Käänteiset trigonometriset funktiot ovat matemaattisia funktioita, jotka ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita.

Funktio y=arcsin(x)

Luvun α arksini on luku α väliltä [-π/2;π/2], jonka sini on yhtä suuri kuin α.
Funktion kaavio
Funktio у= sin⁡(x) välillä [-π/2;π/2] on tiukasti kasvava ja jatkuva; siksi sillä on käänteinen funktio, tiukasti kasvava ja jatkuva.
Käänteisfunktiota funktiolle y= sin⁡(x), jossa x ∈[-π/2;π/2], kutsutaan arcsiniksi ja sitä merkitään y=arcsin(x), missä x∈[-1;1 ].
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan arsinin määritelmäalue on segmentti [-1;1] ja arvojoukko on segmentti [-π/2;π/2].
Huomaa, että funktion y=arcsin(x) kuvaaja, jossa x ∈[-1;1], on symmetrinen funktion y= sin(⁡x) kuvaajalle, missä x∈[-π/2;π /2], suhteessa koordinaattikulmien puolittajaan ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen osalta.

Funktioalue y=arcsin(x).

Esimerkki nro 1.

Löytyykö arcsin(1/2)?

Koska funktion arcsin(x) arvoalue kuuluu väliin [-π/2;π/2], niin vain arvo π/6 on sopiva, joten arcsin(1/2) =π/ 6.
Vastaus:π/6

Esimerkki nro 2.
Löytyykö arcsin(-(√3)/2)?

Koska arvoalue arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], niin vain arvo -π/3 on sopiva, joten arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funktio y=arccos(x)

Luvun α kakkosini on luku α väliltä, ​​jonka kosini on yhtä suuri kuin α.

Funktion kaavio

Funktio y= cos(⁡x) segmentillä on tiukasti laskeva ja jatkuva; siksi sillä on käänteinen funktio, tiukasti laskeva ja jatkuva.
Kutsutaan funktion y= cos⁡x käänteisfunktio, jossa x ∈ kaari kosini ja sitä merkitään y=arccos(x), missä x ∈[-1;1].
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan kaarikosinin määritelmäalue on segmentti [-1;1] ja arvojoukko on segmentti.
Huomaa, että funktion y=arccos(x) kuvaaja, jossa x ∈[-1;1] on symmetrinen funktion y= cos(⁡x) kuvaajalle, jossa x ∈, suhteessa funktion puolittajaan. ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmat.

Toimintoalue y=arccos(x).

Esimerkki nro 3.

Löytyykö arccos(1/2)?

Koska arvoalue on arccos(x) x∈, niin vain arvo π/3 on sopiva, joten arccos(1/2) =π/3.
Esimerkki nro 4.
Löytyykö arccos(-(√2)/2)?

Koska funktion arccos(x) arvoalue kuuluu väliin, niin vain arvo 3π/4 on sopiva, joten arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Vastaus: 3π/4

Funktio y=arctg(x)

Luvun α arktangentti on luku α väliltä [-π/2;π/2], jonka tangentti on yhtä suuri kuin α.

Funktion kaavio

Tangenttifunktio on jatkuva ja tiukasti kasvava välillä (-π/2;π/2); siksi sillä on käänteisfunktio, joka on jatkuva ja tiukasti kasvava.
Käänteisfunktio funktiolle y= tan⁡(x), missä x∈(-π/2;π/2); kutsutaan arctangentiksi ja sitä merkitään y=arctg(x), missä x∈R.
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan arktangentin määritelmäalue on väli (-∞;+∞) ja arvojoukko on väli
(-π/2;π/2).
Huomaa, että funktion y=arctg(x), jossa x∈R, kuvaaja on symmetrinen funktion y= tan⁡x kuvaajalle, missä x ∈ (-π/2;π/2), suhteessa ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmien puolittaja.

Funktion y=arctg(x) alue.

Esimerkki nro 5?

Etsi arctan((√3)/3).

Koska arvoalue on arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), niin vain arvo π/6 on sopiva, joten arctg((√3)/3) =π/6.
Esimerkki nro 6.
Löytyykö arctg(-1)?

Koska arvoalue on arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), vain arvo -π/4 on sopiva, joten arctg(-1) = - π/4.

Funktio y=arcctg(x)

Luvun α arkkikotangentti on luku α väliltä (0;π), jonka kotangentti on yhtä suuri kuin α.

