محاسبه خطا در اندازه گیری های مستقیم و غیر مستقیم

اندازه گیری به عنوان مقایسه مقدار اندازه گیری شده با مقدار دیگری که به عنوان واحد اندازه گیری در نظر گرفته می شود درک می شود. اندازه گیری ها به صورت تجربی با استفاده از ابزارهای فنی خاص انجام می شود.

اندازه گیری های مستقیم را اندازه گیری می گویند که نتیجه آن مستقیماً از داده های تجربی به دست می آید (مثلاً اندازه گیری طول با خط کش، زمان با کرونومتر، دما با دماسنج). اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم، اندازه‌گیری‌هایی هستند که در آنها مقدار مورد نظر یک کمیت بر اساس یک رابطه شناخته شده بین این کمیت و مقادیری که مقادیر آن‌ها در فرآیند اندازه‌گیری مستقیم به‌دست می‌آیند (به عنوان مثال، تعیین سرعت در طول مسافت طی شده) پیدا می‌شود. و زمان https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

هر اندازه گیری، صرف نظر از اینکه چقدر با دقت انجام می شود، لزوماً با یک خطا (خطا) همراه است - انحراف نتیجه اندازه گیری از مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده.

خطاهای سیستماتیک خطاهایی هستند که بزرگی آنها در تمام اندازه گیری هایی که با یک روش با استفاده از ابزار اندازه گیری یکسان و در شرایط یکسان انجام می شود یکسان است. خطاهای سیستماتیک رخ می دهد:

در نتیجه ناقص بودن ابزارهای مورد استفاده در اندازه گیری ها (به عنوان مثال، سوزن آمپرمتر ممکن است در غیاب جریان از تقسیم صفر منحرف شود؛ پرتو تعادل ممکن است بازوهای نابرابر داشته باشد و غیره).

در نتیجه توسعه ناکافی تئوری روش اندازه‌گیری، یعنی روش اندازه‌گیری حاوی منبع خطا است (به عنوان مثال، زمانی که اتلاف گرما به محیط در کارهای کالری‌سنجی در نظر گرفته نمی‌شود یا هنگام وزن کردن روی یک تحلیلی، خطا رخ می‌دهد. تعادل بدون در نظر گرفتن نیروی شناوری هوا انجام می شود.

در نتیجه این واقعیت که تغییر در شرایط آزمایش در نظر گرفته نمی شود (مثلاً در هنگام عبور طولانی مدت جریان از مدار، در نتیجه اثر حرارتی جریان، پارامترهای الکتریکی تغییر مدار).

در صورتی که ویژگی های ابزار مورد مطالعه قرار گیرد، تئوری آزمایش به طور کامل تری توسعه یابد، و بر این اساس، اصلاحاتی در نتایج اندازه گیری انجام شود، می توان خطاهای سیستماتیک را حذف کرد.

خطاهای تصادفی خطاهایی هستند که بزرگی آنها حتی برای اندازه گیری هایی که به روش مشابه انجام می شود متفاوت است. دلایل آنها هم در نقص حواس ما نهفته است و هم در بسیاری از شرایط دیگر که با اندازه گیری ها همراه هستند و نمی توان آنها را از قبل در نظر گرفت (به عنوان مثال، اگر برابری میدان های روشنایی فتومتر با چشم تنظیم شود خطاهای تصادفی رخ می دهد. اگر لحظه حداکثر انحراف آونگ ریاضی با چشم تعیین شود، هنگام یافتن لحظه تشدید صدا توسط گوش، هنگام وزن کردن روی ترازوی تحلیلی، اگر ارتعاشات کف و دیوارها به ترازو منتقل شود و غیره) .

از خطاهای تصادفی نمی توان اجتناب کرد. وقوع آنها در این واقعیت آشکار می شود که هنگام تکرار اندازه گیری های یک مقدار با دقت یکسان، نتایج عددی به دست می آید که با یکدیگر متفاوت هستند. بنابراین، اگر مقادیر یکسانی در هنگام تکرار اندازه گیری ها به دست آمد، این نشان دهنده عدم وجود خطاهای تصادفی نیست، بلکه حساسیت ناکافی روش اندازه گیری است.

خطاهای تصادفی نتیجه را هم در یک جهت و هم در جهت دیگر از مقدار واقعی تغییر می‌دهند، بنابراین برای کاهش تأثیر خطاهای تصادفی بر نتیجه اندازه‌گیری، اندازه‌گیری‌ها معمولاً چندین بار تکرار می‌شوند و میانگین حسابی همه نتایج اندازه‌گیری می‌شود. گرفته شده.

نتایج نادرست آگاهانه - اشتباه به دلیل نقض شرایط اساسی اندازه گیری، در نتیجه بی توجهی یا سهل انگاری آزمایشگر رخ می دهد. به عنوان مثال، در نور ضعیف، به جای "3"، "8" را بنویسید. به دلیل پرت شدن حواس آزمایشگر، هنگام شمارش تعداد نوسانات آونگ می تواند به بیراهه برود. به دلیل سهل انگاری یا بی توجهی، او می تواند جرم بارها را هنگام تعیین سختی فنر و غیره اشتباه بگیرد. نشانه خارجی از دست دادن، تفاوت شدید بزرگی با نتایج سایر اندازه گیری ها است. در صورت تشخیص اشتباه، نتیجه اندازه گیری باید فوراً کنار گذاشته شود و خود اندازه گیری باید تکرار شود. شناسایی اشتباهات نیز با مقایسه نتایج اندازه گیری به دست آمده توسط آزمایشگران مختلف کمک می کند.

اندازه گیری یک کمیت فیزیکی به معنای یافتن فاصله اطمینانی است که مقدار واقعی آن در آن قرار دارد https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> در موارد، مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده در بازه اطمینان قرار می گیرد. مقدار به کسری از واحد یا بر حسب درصد بیان می‌شود. اکثر اندازه‌گیری‌ها به سطح اطمینان 0.9 یا 0.95 محدود می‌شوند. معمولاً از یک سطح معنی‌داری استفاده می‌شود که احتمال اینکه مقدار واقعی در بازه اطمینان قرار نمی‌گیرد را مشخص می‌کند. نتیجه اندازه‌گیری به صورت ارائه می‌شود.

که در آن https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> خطای مطلق است. بنابراین، محدودیت های بازه، https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> در این محدوده قرار دارد.

برای پیدا کردن و، یک سری اندازه گیری تک انجام دهید. یک مثال خاص را در نظر بگیرید..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. مقادیر را می توان تکرار کرد، مانند مقادیر و https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. بر این اساس، سطح معناداری .

مقدار میانگین مقدار اندازه گیری شده

دستگاه اندازه گیری نیز به خطای اندازه گیری کمک می کند. این خطا به دلیل طراحی دستگاه (اصطکاک در محور دستگاه اشاره گر، گرد شدن تولید شده توسط دستگاه اشاره گر دیجیتال یا گسسته و ...) است. طبیعتاً این یک خطای سیستماتیک است، اما نه بزرگی و نه علامت آن برای این ساز خاص مشخص نیست. خطای ابزاری در فرآیند آزمایش یک سری بزرگ از همان نوع ابزار ارزیابی می شود.

