هر اندازه گیری همیشه با برخی خطاهای مرتبط با دقت محدود ابزار اندازه گیری، انتخاب اشتباه و خطای روش اندازه گیری، فیزیولوژی آزمایشگر، ویژگی های اجسام اندازه گیری شده، تغییرات در شرایط اندازه گیری و غیره انجام می شود. بنابراین، وظیفه اندازه گیری شامل یافتن نه تنها خود کمیت، بلکه همچنین یافتن خطای اندازه گیری است، یعنی. فاصله زمانی که در آن مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده به احتمال زیاد یافت می شود. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری بازه زمانی t با کرونومتر با مقدار تقسیم 0.2 ثانیه، می توان گفت که مقدار واقعی آن در بازه s تا
با. بنابراین، مقدار اندازه گیری شده همیشه حاوی مقداری خطا است
، جایی که و X به ترتیب مقادیر واقعی و اندازه گیری شده کمیت مورد مطالعه هستند. مقدار
تماس گرفت خطای مطلق(خطا) اندازه گیری ها و بیان
مشخص کردن دقت اندازه گیری نامیده می شود خطای مربوطه.

این کاملا طبیعی است که آزمایشگر تلاش کند تا هر اندازه گیری را با بیشترین دقت قابل دستیابی انجام دهد، اما چنین رویکردی همیشه مصلحت نیست. هر چه بخواهیم این یا آن کمیت را دقیق‌تر اندازه‌گیری کنیم، ابزارهای پیچیده‌تری که باید استفاده کنیم، به زمان بیشتری نیاز دارند. بنابراین، دقت نتیجه نهایی باید با هدف آزمایش مطابقت داشته باشد. تئوری خطاها توصیه هایی در مورد چگونگی اندازه گیری ها و نحوه پردازش نتایج می دهد تا حاشیه خطا تا حد امکان کم باشد.

تمام خطاهای ناشی از اندازه گیری ها معمولاً به سه نوع تقسیم می شوند - خطاهای سیستماتیک، تصادفی و اشتباه، یا خطاهای فاحش.

خطاهای سیستماتیکبا توجه به دقت محدود ساخت دستگاه ها (خطاهای دستگاه)، کاستی های روش اندازه گیری انتخابی، عدم دقت فرمول محاسبه، نصب نامناسب دستگاه و ... بنابراین، خطاهای سیستماتیک توسط عواملی ایجاد می‌شوند که وقتی اندازه‌گیری‌های یکسان بارها تکرار می‌شوند، به همان شیوه عمل می‌کنند. مقدار این خطا طبق قانون خاصی به طور سیستماتیک تکرار یا تغییر می کند. برخی از خطاهای سیستماتیک را می توان با تغییر روش اندازه گیری، انجام اصلاحات در قرائت ابزار و در نظر گرفتن تأثیر مداوم عوامل خارجی حذف کرد (در عمل، این همیشه به راحتی قابل دستیابی است).

اگرچه خطای سیستماتیک (ابزاری) در طول اندازه گیری های مکرر باعث انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی در یک جهت می شود، ما هرگز نمی دانیم در کدام جهت. بنابراین خطای ابزاری با علامت دوگانه نوشته می شود

خطاهای تصادفیناشی از تعداد زیادی علل تصادفی (تغییرات دما، فشار، لرزش ساختمان و غیره) است که تأثیر آنها در هر اندازه گیری متفاوت است و نمی توان از قبل آنها را در نظر گرفت. خطاهای تصادفی نیز به دلیل ناقص بودن اندام های حسی آزمایشگر رخ می دهد. خطاهای تصادفی همچنین شامل خطاهای ناشی از ویژگی های جسم اندازه گیری شده است.

حذف خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی غیرممکن است، اما می توان با انجام اندازه گیری های متعدد تأثیر این خطاها را بر نتیجه نهایی کاهش داد. اگر خطای تصادفی به طور قابل توجهی کمتر از خطای ابزاری (سیستماتیک) باشد، دیگر هیچ فایده ای برای کاهش بیشتر خطای تصادفی با افزایش تعداد اندازه گیری ها وجود ندارد. اگر خطای تصادفی بزرگ‌تر از خطای ابزاری باشد، باید تعداد اندازه‌گیری‌ها را افزایش داد تا مقدار خطای تصادفی کاهش یابد و آن را کمتر یا یک مرتبه بزرگی با خطای ابزاری کنیم.

اشتباهات یا اشتباهات- اینها قرائت نادرست روی دستگاه، ضبط نادرست خواندن و غیره هستند. به عنوان یک قاعده، اشتباهات ناشی از دلایل ذکر شده به وضوح قابل مشاهده است، زیرا قرائت های مربوط به آنها به شدت با سایر قرائت ها متفاوت است. اشتباهات باید با اندازه گیری های کنترلی حذف شوند. بنابراین، عرض فاصله ای که مقادیر واقعی مقادیر اندازه گیری شده در آن قرار دارند، تنها با خطاهای تصادفی و سیستماتیک تعیین می شود.

2 . برآورد خطای سیستماتیک (ابزاری).

برای اندازه گیری مستقیممقدار کمیت اندازه گیری شده مستقیماً در مقیاس ابزار اندازه گیری خوانده می شود. خطای خواندن می تواند به چند دهم تقسیم مقیاس برسد. معمولاً در چنین اندازه‌گیری‌هایی، بزرگی خطای سیستماتیک برابر با نصف تقسیم مقیاس ابزار اندازه‌گیری در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری با کولیس با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، مقدار خطای اندازه گیری دستگاهی برابر با 0.025 میلی متر در نظر گرفته می شود.