Funktion kaavio

Välillä (0;π) kotangenttifunktio pienenee tiukasti; lisäksi se on jatkuva tämän aikavälin jokaisessa pisteessä; siksi välissä (0;π) tällä funktiolla on käänteisfunktio, joka on tiukasti laskeva ja jatkuva.
Käänteisfunktiota funktiolle y=ctg(x), jossa x ∈(0;π), kutsutaan arkotangentiksi ja sitä merkitään y=arcctg(x), missä x∈R.
Eli käänteisfunktion määritelmän mukaan arkkotangentin määritelmäalue on R ja arvojoukko väli (0;π). Funktion kaavio y=arcctg(x) , jossa x∈R on symmetrinen funktion y=ctg(x) x∈(0 ;π) kuvaajalle, suhteessa ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmien puolittajaan.

Funktioalue y=arcctg(x).

Esimerkki nro 7.
Löytääkö arcctg((√3)/3)?

Koska arvoalue on arcctg(x) x ∈(0;π), vain arvo π/3 on sopiva, joten arccos((√3)/3) =π/3.

Esimerkki nro 8.
Löytääkö arcctg(-(√3)/3)?

Koska arvoalue on arcctg(x) x∈(0;π), niin vain arvo 2π/3 on sopiva, joten arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Toimittajat: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Määritelmä ja merkintä

Arcsine (y = arcsin x) on sinin (x =) käänteisfunktio synkkä -1 ≤ x ≤ 1 ja arvojen joukko -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsine on joskus merkitty seuraavasti:
.

Arsinifunktion kuvaaja

Funktion y = kuvaaja arcsin x

Arsinigraafi saadaan sinigraafista, jos abskissa- ja ordinaatta-akselit vaihdetaan. Epäselvyyden poistamiseksi arvoalue on rajoitettu aikaväliin, jonka aikana toiminto on monotoninen. Tätä määritelmää kutsutaan arcsinin pääarvoksi.

Arccosine, arccos

Määritelmä ja merkintä

Kaarikosini (y = arccos x) on kosinin (x =) käänteisfunktio cos y). Sillä on laajuus -1 ≤ x ≤ 1 ja monia merkityksiä 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arccosine on joskus merkitty seuraavasti:
.

Kaarikosinifunktion kuvaaja

Funktion y = kuvaaja arccos x

Kaarikosinigraafi saadaan kosinigraafista, jos abskissa- ja ordinaatta-akselit vaihdetaan. Epäselvyyden poistamiseksi arvoalue on rajoitettu aikaväliin, jonka aikana toiminto on monotoninen. Tätä määritelmää kutsutaan kaarikosinin pääarvoksi.

Pariteetti

Arsinifunktio on outo:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Kaarikosinifunktio ei ole parillinen tai pariton:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - kaari x ≠ ± kaari x

Ominaisuudet - äärimmäisyys, lisäys, lasku

Funktiot arcsini ja arkosiini ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Arkosiinin ja arkosiinin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

	y = arcsin x	y = arccos x
Laajuus ja jatkuvuus	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Arvoalue
Nouseva laskeva	lisääntyy monotonisesti	vähenee monotonisesti
Huiput
Minimiarvot
Nollat, y = 0	x = 0	x = 1
Leikkauspisteet ordinaattisella akselilla, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Arkosiinien ja arkosiinien taulukko

Tämä taulukko esittää arkosiinien ja arkosiinien arvot asteina ja radiaaneina tietyille argumentin arvoille.

x	arcsin x		arccos x
	rakeita	iloinen.	rakeita	iloinen.
- 1	-90°	-	180°	π
-	-60°	-	150°
-	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Kaavat

Katso myös: Käänteisten trigonometristen funktioiden kaavojen johtaminen

Summa- ja erotuskaavat

klo tai

klo ja

klo ja

klo tai

klo ja

klo ja

klo

klo

klo

klo

Lausekkeet logaritmeilla, kompleksiluvuilla

Katso myös: Kaavojen johtaminen

Lausekkeet hyperbolisten funktioiden kautta

Johdannaiset

;
.
Katso Arkosiini- ja arkosiinijohdannaisten derivointi >>>

Korkeamman asteen johdannaiset:
,
missä on astepolynomi. Se määritetään kaavoilla:
;
;
.

