معادله x در درجه. حل معادلات توان نمایی، الگوریتم ها و مثال ها

این درس برای کسانی است که تازه شروع به یادگیری معادلات نمایی کرده اند. مثل همیشه، اجازه دهید با یک تعریف و مثال های ساده شروع کنیم.

اگر در حال خواندن این درس هستید، پس من گمان می کنم که حداقل درک حداقلی از ساده ترین معادلات - خطی و مربعی دارید: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ و غیره. توانایی حل چنین سازه هایی کاملاً ضروری است تا در موضوعی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت "آویزان" نشوید.

بنابراین، معادلات نمایی. اجازه بدهید چند مثال برایتان بزنم:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

برخی از آنها ممکن است برای شما پیچیده تر به نظر برسند، برخی از آنها، برعکس، بیش از حد ساده هستند. اما همه آنها با یک ویژگی مهم متحد می شوند: آنها حاوی یک تابع نمایی $f\left(x \right)=((a)^(x))$ هستند. بدین ترتیب تعریف را معرفی می کنیم:

معادله نمایی هر معادله ای است که دارای تابع نمایی باشد، یعنی. عبارتی از شکل $((a)^(x))$. علاوه بر تابع مشخص شده، چنین معادلاتی می توانند شامل هر ساختار جبری دیگری - چند جمله ای، ریشه، مثلثات، لگاریتم و غیره باشند.

باشه پس تعریف را فهمید. حال سوال این است: چگونه می توان این همه مزخرف را حل کرد؟ پاسخ در عین حال ساده و پیچیده است.

بیایید با خبر خوب شروع کنیم: با توجه به تجربه من با بسیاری از دانش آموزان، می توانم بگویم که برای اکثر آنها، معادلات نمایی بسیار ساده تر از همان لگاریتم ها و حتی بیشتر از مثلثات است.

اما یک خبر بد نیز وجود دارد: گاهی اوقات گردآورندگان مسائل مربوط به انواع کتاب های درسی و امتحانات با "الهام" مورد بازدید قرار می گیرند و مغز ملتهب مواد مخدر آنها شروع به تولید چنان معادلات وحشیانه ای می کند که حل آنها نه تنها برای دانش آموزان مشکل ساز می شود - حتی بسیاری از معلمان در چنین مشکلاتی گیر می کنند.

با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. و برگردیم به آن سه معادله ای که در همان ابتدای داستان بیان شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

معادله اول: $((2)^(x))=4$. خوب، عدد 2 را باید به چه قدرتی رساند تا عدد 4 بدست آید؟ شاید دومی؟ پس از همه، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — و برابری عددی صحیح را به دست آورده ایم، یعنی. در واقع $x=2$. خوب، ممنون، کلاه، اما این معادله آنقدر ساده بود که حتی گربه من هم می توانست آن را حل کند. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

اما اینجا کمی دشوارتر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $((5)^(2))=25$ جدول ضرب است. برخی همچنین گمان می کنند که $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ اساساً تعریف نماهای منفی است (مشابه فرمول $((a)^(-n)) = \ frac(1)(((a)^(n)))$).

در نهایت، فقط تعداد کمی حدس می زنند که این حقایق را می توان ترکیب کرد و خروجی نتیجه زیر است:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

بنابراین، معادله اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

و اکنون این کاملاً حل شده است! در سمت چپ معادله یک تابع نمایی وجود دارد، در سمت راست معادله یک تابع نمایی وجود دارد، هیچ چیز جز آنها در هیچ جای دیگری وجود ندارد. بنابراین، می توان پایه ها را "دور انداخت" و شاخص ها را احمقانه برابر کرد:

ما ساده ترین معادله خطی را بدست آوردیم که هر دانش آموزی می تواند تنها در چند خط آن را حل کند. خوب، در چهار خط:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end (align)\]

اگر متوجه نشدید که در چهار خط آخر چه اتفاقی افتاده است، حتماً به مبحث "معادلات خطی" برگردید و آن را تکرار کنید. زیرا بدون یکسان سازی واضح از این موضوع، برای شما خیلی زود است که معادلات نمایی را بپذیرید.

\[((9)^(x))=-3\]

خوب، چگونه تصمیم می گیرید؟ فکر اول: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=-3\]

سپس به یاد می آوریم که هنگام افزایش درجه به یک توان، شاخص ها ضرب می شوند:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end (align)\]

و برای چنین تصمیمی، ما یک فریب صادقانه شایسته دریافت می کنیم. زیرا ما با سکون یک پوکمون علامت منفی جلوی سه را به توان این سه فرستادیم. و شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و به همین دلیل. به قدرت های مختلف تریپل نگاهی بیندازید:

\[\begin(ماتریس) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(ماتریس)\]

هنگام جمع‌آوری این لوح، به محض این که انجام دادم منحرف نشدم: درجات مثبت و منفی و حتی کسری را در نظر گرفتم ... خوب، حداقل یک عدد منفی اینجا کجاست؟ او نمی باشد! و نمی تواند باشد، زیرا تابع نمایی $y=((a)^(x))$، اولا، همیشه فقط مقادیر مثبت می گیرد (مهم نیست چقدر یک را ضرب کنید یا بر دو تقسیم کنید، باز هم یک عدد خواهد بود. عدد مثبت)، و ثانیاً، مبنای چنین تابعی، عدد $a$، طبق تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، پس چگونه معادله $((9)^(x))=-3$ را حل کنیم؟ نه، هیچ ریشه ای وجود ندارد. و از این نظر، معادلات نمایی بسیار شبیه به معادلات درجه دوم هستند - همچنین ممکن است هیچ ریشه ای وجود نداشته باشد. اما اگر در معادلات درجه دوم تعداد ریشه ها توسط ممیز تعیین می شود (ممیز مثبت است - 2 ریشه ، منفی - بدون ریشه) ، در معادلات نمایی همه چیز به آنچه در سمت راست علامت مساوی است بستگی دارد.

بنابراین، نتیجه‌گیری کلیدی را فرمول‌بندی می‌کنیم: ساده‌ترین معادله نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ ریشه دارد اگر و فقط اگر $b>0$ باشد. با دانستن این واقعیت ساده، به راحتی می توانید تشخیص دهید که آیا معادله ای که به شما پیشنهاد می شود ریشه دارد یا خیر. آن ها آیا اصلاً ارزش حل کردن آن را دارد یا بلافاصله بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش در مواقعی که مجبوریم مشکلات پیچیده تری را حل کنیم چندین برابر به ما کمک می کند. در این میان، اشعار کافی - زمان مطالعه الگوریتم اصلی برای حل معادلات نمایی است.

نحوه حل معادلات نمایی

بنابراین، اجازه دهید مشکل را فرموله کنیم. حل معادله نمایی ضروری است:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح" که قبلا استفاده کردیم، لازم است عدد $b$ را به عنوان توان عدد $a$ نشان دهیم:

علاوه بر این، اگر به جای متغیر $x$ هر عبارتی وجود داشته باشد، معادله جدیدی دریافت خواهیم کرد که از قبل قابل حل است. مثلا:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\پیکان راست ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\پیکان راست ((5)^(2x))=((5)^(3))\راست فلش 2x=3\ فلش راست x=\frac(3)( 2). \\\پایان (تراز کردن)\]

و به اندازه کافی عجیب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. آن 10 درصد دیگر چطور؟ 10٪ باقیمانده معادلات نمایی کمی "اسکیزوفرنیک" هستند به شکل:

\[((2)^(x))=3;\چهار ((5)^(x))=15;\چهار ((4)^(2x))=11\]

برای بدست آوردن 3 به چه قدرتی نیاز دارید که 2 را افزایش دهید؟ در اغاز؟ اما خیر: $((2)^(1))=2$ کافی نیست. در دومی؟ هیچکدام: $((2)^(2))=4$ خیلی زیاد است. بعدش چی شد؟

دانش آموزان آگاه احتمالاً قبلاً حدس زده اند: در چنین مواردی ، هنگامی که حل "زیبا" غیرممکن است ، "توپخانه سنگین" به مورد - لگاریتم ها متصل می شود. اجازه دهید یادآوری کنم که با استفاده از لگاریتم، هر عدد مثبت را می توان به عنوان توان هر عدد مثبت دیگری (به استثنای یک) نشان داد:

این فرمول را به خاطر دارید؟ وقتی به دانش‌آموزانم در مورد لگاریتم می‌گویم، همیشه به شما هشدار می‌دهم: این فرمول (همچنین هویت اصلی لگاریتمی است یا اگر بخواهید، تعریف لگاریتم است) شما را برای مدت طولانی تحت تعقیب قرار می‌دهد و در بیشتر موارد «ظهور می‌کند». مکان های غیر منتظره خوب، او ظاهر شد. بیایید به معادله و این فرمول نگاه کنیم:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end (تراز کردن) \]

