توابع مثلثاتی معکوس توابع ریاضی هستند که معکوس توابع مثلثاتی هستند.

تابع y=arcsin(x)

آرکسین عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که سینوس آن برابر با α است.
نمودار یک تابع
تابع у= sin⁡(x) در بازه [-π/2;π/2]، به شدت افزایشی و پیوسته است. بنابراین، تابع معکوس، به شدت افزایشی و پیوسته دارد.
تابع معکوس برای تابع y= sin⁡(x)، که در آن x ∈[-π/2;π/2]، آرکسین نامیده می شود و y=arcsin(x) نشان داده می شود، جایی که x∈[-1;1 ].
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف آرکسین قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر قطعه [-π/2;π/2] است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsin(x)، که در آن x ∈[-1;1]، با نمودار تابع y= sin(⁡x) متقارن است، جایی که x∈[-π/2;π /2]، با توجه به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arcsin(x).

مثال شماره 1.

arcsin (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arcsin(x) متعلق به بازه [-π/2;π/2] است، پس فقط مقدار π/6 مناسب است بنابراین، arcsin(1/2) =π/ 6.
جواب: π/6

مثال شماره 2.
arcsin(-(√3)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2]، تنها مقدار -π/3 مناسب است. بنابراین، arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

تابع y=arccos(x)

کسینوس قوس عدد α عددی α از بازه ای است که کسینوس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع y=cos(⁡x) روی قطعه به شدت کاهشی و پیوسته است. بنابراین، تابع معکوس، به شدت کاهشی و پیوسته دارد.
تابع معکوس برای تابع y= cos⁡x، که در آن x ∈، فراخوانی می شود کسینوس قوسیو با y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] نشان داده می شود.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کسینوس قوس، قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر، قطعه است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] با نمودار تابع y=cos(⁡x) متقارن است، جایی که x ∈، با توجه به نیمساز مختصات زوایای ربع اول و سوم

محدوده تابع y=arccos(x).

مثال شماره 3.

arccos (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arccos(x) x∈ است، پس فقط مقدار π/3 مناسب است بنابراین، arccos(1/2) =π/3.
مثال شماره 4.
arccos(-(√2)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arccos(x) متعلق به بازه است، پس فقط مقدار 3π/4 مناسب است بنابراین، arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

جواب: 3π/4

تابع y=arctg(x)

مماس یک عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که مماس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع مماس پیوسته و به شدت در بازه افزایش می یابد (-π/2; π/2). بنابراین تابع معکوس دارد که پیوسته و به شدت افزایشی است.
تابع معکوس برای تابع y= tan⁡(x)، که در آن x∈(-π/2;π/2); مماس قوس نامیده می شود و با y=arctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف تانژانت بازه (-∞;+∞) و مجموعه مقادیر بازه است.
(-π/2;π/2).
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arctg(x)، که در آن x∈R، متقارن با نمودار تابع y= tan⁡x است، که در آن x∈ (-π/2;π/2)، نسبت به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arctg(x).

مثال شماره 5؟

آرکتان ((√3)/3) را پیدا کنید.

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار π/6 مناسب است.بنابراین، arctg((√3)/3) =π/6.
مثال شماره 6.
arctg(-1) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار -π/4 مناسب است.بنابراین، arctg(-1) = - π/4.

تابع y=arcctg(x)

کتانژانت قوسی عدد α عددی α از بازه (0;π) است که کوتانژانت آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

در بازه (0; π)، تابع کوتانژانت به شدت کاهش می یابد. علاوه بر این، در هر نقطه از این بازه پیوسته است. بنابراین در بازه (0;π) این تابع یک تابع معکوس دارد که به شدت کاهشی و پیوسته است.
تابع معکوس برای تابع y=ctg(x)، که در آن x ∈(0;π)، قوس مماس نامیده می شود و y=arcctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
پس با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کمانژانت R و مجموعه مقادیر بازه (0;π) خواهد بود. نمودار تابع y=arcctg(x) ، که در آن x∈R با نمودار تابع y=ctg(x) x∈(0 ;π)، نسبت به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم متقارن است.

