0 + ωz t,
где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ωz - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).
Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:
φ = φ0 + ω0z t + εz t2/2.
Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:
х = А Cos (ω t + φ0),
где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза колебаний.
Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
vx = − ω · A · Sin (ω t + φ0).
Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
аx = − ω2 · A · Cos (ω t + φ0).
Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:
ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 - число пи).
Масса.
Масса m - скалярная физическая величина, характеризующая свойство тел притягиваться к земле и к другим телам.Масса тела - постоянная величина.
Единица массы - 1 килограмм (кг).
Плотность.
Плотностью ρ называется отношение массы m тела к занимаемому им объёму V:Единица плотности - 1 кг/м 3 .
Сила.
Сила F - физическая величина, характеризующая действие тел друг на друга и являющаяся мерой их взаимодействия. Сила - векторная величина; вектор силы характеризуется модулем (числовым значением) F, точкой приложения и направлением.Единица силы - 1 ньютон (Н).
Сила тяжести.
Сила тяжести - сила, с которой тела притягиваются к Земле. Она направлена к центру Земли и, следовательно, перпендикулярна к её поверхности:
Давление.
Давление p - скалярная физическая величина, равная отношению силы F, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности S:
Единица давления - 1 паскаль (Па) = 1 Н/м 2 .
Работа.
Работа A - скалярная физическая велечина, равная произведению силы F на расстояние S, пройденное телом под действием этой силы:
Единица работы - 1 джоуль (Дж) = 1 Н*м.
Энергия.
Энергия E - скалярная физическая величина, характеризующая любое движение и любое взаимодействие и определяющая способность тела совершать работу.Единица энергии, как и работы, - 1 Дж.
Кинематика
Движение.
Механическим движением тела называют изменение с течением времени его положения в пространстве.Система отсчёта.
Связанные с телом отсчёта систему координат и часы называют системой отсчёта.Материальная точка.
Тело, размерами которого можно пренебречь в данной ситуации, называется материальной точкой. Строго говоря, все законы механики справедливы для материальных точек.Траектория.
Линия, вдоль которой перемещается тело, называется траекторией. По виду траектории движения разделяются на два типа - прямолинейное и криволинейное.Путь и перемещение.
Путь - скальрная величина, равная расстоянию, пройденному телом вдоль траектории движения. Перемещение - вектор, соединяющий начальную и конечную точки пути.Скорость.
Скоростью υ называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту и направление перемещения тела. Для равномерного движения скорость равна отношению перемещения ко времени, за которое оно произошло:Единица скорости - 1 м/с, но часто пользуются км/ч (36 км/ч = 10 м/с).
Уравнение движения.
Уравнение движения - зависимость перемещения от времени. Для равномерного прямолинейного движения уравнение движения имеет видМгновенная скорость.
Мгновенная скорость - отношение очень малого перемещения к промежутку времени, за который оно произошло:Средняя скорость:
Ускорение.
Ускорением a называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости движения. При равнопеременном движении (т.е при равноускоренном или равнозамедленном) ускорение равно отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:где i, j, k - единичные векторы направлений (орты); х, у, z - координаты точки.
Кинематические уравнения движения в координатной форме:
где t - время.
Средняя скорость
где- перемещение материальной точки за интервал времени.
Средняя путевая * скорость
где - путь, пройденный точкой за интервал времени .
Мгновенная скорость
где - проекции скорости v на оси координат.
Модуль скорости
Ускорение
где проекции ускорения a на оси
координат.
· См. об этом термине, например, в кн.: Детлаф А. А. и др. Курс физики. М., 1973. Т. I. С. 17.
Модуль ускорения
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис.1.1):
Модули этих ускорений:
где R - радиус кривизны в данной точке траектории.
Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х
где - начальная координата; t - время. При равномерном движении
v =const и a=0.
Кинематическое уравнение равнопеременного движения()вдоль оси x
где v 0 -начальная скорость; t - время.
Скорость точки при равнопеременном движении
v=v 0 +at.
Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .
Кинематическое уравнение вращательного движения
Средняя угловая скорость
где - изменение угла поворота за интервал времени . Мгновенная угловая скорость *
Угловое ускорение *
Кинематическое уравнение равномерного вращения
где -начальное угловое перемещение; t- время. При равномерном вращении =const и =0.
* Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения.
Частота вращения
n=N/t, или n=1/T,
где N - число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период вращения (время одного полного оборота).
Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( = const.)
где -начальная угловая скорость; t- время.