اگر فرض کنیم که $a=3$ عدد اصلی ما در سمت راست است، و $b=2$ همان پایه تابع نمایی است که می‌خواهیم سمت راست را به آن کاهش دهیم، به شکل زیر می‌گیریم:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 ))؛ \\& ((2)^(x))=3\پیکان راست ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ فلش راست x=( (\log )_(2))3. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما یک پاسخ کمی عجیب دریافت کردیم: $x=((\log )_(2))3$. در یک کار دیگر، با چنین پاسخی، بسیاری شک می کنند و شروع به بررسی مجدد راه حل خود می کنند: اگر جایی اشتباهی وجود داشته باشد چه؟ من عجله دارم که شما را خوشحال کنم: در اینجا هیچ خطایی وجود ندارد و لگاریتم در ریشه معادلات نمایی کاملاً یک وضعیت معمولی است. بنابراین بهش عادت کن. :)

اکنون دو معادله باقیمانده را با قیاس حل می کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\پیکان راست ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\ فلش راست 2x=( (\log )_(4))11\فلش راست x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! به هر حال، پاسخ آخر را می توان متفاوت نوشت:

این ما بودیم که ضریب را وارد برهان لگاریتم کردیم. اما هیچ کس ما را از اضافه کردن این عامل به پایه باز نمی دارد:

علاوه بر این، هر سه گزینه صحیح هستند - آنها فقط اشکال مختلف نوشتن یک عدد هستند. کدام یک را انتخاب کنید و در این تصمیم بنویسید به شما بستگی دارد.

بنابراین، ما یاد گرفته‌ایم که معادلات نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ را حل کنیم، جایی که اعداد $a$ و $b$ کاملا مثبت هستند. با این حال، واقعیت خشن دنیای ما این است که چنین کارهای ساده ای به ندرت با شما روبرو می شوند. بیشتر اوقات با چیزی شبیه به این روبرو می شوید:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، چگونه تصمیم می گیرید؟ اصلا میشه اینو حل کرد؟ و اگر چنین است، چگونه؟

وحشت نکنید. همه این معادلات به سرعت و به سادگی به آن فرمول های ساده ای که قبلاً در نظر گرفته ایم کاهش می یابد. فقط باید بدانید که چند ترفند از درس جبر را به خاطر بسپارید. و البته در اینجا هیچ قانونی برای کار با مدرک وجود ندارد. الان در مورد همه اینها صحبت می کنم. :)

تبدیل معادلات نمایی

اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است که هر معادله نمایی، مهم نیست چقدر پیچیده باشد، باید به یک روش به ساده ترین معادلات تقلیل داده شود - همان معادلاتی که قبلاً در نظر گرفته ایم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل هر معادله نمایی به صورت زیر است:

معادله اصلی را بنویسید. به عنوان مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
یه کار احمقانه بکن یا حتی برخی مزخرفات به نام "تبدیل معادله";
در خروجی، ساده ترین عبارات مانند $((4)^(x))=4$ یا چیز دیگری مانند آن را دریافت کنید. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین عبارت از این قبیل را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین نکته، همه چیز واضح است - حتی گربه من می تواند معادله را روی یک برگ بنویسد. با نکته سوم نیز، به نظر می رسد، کم و بیش روشن است - ما قبلاً یک دسته کامل از این معادلات را در بالا حل کرده ایم.

اما نکته دوم چطور؟ تحولات چیست؟ چه چیزی را به چه چیزی تبدیل کنیم؟ و چطور؟

خوب، بیایید آن را بفهمیم. قبل از هر چیز به موارد زیر اشاره می کنم. تمام معادلات نمایی به دو نوع تقسیم می شوند:

معادله از توابع نمایی با پایه یکسان تشکیل شده است. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
فرمول شامل توابع نمایی با پایه های مختلف است. مثال‌ها: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و $((100)^(x-1) )\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09$.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین حل هستند. و در حل آنها از تکنیکی مانند انتخاب عبارات پایدار کمک خواهیم کرد.

برجسته کردن یک عبارت پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ما چه می بینیم؟ این چهار به درجات مختلف ارتقا می یابند. اما همه این توان ها حاصل جمع ساده متغیر $x$ با اعداد دیگر هستند. بنابراین، لازم است قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))((a )^(y))). \\\پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، جمع توان ها را می توان به حاصل ضرب توان ها تبدیل کرد و تفریق به راحتی به تقسیم تبدیل می شود. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به توان های معادله خود اعمال کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\پایان (تراز کردن)\]

معادله اصلی را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم و سپس تمام عبارت های سمت چپ را جمع آوری می کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -یازده \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

چهار عبارت اول حاوی عنصر $((4)^(x))$ هستند - بیایید آن را از براکت خارج کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \راست)=-11. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که هر دو بخش معادله را بر کسری $-\frac(11)(4)$ تقسیم کنیم، یعنی. اساساً در کسر معکوس ضرب کنید - $-\frac(4)(11)$. ما گرفتیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! معادله اصلی را به ساده ترین حالت تقلیل دادیم و به جواب نهایی رسیدیم.

در همان زمان، در فرآیند حل، ما عامل مشترک $((4)^(x))$ را کشف کردیم (و حتی از براکت خارج کردیم) - این عبارت پایدار است. می توان آن را به عنوان یک متغیر جدید تعیین کرد، یا به سادگی می توانید آن را با دقت بیان کنید و پاسخ دریافت کنید. در هر صورت، اصل کلیدی راه حل به شرح زیر است:

در معادله اصلی یک عبارت پایدار حاوی متغیری بیابید که به راحتی از همه توابع نمایی متمایز می شود.

خبر خوب این است که تقریباً هر معادله نمایی چنین عبارت پایداری را می پذیرد.

اما یک خبر بد نیز وجود دارد: چنین عباراتی می تواند بسیار دشوار باشد و تشخیص آنها می تواند بسیار دشوار باشد. پس بیایید مشکل دیگری را بررسی کنیم:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

شاید الان برای کسی سوالی پیش بیاید: «پاشا، سنگسار شدی؟ در اینجا پایه های مختلف وجود دارد - 5 و 0.2. اما بیایید سعی کنیم یک توان را با پایه 0.2 تبدیل کنیم. برای مثال، بیایید از کسر اعشاری خلاص شویم و آن را به حالت معمول برسانیم:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \راست)))=((\left(\frac(2)(10 ) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((\چپ(\frac(1)(5) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)) )\]

همانطور که می بینید، عدد 5 هنوز ظاهر می شود، البته در مخرج. در همان زمان، اندیکاتور به عنوان منفی بازنویسی شد. و اکنون یکی از مهمترین قوانین کار با مدرک را به یاد می آوریم:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \راست))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

اینجا البته یه کم تقلب کردم. زیرا برای درک کامل، فرمول خلاصی از شاخص های منفی باید به صورت زیر نوشته می شد:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \راست))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

از سوی دیگر، هیچ چیز مانع از کار ما نشد که فقط با یک کسری کار کنیم:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((5)^(\چپ(-1 \راست)\cdot \چپ(-\چپ(x+1 \راست) \راست) ))=((5)^(x+1))\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید یک درجه را به درجه دیگری ارتقا دهید (به شما یادآوری می کنم: در این حالت، شاخص ها جمع می شوند). اما من مجبور نبودم کسرها را "برگردانم" - شاید برای کسی راحت تر باشد. :)

در هر صورت، معادله نمایی اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که حل معادله اصلی حتی ساده تر از معادله قبلی است: در اینجا حتی نیازی نیست یک عبارت پایدار را مشخص کنید - همه چیز به خودی خود کاهش یافته است. فقط به یاد داشته باشیم که $1=((5)^(0))$، از آنجا به دست می آوریم:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

این همه راه حل است! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x=-2$. در عین حال، من می خواهم به یک ترفند توجه کنم که تمام محاسبات را برای ما بسیار ساده کرد:

در معادلات نمایی، حتما از کسرهای اعشاری خلاص شوید، آنها را به کسری معمولی ترجمه کنید. این به شما این امکان را می دهد که پایه های یکسان درجه ها را ببینید و راه حل را تا حد زیادی ساده کنید.

حالا بیایید به معادلات پیچیده تری برویم که در آنها پایه های مختلفی وجود دارد که عموماً به کمک قدرت ها به یکدیگر تقلیل نمی دهند.

با استفاده از ویژگی توان

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله سخت تر داریم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

مشکل اصلی در اینجا این است که مشخص نیست چه چیزی و به چه مبنایی باید هدایت شود. عبارات ثابت کجا هستند؟ نقاط مشترک کجاست؟ هیچ کدام از اینها وجود ندارد.

اما بیایید سعی کنیم راه دیگری را طی کنیم. اگر پایه های مشابه آماده ای وجود ندارد، می توانید با فاکتورگیری پایه های موجود، آنها را بیابید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\پیکان راست ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \راست))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

اما می توانید برعکس انجام دهید - عدد 21 را از اعداد 7 و 3 بسازید. انجام این کار در سمت چپ بسیار آسان است، زیرا شاخص های هر دو درجه یکسان است:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! شما نما را از حاصلضرب خارج کردید و بلافاصله معادله زیبایی به دست آوردید که در چند خط قابل حل است.