محدوده تابع y=arcctg(x).

مثال شماره 7.
arcctg((√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x ∈(0;π)، پس فقط مقدار π/3 مناسب است. بنابراین arccos((√3)/3) =π/3.

مثال شماره 8.
arcctg(-(√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x∈(0;π) است، پس فقط مقدار 2π/3 مناسب است بنابراین، arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

ویراستاران: آگیوا لیوبوف الکساندرونا، گاوریلینا آنا ویکتورونا

تعریف و نماد

آرکسین (y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است (x = گناه آلود -1 ≤ x ≤ 1و مجموعه مقادیر -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

آرکسین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع آرکسین

نمودار تابع y = arcsin x

گراف آرکسین از نمودار سینوسی به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی آرکسین نامیده می شود.

آرکوزین، آرکوس

تعریف و نماد

کسینوس قوسی (y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است (x = cos y). دامنه دارد -1 ≤ x ≤ 1و معانی بسیار 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

آرکوزین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع کسینوس قوس

نمودار تابع y = arccos x

گراف کسینوس قوسی از نمودار کسینوس به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف را مقدار اصلی کسینوس قوس می نامند.

برابری

تابع آرکسین فرد است:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

تابع کسینوس قوس زوج یا فرد نیست:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع آرکسین و آرکوزین در محدوده تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آرکسین و آرکوزین در جدول ارائه شده است.

	y = arcsin x	y = arccos x
دامنه و تداوم	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
محدوده ارزش ها
صعودی، نزولی	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
اوج
حداقل ها
صفر، y = 0	x = 0	x = 1
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y = 0	y = π/ 2

جدول آرکسین ها و آرکوزین ها

این جدول مقادیر آرکسین ها و آرکوسین ها را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

ایکس	arcsin x		arccos x
	تگرگ	خوشحالم	تگرگ	خوشحالم
- 1	- 90 درجه	-	180 درجه	π
-	- 60 درجه	-	150 درجه
-	- 45 درجه	-	135 درجه
-	- 30 درجه	-	120 درجه
0	0°	0	90 درجه
	30 درجه		60 درجه
	45 درجه		45 درجه
	60 درجه		30 درجه
1	90 درجه		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

فرمول ها

همچنین ببینید: استخراج فرمول برای توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

همچنین ببینید: استخراج فرمول ها

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

;
.
به مشتقات آرکسین و مشتقات آرکوزین مراجعه کنید > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
,
که در آن چند جمله ای درجه است. با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
;
.

به مشتقات مرتبه بالاتر آرکسین و آرکوزین مراجعه کنید > > >

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم سینت. ما با توجه به اینکه -π/ با قطعات ادغام می کنیم 2 ≤ t ≤ π/2, هزینه t ≥ 0:
.

بیایید کسینوس قوس را از طریق سینوس قوس بیان کنیم:
.

گسترش سری

وقتی |x|< 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس آرکسین و آرکوزین به ترتیب سینوس و کسینوس هستند.

فرمول های زیر در کل دامنه تعریف معتبر هستند:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

فرمول های زیر فقط برای مجموعه مقادیر آرکسین و آرکوزین معتبر هستند:
arcsin(sin x) = xدر
arccos(cos x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید:

توابع مثلثاتی معکوس- اینها آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

ابتدا اجازه دهید تعاریفی ارائه دهیم.

آرکسینیا می توان گفت که این زاویه ای است متعلق به پاره ای که سینوس آن برابر با عدد a است.

کسینوس قوسیعدد a به عددی گفته می شود که

Arctangentعدد a به عددی گفته می شود که

Arccotangentعدد a به عددی گفته می شود که

بیایید در مورد این چهار تابع جدید - مثلثاتی معکوس - با جزئیات صحبت کنیم.

به یاد داشته باشید، ما قبلاً ملاقات کرده ایم.

برای مثال، جذر حسابی a عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر با a باشد.

لگاریتم عدد b به مبنای a عددی c است به طوری که

که در آن

ما درک می کنیم که چرا ریاضیدانان مجبور به "اختراع" توابع جدید شدند. به عنوان مثال، راه حل های یک معادله هستند و ما نمی توانیم آنها را بدون علامت خاص ریشه دوم حسابی بنویسیم.

