نقطه منتهی یک تابع نقطه ای از دامنه تعریف تابع است که در آن مقدار تابع یک مقدار حداقل یا حداکثر را به خود می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را حداکثر (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف. نقطه ایکس1 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه تابع ، اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن که در سمت راست و چپ آن قرار دارد بیشتر باشد (یعنی نابرابری برقرار است f(ایکس0 ) > f(ایکس 0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف. نقطه ایکس2 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه تابع، اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاطی که به اندازه کافی نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن قرار دارند کمتر از مقادیر تابع باشد (یعنی نابرابری برقرار است f(ایکس0 ) < f(ایکس 0 + Δ ایکس) ). در این حالت می گوییم که تابع در نقطه است ایکس2 کمترین.

بیایید بگوییم نقطه ایکس1 - حداکثر نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابدبنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0) و در بازه بعد ایکس1 تابع کاهش می یابد، بنابراین، مشتق از یک تابعکمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

بگذارید این نکته را نیز فرض کنیم ایکس2 - حداقل نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس2 تابع در حال کاهش است و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع در حال افزایش است و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0). در این مورد نیز در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (نشان ضروری وجود یک انتها یک تابع). اگر نکته ایکس0 - نقطه افراطی تابع f(ایکس) سپس در این نقطه مشتق تابع برابر با صفر است ( f "(ایکس) = 0 ) یا وجود ندارد.

تعریف. نقاطی که مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانی .

مثال 1.بیایید عملکرد را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس= 0 مشتق تابع صفر است، بنابراین نقطه است ایکس= 0 نقطه بحرانی است. با این حال، همانطور که در نمودار تابع مشاهده می شود، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه انتهایی این تابع نیست.

بنابراین، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد، شرایط لازم برای یک افراط هستند، اما کافی نیستند، زیرا نمونه های دیگری از توابع را می توان ارائه داد که این شرایط برای آنها وجود دارد، اما تابع در نقطه مربوطه اکسترموم ندارد. از همین رو باید شواهد کافی وجود داشته باشد، به شخص اجازه می دهد تا قضاوت کند که آیا یک افراط در یک نقطه بحرانی خاص وجود دارد و چه نوع افراطی است - حداکثر یا حداقل.

قضیه (نخستین نشانه کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) اگر در هنگام عبور از این نقطه، مشتق تابع تغییر علامت دهد و اگر علامت از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، آنگاه یک نقطه حداکثر است و اگر از "منهای" به "بعلاوه" حداقل امتیاز است.

اگر نزدیک به نقطه ایکس0 ، در سمت چپ و سمت راست آن، مشتق علامت خود را حفظ می کند، به این معنی که تابع در یک همسایگی خاص از نقطه یا فقط کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد. ایکس0 . در این مورد، در نقطه ایکس0 افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط انتهایی تابع، باید موارد زیر را انجام دهید :

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق را با صفر برابر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
3. به صورت ذهنی یا روی کاغذ، نقاط بحرانی را روی خط اعداد علامت بزنید و نشانه های مشتق تابع را در فواصل حاصل مشخص کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، نقطه بحرانی حداکثر نقطه است و اگر از "منهای" به "بعلاوه"، حداقل نقطه است.
4. مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2.منتهی الیه تابع را پیدا کنید .

راه حل. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید مشتق را با صفر برابر کنیم تا نقاط بحرانی را پیدا کنیم:

.

از آنجایی که برای هر یک از مقادیر "x" مخرج برابر با صفر نیست، صورت را با صفر برابر می کنیم:

یک نقطه بحرانی گرفتم ایکس= 3. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل تعیین شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - یک علامت منفی، یعنی تابع کاهش می یابد،

در بازه 3 تا بعلاوه بی نهایت علامت مثبت وجود دارد، یعنی تابع افزایش می یابد.

یعنی دوره ایکس= 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در نقطه حداقل پیدا کنیم:

بنابراین، نقطه انتهایی تابع پیدا می شود: (3؛ 0)، و آن نقطه حداقل است.

قضیه (دومین علامت کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکساگر مشتق دوم تابع در این نقطه برابر با صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0)، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) > 0)، آنگاه حداکثر نقطه، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه ایکس0 اگر هر دو مشتق اول و دوم ناپدید شوند، در این مرحله قضاوت در مورد وجود یک افراط بر اساس معیار کافی دوم غیرممکن است. در این مورد، باید از اولین معیار کافی برای حداکثر یک تابع استفاده کنید.

نکته 2. دومین معیار کافی برای حداکثر یک تابع حتی زمانی که مشتق اول در یک نقطه ثابت وجود نداشته باشد (پس مشتق دوم نیز وجود ندارد) قابل اجرا نیست. در این مورد، شما همچنین باید از اولین علامت کافی از اکستریم یک تابع استفاده کنید.

ماهیت محلی قسمت های انتهایی تابع

از تعاریف بالا چنین نتیجه می شود که حداکثر یک تابع در طبیعت محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با مقادیر نزدیک است.

فرض کنید به درآمد خود در یک دوره یک ساله نگاه می کنید. اگر در ماه مه 45000 روبل و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل کسب کرده اید، درآمد ماه مه حداکثر تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. اما در اکتبر 71000 روبل، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید، بنابراین درآمد اکتبر حداقل تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می توانید ببینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه- ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به طور کلی، در یک بازه، یک تابع می تواند چندین منتهی داشته باشد، و ممکن است معلوم شود که مقداری از حداقل تابع از هر حداکثری بزرگتر است. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا، .

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بخش مورد نظر است. در نقطه ماکزیمم، تابع تنها در مقایسه با مقادیری که در همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه است، بیشترین مقدار را دارد و در نقطه حداقل، تنها در مقایسه با آن مقادیر، کوچکترین مقدار را دارد. که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداقل نقطه باشد.

بنابراین، می‌توان مفهوم فوق را از نقاط انتهایی یک تابع روشن کرد و حداقل نقاط را نقاط حداقل محلی و حداکثر نقاط را نقاط حداکثر محلی نامید.