حال به معادله دوم می پردازیم. در اینجا همه چیز بسیار پیچیده تر است:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \راست))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

در این مورد، کسرها غیر قابل کاهش هستند، اما اگر چیزی قابل کاهش است، حتما آن را کاهش دهید. این اغلب منجر به زمینه های جالبی می شود که می توانید با آنها کار کنید.

متأسفانه چیزی به ذهن ما نرسیده است. اما می بینیم که نماهای سمت چپ در حاصلضرب مخالف هستند:

بگذارید به شما یادآوری کنم: برای خلاص شدن از شر علامت منهای در نما، فقط باید کسر را "برگردانید". پس بیایید معادله اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \راست))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط دوم، ما فقط کل محصول را طبق قانون $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) در پرانتز قرار دادیم. ))^ (x))$، و در دومی آنها به سادگی عدد 100 را در کسری ضرب کردند.

حالا توجه داشته باشید که اعداد سمت چپ (در پایه) و سمت راست تا حدودی شبیه هم هستند. چگونه؟ بله، بدیهی است: آنها قدرت های یک تعداد هستند! ما داریم:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \راست))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \راست))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \راست))^(3\چپ(x-1 \راست)))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3x-3))\]

در همان زمان، در سمت راست، می توانید مدرکی را با همان پایه دریافت کنید، که برای آن فقط کافی است کسر را "برگردانید".

\[((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(-2))\]

در نهایت، معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \راست)) ^(-2))؛ \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

این تمام راه حل است. ایده اصلی آن به این خلاصه می‌شود که حتی با زمینه‌های مختلف، ما سعی می‌کنیم با قلاب یا کلاهبردار این زمینه‌ها را به یک پایه کاهش دهیم. در این مورد، تبدیل‌های اولیه معادلات و قوانین کار با قدرت‌ها به ما کمک می‌کنند.

اما چه قوانینی و چه زمانی استفاده کنیم؟ چگونه بفهمیم که در یک معادله باید هر دو طرف را با چیزی تقسیم کنید و در دیگری - پایه تابع نمایی را فاکتورسازی کنید؟

پاسخ به این سوال با تجربه خواهد آمد. ابتدا دست خود را روی معادلات ساده امتحان کنید، و سپس به تدریج وظایف را پیچیده کنید - و خیلی زود مهارت های شما برای حل هر معادله نمایی از همان USE یا هر کار مستقل / آزمایشی کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این کار دشوار، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را برای یک راه حل مستقل در وب سایت خود دانلود کنید. همه معادلات پاسخ دارند، بنابراین همیشه می توانید خودتان را بررسی کنید.

اصطلاحاً معادلات شکلی نامیده می شود که مجهول هم در توان و هم در پایه درجه است.

شما می توانید یک الگوریتم کاملاً واضح برای حل یک معادله فرم مشخص کنید. برای این امر باید به این نکته توجه شود که اوه)مساوی صفر و یک و منهای یک نیست، برابری درجات با مبانی یکسان (چه مثبت و چه منفی) تنها در صورت مساوی بودن شاخص ها امکان پذیر است یعنی همه ریشه های معادله ریشه معادله خواهند بود. f(x) = g(x)گزاره برعکس درست نیست، اگر اوه)< 0 و مقادیر کسری f(x)و g(x)اصطلاحات اوه) f(x) و

اوه) g(x) معنی خود را از دست بدهند یعنی هنگام رفتن از f(x) = g(x)(برای و ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند که باید با بررسی معادله اصلی حذف شوند. و موارد a = 0، a = 1، a = -1باید جداگانه در نظر گرفته شود.

بنابراین، برای حل کامل معادله، موارد زیر را در نظر می گیریم:

a(x) = 0 f(x)و g(x)اعداد مثبت هستند، پس راه حل این است. در غیر این صورت، نه

a(x) = 1. ریشه های این معادله نیز ریشه های معادله اصلی هستند.

a(x) = -1. اگر برای مقدار x که این معادله را برآورده کند، f(x)و g(x)اعداد صحیح یکسان هستند (یا هر دو زوج هستند یا هر دو فرد)، پس راه حل این است. در غیر این صورت، نه

برای و معادله را حل می کنیم f(x)=g(x)و با جایگزین کردن نتایج به دست آمده به معادله اصلی، ریشه های خارجی را قطع می کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات توان نمایی.

مثال شماره 1.

1) x - 3 = 0، x = 3. زیرا 3 > 0، و 3 2 > 0، سپس x 1 = 3 راه حل است.

2) x - 3 \u003d 1، x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1، x \u003d 2. هر دو شاخص یکنواخت هستند. این جواب x 3 = 1 است.

4) x - 3؟ 0 و x؟ ± 1. x \u003d x 2، x \u003d 0 یا x \u003d 1. برای x \u003d 0، (-3) 0 \u003d (-3) 0، این راه حل x 4 \u003d 0 است. برای x \u003d u003d 1، (-2) 1 = (-2) 1 - این راه حل درست است x 5 = 1.

پاسخ: 0، 1، 2، 3، 4.

مثال شماره 2.

با تعریف جذر حسابی: x - 1 ? 0،x؟ یکی

1) x - 1 = 0 یا x = 1، = 0، 0 0 راه حل نیست.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 در ODZ مناسب نیست.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - هیچ ریشه ای وجود ندارد.

در این درس، حل معادلات نمایی پیچیده تر را در نظر خواهیم گرفت، مفاد نظری اصلی در مورد تابع نمایی را یادآوری می کنیم.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، تکنیکی برای حل ساده ترین معادلات نمایی

تعریف و ویژگی های اصلی یک تابع نمایی را به یاد بیاورید. حل تمام معادلات و نابرابری های نمایی بر اساس خواص است.

تابع نماییتابعی از فرم است که در آن پایه درجه است و در اینجا x یک متغیر مستقل، یک آرگومان است. y - متغیر وابسته، تابع.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار یک توان افزایش و کاهش را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب در پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، افزایش می یابد، به عنوان کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

هنگامی که آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از صفر، شامل، به اضافه بی نهایت افزایش می یابد. برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بینهایت به صفر کاهش می یابد، شامل.

2. حل معادلات نمایی معمولی

نحوه حل ساده ترین معادلات نمایی را به یاد بیاورید. حل آنها بر اساس یکنواختی تابع نمایی است. تقریباً تمام معادلات نمایی پیچیده به چنین معادلاتی کاهش می یابد.

برابری توان‌های با پایه‌های مساوی به دلیل خاصیت تابع نمایی، یعنی یکنواختی آن است.

روش حل:

پایه درجات را برابر کنید.

نماها را برابر کنید.

بیایید به معادلات نمایی پیچیده تر برویم، هدف ما کاهش هر یک از آنها به ساده ترین آنها است.

بیایید از ریشه سمت چپ خلاص شویم و درجه ها را به همان پایه کاهش دهیم:

به منظور کاهش یک معادله نمایی پیچیده به یک معادله ساده، اغلب از تغییر متغیرها استفاده می شود.

بیایید از ویژگی درجه استفاده کنیم:

ما جایگزین معرفی می کنیم. بگذار پس

معادله حاصل را در دو ضرب می کنیم و تمام عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

ریشه اول بازه مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم. ما گرفتیم:

بیایید درجات را به همان شاخص برسانیم:

ما یک جایگزین را معرفی می کنیم:

بگذار پس . با این جایگزینی، بدیهی است که y مقادیر کاملاً مثبت می گیرد. ما گرفتیم:

ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم مشابه را حل کنیم، پاسخ را می نویسیم:

برای اطمینان از درستی یافتن ریشه ها، می توانید طبق قضیه ویتا بررسی کنید، یعنی مجموع ریشه ها و حاصل ضرب آنها را بیابید و با ضرایب مربوطه معادله بررسی کنید.

ما گرفتیم:

3. تکنیک حل معادلات نمایی همگن درجه دو

اجازه دهید نوع مهم معادلات نمایی زیر را مطالعه کنیم:

معادلات این نوع با توجه به توابع f و g همگن درجه دوم نامیده می شوند. در سمت چپ آن یک مثلث مربع نسبت به f با پارامتر g یا یک مثلث مربع نسبت به g با پارامتر f وجود دارد.

روش حل:

این معادله را می توان به عنوان یک معادله درجه دوم حل کرد، اما انجام آن برعکس آسان تر است. دو مورد باید در نظر گرفته شود:

در حالت اول می گیریم

در حالت دوم، ما حق داریم بر بالاترین درجه تقسیم کنیم و به دست می آوریم:

شما باید یک تغییر از متغیرها را معرفی کنید، ما یک معادله درجه دوم برای y دریافت می کنیم:

توجه داشته باشید که توابع f و g می توانند دلخواه باشند، اما ما علاقه مندیم که اینها توابع نمایی باشند.