Katso Arsiinin ja arkosiinin korkeamman asteen johdannaisten derivointi >>>

Integraalit

Teemme korvauksen x = synti t. Integroimme osittain ottaen huomioon, että -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Ilmaistaan ​​kaarikosinin kaarisinin kautta:
.

Sarjan laajennus

Kun |x|< 1 tapahtuu seuraava hajoaminen:
;
.

Käänteiset funktiot

Arkosinin ja arkosinin käänteiset ovat sini ja kosini, vastaavasti.

Seuraavat kaavat ovat voimassa koko määritelmän alueella:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Seuraavat kaavat ovat voimassa vain arcsini- ja arkosiiniarvojen joukossa:
arcsin(sin x) = x klo
arccos(cos x) = x osoitteessa .

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.

Katso myös:

Käänteiset trigonometriset funktiot- nämä ovat arcsini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti.

Ensin annetaan joitakin määritelmiä.

arcsininen Tai voimme sanoa, että tämä on kulma, joka kuuluu segmenttiin, jonka sini on yhtä suuri kuin luku a.

kaari kosini numeroa a kutsutaan sellaiseksi numeroksi, että

Arktangentti numeroa a kutsutaan sellaiseksi numeroksi, että

Arkkotangentti numeroa a kutsutaan sellaiseksi numeroksi, että

Puhutaanpa yksityiskohtaisesti näistä neljästä meille uudesta funktiosta - käänteisistä trigonometrisista funktioista.

Muista, olemme jo tavanneet.

Esimerkiksi a:n aritmeettinen neliöjuuri on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin a.

Luvun b logaritmi kantaan a on luku c siten, että

Jossa

Ymmärrämme, miksi matemaatikot joutuivat "keksimään" uusia funktioita. Esimerkiksi yhtälön ratkaisut ovat ja Emme voisi kirjoittaa niitä muistiin ilman erityistä aritmeettista neliöjuuren symbolia.

Logaritmin käsite osoittautui tarpeelliseksi kirjoittaa ratkaisuja esimerkiksi tähän yhtälöön: Tämän yhtälön ratkaisu on irrationaalinen luku. Tämä on potenssin eksponentti, johon 2 on nostettava, jotta saadaan 7.

Sama juttu trigonometristen yhtälöiden kanssa. Haluamme esimerkiksi ratkaista yhtälön

On selvää, että sen ratkaisut vastaavat trigonometrisen ympyrän pisteitä, joiden ordinaatit ovat yhtä suuria kuin Ja on selvää, että tämä ei ole sinin taulukkoarvo. Kuinka kirjoittaa ratkaisut muistiin?

Tässä ei tule toimeen ilman uutta funktiota, joka merkitsee kulmaa, jonka sini on yhtä suuri kuin annettu luku a. Kyllä, kaikki on jo arvannut. Tämä on arcsininen.

Janaan, jonka sini on yhtä suuri, kuuluva kulma on yhden neljänneksen arsini. Ja tämä tarkoittaa, että yhtälömme ratkaisusarja, joka vastaa trigonometrisen ympyrän oikeaa pistettä, on

Ja yhtälömme toinen ratkaisusarja on

Lue lisää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta -.

On vielä selvitettävä - miksi arcsinin määritelmä osoittaa, että tämä on segmenttiin kuuluva kulma?

Tosiasia on, että on äärettömän monta kulmaa, joiden sini on yhtä suuri kuin esimerkiksi . Meidän on valittava yksi niistä. Valitsemme sen, joka sijaitsee segmentillä .

Katso trigonometristä ympyrää. Näet, että segmentillä jokainen kulma vastaa tiettyä siniarvoa ja vain yhtä. Ja päinvastoin, mikä tahansa segmentin sinin arvo vastaa segmentin kulman yhtä arvoa. Tämä tarkoittaa, että segmentissä voit määrittää funktion, joka ottaa arvot välillä -

Toistetaan määritelmä uudelleen:

Luvun arsini on luku , sellasta

Nimitys: Arsinin määritelmäalue on segmentti, arvoalue on segmentti.

Voit muistaa lauseen "arcsiset elävät oikealla". Älä vain unohda, että se ei ole vain oikealla, vaan myös segmentillä.

Olemme valmiita piirtämään funktion kuvaajaa

Kuten tavallista, piirrämme x-arvot vaaka-akselille ja y-arvot pystyakselille.

Koska x on siis alueella -1 - 1.

