Tänään tarkastelemme geometristä kuviota - nelikulmiota. Tämän hahmon nimestä käy jo selväksi, että tällä hahmolla on neljä kulmaa. Mutta tämän kuvan muita ominaisuuksia ja ominaisuuksia tarkastellaan alla.

Mikä on nelikulmio

Nelikulmio on monikulmio, joka koostuu neljästä pisteestä (pisteestä) ja neljästä segmentistä (sivusta), jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain. Nelikulman pinta-ala on puolet sen lävistäjien ja niiden välisen kulman tulosta.

Nelikulmio on monikulmio, jossa on neljä kärkeä, joista kolme ei ole samalla viivalla.

Nelisivujen tyypit

• Nelikulmiota, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset, kutsutaan suunnikkaaksi.
• Nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta eivät ole, kutsutaan puolisuunnikkaan.
• Nelikulmio, jossa on kaikki suorat kulmat, on suorakulmio.
• Nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret, on rombi.
• Nelikulmaa, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret ja kulmat suorat, kutsutaan neliöiksi.

Nelikulmio voi olla:

itsensä leikkaava

ei-kupera

kupera

Itseleikkaava nelikulmio on nelikulmio, jonka jollakin sen sivuilla on leikkauspiste (kuvassa sinisellä).

Ei-kupera nelikulmio on nelikulmio, jossa yksi sisäkulmista on yli 180 astetta (merkitty kuvassa oranssilla).

Kulmien summa mikä tahansa nelikulmio, joka ei leikkaa itsensä, on aina 360 astetta.

Erikoistyyppiset nelikulmiot

Nelikulmioilla voi olla lisäominaisuuksia, jotka muodostavat erityisiä geometrisia muotoja:

• Suunnikas
• Suorakulmio
• Neliö
• Trapetsi
• Deltoidi
• Vastaparallelogrammi

Nelisivu ja ympyrä

Ympyrän ympärille piirretty nelikulmio (neliikulmioon piirretty ympyrä).

Rajatun nelikulmion pääominaisuus:

Nelikulmio voidaan rajata ympyrän ympärille, jos ja vain jos vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret.

Ympyrään piirretty nelikulmio (nelikulmion ympärille piirretty ympyrä)

Piirretyn nelikulmion pääominaisuus:

Nelikulmio voidaan piirtää ympyrään silloin ja vain, jos vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta.

Nelisivuisen sivun pituusominaisuudet

Nelikulmion minkä tahansa kahden sivun erotusmoduuli ei ylitä kahden muun puolensa summaa.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Tärkeä. Epäyhtälö pätee mihin tahansa nelikulmion sivujen yhdistelmään. Kuva on tarkoitettu vain ymmärtämisen helpottamiseksi.

Missä tahansa nelikulmiossa sen kolmen sivun pituuksien summa ei ole pienempi kuin neljännen sivun pituus.

Tärkeä. Kun ratkaiset ongelmia koulun opetussuunnitelman sisällä, voit käyttää tiukkaa eriarvoisuutta (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript on poistettu käytöstä selaimessasi.
ActiveX-komponentit on otettava käyttöön, jotta voit tehdä laskelmia!

1 . Kuperan nelikulmion diagonaalien summa on suurempi kuin sen kahden vastakkaisen sivun summa.

2 . Jos segmentit yhdistävät vastakkaisten sivujen keskipisteet nelikulmio

a) ovat yhtä suuret, silloin nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa;

b) ovat kohtisuorassa, niin nelikulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.

3 . Puolisuunnikkaan sivupuolen kulmien puolittajat leikkaavat sen keskiviivalla.

4 . Puolet suunnikkaan ovat yhtä suuret ja . Tällöin suunnikkaan kulmien puolittajien leikkauspisteiden muodostama nelikulmio on suorakulmio, jonka lävistäjät ovat yhtä suuret.

5 . Jos kulmien summa puolisuunnikkaan kannassa on 90°, niin puolisuunnikkaan kantojen keskipisteet yhdistävä jana on yhtä suuri kuin niiden puolikasero.

6 . Sivuilla AB ja ILMOITUS suunnikas ABCD pisteitä otetaan M ja N niin suoraan NEITI ja NC Jaa suunnikas kolmeen yhtä suureen osaan. löytö MN, jos BD=d.

7 . Puolisuunnikkaan kantojen kanssa yhdensuuntainen suoran segmentti, joka on suljettu puolisuunnikkaan sisäpuolelle, jaetaan lävistäjänsä avulla kolmeen osaan. Sitten sivujen vieressä olevat segmentit ovat yhtä suuret toistensa kanssa.

8 . Puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta kantaan ja vedetään suora viiva, joka on yhdensuuntainen kantojen kanssa. Tämän viivan segmentti, joka on suljettu puolisuunnikkaan sivujen väliin, on yhtä suuri kuin.

9 . Puolisuunnikas jaetaan sen kantojen suuntaisella viivalla, joka on yhtä suuri kuin ja , kahteen yhtä suureen puolisuunnikkaan. Sitten segmentin tämän suoran, suljettu puolin, on yhtä suuri kuin .

