Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
Разберем все это на конкретных примерах:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
- Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
- Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
- Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
- Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
Изучение вопроса вычитания дробей с разными знаменателями встречается в школьном предмете Алгебра в восьмом классе и оно иногда вызывает у детей сложности в понимании. Для вычитания дробей с разными знаменателями используют следующую формулу:
Процедура вычитания дробей аналогично сложению, поскольку полностью копирует принцип действия.
Во-первых, вычисляем самое маленькое число, которое кратно как одному, так и другому знаменателю.
Во-вторых, перемножаем числитель и знаменатель каждой дроби на определнное число, которое позволит нам знаменатель привести к данному минимальному общему знаменателю.
В-третьих, происходит процедура самого вычитания, когда в итоге знаменатель дублируется, а вычитается числитель второй дроби из первой.
Пример: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 целых 1/6
Сначала нужно привести их к одному знаменателю, а потом уже произвести вычитание. Например, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Или, сложнее, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Объяснять, как приводятся дроби к общему знаменателю нужно?
При таких операциях как сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями действует простое правило - знаменатели этих дробей приводятся к одному числу, а само действие выполняется с числами стоящими в числителе. То есть дроби получают общий знаменатель и словно объединяются в одну. Нахождение общего знаменателя для произвольных дробей обычно сводится к простому перемножению каждой из дробей на знаменатель другой дроби. Но в более простых случаях можно сразу найти сомножители, которые приведут знаменатели дробей к одному числу.
Пример вычитания дробей: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Многие взрослые уже забыли, как вычесть дроби с разными знаменателями , а ведь это действие относится к элементарной математике.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями , нужно привести их к общему знаменателю, то есть найти наименьшее общее кратное знаменателей, затем числители умножить на дополнительные множители, равные отношению наименьшего общего кратного и знаменателя.
Знаки дробей при этом сохраняются. После того, как у дробей появились одинаковые знаменатели, можно производить вычитание, а потом, если получится, сократить дробь.
Елена, Вы решили повторить школьный курс математики?)))
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями их сначала нужно привести к одному знаменателю, а потом вычесть. Самый простой вариант: Числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби. Получили две дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь от числителя первой дроби отнимаем числитель второй дроби, а знаменатель у них одинаковый.
Например, три пятых отнять две седьмых равно двадцать одна тридцать пятая отнять десять тридцать пятых и это равно одиннадцать тридцать пятых.
Если знаменатели большие числа, то можно найти их наименьшее общее кратное, т.е. число, которое будет делиться и на один и на другой знаменатель. И приводить обе дроби к общему знаменателю (наименьшему общему кратному)
Как вычитывать дроби с разными знаменателями задача очень простая - приводим дроби к общему знаменателю и затем в числителе делаем вычитание.
Очень многие сталкиваются с трудностями, когда возле этих дробей стоят целые числа, поэтому хотел показать, как это делать на следующем примере:
вычитание дробей с целой частью и с разными знаменателями
сначала вычитываем целые части 8-5 = 3 (тройка остается возле первой дроби);
приводим дроби к общему знаменателю 6 (если числитель первой дроби больше второго, делаем вычитание и записываем возле целой части, в нашем же случае двигаемся дальше);
целую часть 3 раскладываем на 2 и 1;
1 записываем в виде дроби 6/6;
6/6+3/6-4/6 записываем под общим знаменателем 6 и делаем действия в числителе;
записываем найденный результат 2 5/6.
Важно помнить, что вычитание дробей производиться при наличии у них одинаковых знаменателю. Поэтому-то когда у нас имеются в разности дроби с различными знаменателями, их нужно привести просто напросто к общему знаменателю, что сделать не сложно. Мы просто должны разложить у каждой дроби числитель на множители и вычислить наименьшее общее кратное, которое не должно равняться нулю. Не забываем также умножить числители на полученные дополнительные множители, а вот пример для удобства:
Если вы хотите вычесть дроби с разными знаменателями, то для начала вам придется найти для этих двух дробей общий знаменатель. И потом вычесть из числителя первой дроби вторую. Получается новая дробь, с новым значением.
На сколько я помню из курса математики 3его класса, то для вычета дробей с разными знаминателями для начала нужно вычислить общий знаминатель и привести к нему, а потом просто вычетаются числители между собой а знаминатель остается тот общий.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала придется найти наименьший общий знаменатель этих дробей.
Рассмотрим на примере:
Делим большее число 25 на меньшее 20. Не делится. Значит умножаем знаменатель 25 на такое число, получившая сумма при этом чтобы могла делится на 20. Таким числом будет 4. 25х4=100. 100:20=5. Таким образом мы нашли наименьший общий знаменатель - 100.
Теперь нам необходимо найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого делим новый знаменатель на старый.
Умножаем 9 на 4 = 36. Умножаем 7 на 5 = 35.
Имея общий знаменатель мы проводим вычитание, как показано в примере и получаем результат.
Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!
Как складывать десятичные дроби
Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:
- Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.
Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.
Сложение дробей с равными знаменателями
Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.
Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного
Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
- Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.
- Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.
Сложение дробей методом умножения крест на крест
Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.
В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.
Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: 
.
При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: 
. Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.
При-мер 3. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .
При-мер 4. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние
Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .
При-мер 5. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние: .
При-мер 6. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 7. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.
При-мер 8. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.
Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ние
Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .
Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.
; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .
После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).
Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.
По-лу-ча-ем: 
.
Ответ: .
Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.
.
Ответ: .
Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :
1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.
2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).
3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.
4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.