Tämä tarkoittaa, että funktion y = arcsin x määritelmäalue on segmentti

Sanoimme, että y kuuluu segmenttiin . Tämä tarkoittaa, että funktion y = arcsin x arvoalue on segmentti.

Huomaa, että funktion y=arcsinx kuvaaja sopii kokonaan alueelle, jota rajoittavat viivat ja

Kuten aina, kun piirretään kaaviota tuntemattomasta funktiosta, aloitetaan taulukosta.

Määritelmän mukaan nollan arsini on luku segmentistä, jonka sini on yhtä suuri kuin nolla. Mikä tämä numero on? – On selvää, että tämä on nolla.

Vastaavasti yhden arsini on luku segmentistä, jonka sini on yhtä suuri kuin yksi. Ilmeisesti tämä

Jatkamme: - Tämä on luku segmentistä, jonka sini on yhtä suuri kuin . kyllä ​​se

			0
			0

Funktion kaavion rakentaminen

Toiminnan ominaisuudet

1. Määritelmän laajuus

2. Arvoalue

3. eli tämä funktio on pariton. Sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

4. Toiminto kasvaa monotonisesti. Sen pienin arvo, yhtä suuri kuin - , saavutetaan , ja sen suurin arvo, yhtä suuri kuin , at

5. Mitä kuvaajat funktioista ja ? Etkö usko, että ne on "tehty saman kaavan mukaan" - aivan kuten funktion oikea haara ja funktion kuvaaja tai kuten eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden kuvaajat?

Kuvittele, että leikkaamme tavallisesta siniaallosta pienen fragmentin kohdasta toiseen ja käännämme sen sitten pystysuoraan - ja saamme arsinigraafin.

Mitä tämän intervallin funktiolle ovat argumentin arvot, niin arcsinille on funktion arvot. Näin sen kuuluu olla! Loppujen lopuksi sini ja arcsini ovat keskenään käänteisiä funktioita. Muita esimerkkejä keskenään käänteisten funktioiden pareista ovat at ja , sekä eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot.

Muista, että keskenään käänteisten funktioiden kuvaajat ovat symmetrisiä suoran suhteen

Vastaavasti määritämme funktion, tarvitsemme vain segmentin, jossa jokainen kulman arvo vastaa omaa kosiniarvoaan, ja kosinin tuntemalla voimme löytää kulman yksiselitteisesti. Segmentti sopii meille

Luvun kaarikosini on luku , sellaista

Se on helppo muistaa: "kaarikosinukset elävät ylhäältä", eikä vain ylhäältä, vaan segmentissä

Nimitys: Kaarikosinin määrittelyalue on segmentti, arvoalue on segmentti.

Ilmeisesti segmentti valittiin, koska siinä kukin kosiniarvo otetaan vain kerran. Toisin sanoen jokainen kosiniarvo -1:stä 1:een vastaa yhtä kulma-arvoa väliltä

Kaarikosini ei ole parillinen eikä pariton funktio. Mutta voimme käyttää seuraavaa ilmeistä suhdetta:

Piirretään funktio

Tarvitsemme funktion osan, jossa se on monotoninen, eli se ottaa jokaisen arvon täsmälleen kerran.

Valitsemme segmentin. Tällä segmentillä funktio pienenee monotonisesti, eli joukkojen välinen vastaavuus on yksi yhteen. Jokaisella x-arvolla on vastaava y-arvo. Tällä segmentillä on kosinin käänteisfunktio, eli funktio y = arccosx.

Täytetään taulukko kaarikosinin määritelmällä.

Väliin kuuluvan luvun x kakkosini on väliin kuuluva luku y siten, että

Tämä tarkoittaa, koska ;

Koska ;

Koska ,

Koska ,

			0
					0

Tässä on kaarikosinikaavio:

Toiminnan ominaisuudet

1. Määritelmän laajuus

2. Arvoalue

Tämä funktio on yleismuotoinen – se ei ole parillinen eikä pariton.

4. Toiminto vähenee jyrkästi. Funktio y = arccosx saa suurimman arvon, joka on yhtä suuri kuin , at , ja sen pienin arvo, joka on yhtä suuri kuin nolla, ottaa

5. Funktiot ja ovat keskenään käänteisiä.

Seuraavat ovat arctangentit ja arkotangentit.

Luvun arktangentti on luku , sellaista

Nimitys: . Arktangentin määritysalue on väli. Arvojen alue on väli.