10 . Jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy, neljä pistettä A, B, C ja D makaa samalla ympyrällä.

a) CAD=CBD= 90°.

b) pisteet MUTTA ja AT makaa suoran viivan toisella puolella CD ja kulma CAD yhtä suuri kuin kulma CBD

c) suora AC ja BD leikkaavat pisteessä O ja O A OS=OV OD.

11 . Pisteen yhdistävä viiva R nelikulmion diagonaalien leikkauspisteet ABCD kanssa piste K linjan risteyksiä AB ja CD, jakaa puolen ILMOITUS puoliksi. Sitten hän puolittaa ja puoli Aurinko.

12 . Kuperan nelikulmion jokainen sivu on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan. Vastaavat jakopisteet vastakkaisilla puolilla on yhdistetty segmenteillä. Sitten nämä segmentit jakavat toisensa kolmeen yhtä suureen osaan.

13 . Kaksi suoraa jakaa kummankin kuperan nelikulmion vastakkaiset sivut kolmeen yhtä suureen osaan. Sitten näiden viivojen välissä on kolmasosa nelikulmion pinta-alasta.

14 . Jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmioon, niin jana, joka yhdistää pisteet, joissa piirretty ympyrä koskettaa nelikulmion vastakkaisia ​​puolia, kulkee diagonaalien leikkauspisteen kautta.

15 . Jos nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, niin sellaiseen nelikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä.

16. Sisäänkirjoitetun nelikulmion, jossa on keskenään kohtisuorat lävistäjät, ominaisuudet. Nelikulmainen ABCD piirretty säteen ympyrään R. Sen diagonaalit AC ja BD ovat keskenään kohtisuorassa ja leikkaavat pisteessä R. Sitten

a) kolmion mediaani ARV kohtisuoraan sivuun CD;

b) katkoviiva AOC jakaa nelikulmion ABCD kahteen yhtä suureen numeroon;

sisään) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4R 2 ja AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

e) etäisyys ympyrän keskipisteestä nelikulmion sivuun on puolet vastakkaisesta sivusta.

f) jos kohtisuorat putosivat sivulle ILMOITUS huipuilta AT ja FROM, ristikkäiset lävistäjät AC ja BD kohdissa E ja F, sitten BCFE- rombi;

g) nelikulmio, jonka kärjet ovat pisteen projektioita R nelikulmion puolella ABCD,- sekä kirjoitettu että kuvattu;

h) nelikulmio, jonka muodostavat nelikulmion rajatun ympyrän tangentit ABCD, sen kärkipisteisiin piirretty voidaan piirtää ympyrään.

17 . Jos a, b, c, d- nelikulmion peräkkäiset sivut, S- sen pinta-ala ja yhtäläisyys tapahtuu vain piirretylle nelikulmiolle, jonka lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa.

18 . Brahmaguptan kaava. Jos piirretyn nelikulmion sivut ovat yhtä suuret a, b, c ja d, sitten sen alue S voidaan laskea kaavalla,

missä on nelikulmion puolikehä.

19 . Jos nelikulmio, jossa on sivut a, b, c, d voidaan piirtää ja ympyrä voidaan rajata sen ympärille, niin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin .

20 . Piste P sijaitsee neliön sisällä ABCD, ja kulma PAB yhtä suuri kuin kulma RVA ja on yhtä suuri kuin 15°. Sitten kolmio DPC- tasasivuinen.

21 . Jos kaiverretulle nelikulmiolle ABCD tasa-arvo CD = AD+BC, sitten sen kulmien puolittajat MUTTA ja AT leikkaavat sivulta CD.

22 . Jatkoja vastakkaisille puolille AB ja CD kaiverrettu nelikulmio ABCD leikkaavat pisteessä M, ja puolueet ILMOITUS ja aurinko- pisteessä N. Sitten

a) kulman puolittajat AMD ja DNC keskenään kohtisuorassa;

b) suora MQ ja NQ leikkaa nelikulmion sivut rombin kärjessä;

c) leikkauspiste K näistä puolittajista sijaitsee janalla, joka yhdistää nelikulmion lävistäjien keskipisteet ABCD.

23 . Ptolemaioksen lause. Kirjoitetun nelikulmion kahden vastakkaisen sivun tulojen summa on yhtä suuri kuin sen diagonaalien tulo.

24 . Newtonin lause. Missä tahansa rajatussa nelikulmiossa diagonaalien keskipisteet ja piirretyn ympyrän keskipiste ovat samalla suoralla.

25 . Mongen lause. Suorat, jotka on vedetty sisäänkirjoitetun nelikulmion sivujen keskipisteiden läpi, jotka ovat kohtisuorassa vastakkaisiin sivuihin nähden, leikkaavat yhdessä pisteessä.

27 . Neljä ympyrää, jotka on rakennettu kuperan nelikulmion sivuille halkaisijana, peittävät koko nelikulmion.

29 . Kuperan nelikulmion kaksi vastakkaista kulmaa ovat tylppoja. Tällöin näiden kulmien kärjet yhdistävä lävistäjä on pienempi kuin toinen diagonaali.