Угловая скорость тела при равнопеременном вращении
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:
путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,
s= R ( - угол поворота тела);
скорость точки линейная
ускорение точки:
тангенциальное
нормальное
Примеры решения задач
Пример 1. х) имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Для момента времени t 1 =2 с определить:
1) координату x 1 точки, 2) мгновенную скорость v 1 , 3) мгновенное ускорение a 1 .
Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t 1 :
x=A+Bt+Ct 3 .
Подставим в это выражение значения A, В, С, t 1 и произведем вычисления:
X 1 =(4+4- 0,5 2 3) м=4 м.
2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени: .
Тогда в заданный момент времени t 1 мгновенная скорость
v 1 =B+3Ct 1 2 Подставим сюда значения В, С, t 1 и произведем вычисления:
v 1 =- 4 м/с.
Знак минус указывает на то, что в момент времени t 1 =2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.
3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:
Мгновенное ускорение в заданный момент времени t 1 равно a 1 =6Ct 1 . Подставим значения С, t 1 и произведем вычисления:
a 1 =(-6 0,5 2) м/с=-6 м/с.
Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.
Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct 2 , где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с 2 . Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость <v x > за интервал времени от t 1 =1 с до t 2 =6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость <v > за тот же интервал времени.
Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты - начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.
Начальная координата соответствует моменту t =0. Ее значение равно
x 0 =x | t= 0 =A=5 м.
Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:
, откуда t=-B/2C=2 с Максимальная координата
x max =x / t =2 = 9 М.
Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct 2 =0.
Решим полученное квадратное уравнение относительно t:
Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:
t=(2±3) с.
Таким образом, получаем два значения времени: t"-=5 с и =-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).
График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t 1 =l с и t 2 =6 с:
x 1 = А + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, x 2 = А + Bt 2 + Ct 2 2 = -7 м.
Полученные данные представим в виде таблицы:
1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.
Следовательно, график пути до момента времени t B =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента является зеркальным отображением графика координаты.
2. Средняя скорость <v x > за интервал времени t 2 -t 1 определяется выражением
Подставим значения x 1 , x 2 , t 1 , t 2 . из таблицы и произведем вычисления
<v x >=(-7-8)/(6-1) м/с=-3 м/с.
3. Среднюю путевую скорость <v> находим из выражения
<v> =s/(t 2 -t 1 ),
где s - путь, пройденный точкой за интервал времени t 2 .-t 1 . Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S 1 =x max -x 1 , который точка прошла за интервал времени t B -t 1 , и S 2 =x max +|x 2 |, который она прошла за интервал
T 2 -t B . Таким образом, путь
S = S 1 + S 2 = (x max -x 2) + (x max + |x 2 |) == 2x max + |x 2 |-x 1 .
Подставим в это выражение значения x max , |x 2 |, x 1 и произведем вычисления:
=(2 9+7-8) м=17 м.
Тогда искомая средняя путевая скорость
<v >=17/(6-1) м=3,4 м.
Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.
Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение * движения автомобиля (t) =A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, B=10 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное а n . и полное а ускорения в момент времени t =5 с; 2) длину пути s и модуль перемещения | | автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.
Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:
Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:
v =5 м/с.
Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = -1 м/с 2 .
Нормальное ускорение определяется по формуле a n =v 2 /R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:
a n ==0,5 м/с 2 .
Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений а и а n : а =а +а n . Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения а и а n получим
а=1,12 м/с 2 .
2. Чтобы определить путь s, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволинейной координаты т. е.
Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:
где - угол между радиусами-векторами, определяющими начальное (0) и конечное положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R траектории, т. е. = =s/R. Таким образом,
Подставим сюда значения R, s ипроизведем вычисления:
Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой n 0 =10 с 1 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой п=6 с 1 . Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N==50 оборотов.
Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то
Подставив значения , п, п 0 , N и вычислив, получим
3,14(6 2 -10 2)/50 рад/с 2 =-4,02 рад/с 2 .
Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью <v> вращения и временем t: =< >t. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать , тогда ,
Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим
Задачи
Прямолинейное движение
1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом =60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v 1 =60 км/ч, другая со скоростью v 2 =80 км/ч.
Определить скорости v" и v", с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.
1.2. Точка двигалась в течение t 1 = 15c со скоростью v 1 =5 м/с, в течение t 2 =10 с со скоростью v 2 =8 м/с и в течение t 3 =6 с со скоростью v 3 =20 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v > точки.
1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v 1 =60 км/ч, остальную часть пути - со скоростью v 2 =80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <v > автомобиля?