Miksi välin päät - pisteet - jätetään pois arktangentin määritelmästä? Tietenkin, koska tangenttia näissä kohdissa ei ole määritelty. Ei ole numeroa a, joka olisi yhtä suuri kuin näiden kulmien tangentti.

Rakennetaan arktangentin kuvaaja. Määritelmän mukaan luvun x arktangentti on luku y, joka kuuluu väliin siten, että

Kaavion rakentaminen on jo selvää. Koska arktangentti on tangentin käänteisfunktio, toimimme seuraavasti:

Valitsemme funktion kaaviosta osan, jossa x:n ja y:n välinen vastaavuus on yksi yhteen. Tämä on väli C. Tässä osiossa funktio ottaa arvot välillä -

Sitten käänteisfunktiolla eli funktiolla on määritelmäalue, joka on koko lukurivi alkaen - ja arvoalue on väli

tarkoittaa,

tarkoittaa,

tarkoittaa,

Mutta mitä tapahtuu äärettömän suurille x:n arvoille? Toisin sanoen, miten tämä funktio käyttäytyy, kun x:llä on taipumus plus äärettömään?

Voimme kysyä itseltämme kysymyksen: minkä luvun välissä tangentin arvo pyrkii äärettömään? - Ilmeisesti tämä

Tämä tarkoittaa, että äärettömän suurille x:n arvoille arktangenttikaavio lähestyy vaakasuuntaista asymptoottia

Vastaavasti, jos x lähestyy miinus ääretöntä, arktangenttikaavio lähestyy vaakasuuntaista asymptoottia

Kuvassa on funktion kaavio

Toiminnan ominaisuudet

1. Määritelmän laajuus

2. Arvoalue

3. Funktio on pariton.

4. Toiminto kasvaa voimakkaasti.

6. Funktiot ja ovat keskenään käänteisiä - tietysti, kun funktiota tarkastellaan välissä

Samalla tavalla määritämme käänteisen tangentin funktion ja piirrämme sen kaavion.

Luvun arkotangentti on luku , sellaista

Funktiokaavio:

Toiminnan ominaisuudet

1. Määritelmän laajuus

2. Arvoalue

3. Funktio on yleismuotoinen, eli ei parillinen eikä pariton.

4. Toiminto vähenee jyrkästi.

5. Tämän funktion suorat ja - vaaka-asymptootit.

6. Funktiot ja ovat keskenään käänteisiä, jos niitä tarkastellaan intervallin suhteen

Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, niiden käänteisfunktiot eivät ole ainutlaatuisia. Joten yhtälö y = synti x, tietylle , on äärettömän monta juurta. Itse asiassa, sinin jaksoisuudesta johtuen, jos x on tällainen juuri, niin on x + 2πn(jossa n on kokonaisluku) on myös yhtälön juuri. Täten, käänteiset trigonometriset funktiot ovat moniarvoisia. Heidän kanssaan työskentelyn helpottamiseksi esitellään heidän päämerkityksien käsite. Tarkastellaan esimerkiksi siniä: y = synti x. Jos rajoitamme argumentin x väliin , niin siinä funktio y = synti x kasvaa monotonisesti. Siksi sillä on ainutlaatuinen käänteisfunktio, jota kutsutaan arcsiniksi: x = arcsin y.

Ellei toisin mainita, käänteisillä trigonometrisilla funktioilla tarkoitetaan niiden pääarvoja, jotka määritetään seuraavilla määritelmillä.

Arcsine ( y = arcsin x) on sinin ( x = synkkä
Kaaren kosini ( y = arccos x) on kosinin käänteisfunktio ( x = cos y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.
Arktangentti ( y = arctan x) on tangentin ( x = tg y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.
arccotangentti ( y = arcctg x) on kotangentin ( x = ctg y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.

Käänteisten trigonometristen funktioiden kuvaajat

Käänteisten trigonometristen funktioiden kuvaajat saadaan trigonometristen funktioiden kaavioista peiliheijastuksella suoran y = x suhteen. Katso kohdat Sini, kosini, Tangentti, kotangentti.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Peruskaavat

Tässä tulee kiinnittää erityistä huomiota aikaväleihin, joille kaavat ovat voimassa.

arcsin(sin x) = x klo
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x klo
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x klo
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x klo
ctg(arcctg x) = x

Käänteisiä trigonometrisia funktioita koskevat kaavat

Katso myös: Käänteisten trigonometristen funktioiden kaavojen johtaminen

Summa- ja erotuskaavat

klo tai

klo ja

klo ja

klo tai

klo ja

klo ja

klo

klo

klo

klo

klo

klo

klo

klo

klo

klo

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.