4. نمونه هایی از حل معادلات همگن

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل کنیم:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می آورند، ما این حق را داریم که بلافاصله معادله را بر تقسیم کنیم، بدون در نظر گرفتن موارد زیر:

ما گرفتیم:

ما یک جایگزین را معرفی می کنیم: (با توجه به ویژگی های تابع نمایی)

یک معادله درجه دوم بدست آوردیم:

ما ریشه ها را طبق قضیه Vieta تعیین می کنیم:

ریشه اول بازه مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم، دریافت می کنیم:

بیایید از خواص درجه استفاده کنیم و همه درجات را به مبانی ساده کاهش دهیم:

به راحتی می توان به توابع f و g توجه کرد:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می‌آورند، ما حق داریم معادله را بدون در نظر گرفتن حالتی که به آن تقسیم کنیم.

سطح اول

معادلات نمایی راهنمای جامع (2019)

هی! امروز با شما بحث خواهیم کرد که چگونه معادلاتی را حل کنیم که هم می توانند ابتدایی باشند (و امیدوارم بعد از خواندن این مقاله تقریباً همه آنها برای شما چنین باشد) و هم معادلاتی که معمولاً به آنها "backfill" داده می شود. ظاهراً برای خواب کامل. اما من سعی می کنم تمام تلاشم را بکنم تا اکنون در مواجهه با این نوع معادلات دچار مشکل نشوید. من دیگر دور بوته نمی زنم، اما بلافاصله راز کوچکی را فاش می کنم: امروز مطالعه خواهیم کرد معادلات نمایی

قبل از شروع به تجزیه و تحلیل راه های حل آنها، من بلافاصله یک دایره از سؤالات (بسیار کوچک) را برای شما ترسیم می کنم که باید قبل از عجله برای طوفان این موضوع تکرار کنید. بنابراین، برای بهترین نتایج، لطفا تکرار:

خواص و
حل و معادلات

تکرار شد؟ شگفت انگيز! در این صورت تشخیص اینکه ریشه معادله یک عدد است برای شما سخت نخواهد بود. مطمئنی فهمیدی چطوری این کارو کردم؟ حقیقت؟ سپس ادامه می دهیم. حالا به این سوال پاسخ دهید که برابر با توان سوم چیست؟ کاملا حق با شما است: . هشت چه توانی از دو است؟ درست است - سومی! زیرا. خب حالا بیایید مشکل زیر را حل کنیم: بگذارید عدد را یک بار در خودش ضرب کنم و به نتیجه برسم. سوال این است که من چند بار در خودم ضرب کردم؟ البته می توانید این را مستقیماً بررسی کنید:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( تراز کردن)

سپس می توانید نتیجه بگیرید که من خود به خود ضرب کردم. چگونه می توان این را تأیید کرد؟ و اینگونه است: مستقیماً با تعریف مدرک: . اما، باید اعتراف کنید، اگر می‌پرسیدم چند برابر دو باید در خودش ضرب شود تا مثلاً به دست بیاورم، به من می‌گویی: تا زمانی که صورتم آبی نشود، خودم را گول نمی‌زنم و در خودم ضرب نمی‌کنم. و او کاملاً درست خواهد بود. زیرا چگونه می توانید تمام اقدامات را به طور خلاصه بنویسید(و ایجاز خواهر استعداد است)

کجا - این بسیار است "بار"وقتی در خودش ضرب می کنی

من فکر می کنم که می دانید (و اگر نمی دانید، فوری، خیلی فوری درجه ها را تکرار کنید!) که مشکل من به این شکل نوشته می شود:

چگونه می توان به طور منطقی نتیجه گرفت که:

بنابراین، بی سر و صدا، ساده ترین را یادداشت کردم معادله نمایی:

و حتی آن را پیدا کرد ریشه. آیا فکر نمی کنید که همه چیز کاملاً پیش پا افتاده است؟ من هم دقیقا همین فکر را می کنم. در اینجا یک مثال دیگر برای شما آورده شده است:

اما چه باید کرد؟ از این گذشته ، نمی توان آن را به عنوان درجه ای از یک عدد (معقول) نوشت. ناامید نشویم و توجه داشته باشیم که هر دوی این اعداد کاملاً بر حسب توان یک عدد بیان می شوند. چی؟ درست: . سپس معادله اصلی به شکل زیر تبدیل می شود:

از کجا، همانطور که قبلاً فهمیدید، . دیگه نکشیم و بنویسیم تعریف:

در مورد ما با شما: .

این معادلات با تقلیل آنها به شکل زیر حل می شوند:

با حل بعدی معادله

ما، در واقع، این کار را در مثال قبلی انجام دادیم: آن را گرفتیم. و ما ساده ترین معادله را با شما حل کردیم.

به نظر می رسد هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ بیایید ابتدا روی ساده ترین ها تمرین کنیم. مثال ها:

دوباره می بینیم که سمت راست و چپ معادله باید به عنوان توان یک عدد نشان داده شود. درست است، این قبلا در سمت چپ انجام شده است، اما در سمت راست یک عدد وجود دارد. اما، از این گذشته، اشکالی ندارد، و معادله من به طور معجزه آسایی به این تبدیل می شود:

من باید اینجا چیکار می کردم؟ چه قانونی؟ قانون قدرت به قدرتکه میخواند:

چه می شود اگر:

قبل از پاسخ به این سوال، جدول زیر را با شما پر می کنیم:

برای ما آسان است که متوجه شویم هر چه کوچکتر باشد، مقدار آن کوچکتر است، اما با این وجود، همه این مقادیر بزرگتر از صفر هستند. و همیشه همینطور خواهد بود!!! همین ویژگی برای هر پایه ای با هر شاخصی صادق است!! (برای هر و). آن وقت در مورد معادله چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ و اینجا یکی است: آن ریشه ندارد! درست مثل هر معادله ای که ریشه ندارد. حالا بیایید تمرین کنیم و بیایید چند مثال ساده را حل کنیم:

بیایید بررسی کنیم:

1. در اینجا چیزی از شما خواسته نمی شود، به جز دانستن خواص قوا (که اتفاقاً از شما خواستم تکرار کنید!) قاعدتاً همه چیز به کوچکترین پایه منتهی می شود: , . سپس معادله اصلی معادل زیر خواهد بود: تنها چیزی که نیاز دارم این است که از ویژگی های توان ها استفاده کنم: هنگام ضرب اعداد با پایه یکسان، توان ها جمع می شوند و در هنگام تقسیم، آنها کم می شوند.سپس دریافت خواهم کرد: خوب، اکنون با وجدان راحت از معادله نمایی به معادله خطی حرکت می کنم: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\پایان (تراز کردن)

2. در مثال دوم، شما باید بیشتر مراقب باشید: مشکل اینجاست که در سمت چپ، ما نمی‌توانیم همان عدد را به عنوان یک توان نشان دهیم. در این مورد گاهی اوقات مفید است اعداد را به عنوان حاصل ضرب توان ها با پایه های مختلف، اما توان های یکسان نشان می دهد:

سمت چپ معادله به شکل زیر خواهد بود: این چه چیزی به ما داد؟ و این چیزی است که: اعداد با پایه های مختلف اما توان یکسان را می توان ضرب کرد.در این مورد، پایه ها ضرب می شوند، اما توان تغییر نمی کند:

در مورد وضعیت من اعمال می شود، این نشان می دهد:

\شروع (تراز کردن)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400، \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400، \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4)، \\
& ((1600)^(x))=1600، \\
&x=1. \\
\پایان (تراز کردن)

بد نیست، درست است؟

3. من دوست ندارم در یک طرف معادله دو عبارت داشته باشم و در طرف دیگر هیچ جمله ای نداشته باشم (البته گاهی اوقات این موجه است، اما الان اینطور نیست). عبارت منهای را به سمت راست منتقل کنید:

اکنون، مانند قبل، همه چیز را از طریق قدرت های سه گانه خواهم نوشت:

قدرت های سمت چپ را اضافه می کنم و معادله ای معادل می گیریم

شما به راحتی می توانید ریشه آن را پیدا کنید:

4. همانطور که در مثال سه، اصطلاح با منهای - یک مکان در سمت راست!

در سمت چپ، تقریبا همه چیز با من خوب است، به جز چه چیزی؟ بله، "درجه اشتباه" دوس من را آزار می دهد. اما من به راحتی می توانم این را با نوشتن: . اورکا - در سمت چپ، همه پایه ها متفاوت هستند، اما همه درجات یکسان هستند! ما به سرعت ضرب می شویم!

اینجا باز هم همه چیز مشخص است: (اگر متوجه نشدید که چگونه به طور جادویی به تساوی آخر رسیدم، یک دقیقه استراحت کنید، استراحت کنید و دوباره خصوصیات مدرک را با دقت بخوانید. کی گفته که می توانید از آن بگذرید. درجه با توان منفی؟ خب، اینجا من تقریباً مثل هیچ کس هستم). حالا می گیرم:

\شروع (تراز کردن)
& ((2)^(4\چپ((x) -9 \راست)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\پایان (تراز کردن)

در اینجا وظایفی برای تمرین برای شما وجود دارد که من فقط به آنها پاسخ می دهم (اما به شکل "مخلوط"). آنها را حل کنید، بررسی کنید، و ما به تحقیقات خود ادامه می دهیم!