ابزارهای اندازه گیری دیجیتال مقدار کمیت هایی را که اندازه گیری می کنند با خطای برابر با مقدار یک واحد آخرین رقم در مقیاس دستگاه نشان می دهند. بنابراین، اگر یک ولت متر دیجیتال مقدار 20.45 میلی ولت را نشان دهد، خطای مطلق در اندازه گیری است.
mV

خطاهای سیستماتیک همچنین هنگام استفاده از مقادیر ثابت تعیین شده از جداول رخ می دهد. در چنین مواردی، خطا معادل نصف آخرین رقم مهم در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، اگر در جدول مقدار چگالی فولاد با مقداری برابر با 7.9∙10 3 kg / m 3 داده شود، خطای مطلق در این مورد برابر است با
کیلوگرم بر متر 3.

برخی از ویژگی های محاسبه خطاهای ابزاری ابزارهای اندازه گیری الکتریکی در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام تعیین خطای سیستماتیک (ابزاری) اندازه گیری های غیر مستقیمارزش عملکردی
فرمول استفاده می شود

, (1)

جایی که - خطاهای ابزار اندازه گیری مستقیم کمیت , - مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیر.

به عنوان مثال، فرمولی برای محاسبه خطای سیستماتیک هنگام اندازه گیری حجم یک استوانه به دست می آوریم. فرمول محاسبه حجم سیلندر به این صورت است

.

مشتقات جزئی با توجه به متغیرها د و ساعتبرابر خواهد بود

,
.

بنابراین فرمول تعیین خطای سیستماتیک مطلق در اندازه گیری حجم سیلندر مطابق با (2. ..) به شکل زیر است.

,

جایی که
و
خطاهای ابزاری در اندازه گیری قطر و ارتفاع سیلندر

3. برآورد خطای تصادفی.

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان

برای اکثریت قریب به اتفاق اندازه گیری های ساده، به اصطلاح قانون عادی خطاهای تصادفی به خوبی برآورده می شود. قانون گاوس)، برگرفته از مفاد تجربی زیر است.

خطاهای اندازه گیری می توانند یک سری مقادیر پیوسته داشته باشند.

با تعداد زیادی اندازه گیری، خطاهایی با همان اندازه، اما با علامت متفاوت، به همان اندازه رخ می دهد،

هر چه خطای تصادفی بزرگتر باشد، احتمال وقوع آن کمتر است.

نمودار توزیع گاوسی نرمال در شکل 1 نشان داده شده است. معادله منحنی شکل دارد

, (2)

جایی که
- تابع توزیع خطاهای تصادفی (خطاها) که احتمال خطا را مشخص می کند
، σ ریشه میانگین مربعات خطا است.

مقدار σ یک متغیر تصادفی نیست و فرآیند اندازه گیری را مشخص می کند. اگر شرایط اندازه گیری تغییر نکند، σ ثابت می ماند. مربع این کمیت نامیده می شود پراکندگی اندازه گیری هاهرچه پراکندگی کوچکتر باشد، گسترش مقادیر فردی کمتر و دقت اندازه گیری بالاتر است.

مقدار دقیق خطای ریشه میانگین مربع σ، و همچنین مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده، ناشناخته است. یک تخمین به اصطلاح آماری از این پارامتر وجود دارد که بر اساس آن میانگین مربعات خطا برابر با میانگین مربعات خطای میانگین حسابی است. . که مقدار آن با فرمول تعیین می شود

, (3)

جایی که - نتیجه منبعد -ام؛ - میانگین حسابی مقادیر به دست آمده؛ n تعداد اندازه گیری است.

هر چه تعداد اندازه‌گیری‌ها بیشتر باشد، کوچک‌تر و بیشتر به σ نزدیک‌تر می‌شود. اگر مقدار واقعی مقدار اندازه‌گیری‌شده μ، مقدار میانگین حسابی آن که در نتیجه اندازه‌گیری‌ها به‌دست می‌آید، و خطای مطلق تصادفی، آنگاه نتیجه اندازه‌گیری به صورت نوشته می‌شود.
.

فاصله ارزش از
قبل از
، که در آن مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده μ می افتد، نامیده می شود فاصله اطمینان.از آنجایی که یک متغیر تصادفی است، مقدار واقعی در فاصله اطمینان با احتمال α قرار می‌گیرد که به آن می‌گویند. احتمال اطمینان،یا قابلیت اطمیناناندازه گیری ها این مقدار از نظر عددی برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی سایه دار. (به تصویر مراجعه کنید.)

همه اینها برای تعداد به اندازه کافی بزرگ از اندازه گیری ها، زمانی که نزدیک به σ باشد، صادق است. برای یافتن فاصله اطمینان و سطح اطمینان برای تعداد کمی از اندازه گیری ها که در طول کار آزمایشگاهی با آنها سروکار داریم، از استفاده می کنیم. توزیع احتمال دانش آموز.این توزیع احتمال متغیر تصادفی است تماس گرفت ضریب دانش آموزی، مقدار فاصله اطمینان را در کسری از ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی می دهد.

. (4)

توزیع احتمال این کمیت به σ 2 بستگی ندارد، بلکه اساساً به تعداد آزمایش ها بستگی دارد. n. با افزایش تعداد آزمایشات nتوزیع دانش آموز به توزیع گاوسی گرایش دارد.

تابع توزیع جدول بندی شده است (جدول 1). مقدار ضریب دانش آموز در تقاطع خط مربوط به تعداد اندازه گیری ها است nو ستون مربوط به سطح اطمینان α

میز 1.

با استفاده از داده های جدول، می توانید:

با توجه به احتمال مشخص، فاصله اطمینان را تعیین کنید.

یک فاصله اطمینان انتخاب کنید و سطح اطمینان را تعیین کنید.

برای اندازه گیری های غیر مستقیم، ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی تابع با فرمول محاسبه می شود.