Käänteinen kosinifunktio

Funktion y=cos x arvoalue (katso kuva 2) on segmentti. Segmentillä funktio on jatkuva ja monotonisesti laskeva.

Riisi. 2

Tämä tarkoittaa, että funktion y=cos x käänteisfunktio on määritelty segmentissä. Tätä käänteisfunktiota kutsutaan kaarikosiniksi ja se merkitään y=arccos x.

Määritelmä

Luvun a arkosiini, jos |a|1, on kulma, jonka kosini kuuluu segmenttiin; sitä merkitään arccos a.

Siten arccos a on kulma, joka täyttää seuraavat kaksi ehtoa: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Esimerkiksi arccos, koska cos ja; arccos, koska cos ja.

Funktio y = arccos x (kuva 3) on määritelty segmentille, sen arvoalue on segmentti. Janalla funktio y=arccos x on jatkuva ja pienenee monotonisesti p:stä 0:aan (koska y=cos x on jatkuva ja monotonisesti laskeva funktio segmentillä); janan päissä se saavuttaa ääriarvonsa: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Huomaa, että arccos 0 = . Funktion y = arccos x kuvaaja (katso kuva 3) on symmetrinen funktion y = cos x kuvaajalle suhteessa suoraan y=x.

Riisi. 3

Osoitetaan, että yhtälö arccos(-x) = p-arccos x pätee.

Itse asiassa määritelmän mukaan 0? arccos x? R. Kerrotaan (-1):llä kaikki viimeisen kaksois-epäyhtälön osat, saadaan - p? arccos x? 0. Lisäämällä p kaikkiin viimeisen epäyhtälön osiin, huomaamme, että 0? p-arccos x? R.

Siten kulmien arccos(-x) ja p - arccos x arvot kuuluvat samaan segmenttiin. Koska kosini pienenee monotonisesti segmentissä, siinä ei voi olla kahta eri kulmaa, joilla on samat kosinit. Etsitään kulmien arccos(-x) ja p-arccos x kosinit. Määritelmän mukaan cos (arccos x) = - x, pelkistyskaavojen mukaan ja määritelmän mukaan meillä on: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Joten kulmien kosinit ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että kulmat itse ovat yhtä suuret.

Käänteinen sinifunktio

Tarkastellaan funktiota y=sin x (kuva 6), joka janalla [-р/2;р/2] on kasvava, jatkuva ja ottaa arvot janasta [-1; 1]. Tämä tarkoittaa, että segmentillä [- p/2; p/2] funktion y=sin x käänteisfunktio on määritelty.

Riisi. 6

Tätä käänteisfunktiota kutsutaan arcsiniksi ja sitä merkitään y=arcsin x. Otetaan käyttöön luvun arsinin määritelmä.

Luvun arksini on kulma (tai kaari), jonka sini on yhtä suuri kuin luku a ja joka kuuluu segmenttiin [-р/2; p/2]; sitä merkitään arcsin a.

Siten arcsin a on kulma, joka täyttää seuraavat ehdot: sin (arcsin a)=a, |a| a1; -r/2? arcsin vai? r/2. Esimerkiksi koska sin ja [- p/2; p/2]; arcsin, koska sin = u [- p/2; p/2].

Funktio y=arcsin x (kuva 7) määritellään segmentille [- 1; 1], sen arvojen alue on segmentti [-р/2;р/2]. Segmentillä [- 1; 1] funktio y=arcsin x on jatkuva ja kasvaa monotonisesti arvosta -p/2 arvoon p/2 (tämä johtuu siitä, että janan [-p/2; p/2] funktio y=sin x on jatkuva ja kasvaa monotonisesti). Se saa suurimman arvon kohdassa x = 1: arcsin 1 = p/2 ja pienimmän kohdassa x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Kun x = 0, funktio on nolla: arcsin 0 = 0.

Osoitetaan, että funktio y = arcsin x on pariton, ts. arcsin(-x) = - arcsin x mille tahansa x:lle [ - 1; 1].

Itse asiassa määritelmän mukaan, jos |x| ?1, meillä on: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Siten kulmat arcsin(-x) ja - arcsin x kuuluvat samaan segmenttiin [ - p/2; p/2].