محدوده نرمال شده کلاس های دقت ابزار اندازه گیری شامل مقادیر زیر است: 0.05; 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. کلاس دقت دستگاه برابر است با خطای نسبی دستگاه که به صورت درصد در رابطه با محدوده کامل مقیاس بیان می شود. خطای پاسپورت دستگاه

هر اندازه گیری همیشه با برخی خطاهای مرتبط با دقت محدود ابزار اندازه گیری، انتخاب اشتباه و خطای روش اندازه گیری، فیزیولوژی آزمایشگر، ویژگی های اجسام اندازه گیری شده، تغییرات در شرایط اندازه گیری و غیره انجام می شود. بنابراین، وظیفه اندازه گیری شامل یافتن نه تنها خود کمیت، بلکه همچنین یافتن خطای اندازه گیری است، یعنی. فاصله زمانی که در آن مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده به احتمال زیاد یافت می شود. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری بازه زمانی t با کرونومتر با مقدار تقسیم 0.2 ثانیه، می توان گفت که مقدار واقعی آن در بازه s تا
با. بنابراین، مقدار اندازه گیری شده همیشه حاوی مقداری خطا است
، جایی که و X به ترتیب مقادیر واقعی و اندازه گیری شده کمیت مورد مطالعه هستند. مقدار
تماس گرفت خطای مطلق(خطا) اندازه گیری ها و بیان
مشخص کردن دقت اندازه گیری نامیده می شود خطای مربوطه.

این کاملا طبیعی است که آزمایشگر تلاش کند تا هر اندازه گیری را با بیشترین دقت قابل دستیابی انجام دهد، اما چنین رویکردی همیشه مصلحت نیست. هر چه بخواهیم این یا آن کمیت را دقیق‌تر اندازه‌گیری کنیم، ابزارهای پیچیده‌تری که باید استفاده کنیم، به زمان بیشتری نیاز دارند. بنابراین، دقت نتیجه نهایی باید با هدف آزمایش مطابقت داشته باشد. تئوری خطاها توصیه هایی در مورد چگونگی اندازه گیری ها و نحوه پردازش نتایج می دهد تا حاشیه خطا تا حد امکان کم باشد.

تمام خطاهای ناشی از اندازه گیری ها معمولاً به سه نوع تقسیم می شوند - خطاهای سیستماتیک، تصادفی و اشتباه، یا خطاهای فاحش.

خطاهای سیستماتیکبا توجه به دقت محدود ساخت دستگاه ها (خطاهای دستگاه)، کاستی های روش اندازه گیری انتخابی، عدم دقت فرمول محاسبه، نصب نامناسب دستگاه و ... بنابراین، خطاهای سیستماتیک توسط عواملی ایجاد می‌شوند که وقتی اندازه‌گیری‌های یکسان بارها تکرار می‌شوند، به همان شیوه عمل می‌کنند. مقدار این خطا طبق قانون خاصی به طور سیستماتیک تکرار یا تغییر می کند. برخی از خطاهای سیستماتیک را می توان با تغییر روش اندازه گیری، انجام اصلاحات در قرائت ابزار و در نظر گرفتن تأثیر مداوم عوامل خارجی حذف کرد (در عمل، این همیشه به راحتی قابل دستیابی است).

اگرچه خطای سیستماتیک (ابزاری) در طول اندازه گیری های مکرر باعث انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی در یک جهت می شود، ما هرگز نمی دانیم در کدام جهت. بنابراین خطای ابزاری با علامت دوگانه نوشته می شود

خطاهای تصادفیناشی از تعداد زیادی علل تصادفی (تغییرات دما، فشار، لرزش ساختمان و غیره) است که تأثیر آنها در هر اندازه گیری متفاوت است و نمی توان از قبل آنها را در نظر گرفت. خطاهای تصادفی نیز به دلیل ناقص بودن اندام های حسی آزمایشگر رخ می دهد. خطاهای تصادفی همچنین شامل خطاهای ناشی از ویژگی های جسم اندازه گیری شده است.

حذف خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی غیرممکن است، اما می توان با انجام اندازه گیری های متعدد تأثیر این خطاها را بر نتیجه نهایی کاهش داد. اگر خطای تصادفی به طور قابل توجهی کمتر از خطای ابزاری (سیستماتیک) باشد، دیگر هیچ فایده ای برای کاهش بیشتر خطای تصادفی با افزایش تعداد اندازه گیری ها وجود ندارد. اگر خطای تصادفی بزرگ‌تر از خطای ابزاری باشد، باید تعداد اندازه‌گیری‌ها را افزایش داد تا مقدار خطای تصادفی کاهش یابد و آن را کمتر یا یک مرتبه بزرگی با خطای ابزاری کنیم.

اشتباهات یا اشتباهات- اینها قرائت نادرست روی دستگاه، ضبط نادرست خواندن و غیره هستند. به عنوان یک قاعده، اشتباهات ناشی از دلایل ذکر شده به وضوح قابل مشاهده است، زیرا قرائت های مربوط به آنها به شدت با سایر قرائت ها متفاوت است. اشتباهات باید با اندازه گیری های کنترلی حذف شوند. بنابراین، عرض فاصله ای که مقادیر واقعی مقادیر اندازه گیری شده در آن قرار دارند، تنها با خطاهای تصادفی و سیستماتیک تعیین می شود.

2 . برآورد خطای سیستماتیک (ابزاری).

برای اندازه گیری مستقیممقدار کمیت اندازه گیری شده مستقیماً در مقیاس ابزار اندازه گیری خوانده می شود. خطای خواندن می تواند به چند دهم تقسیم مقیاس برسد. معمولاً در چنین اندازه‌گیری‌هایی، بزرگی خطای سیستماتیک برابر با نصف تقسیم مقیاس ابزار اندازه‌گیری در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری با کولیس با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، مقدار خطای اندازه گیری دستگاهی برابر با 0.025 میلی متر در نظر گرفته می شود.

ابزارهای اندازه گیری دیجیتال مقدار کمیت هایی را که اندازه گیری می کنند با خطای برابر با مقدار یک واحد آخرین رقم در مقیاس دستگاه نشان می دهند. بنابراین، اگر یک ولت متر دیجیتال مقدار 20.45 میلی ولت را نشان دهد، خطای مطلق در اندازه گیری است.
mV

خطاهای سیستماتیک همچنین هنگام استفاده از مقادیر ثابت تعیین شده از جداول رخ می دهد. در چنین مواردی، خطا معادل نصف آخرین رقم مهم در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، اگر در جدول مقدار چگالی فولاد با مقداری برابر با 7.9∙10 3 kg / m 3 داده شود، خطای مطلق در این مورد برابر است با
کیلوگرم بر متر 3.

برخی از ویژگی های محاسبه خطاهای ابزاری ابزارهای اندازه گیری الکتریکی در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام تعیین خطای سیستماتیک (ابزاری) اندازه گیری های غیر مستقیمارزش عملکردی
فرمول استفاده می شود

, (1)

جایی که - خطاهای ابزار اندازه گیری مستقیم کمیت , - مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیر.

به عنوان مثال، فرمولی برای محاسبه خطای سیستماتیک هنگام اندازه گیری حجم یک استوانه به دست می آوریم. فرمول محاسبه حجم سیلندر به این صورت است

.

مشتقات جزئی با توجه به متغیرها د و ساعتبرابر خواهد بود

,
.

بنابراین فرمول تعیین خطای سیستماتیک مطلق در اندازه گیری حجم سیلندر مطابق با (2. ..) به شکل زیر است.

,

جایی که
و
خطاهای ابزاری در اندازه گیری قطر و ارتفاع سیلندر

3. برآورد خطای تصادفی.

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان

برای اکثریت قریب به اتفاق اندازه گیری های ساده، به اصطلاح قانون عادی خطاهای تصادفی به خوبی برآورده می شود. قانون گاوس)، برگرفته از مفاد تجربی زیر است.

خطاهای اندازه گیری می توانند یک سری مقادیر پیوسته داشته باشند.

با تعداد زیادی اندازه گیری، خطاهایی با همان اندازه، اما با علامت متفاوت، به همان اندازه رخ می دهد،

هر چه خطای تصادفی بزرگتر باشد، احتمال وقوع آن کمتر است.