30. Suunnikkaan ulkopuolisille sivuille rakennettujen neliöiden keskipisteet muodostavat itse neliön.

Neljällä kulmalla ja neljällä sivulla. Nelisivun muodostaa suljettu polyline, joka koostuu neljästä linkistä ja siitä tason osasta, joka on polylinen sisällä.

Nelikulmion nimitys koostuu sen kärjessä olevista kirjaimista, jotka nimeävät ne järjestyksessä. Esimerkiksi he sanovat tai kirjoittavat: nelikulmio ABCD :

Nelikulmassa ABCD pisteitä A, B, C ja D- Tämä on nelikulmion kärjet, segmentit AB, eKr, CD ja DA - sivut.

Samalle puolelle kuuluvia pisteitä kutsutaan naapuri, kutsutaan pisteitä, jotka eivät ole vierekkäisiä vastapäätä:

Nelikulmassa ABCD huiput A ja B, B ja C, C ja D, D ja A ovat vierekkäin, ja kärjet A ja C, B ja D- vastapäätä. Vierekkäisissä pisteissä olevia kulmia kutsutaan myös naapuripisteiksi ja vastakkaisissa pisteissä vastakkaisiksi.

Nelikulman sivut voidaan jakaa myös pareittain vierekkäisiin ja vastakkaisiin sivuihin: sivuja, joilla on yhteinen kärki, kutsutaan ns. naapuri(tai liittyvät), sivut, joilla ei ole yhteisiä pisteitä - vastapäätä:

Juhlat AB ja eKr, eKr ja CD, CD ja DA, DA ja AB ovat vierekkäin, ja sivut AB ja DC, ILMOITUS ja eKr- vastapäätä.

Jos vastakkaiset kärjet on yhdistetty segmentillä, tällaista segmenttiä kutsutaan nelikulmion lävistäjä. Ottaen huomioon, että nelikulmion vastakkaisia ​​pisteitä on vain kaksi paria, diagonaaleja voi olla vain kaksi:

Segmentit AC ja BD- diagonaalit.

Harkitse kuperoiden nelikulmioiden päätyyppejä:

• Trapetsi- nelikulmio, jossa yksi vastakkaisten sivujen pari on yhdensuuntainen toistensa kanssa ja toinen pari ei ole yhdensuuntainen.
  • Tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen- puolisuunnikkaan sivut ovat yhtä suuret.
  • Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen Puolisuunnikas, jossa on yksi oikeasta kulmasta.
• Suunnikas Nelikulmio, jossa molemmat vastakkaisten sivujen parit ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.
  • Suorakulmio Suuntaviiva, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret.
  • Rombi Suuntaviiva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.
  • Neliö Suunnikkapiirros, jolla on yhtäläiset sivut ja kulmat. Sekä suorakulmio että rombi voivat olla neliö.

Kuperoiden nelikulmien kulmaominaisuudet

Kaikilla kuperilla nelikulmioilla on seuraavat kaksi ominaisuutta:

1. Mikä tahansa sisäkulma alle 180°.
2. Sisäkulmien summa on 360°.

Koulun opetussuunnitelmassa geometrian tunneilla on käsiteltävä erilaisia ​​nelikulmioita: rombeja, suunnikkaita, suorakulmioita, puolisuunnikkaita, neliöitä. Ensimmäiset tutkittavat muodot ovat suorakulmio ja neliö.

Joten mikä on suorakulmio? Peruskoulun 2. luokan määritelmä näyttää tältä: tämä on nelikulmio, jossa kaikki neljä kulmaa ovat oikeassa. On helppo kuvitella, miltä suorakulmio näyttää: se on hahmo, jossa on 4 suoraa kulmaa ja pareittain samansuuntaiset sivut.

Yhteydessä

Kuinka ymmärtää seuraavan geometrisen ongelman ratkaisemisessa, millaisen nelikulmion kanssa olemme tekemisissä? Siinä on kolme pääominaisuutta, jolla voit määrittää tarkasti, että puhumme suorakulmiosta. Kutsutaan heitä:

• kuva on nelikulmio, jonka kolme kulmaa ovat 90°;
• esitetty nelikulmio on suunnikas, jolla on yhtäläiset lävistäjät;
• suunnikas, jolla on vähintään yksi suora kulma.

On mielenkiintoista tietää: mikä on kupera, sen piirteet ja merkit.

Koska suorakulmio on suunnikas (eli nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset), kaikki sen ominaisuudet ja piirteet täyttyvät sille.

Kaavat sivujen pituuden laskemiseen

suorakulmiossa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja keskenään yhdensuuntaiset. Pidempää sivua kutsutaan yleensä pituudeksi (merkitty a), lyhyempää sivua kutsutaan leveydeksi (merkitty b). Kuvan suorakulmion pituudet ovat sivut AB ja CD ja leveydet AC ja B.D. Ne ovat myös kohtisuorassa kantaan nähden (eli ne ovat korkeuksia).