. (5)

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان به همان روشی که در مورد اندازه گیری های مستقیم تعیین می شود.

تخمین کل خطای اندازه گیری ثبت نتیجه نهایی

خطای کل نتیجه اندازه گیری X به عنوان مقدار مربع میانگین خطاهای سیستماتیک و تصادفی تعریف می شود

, (6)

جایی که δx -خطای ابزاری، Δ ایکسیک خطای تصادفی است

X می تواند یک کمیت اندازه گیری مستقیم یا غیرمستقیم باشد.

, α=…, Е=… (7)

باید در نظر داشت که خود فرمول های تئوری خطاها برای تعداد زیادی اندازه گیری معتبر هستند. بنابراین، مقدار تصادفی، و در نتیجه، خطای کل برای یک کوچک تعیین می شود nبا یک اشتباه بزرگ هنگام محاسبه Δ ایکسبا تعداد اندازه گیری ها
توصیه می شود اگر بزرگتر از 3 باشد یک رقم قابل توجه و اگر اولین رقم معنی دار کمتر از 3 باشد، دو عدد را محدود کنید. برای مثال، اگر Δ ایکس= 0.042، سپس 2 را دور بیندازید و Δ بنویسید ایکس 0.04 =، و اگر Δ ایکس=0.123، سپس Δ را می نویسیم ایکس=0,12.

تعداد ارقام نتیجه و خطای کل باید یکسان باشد. بنابراین، میانگین حسابی خطا باید یکسان باشد. بنابراین، ابتدا میانگین حسابی یک رقم بیشتر از اندازه گیری محاسبه می شود و هنگام ثبت نتیجه، مقدار آن به تعداد ارقام خطای کل پالایش می شود.

4. روش برای محاسبه خطاهای اندازه گیری.

خطاهای اندازه گیری مستقیم

هنگام پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم، توصیه می شود ترتیب عملیات زیر را اتخاذ کنید.

. (8)

.

.

خطای کل مشخص می شود

خطای نسبی نتیجه اندازه گیری تخمین زده می شود

.

نتیجه نهایی به صورت نوشته شده است

، با α=… E=…%.

5. خطای اندازه گیری های غیر مستقیم

هنگام ارزیابی مقدار واقعی یک کمیت غیرمستقیم اندازه گیری شده، که تابعی از مقادیر مستقل دیگر است.
، از دو روش می توان استفاده کرد.

راه اولدر صورتی استفاده می شود که مقدار yتحت شرایط آزمایشی مختلف تعیین می شود. در این مورد، برای هر یک از مقادیر،
، و سپس میانگین حسابی همه مقادیر مشخص می شود y من

. (9)

خطای سیستماتیک (ابزاری) بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه گیری ها طبق فرمول پیدا می شود. خطای تصادفی در این مورد به عنوان خطای اندازه گیری مستقیم تعریف می شود.

راه دوماگر تابع باشد اعمال می شود y چندین بار با اندازه گیری های یکسان تعیین می شود. در این مورد، مقدار از مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود. در عمل آزمایشگاهی ما، روش دوم برای تعیین کمیت غیرمستقیم اندازه گیری شده بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد y. خطای سیستماتیک (دستگاهی) مانند روش اول، بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه‌گیری‌ها طبق فرمول پیدا می‌شود.

برای یافتن خطای تصادفی یک اندازه گیری غیرمستقیم، ابتدا ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی اندازه گیری های فردی محاسبه می شود. سپس ریشه میانگین مربعات خطا پیدا می شود y. تنظیم احتمال اطمینان α، یافتن ضریب دانشجو، تعیین خطاهای تصادفی و کل به همان روشی که در مورد اندازه‌گیری مستقیم انجام می‌شود. به همین ترتیب، نتیجه تمام محاسبات در فرم ارائه شده است

، با α=… E=…%.

6. نمونه ای از طراحی کار آزمایشگاهی

آزمایشگاه شماره 1

تعیین حجم سیلندر

تجهیزات جانبی:کولیس ورنیه با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، میکرومتر با مقدار تقسیم 0.01 میلی متر، بدنه استوانه ای شکل.

هدف، واقعگرایانه:آشنایی با ساده ترین اندازه گیری های فیزیکی، تعیین حجم سیلندر، محاسبه خطاهای اندازه گیری های مستقیم و غیر مستقیم.

سفارش کار

حداقل 5 قطر سیلندر را با کولیس و ارتفاع آن را با میکرومتر اندازه بگیرید.

فرمول محاسبه برای محاسبه حجم سیلندر

که در آن d قطر سیلندر است. h ارتفاع است.

نتایج اندازه گیری

جدول 2.

;

خطای مطلق

;
.

5. خطای نسبی یا دقت اندازه گیری

; E = 0.5٪.

6. ثبت نتیجه نهایی

نتیجه نهایی برای کمیت مورد مطالعه به صورت نوشته شده است

، E = 0.5٪.

توجه داشته باشید. در رکورد نهایی، تعداد ارقام نتیجه و خطای مطلق باید یکسان باشد.

6. نمایش گرافیکی نتایج اندازه گیری

نتایج اندازه گیری های فیزیکی اغلب به صورت گرافیکی ارائه می شود. نمودارها دارای تعدادی مزیت مهم و ویژگی های ارزشمند هستند:

الف) تعیین نوع وابستگی عملکردی و حدود اعتبار آن را ممکن می سازد.

ب) امکان مقایسه بصری داده های تجربی با منحنی نظری را فراهم می کند.

ج) هنگام ساختن یک نمودار، جهش هایی را در مسیر یک تابع که به دلیل خطاهای تصادفی رخ می دهد صاف می کنند.