نمودار توزیع گاوسی نرمال در شکل 1 نشان داده شده است. معادله منحنی شکل دارد

, (2)

جایی که
- تابع توزیع خطاهای تصادفی (خطاها) که احتمال خطا را مشخص می کند
، σ ریشه میانگین مربعات خطا است.

مقدار σ یک متغیر تصادفی نیست و فرآیند اندازه گیری را مشخص می کند. اگر شرایط اندازه گیری تغییر نکند، σ ثابت می ماند. مربع این کمیت نامیده می شود پراکندگی اندازه گیری هاهرچه پراکندگی کوچکتر باشد، گسترش مقادیر فردی کمتر و دقت اندازه گیری بالاتر است.

مقدار دقیق خطای ریشه میانگین مربع σ، و همچنین مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده، ناشناخته است. یک تخمین به اصطلاح آماری از این پارامتر وجود دارد که بر اساس آن میانگین مربعات خطا برابر با میانگین مربعات خطای میانگین حسابی است. . که مقدار آن با فرمول تعیین می شود

, (3)

جایی که - نتیجه منبعد -ام؛ - میانگین حسابی مقادیر به دست آمده؛ n تعداد اندازه گیری است.

هر چه تعداد اندازه‌گیری‌ها بیشتر باشد، کوچک‌تر و بیشتر به σ نزدیک‌تر می‌شود. اگر مقدار واقعی مقدار اندازه‌گیری‌شده μ، مقدار میانگین حسابی آن که در نتیجه اندازه‌گیری‌ها به‌دست می‌آید، و خطای مطلق تصادفی، آنگاه نتیجه اندازه‌گیری به صورت نوشته می‌شود.
.

فاصله ارزش از
قبل از
، که در آن مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده μ می افتد، نامیده می شود فاصله اطمینان.از آنجایی که یک متغیر تصادفی است، مقدار واقعی در فاصله اطمینان با احتمال α قرار می‌گیرد که به آن می‌گویند. احتمال اطمینان،یا قابلیت اطمیناناندازه گیری ها این مقدار از نظر عددی برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی سایه دار. (به تصویر مراجعه کنید.)

همه اینها برای تعداد به اندازه کافی بزرگ از اندازه گیری ها، زمانی که نزدیک به σ باشد، صادق است. برای یافتن فاصله اطمینان و سطح اطمینان برای تعداد کمی از اندازه گیری ها که در طول کار آزمایشگاهی با آنها سروکار داریم، از استفاده می کنیم. توزیع احتمال دانش آموز.این توزیع احتمال متغیر تصادفی است تماس گرفت ضریب دانش آموزی، مقدار فاصله اطمینان را در کسری از ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی می دهد.

. (4)

توزیع احتمال این کمیت به σ 2 بستگی ندارد، بلکه اساساً به تعداد آزمایش ها بستگی دارد. n. با افزایش تعداد آزمایشات nتوزیع دانش آموز به توزیع گاوسی گرایش دارد.

تابع توزیع جدول بندی شده است (جدول 1). مقدار ضریب دانش آموز در تقاطع خط مربوط به تعداد اندازه گیری ها است nو ستون مربوط به سطح اطمینان α

میز 1.

با استفاده از داده های جدول، می توانید:

با توجه به احتمال مشخص، فاصله اطمینان را تعیین کنید.

یک فاصله اطمینان انتخاب کنید و سطح اطمینان را تعیین کنید.

برای اندازه گیری های غیر مستقیم، ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی تابع با فرمول محاسبه می شود.

. (5)

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان به همان روشی که در مورد اندازه گیری های مستقیم تعیین می شود.

تخمین کل خطای اندازه گیری ثبت نتیجه نهایی

خطای کل نتیجه اندازه گیری X به عنوان مقدار مربع میانگین خطاهای سیستماتیک و تصادفی تعریف می شود

, (6)

جایی که δx -خطای ابزاری، Δ ایکسیک خطای تصادفی است

X می تواند یک کمیت اندازه گیری مستقیم یا غیرمستقیم باشد.

, α=…, Е=… (7)

باید در نظر داشت که خود فرمول های تئوری خطاها برای تعداد زیادی اندازه گیری معتبر هستند. بنابراین، مقدار تصادفی، و در نتیجه، خطای کل برای یک کوچک تعیین می شود nبا یک اشتباه بزرگ هنگام محاسبه Δ ایکسبا تعداد اندازه گیری ها
توصیه می شود اگر بزرگتر از 3 باشد یک رقم قابل توجه و اگر اولین رقم معنی دار کمتر از 3 باشد، دو عدد را محدود کنید. برای مثال، اگر Δ ایکس= 0.042، سپس 2 را دور بیندازید و Δ بنویسید ایکس 0.04 =، و اگر Δ ایکس=0.123، سپس Δ را می نویسیم ایکس=0,12.

تعداد ارقام نتیجه و خطای کل باید یکسان باشد. بنابراین، میانگین حسابی خطا باید یکسان باشد. بنابراین، ابتدا میانگین حسابی یک رقم بیشتر از اندازه گیری محاسبه می شود و هنگام ثبت نتیجه، مقدار آن به تعداد ارقام خطای کل پالایش می شود.

4. روش برای محاسبه خطاهای اندازه گیری.

خطاهای اندازه گیری مستقیم

هنگام پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم، توصیه می شود ترتیب عملیات زیر را اتخاذ کنید.

. (8)

.

.

خطای کل مشخص می شود

خطای نسبی نتیجه اندازه گیری تخمین زده می شود

.

نتیجه نهایی به صورت نوشته شده است

، با α=… E=…%.

5. خطای اندازه گیری های غیر مستقیم

هنگام ارزیابی مقدار واقعی یک کمیت غیرمستقیم اندازه گیری شده، که تابعی از مقادیر مستقل دیگر است.
، از دو روش می توان استفاده کرد.

راه اولدر صورتی استفاده می شود که مقدار yتحت شرایط آزمایشی مختلف تعیین می شود. در این مورد، برای هر یک از مقادیر،
، و سپس میانگین حسابی همه مقادیر مشخص می شود y من

. (9)

خطای سیستماتیک (ابزاری) بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه گیری ها طبق فرمول پیدا می شود. خطای تصادفی در این مورد به عنوان خطای اندازه گیری مستقیم تعریف می شود.

راه دوماگر تابع باشد اعمال می شود y چندین بار با اندازه گیری های یکسان تعیین می شود. در این مورد، مقدار از مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود. در عمل آزمایشگاهی ما، روش دوم برای تعیین کمیت غیرمستقیم اندازه گیری شده بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد y. خطای سیستماتیک (دستگاهی) مانند روش اول، بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه‌گیری‌ها طبق فرمول پیدا می‌شود.

برای یافتن خطای تصادفی یک اندازه گیری غیرمستقیم، ابتدا ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی اندازه گیری های فردی محاسبه می شود. سپس ریشه میانگین مربعات خطا پیدا می شود y. تنظیم احتمال اطمینان α، یافتن ضریب دانشجو، تعیین خطاهای تصادفی و کل به همان روشی که در مورد اندازه‌گیری مستقیم انجام می‌شود. به همین ترتیب، نتیجه تمام محاسبات در فرم ارائه شده است

، با α=… E=…%.

6. نمونه ای از طراحی کار آزمایشگاهی

آزمایشگاه شماره 1

تعیین حجم سیلندر

تجهیزات جانبی:کولیس ورنیه با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، میکرومتر با مقدار تقسیم 0.01 میلی متر، بدنه استوانه ای شکل.

هدف، واقعگرایانه:آشنایی با ساده ترین اندازه گیری های فیزیکی، تعیین حجم سیلندر، محاسبه خطاهای اندازه گیری های مستقیم و غیر مستقیم.

سفارش کار

حداقل 5 قطر سیلندر را با کولیس و ارتفاع آن را با میکرومتر اندازه بگیرید.