آماده؟ پاسخ هامثل اینها:

هر عددی

باشه، باشه، شوخی کردم! در اینجا خطوط کلی راه حل ها آمده است (بعضی از آنها کاملاً مختصر هستند!)

آیا فکر نمی کنید تصادفی نیست که یک کسر در سمت چپ یک کسر دیگر "معکوس" است؟ استفاده نکردن از این یک گناه است:

این قانون اغلب هنگام حل معادلات نمایی استفاده می شود، آن را خوب به خاطر بسپارید!

سپس معادله اصلی می شود:

با حل این معادله درجه دوم، ریشه های زیر بدست می آید:

2. راه حل دیگر: تقسیم هر دو قسمت معادله بر عبارت سمت چپ (یا راست). من بر آنچه در سمت راست است تقسیم می کنم، سپس به دست خواهم آورد:

کجا (چرا؟!)

3. من حتی نمی خواهم خودم را تکرار کنم، همه چیز قبلاً آنقدر "جویده" شده است.

4. معادل یک معادله درجه دوم، ریشه ها

5. باید از فرمول داده شده در کار اول استفاده کنید، سپس به این نتیجه خواهید رسید:

معادله به یک هویت پیش پا افتاده تبدیل شده است که برای هر کسی صادق است. سپس پاسخ هر عدد واقعی است.

خوب، اینجا هستید و برای تصمیم گیری تمرین کرده اید ساده ترین معادلات نماییاکنون می‌خواهم چند نمونه از زندگی را به شما ارائه دهم که به شما کمک می‌کند بفهمید چرا اصولاً به آنها نیاز دارید. در اینجا دو مثال می زنم. یکی از آنها کاملاً روزمره است، اما دیگری بیشتر جنبه علمی دارد تا عملی.

مثال 1 (تجاری)اجازه دهید روبل داشته باشید، اما می خواهید آن را به روبل تبدیل کنید. این بانک به شما پیشنهاد می دهد که این پول را با نرخ سود سالانه با سرمایه ماهانه سود (اقلام تعهدی ماهانه) از شما دریافت کنید. سوال اینجاست که برای جمع آوری مبلغ نهایی مورد نظر برای چند ماه باید سپرده افتتاح کرد؟ یک کار کاملا پیش پا افتاده، اینطور نیست؟ با این وجود، راه حل آن با ساخت معادله نمایی مربوطه مرتبط است: اجازه دهید - مقدار اولیه، - مقدار نهایی، - نرخ بهره برای دوره، - تعداد دوره ها. سپس:

در مورد ما (اگر نرخ سالانه باشد، در هر ماه محاسبه می شود). چرا تقسیم می شود؟ اگر پاسخ این سوال را نمی دانید، موضوع "" را به خاطر بسپارید! سپس معادله زیر را بدست می آوریم:

این معادله نمایی در حال حاضر فقط با یک ماشین حساب قابل حل است ظاهربه این نکته اشاره می کند و این نیاز به دانش لگاریتم دارد که کمی بعد با آن آشنا می شویم که این کار را انجام خواهم داد: ... بنابراین برای دریافت یک میلیون باید یک ماه سپرده گذاری کنیم (نه خیلی سریع، درسته؟).

مثال 2 (بیشتر علمی).با وجود "انزوای" او، توصیه می کنم به او توجه کنید: او مرتب "در امتحان می لغزد!! (وظیفه از نسخه واقعی گرفته شده است) در طول تجزیه ایزوتوپ رادیواکتیو، جرم آن طبق قانون کاهش می یابد، جایی که (mg) جرم اولیه ایزوتوپ است، (min.) زمان سپری شده از ایزوتوپ است. لحظه اولیه، (دقیقه) نیمه عمر است. در لحظه اولیه زمان، جرم ایزوتوپ میلی گرم است. نیمه عمر آن حداقل است. جرم ایزوتوپ در چند دقیقه برابر با میلی گرم خواهد بود؟ اشکالی ندارد: ما فقط تمام داده ها را در فرمول پیشنهادی گرفته و جایگزین می کنیم:

بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم، به این امید که در سمت چپ چیزی قابل هضم بدست آوریم:

خب ما خیلی خوش شانسیم! در سمت چپ قرار می گیرد، سپس به معادله معادل می رویم:

جایی که دقیقه

همانطور که می بینید، معادلات نمایی در عمل کاربرد بسیار واقعی دارند. حالا می‌خواهم راه دیگری (ساده) برای حل معادلات نمایی را با شما در میان بگذارم که بر اساس خارج کردن عامل مشترک از پرانتز و سپس گروه‌بندی عبارت‌ها است. از حرف های من نترسید، شما قبلا در کلاس هفتم زمانی که چند جمله ای ها را مطالعه می کردید با این روش مواجه شدید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به فاکتورسازی عبارت داشتید:

بیایید گروه بندی کنیم: ترم اول و سوم و همچنین دوم و چهارم. واضح است که اول و سوم تفاوت مربع ها هستند:

و دوم و چهارم ضریب مشترک سه دارند:

سپس عبارت اصلی معادل این است:

کجا می توان عامل مشترک را خارج کرد دیگر دشوار نیست:

از این رو،

در حل معادلات نمایی تقریباً اینگونه عمل خواهیم کرد: به دنبال "مشترک" در بین عبارت ها باشید و آن را از پرانتز خارج کنید و سپس - هر چه ممکن است، من معتقدم که ما خوش شانس خواهیم بود =)) به عنوان مثال:

در سمت راست با قدرت هفت فاصله زیادی دارد (من بررسی کردم!) و در سمت چپ - کمی بهتر است، البته می توانید عامل a را از اولین ترم و از ترم دوم "قطع کنید" و سپس با آن مقابله کنید. نتیجه، اما بیایید با احتیاط بیشتری با شما رفتار کنیم. من نمی خواهم با کسری هایی که ناگزیر با "انتخاب" تولید می شوند، کار کنم، پس بهتر نیست تحمل کنم؟ پس من کسری نخواهم داشت: همانطور که می گویند، هم گرگ ها سیر هستند و هم گوسفندان در امان هستند:

عبارت داخل پرانتز را بشمارید. به طور جادویی، جادویی، معلوم می شود که (با کمال تعجب، اگرچه چه چیز دیگری می توانیم انتظار داشته باشیم؟).

سپس دو طرف معادله را با این ضریب کاهش می دهیم. می گیریم: کجا.

در اینجا یک مثال پیچیده تر است (واقعاً کمی):

مشکل اینجاست! ما اینجا هیچ نقطه مشترکی نداریم! اکنون کاملاً مشخص نیست که چه باید کرد. و بیایید آنچه را که می توانیم انجام دهیم: اولاً "چهار" را در یک جهت و "پنج" را در جهت دیگر حرکت می دهیم:

حالا بیایید "مشترک" را در سمت چپ و راست برداریم:

حالا که چی؟ فایده چنین گروه بندی احمقانه ای چیست؟ در نگاه اول به هیچ وجه قابل مشاهده نیست، اما بیایید عمیق تر نگاه کنیم:

خوب، حالا بیایید آن را طوری بسازیم که در سمت چپ فقط عبارت c را داشته باشیم و در سمت راست - هر چیز دیگری. چگونه میتوانیم آنرا انجام دهیم؟ و به این صورت است: ابتدا هر دو طرف معادله را تقسیم بر (بنابراین از شار سمت راست خلاص می کنیم) و سپس هر دو طرف را تقسیم بر (بنابراین از شر عامل عددی سمت چپ خلاص می شویم). در نهایت می رسیم:

باور نکردنی! در سمت چپ ما یک عبارت داریم و در سمت راست - فقط. سپس بلافاصله نتیجه می گیریم که

در اینجا یک مثال دیگر برای تقویت وجود دارد:

من راه حل کوتاه او را ارائه می کنم (واقعاً زحمت توضیح دادن را ندارم)، سعی کنید تمام "ظرافت های" راه حل را خودتان کشف کنید.

در حال حاضر ادغام نهایی از مواد تحت پوشش. سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید. من فقط توصیه ها و نکات مختصری برای حل آنها ارائه می کنم:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:
ما اولین عبارت را به شکل زیر نشان می دهیم: هر دو قسمت را تقسیم کنید و آن را بدست آورید
، سپس معادله اصلی به شکل تبدیل می شود: خوب، حالا یک اشاره - به دنبال جایی باشید که من و شما قبلاً این معادله را حل کرده ایم!
تصور کنید چگونه، چگونه، آه، خوب، سپس هر دو قسمت را بر تقسیم کنید، بنابراین ساده ترین معادله نمایی را به دست می آورید.
آن را از پرانتز خارج کنید.
آن را از پرانتز خارج کنید.