مشخص شد که مفهوم لگاریتم برای یادداشت کردن راه‌حل‌ها، به عنوان مثال، برای چنین معادله‌ای ضروری است: جواب این معادله یک عدد غیر منطقی است.

معادلات مثلثاتی هم همینطور است. مثلاً می خواهیم معادله را حل کنیم

واضح است که محلولهای آن با نقاطی از دایره مثلثاتی مطابقت دارد که مختصات آنها برابر است و مشخص است که این مقدار جدولی سینوس نیست. چگونه راه حل ها را یادداشت کنیم؟

در اینجا ما نمی‌توانیم بدون تابع جدید، زاویه‌ای را که سینوس آن برابر با عدد a معین است، انجام دهیم. بله، همه قبلا حدس زده اند. این آرکسین است.

زاویه متعلق به قطعه ای که سینوس آن برابر است، یک چهارم قوس است. و این بدان معنی است که مجموعه ای از جواب های معادله ما مربوط به نقطه سمت راست در دایره مثلثاتی است.

و سری دوم از راه حل های معادله ما است

درباره حل معادلات مثلثاتی بیشتر بدانید -.

باید مشخص شود - چرا تعریف آرکسین نشان می دهد که این یک زاویه متعلق به بخش است؟

واقعیت این است که بی نهایت زاویه وجود دارد که سینوس آنها برای مثال برابر است. ما باید یکی از آنها را انتخاب کنیم. ما یکی را انتخاب می کنیم که در قسمت قرار دارد.

به دایره مثلثاتی نگاه کنید. خواهید دید که در قطعه، هر زاویه با یک مقدار سینوس خاص مطابقت دارد و فقط یک. و بالعکس، هر مقدار سینوس از پاره، با یک مقدار منفرد از زاویه روی قطعه مطابقت دارد. این به این معنی است که در یک سگمنت می توانید تابعی را با مقادیر از به تعریف کنید

بیایید دوباره تعریف را تکرار کنیم:

آرکسینوس یک عدد عدد است , به طوری که

تعیین: ناحیه تعریف آرکسین یک بخش است. محدوده مقادیر یک قطعه است.

می توانید عبارت "آرکسین ها در سمت راست زندگی می کنند" را به خاطر بسپارید. فقط فراموش نکنید که نه تنها در سمت راست، بلکه در بخش نیز قرار دارد.

ما آماده ایم که تابع را نمودار کنیم

طبق معمول، مقادیر x را در محور افقی و مقادیر y را در محور عمودی رسم می کنیم.

زیرا، بنابراین، x در محدوده 1- تا 1 قرار دارد.

این بدان معنی است که دامنه تعریف تابع y = arcsin x قطعه است

گفتیم که y متعلق به بخش است. این بدان معنی است که محدوده مقادیر تابع y = arcsin x قطعه است.

توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsinx کاملاً در ناحیه محدود شده توسط خطوط و

مثل همیشه هنگام ترسیم نمودار یک تابع ناآشنا، بیایید با یک جدول شروع کنیم.

طبق تعریف، آرکسینوس صفر عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با صفر است. این عدد چیست؟ - معلوم است که این صفر است.

به همین ترتیب، آرکسینوس یک عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با یک است. بدیهی است که این

ادامه می دهیم: - این عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر است با . بله آن

			0
			0

ساختن نمودار یک تابع

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. یعنی این تابع فرد است. نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.

4. تابع به صورت یکنواخت افزایش می یابد. حداقل مقدار آن، برابر با -، در و بزرگترین مقدار آن، برابر با، در به دست می آید

5. نمودار توابع و چیست؟ آیا فکر نمی کنید که آنها "بر اساس یک الگو" ساخته شده اند - درست مانند شاخه سمت راست یک تابع و نمودار یک تابع، یا مانند نمودارهای توابع نمایی و لگاریتمی؟

تصور کنید که ما یک قطعه کوچک را از یک موج سینوسی معمولی به سمت دیگر برش می دهیم، و سپس آن را به صورت عمودی می چرخانیم - و یک نمودار آرکسین به دست خواهیم آورد.