1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v 1 =2 м/с, вторую - со скоростью v 2 =8 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v > .
1.5. Тело прошло первую половину пути за время t 1 =2 с, вторую - за время t 2 =8 с. Определить среднюю путевую скорость <v > тела, если длина пути s=20 м.
1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость <v > за время t =14 с.
Рис. 1.4 Рис. 1.5
1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость <v > за время t=8 с. Начальная скорость v 0 =0.
1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt 2 , где A=3 м/с, B=-0,25 м/с 2 . Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.
1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.
1.10. x=At+Bt 2 , где A =4 м/с, В=- 0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.
1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой
позиции рисунка - а, б, в, г - изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x 0 и скорость v 0 материальной точки А, а также ее ускорение а.
1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l ==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т= 20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.
1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с 2 , человек начал идти в том же направлении со скоростью v =1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v 1 поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.
1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v 1 ==l м/с и ускорением a 1 =2 м/с 2 , вторая - с начальной скоростью v 2 =10 м/с и ускорением а 2 =1 м/с 2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?
1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:
x 1 =A 1 +B 1 t+C 1 t 2 , x 2 =A 2 +B 2 t+C 2 t 2 ,
где A 1 =20 м, A 2 =2 м, B 1 =B 2 =2 м/с, C 1 = - 4 м/с 2 , С 2 =0,5 м/с 2 .
В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v 1 и v 2 и ускорения a 1 и а 2 точек в этот момент:
1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;
x 1 =A 1 t+B 1 t 2 +C 1 t 3 , x 2 =A 2 t+B 2 t 2 +C 2 t 3 ,
где A 1 =4 м/c, B 1 =8 м/с 2 , C 1 = - 16 м/с3, A 2 =2 м/с, B 2 = - 4 м/с 2 , С 2 =1м/с 3
В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v 1 и v 2 точек в этот момент.
1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t =0,1 с?
1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?
1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v 0 ==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с 2 .
1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v 0 =20 м/с брошен камень. Через =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?
1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.
1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v 0 =5 м/с. Через t= 2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.
1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v 0 =10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость <v > с момента бросания до момента падения на землю.
1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =2 м/с, В=- 0,5 м/с 2 . Определить среднюю путевую скорость <v> движения точки в интервале времени от t 1 =l с до t 2 =3 с.
1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt 3 , где A=6 м/с, В == -0,125 м/с 3 . Определить среднюю путевую скорость <v> точки в интервале времени от t 1 =2 с до t 2 =6 с.
Криволинейное движение
1.26. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r (t)=i At 3 +j Bt 2 . Написать зависимости: 1) v (t); 2) a (t).
1.27. Движение материальной точки задано уравнением r (t )=A (i cos t - j sin t ), где A =0,5 м, =5 рад/с. Начертить траекторию точки. Определить модуль скорости |v | и модуль нормального ускорения |a n |.
1.28. Движение материальной точки задано уравнением r (t )= i (A+Bt 2 )+ j Ct, где A==10 м, В= - 5 м/с 2 , С=10 м/с. Начертить траекторию точки. Найти выражения v (t) и a (t). Для момента времени t =1 с вычислить: 1) модуль скорости |v | ; 2) модуль ускорения |а|; 3) модуль тангенциального ускорения |а |; 4) модуль нормального ускорения |a n |.
1.29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a =0,5 м/с 2 . Определить полное ускорение а точки на
участке кривой с радиусом кривизны R=3 м, если точка движется на этом участке со скоростью v ==2 м/с.
1.30. Точка движется по окружности радиусом R==4 м. Начальная скорость v 0 точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a =1 м/с 2 . Для момента времени t=2 с определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения | |; 3) среднюю путевую скорость | |; 4) модуль вектора средней скорости |<v >|.
1.31. По окружности радиусом.R=5 м равномерно движется материальная точка со скоростью v =5 м/с. Построить графики зависимости длины пути s и модуля перемещения | | от времени t. В момент времени, принятый за начальный (t=0), s(0) и | (0)| считать равными нулю.
1.32. За время t=6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R==0,8 м. Определить среднюю путевую скорость <v > за это время и модуль вектора средней скорости |<v >|.
1.33. Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением * =A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, В=-2 м/с, С=1 м/с 2 . Найти тангенциальное а , нормальное a n и полное а ускорения точки в момент времени t =2с.
1.34. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а n =4,9 м/с 2 ; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол =60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.
1.35. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению * =At 3 , где A =2 м/с 3 . В какой момент времени t нормальное ускорение а n точки будет равно тангенциальному а .Определить полное ускорение а в этот момент.