ما با هم به دنبال حداکثر تابع می گردیم

مثال 3.

راه حل: تابع در کل خط اعداد تعریف شده و پیوسته است. مشتق آن همچنین در کل خط اعداد وجود دارد. بنابراین، در این مورد، نقاط بحرانی تنها مواردی هستند که در آنها، به عنوان مثال. ، از کجا و . نقاط بحرانی و تقسیم کل دامنه تعریف تابع به سه بازه یکنواختی: . بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای بازه، نقطه کنترل می تواند: پیدا کنید. با گرفتن یک نقطه در بازه، می گیریم، و با گرفتن یک نقطه در بازه، داریم. بنابراین، در فواصل و، و در فاصله . با توجه به اولین معیار کافی برای یک اکستروم، هیچ اکسترومی در نقطه وجود ندارد (زیرا مشتق علامت خود را در بازه حفظ می کند) و در نقطه ای تابع دارای حداقل است (زیرا مشتق هنگام عبور علامت از منفی به مثبت تغییر می دهد. از طریق این نقطه). بیایید مقادیر مربوط به تابع را پیدا کنیم: , a . در بازه تابع کاهش می یابد، زیرا در این بازه، و در بازه افزایش می یابد، زیرا در این بازه .

برای روشن شدن ساختار نمودار، نقاط تلاقی آن را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. وقتی معادله ای به دست می آوریم که ریشه های آن و، یعنی دو نقطه (0; 0) و (4; 0) از نمودار تابع پیدا می شود. با استفاده از تمام اطلاعات دریافتی، یک نمودار می سازیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

برای خود چک کردن در حین محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

مثال 4.انتهای تابع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

دامنه تعریف یک تابع کل خط عددی است، به جز نقطه، یعنی. .

برای کوتاه کردن مطالعه، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که این تابع یکنواخت است، زیرا . بنابراین نمودار آن نسبت به محور متقارن است اوهو مطالعه فقط برای بازه زمانی قابل انجام است.

یافتن مشتق و نقاط بحرانی تابع:

1) ;

2) ,

اما تابع در این نقطه دچار ناپیوستگی می‌شود، بنابراین نمی‌تواند یک نقطه افراطی باشد.

بنابراین، تابع داده شده دارای دو نقطه بحرانی است: و. با در نظر گرفتن برابری تابع، فقط نقطه را با استفاده از دومین معیار کافی برای یک اکسترموم بررسی می کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در: دریافت می کنیم. از آنجایی که و، حداقل نقطه تابع است، و .

برای اینکه تصویر کاملتری از نمودار یک تابع بدست آوریم، بیایید رفتار آن را در مرزهای دامنه تعریف پیدا کنیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده تمایل است ایکساز سمت راست به صفر و ایکسمثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکساز سمت چپ به صفر و ایکسمنفی باقی می ماند). بنابراین، اگر، پس. بعد، پیدا می کنیم

,

آن ها اگر پس از آن .

نمودار یک تابع هیچ نقطه تلاقی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

برای خود چک کردن در حین محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

ما با هم به جستجوی اکسترم های تابع ادامه می دهیم

مثال 8.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل. بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که نابرابری باید برآورده شود، از .

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم.

قضیه. (شرط لازم برای وجود افراط) اگر تابع f(x) در نقطه x = x 1 قابل تمایز باشد و نقطه x 1 یک نقطه منتهی باشد، مشتق تابع در این نقطه ناپدید می شود.

اثبات فرض کنید تابع f(x) در نقطه x = x 1 دارای حداکثر است.

سپس برای Dх>0 مثبت به اندازه کافی کوچک، نابرابری زیر درست است:

الف مقدماتی:

آن ها اگر Dх®0، اما Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0، سپس f¢ (x 1) 0 پوند.

و این فقط در صورتی امکان پذیر است که در Dх®0 f¢ (x 1) = 0 باشد.

برای حالتی که تابع f(x) در نقطه x 2 حداقل داشته باشد، قضیه به روشی مشابه اثبات می شود.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه. جمله معکوس درست نیست. اگر مشتق یک تابع در یک نقطه خاص برابر با صفر باشد، این بدان معنا نیست که تابع در این نقطه دارای یک اکسترموم است. یک مثال گویا در این مورد تابع y = x 3 است که مشتق آن در نقطه x = 0 برابر با صفر است، اما در این نقطه تابع فقط دارای یک عطف است و نه حداکثر یا حداقل.

تعریف.نقاط بحرانیتوابع نقاطی هستند که مشتق تابع در آنها وجود ندارد یا برابر با صفر است.

قضیه ای که در بالا مورد بحث قرار گرفت شرایط لازم برای وجود یک اکستروم را به ما می دهد، اما این کافی نیست.

مثال: f(x) = ôxô مثال: f(x) =

y y

در نقطه x = 0 تابع دارای حداقل است، اما در نقطه x = 0 تابع هیچ کدام را ندارد

مشتق ندارد حداکثر، بدون حداقل، بدون تولید

به طور کلی، تابع f(x) ممکن است در نقاطی که مشتق وجود ندارد یا برابر با صفر است، یک انتها داشته باشد.

قضیه. (شرایط کافی برای وجود افراط)

اجازه دهید تابع f(x) در بازه (a, b)، که حاوی نقطه بحرانی x 1 است، پیوسته باشد و در تمام نقاط این بازه قابل تمایز باشد (به جز، شاید، خود نقطه x 1).

اگر هنگام عبور از نقطه x 1 از چپ به راست، مشتق تابع f¢(x) علامت "+" را به "-" تغییر دهد، در این صورت در نقطه x = x 1 تابع f(x) است. یک ماکزیمم، و اگر مشتق علامت "-" را به "+" تغییر دهد - آنگاه تابع یک حداقل دارد.

اثبات

اجازه دهید

طبق قضیه لاگرانژ: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1)،جایی که x< e < x 1 .

سپس: 1) اگر x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) اگر x > x 1، آنگاه e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

از آنجایی که پاسخ ها منطبق هستند، می توانیم بگوییم که f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

اثبات قضیه برای نقطه حداقل مشابه است.