برای یک تابع در این بازه مقادیر آرگومان چیست، سپس برای آرکسین مقادیر تابع وجود خواهد داشت. این طوری باید باشد! از این گذشته، سینوس و آرکسین توابع معکوس متقابل هستند. نمونه های دیگر از جفت توابع معکوس متقابل در و و همچنین توابع نمایی و لگاریتمی هستند.

به یاد بیاورید که نمودارهای توابع معکوس متقابل با توجه به خط مستقیم متقارن هستند.

به طور مشابه، تابع را تعریف می کنیم، ما فقط به یک قطعه نیاز داریم که در آن مقدار هر زاویه با مقدار کسینوس خودش مطابقت داشته باشد و با دانستن کسینوس، می توانیم به طور منحصر به فرد زاویه را پیدا کنیم. یک بخش برای ما مناسب است

کسینوس قوس یک عدد عدد است ، به طوری که

یادآوری آسان است: "کسینوس های قوسی از بالا زندگی می کنند" و نه فقط از بالا، بلکه در بخش

تعیین: ناحیه تعریف کسینوس قوس یک قطعه است. محدوده مقادیر یک قطعه است.

بدیهی است که بخش انتخاب شده است زیرا هر مقدار کسینوس روی آن فقط یک بار گرفته می شود. به عبارت دیگر، هر مقدار کسینوس، از -1 تا 1، مربوط به یک مقدار زاویه منفرد از بازه است.

کسینوس قوسی نه یک تابع زوج است و نه یک تابع. اما می توانیم از رابطه آشکار زیر استفاده کنیم:

بیایید تابع را رسم کنیم

ما به بخشی از تابع نیاز داریم که در آن یکنواخت باشد، یعنی هر مقدار را دقیقاً یک بار می گیرد.

بیایید یک بخش را انتخاب کنیم. در این بخش تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد، یعنی مطابقت بین مجموعه ها یک به یک است. هر مقدار x یک مقدار y متناظر دارد. در این قطعه تابعی معکوس کسینوس وجود دارد، یعنی تابع y = arccosx.

بیایید جدول را با استفاده از تعریف کسینوس قوس پر کنیم.

کسینوس قوس عدد x متعلق به بازه، عدد y متعلق به بازه خواهد بود به طوری که

این بدان معناست که از آنجایی که؛

زیرا ؛

زیرا ،

زیرا ،

			0
					0

این نمودار کسینوس قوس است:

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

این تابع یک شکل کلی است - نه زوج است و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است. تابع y = arccosx بزرگترین مقدار خود را برابر با در می گیرد و کوچکترین مقدار آن برابر با صفر است.

5. توابع و متقابل معکوس هستند.

موارد بعدی آرکتانژانت و آرکوتانژانت هستند.

متقاطع یک عدد عدد است ، به طوری که

تعیین: . مساحت تعریف قاعده بازه است مساحت مقادیر بازه است.

چرا انتهای بازه-نقاط- در تعریف قطبی مستثنی شده است؟ البته چون مماس در این نقاط تعریف نشده است. هیچ عدد a برابر با مماس هیچ یک از این زوایا وجود ندارد.

بیایید یک نمودار از قطب متقاطع بسازیم. طبق تعریف، مماس یک عدد x عددی است که متعلق به بازه‌ای است که

نحوه ساخت یک نمودار از قبل مشخص است. از آنجایی که تانژانت تابع معکوس مماس است، به صورت زیر عمل می کنیم:

بخشی از نمودار تابع را انتخاب می کنیم که مطابقت بین x و y یک به یک باشد. این بازه C است. در این بخش تابع مقادیر از تا را می گیرد

سپس تابع معکوس، یعنی تابع، یک دامنه تعریف دارد که کل خط اعداد، از تا، و محدوده مقادیر، بازه خواهد بود.