د) تعیین مقادیر معین یا انجام تمایز گرافیکی، ادغام، حل یک معادله و غیره را ممکن می سازد.

رافیکی، به عنوان یک قاعده، بر روی کاغذ مخصوص (میلی متری، لگاریتمی، نیمه لگاریتمی) انجام می شود. رسم متغییر مستقل در امتداد محور افقی مرسوم است، یعنی. مقداری که مقدار آن توسط خود آزمایشگر تعیین می شود و در امتداد محور عمودی مقداری که در این مورد تعیین می کند. باید در نظر داشت که تقاطع محورهای مختصات نباید با مقادیر صفر x و y منطبق باشد. هنگام انتخاب مبدا مختصات، باید با این واقعیت هدایت شود که کل منطقه نقاشی به طور کامل استفاده شده است (شکل 2.).

در محورهای مختصات نمودار، نه تنها نام یا نماد کمیت ها، بلکه واحدهای اندازه گیری آنها نیز مشخص شده است. مقیاس در امتداد محورهای مختصات باید به گونه ای انتخاب شود که نقاط اندازه گیری شده در کل منطقه ورق قرار گیرند. در عین حال، مقیاس باید ساده باشد، به طوری که هنگام ترسیم نقاط روی نمودار، محاسبات حسابی در ذهن انجام نشود.

نقاط آزمایشی روی نمودار باید به طور دقیق و واضح نمایش داده شوند. نقاط به دست آمده در شرایط آزمایشی مختلف (به عنوان مثال، گرمایش و سرمایش) را می توان به طور مفید با رنگ های مختلف یا نمادهای مختلف ترسیم کرد. اگر خطای آزمایش مشخص باشد، بهتر است به جای نقطه، یک صلیب یا مستطیل را به تصویر بکشید که ابعاد آن در امتداد محورها با این خطا مطابقت دارد. اتصال نقاط آزمایشی به یکدیگر با خط شکسته توصیه نمی شود. منحنی روی نمودار باید به آرامی رسم شود و مطمئن شوید که نقاط آزمایشی هم در بالا و هم در زیر منحنی قرار دارند، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است.

هنگام ترسیم نمودارها، علاوه بر سیستم مختصات با مقیاس یکنواخت، از مقیاس های به اصطلاح عملکردی استفاده می شود. با انتخاب توابع x و y مناسب، می‌توانید خط ساده‌تری نسبت به ساختار معمولی روی نمودار بدست آورید. اغلب این هنگام انتخاب فرمولی برای یک نمودار معین برای تعیین پارامترهای آن ضروری است. از مقیاس های عملکردی نیز در مواردی استفاده می شود که لازم است هر قسمت از منحنی روی نمودار کشیده یا کوتاه شود. اغلب، از مقیاس های عملکردی، از مقیاس لگاریتمی استفاده می شود (شکل 4).

سند

از شرایط، الزامات و فرصت های خاص برآوردهاخطاهانتایجاندازه گیری ها. بر اساس اصول کلی نظریه اطلاعات ...

خطاهای اندازه گیری

سند

V.I. Iveronova. M., Nauka, 1967. 4. P. V. Novitsky, I. A. Zograf. مقطع تحصیلیخطاهانتایجاندازه گیری ها. L., Energoatomizdat, 1991. 5. کار آزمایشگاهی در ...

راهنمای تعیین خطاهای اندازه گیری در کارگاه آزمایشگاهی فیزیک

رهنمودها

... اندازه گیری هامقدار مورد نظر بدون شکست شامل می شود مقطع تحصیلیخطاهااخذ شده نتیجه. بدون چنین برآوردهانتیجه... قدر مطلق خطاهاو خودم نتیجهاندازه گیری ها. به طور معمول، دقت برآوردهاخطاهامعلوم می شود که بسیار ...

شماره اندازه گیری

اگر مقدار فیزیکی مورد نظر را نمی توان مستقیماً توسط دستگاه اندازه گیری کرد، اما از طریق فرمول از طریق کمیت های اندازه گیری شده بیان می شود، این اندازه گیری ها نامیده می شوند. غیر مستقیم.

همانند اندازه‌گیری‌های مستقیم، می‌توانید میانگین خطای مطلق (میانگین حسابی) یا ریشه میانگین مربعات خطای اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم را محاسبه کنید.

قوانین کلی برای محاسبه خطاها برای هر دو مورد با استفاده از حساب دیفرانسیل مشتق شده است.

اجازه دهید کمیت فیزیکی j( ایکس, y، z، ...) تابعی از تعدادی آرگومان مستقل است x، y، z، ...، که هر کدام را می توان به صورت تجربی تعیین کرد. کمیت ها با اندازه گیری های مستقیم تعیین می شوند و میانگین خطاهای مطلق یا ریشه میانگین مربعات خطاها ارزیابی می شوند.

میانگین خطای مطلق اندازه گیری های غیرمستقیم کمیت فیزیکی j با فرمول محاسبه می شود

مشتقات جزئی φ با توجه به کجا هستند x، y، zبرای مقادیر میانگین آرگومان های مربوطه محاسبه می شود.

از آنجایی که فرمول از مقادیر مطلق تمام عبارات مجموع استفاده می کند، عبارت for حداکثر خطای اندازه گیری تابع را برای حداکثر خطاهای داده شده متغیرهای مستقل ارزیابی می کند.

ریشه میانگین مربعات خطای اندازه گیری های غیرمستقیم کمیت فیزیکی j

حداکثر خطای نسبی اندازه گیری غیرمستقیم کمیت فیزیکی j

کجا و غیره

به طور مشابه، می‌توانیم خطای نسبی ریشه میانگین مربع اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم j را بنویسیم

اگر فرمول بیانگر یک عبارت مناسب برای گرفتن لگاریتم باشد (یعنی یک محصول، یک کسری، یک توان)، پس راحت تر است که ابتدا خطای نسبی را محاسبه کنیم. برای این کار (در مورد میانگین خطای مطلق) موارد زیر باید انجام شود.