Etsitään näiden sinit kulmat: sin (arcsin(-x)) = - x (määritelmän mukaan); koska funktio y=sin x on pariton, niin sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Eli samaan väliin kuuluvien kulmien sinit [-р/2; p/2], ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että itse kulmat ovat yhtä suuret, ts. arcsin (-x)= - arcsin x. Tämä tarkoittaa, että funktio y=arcsin x on pariton. Funktion y=arcsin x kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Osoitetaan, että arcsin (sin x) = x mille tahansa x:lle [-р/2; p/2].

Todellakin, määritelmän mukaan -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, ja ehdon mukaan -p/2? x? r/2. Tämä tarkoittaa, että kulmat x ja arcsin (sin x) kuuluvat samaan funktion y=sin x monotonisuusväliin. Jos tällaisten kulmien sinit ovat yhtä suuret, itse kulmat ovat yhtä suuret. Etsitään näiden kulmien sinit: kulmalla x meillä on sin x, kulmalla arcsin (sin x) meillä on sin (arcsin(sin x)) = sin x. Huomasimme, että kulmien sinit ovat yhtä suuret, joten kulmat ovat yhtä suuret, ts. arcsin(sin x) = x. .

Riisi. 7

Riisi. 8

Funktion arcsin (sin|x|) kuvaaja saadaan tavallisilla moduuliin liittyvillä muunnoksilla graafista y=arcsin (sin x) (esitetty katkoviivalla kuvassa 8). Haluttu graafi y=arcsin (sin |x-/4|) saadaan siitä siirtämällä /4 oikealle x-akselia pitkin (näkyy yhtenäisenä viivana kuvassa 8)

Tangentin käänteisfunktio

Funktio y=tg x välissä ottaa kaikki numeeriset arvot: E (tg x)=. Tämän ajanjakson aikana se on jatkuva ja kasvaa monotonisesti. Tämä tarkoittaa, että funktiolle y = tan x on määritetty käänteisfunktio. Tätä käänteisfunktiota kutsutaan arktangentiksi ja se merkitään y = arctan x.

A:n arktangentti on kulma väliltä, ​​jonka tangentti on yhtä suuri kuin a. Näin ollen arctg a on kulma, joka täyttää seuraavat ehdot: tg (arctg a) = a ja 0? arctg a ? R.

Joten mikä tahansa luku x vastaa aina yhtä funktion y = arctan x arvoa (kuva 9).

On selvää, että D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funktio y = arctan x kasvaa, koska funktio y = tan x kasvaa välissä. Ei ole vaikea todistaa, että arctg(-x) = - arctgx, ts. että arktangentti on pariton funktio.

Riisi. 9

Funktion y = arctan x kuvaaja on symmetrinen funktion y = tan x kuvaajalle suhteessa suoraan y = x, graafi y = arctan x kulkee origin kautta (koska arctan 0 = 0) ja on symmetrinen suhteessa origoon (kuten parittoman funktion kuvaaja).

Voidaan todistaa, että arctan (tan x) = x, jos x.

Kotangentti käänteisfunktio

Funktio y = ctg x intervallilla ottaa kaikki numeroarvot väliltä. Sen arvojen alue on sama kuin kaikkien reaalilukujen joukko. Välissä funktio y = cot x on jatkuva ja kasvaa monotonisesti. Tämä tarkoittaa, että tälle intervallille määritellään funktio, joka on käänteinen funktiolle y = cot x. Kotangentin käänteisfunktiota kutsutaan arkotangentiksi ja sitä merkitään y = arcctg x.

A:n kaarikotangentti on kulma, joka kuuluu väliin, jonka kotangentti on yhtä suuri kuin a.

Siten аrcctg a on kulma, joka täyttää seuraavat ehdot: ctg (arcctg a)=a ja 0? arcctg a ? R.

Käänteisfunktion ja arktangentin määritelmästä seuraa, että D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kaarikootangentti on laskeva funktio, koska funktio y = ctg x pienenee välissä.

Funktion y = arcctg x kuvaaja ei leikkaa Ox-akselia, koska y > 0 R. Jos x = 0 y = arcctg 0 =.

Funktion y = arcctg x käyrä on esitetty kuvassa 11.

Riisi. 11

Huomaa, että kaikille x:n todellisille arvoille identiteetti on tosi: arcctg(-x) = p-arcctg x.