فرمول محاسبه برای محاسبه حجم سیلندر

که در آن d قطر سیلندر است. h ارتفاع است.

نتایج اندازه گیری

جدول 2.

;

خطای مطلق

;
.

5. خطای نسبی یا دقت اندازه گیری

; E = 0.5٪.

6. ثبت نتیجه نهایی

نتیجه نهایی برای کمیت مورد مطالعه به صورت نوشته شده است

، E = 0.5٪.

توجه داشته باشید. در رکورد نهایی، تعداد ارقام نتیجه و خطای مطلق باید یکسان باشد.

6. نمایش گرافیکی نتایج اندازه گیری

نتایج اندازه گیری های فیزیکی اغلب به صورت گرافیکی ارائه می شود. نمودارها دارای تعدادی مزیت مهم و ویژگی های ارزشمند هستند:

الف) تعیین نوع وابستگی عملکردی و حدود اعتبار آن را ممکن می سازد.

ب) امکان مقایسه بصری داده های تجربی با منحنی نظری را فراهم می کند.

ج) هنگام ساختن یک نمودار، جهش هایی را در مسیر یک تابع که به دلیل خطاهای تصادفی رخ می دهد صاف می کنند.

د) تعیین مقادیر معین یا انجام تمایز گرافیکی، ادغام، حل یک معادله و غیره را ممکن می سازد.

رافیکی، به عنوان یک قاعده، بر روی کاغذ مخصوص (میلی متری، لگاریتمی، نیمه لگاریتمی) انجام می شود. رسم متغییر مستقل در امتداد محور افقی مرسوم است، یعنی. مقداری که مقدار آن توسط خود آزمایشگر تعیین می شود و در امتداد محور عمودی مقداری که در این مورد تعیین می کند. باید در نظر داشت که تقاطع محورهای مختصات نباید با مقادیر صفر x و y منطبق باشد. هنگام انتخاب مبدا مختصات، باید با این واقعیت هدایت شود که کل منطقه نقاشی به طور کامل استفاده شده است (شکل 2.).

در محورهای مختصات نمودار، نه تنها نام یا نماد کمیت ها، بلکه واحدهای اندازه گیری آنها نیز مشخص شده است. مقیاس در امتداد محورهای مختصات باید به گونه ای انتخاب شود که نقاط اندازه گیری شده در کل منطقه ورق قرار گیرند. در عین حال، مقیاس باید ساده باشد، به طوری که هنگام ترسیم نقاط روی نمودار، محاسبات حسابی در ذهن انجام نشود.

نقاط آزمایشی روی نمودار باید به طور دقیق و واضح نمایش داده شوند. نقاط به دست آمده در شرایط آزمایشی مختلف (به عنوان مثال، گرمایش و سرمایش) را می توان به طور مفید با رنگ های مختلف یا نمادهای مختلف ترسیم کرد. اگر خطای آزمایش مشخص باشد، بهتر است به جای نقطه، یک صلیب یا مستطیل را به تصویر بکشید که ابعاد آن در امتداد محورها با این خطا مطابقت دارد. اتصال نقاط آزمایشی به یکدیگر با خط شکسته توصیه نمی شود. منحنی روی نمودار باید به آرامی رسم شود و مطمئن شوید که نقاط آزمایشی هم در بالا و هم در زیر منحنی قرار دارند، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است.

هنگام ترسیم نمودارها، علاوه بر سیستم مختصات با مقیاس یکنواخت، از مقیاس های به اصطلاح عملکردی استفاده می شود. با انتخاب توابع x و y مناسب، می‌توانید خط ساده‌تری نسبت به ساختار معمولی روی نمودار بدست آورید. اغلب این هنگام انتخاب فرمولی برای یک نمودار معین برای تعیین پارامترهای آن ضروری است. از مقیاس های عملکردی نیز در مواردی استفاده می شود که لازم است هر قسمت از منحنی روی نمودار کشیده یا کوتاه شود. اغلب، از مقیاس های عملکردی، از مقیاس لگاریتمی استفاده می شود (شکل 4).

سند

از شرایط، الزامات و فرصت های خاص برآوردهاخطاهانتایجاندازه گیری ها. بر اساس اصول کلی نظریه اطلاعات ...

خطاهای اندازه گیری

سند

V.I. Iveronova. M., Nauka, 1967. 4. P. V. Novitsky, I. A. Zograf. مقطع تحصیلیخطاهانتایجاندازه گیری ها. L., Energoatomizdat, 1991. 5. کار آزمایشگاهی در ...

راهنمای تعیین خطاهای اندازه گیری در کارگاه آزمایشگاهی فیزیک

رهنمودها

... اندازه گیری هامقدار مورد نظر بدون شکست شامل می شود مقطع تحصیلیخطاهااخذ شده نتیجه. بدون چنین برآوردهانتیجه... قدر مطلق خطاهاو خودم نتیجهاندازه گیری ها. به طور معمول، دقت برآوردهاخطاهامعلوم می شود که بسیار ...

شماره اندازه گیری

در بیشتر موارد، هدف نهایی کار آزمایشگاهی محاسبه مقدار مورد نظر با استفاده از فرمولی است که شامل مقادیری است که به صورت مستقیم اندازه گیری می شوند. چنین اندازه گیری هایی غیر مستقیم نامیده می شود. به عنوان مثال، ما فرمول چگالی یک جسم استوانه ای جامد را ارائه می دهیم

جایی که r چگالی بدن است، متر- جرم بدن، د- قطر سیلندر، ساعت- اوجش

وابستگی (A.5) در شکل کلی را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که Yیک کمیت غیر مستقیم اندازه گیری شده است، در فرمول (A.5) چگالی r است. ایکس 1 , ایکس 2 ,... ,X nمقادیر مستقیم اندازه گیری می شوند، در فرمول (A.5) اینها هستند متر, د، و ساعت.

نتیجه یک اندازه گیری غیرمستقیم نمی تواند دقیق باشد، زیرا نتایج اندازه گیری مستقیم کمیت ها است ایکس 1 , x2, ... ,X nهمیشه حاوی خطا است بنابراین برای اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم و همچنین برای اندازه‌گیری‌های مستقیم، لازم است فاصله اطمینان (خطای مطلق) مقدار به‌دست‌آمده برآورد شود. DYو خطای نسبی e.

هنگام محاسبه خطاها در مورد اندازه گیری های غیر مستقیم، راحت است دنباله ای از اقدامات زیر را دنبال کنید:

1) مقادیر متوسط ​​هر کمیت اندازه گیری شده مستقیم á را بدست آورید x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;

2) مقدار متوسط ​​کمیت اندازه گیری شده غیرمستقیم á را بدست آورید Yبا جایگزینی در فرمول (A.6) مقادیر متوسط ​​مقادیر مستقیم اندازه گیری شده.

3) برای ارزیابی خطاهای مطلق مقادیر مستقیم اندازه گیری شده DX 1 , DX 2 , ..., DXnبا استفاده از فرمول های (A.2) و (A.3)؛

4) بر اساس شکل صریح تابع (A.6)، فرمولی برای محاسبه خطای مطلق مقدار غیر مستقیم اندازه گیری شده به دست آورید. DYو آن را محاسبه کنید؛

6) نتیجه اندازه گیری را با در نظر گرفتن خطا یادداشت کنید.

در زیر، بدون اشتقاق، فرمولی داده شده است که به فرد اجازه می دهد تا فرمول هایی را برای محاسبه خطای مطلق به دست آورد، در صورتی که شکل صریح تابع (A.6) شناخته شده باشد:

کجا ¶Y¤¶ x1و غیره - مشتقات جزئی Y با توجه به تمام مقادیر مستقیم اندازه گیری شده ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n (مثلاً وقتی مشتق جزئی گرفته می شود ایکس 1، سپس تمام مقادیر دیگر X iدر فرمول ثابت در نظر گرفته می شوند)، D X i- خطاهای مطلق مقادیر مستقیم اندازه گیری شده، محاسبه شده بر اساس (الف.3).