1. لگاریتم عبارت را برای اندازه گیری غیر مستقیم یک کمیت فیزیکی در نظر بگیرید.

2. آن را متمایز کنید.

3. همه عبارت ها را با دیفرانسیل یکسان ترکیب کنید و آن را از پرانتز خارج کنید.

4. عبارت را در مقابل دیفرانسیل های مختلف مدولو بگیرید.

5. به طور رسمی نمادهای دیفرانسیل را با نمادهای خطای مطلق D جایگزین کنید.

سپس با دانستن e می توان خطای مطلق Dj را با فرمول محاسبه کرد

مثال 1استخراج فرمول برای محاسبه حداکثر خطای نسبی اندازه گیری های غیر مستقیم حجم یک استوانه.

بیان برای اندازه گیری غیر مستقیم یک کمیت فیزیکی (فرمول اولیه)

مقدار قطر دیو ارتفاع سیلندر ساعتمستقیماً توسط ابزارهایی با خطاهای اندازه گیری مستقیم اندازه گیری می شود دیو D ساعت

لگاریتم فرمول اصلی را می گیریم و می گیریم

معادله حاصل را متمایز کنید

با جایگزینی نمادهای دیفرانسیل با نمادهای خطای مطلق D، در نهایت فرمولی برای محاسبه حداکثر خطای نسبی اندازه گیری های غیر مستقیم حجم سیلندر به دست می آوریم.

حال باید این سوال را در نظر گرفت که چگونه خطای کمیت فیزیکی را پیدا کنیم U، که با اندازه گیری های غیر مستقیم مشخص می شود. نمای کلی معادله اندازه گیری

Y=f(ایکس 1 , ایکس 2 , … , X n), (1.4)

جایی که X j- مقادیر فیزیکی مختلفی که توسط آزمایشگر با اندازه گیری های مستقیم یا ثابت های فیزیکی شناخته شده با دقت معین به دست می آید. در یک فرمول، آنها آرگومان های تابع هستند.

در عمل اندازه گیری، دو روش برای محاسبه خطای اندازه گیری های غیرمستقیم به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد. هر دو روش تقریباً نتیجه یکسانی دارند.

روش 1.ابتدا D مطلق و سپس نسبی پیدا می شود دخطاها این روش برای معادلات اندازه گیری که حاوی مجموع و اختلاف آرگومان ها هستند توصیه می شود.

فرمول کلی برای محاسبه خطای مطلق در اندازه گیری های غیر مستقیم یک کمیت فیزیکی Yبرای یک دیدگاه دلخواه fتابع به نظر می رسد:

که در آن مشتقات جزئی توابع Y=f(ایکس 1 , ایکس 2 , … , X n) با استدلال X j,

خطای کل اندازه گیری های مستقیم کمیت X j.

برای یافتن خطای نسبی، ابتدا باید مقدار متوسط ​​کمیت را پیدا کنید Y. برای انجام این کار، لازم است که مقادیر میانگین حسابی کمیت ها را در معادله اندازه گیری (1.4) جایگزین کنید. Xj.

یعنی مقدار متوسط ​​مقدار Yبرابر است: . اکنون به راحتی می توان خطای نسبی را پیدا کرد: .

مثال:خطا در اندازه گیری حجم را پیدا کنید Vسیلندر. ارتفاع ساعتو قطر دیاستوانه در نظر گرفته می شود که با اندازه گیری های مستقیم تعیین می شود و تعداد اندازه گیری ها را بگذارید n= 10.

فرمول محاسبه حجم سیلندر یعنی معادله اندازه گیری به صورت زیر است:

اجازه دهید در P= 0,68;

در P= 0,68.

سپس با جایگزینی مقادیر متوسط ​​به فرمول (1.5)، متوجه می شویم:

خطا D Vدر این مثال همانطور که مشاهده می شود عمدتاً به خطای اندازه گیری قطر بستگی دارد.

حجم متوسط: , خطای نسبی است d Vبرابر است با:

یا d V = 19%.

V=(9±47) میلی متر 3 ، d V = 19% P= 0,68.

روش 2.این روش برای تعیین خطای اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم در سختی‌های ریاضی کمتر با روش اول متفاوت است، بنابراین بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

ابتدا خطای نسبی را پیدا کنید دو تنها پس از آن D مطلق. این روش به ویژه در صورتی راحت است که معادله اندازه گیری فقط شامل محصولات و نسبت آرگومان ها باشد.

این روش را می توان با استفاده از همان مثال خاص در نظر گرفت - تعیین خطا در اندازه گیری حجم یک سیلندر

ما تمام مقادیر عددی مقادیر موجود در فرمول را مانند محاسبات برای راه 1.

بگذار باشد میلی متر, در P= 0,68;

; در P=0.68.

خطای گرد کردن اعداد پ(شکل 1.1 را ببینید)

استفاده كردن راه 2باید به این صورت عمل کند:

1) لگاریتم معادله اندازه گیری را بگیرید (لگاریتم طبیعی را می گیریم)

دیفرانسیل قسمت چپ و راست را با در نظر گرفتن متغیرهای مستقل بیابید.