قضیه ثابت شده است.

بر اساس موارد فوق، می توانید یک روش واحد برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش ایجاد کنید:

1) نقاط بحرانی تابع را بیابید.

2) مقادیر تابع را در نقاط بحرانی بیابید.

3) مقادیر تابع را در انتهای بخش پیدا کنید.

4) از بین مقادیر به دست آمده بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

مطالعه یک تابع برای یک اکسترم با استفاده از

مشتقات مرتبه بالاتر

فرض کنید در نقطه x = x 1 f¢ (x 1) = 0 و f¢¢ (x 1) وجود دارد و در برخی از همسایگی های نقطه x 1 پیوسته است.

قضیه. اگر f¢ (x 1) = 0، تابع f(x) در نقطه x = x 1 دارای حداکثر است اگر f¢¢ (x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

اثبات

فرض کنید f¢ (x 1) = 0 و f¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

زیرا f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 در x x 1 . این بدان معنی است که هنگام عبور از نقطه x = x 1، مشتق f¢(x) علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، یعنی.

در این نقطه تابع f(x) دارای حداکثر است.

در مورد تابع حداقل، قضیه به روشی مشابه اثبات می شود.

اگر f¢¢ (x) = 0، ماهیت نقطه بحرانی ناشناخته است. برای تعیین آن تحقیقات بیشتری لازم است.

تحدب و تقعر یک منحنی.

نقاط عطف.

تعریف. منحنی محدب است بالادر بازه (a, b) اگر تمام نقاط آن زیر هر یک از مماس های آن در این بازه قرار گیرند. منحنی محدب به سمت بالا نامیده می شود محدب، و منحنی رو به محدب رو به پایین نامیده می شود مقعر.

در

شکل، تصویری از تعریف فوق را نشان می دهد.

قضیه 1. اگر در تمام نقاط بازه (a, b) مشتق دوم تابع f(x) منفی باشد، منحنی y = f(x) به سمت بالا محدب است (محدب).

اثبات اجازه دهید x 0 О (a, b). بیایید در این نقطه مماس بر منحنی رسم کنیم.

معادله منحنی: y = f(x);

معادله مماس:

باید ثابت شود که.

با قضیه لاگرانژ برای f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

با توجه به قضیه لاگرانژ برای

اجازه دهید x > x 0 و سپس x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 و c – x 0 > 0، و علاوه بر این، با شرط

از این رو، .

اجازه دهید x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

به طور مشابه ثابت شده است که اگر f¢¢(x) > 0 در بازه (a, b)، آنگاه منحنی y=f(x) روی بازه (a, b) مقعر است.

قضیه ثابت شده است.

تعریف. نقطه جدا کننده قسمت محدب منحنی از قسمت مقعر نامیده می شود نقطه عطف.

بدیهی است که در نقطه عطف، مماس منحنی را قطع می کند.

قضیه 2. اجازه دهید منحنی با معادله y = f(x) تعریف شود. اگر مشتق دوم f¢¢ (a) = 0 یا f¢¢ (a) وجود نداشته باشد و هنگام عبور از نقطه x = a f¢¢ (x) تغییر علامت دهد، آنگاه نقطه منحنی با آبسیسا x = a یک نقطه عطف است.

اثبات 1) بگذارید f¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 برای x > a. سپس در

ایکس< a кривая выпукла, а при x >a منحنی مقعر است، یعنی. نقطه x = a – نقطه عطف.

2) اجازه دهید f¢¢(x) > 0 برای x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >ب - محدب به سمت بالا. سپس x = b نقطه عطف است.

قضیه ثابت شده است.

مجانب.

هنگام مطالعه توابع، اغلب اتفاق می افتد که وقتی مختصات x یک نقطه روی یک منحنی به سمت بی نهایت حرکت می کند، منحنی به طور نامحدود به یک خط مستقیم خاص نزدیک می شود.

تعریف. خط مستقیم نامیده می شود مجانبمنحنی اگر فاصله از نقطه متغیر منحنی تا این خط مستقیم با حرکت نقطه به سمت بی نهایت به صفر گرایش پیدا کند.

لازم به ذکر است که هر منحنی مجانبی ندارد. مجانب ها می توانند مستقیم یا مایل باشند. مطالعه توابع برای حضور مجانبی از اهمیت بالایی برخوردار است و به شما امکان می دهد ماهیت تابع و رفتار نمودار منحنی را با دقت بیشتری تعیین کنید.

به طور کلی، منحنی که به طور نامحدود به مجانب خود نزدیک می شود، می تواند آن را قطع کند، و نه در یک نقطه، همانطور که در نمودار تابع زیر نشان داده شده است. . مجانب مایل آن y = x است.

اجازه دهید روش های پیدا کردن مجانب منحنی ها را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

مجانب عمودی

از تعریف مجانبی چنین بر می آید که اگر یا یا، خط مستقیم x = a مجانب منحنی y = f(x) است.

به عنوان مثال، برای یک تابع، خط x = 5 یک مجانب عمودی است.

مجانب مایل.

فرض کنید منحنی y = f(x) دارای مجانب مایل y = kx + b باشد.

اجازه دهید نقطه تقاطع منحنی و عمود بر مجانب را مشخص کنیم - M, P - نقطه تقاطع این عمود با مجانب. اجازه دهید زاویه بین مجانب و محور Ox را به صورت j نشان دهیم. MQ عمود بر محور Ox مجانب را در نقطه N قطع می کند.

سپس MQ = y ترتیب نقطه روی منحنی است، NQ = مرتبه نقطه N روی مجانب است.

با توجه به شرط:، ÐNMP = j،.

پس زاویه j ثابت است و برابر 90 0 نیست

سپس .

بنابراین، خط مستقیم y = kx + b مجانب منحنی است. برای تعیین دقیق این خط، باید راهی برای محاسبه ضرایب k و b یافت.

در عبارت حاصل، x را از پرانتز خارج می کنیم:

زیرا x®¥، سپس ، زیرا b = const، سپس .

سپس از این رو،

.

زیرا ، آن از این رو،

توجه داشته باشید که مجانب افقی یک مورد خاص از مجانب مایل برای k = 0 هستند.