معادلات نمایشی. سطح میانی

من فرض می کنم که پس از خواندن مقاله اول، که گفت معادلات نمایی چیست و چگونه آنها را حل کنیم، شما به حداقل دانش لازم برای حل ساده ترین مثال ها تسلط دارید.

اکنون روش دیگری را برای حل معادلات نمایی تحلیل خواهم کرد، این است

"روش معرفی یک متغیر جدید" (یا جایگزینی).او اکثر مسائل "سخت" را در مورد معادلات نمایی (و نه فقط معادلات) حل می کند. این روش یکی از رایج ترین روش هایی است که در عمل مورد استفاده قرار می گیرد. ابتدا توصیه می کنم با موضوع آشنا شوید.

همانطور که قبلاً از نام فهمیدید، ماهیت این روش این است که چنین تغییری از متغیر را معرفی کنید که معادله نمایی شما به طور معجزه آسایی به معادله ای تبدیل شود که می توانید به راحتی آن را حل کنید. تنها چیزی که پس از حل این «معادله ساده شده» برای شما باقی می‌ماند این است که یک «جایگزینی معکوس» انجام دهید: یعنی بازگشت از جایگزین به جایگزین شده. بیایید آنچه را که گفتیم با یک مثال بسیار ساده توضیح دهیم:

مثال 1:

این معادله با یک "جایگزینی ساده" حل می شود، همانطور که ریاضیدانان آن را تحقیر آمیز می نامند. در واقع، جایگزینی در اینجا واضح ترین است. فقط باید آن را دید

سپس معادله اصلی می شود:

اگر علاوه بر این تصور کنیم که چگونه، آنگاه کاملاً واضح است که چه چیزی باید جایگزین شود: البته، . سپس چه چیزی معادله اصلی می شود؟ و این چیزی است که:

شما به راحتی می توانید ریشه های آن را به تنهایی پیدا کنید:. حالا باید چه کار کنیم؟ زمان بازگشت به متغیر اصلی فرا رسیده است. چه چیزی را فراموش کردم اضافه کنم؟ یعنی: هنگام جایگزینی یک درجه خاص با یک متغیر جدید (یعنی هنگام جایگزینی یک نوع)، من علاقه مند خواهم شد فقط ریشه های مثبت!شما خودتان به راحتی می توانید پاسخ دهید چرا. بنابراین، ما به شما علاقه ای نداریم، اما ریشه دوم برای ما کاملا مناسب است:

بعد کجا.

پاسخ:

همانطور که می بینید، در مثال قبلی، جایگزین دست ما را می خواست. بدبختانه، موضوع همیشه اینطور نیست. با این حال، اجازه دهید مستقیماً به سراغ غم انگیز نرویم، بلکه یک مثال دیگر را با جایگزینی نسبتاً ساده تمرین کنید

مثال 2

واضح است که به احتمال زیاد نیاز به جایگزینی خواهد بود (این کوچکترین توانی است که در معادله ما گنجانده شده است)، با این حال، قبل از معرفی یک جایگزین، معادله ما باید برای آن "آماده شود"، یعنی: , . سپس می توانید جایگزین کنید، در نتیجه من عبارت زیر را دریافت می کنم:

اوه وحشت: یک معادله مکعبی با فرمول های کاملاً وحشتناک برای حل آن (خوب، به طور کلی). اما بیایید بلافاصله ناامید نشویم، بلکه به این فکر کنیم که چه باید بکنیم. من تقلب را پیشنهاد می کنم: ما می دانیم که برای دریافت یک پاسخ "زیبا"، باید به شکل قدرت سه بگیریم (چرا چنین می شود، نه؟). و بیایید سعی کنیم حداقل یک ریشه معادله خود را حدس بزنیم (از توان های سه شروع به حدس زدن می کنم).

اول حدس بزن ریشه نیست افسوس و آه...

.
سمت چپ برابر است.
قسمت راست: !
وجود دارد! ریشه اول را حدس زد. حالا همه چیز راحت تر خواهد شد!

آیا از طرح تقسیم "گوشه" اطلاعی دارید؟ البته می دانید که وقتی یک عدد را بر عدد دیگری تقسیم می کنید از آن استفاده می کنید. اما تعداد کمی از مردم می دانند که همین کار را می توان با چند جمله ای انجام داد. یک قضیه شگفت انگیز وجود دارد:

قابل استفاده در موقعیت من، به من می گوید که چه چیزی بدون باقیمانده بر قابل تقسیم است. تقسیم بندی چگونه انجام می شود؟ که چگونه:

من نگاه می‌کنم که کدام یک از جمله‌ها را باید ضرب کنم تا Clear به دست آید، سپس:

من عبارت به دست آمده را از آن کم می کنم، دریافت می کنم:

حالا برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنم؟ واضح است که در، سپس من دریافت خواهم کرد:

و دوباره عبارت به دست آمده را از عبارت باقی مانده کم کنید:

خب، در مرحله آخر ضرب می کنم و از عبارت باقی مانده کم می کنم:

هورا، تقسیم به پایان رسید! چه چیزهایی را در خلوت جمع کرده ایم؟ به خودی خود: .

سپس بسط زیر را از چند جمله ای اصلی دریافت کردیم:

بیایید معادله دوم را حل کنیم:

این ریشه دارد:

سپس معادله اصلی:

سه ریشه دارد:

ما، البته، ریشه آخر را دور می اندازیم، زیرا کمتر از صفر است. و دو مورد اول پس از جایگزینی معکوس به ما دو ریشه می دهد:

پاسخ: ..

با این مثال، من اصلاً نمی خواستم شما را بترسانم، بلکه قصد داشتم نشان دهم که اگرچه ما یک جایگزین نسبتاً ساده داشتیم، با این وجود، به معادله نسبتاً پیچیده ای منجر شد که حل آن نیاز به مهارت های خاصی از ما داشت. . خوب، هیچ کس از این مصون نیست. اما تغییر در این مورد کاملاً آشکار بود.

در اینجا یک مثال با یک جایگزینی کمتر واضح آورده شده است:

اصلاً مشخص نیست که باید چه کار کنیم: مشکل این است که در معادله ما دو پایه متفاوت وجود دارد و یک پایه را نمی توان با بالا بردن آن به هیچ قدرتی (معقول، طبیعی) از دیگری به دست آورد. با این حال، چه چیزی می بینیم؟ هر دو پایه فقط در علامت با هم تفاوت دارند و حاصل ضرب آنها اختلاف مربعات برابر با یک است:

تعریف:

بنابراین، اعدادی که در مثال ما پایه هستند مزدوج هستند.

در آن صورت، حرکت هوشمندانه خواهد بود دو طرف معادله را در عدد مزدوج ضرب کنید.

به عنوان مثال، در، سپس سمت چپ معادله برابر خواهد شد و سمت راست. اگر جایگزینی ایجاد کنیم، معادله اصلی ما با شما به این صورت می شود:

پس ریشه های آن، اما با یادآوری آن، متوجه می شویم.

پاسخ: ، .

به عنوان یک قاعده، روش جایگزینی برای حل بیشتر معادلات نمایی "مدرسه" کافی است. وظایف زیر از USE C1 (افزایش سطح دشواری) گرفته شده است. شما در حال حاضر به اندازه کافی سواد دارید که می توانید این مثال ها را به تنهایی حل کنید. من فقط جایگزین مورد نیاز را می دهم.

معادله را حل کنید:
ریشه های معادله را پیدا کنید:
معادله را حل کنید: . تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید:

حالا برای چند توضیح و پاسخ سریع:

در اینجا به ذکر این نکته بسنده می شود که و. سپس معادله اصلی معادل این می‌شود: این معادله با جایگزینی حل می‌شود. خودتان محاسبات زیر را انجام دهید. در پایان، وظیفه شما به حل ساده ترین مثلثات (بسته به سینوس یا کسینوس) کاهش می یابد. حل چنین مثال هایی را در بخش های دیگر مورد بحث قرار خواهیم داد.
در اینجا حتی می توانید بدون جایگزینی انجام دهید: کافی است سابترهند را به سمت راست منتقل کنید و هر دو پایه را از طریق توان دو نشان دهید: و سپس بلافاصله به معادله درجه دوم بروید.
معادله سوم نیز به روشی نسبتاً استاندارد حل می شود: تصور کنید چگونه. سپس، با جایگزین کردن، یک معادله درجه دوم بدست می آوریم: سپس،
آیا از قبل می دانید لگاریتم چیست؟ نه؟ بعد فوری تاپیک رو بخون!

ریشه اول مشخصاً متعلق به بخش نیست و دومی نامفهوم است! اما ما به زودی متوجه خواهیم شد! از آنجا که، پس (این یک ویژگی لگاریتم است!) بیایید مقایسه کنیم:

از هر دو قسمت تفریق می کنیم، سپس می گیریم:

سمت چپ را می توان به صورت زیر نشان داد:

هر دو طرف را در:

را می توان در آن ضرب کرد

سپس بیایید مقایسه کنیم:

از آن به بعد:

سپس ریشه دوم به بازه مورد نظر تعلق دارد

پاسخ:

همانطور که مشاهده می کنید، انتخاب ریشه معادلات نمایی نیازمند دانش نسبتاً عمیقی از خواص لگاریتم است.بنابراین به شما توصیه می کنم در حل معادلات نمایی تا حد امکان مراقب باشید. همانطور که می دانید، در ریاضیات همه چیز به هم مرتبط است! همانطور که معلم ریاضی من می گفت: "شما نمی توانید ریاضی را مانند تاریخ یک شبه بخوانید."