با محاسبه DY، خطای نسبی را پیدا می کنند.

با این حال، اگر تابع (A.6) یک تک جمله باشد، آنگاه محاسبه خطای نسبی، و سپس مطلق، بسیار ساده تر است.

در واقع، تقسیم هر دو طرف برابری (A.7) بر Y، ما گرفتیم

اما از آنجایی که می توانیم بنویسیم

حال با دانستن خطای نسبی، مطلق را تعیین کنید.

به عنوان مثال، فرمولی را برای محاسبه خطای چگالی یک ماده بدست می آوریم که با فرمول (A.5) تعیین می شود. از آنجایی که (A.5) یک تک جمله است، بنابراین، همانطور که در بالا ذکر شد، محاسبه خطای نسبی اندازه گیری بر اساس (A.8) آسان تر است. در (A.8)، در زیر ریشه مجموع مجذورات مشتقات جزئی از را داریم لگاریتمکمیت اندازه گیری شده، بنابراین ابتدا لگاریتم طبیعی r را پیدا می کنیم:

ln r = ln 4 + ln متر– ln p –2 ln د-لوگاریتم ساعت,

و سپس از فرمول (A.8) استفاده می کنیم و آن را بدست می آوریم

همانطور که مشاهده می شود، در (A.9) از مقادیر میانگین مقادیر مستقیم اندازه گیری شده و خطاهای مطلق آنها که با روش اندازه گیری مستقیم مطابق (A.3) محاسبه می شود، استفاده شده است. خطای وارد شده توسط عدد p در نظر گرفته نمی شود، زیرا مقدار آن را همیشه می توان با دقتی فراتر از دقت اندازه گیری همه کمیت های دیگر در نظر گرفت. با محاسبه e، پیدا می کنیم.

اگر اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم مستقل باشند (شرایط هر آزمایش بعدی با شرایط آزمایش قبلی متفاوت است)، مقادیر کمیت Yبرای هر آزمایش جداگانه محاسبه می شود. تولید کرده است nتجربیات، بدست آورید nارزش های Y من. علاوه بر این، گرفتن هر یک از مقادیر Y من(جایی که من- تعداد تجربه) برای نتیجه اندازه گیری مستقیم، á را محاسبه کنید Yñ و D Yبا توجه به فرمول های (A.1) و (A.2) به ترتیب.

نتیجه نهایی اندازه گیری مستقیم و غیرمستقیم باید به صورت زیر باشد:

جایی که متر- توان، تو- واحدهای اندازه گیری Y.

خطاهای اندازه گیری مقادیر فیزیکی و

پردازش نتایج اندازه گیری

با اندازه گیرییافتن مقادیر فیزیکی به صورت تجربی با کمک ابزارهای فنی خاص نامیده می شود. اندازه گیری ها مستقیم یا غیرمستقیم هستند. در مستقیماندازه گیری، مقدار مورد نظر یک کمیت فیزیکی مستقیماً با کمک ابزارهای اندازه گیری (به عنوان مثال، اندازه گیری ابعاد اجسام با استفاده از کولیس) پیدا می شود. غیر مستقیماندازه گیری نامیده می شود که در آن مقدار مورد نظر یک کمیت فیزیکی بر اساس یک رابطه عملکردی شناخته شده بین کمیت اندازه گیری شده و کمیت های تحت اندازه گیری مستقیم پیدا می شود. به عنوان مثال، هنگام تعیین حجم V یک استوانه، قطر D و ارتفاع H اندازه گیری می شود و سپس طبق فرمولپ D 2/4 حجم آن را محاسبه کنید.

به دلیل عدم دقت ابزار اندازه گیری و سختی در نظر گرفتن تمام عوارض در اندازه گیری ها، اشتباهات اندازه گیری ناگزیر به وجود می آید. خطایا اشتباهاندازه گیری به انحراف نتیجه اندازه گیری از مقدار واقعی کمیت فیزیکی اندازه گیری شده اشاره دارد. خطای اندازه گیری معمولا ناشناخته است، همانطور که مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده ناشناخته است. بنابراین، وظیفه پردازش اولیه نتایج اندازه‌گیری، تعیین فاصله‌ای است که در آن مقدار واقعی کمیت فیزیکی اندازه‌گیری شده با احتمال معین قرار می‌گیرد.

طبقه بندی خطاهای اندازه گیری

خطاها به سه نوع تقسیم می شوند:

1) ناخالص یا از دست دادن،

2) سیستماتیک،

3) تصادفی.

خطاهای فاحش- اینها اندازه گیری های اشتباه ناشی از خواندن بی دقت روی دستگاه، ضبط ناخوانا قرائت ها هستند. به عنوان مثال، نوشتن نتیجه 26.5 به جای 2.65; خواندن در مقیاس 18 به جای 13 و غیره. اگر خطای فاحشی تشخیص داده شود، نتیجه این اندازه گیری باید فوراً کنار گذاشته شود و خود اندازه گیری باید تکرار شود.

خطاهای سیستماتیک- خطاهایی که در طول اندازه گیری های مکرر ثابت می مانند یا طبق قانون خاصی تغییر می کنند. این خطاها ممکن است به دلیل انتخاب اشتباه روش اندازه گیری، نقص یا عملکرد نادرست ابزار باشد (مثلاً اندازه گیری با استفاده از ابزاری که دارای افست صفر است). به منظور حذف تا حد امکان خطاهای سیستماتیک، همیشه باید روش اندازه گیری را به دقت تجزیه و تحلیل کرد، ابزارها را با استانداردها مقایسه کرد. در آینده فرض می کنیم که تمام خطاهای سیستماتیک به جز خطاهای ناشی از عدم دقت در ساخت دستگاه ها و خطاهای خواندن حذف شده اند. ما این خطا را می نامیم سخت افزار

خطاهای تصادفی - اینها خطاهایی هستند که نمی توان از قبل علت آن را در نظر گرفت. خطاهای تصادفی به ناقص بودن اندام های حسی ما، به عملکرد مداوم تغییر شرایط خارجی (تغییر دما، فشار، رطوبت، ارتعاش هوا و غیره) بستگی دارد. خطاهای تصادفی اجتناب ناپذیر هستند، آنها به طور اجتناب ناپذیری در همه اندازه گیری ها وجود دارند، اما می توان آنها را با استفاده از روش های تئوری احتمال تخمین زد.

پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم

اجازه دهید در نتیجه اندازه گیری مستقیم یک کمیت فیزیکی، یک سری از مقادیر آن به دست آید:

x 1 , x 2 , ... x n .

با دانستن این سری از اعداد، باید نزدیک ترین مقدار را به مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده نشان دهید و مقدار خطای تصادفی را بیابید. این مشکل بر اساس نظریه احتمال حل شده است که ارائه دقیق آن خارج از محدوده درس ما است.

محتمل ترین مقدار کمیت فیزیکی اندازه گیری شده (نزدیک به مقدار واقعی) میانگین حسابی است.

. (1)

در اینجا x i نتیجه اندازه گیری i است. n تعداد اندازه گیری ها است. خطای اندازه گیری تصادفی را می توان با خطای مطلق تخمین زددی x که با فرمول محاسبه می شود

, (2)

جایی که t(a ,n) - ضریب دانش آموز بسته به تعداد اندازه گیری n و سطح اطمینانآ . ارزش اعتمادآ توسط آزمایشگر تنظیم شده است.

احتمالرویداد تصادفی نسبت تعداد موارد مطلوب برای این رویداد به تعداد کل موارد به همان اندازه محتمل است. احتمال یک رویداد مطمئن 1 و یک غیرممکن 0 است.