Voit etsiä sivut käyttämällä alla olevia kaavoja. Niissä käytetään yleissopimuksia: a - suorakulmion pituus, b - sen leveys, d - diagonaali (segmentti, joka yhdistää kahden vastakkaisen kulman kärjet), S - kuvion pinta-ala, P - ympärysmitta, α - diagonaalin ja pituuden välinen kulma, β on terävä kulma, jonka muodostavat molemmat lävistäjät. Tapoja löytää sivujen pituudet:

• Käyttämällä diagonaalia ja tunnettua sivua: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Kuvan pinta-alan ja sen yhden sivun mukaan: a = S / b, b = S / a.
• Kehystä ja tunnettua puolta käyttämällä: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Diagonaalin ja sen ja pituuden välisen kulman kautta: a = d sinα, b = d cosα.
• Diagonaalin ja kulman β kautta: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Kehä ja alue

Nelikulman kehää kutsutaan sen kaikkien sivujen pituuksien summa. Kehyksen laskemiseen voidaan käyttää seuraavia kaavoja:

• Molemmilla puolilla: P = 2 (a + b).
• Alueen ja yhden sivun läpi: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Alue on kehän rajaama tila. Kolme päätapaa alueen laskemiseen:

• Molempien sivujen pituuksien läpi: S = a*b.
• Käyttämällä kehää ja mitä tahansa tunnettua puolta: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Diagonaalisesti ja kulma β: S = 0,5 d² sinβ.

Koulun matematiikan kurssin tehtävissä vaaditaan usein hyvää hallintaa suorakulmion diagonaalien ominaisuudet. Luettelemme tärkeimmät:

1. Diagonaalit ovat keskenään yhtä suuret ja ne on jaettu kahteen yhtä suureen segmenttiin niiden leikkauspisteessä.
2. Diagonaali määritellään molempien sivujen neliösumman juureksi (seuraa Pythagoraan lausetta).
3. Diagonaali jakaa suorakulmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
4. Leikkauspiste osuu rajatun ympyrän keskipisteeseen ja diagonaalit itse ovat samat kuin sen halkaisija.

Diagonaalin pituuden laskemiseen käytetään seuraavia kaavoja:

• Käyttämällä kuvion pituutta ja leveyttä: d = √ (a ² + b ²).
• Käyttämällä nelikulmion ympärille piirretyn ympyrän sädettä: d = 2 R.

Neliön määritelmä ja ominaisuudet

Neliö on rombin, suuntaviivan tai suorakulmion erikoistapaus. Sen ero näistä kuvista on se, että sen kaikki kulmat ovat suorat ja kaikki neljä sivua ovat yhtä suuret. Neliö on säännöllinen nelikulmio.

Nelikulmaa kutsutaan neliöksi seuraavissa tapauksissa:

1. Jos se on suorakulmio, jonka pituus a ja leveys b ovat yhtä suuret.
2. Jos se on rombi, jolla on yhtä pitkät lävistäjät ja neljä suoraa kulmaa.

Neliön ominaisuudet sisältävät kaikki aiemmin käsitellyt suorakulmioon liittyvät ominaisuudet sekä seuraavat:

1. Diagonaalit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden (rombin ominaisuus).
2. Leikkauspiste on sama kuin piirretyn ympyrän keskipiste.
3. Molemmat diagonaalit jakavat nelikulmion neljään identtiseen suorakulmaiseen ja tasakylkiseen kolmioon.

Tässä on joitain usein käytettyjä kaavoja neliön kehän, pinta-alan ja elementtien laskeminen:

• Diagonaali d = a √2.
• Kehä P = 4 a.
• Pinta-ala S = a².
• Piirretyn ympyrän säde on puolet lävistäjästä: R = 0,5 a √2.
• Piirretyn ympyrän säde määritellään puoleksi sivun pituudesta: r = a / 2.

Esimerkkikysymykset ja tehtävät

Analysoidaan joitain kysymyksiä, joita saatat kohdata opiskellessasi matematiikkaa koulussa, ja ratkaise muutama yksinkertainen ongelma.

Tehtävä 1. Miten suorakulmion pinta-ala muuttuu, jos sen sivujen pituus kolminkertaistuu?

Ratkaisu : Merkitään alkuperäisen kuvan pinta-ala S0 ja nelikulmion pinta-ala, jonka sivujen pituus on kolminkertainen - S1. Aiemmin tarkastellun kaavan mukaan saadaan: S0 = ab. Lisätään nyt pituus ja leveys 3 kertaa ja kirjoitetaan: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Verrattaessa S0:ta ja S1:tä tulee ilmeiseksi, että toinen alue on 9 kertaa suurempi kuin ensimmäinen.

Kysymys 1. Onko suorakulmainen nelikulmio neliö?

Ratkaisu : Määritelmästä seuraa, että suorakulmainen kuvio on neliö vain, jos sen kaikkien sivujen pituudet ovat yhtä suuret. Muussa tapauksessa kuva on suorakulmio.

Tehtävä 2. Suorakulmion lävistäjät muodostavat 60 asteen kulman. Suorakulmion leveys on 8. Laske mikä on lävistäjä.