به عنوان یک قاعده، همه مشکل در حل مسائل C1 دقیقاً انتخاب ریشه های معادله است.بیایید با مثال دیگری تمرین کنیم:

واضح است که خود معادله کاملاً ساده حل می شود. پس از انجام جایگزینی، معادله اصلی خود را به صورت زیر کاهش می دهیم:

بیایید ابتدا به ریشه اول نگاه کنیم. مقایسه کنید و: از آن پس. (خاصیت تابع لگاریتمی، در). بعد معلوم می شود که ریشه اول هم متعلق به فاصله ما نیست. حالا ریشه دوم: . واضح است که (از آنجایی که تابع در حال افزایش است). باقی مانده است که مقایسه کنیم و

از آن زمان، در همان زمان. بنابراین، من می‌توانم بین و و "یک میخ برانم". این میخ یک عدد است. عبارت اول کمتر از و دومی بزرگتر از. سپس عبارت دوم بزرگتر از اولی است و ریشه متعلق به فاصله است.

پاسخ: .

در پایان، اجازه دهید به مثال دیگری از معادله نگاه کنیم که در آن جایگزینی نسبتاً غیر استاندارد است:

بیایید فوراً با آنچه که می توانید انجام دهید و آنچه را که می توانید انجام دهید شروع کنیم - در اصل، شما می توانید، اما بهتر است آن را انجام ندهید. این ممکن است - نشان دادن همه چیز از طریق قدرت های سه، دو و شش. به کجا منتهی می شود؟ بله، و به هیچ چیز منجر نخواهد شد: درجاتی که خلاص شدن از برخی از آنها بسیار دشوار است. پس چه چیزی لازم است؟ بیایید توجه داشته باشیم که a و چه چیزی به ما می دهد؟ و اینکه می توانیم جواب این مثال را به حل یک معادله نمایی نسبتاً ساده تقلیل دهیم! ابتدا معادله خود را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اکنون هر دو طرف معادله حاصل را به دو قسمت تقسیم می کنیم:

اورکا! اکنون می توانیم جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

خوب حالا نوبت شماست که برای تظاهرات مشکلات را حل کنید و من برای اینکه به بیراهه نروید فقط نظرات مختصری به آنها می دهم! موفق باشید!

1. سخت ترین! دیدن یک جایگزین در اینجا آه، چقدر زشت است! با این وجود، این مثال را می توان با استفاده از آن به طور کامل حل کرد انتخاب یک مربع کامل. برای حل آن توجه به این نکته کافی است:

بنابراین جایگزین شما اینجاست:

(توجه داشته باشید که در اینجا با جایگزینی ما نمیتوانیم ریشه منفی را کنار بگذاریم!!! و چرا، نظر شما چیست؟)

حال برای حل مثال باید دو معادله را حل کنید:

هر دوی آنها با "جایگزینی استاندارد" حل می شوند (اما مورد دوم در یک مثال!)

2. به آن توجه کنید و یک جایگزین انجام دهید.

3. عدد را به ضرایب همزمان بسط دهید و عبارت حاصل را ساده کنید.

4. صورت و مخرج کسری را بر (یا اگر ترجیح می دهید) تقسیم کنید و یا را جایگزین کنید.

5. توجه داشته باشید که اعداد و مزدوج هستند.

معادلات نمایشی. سطح پیشرفته

علاوه بر این، بیایید به راه دیگری نگاه کنیم - حل معادلات نمایی به روش لگاریتمی. نمی توانم بگویم که حل معادلات نمایی با این روش بسیار محبوب است، اما در برخی موارد تنها می تواند ما را به حل صحیح معادله مان برساند. به خصوص اغلب از آن برای حل به اصطلاح استفاده می شود معادلات مختلط': یعنی آنهایی که توابع مختلف در آنها وجود دارد.

به عنوان مثال، معادله ای مانند:

در حالت کلی، فقط با گرفتن لگاریتم هر دو بخش (مثلاً با پایه) می توان آن را حل کرد که در آن معادله اصلی به صورت زیر تبدیل می شود:

بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم:

واضح است که ما فقط به ODZ تابع لگاریتمی علاقه داریم. با این حال، این نه تنها از ODZ لگاریتم، بلکه به دلیل دیگری نیز ناشی می شود. فکر می کنم حدس زدن کدام یک برای شما سخت نخواهد بود.

بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله خود را به پایه برسانیم:

همانطور که می بینید، گرفتن لگاریتم معادله اصلی ما به سرعت ما را به پاسخ صحیح (و زیبا!) رساند. بیایید با مثال دیگری تمرین کنیم:

در اینجا نیز جای نگرانی نیست: لگاریتم هر دو طرف معادله را بر اساس مبنا می گیریم، سپس به دست می آوریم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

با این حال، ما چیزی را از دست دادیم! دقت کردی کجا اشتباه کردم؟ پس از همه، پس:

که الزامات را برآورده نمی کند (فکر کنید از کجا آمده است!)

پاسخ:

سعی کنید حل معادلات نمایی زیر را بنویسید:

حالا راه حل خود را با این بررسی کنید:

1. هر دو قسمت را با توجه به اینکه:

(روت دوم به دلیل جایگزینی مناسب ما نیست)

2. لگاریتم به پایه:

بیایید عبارت حاصل را به شکل زیر تبدیل کنیم:

معادلات نمایشی. شرح مختصر و فرمول اساسی

معادله نمایی

معادله نوع:

تماس گرفت ساده ترین معادله نمایی

خواص درجه

رویکردهای راه حل

کاهش به همان پایه
کاهش به همان توان
جایگزینی متغیر
عبارت را ساده کنید و یکی از موارد بالا را اعمال کنید.

سطح اول

معادلات نمایی راهنمای جامع (2019)

خواص و
حل و معادلات

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( تراز کردن)

کجا - این بسیار است "بار"وقتی در خودش ضرب می کنی

چگونه می توان به طور منطقی نتیجه گرفت که:

بنابراین، بی سر و صدا، ساده ترین را یادداشت کردم معادله نمایی:

از کجا، همانطور که قبلاً فهمیدید، . دیگه نکشیم و بنویسیم تعریف:

در مورد ما با شما: .

این معادلات با تقلیل آنها به شکل زیر حل می شوند:

با حل بعدی معادله

ما، در واقع، این کار را در مثال قبلی انجام دادیم: آن را گرفتیم. و ما ساده ترین معادله را با شما حل کردیم.

به نظر می رسد هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ بیایید ابتدا روی ساده ترین ها تمرین کنیم. مثال ها:

من باید اینجا چیکار می کردم؟ چه قانونی؟ قانون قدرت به قدرتکه میخواند:

چه می شود اگر:

قبل از پاسخ به این سوال، جدول زیر را با شما پر می کنیم:

بیایید بررسی کنیم:

در مورد وضعیت من اعمال می شود، این نشان می دهد:

بد نیست، درست است؟

اکنون، مانند قبل، همه چیز را از طریق قدرت های سه گانه خواهم نوشت:

قدرت های سمت چپ را اضافه می کنم و معادله ای معادل می گیریم

شما به راحتی می توانید ریشه آن را پیدا کنید:

4. همانطور که در مثال سه، اصطلاح با منهای - یک مکان در سمت راست!

\شروع (تراز کردن)
& ((2)^(4\چپ((x) -9 \راست)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\پایان (تراز کردن)

آماده؟ پاسخ هامثل اینها:

هر عددی

باشه، باشه، شوخی کردم! در اینجا خطوط کلی راه حل ها آمده است (بعضی از آنها کاملاً مختصر هستند!)

آیا فکر نمی کنید تصادفی نیست که یک کسر در سمت چپ یک کسر دیگر "معکوس" است؟ استفاده نکردن از این یک گناه است:

این قانون اغلب هنگام حل معادلات نمایی استفاده می شود، آن را خوب به خاطر بسپارید!

سپس معادله اصلی می شود:

با حل این معادله درجه دوم، ریشه های زیر بدست می آید:

کجا (چرا؟!)

3. من حتی نمی خواهم خودم را تکرار کنم، همه چیز قبلاً آنقدر "جویده" شده است.

4. معادل یک معادله درجه دوم، ریشه ها

5. باید از فرمول داده شده در کار اول استفاده کنید، سپس به این نتیجه خواهید رسید:

معادله به یک هویت پیش پا افتاده تبدیل شده است که برای هر کسی صادق است. سپس پاسخ هر عدد واقعی است.