مقدار ضریب دانش آموز مربوط به سطح اطمینان معینآ و تعداد معینی اندازه گیری n را طبق جدول پیدا کنید. یکی

میز 1

عدد اندازه گیری n	احتمال اطمینانآ
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

از جدول. 1 می توان دید که مقدار ضریب دانشجو و خطای اندازه گیری تصادفی کوچکتر، n بزرگتر و کوچکتر است.آ . عملا انتخاب کنیدآ =0.95. با این حال، افزایش ساده در تعداد اندازه گیری ها نمی تواند خطای کل را به صفر برساند، زیرا هر دستگاه اندازه گیری خطا می دهد.

بیایید معنای اصطلاحات خطای مطلق را توضیح دهیمدی x و سطح اطمینانآ با استفاده از خط اعداد مقدار متوسط ​​کمیت اندازه گیری شده را بگذارید (شکل 1) و خطای مطلق محاسبه شده Dx D را کنار بگذارید x از راست و چپ. بازه عددی حاصل از ( - D x) به ( + دی x) نامیده می شود فاصله اطمینان. در این فاصله اطمینان، مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده x قرار دارد.

عکس. 1

اگر اندازه‌گیری‌های همان کمیت توسط ابزارهای مشابه در شرایط یکسان تکرار شوند، مقدار واقعی کمیت اندازه‌گیری شده x ist در همان فاصله اطمینان قرار می‌گیرد، اما ضربه قابل اعتماد نیست، اما با احتمال.آ.

محاسبه بزرگی خطای مطلقدی x با فرمول (2)، مقدار واقعی x کمیت فیزیکی اندازه گیری شده را می توان به صورت x= نوشت ±Dx.

برای ارزیابی دقت اندازه گیری یک کمیت فیزیکی، محاسبه کنید خطای مربوطهکه معمولا به صورت درصد بیان می شود

. (3)

بنابراین، هنگام پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم، لازم است موارد زیر را انجام دهید:

1. اندازه گیری n بار.

2. میانگین حسابی را با استفاده از فرمول (1) محاسبه کنید.

3. سطح اطمینان را تعیین کنید a (معمولاً a = 0.95 می گیرند).

4. با توجه به جدول 1، ضریب دانش آموز مربوط به سطح اطمینان داده شده را بیابیدآ و تعداد ابعاد n.

5. خطای مطلق را با استفاده از فرمول (2) محاسبه و با ابزاری مقایسه کنید. برای محاسبات بیشتر، یکی را انتخاب کنید که بزرگتر است.

6. با استفاده از فرمول (3) خطای نسبی را محاسبه کنیده.

7. نتیجه نهایی را یادداشت کنید

x= ± دی ایکس. با نشان دادن خطای نسبیه و سطح اطمینانآ.

پردازش نتایج اندازه گیری های غیر مستقیم

اجازه دهید کمیت فیزیکی مورد نظر y با کمیت های دیگر x 1 , x 2 , ... x k با برخی وابستگی عملکردی مرتبط شود

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

در بین مقادیر x 1 , x 2 , ... x k مقادیر به دست آمده از اندازه گیری های مستقیم و داده های جدولی وجود دارد. تعیین مطلق لازم استدی y و نسبیه خطا در مقدار y.

در بیشتر موارد، محاسبه خطای نسبی ابتدا و سپس خطای مطلق آسان تر است. از نظریه احتمال، خطای نسبی اندازه گیری غیر مستقیم

. (5)

اینجا ، مشتق جزئی تابع با توجه به متغیر x i کجاست که در محاسبه آن همه مقادیر به جز x i ثابت در نظر گرفته می شوند.دی x i خطای مطلق x i است. اگر x i در نتیجه اندازه گیری های مستقیم به دست آید، آنگاه مقدار متوسط ​​آن است و خطای مطلقدی x با فرمول های (1) و (2) محاسبه می شود. برای تمام مقادیر اندازه گیری شده x i، احتمال اطمینان یکسان داده می شودآ . اگر هر یک از عبارات مجذور در عبارت (5) مرتبه بزرگی (10 برابر) کمتر از سایر عبارات باشد، می توان آنها را نادیده گرفت. این باید هنگام انتخاب مقادیر جدولی در نظر گرفته شود (پ ، g و غیره) در فرمول خطای نسبی گنجانده شده است. مقدار آنها باید به گونه ای انتخاب شود که خطای نسبی آنها مرتبه ای کوچکتر از بزرگترین خطای نسبی باشد.

بیایید نتیجه نهایی را بنویسیم:

y= ±مرگ

اینجا - مقدار متوسط ​​اندازه گیری غیرمستقیم، به دست آمده با فرمول (4) با جایگزینی مقادیر متوسط ​​x i در آن؛ Dy= e .

معمولاً خطاهای تصادفی و سیستماتیک (ابزاری) در اندازه گیری های واقعی وجود دارند. اگر خطای تصادفی محاسبه‌شده اندازه‌گیری‌های مستقیم برابر با صفر یا کمتر از خطای سخت‌افزاری دو یا چند برابر باشد، هنگام محاسبه خطای اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم باید خطای سخت‌افزاری را در نظر گرفت. اگر این خطاها کمتر از دو برابر تفاوت داشته باشند، خطای مطلق با فرمول محاسبه می شود

.

یک مثال را در نظر بگیرید. لازم است حجم سیلندر را محاسبه کنیم:

. (6)

در اینجا D قطر سیلندر است، H ارتفاع آن است که با کولیس ورنیه با مقدار تقسیم 0.1 میلی متر اندازه گیری می شود. در نتیجه اندازه گیری های مکرر، مقادیر متوسط ​​را پیدا می کنیم = 10.0 میلی متر و = 40.0 میلی متر. خطای نسبی اندازه گیری غیر مستقیم حجم سیلندر با فرمول تعیین می شود

, (7)

جایی که D D و D H خطاهای مطلق اندازه گیری های مستقیم قطر و ارتفاع هستند. مقادیر آنها با فرمول (2) محاسبه می شود: D D=0.01 میلی متر; دی H=0.13 میلی متر. بیایید خطاهای محاسبه شده را با مقدار سخت افزاری برابر با مقدار تقسیم کولیس مقایسه کنیم.دی دی<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо دی D 0.01 میلی متر نیست، بلکه 0.1 میلی متر است.

مقدار p باید طوری انتخاب شود که خطای نسبی باشد Dp/p در فرمول (7) را می توان نادیده گرفت. از تجزیه و تحلیل مقادیر اندازه گیری شده و خطاهای مطلق محاسبه شده D D و D H، می توان مشاهده کرد که خطای اندازه گیری ارتفاع بیشترین سهم را در خطای اندازه گیری حجم نسبی دارد. محاسبه خطای ارتفاع نسبی می دهد e H =0.01. بنابراین، ارزشپ باید 3.14 بگیری در این مورد Dp / p » 0.001 (Dp = 3.142-3.14 = 0.002).

یک رقم قابل توجه در خطای مطلق باقی مانده است.

یادداشت.

1. اگر اندازه‌گیری‌ها یکبار انجام شود یا نتایج چندین اندازه‌گیری یکسان باشد، خطای اندازه‌گیری مطلق باید به عنوان خطای ابزاری در نظر گرفته شود که برای اکثر ابزارهای مورد استفاده برابر است با مقدار تقسیم دستگاه (برای اطلاعات بیشتر). جزئیات مربوط به خطای ابزاری، به بخش "ابزار اندازه گیری" مراجعه کنید).

2. اگر داده های جدولی یا تجربی بدون تعیین خطا داده شود، خطای مطلق این اعداد برابر با نصف ترتیب آخرین رقم مهم در نظر گرفته می شود.