Ratkaisu: Muista, että leikkauspiste jakaa diagonaalit. Kyseessä on siis tasakylkinen kolmio, jonka kärjessä oleva kulma on 60°. Koska kolmio on tasakylkinen, myös pohjan kulmat ovat samat. Yksinkertaisilla laskelmilla saadaan, että jokainen niistä on yhtä suuri kuin 60 °. Tästä seuraa, että kolmio on tasasivuinen. Leveys, jonka tiedämme, on kolmion kanta, joten puolet lävistäjästä on myös 8 ja koko lävistäjän pituus on kaksinkertainen ja yhtä suuri kuin 16.

Kysymys 2. Onko suorakulmion kaikki sivut yhtä suuret vai eivät?

Ratkaisu : Riittää, kun muistaa, että neliön kaikkien sivujen on oltava yhtä suuret, mikä on suorakulmion erikoistapaus. Kaikissa muissa tapauksissa riittävä ehto on vähintään 3 suoran kulman olemassaolo. Osapuolten tasa-arvoisuus ei ole pakollinen piirre.

Tehtävä 3. Neliön pinta-ala tunnetaan ja se on 289. Etsi piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden säteet.

Ratkaisu : Neliön kaavojen mukaan suoritamme seuraavat laskelmat:

• Määritetään, mitä neliön pääelementit ovat yhtä suuret: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Lasketaan mikä on nelikulmion ympärille kuvatun ympyrän säde: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Etsitään piirretyn ympyrän säde: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Määritelmä. Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Omaisuus. Suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Omaisuus. Suunnikkaan diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla.

1 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmion kaksi sivua ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset, niin nelikulmio on suunnikas.

2 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat pareittain yhtä suuret, niin nelikulmio on suunnikas.

3 suuntaviivan merkki. Jos nelikulmiossa lävistäjät leikkaavat ja leikkauspiste on puolitettu, niin tämä nelikulmio on suuntaviiva.

Määritelmä. Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia. Rinnakkaisia ​​puolia kutsutaan perusteita.

Trapetsi on nimeltään tasakylkinen (tasakylkinen) jos sen sivut ovat yhtä suuret. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat kantassa ovat yhtä suuret.

suorakulmainen.

puolisuunnikkaan keskiviiva. Keskiviiva on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja yhtä suuri kuin niiden puolisumma.

Suorakulmio

Määritelmä.

Omaisuus. Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.

Suorakaide merkki. Jos suunnikkaan lävistäjät ovat yhtä suuret, suunnikka on suorakulmio.

Määritelmä.

Omaisuus. Rombin lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa ja jakavat sen kulmat kahtia.

Määritelmä.

Neliö on tietynlainen suorakulmio ja myös tietynlainen rombi. Siksi sillä on kaikki ominaisuudet.

Ominaisuudet:
1. Neliön kaikki kulmat ovat oikeassa

Nelikulmaistaa kaikki säännöt

Avainsanat:
nelikulmio, kupera, kulmien summa, nelikulmion pinta-ala

nelikulmio kutsutaan kuvioksi, joka koostuu neljästä pisteestä ja neljästä janasta, jotka yhdistävät ne sarjaan. Tässä tapauksessa kolmea näistä pisteistä ei saa olla yhdellä suoralla, eivätkä niitä yhdistävät segmentit saisi leikkiä.

• Nelikulmion kärkipisteitä kutsutaan naapuri jos ne ovat sen yhden sivun päät.
• Vertices, jotka eivät ole naapureita , nimeltään vastapäätä .
• Kutsutaan janaja, jotka yhdistävät nelikulmion vastakkaiset kärjet diagonaalit .
• Nelikulmion sivuja, jotka ovat peräisin samasta kärjestä, kutsutaan naapuri juhlia.
• Sivuja, joilla ei ole yhteistä päätä, kutsutaan vastapäätä juhlia.
• Nelikulmaa kutsutaan kupera , jos se sijaitsee yhdessä puolitasossa sen minkä tahansa sivun sisältävään suoraan nähden.

Nelisivujen tyypit

1. Suunnikas Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset
   • Suorakulmio suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat
   • Rombi - suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret
   • Neliö - suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret
2. Trapetsi - nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta sivua eivät ole yhdensuuntaisia
3. Deltoidi Nelikulmio, jonka kaksi vierekkäisten sivujen paria ovat yhtä suuret

Nelikulmat

nelikulmio kutsutaan kuvioksi, joka koostuu neljästä pisteestä ja neljästä janasta, jotka yhdistävät ne sarjaan. Tässä tapauksessa kolme näistä pisteistä ei ole samalla suoralla, eivätkä niitä yhdistävät segmentit leikkaa.

vastapäätä. vastapäätä.

Nelisivujen tyypit

Suunnikas

Suunnikas kutsutaan nelikulmioksi, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Parallelogrammin ominaisuudet

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa:

Parallelogrammin ominaisuudet

Trapetsi Kutsutaan nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan sen perusteita ja ei-rinnakkaiset sivut sivut. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan keskiviiva.

Trapetsi on nimeltään tasakylkinen(tai tasakylkinen), jos sen sivut ovat yhtä suuret.