به معنای،

به معنای،

به معنای،

اما برای مقادیر بی نهایت بزرگ x چه اتفاقی می افتد؟ به عبارت دیگر، این تابع چگونه رفتار می کند که x تمایل به اضافه بی نهایت دارد؟

می توانیم این سوال را از خود بپرسیم: برای کدام عدد در بازه مقدار مماس به بی نهایت میل می کند؟ - معلومه که این

این بدان معنی است که برای مقادیر بی نهایت بزرگ x، نمودار متقاطع به مجانب افقی نزدیک می شود.

به طور مشابه، اگر x به منهای بی‌نهایت نزدیک شود، نمودار تانژانت به مجانب افقی نزدیک می‌شود.

شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع فرد است.

4. عملکرد به شدت در حال افزایش است.

6. توابع و متقابل معکوس هستند - البته، زمانی که تابع در بازه در نظر گرفته شود

به طور مشابه، تابع مماس معکوس را تعریف کرده و نمودار آن را رسم می کنیم.

مماس قوسی یک عدد عدد است ، به طوری که

نمودار تابع:

ویژگی های عملکرد

1. محدوده تعریف

2. دامنه مقادیر

3. تابع به صورت کلی است، یعنی نه زوج و نه فرد.

4. عملکرد به شدت در حال کاهش است.

5. مجانب مستقیم و - افقی این تابع.

6. اگر در بازه در نظر گرفته شود، توابع و متقابلا معکوس هستند

از آنجایی که توابع مثلثاتی تناوبی هستند، توابع معکوس آنها منحصر به فرد نیستند. بنابراین، معادله y = گناه x، برای یک معین، ریشه های بی نهایت زیادی دارد. در واقع، به دلیل تناوب بودن سینوس، اگر x چنین ریشه ای باشد، پس چنین است x + 2πn(که در آن n یک عدد صحیح است) نیز ریشه معادله خواهد بود. بدین ترتیب، توابع مثلثاتی معکوس چند ارزشی هستند. برای سهولت کار با آنها، مفهوم معانی اصلی آنها معرفی شده است. برای مثال سینوس را در نظر بگیرید: y = گناه x. اگر آرگومان x را به بازه محدود کنیم، تابع y = روی آن است گناه xیکنواخت افزایش می یابد. بنابراین یک تابع معکوس منحصر به فرد دارد که به آن آرکسین می گویند: x = arcsin y.

منظور ما از توابع مثلثاتی معکوس مقادیر اصلی آنهاست که با تعاریف زیر مشخص می شود مگر اینکه خلاف آن بیان شود.

آرکسین ( y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است ( x = گناه آلود
کسینوس قوسی ( y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است ( x = cos y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.
آرکتانژانت ( y = arctan x) تابع معکوس مماس است ( x = tg y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.
قوس تانژانت ( y = arcctg x) تابع معکوس کوتانژانت است ( x = ctg y) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها.

نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس

نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس از نمودارهای توابع مثلثاتی با انعکاس آینه ای نسبت به خط مستقیم y = x به دست می آیند. بخش های سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت را ببینید.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

فرمول های پایه

در اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.

arcsin(sin x) = xدر
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xدر
cos(arccos x) = x

آرکتان (tg x) = xدر
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xدر
ctg(arcctg x) = x

فرمول های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس

همچنین ببینید: استخراج فرمول برای توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

در

در

در

در

در

در

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

تابع کسینوس معکوس

محدوده مقادیر تابع y=cos x (نگاه کنید به شکل 2) یک بخش است. در بخش تابع پیوسته و یکنواخت در حال کاهش است.

برنج. 2

به این معنی که تابع معکوس تابع y=cos x بر روی قطعه تعریف شده است. این تابع معکوس کسینوس قوس الکتریکی نامیده می شود و y=arccos x نشان داده می شود.

تعریف

آرکوزین عدد a، اگر |a|1، زاویه ای است که کسینوس آن به قطعه تعلق دارد. با arccos a نشان داده می شود.

بنابراین، arccos a زاویه ای است که دو شرط زیر را برآورده می کند: сos (arccos a)=a, |a|1; 0؟ arccos a ?р.

به عنوان مثال، آرکوس، از آنجایی که cos و; arccos، از آنجایی که cos و.