این معادله نمایی را می توان از قبل فقط با ماشین حساب حل کرد (ظاهر آن به این اشاره دارد و این مستلزم دانش لگاریتم است که کمی بعد با آن آشنا خواهیم شد) که این کار را انجام خواهم داد: ... بنابراین، برای اینکه یک میلیون دریافت کنید، ما باید برای یک ماه کمک کنیم (خیلی سریع، درست است؟).

بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم، به این امید که در سمت چپ چیزی قابل هضم بدست آوریم:

خب ما خیلی خوش شانسیم! در سمت چپ قرار می گیرد، سپس به معادله معادل می رویم:

جایی که دقیقه

بیایید گروه بندی کنیم: ترم اول و سوم و همچنین دوم و چهارم. واضح است که اول و سوم تفاوت مربع ها هستند:

و دوم و چهارم ضریب مشترک سه دارند:

سپس عبارت اصلی معادل این است:

کجا می توان عامل مشترک را خارج کرد دیگر دشوار نیست:

از این رو،

سپس دو طرف معادله را با این ضریب کاهش می دهیم. می گیریم: کجا.

در اینجا یک مثال پیچیده تر است (واقعاً کمی):

حالا بیایید "مشترک" را در سمت چپ و راست برداریم:

باور نکردنی! در سمت چپ ما یک عبارت داریم و در سمت راست - فقط. سپس بلافاصله نتیجه می گیریم که

در اینجا یک مثال دیگر برای تقویت وجود دارد:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:
ما اولین عبارت را به شکل زیر نشان می دهیم: هر دو قسمت را تقسیم کنید و آن را بدست آورید
، سپس معادله اصلی به شکل تبدیل می شود: خوب، حالا یک اشاره - به دنبال جایی باشید که من و شما قبلاً این معادله را حل کرده ایم!
تصور کنید چگونه، چگونه، آه، خوب، سپس هر دو قسمت را بر تقسیم کنید، بنابراین ساده ترین معادله نمایی را به دست می آورید.
آن را از پرانتز خارج کنید.
آن را از پرانتز خارج کنید.

معادلات نمایشی. سطح میانی

اکنون روش دیگری را برای حل معادلات نمایی تحلیل خواهم کرد، این است

مثال 1:

سپس معادله اصلی می شود:

بعد کجا.

پاسخ:

مثال 2

اول حدس بزن ریشه نیست افسوس و آه...

.
سمت چپ برابر است.
قسمت راست: !
وجود دارد! ریشه اول را حدس زد. حالا همه چیز راحت تر خواهد شد!

من نگاه می‌کنم که کدام یک از جمله‌ها را باید ضرب کنم تا Clear به دست آید، سپس:

من عبارت به دست آمده را از آن کم می کنم، دریافت می کنم:

حالا برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنم؟ واضح است که در، سپس من دریافت خواهم کرد:

و دوباره عبارت به دست آمده را از عبارت باقی مانده کم کنید:

خب، در مرحله آخر ضرب می کنم و از عبارت باقی مانده کم می کنم:

هورا، تقسیم به پایان رسید! چه چیزهایی را در خلوت جمع کرده ایم؟ به خودی خود: .

سپس بسط زیر را از چند جمله ای اصلی دریافت کردیم:

بیایید معادله دوم را حل کنیم:

این ریشه دارد:

سپس معادله اصلی:

سه ریشه دارد:

پاسخ: ..

در اینجا یک مثال با یک جایگزینی کمتر واضح آورده شده است:

تعریف:

بنابراین، اعدادی که در مثال ما پایه هستند مزدوج هستند.

در آن صورت، حرکت هوشمندانه خواهد بود دو طرف معادله را در عدد مزدوج ضرب کنید.

پس ریشه های آن، اما با یادآوری آن، متوجه می شویم.

پاسخ: ، .

معادله را حل کنید:
ریشه های معادله را پیدا کنید:
معادله را حل کنید: . تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید:

حالا برای چند توضیح و پاسخ سریع:

در اینجا به ذکر این نکته بسنده می شود که و. سپس معادله اصلی معادل این می‌شود: این معادله با جایگزینی حل می‌شود. خودتان محاسبات زیر را انجام دهید. در پایان، وظیفه شما به حل ساده ترین مثلثات (بسته به سینوس یا کسینوس) کاهش می یابد. حل چنین مثال هایی را در بخش های دیگر مورد بحث قرار خواهیم داد.
در اینجا حتی می توانید بدون جایگزینی انجام دهید: کافی است سابترهند را به سمت راست منتقل کنید و هر دو پایه را از طریق توان دو نشان دهید: و سپس بلافاصله به معادله درجه دوم بروید.
معادله سوم نیز به روشی نسبتاً استاندارد حل می شود: تصور کنید چگونه. سپس، با جایگزین کردن، یک معادله درجه دوم بدست می آوریم: سپس،
آیا از قبل می دانید لگاریتم چیست؟ نه؟ بعد فوری تاپیک رو بخون!

ریشه اول مشخصاً متعلق به بخش نیست و دومی نامفهوم است! اما ما به زودی متوجه خواهیم شد! از آنجا که، پس (این یک ویژگی لگاریتم است!) بیایید مقایسه کنیم:

از هر دو قسمت تفریق می کنیم، سپس می گیریم:

سمت چپ را می توان به صورت زیر نشان داد:

هر دو طرف را در:

را می توان در آن ضرب کرد

سپس بیایید مقایسه کنیم:

از آن به بعد:

سپس ریشه دوم به بازه مورد نظر تعلق دارد

پاسخ:

به عنوان یک قاعده، همه مشکل در حل مسائل C1 دقیقاً انتخاب ریشه های معادله است.بیایید با مثال دیگری تمرین کنیم:

واضح است که خود معادله کاملاً ساده حل می شود. پس از انجام جایگزینی، معادله اصلی خود را به صورت زیر کاهش می دهیم:

پاسخ: .

در پایان، اجازه دهید به مثال دیگری از معادله نگاه کنیم که در آن جایگزینی نسبتاً غیر استاندارد است:

اکنون هر دو طرف معادله حاصل را به دو قسمت تقسیم می کنیم:

اورکا! اکنون می توانیم جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

بنابراین جایگزین شما اینجاست:

(توجه داشته باشید که در اینجا با جایگزینی ما نمیتوانیم ریشه منفی را کنار بگذاریم!!! و چرا، نظر شما چیست؟)

حال برای حل مثال باید دو معادله را حل کنید:

هر دوی آنها با "جایگزینی استاندارد" حل می شوند (اما مورد دوم در یک مثال!)

2. به آن توجه کنید و یک جایگزین انجام دهید.

3. عدد را به ضرایب همزمان بسط دهید و عبارت حاصل را ساده کنید.

4. صورت و مخرج کسری را بر (یا اگر ترجیح می دهید) تقسیم کنید و یا را جایگزین کنید.

5. توجه داشته باشید که اعداد و مزدوج هستند.

معادلات نمایشی. سطح پیشرفته

به عنوان مثال، معادله ای مانند:

بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم:

بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله خود را به پایه برسانیم:

در اینجا نیز جای نگرانی نیست: لگاریتم هر دو طرف معادله را بر اساس مبنا می گیریم، سپس به دست می آوریم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

با این حال، ما چیزی را از دست دادیم! دقت کردی کجا اشتباه کردم؟ پس از همه، پس:

که الزامات را برآورده نمی کند (فکر کنید از کجا آمده است!)

پاسخ:

سعی کنید حل معادلات نمایی زیر را بنویسید:

حالا راه حل خود را با این بررسی کنید:

1. هر دو قسمت را با توجه به اینکه:

(روت دوم به دلیل جایگزینی مناسب ما نیست)

2. لگاریتم به پایه:

بیایید عبارت حاصل را به شکل زیر تبدیل کنیم:

معادلات نمایشی. شرح مختصر و فرمول اساسی

معادله نمایی

معادله نوع:

تماس گرفت ساده ترین معادله نمایی

خواص درجه

رویکردهای راه حل

کاهش به همان پایه
کاهش به همان توان
جایگزینی متغیر
عبارت را ساده کنید و یکی از موارد بالا را اعمال کنید.

پورتال برای دانش آموز. خود آموزی

نحوه حل معادلات نمایی

تبدیل معادلات نمایی

برجسته کردن یک عبارت پایدار

با استفاده از ویژگی توان

نمونه هایی از حل معادلات توان نمایی.

مثال شماره 2.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، تکنیکی برای حل ساده ترین معادلات نمایی

2. حل معادلات نمایی معمولی

3. تکنیک حل معادلات نمایی همگن درجه دو

4. نمونه هایی از حل معادلات همگن

معادلات نمایی راهنمای جامع (2019)

معادلات نمایشی. سطح میانی

معادلات نمایشی. سطح پیشرفته

معادلات نمایشی. شرح مختصر و فرمول اساسی

معادلات نمایی راهنمای جامع (2019)

معادلات نمایشی. سطح میانی

معادلات نمایشی. سطح پیشرفته

معادلات نمایشی. شرح مختصر و فرمول اساسی

مقالات مرتبط