Kutsutaan puolisuunnikasta, jolla on yksi suora kulma suorakulmainen.

Trapetsin ominaisuudet

Trapetsin merkkejä

Suorakulmio

Suorakulmio Suunnikkaaksi kutsutaan, jos kaikki kulmat ovat suoria kulmia.

Suorakulmion ominaisuudet

Suorakulmion ominaisuudet

Suuntaviiva on suorakulmio, jos:

1. Yksi sen kulmista on oikeassa.
2. Sen diagonaalit ovat yhtä suuret.

Rombi Suunnikkaaksi kutsutaan, jos kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Rombin ominaisuudet

• kaikki suunnikkaan ominaisuudet;
• diagonaalit ovat kohtisuorassa;

Rombin merkkejä

Neliö Kutsutaan suorakulmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Neliön kiinteistöt

• neliön kaikki kulmat ovat oikeassa;
• neliön lävistäjät ovat yhtä suuret, keskenään kohtisuorassa, leikkauspiste on jaettu puoliksi ja neliön kulmat puoliksi.

Neliön merkit

Peruskaavat

S=d 1 d 2 synti

Suunnikas
a ja b- viereiset osapuolet; - niiden välinen kulma; h a - korkeus sivulle a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 synti

Trapetsi
a ja b- perusteet; h- niiden välinen etäisyys; l- keskiviiva .

Suorakulmio

S=d 1 d 2 synti

S = a 2 synti

S=d 1 d 2

Neliö
d- diagonaali.

www.univer.omsk.su

Nelikulmioiden ominaisuudet. Nelisivujen tyypit. Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet. Parallelogrammin ominaisuudet. Rombin ominaisuudet. Suorakulmion ominaisuudet. Neliön kiinteistöt. puolisuunnikkaan muotoiset ominaisuudet. Noin 7-9 luokka (13-15 vuotta vanha)

Nelikulmion ominaisuudet. Nelisivujen tyypit. Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet.
Parallelogrammin ominaisuudet. Rombin ominaisuudet. Suorakulmion ominaisuudet. Neliön kiinteistöt. puolisuunnikkaan muotoiset ominaisuudet.

Nelisivujen tyypit:

• Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

• Rombi on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• Suorakulmio on suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat.

• Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Mielivaltaisten nelikulmioiden ominaisuudet:

Parallelogrammin ominaisuudet:

Rombin ominaisuudet:

Suorakulmion ominaisuudet:

Neliön ominaisuudet:

Trapetsin ominaisuudet:

Konsultointi ja tekninen
sivuston tuki: Zavarka Team

Nelikulmaistaa kaikki säännöt

Ei-euklidinen geometria, geometria samanlainen kuin geometria Euclid siinä, että se määrittelee kuvioiden liikkeen, mutta eroaa euklidisesta geometriasta siinä, että yksi sen viidestä postulaatista (toinen tai viides) on korvattu sen negaatiolla. Yhden euklidisen postulaatin (1825) kieltäminen oli merkittävä tapahtuma ajattelun historiassa, sillä se oli ensimmäinen askel kohti suhteellisuusteoria.

Eukleideen toinen postulaatti sanoo sen mitä tahansa linjaosuutta voidaan jatkaa loputtomiin. Euclid ilmeisesti uskoi, että tämä postulaatti sisälsi myös väitteen, että suoralla on ääretön pituus. kuitenkin "elliptisessä" geometriassa mikä tahansa suora on äärellinen ja, kuten ympyrä, on suljettu.

Viides postulaatti sanoo, että jos suora leikkaa kaksi annettua suoraa siten, että sen toisella puolella olevat kaksi sisäkulmaa ovat yhteensä pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi suoraa leikkaavat, jos niitä jatketaan loputtomasti, sillä sivulla, jossa näiden kulmien summa on pienempi kuin kahden suoran summa. Mutta "hyperbolisessa" geometriassa voi olla suora CB (katso kuva), joka on pisteessä C kohtisuorassa annettuun suoraan r ja leikkaa toisen suoran s terävässä kulmassa pisteessä B, mutta siitä huolimatta äärettömät suorat r ja s ei koskaan leikkaa .

Näistä tarkistetuista postulaateista seurasi, että kolmion kulmien summa, joka on 180° euklidisessa geometriassa, on suurempi kuin 180° elliptisessä geometriassa ja alle 180° hyperbolisessa geometriassa.

Nelikulmainen

Nelikulmainen on monikulmio, jossa on neljä kärkeä ja neljä sivua.

Nelikulmainen, geometrinen kuvio - monikulmio, jossa on neljä kulmaa, sekä mikä tahansa esine, tämän muotoinen laite.

Nelikulmion kahta ei vierekkäistä sivua kutsutaan vastapäätä. Kutsutaan myös kahta kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä vastapäätä.

Nelikulmiot ovat kuperia (kuten ABCD) ja
ei-kupera (A 1 B 1 C 1 D 1).