مثال. .

1) مجانب عمودی: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0، بنابراین، x = 0 مجانبی عمودی است.

2) مجانب مایل:

بنابراین، خط مستقیم y = x + 2 مجانبی مورب است.

بیایید تابع را رسم کنیم:

مثال.مجانبی را پیدا کنید و تابع را رسم کنید.

خطوط x = 3 و x = -3 مجانب عمودی منحنی هستند.

بیایید مجانب مایل را پیدا کنیم:

y = 0 - مجانب افقی.

مثال.مجانبی را پیدا کنید و تابع را رسم کنید .

خط مستقیم x = -2 مجانب عمودی منحنی است.

بیایید مجانب مایل را پیدا کنیم.

در مجموع، خط مستقیم y = x – 4 مجانبی مورب است.

طرح مطالعه تابع

فرآیند تحقیق عملکرد شامل چندین مرحله است. برای درک کامل از رفتار تابع و ماهیت نمودار آن، لازم است:

1) دامنه وجودی تابع.

این مفهوم هم دامنه مقادیر و هم دامنه تعریف یک تابع را شامل می شود.

2) نقاط شکست. (در صورت موجود بودن).

3) فواصل افزایش و کاهش.

4) حداکثر و حداقل امتیاز.

5) مقدار حداکثر و حداقل یک تابع در دامنه تعریف آن.

6) نواحی تحدب و تقعر.

7) نقاط عطف (در صورت وجود).

8) مجانب (در صورت وجود).

9) ساختن نمودار.

بیایید با استفاده از یک مثال به کاربرد این طرح نگاه کنیم.

مثال.تابع را کاوش کرده و نمودار آن را بسازید.

دامنه وجود تابع را پیدا می کنیم. بدیهی است که حوزه تعریفتابع مساحت (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) است.

به نوبه خود، واضح است که خطوط مستقیم x = 1، x = -1 هستند مجانب عمودیکج

محدوده ارزش هااین تابع فاصله (-¥؛ ¥) است.

نقاط شکستتوابع نقاط x = 1، x = -1 هستند.

ما پیدا می کنیم نقاط بحرانی.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم

نقاط بحرانی: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

بیایید مشتق دوم تابع را پیدا کنیم

اجازه دهید تحدب و تقعر منحنی را در فواصل زمانی مشخص کنیم.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0، منحنی مقعر

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0، منحنی مقعر

< x < ¥, y¢¢ >0، منحنی مقعر

پیدا کردن شکاف ها افزایش می یابدو نزولیکارکرد. برای انجام این کار، علائم مشتق تابع را در فواصل زمانی تعیین می کنیم.

-¥ < x < - , y¢ >0، تابع در حال افزایش است

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0، تابع در حال افزایش است

مشاهده می شود که نقطه x = - یک نقطه است بیشترین، و نقطه x = یک نقطه است کمترین. مقادیر تابع در این نقاط به ترتیب برابر با -3/2 و 3/2 است.

در مورد عمودی مجانبیقبلاً در بالا گفته شده است. حالا بیایید پیدا کنیم مجانب مایل.

در مجموع معادله مجانب مایل y = x است.

بیایید بسازیم برنامهامکانات:

توابع چندین متغیر

هنگامی که توابع چندین متغیر را در نظر می گیریم، خود را به شرح دقیق توابع دو متغیر محدود می کنیم، زیرا تمام نتایج به دست آمده برای توابع تعداد دلخواه متغیر معتبر خواهد بود.

تعریف: اگر هر جفت اعداد مستقل متقابل (x,y) از یک مجموعه معین، طبق قاعده ای با یک یا چند مقدار از متغیر z همراه باشد، متغیر z تابعی از دو متغیر نامیده می شود.

تعریف: اگر یک جفت اعداد (x، y) با یک مقدار z مطابقت داشته باشد، تابع فراخوانی می شود بدون ابهام، و اگر بیش از یک، پس - چند معنایی.

تعریف:حوزه تعریفتابع z مجموعه ای از جفت ها (x,y) است که تابع z برای آنها وجود دارد.

تعریف:همسایگی یک نقطه M 0 (x 0, y 0) شعاع r مجموعه ای از تمام نقاط (x, y) است که شرط را برآورده می کند. .

تعریف: عدد A نامیده می شود حدتابع f(x,y) به عنوان نقطه M(x,y) به نقطه M 0 (x 0, y 0) میل می کند، اگر برای هر عدد e > 0 یک عدد r > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه M (x، y)، که شرط برای آن صادق است

شرط نیز صادق است .

بنویس:

تعریف: فرض کنید نقطه M 0 (x 0, y 0) متعلق به دامنه تعریف تابع f(x,y) باشد. سپس تابع z = f(x,y) فراخوانی می شود مداومدر نقطه M 0 (x 0، y 0)، اگر

(1)

و نقطه M(x, y) به صورت دلخواه به نقطه M 0 (x 0, y 0) تمایل دارد.

اگر در هر نقطه ای شرط (1) برآورده نشد، آن نقطه نامیده می شود نقطه شکستتوابع f(x,y). این ممکن است در موارد زیر باشد:

1) تابع z = f(x, y) در نقطه M 0 (x 0, y 0) تعریف نشده است.

2) محدودیتی وجود ندارد.

3) این حد وجود دارد، اما برابر با f(x 0 , y 0) نیست.

ویژگی. اگر تابع f(x,y,…) در یک و بسته تعریف و پیوسته باشد

دامنه D محدود شده است، سپس در این دامنه حداقل یک نقطه وجود دارد

N(x 0 , y 0 , …) به طوری که برای نقاط باقیمانده نابرابری درست است

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

و همچنین نقطه N 1 (x 01, y 01, ...)، به طوری که برای تمام نقاط دیگر نابرابری صادق است

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

سپس f(x 0 , y 0 , …) = M – بالاترین ارزشتوابع، و f(x 01، y 01، ...) = m - کوچکترین ارزشتوابع f(x,y,…) در دامنه D.