2) دیفرانسیل هر مقدار را با خطای مطلق همان مقدار جایگزین کنید و علائم "منهای" را اگر قبل از خطاها هستند، با "بعلاوه" جایگزین کنید:

3) به نظر می رسد که با کمک این فرمول می توان تخمینی برای خطای نسبی ارائه داد، اما اینطور نیست. لازم است خطا به گونه ای برآورد شود که احتمال اطمینان این برآورد با احتمالات اطمینان تخمین خطاهای آن عباراتی که در سمت راست فرمول قرار دارند مطابقت داشته باشد. برای انجام این کار، برای اینکه این شرط برآورده شود، باید تمام عبارات آخرین فرمول را مربع کنید و سپس ریشه دوم را از دو طرف معادله استخراج کنید:

یا به عبارت دیگر خطای نسبی حجم عبارت است از:

علاوه بر این، احتمال این تخمین خطای حجم با احتمال تخمین خطای عبارات موجود در عبارت رادیکال مطابقت خواهد داشت:

پس از انجام محاسبات، مطمئن خواهیم شد که نتیجه با برآورد توسط مطابقت دارد روش 1:

حال با دانستن خطای نسبی، مطلق را پیدا می کنیم:

دی V=0.19 47=9.4 میلی متر 3 , پ=0,68.

نتیجه نهایی پس از گرد کردن:

V\u003d (9±47) میلی‌متر 3، d V = 19%, پ=0,68.

سوالات تستی

1. وظیفه اندازه گیری های فیزیکی چیست؟

2. چه نوع اندازه گیری ها متمایز می شوند؟

3. خطاهای اندازه گیری چگونه طبقه بندی می شوند؟

4. خطاهای مطلق و نسبی چیست؟

5. خطاهای اشتباه، سیستماتیک و تصادفی چیست؟

6. چگونه خطای سیستماتیک را ارزیابی کنیم؟

7. میانگین حسابی مقدار اندازه گیری شده چیست؟

8. چگونه می توان بزرگی خطای تصادفی را تخمین زد، چه ارتباطی با انحراف معیار دارد؟

9. احتمال یافتن مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده در بازه از چقدر است X cf - sقبل از X cf + s?

10. اگر به عنوان تخمین خطای تصادفی، مقدار را انتخاب کنیم 2 ثانیهیا 3s، پس با چه احتمالی مقدار واقعی در بازه های تعیین شده توسط این تخمین ها قرار می گیرد؟

11. چگونه خطاها را خلاصه کنیم و چه زمانی باید انجام شود؟

12. چگونه خطای مطلق و مقدار متوسط ​​نتیجه اندازه گیری را گرد کنیم؟

13. چه روش هایی برای تخمین خطا در اندازه گیری های غیر مستقیم وجود دارد؟ چگونه با این کار پیش برویم؟

14. چه چیزی باید به عنوان نتیجه اندازه گیری ثبت شود؟ چه مقادیری را نشان دهیم؟

سخنرانی شماره 8

پردازش نتایج اندازه گیری

اندازه گیری مستقیم تک و چندگانه

1. اندازه گیری های منفرد مستقیم .

در حالت کلی، وظیفه تخمین خطای نتیجه به‌دست‌آمده معمولاً بر اساس اطلاعات مربوط به حد خطای اصلی ابزار اندازه‌گیری (طبق مستندات نظارتی و فنی برای ابزار اندازه‌گیری مورد استفاده) انجام می‌شود. مقادیر شناخته شده خطاهای اضافی از تأثیر کمیت های تأثیرگذار. حداکثر مقدار خطای کل نتیجه اندازه گیری (بدون در نظر گرفتن علامت) را می توان با جمع مولفه ها در مقدار مطلق پیدا کرد:

تخمین واقعی تری از خطا را می توان با جمع آماری اجزای خطا به دست آورد:

مرز i-امین جزء غیر مستثنی خطای سیستماتیک کجاست. ک- ضریب تعیین شده توسط احتمال اطمینان پذیرفته شده (در P = 0,95, ضریب ک=1.11)؛ m تعداد اجزای غیر مستثنی شده است.

نتیجه اندازه گیری مطابق شکل اول ثبت نتایج ثبت می شود:

نتیجه یک اندازه گیری منفرد کجاست. - خطای کل نتیجه اندازه گیری؛ Р - احتمال اطمینان (در Р = 0,95 ممکن است مشخص نباشد).

هنگام اندازه گیری در شرایط عادی، می توانیم فرض کنیم

2. اندازه گیری های متعدد مستقیم

ارزیابی دقیق مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده تنها با اندازه گیری های متعدد آن و پردازش مناسب نتایج آنها امکان پذیر است. پردازش صحیح نتایج به دست آمده از مشاهدات به معنای بدست آوردن دقیق ترین تخمین از مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده و فاصله اطمینانی است که مقدار واقعی آن در آن قرار دارد.

در فرآیند پردازش نتایج مشاهدات، باید به طور مداوم وظایف اصلی زیر را حل کرد:

تخمین نقطه ای و انتگرالی قانون توزیع نتایج اندازه گیری را با فرمول های زیر تعیین کنید:

جایی که D(x) تخمین نقطه ای از واریانس است.

حذف "مسائل" (طبق یکی از معیارها)؛

حذف خطاهای اندازه گیری سیستماتیک؛

حدود اطمینان تعادل غیر مستثنی جزء سیستماتیک، جزء تصادفی و کل خطای نتیجه اندازه گیری را تعیین کنید.

نتیجه اندازه گیری را ثبت کنید.

تخمین خطای اندازه گیری های غیر مستقیم. اصول اولیه و مراحل محاسبات. GOST ها برای پردازش نتایج.

خطاهای اندازه گیری غیر مستقیم

تخمین خطاهای ناشی از اندازه گیری های غیرمستقیم بر اساس مفروضات زیر است:

1. خطاهای نسبی مقادیر به دست آمده توسط اندازه گیری های مستقیم و درگیر در محاسبه مقدار مورد نظر باید در مقایسه با واحد کوچک باشد (در عمل نباید از 10٪ تجاوز کند).