Nelisivujen tyypit

• Suunnikas- nelikulmio, jonka kaikki vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset;
• Suorakulmio- nelikulmio, jossa on kaikki suorat kulmat;
• Rombi- nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret;
• Neliö- nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suorat ja sivut ovat yhtä suuret;
• Trapetsi- nelikulmio, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia;
• Deltoidi Nelikulmio, jonka kaksi vierekkäisten sivujen paria ovat yhtä suuret.

Suunnikas

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Parallelogrammi (kreikan sanoista parallelos - yhdensuuntainen ja gramme - viiva) eli makaa yhdensuuntaisilla viivoilla. Suunnikkaan erikoistapaukset ovat suorakulmio, neliö ja rombi.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa.

Nelikulma on suunnikas, jos:

1. Sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset.
2. Vastakkaiset puolet ovat pareittain yhtä suuret.
3. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret pareittain.
4. Leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi.

Suorakulmio

Suorakulmio on suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalit ovat yhtä suuret.

Suuntaviiva on suorakulmio, jos:

1. Yksi sen kulmista on oikeassa.
2. Sen diagonaalit ovat yhtä suuret.

Rombi on suuntaviiva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret;
• vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret;
• leikkauspisteen diagonaalit jaetaan puoliksi;
• yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°;
• diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa;
• diagonaalit ovat kohtisuorassa;
• diagonaalit ovat sen kulmien puolittajia.

Suuntaviiva on rombi, jos:

1. Sen kaksi vierekkäistä sivua ovat yhtä suuret.
2. Sen diagonaalit ovat kohtisuorassa.
3. Yksi diagonaaleista on sen kulman puolittaja.

Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

• neliön kaikki kulmat ovat oikeassa;
• neliön lävistäjät ovat yhtä suuret, keskenään kohtisuorassa, leikkauspiste on jaettu puoliksi ja neliön kulmat puoliksi.

1. Suorakulmio on neliö, jos sillä on jokin rombin ominaisuus.

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia ​​ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan sen kantaviksi ja ei-rinnakkaiset sivuiksi sen sivuiksi. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan keskiviivaksi.

Puolisuunnikkaan kutsutaan tasakylkiseksi (tai tasakylkiseksi), jos sen sivut ovat yhtä suuret.

Puolisuunnikasta, jossa on yksi suora kulma, kutsutaan suorakulmaiseksi puolisuunnikkaaksi.

• sen keskiviiva on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja yhtä suuri kuin niiden puolisumma;
• jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, niin sen lävistäjät ovat yhtä suuret ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret;
• jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, niin sen ympärille voidaan kuvata ympyrä;
• jos kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa, niin siihen voidaan kirjoittaa ympyrä.

1. Nelikulma on puolisuunnikkaan muotoinen, jos sen yhdensuuntaiset sivut eivät ole yhtä suuret

Deltoidi Nelikulmio, jossa on kaksi samanpituista sivuparia. Toisin kuin suunnikas, kaksi vierekkäisten sivujen paria eivät ole samanarvoisia, vaan kaksi paria vierekkäisiä sivuja. Hartialihas on leijan muotoinen.

• Eripituisten sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret.
• Hartialihaksen diagonaalit (tai niiden jatkeet) leikkaavat suorassa kulmassa.
• Mikä tahansa kupera hartialihas voidaan piirtää ympyrällä, tämän lisäksi, jos hartialihas ei ole rombi, on toinen ympyrä, joka koskettaa kaikkien neljän sivun laajennuksia. Ei-kuperalle hartialihakselle voidaan rakentaa ympyrä, joka tangentti kahta suurempaa sivua ja kahden pienemmän sivun jatketta, ja ympyrä, joka tangentti kahta pienempää sivua ja kahden suuremman sivun jatketta.

• Jos hartialihaksen epätasaisten sivujen välinen kulma on suora, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä (kuvattu hartialihas).
• Jos hartialihaksen vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, tällainen hartialihas on rombi.
• Jos hartialihaksen vastakkaisten sivujen pari ja molemmat lävistäjät ovat yhtä suuret, hartialihas on neliö. Kaiverrettu hartialihas, jolla on yhtäläiset lävistäjät, on myös neliö.

Geometrian syntyminen juontaa juurensa muinaisista ajoista ja johtui ihmisen toiminnan käytännön tarpeista (tarpeesta mitata maata, mitata eri kappaleiden tilavuuksia jne.).

Yksinkertaisimmat geometriset tiedot ja käsitteet tunnettiin muinaisessa Egyptissä. Tänä aikana geometriset väitteet muotoiltiin sääntöjen muodossa, jotka annettiin ilman todisteita.

7. vuosisadalta eKr e. 1. vuosisadalle jKr e. geometria tieteenä kehittyi nopeasti antiikin Kreikassa. Tänä aikana ei tapahtunut vain erilaisten geometristen tietojen keräämistä, vaan myös geometristen lauseiden todistamisen metodologiaa työstettiin ja ensimmäiset yritykset yritettiin muotoilla geometrian perussäännöksiä (aksioomia), joista monet erilaiset geometriset lausunnot johdetaan puhtaasti loogisella päättelyllä. Geometrian kehitystaso muinaisessa Kreikassa heijastuu Eukleideen "alkujen" työhön.