یک تابع پیوسته در یک دامنه بسته و محدود D حداقل یک بار به بزرگترین مقدار و یک بار به کوچکترین مقدار خود می رسد.

ویژگی. اگر تابع f(x, y, …) در یک دامنه محدود بسته D تعریف و پیوسته باشد و M و m به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در این دامنه هستند، برای هر نقطه m О یک نکته وجود دارد

N 0 (x 0 , y 0 , …) به طوری که f(x 0 , y 0 , …) = m.

به زبان ساده، یک تابع پیوسته در دامنه D تمام مقادیر میانی بین M و m را می گیرد. نتیجه این ویژگی می تواند این نتیجه باشد که اگر اعداد M و m دارای علائم متفاوت باشند، در دامنه D تابع حداقل یک بار ناپدید می شود.

ویژگی. تابع f(x، y، …)، پیوسته در یک دامنه محدود بسته D، محدوددر این ناحیه، اگر عدد K وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط منطقه نابرابری درست باشد .

ویژگی. اگر یک تابع f(x,y,…) در یک دامنه محدود بسته D تعریف و پیوسته باشد، آنگاه یکنواخت پیوستهدر این منطقه، یعنی برای هر عدد مثبت e یک عدد D > 0 وجود دارد به طوری که برای هر دو نقطه (x 1, y 1) و (x 2, y 2) ناحیه واقع در فاصله کمتر از D، نابرابری برقرار است.

ویژگی های فوق مشابه ویژگی های توابع یک متغیر است که در یک بازه پیوسته هستند. خواص توابع پیوسته در یک بازه را ببینید.

مشتقات و دیفرانسیل توابع

چندین متغیر

تعریف. اجازه دهید تابع z = f(x, y) در یک دامنه داده شود. بیایید یک نقطه دلخواه M(x,y) بگیریم و افزایش Dx را روی متغیر x قرار دهیم. سپس مقدار D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) نامیده می شود. افزایش جزئی تابع در x.

می توانید یادداشت کنید

.

سپس نامیده می شود مشتق جزئیتوابع z = f(x,y) در x.

تعیین:

مشتق جزئی یک تابع با توجه به y به طور مشابه تعیین می شود.

حس هندسیمشتق جزئی (مثلاً) مماس زاویه شیب مماس رسم شده در نقطه N 0 (x 0, y 0, z 0) به سطح سطح توسط صفحه y = y 0 است.

فول افزایشی و دیفرانسیل کامل.

صفحه مماس

فرض کنید N و N 0 نقاط این سطح باشند. بیایید یک خط مستقیم NN 0 رسم کنیم. صفحه ای که از نقطه N 0 عبور می کند نامیده می شود صفحه مماساگر زاویه بین مقطع NN 0 و این صفحه به صفر گرایش داشته باشد، زمانی که فاصله NN 0 به صفر میل کند، به سطح می رسد.

تعریف.طبیعیبه سطح در نقطه N 0 یک خط مستقیم است که از نقطه N 0 عمود بر صفحه مماس به این سطح می گذرد.

در هر نقطه ای سطح یا فقط یک صفحه مماس دارد یا اصلاً آن را ندارد.

اگر سطح با معادله z = f(x,y) داده شود، که در آن f(x,y) تابعی است که در نقطه M 0 (x 0, y 0) قابل تفکیک است، صفحه مماس در نقطه N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) وجود دارد و دارای معادله:

معادله نرمال به سطح در این نقطه به صورت زیر است:

حس هندسیدیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر f(x, y) در نقطه (x 0, y 0) افزایش کاربرد (مختصات z) صفحه مماس به سطح هنگام حرکت از نقطه (x 0) است. , y 0) به نقطه (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

همانطور که می بینید، معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر، آنالوگ فضایی معنای هندسی دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر است.

مثال.معادلات صفحه مماس و نرمال به سطح را بیابید

در نقطه M(1، 1، 1).

معادله صفحه مماس:

معادله عادی:

محاسبات تقریبی با استفاده از مجموع دیفرانسیل.

دیفرانسیل کل تابع u برابر است با:

مقدار دقیق این عبارت 1.049275225687319176 است.

مشتقات جزئی از مرتبه های بالاتر.

اگر تابع f(x,y) در دامنه D تعریف شده باشد، مشتقات جزئی آن نیز در همان دامنه یا بخشی از آن تعریف خواهند شد.

ما این مشتقات را می نامیم مشتقات جزئی مرتبه اول

مشتقات این توابع خواهد بود مشتقات جزئی مرتبه دوم

با ادامه تمایز برابری های حاصل، مشتقات جزئی از مرتبه های بالاتر را به دست می آوریم.

تابع و بررسی ویژگی های آن یکی از فصل های کلیدی در ریاضیات مدرن را اشغال می کند. مؤلفه اصلی هر تابع نمودارهایی است که نه تنها ویژگی های آن، بلکه پارامترهای مشتق این تابع را نیز نشان می دهد. بیایید این موضوع دشوار را درک کنیم. بنابراین بهترین راه برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط یک تابع چیست؟

تابع: تعریف

هر متغیری که به نحوی به مقادیر کمیت دیگری بستگی دارد را می توان تابع نامید. به عنوان مثال، تابع f(x 2) درجه دوم است و مقادیر کل مجموعه x را تعیین می کند. فرض کنید x = 9، آنگاه مقدار تابع ما برابر با 9 2 = 81 خواهد بود.

توابع انواع مختلفی دارند: منطقی، برداری، لگاریتمی، مثلثاتی، عددی و غیره. آنها توسط ذهن های برجسته ای مانند لاکروآ، لاگرانژ، لایب نیتس و برنولی مورد مطالعه قرار گرفتند. آثار آنها به عنوان پایه ای در روش های مدرن مطالعه توابع عمل می کند. قبل از یافتن حداقل امتیازها، درک معنای تابع و مشتق آن بسیار مهم است.