تابع y = arccos x (شکل 3) روی یک بخش تعریف شده است؛ محدوده مقادیر آن قطعه است. در قطعه، تابع y=arccos x پیوسته است و به طور یکنواخت از p به 0 کاهش می یابد (زیرا y=cos x یک تابع پیوسته و یکنواخت نزولی در قطعه است). در انتهای قطعه به مقادیر نهایی خود می رسد: arccos(-1)= p، arccos 1=0. توجه داشته باشید که arccos 0 = . نمودار تابع y = arccos x (نگاه کنید به شکل 3) با نمودار تابع y = cos x نسبت به خط مستقیم y=x متقارن است.

برنج. 3

اجازه دهید نشان دهیم که برابری arccos(-x) = p-arccos x برقرار است.

در واقع، طبق تعریف 0؟ arccos x آر. با ضرب در (-1) تمام قسمت های آخرین نابرابری مضاعف، - p؟ arccos x 0. با افزودن p به تمام قسمت های آخرین نامساوی، در می یابیم که 0؟ p-arccos x؟ آر.

بنابراین، مقادیر زاویه‌های arccos(-x) و p - arccos x متعلق به یک بخش هستند. از آنجایی که کسینوس به صورت یکنواخت روی یک قطعه کاهش می‌یابد، نمی‌توان دو زاویه متفاوت روی آن وجود داشت که کسینوس‌های مساوی داشته باشند. بیایید کسینوس های زاویه های arccos(-x) و p-arccos x را پیدا کنیم. طبق تعریف، cos (arccos x) = - x، با توجه به فرمول های کاهشی و طبق تعریف داریم: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. بنابراین، کسینوس‌های زاویه‌ها با هم برابر هستند، یعنی خود زوایا برابر هستند.

تابع سینوس معکوس

بیایید تابع y=sin x را در نظر بگیریم (شکل 6)، که در قطعه [-р/2;р/2] در حال افزایش، پیوسته است و مقادیری را از قطعه [-1; 1]. این بدان معنی است که در بخش [- p/2; p/2] تابع معکوس تابع y=sin x تعریف شده است.

برنج. 6

این تابع معکوس آرکسین نامیده می شود و y=arcsin x نشان داده می شود. اجازه دهید تعریف آرکسین یک عدد را معرفی کنیم.

قوس یک عدد زاویه ای (یا کمانی) است که سینوس آن برابر با عدد a و متعلق به پاره [-р/2; p/2]; آن را با arcsin a نشان می دهند.

بنابراین، arcsin a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 آرکسین ها؟ r/2. به عنوان مثال، از آنجا که گناه و [- p/2; p/2]; arcsin، از آنجایی که sin = u [- p/2; p/2].

تابع y=arcsin x (شکل 7) در بخش [- 1; 1]، محدوده مقادیر آن بخش [-р/2;р/2] است. در بخش [- 1; 1] تابع y=arcsin x پیوسته است و به طور یکنواخت از -p/2 به p/2 افزایش می‌یابد (این از این واقعیت ناشی می‌شود که تابع y=sin x در قطعه [-p/2؛ p/2] پیوسته است. و به صورت یکنواخت افزایش می یابد). بیشترین مقدار را در x = 1 می گیرد: arcsin 1 = p/2، و کوچکترین را در x = -1: arcsin (-1) = -p/2. در x = 0 تابع صفر است: arcsin 0 = 0.

اجازه دهید نشان دهیم که تابع y = arcsin x فرد است، یعنی. arcsin(-x) = - arcsin x برای هر x [ - 1; 1].

در واقع، طبق تعریف، اگر |x| ?1، داریم: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. بنابراین، زوایای arcsin(-x) و - arcsin x متعلق به همان بخش [ - p/2; p/2].

بیایید سینوس اینها را پیدا کنیمزاویه ها: sin (arcsin(-x)) = - x (طبق تعریف)؛ چون تابع y=sin x فرد است، پس sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. بنابراین، سینوس های زاویه های متعلق به یک بازه [-р/2; p/2]، مساوی هستند، یعنی خود زوایا مساوی هستند، یعنی. arcsin (-x)= - arcsin x. این بدان معنی است که تابع y=arcsin x فرد است. نمودار تابع y=arcsin x نسبت به مبدا متقارن است.