2. برای خطاهای همه کمیت های درگیر در محاسبه، احتمال اطمینان یکسانی پذیرفته می شود. خطای مقدار مورد نظر نیز همان احتمال اطمینان را خواهد داشت.

3. محتمل ترین مقدار مقدار مورد نظر در صورتی به دست می آید که از محتمل ترین مقادیر مقادیر اولیه برای محاسبه آن استفاده شود، یعنی. میانگین های حسابی آنها

خطا در مورد یک مقدار اولیه.

خطای مطلقمقدار مورد نظر را بگذارید yکه به طور غیر مستقیم اندازه گیری می شود، تنها به یک کمیت بستگی دارد آبا اندازه گیری مستقیم بدست می آید. مرزهای بازه ای که مقدار در آن قرار دارد با یک احتمال معین آ، با میانگین حسابی و خطای مطلق کل تعیین می شوند آمقادیر آ. این بدان معنی است که ارزش آممکن است در داخل یک بازه با محدوده قرار گیرد ± آ.

با اندازه گیری غیر مستقیم برای کمیت y(آ) چنین مرزهایی با محتمل ترین مقدار آن تعیین می شود =y() و خطا y، یعنی ارزش های yدر داخل فاصله با مرزهای ± قرار بگیرید y. کران بالا برای y(با افزایش یکنواخت) مقداری مطابق با کران بالایی وجود خواهد داشت آ، یعنی ارزش + y= y( + آ) . بنابراین، خطای مطلق yمقادیر yشکل افزایش تابع دارد y(a)ناشی از افزایش استدلال آن است آبا مقدار آخطای مطلق آن بنابراین، می‌توانیم از قوانین حساب دیفرانسیل استفاده کنیم که بر اساس آن، برای مقادیر کوچک آافزایش yرا می توان تقریباً به صورت بیان کرد

در اینجا مشتق با توجه به آکارکرد y(a)در آ = .

بنابراین، خطای مطلق نتیجه نهایی را می توان با استفاده از فرمول (1) محاسبه کرد و احتمال اطمینان مربوط به احتمال اطمینان است که آ.

خطای مربوطه.برای یافتن خطای نسبی یک مقدار y، تقسیم (1) بر yو آن را در نظر بگیرید

مشتق با توجه به است آلگاریتم طبیعی y. نتیجه خواهد شد

اگر این عبارت را جایگزین کنیم آ= و y= ، سپس مقدار آن خطای نسبی کمیت خواهد بود y.

برای پردازش نتایج اندازه گیری ها از آن استفاده می شود GOST 8.207-76 "GSI. اندازه گیری مستقیم با مشاهدات متعدد روش های پردازش نتایج مشاهدات.

8.3. نتیجه اندازه گیری و برآورد انحراف معیار آن:

1. روش های تشخیص خطاهای فاحش باید در روش اندازه گیری مشخص شود. اگر بتوان نتایج مشاهدات را متعلق به یک توزیع نرمال در نظر گرفت، خطاهای فاحش حذف می شوند.

2. نتیجه اندازه گیری به عنوان میانگین حسابی نتایج مشاهدات در نظر گرفته می شود که قبلاً اصلاحاتی برای حذف خطاهای سیستماتیک ارائه شده است.

3. انحراف معیار اس نتیجه مشاهدات بر اساس NTD ارزیابی می شود.

4. انحراف استاندارد نتیجه اندازه گیری با فرمول تخمین زده می شود

,

جایی که x i - من-ام نتیجه مشاهده؛

نتیجه اندازه گیری (میانگین حسابی نتایج مشاهده تصحیح شده)؛

n- تعداد نتایج مشاهدات؛

تخمین انحراف معیار نتیجه اندازه گیری.

8.4. حدود اطمینان خطای تصادفی نتیجه اندازه گیری:

1. حدود اطمینان برای خطای تصادفی نتیجه اندازه گیری مطابق با این استاندارد بین المللی برای نتایج مشاهدات متعلق به توزیع نرمال تعیین شده است. در صورت عدم رعایت این شرط، روش های محاسبه حدود اطمینان یک خطای تصادفی باید در روش انجام اندازه گیری های خاص مشخص شود.

1.1. با تعداد نتایج مشاهده n>50 برای بررسی اینکه آیا آنها به توزیع نرمال مطابق با NTD تعلق دارند، یکی از معیارها ترجیح داده می شود: χ 2 پیرسون یا ω 2 میزس - اسمیرنوف.

هنگام پردازش نتایج اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم یک کمیت فیزیکی که از نظر عملکردی مربوط به کمیت‌های فیزیکی A، B و C است که به صورت مستقیم اندازه‌گیری می‌شوند، ابتدا خطای نسبی اندازه‌گیری غیرمستقیم e = DX / X pr را با استفاده از فرمول‌ها تعیین کنید. در جدول (بدون شواهد) آورده شده است.

خطای مطلق با فرمول DX \u003d X pr * e تعیین می شود،

جایی که e به صورت اعشاری بیان می شود نه به صورت درصد.

نتیجه نهایی به همان روشی که در مورد اندازه گیری مستقیم ثبت می شود.

نوع عملکرد	فرمول
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B
X=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm مفید) چگونه اندازه گیری کنیم http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

مثال: اجازه دهید خطا در اندازه گیری ضریب اصطکاک را با استفاده از دینامومتر محاسبه کنیم. تجربه این است که میله به طور یکنواخت در امتداد یک سطح افقی کشیده می شود و نیروی اعمال شده اندازه گیری می شود: برابر با نیروی اصطکاک لغزشی است.

با استفاده از دینامومتر، یک میله را با بار وزن می کنیم: 1.8 N. F tr \u003d 0.6 N

μ=0.33. خطای ابزاری دینامومتر (یافتن از جدول) Δ و \u003d 0.05N است، خطای خواندن (نیمی از تقسیم مقیاس)

Δ o \u003d 0.05N. خطای مطلق در اندازه گیری وزن و نیروی اصطکاک 0.1 نیوتن است.