مشتق و نقش آن

همه توابع به متغیرهای خود بستگی دارند، به این معنی که آنها می توانند مقدار خود را در هر زمان تغییر دهند. در نمودار، این به عنوان یک منحنی نشان داده می‌شود که در امتداد محور مختصات می‌افتد یا افزایش می‌یابد (این کل مجموعه اعداد "y" در امتداد نمودار عمودی است). بنابراین، تعیین حداکثر و حداقل نقاط یک تابع دقیقاً مربوط به این "نوسانات" است. اجازه دهید توضیح دهیم که این رابطه چیست.

مشتق هر تابع به منظور مطالعه ویژگی های اصلی آن و محاسبه سرعت تغییر تابع (یعنی مقدار آن بسته به متغیر "x" تغییر می کند، نمودار می شود. در لحظه ای که تابع افزایش می یابد، نمودار مشتق آن نیز افزایش می یابد، اما در هر ثانیه تابع می تواند شروع به کاهش کند و سپس نمودار مشتق کاهش می یابد. نقاطی که مشتق از علامت منفی به علامت مثبت تغییر می کند، نقاط حداقل نامیده می شوند. برای اینکه بدانید چگونه حداقل امتیازها را پیدا کنید، باید بهتر درک کنید

چگونه مشتق را محاسبه کنیم؟

تعریف و توابع بر مفاهیم متعددی دلالت دارند به طور کلی، خود تعریف مشتق را می توان به صورت زیر بیان کرد: این کمیتی است که میزان تغییر تابع را نشان می دهد.

روش ریاضی تعیین آن برای بسیاری از دانش آموزان پیچیده به نظر می رسد، اما در واقعیت همه چیز بسیار ساده تر است. شما فقط باید از طرح استاندارد برای یافتن مشتق هر تابع پیروی کنید. در زیر توضیح می دهیم که چگونه می توانید حداقل نقطه یک تابع را بدون اعمال قوانین تمایز و بدون به خاطر سپردن جدول مشتقات پیدا کنید.

1. می توانید مشتق یک تابع را با استفاده از نمودار محاسبه کنید. برای انجام این کار، باید خود تابع را به تصویر بکشید، سپس یک نقطه روی آن بگیرید (نقطه A در شکل)، یک خط به صورت عمودی به سمت پایین تا محور آبسیسا (نقطه x 0) و در نقطه A یک مماس بر روی آن رسم کنید. نمودار تابع محور x و مماس یک زاویه a را تشکیل می دهند. برای محاسبه مقدار سرعت افزایش یک تابع، باید مماس این زاویه a را محاسبه کنید.
2. معلوم می شود که مماس زاویه بین مماس و جهت محور x مشتق تابع در ناحیه کوچک با نقطه A است. این روش یک روش هندسی برای تعیین مشتق در نظر گرفته می شود.

روش های مطالعه عملکرد

در برنامه درسی ریاضی مدرسه به دو صورت می توان حداقل نقطه یک تابع را یافت. ما قبلاً روش اول را با استفاده از نمودار مورد بحث قرار داده ایم، اما چگونه می توانیم مقدار عددی مشتق را تعیین کنیم؟ برای انجام این کار، باید چندین فرمول را یاد بگیرید که ویژگی های مشتق را توصیف می کند و به تبدیل متغیرهایی مانند x به اعداد کمک می کند. روش زیر جهانی است، بنابراین می توان آن را تقریبا برای همه انواع توابع (هم هندسی و هم لگاریتمی) اعمال کرد.

1. لازم است تابع را با تابع مشتق برابر کنیم و سپس با استفاده از قوانین تمایز عبارت را ساده کنیم.
2. در برخی موارد، وقتی به تابعی داده می‌شود که در آن متغیر x در مقسوم‌گیرنده است، باید محدوده مقادیر قابل قبول را تعیین کرد و نقطه صفر را از آن حذف کرد (به این دلیل ساده که در ریاضیات هرگز نباید تقسیم بر صفر).
3. پس از این، شما باید شکل اصلی تابع را به یک معادله ساده تبدیل کنید و کل عبارت را با صفر برابر کنید. به عنوان مثال، اگر تابع به این شکل باشد: f(x) = 2x 3 +38x، پس طبق قوانین تمایز مشتق آن برابر است با f"(x) = 3x 2 +1. سپس این عبارت را به یک تبدیل می کنیم. معادله شکل زیر: 3x 2 +1 = 0 .
4. پس از حل معادله و یافتن نقاط "x"، باید آنها را روی محور x رسم کنید و مشخص کنید که مشتق در این بخش ها بین نقاط علامت گذاری شده مثبت است یا منفی. پس از تعیین، مشخص می شود که در چه نقطه ای تابع شروع به کاهش می کند، یعنی علامت را از منفی به مخالف تغییر می دهد. به این ترتیب است که می توانید حداقل و حداکثر امتیاز را پیدا کنید.

قوانین تمایز

اساسی ترین مؤلفه در مطالعه یک تابع و مشتق آن، آگاهی از قوانین تمایز است. فقط با کمک آنها می توانید عبارات دست و پا گیر و توابع پیچیده بزرگ را تغییر دهید. بیایید با آنها آشنا شویم، تعداد آنها بسیار زیاد است، اما همه آنها به دلیل خواص طبیعی توابع توان و لگاریتمی بسیار ساده هستند.

1. مشتق هر ثابت برابر با صفر است (f(x) = 0). یعنی مشتق f(x) = x 5 + x - 160 به شکل زیر خواهد بود: f" (x) = 5x 4 +1.
2. مشتق از مجموع دو جمله: (f+w)" = f"w + fw".
3. مشتق تابع لگاریتمی: (log a d)" = d/ln a*d. این فرمول برای همه انواع لگاریتم کاربرد دارد.
4. مشتق توان: (x n)"= n*x n-1. به عنوان مثال، (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. مشتق تابع سینوسی: (sin a)" = cos a. اگر sin زاویه a 0.5 باشد، مشتق آن √3/2 است.

نقاط افراطی

قبلاً در مورد چگونگی یافتن حداقل امتیاز صحبت کرده ایم، اما مفهوم حداکثر امتیاز یک تابع نیز وجود دارد. اگر مینیمم نقاطی را نشان می دهد که در آنها تابع از علامت منفی به مثبت تغییر می کند، حداکثر نقاط آن نقاطی در محور x هستند که در آنها مشتق تابع از مثبت به منفی تغییر می کند.