اقدامات با اعداد تقریبی

موضوع دقت محاسبات مختلف بسیار مهم است، زیرا برآورد بیش از حد دقت محاسبات منجر به مقدار زیادی کار غیر ضروری می شود. دانش آموزان اغلب مقدار مورد نظر خود را با دقت پنج رقم قابل توجه یا بیشتر محاسبه می کنند. باید درک کرد که این دقت بیش از حد است. انجام محاسبات فراتر از حد دقت، که با دقت تعیین مقادیر مستقیم اندازه گیری شده ارائه می شود، منطقی نیست. پس از پردازش اندازه‌گیری‌ها، آنها اغلب خطاهای نتایج فردی را محاسبه نمی‌کنند و خطای مقدار تقریبی کمیت را قضاوت می‌کنند که نشان‌دهنده تعداد ارقام صحیح صحیح در این عدد است.

ارقام قابل توجهیک عدد تقریبی به همه ارقام به جز صفر و همچنین در دو مورد صفر گفته می شود:

1) هنگامی که بین ارقام قابل توجه قرار می گیرد (به عنوان مثال، در عدد 1071 - چهار رقم قابل توجه).

2) زمانی که در انتهای عدد قرار می گیرد و زمانی که مشخص می شود واحد رقم مربوطه در عدد داده شده موجود نیست. مثال. در عدد 5.20 سه رقم قابل توجه وجود دارد، و این بدان معنی است که ما هنگام اندازه گیری نه تنها واحدها، بلکه دهم ها و صدم ها را نیز در نظر گرفتیم و در عدد 5.2 - فقط دو رقم قابل توجه، یعنی فقط اعداد صحیح را در نظر گرفتیم. و دهم.

محاسبات تقریبی باید با رعایت قوانین زیر انجام شود.

1. هنگام جمع و تفریقدر نتیجه، به تعداد ارقام اعشاری که کمترین تعداد ارقام اعشاری را دارند، حفظ کنید. به عنوان مثال: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32. مقدار باید به صدم گرد شود، یعنی. برابر با 5.32 بگیرید.

2. هنگام ضرب و تقسیمدر نتیجه، به همان تعداد ارقام مهم باقی می‌ماند که عدد تقریبی با کمترین ارقام مهم حفظ می‌شود. به عنوان مثال، شما باید 8.632 را ضرب کنید'2.8' 3.53. در عوض، عبارات باید ارزیابی شوند

8.6 ´ 2.8 ´ 3.5 » 81.

هنگام محاسبه نتایج متوسط، آنها یک رقم بیشتر از آنچه قوانین توصیه می کنند (به اصطلاح رقم یدکی) ذخیره می کنند. در نتیجه نهایی، رقم یدکی کنار گذاشته می شود. برای روشن شدن ارزش آخرین رقم مهم نتیجه، باید رقم پشت آن را محاسبه کنید. اگر معلوم شد که کمتر از پنج است، باید به سادگی دور ریخته شود، و اگر پنج یا بیشتر از پنج باشد، پس از دور انداختن آن، رقم قبلی باید یک افزایش یابد. معمولاً یک رقم قابل توجه در خطای مطلق باقی می ماند و مقدار اندازه گیری شده به رقمی که رقم معنی دار خطای مطلق در آن قرار دارد گرد می شود.

3. نتیجه محاسبه مقادیر توابع x n , , lg( ایکس) تعدادی عدد تقریبی ایکسباید به تعداد ارقام مهم در عدد باشد ایکس. مثلا: .

توطئه

نتایج به دست آمده در طول انجام کار آزمایشگاهی اغلب مهم است و باید در یک رابطه گرافیکی ارائه شود. برای ساختن یک نمودار، لازم است بر اساس اندازه گیری های انجام شده، جدولی تهیه شود که در آن هر مقدار یکی از کمیت ها با مقدار معینی از دیگری مطابقت داشته باشد.

نمودارها روی کاغذ گراف ساخته می شوند. هنگام ساخت یک نمودار، مقادیر متغیر مستقل باید روی ابسیسا و مقادیر تابع بر روی اردین رسم شوند. در نزدیکی هر محور، باید تعیین مقدار نمایش داده شده را بنویسید و مشخص کنید که در چه واحدهایی اندازه گیری می شود (شکل 2).

شکل 2

برای ساخت صحیح نمودار، انتخاب مقیاس مهم است: منحنی کل صفحه را اشغال می کند و ابعاد نمودار در طول و ارتفاع تقریباً یکسان است. مقیاس باید ساده باشد. ساده ترین راه این است که واحد مقدار اندازه گیری شده (0.1؛ 10؛ 100 و غیره) با 1، 2 یا 5 سانتی متر مطابقت داشته باشد. باید در نظر داشت که تقاطع محورهای مختصات نباید با آن منطبق باشد. مقادیر صفر مقادیر ترسیم شده (شکل 2).

هر مقدار آزمایشی به دست آمده بر روی نمودار به روشی نسبتاً قابل توجه رسم می شود: یک نقطه، یک ضربدر و غیره.

خطاها برای مقادیر اندازه گیری شده به شکل بخش هایی با طول فاصله اطمینان نشان داده می شوند که در مرکز آنها نقاط آزمایشی قرار دارند. از آنجایی که نشان دادن خطاها نمودار را درهم می‌ریزد، این کار فقط زمانی انجام می‌شود که اطلاعات مربوط به خطاها واقعاً مورد نیاز باشد: هنگام ساخت منحنی از نقاط آزمایشی، هنگام تعیین خطاها با استفاده از نمودار، هنگام مقایسه داده‌های تجربی با منحنی نظری (شکل 2). . اغلب کافی است برای یک یا چند نقطه خطا را مشخص کنید.

ترسیم منحنی صاف از طریق نقاط آزمایش ضروری است. اغلب، نقاط آزمایشی با یک خط شکسته ساده به هم متصل می شوند. بنابراین، همانطور که بود، نشان داده می شود که مقادیر به روشی پرش به یکدیگر بستگی دارند. و این باور نکردنی است. منحنی باید صاف باشد و ممکن است نه از نقاط مشخص شده، بلکه از نزدیک آنها عبور کند تا این نقاط در دو طرف منحنی با فاصله یکسان از آن قرار گیرند. اگر نقطه ای به شدت از نمودار خارج شود، این اندازه گیری باید تکرار شود. بنابراین، ساخت یک نمودار به طور مستقیم در طول آزمایش مطلوب است. سپس نمودار می تواند برای کنترل و بهبود مشاهدات خدمت کند.

ابزارهای اندازه گیری و محاسبه خطاهای آنها

ابزار اندازه گیری برای اندازه گیری مستقیم کمیت های فیزیکی استفاده می شود. هیچ ابزار اندازه گیری مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده را نشان نمی دهد. این اولاً به دلیل غیرممکن بودن خواندن دقیق مقدار اندازه گیری شده در مقیاس ابزار است و ثانیاً به دلیل عدم دقت در ساخت ابزار اندازه گیری. برای در نظر گرفتن عامل اول، خطای خواندن Δx o معرفی شده است، برای دوم - خطای مجازΔ x d. مجموع این خطاها خطای ابزاری یا مطلق دستگاه را تشکیل می دهدΔ ایکس:

.

خطای مجاز توسط استانداردهای دولتی عادی شده و در گذرنامه یا توضیحات دستگاه نشان داده شده است.

خطای خواندن معمولاً برابر با نیمی از تقسیم ابزار است، اما برای برخی از ابزارها (کرنومتر، فشارسنج آنروئید) - برابر با تقسیم ابزار (زیرا موقعیت فلش این ابزارها در پرش های یک تقسیم تغییر می کند) و حتی چندین بخش از مقیاس، اگر شرایط آزمایش اجازه نمی دهد تا یک تقسیم را با اطمینان شمارش کنید (مثلاً با یک اشاره گر ضخیم یا نور ضعیف). بنابراین، خطای شمارش توسط خود آزمایشگر تنظیم می شود که در واقع شرایط یک آزمایش خاص را منعکس می کند.