Tässä kirjassa yritettiin ensimmäistä kertaa antaa planimetrian systemaattinen konstruktio määrittelemättömien geometristen peruskäsitteiden ja aksioomien (postulaattien) pohjalta.

Erityinen paikka matematiikan historiassa on Eukleideen viides postulaatti (rinnakkaislinjojen aksiooma). Pitkän aikaa matemaatikot yrittivät tuloksetta johtaa viidettä postulaattia muista Eukleideen postulaateista, ja vasta 1800-luvun puolivälissä N. I. Lobachevskyn, B. Riemannin ja J. Boyain tutkimusten ansiosta kävi selväksi, että viidettä postulaattia ei voida johtaa muista, eikä Eukleideen ehdottama aksioomijärjestelmä ole ainoa mahdollinen.

Eukleideen "elementeillä" oli valtava vaikutus matematiikan kehitykseen. Yli kahden tuhannen vuoden ajan tämä kirja ei ollut vain geometrian oppikirja, vaan se toimi myös lähtökohtana monille matemaattisille tutkimuksille, joiden seurauksena syntyi uusia itsenäisiä matematiikan aloja.

Geometrian systemaattinen rakentaminen suoritetaan yleensä seuraavan suunnitelman mukaan:

minä Luettelossa on tärkeimmät geometriset käsitteet, jotka esitellään ilman määritelmiä.

II. Geometrian aksioomien muotoilu on annettu.

III. Aksioomien ja geometristen peruskäsitteiden pohjalta muotoillaan muita geometrisia käsitteitä ja lauseita.

1. Nimen ei-euklidinen geometria alkuperä?
2. Mitä muotoja kutsutaan nelikulmioksi?
3. Suunnikkaan ominaisuuksia?
4. Nelisivujen tyypit?

Luettelo käytetyistä lähteistä

1. A.G. Tsypkin. Matematiikan käsikirja
2. "Yhtenäinen valtionkoe 2006. Matematiikka. Koulutus- ja koulutusmateriaalit opiskelijoiden valmentamiseen / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavin toimittaman kokoelman matematiikan tärkeimpien kilpailuongelmien ratkaiseminen"

Työskentely oppitunnin parissa

Voit esittää kysymyksen modernista koulutuksesta, ilmaista ajatuksen tai ratkaista kiireellisen ongelman osoitteessa Koulutusfoorumi jossa tuoreen ajatuksen ja toiminnan koulutusneuvosto kokoontuu kansainvälisesti. Luotuaan blogi, Et vain paranna asemaasi pätevänä opettajana, vaan annat myös merkittävän panoksen tulevaisuuden koulun kehitykseen. Koulutusjohtajien kilta avaa oven huippuasiantuntijoille ja kutsuu sinut yhteistyöhön maailman parhaiden koulujen luomiseksi.

Suosittu:

• Artikla 282. Vihaan tai vihamielisyyteen yllyttäminen sekä ihmisarvon nöyryyttäminen
• Yrityskiinteistöverolaskuri Yrityskiinteistöveron laskeminen Ennakkomaksujen laskentalomake on muuttunut. Alkaen vuoden 2017 ensimmäisen puoliskon raportoinnista yhteisöveron laskeminen […]
• Ekologian lait Yli 100 vuoden populaatioiden ja yhteisöjen kattavan tutkimuksen aikana on kertynyt valtava määrä tosiasioita. Niiden joukossa - suuri määrä, joka heijastaa satunnaisia ​​tai epäsäännöllisiä ilmiöitä ja prosesseja. Mutta ei […]
• Eläketurvavaihtoehdot pakollisessa eläkevakuutusjärjestelmässä Vuoden 2015 loppuun saakka vuonna 1967 syntyneet ja sitä nuoremmat kansalaiset saivat valita, jatkavatko eläkkeen rakentamista […]
• Maatalousministeriön määräys 549 Rekisteröity Venäjän federaation oikeusministeriössä 5. maaliskuuta 2009 N 13476 VENÄJÄN FEDERAATIO MAATALOUSMINISTERIÖ, 16. joulukuuta 2008 N 532 LUOKAN LUOKITUKSEN HYVÄKSYMISESTÄ METSÄT JA […]
• Vammaisten lasten eläkkeitä korotetaan 1.1.2018 Kansalaisten eläketurva on valtion velvollisuus. Tämä on todettu maan lakisäännöissä - perustuslaissa. Vammaisten joukossa, jotka tarvitsevat […]
• JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS":n sisäinen järjestyssääntö 26. heinäkuuta 2012 päivätty MÄÄRÄYS N 87 MATKUSTAJIEN JA MATKUSTAJIEN KEHITTÄMISEN ALUEELLISEN PALVELUN (OSASTO) SISÄISEN TYÖMÄÄRÄYKSEN HYVÄKSYMISESTÄ
• Comte Positivismin 3 vaiheen laki filosofisena suuntauksena lähtee käsityksestä, että suurin osa tiedosta maailmasta, ihmisestä ja yhteiskunnasta saadaan erikoistieteissä, että "positiivisen" tieteen pitäisi hylätä yritykset […]