1.36. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A 1 t 3 и y =A 2 t , где A 1 ==l м/с 3 , A 2 =2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t=0,8 с.
1.37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R. Начальное положение точки и направление движения указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение движения проекции точки A на направление оси х.
1.38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R и в момент времени, принятый за начальный (t=0), занимает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематические уравнения движения точки: 1) в декартовой системе координат, расположив оси так, как это указано на рисунке; 2) в полярной системе координат (ось х считать полярной осью).
1.39. Написать для четырех случаев, представленных на рис. 1.9:
1) кинематические уравнения движения x=f 1 (t ) и x=f 2 (t ); 2) уравнение траектории у= (х). На каждой позиции рисунка - а, б, в, г - изображены координатные оси, указаны начальное положение точки A, ее начальная скорость v 0 и ускорение g.
1.40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.
* См. сноску на с. 11.
Через промежуток времени t =2 с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v 0 и конечную v скорости камня.
1.41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v =20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.
Рис. 1.8 Рис. 1.9
1.42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h=10см ниже, чем в первом. Определить скорость v пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.43. Самолет, летевший на высоте h-=2940 м со скоростью v =360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.44. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.
1.45. Миномет установлен под углом =60° к горизонту на крыше здания, высота которого h=40 м. Начальная скорость v 0 мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические уравнения движения и уравнения траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масштаба; 2) определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность s полета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Указание. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости v лежал в плоскости хОу.
1.46. Снаряд, выпущенный из орудия под углом =30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время t 1 =10 с и t 2 =50 с после выстрела.
Определить начальную скорость v 0 и высоту h.
1.47. Пуля пущена с начальной скоростью v 0 =200 м/с под углом =60° к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v 0 =30 м/с. Определить скорость v , тангенциальное a и нормальное a n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.
1.49. Тело брошено под углом =30° к горизонту. Найти тангенциальное a ; и нормальное а n ускорения в начальный момент движения.
Вращение тела вокруг неподвижной оси
1.50. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение a n точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на широте Москвы ( =56°).
1.51. Линейная скорость v 1 точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на =10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v 2 =2 м/с. Определить частоту вращения п диска.
1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой n==25 с -1 . Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстоя-ние s==5 см, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость <v > пули в промежутке между дисками и оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.53. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t=3 с опустился на h= 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус r=4 см.
1.54. Диск радиусом r= 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с 2 . Найти тангенциальное a , нормальное а п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
1.55. Диск радиусом r=20 см вращается согласно уравнению =A+Bt+Сt 3 , где A=3 рад, В=-1 рад/с, С=0,1 рад/с 3 . Определить тангенциальное a нормальное а n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t =10 с.
1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени t =10 с достиг частоты вращения n=300 мин" 1 . Определить угловое ускорение маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.
1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п=5 с 1 . Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t =1 мин. Определить угловое ускорение и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.
1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n 1 =4 с 1 до n 2 ==6 с 1 . Определить угловое ускорение колеса.
1.59. Диск вращается с угловым ускорением =-2 рад/с 2 . Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n 1 =240 мин -1 до n 2 =90 мин -1 ? Найти время t , в течение которого это произойдет.
1.60. Винт аэросаней вращается с частотой n=360 мин 1 . Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м?
1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d= 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени t =1 мин протачивается участок вала длиной l =12 см?
Дата публикования: 2015-01-23 ; Прочитано: 851 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы
сайт - Студопедия.Орг - 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.034 с) ...Отключите adBlock!
очень нужно
Основные единицы измерения величин в системе СИ таковы:
- единица измерения длины - метр (1 м),
- времени - секунда (1 с),
- массы - килограмм (1 кг),
- количества вещества - моль (1 моль),
- температуры - кельвин (1 К),
- силы электрического тока - ампер (1 А),
- Справочно: силы света - кандела (1 кд, фактически не используется при решении школьных задач).
При выполнении расчетов в системе СИ углы измеряются в радианах.
Если в задаче по физике не указано, в каких единицах нужно дать ответ, его нужно дать в единицах системы СИ или в производных от них величинах, соответствующих той физической величине, о которой спрашивается в задаче. Например, если в задаче требуется найти скорость, и не сказано в чем ее нужно выразить, то ответ нужно дать в м/с.