اگر خطای مجاز بسیار کمتر از خطای خواندن باشد، می توان آن را نادیده گرفت. معمولاً خطای مطلق ابزار برابر با تقسیم مقیاس دستگاه در نظر گرفته می شود.

خط کش های اندازه گیری معمولا دارای تقسیمات میلی متری هستند. برای اندازه گیری، استفاده از خط کش های فولادی یا کششی با اریب توصیه می شود. خطای مجاز این خط کش ها 0.1 میلی متر است و می توان آن را نادیده گرفت، زیرا بسیار کمتر از خطای خواندن برابر با ± 0.5 میلی متر خطای مجاز خط کش های چوبی و پلاستیکی± 1 میلی متر

خطای اندازه گیری مجاز یک میکرومتر بستگی به حد بالایی اندازه گیری دارد و می تواند باشد ± (3-4) میکرومتر (برای میکرومترهایی با محدوده اندازه گیری 0-25 میلی متر). نیمی از مقدار تقسیم به عنوان خطای خواندن در نظر گرفته می شود. بنابراین، خطای مطلق میکرومتر را می توان برابر با مقدار تقسیم در نظر گرفت، یعنی. 0.01 میلی متر

خطای مجاز ترازوی فنی در هنگام توزین بستگی به بار دارد و برای بار 20 تا 200 گرم 50 میلی گرم و برای بار کمتر از 20 گرم 25 میلی گرم می باشد.

خطای ابزارهای دیجیتال با کلاس دقت مشخص می شود.

فرمول های محاسبه خطاهای اندازه گیری های غیرمستقیم بر اساس نمایش های حساب دیفرانسیل است.

اجازه دهید وابستگی کمیت Yاز مقدار اندازه گیری شده زشکل ساده ای دارد: .

اینجا و ثابت هایی هستند که مقادیر آنها مشخص است. اگر z به مقداری کم یا زیاد شود، آنگاه به :

اگر - خطای مقدار اندازه گیری شده است ز، سپس به ترتیب خطای مقدار محاسبه شده خواهد بود Y.

فرمول خطای مطلق را در حالت کلی تابع یک متغیر به دست می آوریم. اجازه دهید نمودار این تابع به شکلی باشد که در شکل 1 نشان داده شده است. مقدار دقیق آرگومان z 0 با مقدار دقیق تابع y 0 = f(z 0) مطابقت دارد.

مقدار اندازه گیری شده آرگومان با مقدار دقیق آرگومان با مقدار Δz به دلیل خطاهای اندازه گیری متفاوت است. مقدار تابع با مقدار دقیق Δy متفاوت خواهد بود.

از معنای هندسی مشتق به عنوان مماس شیب مماس بر منحنی در یک نقطه معین (شکل 1)، چنین است:

. (10)

فرمول خطای نسبی اندازه گیری غیر مستقیم در مورد تابعی از یک متغیر به صورت زیر خواهد بود:
. (11)

با توجه به اینکه دیفرانسیل تابع برابر است، دریافت می کنیم

(12)

اگر اندازه گیری غیر مستقیم یک تابع باشد مترمتغیرها ، سپس خطای اندازه گیری غیر مستقیم به خطاهای اندازه گیری مستقیم بستگی دارد. ما خطای جزئی مرتبط با خطای اندازه گیری آرگومان را نشان می دهیم. این افزایش تابع با افزایش را تشکیل می دهد، مشروط بر اینکه همه آرگومان های دیگر بدون تغییر باشند. بنابراین، خطای مطلق جزئی را مطابق (10) به شکل زیر می نویسیم:

(13)

بنابراین، برای یافتن خطای جزئی اندازه‌گیری غیرمستقیم، طبق (13)، لازم است مشتق جزئی را در خطای اندازه‌گیری مستقیم ضرب کنیم. هنگام محاسبه مشتق جزئی یک تابع با توجه به آرگومان های باقی مانده، آنها ثابت در نظر گرفته می شوند.

خطای مطلق حاصل از اندازه گیری غیر مستقیم با فرمولی تعیین می شود که شامل مربع های خطاهای جزئی است.

اندازه گیری غیر مستقیم:

یا با در نظر گرفتن (13)

(14)

خطای نسبی اندازه گیری غیر مستقیم با فرمول تعیین می شود:

یا با در نظر گرفتن (11) و (12)

. (15)

با استفاده از (14) و (15)، بسته به راحتی محاسبات، یکی از خطاها، مطلق یا نسبی پیدا می شود. بنابراین، به عنوان مثال، اگر فرمول کاری شکل یک محصول، نسبت کمیت های اندازه گیری شده را داشته باشد، به راحتی می توان یک لگاریتم گرفت و از فرمول (15) برای تعیین خطای نسبی اندازه گیری غیر مستقیم استفاده کرد. سپس با استفاده از فرمول (16) خطای مطلق را محاسبه کنید:

برای نشان دادن روش فوق برای تعیین خطای اندازه گیری های غیر مستقیم، اجازه دهید به کار آزمایشگاهی مجازی "تعیین شتاب سقوط آزاد با استفاده از آونگ ریاضی" بازگردیم.

فرمول کاری (1) به شکل نسبت مقادیر اندازه گیری شده است:

بنابراین، ما با تعریف خطای نسبی شروع می کنیم. برای انجام این کار، لگاریتم این عبارت را می گیریم و سپس مشتقات جزئی را محاسبه می کنیم:

; ; .

جایگزینی با فرمول (15) منجر به فرمول خطای نسبی اندازه گیری غیرمستقیم می شود:

(17)

پس از جایگزینی نتایج اندازه گیری های مستقیم

{ ; ) در (17) دریافت می کنیم:

(18)

برای محاسبه خطای مطلق، از عبارت (16) و مقدار محاسبه شده قبلی (9) شتاب گرانشی استفاده می کنیم. g:

نتیجه محاسبه خطای مطلق به یک رقم قابل توجه گرد می شود. مقدار محاسبه شده خطای مطلق دقت ثبت نتیجه نهایی را تعیین می کند:

, α ≈ 1. (19)

در این مورد، احتمال اطمینان با احتمال اطمینان اندازه گیری های مستقیمی که سهم تعیین کننده ای در خطای اندازه گیری غیرمستقیم داشته اند، تعیین می شود. در این مورد، اینها اندازه گیری های دوره هستند.

بنابراین، با احتمال نزدیک به 1، مقدار gبین 8 تا 12 قرار دارد.

برای به دست آوردن مقدار دقیق تری از شتاب سقوط آزاد gبهبود تکنیک اندازه گیری ضروری است. برای این منظور، کاهش خطای نسبی ضروری است، که طبق فرمول (18)، عمدتاً توسط خطای اندازه‌گیری زمان تعیین می‌شود.

برای انجام این کار، لازم است زمان نه یک نوسان کامل، بلکه برای مثال، 10 نوسان کامل اندازه گیری شود. سپس، به شرح زیر از (2)، فرمول خطای نسبی به شکل زیر خواهد بود:

. (20)

جدول 4 نتایج اندازه گیری زمان را برای ن = 10

برای مقدار Lنتایج اندازه گیری را از جدول 2 بگیرید. با جایگزینی نتایج اندازه‌گیری‌های مستقیم به فرمول (20)، خطای نسبی اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم را پیدا می‌کنیم:

با استفاده از فرمول (2)، مقدار کمیت غیر مستقیم اندازه گیری شده را محاسبه می کنیم:

.

.

نتیجه نهایی به صورت زیر نوشته می شود:

; ; .

این مثال نقش فرمول خطای نسبی را در تحلیل جهات احتمالی برای بهبود تکنیک اندازه گیری نشان می دهد.