با استفاده از روشی که در بالا توضیح داده شد می توانید آن را پیدا کنید، اما باید در نظر داشته باشید که آنها مناطقی را نشان می دهند که در آنها تابع شروع به کاهش می کند، یعنی مشتق کمتر از صفر خواهد بود.

در ریاضیات مرسوم است که هر دو مفهوم را تعمیم داده و عبارت "نقاط افراطی" را جایگزین آنها کنیم. وقتی یک کار از شما می خواهد که این نقاط را تعیین کنید، به این معنی است که باید مشتق یک تابع معین را محاسبه کنید و حداقل و حداکثر امتیاز را پیدا کنید.

از این مقاله خواننده در مورد اینکه ارزش عملکردی افراطی چیست و همچنین ویژگی های استفاده از آن در فعالیت های عملی را یاد می گیرد. مطالعه چنین مفهومی برای درک مبانی ریاضیات عالی بسیار مهم است. این موضوع برای مطالعه عمیق تر این دوره اساسی است.

در تماس با

افراط چیست؟

در دوره مدرسه، تعاریف بسیاری از مفهوم "افراط" ارائه شده است. این مقاله قصد دارد عمیق ترین و واضح ترین درک را برای کسانی که از این موضوع بی اطلاع هستند ارائه دهد. بنابراین، این اصطلاح درک می شود که فاصله عملکردی تا چه حد در یک مجموعه خاص مقدار حداقل یا حداکثر را به دست می آورد.

یک اکستروم هم مقدار حداقل یک تابع و هم حداکثر مقدار در آن واحد است. یک نقطه حداقل و یک نقطه حداکثر، یعنی مقادیر افراطی آرگومان در نمودار وجود دارد. عمده ترین علومی که از این مفهوم استفاده می کنند عبارتند از:

• آمار؛
• کنترل ماشین؛
• اقتصاد سنجی

نقاط افراطی نقش مهمی در تعیین توالی یک تابع معین دارند. سیستم مختصات در نمودار در بهترین حالت خود تغییر در موقعیت شدید را بسته به تغییر در عملکرد نشان می دهد.

مادون تابع مشتق

همچنین پدیده ای به عنوان "مشتق" وجود دارد. تعیین نقطه اکستریموم ضروری است. مهم است که حداقل یا حداکثر امتیاز را با بالاترین و کمترین مقادیر اشتباه نگیرید. اینها مفاهیم متفاوتی هستند، اگرچه ممکن است شبیه به هم به نظر برسند.

مقدار تابع عامل اصلی در تعیین نحوه یافتن حداکثر نقطه است. مشتق از ارزش ها شکل نمی گیرد، بلکه منحصراً از موقعیت افراطی آن در این یا آن ترتیب است.

خود مشتق بر اساس این نقاط افراطی تعیین می شود و نه بر اساس بزرگترین یا کوچکترین مقدار. در مدارس روسی مرز بین این دو مفهوم به وضوح ترسیم نشده است که به طور کلی بر درک این موضوع تأثیر می گذارد.

اجازه دهید اکنون چنین مفهومی را به عنوان "افراط حاد" در نظر بگیریم. امروزه یک مقدار حداقل حاد و یک مقدار حداکثر حاد وجود دارد. این تعریف مطابق با طبقه بندی روسی نقاط بحرانی یک تابع ارائه شده است. مفهوم نقطه افراطی مبنایی برای یافتن نقاط بحرانی در یک نمودار است.

برای تعریف چنین مفهومی به استفاده از قضیه فرما متوسل می شوند. این مهمترین در مطالعه نقاط افراطی است و تصور روشنی از وجود آنها به یک شکل یا شکل دیگر می دهد. برای اطمینان از افراط، ایجاد شرایط خاصی برای کاهش یا افزایش در نمودار مهم است.

برای پاسخ دقیق به سؤال "چگونه می توان حداکثر امتیاز را پیدا کرد"، باید این دستورالعمل ها را دنبال کنید:

1. یافتن دامنه دقیق تعریف بر روی نمودار.
2. مشتق یک تابع و نقطه منتهی را جستجو کنید.
3. نابرابری های استاندارد را برای دامنه ای که آرگومان در آن یافت می شود حل کنید.
4. بتواند ثابت کند که در کدام توابع یک نقطه از یک نمودار تعریف شده و پیوسته است.

توجه!جستجو برای نقطه بحرانی یک تابع تنها در صورتی امکان پذیر است که مشتقی حداقل مرتبه دوم وجود داشته باشد، که با نسبت بالایی از حضور یک نقطه اکسترموم تضمین می شود.

شرط لازم برای حداکثر یک تابع

برای اینکه یک افراط وجود داشته باشد، مهم است که حداقل و حداکثر امتیاز وجود داشته باشد. اگر این قاعده فقط به طور جزئی رعایت شود، شرط وجود افراط نقض می شود.

هر تابع در هر موقعیتی باید متمایز شود تا معانی جدید آن مشخص شود. درک این نکته مهم است که حالتی که یک نقطه به سمت صفر می رود، اصل اصلی برای یافتن یک نقطه قابل تمایز نیست.

یک اکستروم حاد، و همچنین حداقل یک تابع، جنبه بسیار مهمی از حل یک مسئله ریاضی با استفاده از مقادیر شدید است. برای درک بهتر این مؤلفه، مراجعه به مقادیر جدولی برای مشخص کردن عملکرد مهم است.

تحقیق کامل معنا

ترسیم نمودار ارزش

1. تعیین نقاط افزایش و کاهش مقادیر. 2. یافتن نقاط ناپیوستگی، انتها و تقاطع با محورهای مختصات. 3. فرآیند تعیین تغییرات موقعیت در یک نمودار. 4. تعیین نشانگر و جهت تحدب و تحدب با در نظر گرفتن وجود مجانب. 5. ایجاد جدول خلاصه تحقیق از نظر تعیین مختصات آن. 6. یافتن فواصل افزایش و کاهش نقاط افراطی و تیز. 7. تعیین تحدب و تقعر یک منحنی. 8. ترسیم یک نمودار با در نظر گرفتن تحقیق به شما امکان می دهد حداقل یا حداکثر را پیدا کنید.