خطای نسبی اندازه گیری (خط 5 در جدول)

بنابراین، خطای مطلق اندازه گیری غیرمستقیم μ 0.22*0.33=0.074 است.

پاسخ:

اندازه گیری یک کمیت فیزیکی به معنای مقایسه آن با کمیت همگن دیگری است که به عنوان واحد اندازه گیری گرفته می شود. اندازه گیری را می توان با استفاده از:

1. اندازه گیری ها که نمونه های یک واحد اندازه گیری (متر، وزن، ظرف لیتری و غیره) هستند.

2. ابزار اندازه گیری (آمپرمتر، گیج فشار، و غیره)،

3. تاسیسات اندازه گیری، که به عنوان مجموعه ای از اقدامات، ابزار اندازه گیری و عناصر کمکی درک می شود.

اندازه گیری ها مستقیم یا غیرمستقیم هستند. در اندازه گیری های مستقیمکمیت فیزیکی به طور مستقیم اندازه گیری می شود. اندازه گیری های مستقیم به عنوان مثال اندازه گیری طول با خط کش، زمان با کرونومتر، قدرت جریان با آمپرمتر است.

در اندازه گیری های غیر مستقیمآنها مستقیماً مقداری را که مقدار آن باید شناخته شود، اندازه گیری نمی کنند، بلکه کمیت های دیگری را که کمیت مورد نظر با یک وابستگی ریاضی خاص با آنها مرتبط است، اندازه گیری می کنند. به عنوان مثال چگالی یک جسم با اندازه گیری جرم و حجم آن و مقاومت با اندازه گیری جریان و ولتاژ تعیین می شود.

به دلیل ناقص بودن اندازه ها و ابزار اندازه گیری و همچنین اندام های حسی ما، اندازه گیری ها را نمی توان با دقت انجام داد، یعنی. هر اندازه گیری فقط یک نتیجه تقریبی می دهد. علاوه بر این، ماهیت خود اندازه گیری اغلب دلیل انحراف نتایج اندازه گیری است. به عنوان مثال، دمای اندازه گیری شده توسط یک دماسنج یا ترموکوپل در نقطه خاصی از کوره به دلیل همرفت و هدایت حرارتی در محدوده مشخصی در نوسان است. معیار برای ارزیابی دقت نتیجه اندازه گیری است خطای اندازه گیری (خطای اندازه گیری).

برای ارزیابی دقت، خطای مطلق یا خطای نسبی اندازه گیری نشان داده شده است. خطای مطلقدر واحدهای کمیت اندازه گیری شده بیان می شود. به عنوان مثال، قطعه مسیر طی شده توسط بدن، با یک خطای مطلق اندازه گیری می شود. خطای نسبی اندازه گیری نسبت خطای مطلق به مقدار کمیت اندازه گیری شده است. در مثال داده شده، خطای نسبی است. هر چه خطای اندازه گیری کوچکتر باشد، دقت آن بیشتر است.

با توجه به منابع منشأ آنها، خطاهای اندازه گیری به سیستماتیک، تصادفی و ناخالص تقسیم می شوند.

1. خطاهای سیستماتیک- خطاهای اندازه گیری که مقدار آنها در طول اندازه گیری های مکرر انجام شده با همان روش و با استفاده از همان ابزار اندازه گیری ثابت می ماند. دلایل خطاهای سیستماتیک عبارتند از:

نقص عملکرد، عدم دقت ابزار اندازه گیری

غیرقانونی بودن، عدم دقت روش اندازه گیری استفاده شده

نمونه ای از خطاهای سیستماتیک می تواند اندازه گیری دما با یک دماسنج با نقطه صفر جابجا شده، اندازه گیری جریان با آمپرمتر کالیبره نادرست، وزن کردن جسم روی ترازوی با استفاده از وزنه ها بدون در نظر گرفتن نیروی شناوری ارشمیدس باشد.

برای حذف یا کاهش خطاهای سیستماتیک، لازم است ابزارهای اندازه گیری را به دقت بررسی کنید، مقادیر یکسان را با روش های مختلف اندازه گیری کنید و در صورت مشخص شدن خطاها، اصلاحاتی را انجام دهید (اصلاحات نیروی شناوری، اصلاحات برای قرائت دماسنج).

2. اشتباهات فاحش (از دست دادن)- بیش از حد قابل توجهی از خطای مورد انتظار در شرایط اندازه گیری داده شده. خطاها در نتیجه ثبت نادرست قرائت ابزار، قرائت نادرست بر روی دستگاه، به دلیل اشتباهات در محاسبات در طول اندازه گیری های غیرمستقیم ظاهر می شوند. منشأ فقدان بی توجهی آزمایشگر است. راه برای از بین بردن این خطاها دقت آزمایشگر، حذف مجدد پروتکل های اندازه گیری است.

3. خطاهای تصادفی- خطاهایی که مقدار آنها به طور تصادفی در طول اندازه گیری های مکرر همان مقدار با همان روش با استفاده از همان ابزار تغییر می کند. منبع خطاهای تصادفی تکرارپذیری کنترل نشده شرایط اندازه گیری است. به عنوان مثال، در طول اندازه گیری، دما، رطوبت، فشار اتمسفر، ولتاژ در شبکه الکتریکی و وضعیت حواس آزمایشگر می تواند به صورت کنترل نشده تغییر کند. رد کردن خطاهای تصادفی غیرممکن است. با اندازه گیری های مکرر، خطاهای تصادفی از قوانین آماری تبعیت می کنند و تأثیر آنها را می توان در نظر گرفت.