Для удобства в задачах по физике часто приходится использовать дольные (уменьшающие) и кратные (увеличивающие) приставки. их можно применять к любой физической величине. Например, мм – миллиметр, кт – килотонна, нс – наносекунда, Мг – мегаграмм, ммоль – миллимоль, мкА – микроампер. Запомните, что в физике не существует двойных приставок. Например, мкг – это микрограмм, а не милликилограмм. Учтите, что при сложении и вычитании величин Вы можете оперировать только величинами одинаковой размерности. Например, килограммы можно складывать только с килограммами, из миллиметров можно вычитать только миллиметры, и так далее. При переводе величин пользуйтесь следующей таблицей.
Путь и перемещение
Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.
Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
Всякое тело имеет определенные размеры. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать материальной точкой . Так при движении автомобиля на большие расстояния можно пренебречь его длиной, так как длина автомобиля мала по сравнению с расстояниями, которое он проходит.
Интуитивно понятно, что характеристики движения (скорость, траектория и т.д.) зависят от того, откуда мы на него смотрим. Поэтому для описания движения вводится понятие системы отсчета. Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым), привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и синхронизатора времени.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую называют траекторией движения тела .
Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещением может в процессе движение увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю.
Пройденный путь равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время. Путь – скалярная величина. Путь не может уменьшаться. Путь только возрастает либо остается постоянным (если тело не движется). При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.
При равномерном (с постоянной скоростью) движении путь L может быть найден по формуле:
где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. При решении задач по кинематике перемещение обычно находится из геометрических соображений. Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы Пифагора.
Средняя скорость
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве. Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом конкретном участке.
Средняя скорость пути – это отношение всего пути ко всему времени движения:
где: L полн – весь путь, который прошло тело, t полн – все время движения.
Средняя скорость перемещения – это отношение всего перемещения ко всему времени движения:
Эта величина направлена так же, как и полное перемещение тела (то есть из начальной точки движения в конечную точку). При этом не забывайте, что полное перемещение не всегда равно алгебраической сумме перемещений на определённых этапах движения. Вектор полного перемещения равен векторной сумме перемещений на отдельных этапах движения.
- При решении задач по кинематике не совершайте очень распространенную ошибку. Средняя скорость, как правило, не равна среднему арифметическому скоростей тела на каждом этапе движения. Среднее арифметическое получается только в некоторых частных случаях.
- И уж тем более средняя скорость не равна одной из скоростей, с которыми двигалось тело в процессе движения, даже если эта скорость имела примерно промежуточное значение относительно других скоростей, с которыми двигалось тело.
Равноускоренное прямолинейное движение
Ускорение – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела. Ускорением тела называют отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости:
где: v 0 – начальная скорость тела, v – конечная скорость тела (то есть спустя промежуток времени t ).
Далее, если иное не указано в условии задачи, мы считаем, что если тело движется с ускорением, то это ускорение остается постоянным. Такое движение тела называется равноускоренным (или равнопеременным). При равноускоренном движении скорость тела изменяется на одинаковую величину за любые равные промежутки времени.
Равноускоренное движение бывает собственно ускоренным, когда тело увеличивает скорость движения, и замедленным, когда скорость уменьшается. Для простоты решения задач удобно для замедленного движения брать ускорение со знаком «–».
Из предыдущей формулы, следует другая более распространённая формула, описывающая изменение скорости со временем при равноускоренном движении:
Перемещение (но не путь) при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:
В последней формуле использована одна особенность равноускоренного движения. При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать, как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (этим свойством очень удобно пользоваться при решении некоторых задач):
С расчетом пути все сложнее. Если тело не меняло направления движения, то при равноускоренном прямолинейном движении путь численно равен перемещению. А если меняло – надо отдельно считать путь до остановки (момента разворота) и путь после остановки (момента разворота). А просто подстановка времени в формулы для перемещения в этом случае приведет к типичной ошибке.
Координата при равноускоренном движении изменяется по закону:
Проекция скорости при равноускоренном движении изменяется по такому закону:
Аналогичные формулы получаются для остальных координатных осей.
Свободное падение по вертикали
На все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. В отсутствие опоры или подвеса эта сила заставляет тела падать к поверхности Земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение тел только под действием силы тяжести называется свободным падением. Сила тяжести сообщает любым телам, независимо от их формы, массы и размеров, одинаковое ускорение, называемое ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения составляет:
Это значит, что свободное падение всех тел вблизи поверхности Земли является равноускоренным (но не обязательно прямолинейным) движением. Вначале рассмотрим простейший случай свободного падения, когда тело движется строго по вертикали. Такое движение является равноускоренным прямолинейным движением, поэтому все изученные ранее закономерности и фокусы такого движения подходят и для свободного падения. Только ускорение всегда равно ускорению свободного падения.