عنصر اصلی زمانی که لازم است با نقاط افراطی کار کرد، ساخت دقیق نمودار آن است. معلمان مدرسه اغلب به چنین جنبه مهمی که نقض فاحش فرآیند آموزشی است، حداکثر توجه را نمی کنند. ساخت یک نمودار تنها بر اساس نتایج مطالعه داده های عملکردی، شناسایی نقاط حاد و همچنین نقاط روی نمودار اتفاق می افتد. منتهی الیه تابع مشتق بر روی نموداری از مقادیر دقیق با استفاده از یک روش استاندارد برای تعیین مجانب نمایش داده می شود. نقاط حداکثر و حداقل تابع با ساختارهای نمودار پیچیده تری همراه است. این به دلیل نیاز عمیق تر برای حل مشکل اکستروم حاد است. همچنین لازم است مشتق یک تابع پیچیده و ساده را پیدا کنیم، زیرا این یکی از مهمترین مفاهیم در مسئله اکستروم است.

افراطی از عملکرد

برای یافتن مقدار فوق، باید قوانین زیر را رعایت کنید:

• تعیین شرط لازم برای یک رابطه افراطی؛
• شرایط کافی نقاط انتهایی نمودار را در نظر بگیرید.
• محاسبه اکستروم حاد را انجام دهید.

از مفاهیمی مانند حداقل ضعیف و حداقل قوی نیز استفاده می شود. این باید در هنگام تعیین اکستریم و محاسبه دقیق آن در نظر گرفته شود. در عین حال، عملکرد حاد جستجو و ایجاد تمام شرایط لازم برای کار با نمودار یک تابع است.

حداکثر بیشترین تعداد یا بالاترین حدی است که می توان به آن رسید. همانطور که همه ما به خوبی می دانیم، حداقل، دقیقاً مخالف حداکثر است، یعنی. این کوچکترین عدد و کوچکترین حد است. کلمات حداقل و حداکثر و همچنین مشتقات آنها در عبارات و عباراتی مانند:

از ارتباطات حداکثر بهره را ببرید.

برای یادگیری یک شعر باید حداقل 3-4 بار آن را بخوانید.

حداکثر کاری که او می تواند انجام دهد این است که ...

آنها حداقل دو دوست مشترک دارند.

او حداکثر امتیاز را دریافت کرد.

از فرصت های خود نهایت استفاده را ببرید!

این حداقل چیزی است که باید بدانید.

دستمزد زندگی

حداقل فشار اتمسفر

حداقل/حداکثر هوای سرد برای ….. سال.

برای تکمیل این کار حداقل به چند ساعت زمان نیاز دارید.

مفاهیمی مانند حداکثر و حداقل را نیز در اصطلاحات علمی خاص می توان یافت. به عنوان مثال، در ریاضیات مفهومی به عنوان حداکثر و حداقل یک تابع وجود دارد.

بنابراین در ریاضیات حداکثر مقدار یک تابع را حداکثر می نامند. در این حالت حداکثر مقدار تابع از همه مقادیر مجاور آن بیشتر است. ماکزیمم یک تابع زمانی است که مقدار آن ابتدا افزایش می یابد و سپس بلافاصله شروع به کاهش می کند، در حالی که در جایی که افزایش و کاهش تابع از یکی به دیگری منتقل می شود دارای حداکثر است. بر این اساس، حداقل یک تابع، کوچکترین مقدار تابع است.

اولین مشتق یک تابع را می توان مثبت در نظر گرفت اگر وقتی متغیر را افزایش دادیم بالا رفت، آنگاه می توان تابع را مثبت در نظر گرفت. اگر با افزایش مشتق، متغیر اول کاهش یابد، تابع باید منفی در نظر گرفته شود.

مشتق، مقدار پایه ای است که در محاسبات دیفرانسیل استفاده می شود (مطالعه مشتقات و دیفرانسیل ها، که به مطالعه توابع ریاضی کمک می کند)، می توان آن را به عنوان نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه خاص درک کرد. هر چه سرعت بیشتر باشد، تابع بیشتر تغییر می کند؛ هر چه کمتر، کندتر (البته این تنها در صورتی صادق است که تابع مثبت باشد). بنابراین، این نرخ تغییر تابع در یک نقطه معین است که شیب ها و تحدب های آن را تعیین می کند. متغیر کمیتی است که می تواند مقدار خود را تغییر دهد. با x یا زمان مشخص می شود.

یک متغیر را می توان ویژگی یک سیستم (هم فیزیکی و هم انتزاعی) در نظر گرفت که می تواند مقدار آن را تغییر دهد. در یک مفهوم جهانی تر، یک متغیر را می توان زمان، دما و به طور کلی کل زندگی نامید (آنها می توانند تغییر کنند). یک متغیر دارای مقادیر زیادی است که می تواند به خود بگیرد. می توانیم فرض کنیم که این مجموعه یک متغیر است.

در مورد خود تابع، باید از یک مقدار مثبت به یک مقدار منفی از صفر برود. بنابراین، در مقدار متغیری که حداکثر تابع با آن مطابقت دارد، مشتق آن برابر با صفر خواهد بود. این ویژگی تابع است که به ما امکان می دهد مقادیر x را تعیین کنیم که در آن تابع به حداکثر خود می رسد. با این حال، اگر متغیر را افزایش دهیم و در همان زمان، تابع ابتدا افزایش و سپس کاهش یابد، آنگاه تابع در هنگام تغییر از مقدار منفی به مقدار مثبت (از صفر) به حداکثر نمی رسد، اما برعکس، حداقل مقدار. اگرچه، به طور منطقی، این می تواند به عنوان حداکثر مقدار در نظر گرفته شود (در نقطه بالای تابع قرار دارد).

نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط اکسترموم نیز می گویند.

بنابراین، هم در زندگی عادی و هم در ریاضیات، حداکثر و حداقل دو متضاد افراطی هستند که به معنای چیزی بزرگترین و چیزی کوچکترین است.