اجازه دهید نشان دهیم که arcsin (sin x) = x برای هر x [-р/2; p/2].

در واقع، طبق تعریف -p/2؟ arcsin (sin x) ? p/2، و با شرط -p/2؟ ایکس؟ r/2. این بدان معناست که زوایای x و arcsin (sin x) به همان بازه یکنواختی تابع y=sin x تعلق دارند. اگر سینوس های چنین زوایا مساوی باشند، خود زوایا برابرند. بیایید سینوس های این زوایا را پیدا کنیم: برای زاویه x ما sin x داریم، برای زاویه arcsin (sin x) ما sin (arcsin(sin x)) = sin x داریم. ما متوجه شدیم که سینوس های زوایا مساوی هستند، بنابراین، زاویه ها برابر هستند، یعنی. arcsin(sin x) = x. .

برنج. 7

برنج. 8

نمودار تابع arcsin (sin|x|) با تبدیل‌های معمول مرتبط با مدول از نمودار y=arcsin (sin x) بدست می‌آید (نشان داده شده با خط چین در شکل 8). نمودار مورد نظر y=arcsin (sin |x-/4|) با جابجایی 4/به سمت راست در امتداد محور x از آن به دست می آید (در شکل 8 به صورت یک خط ثابت نشان داده شده است).

تابع معکوس مماس

تابع y=tg x در بازه تمام مقادیر عددی را می گیرد: E (tg x)=. در این بازه پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. این بدان معنی است که یک تابع معکوس تابع y = tan x در بازه تعریف می شود. این تابع معکوس را مماس قطبی می نامند و y = arctan x نشان داده می شود.

مماس قوس a زاویه ای از بازه ای است که مماس آن برابر با a است. بنابراین، arctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: tg (arctg a) = a و 0؟ arctg a ? آر.

بنابراین، هر عدد x همیشه با یک مقدار واحد از تابع y = arctan x مطابقت دارد (شکل 9).

بدیهی است که D (arctg x) = , E (arctg x) = .

تابع y = arctan x در حال افزایش است زیرا تابع y = tan x در بازه افزایش می یابد. اثبات اینکه arctg(-x) = - arctgx، یعنی. که متقاطع یک تابع فرد است.

برنج. 9

نمودار تابع y = arctan x متقارن با نمودار تابع y = tan x نسبت به خط مستقیم y = x است، نمودار y = arctan x از مبدأ مختصات می گذرد (از آنجایی که arctan 0 = 0) و نسبت به مبدا متقارن است (مانند نمودار یک تابع فرد).

می توان ثابت کرد که arctan (tan x) = x اگر x.

تابع معکوس کتانژانت

تابع y = ctg x در یک بازه، تمام مقادیر عددی را از بازه می گیرد. محدوده مقادیر آن با مجموعه تمام اعداد واقعی منطبق است. در بازه، تابع y = cot x پیوسته است و به صورت یکنواخت افزایش می یابد. یعنی در این بازه تابعی تعریف شده است که معکوس تابع y = cot x است. تابع معکوس کوتانژانت را arccotangent می نامند و به آن y = arcctg x نشان می دهند.

کوتانژانت قوس a زاویه ای است متعلق به بازه ای که همتجانس آن برابر با a است.

بنابراین، аrcctg a زاویه ای است که شرایط زیر را برآورده می کند: ctg (arcctg a)=a و 0؟ arcctg a ? آر.

از تعریف تابع معکوس و تعریف مماس قوس به این نتیجه می رسد که D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . کوتانژانت قوس یک تابع کاهشی است زیرا تابع y = ctg x در بازه کاهش می یابد.

نمودار تابع y = arcctg x محور Ox را قطع نمی کند، زیرا y > 0 R. برای x = 0 y = arcctg 0 =.

نمودار تابع y = arcctg x در شکل 11 نشان داده شده است.

برنج. 11

توجه داشته باشید که برای تمام مقادیر واقعی x هویت درست است: arcctg(-x) = p-arcctg x.