Традиционно при свободном падении используют направленную вертикально ось OY. Ничего страшного здесь нет. Просто надо во всех формулах вместо индекса «х » писать «у ». Смысл этого индекса и правило определения знаков сохраняется. Куда направлять ось OY – Ваш выбор, зависящий от удобства решения задачи. Вариантов 2: вверх или вниз.
Приведем несколько формул, которые являются решением некоторых конкретных задач по кинематике на свободное падение по вертикали. Например, скорость, с которой упадет тело падающее с высоты h без начальной скорости:
Время падения тела с высоты h без начальной скорости:
Максимальная высота на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v 0 , время подъема этого тела на максимальную высоту, и полное время полета (до возвращения в исходную точку):
Горизонтальный бросок
При горизонтальном броске с начальной скоростью v 0 движение тела удобно рассматривать как два движения: равномерное вдоль оси ОХ (вдоль оси ОХ нет никаких сил препятствующих или помогающих движению) и равноускоренного движения вдоль оси OY.
Скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории. Ее можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая всегда остается неизменной и равна v x = v 0 . А вертикальная возрастает по законам ускоренного движения v y = gt . При этом полная скорость тела может быть найдена по формулам:
При этом важно понять, что время падения тела на землю никоим образом не зависит от того, с какой горизонтальной скоростью его бросили, а определяется только высотой, с которой было брошено тело. Время падения тела на землю находится по формуле:
Пока тело падает, оно одновременно движется вдоль горизонтальной оси. Следовательно, дальность полета тела или расстояние, которое тело сможет пролететь вдоль оси ОХ, будет равно:
Угол между горизонтом и скоростью тела легко найти из соотношения:
Также иногда в задачах могут спросить о моменте времени, при котором полная скорость тела будет наклонена под определенным углом к вертикали . Тогда этот угол будет находиться из соотношения:
Важно понять, какой именно угол фигурирует в задаче (с вертикалью или с горизонталью). Это и поможет вам выбрать правильную формулу. Если же решать эту задачу координатным методом, то общая формула для закона изменения координаты при равноускоренном движении:
Преобразуется в следующий закон движения по оси OY для тела брошенного горизонтально:
При ее помощи мы можем найти высоту на которой будет находится тело в любой момент времени. При этом в момент падения тела на землю координата тела по оси OY будет равна нулю. Очевидно, что вдоль оси OХ тело движется равномерно, поэтому в рамках координатного метода горизонтальная координата изменятся по закону:
Бросок под углом к горизонту (с земли на землю)
Максимальная высота подъема при броске под углом к горизонту (относительно начального уровня):
Время подъема до максимальной высоты при броске под углом к горизонту:
Дальность полета и полное время полета тела брошенного под углом к горизонту (при условии, что полет заканчивается на той же высоте с которой начался, т.е. тело бросали, например, с земли на землю):
Минимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в наивысшей точке подъёма, и равна:
Максимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в моменты броска и падения на землю, и равна начальной. Это утверждение верно только для броска с земли на землю. Если тело продолжает лететь ниже того уровня, с которого его бросали, то оно будет там приобретать все большую и большую скорость.
Сложение скоростей
Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными. Таким образом, покой и движение тела относительны.
Таким образом, абсолютная скорость тела равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы отсчета. Или, другими словами, скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
Равномерное движение по окружности
Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Такой вид движения также рассматривается в кинематике. При криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по окружности характеризуется рядом величин.
Период – время, за которое тело, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с. Период рассчитывается по формуле:
Частота – количество оборотов, которое совершило тело, двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с или 1 Гц. Частота рассчитывается по формуле:
В обеих формулах: N – количество оборотов за время t . Как видно из вышеприведенных формул, период и частота величины взаимообратные:
При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом:
где: l – длина окружности или путь, пройденный телом за время равное периоду T . При движении тела по окружности удобно рассматривать угловое перемещение φ (или угол поворота), измеряемое в радианах. Угловой скоростью ω тела в данной точке называют отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt . Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π , следовательно при равномерном движении по окружности выполняются формулы:
Угловая скорость измеряется в рад/с. Не забывайте переводить углы из градусов в радианы. Длина дуги l связана с углом поворота соотношением:
Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω :
При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью изменяется только направление вектора скорости, поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с ускорением (но не равноускоренным), так как меняется направление скорости. В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением , так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см. рисунок).
на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
